Seritë alternative janë shenja e Leibniz-it. Konvergjenca absolute dhe e kushtëzuar

imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;

Madje dhe shumat tek me një kufi => seria konvergjon.

1) Vini re se S>0, d.m.th. shenja e shumës përkon me shenjën e termit të parë.

38.Absol dhe konvergjencë e kushtëzuar.

O. Shiko rreshtin (1)

quhet shenja e alternimit.

Testi i Leibniz-it(vizatoni simbolin e rreshtit).

Për serinë (1) сх-я mjafton që vlerat absolute të zvogëlohen dhe →0 kur rritet n, d.m.th.

O. Nëse një seri përbëhet nga vlera absolute të sasive cx-xia, atëherë seria thuhet se është absolutisht konvergjente.

Teorema: Nëse seria është cx-xia absolute, atëherë seria origjinale është xx-xia.

Dokument: 1 shenjë krahasimi

Merrni parasysh rreshtin - një seri vlerash absolute të sasive

Sx është vërtetuar bazuar në kriterin e dytë të krahasimit, pas të cilit seria ref sx është absolutisht.

A. Nëse një seri, një imazh nga vlerat absolute të sasive të saj, është exp-xia, dhe seria origjinale është cx-xia, atëherë quhet me kusht xx-xia.

39.Koncepti i një serie fuqie. Rajoni i konvergjencës së serisë së fuqisë. Teorema e Abelit.

Seritë e formës, ku numrat quhen koeficientë seri, x– ndryshore, e quajtur me qetësi tjetër. Intervali (-R;R) quhet interval i serisë së hapave. Vini re se për x €(-R;R) seria konvergon absolutisht, dhe në pikat x= ± R seri fuqie mund të konvergojnë ose ndryshojnë. Për të gjetur rrezen e konvergjencës, mund të përdorni testet e D'Alembert ose Cauchy. Teorema. Nëse ka | a n +1 / a n |=L, pastaj R=1/L= | a n / a n +1 |. (Dok. Konsideroni serinë a n x n . Aplikoni testin e d'Alembert në të. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Nga kjo rrjedh se nëse L ∙|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, atëherë seria ndryshon. Teorema vërtetohet.) Vini re se nëse L=0, për çdo | x | atëherë R=∞. Nëse L=∞, për çdo x≠0, atëherë R=0. Nëse R=0, atëherë seria konvergon në një pikë të vetme x 0 =0; nëse R=∞, atëherë seria konvergjon në të gjithë vijën numerike. Pra, intervali i konvergjencës së serisë a n x n është (-R;R) . Për të gjetur zonën e konvergjencës së serisë, është e nevojshme të shqyrtohet veçmas konvergjenca në pikat x=R dhe x=-R; varësisht nga rezultatet e këtij hulumtimi, rajoni bujqësor i serisë mund të jetë një nga intervalet: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Teorema e Abelit: 1) Nëse seria e fuqisë a n x n konvergjon në x=x 0, atëherë ajo konvergjon absolutisht për të gjitha x duke përmbushur pabarazinë |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Dok. 1) Meqenëse seri numrash a n x 0 n konvergon, pastaj a n x 0 n =0. Kjo do të thotë se sekuenca e numrave (a n x 0 n ) është e kufizuar Më pas e rishkruajmë serinë e fuqisë në formën a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2). +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . Konsideroni një seri të vlerat absolute. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Por më pas, sipas pjesës së parë të teoremës, seria e fuqisë konvergon për të gjitha | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

Përkufizimi 1

Seria e numrave

\[\ shuma \ limitet _(n=1)^(\infty )\, (-1)^(n-1) \, \cdot a_(n) =a_(1) -a_(2) +a_( 3) -a_(4) +...,\]

ku $a_(n) > 0$ quhet seri alternative.

Për të përcaktuar konvergjencën e serive të tilla, ekziston një kriter i mjaftueshëm për konvergjencë, i quajtur kriteri i Leibniz-it.

