Udhëzimet
Shkruani të dhëna shprehje logaritmike. Nëse shprehja përdor logaritmin e 10, atëherë shënimi i saj shkurtohet dhe duket kështu: lg b është logaritmi dhjetor. Nëse logaritmi ka si bazë numrin e, atëherë shkruani shprehjen: ln b – logaritmi natyror. Kuptohet se rezultati i çdo është fuqia në të cilën duhet të rritet numri bazë për të marrë numrin b.
Kur gjeni shumën e dy funksioneve, thjesht duhet t'i dalloni ato një nga një dhe të shtoni rezultatet: (u+v)" = u"+v";
Gjatë gjetjes së derivatit të produktit të dy funksioneve, është e nevojshme të shumëzohet derivati i funksionit të parë me të dytin dhe të shtohet derivati i funksionit të dytë të shumëzuar me funksionin e parë: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Për të gjetur derivatin e herësit të dy funksioneve, është e nevojshme të zbritet nga produkti i derivatit të dividendit shumëzuar me funksionin pjesëtues, produkti i derivatit të pjesëtuesit të shumëzuar me funksionin e dividentit dhe të pjesëtohet. e gjithë kjo me funksionin e pjesëtuesit në katror. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Nëse jepet funksion kompleks, atëherë është e nevojshme të shumëzohet derivati i funksioni i brendshëm dhe derivati i atij të jashtëm. Le të y=u(v(x)), pastaj y"(x)=y"(u)*v"(x).
Duke përdorur rezultatet e marra më sipër, mund të dalloni pothuajse çdo funksion. Pra, le të shohim disa shembuj:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ekzistojnë gjithashtu probleme që përfshijnë llogaritjen e derivatit në një pikë. Le të jepet funksioni y=e^(x^2+6x+5), duhet të gjesh vlerën e funksionit në pikën x=1.
1) Gjeni derivatin e funksionit: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Llogaritni vlerën e funksionit në pikë e dhënë y"(1)=8*e^0=8
Video mbi temën
Mësoni tabelën e derivateve elementare. Kjo do të kursejë ndjeshëm kohë.
Burimet:
- derivat i një konstante
Pra, cili është ndryshimi midis ekuacioni racional nga racionalja? Nëse ndryshorja e panjohur është nën shenjën rrenja katrore, atëherë ekuacioni konsiderohet irracional.
Udhëzimet
Metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla është metoda e ndërtimit të të dy anëve ekuacionet në një shesh. Megjithatë. kjo është e natyrshme, gjëja e parë që duhet të bëni është të hiqni qafe shenjën. Kjo metodë nuk është teknikisht e vështirë, por ndonjëherë mund të çojë në telashe. Për shembull, ekuacioni është v(2x-5)=v(4x-7). Duke kuadruar të dyja anët ju merrni 2x-5=4x-7. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë nuk është e vështirë; x=1. Por numri 1 nuk do të jepet ekuacionet. Pse? Zëvendësoni një në ekuacion në vend të vlerës së x dhe ana e djathtë dhe e majtë do të përmbajnë shprehje që nuk kanë kuptim, domethënë. Kjo vlerë nuk është e vlefshme për një rrënjë katrore. Prandaj 1 është një rrënjë e jashtme, dhe për këtë arsye ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë.
Kështu që, ekuacioni irracional zgjidhet duke përdorur metodën e kuadrimit të të dy pjesëve të tij. Dhe pasi të keni zgjidhur ekuacionin, është e nevojshme të ndërpritet rrënjët e jashtme. Për ta bërë këtë, zëvendësoni rrënjët e gjetura në ekuacionin origjinal.
Konsideroni një tjetër.
2х+vх-3=0
Sigurisht, ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur të njëjtin ekuacion si ai i mëparshmi. Lëviz Komponimet ekuacionet, të cilat nuk kanë rrënjë katrore, në anën e djathtë dhe më pas përdorni metodën e katrorit. zgjidhin ekuacionin racional që rezulton dhe rrënjët. Por edhe një tjetër, më elegante. Futni një ndryshore të re; vх=y. Prandaj, do të merrni një ekuacion të formës 2y2+y-3=0. Kjo është, e zakonshme ekuacioni kuadratik. Gjeni rrënjët e tij; y1=1 dhe y2=-3/2. Më pas, zgjidhni dy ekuacionet vх=1; vх=-3/2. Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë nga i pari gjejmë se x=1. Mos harroni të kontrolloni rrënjët.