Teorema 1 (testi Leibniz)

Lëreni serinë e numrave $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ të plotësojë kushtet:

1. $u_(n) =(-1)^(n-1) \cdot a_(n) ,\, \, \, a_(n) > 0$, d.m.th. kjo seri është e alternuar;
2. termat e kësaj serie ulen në mënyrë monotonike në vlerë absolute: $\left|u_(1) \right|>\left|u_(2) \right|>\left|u_(3) \right|>...\, \, \, $ d.m.th. $a_(n) >a_(n+1) ,\, \, \, \, n=1,\, 2,\, ...$;
3. termi i përbashkët i serisë $a_(n) $ tenton në 0, d.m.th. $\mathop(\lim)\limits_(n\to \infty) a_(n) =0$.

Pastaj seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergjon dhe shuma e saj $S\le a_(1) $.

Dëshmi

1. Le të shqyrtojmë së pari shuma e pjesshme edhe urdhëro $S_(n) =S_(2m) =a_(1) -a_(2) +a_(3) -a_(4) +...+a_(2m-1) -a_(2m) $ dhe le ta shkruajmë në formën: $S_(2m) =(a_(1) -a_(2))+(a_(3) -a_(4))+...+(a_(2m-1) -a_ (2m))$. Sipas kushtit 2) të Teoremës 1, të gjitha shprehjet në kllapa janë pozitive, atëherë shuma $S_(2m) >0$ dhe sekuenca $\left\(S_(2m) \djathtas\)$ rritet në mënyrë monotone:
\

\[\mathop(\lim)\limits_(m\to \infty) S_(2m+1) =\mathop(\lim)\limits_(m\to \infty) (S_(2m) +a_(2m+1 ))=\mathop(\lim)\limits_(m\në \infty) S_(2m) +\mathop(\lim)\limits_(m\në \infty) a_(2m+1) =S.\]

Pra, për të gjitha n (çift ose tek), $\mathop(\lim )\limits_(n\në \infty ) S_(n) =S\le a_(1) $, prandaj, seria origjinale konvergjon. Teorema është e vërtetuar.

Shënim 1

Testi i Leibniz-it mund të zbatohet gjithashtu për seritë për të cilat kushtet e teoremës janë të kënaqura nga një numër $N\në $N.

Shënim 2

Kushti 2) i Teoremës 1 (testi i Leibniz-it) mbi monotoninë e termave të serisë është thelbësor.

Pasoja

$|R_(n) |\le |a_(n+1) |$. Pjesa e mbetur e serisë vlerësohet me modulin e termit të parë të hedhur poshtë të serisë.

Dëshmi

Meqenëse pjesa e mbetur e një serie alternative është gjithashtu një seri alternative, shuma e saj duke përdorur kriterin e Leibniz-it vlerësohet me modulin e termit të parë.

Kjo do të thotë, $|R_(n) |=\majtas|\sum \limits _(k=n+1)^(\infty )a_(n) \right|\le \left|a_(n+1) \ drejtë |$. Dhe termi i parë i pjesës së mbetur të serisë është termi i parë i hedhur poshtë.

Shembulli 1

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

\[\ shuma \ limitet _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) =\, 1-\frac(1)(2) +\frac (1)(3) -\frac(1)(4) +\ldots . \]

Zgjidhje. Le të shënojmë $\frac((-1)^(n-1) )(n) =u_(n) $. Ne aplikojmë testin e Leibniz-it në këtë seri. Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve të teoremës 1: kushti 1) seri alternative $a_(n) =\frac(1)(n) ,\, \, \, u_(n) =(-1)^(n- 1) \cdot a_ (n) ,\, \, \, a_(n) >0$; kushti 2) është i plotësuar: $1>\frac(1)(2) >\frac(1)(3) >\frac(1)(4) >\ldots $; Kushti 3) gjithashtu plotësohet: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(1)(n) =0$. Prandaj sipas kriterit të Leibniz-it këtë seri konvergon, dhe shuma e tij $S\le a_(1) =1$.

Përgjigje: seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) \, $konvergjon.

Shembulli 2

Sa terma të serisë $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n+2) )(n^(2) ) \, $ duhet të merren në merrni serinë e shumës me saktësi 0,01?

Zgjidhje. Kjo seri është e alternuar dhe konvergjente sipas teoremës së Leibniz-it. Le të vlerësojmë mbetjen e tij $n$ -th duke përdorur formulën

\[|R_(n) |=\majtas|\sum \limits _(k=n+1)^(\infty )a_(n) \djathtas|\le \left|a_(n+1) \djathtas| \]

Për të përcaktuar numrin e termave të serisë që duhet të merren për të siguruar saktësinë e kërkuar, është e nevojshme të zgjidhet pabarazia

\[\majtas|R_(n) \djathtas|\le 0.01.\]

Nga vjen $((n+1))^2>100$ ose $n\ge 10$.

Nga kjo është e qartë se është e nevojshme të merren të paktën dhjetë termat e parë të serisë në mënyrë që kur zëvendësohet shuma e një serie me shumën e termave të saj të parë $n$, gabimi të jetë më i vogël se 0.01.

Shembulli 3

Eksploroni rreshtin

\[\sum\limits^(\infty )_(n=1)(((-1))^nn)\]

për konvergjencë

Termi i zakonshëm i serisë përfshin faktorin $((-1))^n$, që do të thotë se duhet të përdorim kriterin Leibniz

1. Kontrollimi i rreshtit për shtrirje. Zakonisht në këtë pikë të vendimit seria përshkruhet në detaje $\sum\limits^(\infty )_(n=1)(((-1))^nn)=-1+2-3+4\dots $ dhe merret një vendim "Seriali është i alternuar në shenjë."
2. A ulen termat e serisë në modul? Kufiri duhet të zgjidhet
\[(\mathop(lim)_(n\në \infty) a_n\ )\]

e cila më së shpeshti është shumë e thjeshtë.

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty) a_n\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty) n\ )=+\infty \ne 0\]

termat e serisë nuk ulen në modul. Meqë ra fjala, nuk ka më nevojë të diskutohet për monotoninë e uljes.

Përfundim: seria ndryshon.

Shembulli 4

Shqyrtoni konvergjencën e shenjave të serisë alternative:

\[\ shuma \ limitet _(n=1)^(\infty )\left(-1\djathtas)^(n+1) \frac(1)(n^(2) ) =1-\frac(1 )(2^(2) ) +\frac(1)(3^(2) ) -\frac(1)(4^(2) ) +... \]

Le të hartojmë një seri vlerash absolute të termave të serisë

\ \[\mathop(\lim)\limits_(n\në \infty) a_(n) =\mathop(\lim)\limits_(n\në \infty) \frac(1)(n^(2)) =0\]

Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n^(2) ) $ konvergjon sipas testit integral. Ky është rasti i serisë $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n^(p)) $, ku $ p = 2 > 1$.

Përkufizimi 5. Seritë e numrave që përmbajnë terma pozitivë dhe negativë quhen seri të alternuara.

Seri, të gjithë anëtarët e të cilit numrat negativë, nuk përfaqësojnë asgjë të re në krahasim me seritë me shenjë pozitive, pasi ato përftohen duke shumëzuar seritë me shenjë pozitive me – 1.

Le të fillojmë të studiojmë seritë alternative me një rast të veçantë - seritë alternative.

Përkufizimi 6. Seritë e numrave të formularit ju 1 -u 2 +ju 3 -u 4 +…++(- 1) n- 1. u n +…, Ku u n– moduli i një anëtari të një serie quhet seri numrash alternative.

Teorema 9. (Testi i Leibniz )

Nëse për një seri numrash të alternuar

Dy kushte plotësohen:

Kushtet e serisë zvogëlohen në modul ju 1>ju 2>…>u n>…,

atëherë seria (19) konvergon, dhe shuma e saj është pozitive dhe nuk e kalon termin e parë të serisë.