Zgjidhja e identiteteve është mjaft e thjeshtë. Për ta bërë këtë ju duhet të bëni transformimet e identitetit derisa të arrihet qëllimi. Kështu, me ndihmën e më të thjeshtëve veprimet aritmetike detyra në fjalë do të zgjidhet.
Do t'ju duhet
- - letër;
- - stilolaps.
Udhëzimet
Transformimet më të thjeshta të tilla janë shumëzimet e shkurtuara algjebrike (të tilla si katrori i shumës (diferenca), ndryshimi i katrorëve, shuma (diferenca), kubi i shumës (diferenca)). Përveç kësaj, ka shumë formulat trigonometrike, të cilat janë në thelb të njëjtat identitete.
Në të vërtetë, katrori i shumës së dy termave e barabartë me katrorin i pari plus dyfishon prodhimin e të parit me të dytin dhe plus katrorin e të dytit, pra (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Thjeshtoni të dyja
Parimet e përgjithshme të zgjidhjes
Përsëriteni sipas tekstit shkollor analiza matematikore ose matematikë e lartë, që është një integral i caktuar. Siç dihet, zgjidhja integral i caktuar ekziston një funksion derivati i të cilit jep integrand. Ky funksion quhet antiderivativ. Nga këtë parim dhe ndërton integralet kryesore.Përcaktoni nga forma e integrandit se cili nga integralet e tabelës përshtatet në këtë rast. Nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet kjo menjëherë. Shpesh, forma tabelare bëhet e dukshme vetëm pas disa transformimeve për të thjeshtuar integrandin.
Metoda e zëvendësimit të variablave
Nëse funksioni integrand është funksioni trigonometrik, argumenti i të cilit përmban disa polinom, më pas provoni të përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve. Për ta bërë këtë, zëvendësoni polinomin në argumentin e integrandit me një ndryshore të re. Bazuar në marrëdhënien midis variablave të rinj dhe të vjetër, përcaktoni kufijtë e rinj të integrimit. Diferencimi shprehje e dhënë gjeni një diferencial të ri në . Kështu që ju do të merrni lloji i ri të integralit të mëparshëm, afër ose edhe që korrespondon me ndonjë tabelor.Zgjidhja e integraleve të llojit të dytë
Nëse integrali është një integral i llojit të dytë, pamje vektoriale funksionin integrand, atëherë do t'ju duhet të përdorni rregullat për kalimin nga këto integrale në ato skalare. Një rregull i tillë është marrëdhënia Ostrogradsky-Gauss. Ky ligj ju lejon të kaloni nga fluksi i rotorit të disa funksioneve vektoriale në integral i trefishtë nga divergjenca e një fushe vektoriale të caktuar.Zëvendësimi i kufijve të integrimit
Pas gjetjes së antiderivativit, është e nevojshme të zëvendësohen kufijtë e integrimit. Së pari zëvendësoni vlerën kufiri i sipërm në një shprehje për antiderivativin. Do të merrni një numër. Më pas, zbritni nga numri që rezulton një numër tjetër të marrë nga kufiri i poshtëm në antiderivativ. Nëse një nga kufijtë e integrimit është pafundësia, atëherë kur e zëvendësoni atë në funksioni antiderivativështë e nevojshme të shkosh në kufi dhe të gjesh se për çfarë synon shprehja.Nëse integrali është dy-dimensional ose tre-dimensional, atëherë do të duhet të përfaqësoni kufijtë e integrimit gjeometrikisht për të kuptuar se si të vlerësoni integralin. Në të vërtetë, në rastin e, le të themi, një integrali tredimensional, kufijtë e integrimit mund të jenë plane të tëra që kufizojnë vëllimin që integrohet.
I përshtatshëm dhe i thjeshtë kalkulator në internet thyesat me zgjidhje të detajuara Ndoshta:
- Shtoni, zbritni, shumëzoni dhe pjesëtoni fraksionet në internet,
- Merrni zgjidhje e gatshme fraksionet me një foto dhe është i përshtatshëm për ta transferuar atë.