Dëshmi. Merrni parasysh shumën e pjesshme numër çift anëtarët e një numri S 2n=(ju 1 -u 2)+(ju 3 -ju 4)+…+(ju 2n -1 -ju 2n).

Sipas kushteve ju 1>ju 2>…>ju 2n -1>ju 2n, domethënë, të gjitha ndryshimet në kllapa janë pozitive, prandaj, S 2n rritet me rritjen n Dhe S 2n>0 për çdo n.

Ne anen tjeter S 2n=ju 1 -[(ju 2 -u 3)+(ju 4 -ju 5)+…+(ju 2n -2 -ju 2n -1)+ju 2n]. Shprehja në kllapa katrore është pozitive dhe S 2n>0, pra S 2n<ju 1 për këdo n. Kështu, sekuenca e shumave të pjesshme S 2n rritet dhe kufizohet, prandaj ka një fund S 2n=S. Në të njëjtën kohë 0<S≤ju 1.

Le të shqyrtojmë tani shumën e pjesshme të një numri tek të termave të serisë S 2n+1=S 2n+ju 2n+1. Le të kalojmë në barazinë e fundit në kufirin në n →∞: S 2n +1 =S 2n+ju 2n +1 =S+ 0= S. Kështu, shumat e pjesshme të numrave çift dhe tek të termave të serisë kanë të njëjtin kufi S, Kjo është arsyeja pse S n=S, domethënë kjo seri konvergon. Teorema është e vërtetuar.

Shembull.

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Le të zbatojmë testin e Leibniz-it.

u n= >u n+1=

u n=

Të dy kushtet e kriterit të Leibniz-it janë të kënaqur, prandaj seria konvergon.

Shënime.

1. Teorema e Leibniz-it është e vlefshme edhe nëse kushti u n >u n + 1 ekzekutohet duke filluar nga një numër N.

2. Gjendja u n >u n +1 nuk është e nevojshme. Seria mund të konvergojë nëse nuk qëndron. Për shembull, një seri
konvergon si diferencë e dy serive konvergjente edhe pse kushti u n >u n +1 nuk ekzekutohet.

Përkufizimi 8. Nëse seri të alternuara konvergon, por një seri e përbërë nga vlerat absolute të termave të kësaj serie divergjent, atëherë seria e alternuar thuhet se konvergjon me kusht.

Përkufizimi 9. Nëse si vetë seria e alternuar ashtu edhe seria e përbërë nga vlerat absolute të termave të saj konvergojnë, atëherë thuhet se seria e alternuar konvergjon absolutisht.

Shembull.

Përcaktoni natyrën e konvergjencës së serisë

Është e qartë se kjo seri konvergon sipas kriterit të Leibniz-it. Vërtet: Dhe u n=

Një seri e përbërë nga vlera absolute të termave të një serie të caktuar është një seri harmonike divergjente. Prandaj, kjo seri konvergjon me kusht.

Teorema 10 . (Një shenjë e mjaftueshme e konvergjencës së një serie alternative ose një shenjë e konvergjencës absolute)

u 1 +u 2 +…+u n+…= (20)

seritë e alternuara dhe le të konvergojnë seritë e përbëra nga vlerat absolute të termave të saj

│ju 1│+│ ju 2│+…+│ u n │+…= │ u n │.(21)

Pastaj seria (20) gjithashtu konvergon.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë serinë ndihmëse

(ju 1+│ju 1│)+(ju 2+│ju 2│)+…+(u n+│u n│)+…= (u n+│u n│).(22)

Natyrisht 0≤ u n+│u n│≤2│u n │ për të gjithë n=1, 2, …. Seria (21) konvergon sipas kushtit, kështu që seria 2│ konvergjon u n│, atëherë, bazuar në kriterin e krahasimit, seria (22) konvergjon. Seria (20) është diferenca e dy serive konvergjente (22) dhe (21), kështu që konvergjon gjithashtu. Teorema është e vërtetuar.