Rezultati i zgjidhjes së thyesave do të jetë këtu...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Shenja e thyesës "/" + - * :
_fshij Pastro
Llogaritësi ynë i fraksionit në internet ka hyrje të shpejtë. Për të zgjidhur thyesat, për shembull, thjesht shkruani 1/2+2/7
në kalkulator dhe shtypni " Zgjidh thyesat". Llogaritësi do t'ju shkruajë zgjidhje e detajuar thyesat dhe do të lëshojë një imazh i lehtë për t'u kopjuar.
Shenjat që përdoren për të shkruar në një makinë llogaritëse
Ju mund të shkruani një shembull për një zgjidhje ose nga tastiera ose duke përdorur butonat.
Karakteristikat e kalkulatorit të fraksioneve në internet
Llogaritësi i fraksioneve mund të kryejë veprime vetëm në 2 fraksione të thjeshta. Ato mund të jenë ose të sakta (numëruesi më pak se emëruesi), dhe e pasaktë (numëruesi është më i madh se emëruesi). Numrat në numërues dhe emërues nuk mund të jenë negativ ose më të mëdhenj se 999.Llogaritësi ynë në internet zgjidh thyesat dhe u jep përgjigje lloji i duhur- zvogëlon thyesën dhe zgjedh të gjithë pjesën, nëse është e nevojshme.
Nëse keni nevojë të zgjidhni thyesat negative, thjesht përdorni vetitë e minusit. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave negative, minus me minus jep plus. Kjo do të thotë, prodhimi dhe ndarja e thyesave negative është e barabartë me prodhimin dhe ndarjen e të njëjtave pozitive. Nëse një thyesë është negative gjatë shumëzimit ose pjesëtimit, atëherë thjesht hiqni minusin dhe shtoni atë në përgjigje. Kur shtoni thyesa negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur të kishit shtuar të njëjtën gjë thyesat pozitive. Nëse shtoni një thyesa negative, atëherë kjo është njësoj si të zbresësh të njëjtin pozitiv.
Kur zbriten thyesat negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur ato të ndërroheshin dhe të bëheshin pozitive. Kjo do të thotë, minus për minus në këtë rast jep një plus, por rirregullimi i kushteve nuk e ndryshon shumën. Ne përdorim të njëjtat rregulla kur zbresim thyesat, njëra prej të cilave është negative.
Për zgjidhje thyesat e përziera(fraksionet në të cilat pjesë e tërë) thjesht drejtojeni të gjithë pjesën në një thyesë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni të gjithë pjesën me emëruesin dhe shtoni numëruesit.
Nëse ju duhet të zgjidhni 3 ose më shumë thyesa në internet, duhet t'i zgjidhni ato një nga një. Fillimisht numëroni 2 thyesat e para, më pas zgjidheni thyesën tjetër me përgjigjen që merrni, e kështu me radhë. Kryeni veprimet një nga një, 2 thyesa në të njëjtën kohë dhe përfundimisht do të merrni përgjigjen e saktë.
Llogaritësi online funksionon reduktimi i thyesave algjebrike në përputhje me rregullën e reduktimit të thyesave: zëvendësimi i thyesës origjinale fraksion i barabartë, por me numërues dhe emërues më të vogël, d.m.th. pjesëtimi i njëkohshëm i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me më të madhen e tyre të përbashkët pjesëtues i përbashkët(NOD). Llogaritësi shfaq gjithashtu një zgjidhje të detajuar që do t'ju ndihmojë të kuptoni sekuencën e reduktimit.
E dhënë:
Zgjidhja:
Kryerja e reduktimit të fraksionit
duke kontrolluar mundësinë e kryerjes së reduktimit të thyesave algjebrike
1) Përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese
përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese algjebrike
2) Zvogëlimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese
duke zvogëluar numëruesin dhe emëruesin e një thyese algjebrike
3) Zgjedhja e të gjithë pjesës së një thyese
duke ndarë të gjithë pjesën e një thyese algjebrike
4) Shndërrimi i një thyese algjebrike në një thyesë dhjetore
shndërrimi i një thyese algjebrike në dhjetore
Ndihmë për zhvillimin e faqes së internetit të projektit
I nderuar vizitor i faqes.
Nëse nuk keni mundur të gjeni atë që po kërkoni, sigurohuni që të shkruani për të në komente, atë që aktualisht mungon në faqe. Kjo do të na ndihmojë të kuptojmë se në cilin drejtim duhet të ecim më tej, dhe vizitorët e tjerë së shpejti do të mund të marrin materialin e nevojshëm.