Koment.

Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Nëse një seri e caktuar konvergon, atëherë një seri e përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të saj mund të ndryshojë.

Për shembull, një seri konvergjon sipas kriterit të Leibniz-it, por një seri divergjente (kjo është një seri harmonike).

Pjesa e mbetur e serisë dhe vlerësimi i saj

Konsideroni një seri numrash konvergjente

Llogaritja e shumës së një serie S= zakonisht teknikisht shumë e vështirë. Prandaj, si S merrni S≈S n. Saktësia e kësaj barazie rritet kur rritet n.

Përkufizimi 7. Nëse seria e numrave konvergon, atëherë ndryshimi Rn=S-S n thirrur n- pjesa e mbetur e rreshtit.

Kështu, Rn paraqet një seri numrash konvergjente:

Rn= u n+1 +u n+2 +… .

vini re, se R n = (S-S n)=S-S=0.

Gabim absolut kur zëvendësohet shuma e një serie S shumën e saj të pjesshme S n e barabartë me | Rn |=|S-S n |. Kështu, nëse ju duhet të gjeni shumën e një serie të saktë për të E>0, atëherë duhet të marrim shumën e numrit n të termave të parë të serisë në mënyrë që kushti | Rn |< E. Megjithatë, në rast i përgjithshëm gjeni saktësisht Rn dështon.

Teorema 11.(rreth vlerësimit të pjesës së mbetur të një serie numrash alternative)

Nëse një seri numrash alternative konvergjon sipas kriterit të Leibniz-it, atëherë është n- mbetja në vlerë absolute nuk e kalon modulin ( n+1) anëtari i serisë.

Dëshmi. Lëreni rreshtin ju 1 -u 2 +ju 3 -u 4 +…+ (-1)n -1.u n +… konvergon sipas kriterit të Leibniz-it. Pastaj n S≈1-0,166≈0,84.

Një seri quhet e alternuar nëse çdo dy anëtarë ngjitur kanë shenja të ndryshme, d.m.th. seritë e formës u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, ku u 1, u 2, …, u n, … janë pozitive.

Teorema e Leibniz-it. Nëse termat e një serie alternative, të marra në vlerë absolute, zvogëlohen në mënyrë monotonike dhe moduli anëtar i përgjithshëm seria tenton në zero në , d.m.th.
, atëherë seria konvergon.

Shembulli 1.

Hulumtoni konvergjencën e një serie alternative:

.

Kushtet e serisë, të marra me vlerë absolute, zvogëlohen në mënyrë monotonike:

Seriali konvergon.

1.6. Seri alternative. Konvergjenca absolute dhe e kushtëzuar e serive

Rreshti u 1 + u 2 +…+ u n +… quhet i alternuar nëse anëtarët e tij përfshijnë pozitivë dhe negativë.

Seritë alternative janë një rast i veçantë i serive alternative.

Teorema. Jepet një seri e alternuar u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Le të bëjmë një seri | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Nëse seria (2), e përbërë nga vlerat absolute të termave të serisë (1), konvergjon, atëherë seria (1) konvergjon.

Përkufizimi. Seri alternative u 1 + u 2 +…+ u n +… quhet absolutisht konvergjent nëse një seri e përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të saj konvergon | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Nëse seria alternative (1) konvergon, dhe seria (2), e përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të saj, divergjente, atëherë kjo seri alternative (1) quhet seri konvergjente me kusht ose jo absolutisht.

Shembulli 1.

Shqyrtoni seritë për konvergjencë dhe konvergjencë absolute:
.

Një seri e alternuar konvergjon sipas teoremës së Leibniz-it, sepse
. Kushtet e serisë ulen në mënyrë monotone dhe
. Tani ne e shqyrtojmë këtë seri për konvergjencë absolute. Le të shqyrtojmë një seri të përbërë nga vlerat absolute të termave të kësaj serie: . Ne hetojmë konvergjencën e kësaj serie duke përdorur testin e d'Alembert:
. Seriali konvergon. Kjo do të thotë se seria e dhënë e alternuar konvergjon absolutisht.

Shembulli 2.

Shqyrtoni seritë për konvergjencë dhe konvergjencë absolute:
.

Sipas teoremës së Lajbnicit
. Seriali konvergon. Një seri e përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të një serie të caktuar ka formën
. Duke përdorur kriterin e d'Alembert marrim
. Seria konvergon, që do të thotë se seria e dhënë e alternuar konvergjon absolutisht.

2. Seri funksionale. Rajoni i konvergjencës së serisë funksionale

Konsideroni një sekuencë funksionesh të përcaktuara në një interval të caktuar [ a, b] :

f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x) … f n (x), ….

Duke marrë këto funksione si anëtarë të serisë, ne formojmë serinë:

f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) + … + f n (x) + …, (1)

që quhet diapazoni funksional.

Për shembull: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

Në një rast të veçantë, seria funksionale është seria:

që quhet seri fuqie, Ku
numra konstante të thirrur koeficientët e termave të serisë së fuqisë.

Seria e fuqisë mund të shkruhet gjithashtu në këtë formë:

Ku
ndonjë numër konstant.

Në një fikse të caktuar ose vlerë numerike x marrim një seri numrash që mund të jenë konvergjente ose divergjente.

Përkufizimi : Set i të gjitha vlerave X(ose të gjitha pikat X vija numerike) për të cilën seria e fuqisë konvergon quhet rajoni i konvergjencës së serisë së fuqisë.

Shembulli 1.

Gjeni rajonin e konvergjencës së serisë së fuqisë:

Zgjidhje (1 mënyrë).

Le të zbatojmë testin e d'Alembert.

Meqenëse testi i d'Alembert është i zbatueshëm vetëm për seritë me anëtarë pozitivë, atëherë shprehja nën shenjën e kufirit merret në vlerë absolute.

Sipas testit të d'Alembert, një seri konvergjon nëse
Dhe
.

Ato. seria konvergon nëse < 1, откуда
ose -3< x<3.

Marrim intervalin e konvergjencës së kësaj serie fuqie: (-3;3).

Në pikat ekstreme të intervalit x =
, do të ketë
.

Në këtë rast, teorema e d'Alembert nuk i përgjigjet pyetjes së konvergjencës së serisë.

Ne shqyrtojmë serinë për konvergjencë në pikat kufitare:

x = -3,

Marrim shenjën e serisë së alternuar. Ne e shqyrtojmë atë për konvergjencë duke përdorur kriterin e Leibniz:

1.
termat e serisë, të marra në vlerë absolute, ulen në mënyrë monotone.

2.
Prandaj, seria konvergon në pikën x = -3.

x = 3,

Ne kemi një seri pozitive. Le të zbatojmë testin integral Cauchy për konvergjencën e serisë.

termat e serisë ulen në mënyrë monotone.

Funksioni
në mes
:

.

Integrali i papërshtatshëm divergjen, që do të thotë se seria në pikën x=3 divergon.

Përgjigje:

Mënyra e dytë Përcaktimi i rajonit të konvergjencës së një serie fuqie bazohet në aplikimin e formulës për rrezen e konvergjencës së një serie fuqie:

, Ku Dhe
shanset Dhe
anëtarët e serialit.

Për këtë seri kemi:

. R=3.

seria konvergon

Intervali i konvergjencës së serisë: -3< x<3.

Më pas, si në rastin e mëparshëm, duhet të eksplorojmë në pikat kufitare: x =
.

Përgjigje: rajoni i konvergjencës së serisë [-3;3).

Vini re se se mënyra e dytë për të përcaktuar rajonin e konvergjencës së një serie fuqie është përdorimi i formulës për rrezen e konvergjencës së serisë
më racionale.

Shembulli 2.

Gjeni rajonin e konvergjencës së serisë së fuqisë:
.

Ne do të gjejmë R– rrezja e konvergjencës së serisë.

,
,
.

.
.