Nëse faqja doli të jetë e dobishme për ju, dhuroni faqen për projektin vetëm 2 ₽ dhe ne do të dimë se po ecim në drejtimin e duhur.
Faleminderit që ndaluat!
I. Procedura për reduktimin e një thyese algjebrike duke përdorur një kalkulator në internet:
- Për të zvogëluar një thyesë algjebrike, futni vlerat e numëruesit dhe emëruesit të fraksionit në fushat përkatëse. Nëse thyesa është e përzier, atëherë plotësoni edhe fushën që i përgjigjet të gjithë pjesës së thyesës. Nëse thyesa është e thjeshtë, atëherë lëreni të gjithë fushën e pjesës bosh.
- Për të specifikuar një thyesë negative, vendosni një shenjë minus në të gjithë pjesën e thyesës.
- Në varësi të fraksionit algjebrik të specifikuar, sekuenca e mëposhtme e veprimeve kryhet automatikisht:
- përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese;
- duke zvogëluar numëruesin dhe emëruesin e një thyese me gcd;
- duke nxjerrë në pah të gjithë pjesën e një thyese, nëse numëruesi i thyesës fundore është më i madh se emëruesi.
- shndërrimi i thyesës së fundit algjebrike në një thyesë dhjetore rrumbullakosur në të qindtën më të afërt.
II. Per referim:
Një thyesë është një numër i përbërë nga një ose më shumë pjesë (fraksione) të një njësie. Thyesë e zakonshme(fraksioni i thjeshtë) shkruhet si dy numra (numëruesi i thyesës dhe emëruesi i thyesës) të ndarë nga një shirit horizontal (shiriti i thyesës) që tregon shenjën e pjesëtimit. Numëruesi i një thyese është numri mbi vijën e thyesës. Numëruesi tregon se sa aksione janë marrë nga e tëra. Emëruesi i një thyese është numri nën vijën e thyesës. Emëruesi tregon në sa pjesë të barabarta ndahet e tëra. Një thyesë e thjeshtë është një thyesë që nuk ka një pjesë të plotë. Një fraksion i thjeshtë mund të jetë i duhur ose i papërshtatshëm. Një thyesë e duhur është një thyesë numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj, kështu që një thyesë e duhur është gjithmonë më e vogël se një. Shembull i thyesave të duhura: 8/7, 11/19, 16/17. thyesë jo e duhur - një thyesë numëruesi i së cilës është më i madh se ose e barabartë me emëruesin, pra një thyesë e papërshtatshme është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me një. Shembull i thyesave jo të duhura: 7/6, 8/7, 13/13. thyesa e përzier është një numër që përmban një numër të plotë dhe një thyesë të duhur, dhe tregon shumën e atij numri të plotë dhe të thyesës së duhur. Çdo fraksion i përzier mund të shndërrohet në një fraksion të papërshtatshëm thyesë e thjeshtë. Shembull i thyesave të përziera: 1¼, 2½, 4¾.
III. Shënim:
- Blloku i të dhënave burimore i theksuar e verdhe , Blloku i ndërmjetëm llogaritës i alokuar blu , blloku i zgjidhjes është i theksuar me të gjelbër.
- Për të mbledhur, zbritur, shumëzuar dhe pjesëtuar thyesat e zakonshme ose të përziera, përdorni kalkulatorin online të thyesave me zgjidhje të detajuara.
Ai bazohet në vetinë e tyre themelore: nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me të njëjtin polinom jozero, atëherë do të fitohet një thyesë e barabartë.
Ju vetëm mund të zvogëloni shumëzuesit!
Anëtarët e polinomeve nuk mund të shkurtohen!
Për të reduktuar një thyesë algjebrike, fillimisht duhet të faktorizohen polinomet në numërues dhe emërues.
Le të shohim shembuj të reduktimit të thyesave.
Numëruesi dhe emëruesi i thyesës përmbajnë monomë. Ata përfaqësojnë puna(numrat, variablat dhe fuqitë e tyre), shumëzuesit mund të zvogëlojmë.
Ne i zvogëlojmë numrat me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët, domethënë me numri më i madh, me të cilin ndahet secili prej këtyre numrave. Për 24 dhe 36 kjo është 12. Pas reduktimit, 2 mbetet nga 24 dhe 3 nga 36.
Shkallët zvogëlohen me shkallën c norma më e ulët. Të zvogëlosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin pjesëtues dhe të zbresësh eksponentët.
a² dhe a7 reduktohen në a². Në këtë rast, një mbetet në numëruesin e a² (shkruajmë 1 vetëm në rastin kur pas zvogëlimit nuk ka mbetur asnjë faktor tjetër. Nga 24 mbetet 2, pra nuk shkruajmë 1 të mbetur nga a²). Nga a7, pas reduktimit, a5 mbetet.
b dhe b reduktohen me b, njësitë që rezultojnë nuk shkruhen.
c³º dhe c5 janë shkurtuar në c5. Nga c³º ajo që mbetet është c25, nga c5 është një (ne nuk e shkruajmë atë). Kështu,
Numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese algjebrike janë polinome. Ju nuk mund të anuloni kushtet e polinomeve! (nuk mund të zvogëloni, për shembull, 8x² dhe 2x!). Për të zvogëluar këtë fraksion, ju duhet. Numëruesi ka shumëzues i përbashkët 4x. Le ta heqim nga kllapa:
Si numëruesi ashtu edhe emëruesi kanë të njëjtin faktor (2x-3). Ne e zvogëlojmë thyesën me këtë faktor. Në numërues kemi marrë 4x, në emërues - 1. Sipas 1 vetisë së thyesave algjebrike, thyesa është e barabartë me 4x.
Ju mund të zvogëloni vetëm shumëzuesit (zvogëloni thyesë e dhënë nuk lejohet në 25x²!). Prandaj, polinomet në numëruesin dhe emëruesin e thyesës duhet të faktorizohen.
Në numërues - katror i përsosur shuma, emëruesi është diferenca e katrorëve. Pas zbërthimit duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, marrim:
Ne e zvogëlojmë thyesën me (5x+1) (për ta bërë këtë, kryqëzoni dy në numërues si eksponent, duke lënë (5x+1)² (5x+1)):
Numëruesi ka një faktor të përbashkët 2, le ta heqim atë nga kllapa. Emëruesi është formula për ndryshimin e kubeve:
Si rezultat i zgjerimit, numëruesi dhe emëruesi morën të njëjtin faktor (9+3a+a²). Ne e zvogëlojmë thyesën me të:
Polinomi në numërues përbëhet nga 4 terma. termi i parë me të dytin, i treti me të katërtin dhe hiqni faktorin e përbashkët x² nga kllapat e para. Ne e zbërthejmë emëruesin duke përdorur formulën e shumës së kubeve:
Në numërues, le të nxjerrim faktorin e përbashkët (x+2) nga kllapat:
Zvogëloni thyesën me (x+2):
Për të kuptuar se si të zvogëlojmë thyesat, le të shohim së pari një shembull.
Të zvogëlosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin me të njëjtën gjë. Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me një shifër, kështu që ne mund ta zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në thyesën e re, edhe 180 dhe 210 janë të pjestueshme me 2, kështu që ne e zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në numrat 90 dhe 105, shuma i shifrave është i plotpjesëtueshëm me 3, kështu që të dy këta numra pjesëtohen me 3, ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Në thyesën e re, 30 dhe 35 përfundojnë me 0 dhe 5, që do të thotë që të dy numrat janë të pjesëtueshëm me 5, kështu që zvogëlojmë thyesa me 5. Thyesa rezultuese e gjashtë të shtatësave është e pakalueshme. Kjo është përgjigja përfundimtare.
Mund të arrijmë në të njëjtën përgjigje në një mënyrë tjetër.
Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me zero, që do të thotë se janë të pjesëtueshëm me 10. Ne e zvogëlojmë thyesën me 10. Në thyesën e re, edhe numëruesi 36 edhe emëruesi 42 pjesëtohen me 2. E zvogëlojmë thyesën me 2. Në thyesën e re thyesa tjetër, si numëruesi 18 ashtu edhe emëruesi 21 ndahen me 3, që do të thotë se ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Arritëm në rezultat - gjashtë të shtatat.
Dhe një zgjidhje tjetër.
Herën tjetër do të shohim shembuj të reduktimit të thyesave.