Intervali i konvergjencës së serisë (- ;).

Ne shqyrtojmë serinë për konvergjencë në pika x = -Dhe x = .

x = - ,

Marrim shenjën e serisë së alternuar. Le të zbatojmë testin e Leibniz:

1.
termat e serisë, të marra në vlerë absolute, ulen në mënyrë monotone.

2.
, pra, seria në pikën x = - konvergon.

x = ,
.

Kemi një grindje me anëtarë pozitivë. Le të zbatojmë testin integral Cauchy.

Këtu
:

, anëtarë të serialit
zvogëlohet në mënyrë monotone.

Funksioni
në mes
:

.

Integrali i papërshtatshëm ndryshon, seria ndryshon.

Përgjigje: [-;) - zona e konvergjencës së serisë.

Teorema është formuluar si më poshtë. Seri alternative

konvergon nëse plotësohen të dy kushtet:

Pasoja

Një përfundim rrjedh nga teorema e Leibniz-it që na lejon të vlerësojmë gabimin në llogaritjen e një shume jo të plotë të një serie:

Mbetja e një serie alternative konvergjente R n = S − S n do të jetë më pak në vlerë absolute se termi i parë i hedhur poshtë:

Burimet

• Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Manuali i Matematikës. - Ed. 7, stereotip. - M.: Shtëpia Botuese Shtetërore e Letërsisë Teknike dhe Teorike, 1967. - F. 296.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Shenja Leibniz" në fjalorë të tjerë:

Testi i Dirichlet-it është një teoremë që tregon kushte të mjaftueshme për konvergjencën e integraleve të pahijshme dhe përmbledhjen e serive të pafundme. Emërtuar sipas matematikanit gjerman Lejeune Dirichlet. Përmbajtja... Wikipedia

Testi Dini është një test për konvergjencën pikësore të një serie Fourier. Përkundër faktit se seria Fourier e një funksioni nga konvergjon në të në kuptimin e normës, ajo nuk është aspak e detyruar të konvergojë në të pikësisht (edhe në rastin e një funksioni të vazhdueshëm). Megjithatë, me disa... ... Wikipedia

Një shenjë krahasimi është një deklaratë për njëkohshmërinë e divergjencës ose konvergjencës së dy serive, bazuar në një krahasim të termave të këtyre serive. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Prova ... Wikipedia

Një test për konvergjencën e një serie numrash, i propozuar nga Lobachevsky midis 1834 dhe 1836. Le të ketë një sekuencë në rënie të numrave pozitivë, atëherë seria konvergjon ose divergjent njëkohësisht me serinë... Wikipedia

Një shenjë e konvergjencës së serisë Furier: nëse një funksion periodik ka variacion të kufizuar në një segment, atëherë seria e tij Furier konvergjon në çdo pikë në një numër; nëse funksioni është i vazhdueshëm në segmentin... Wikipedia

- (Testi i Raabe Duhamel) një test për konvergjencën e serive të numrave pozitivë, i krijuar nga Joseph Ludwig Raabe dhe në mënyrë të pavarur nga Jean Marie Duhamel. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Formulat ... Wikipedia

Një test për konvergjencën e serive të numrave me terma pozitivë, i krijuar nga Joseph Bertrand. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Formulimi në formë ekstreme ... Wikipedia

Një kriter i përgjithshëm për konvergjencën e serive të numrave me terma pozitivë, i vendosur në 1812 nga Carl Gauss, kur studioi konvergjencën e një serie hipergjeometrike. Formulimi Le të jepet një seri dhe një sekuencë numerike e kufizuar. Atëherë nëse... ... Wikipedia

Një test për konvergjencën e serive të numrave me terma pozitivë, i krijuar nga Vasily Ermakov. Specifikimi i tij qëndron në faktin se i kalon të gjitha shenjat e tjera në ndjeshmërinë e tij. Kjo vepër u botua në artikujt: “Teoria e përgjithshme... ... Wikipedia

Një test për konvergjencën e serive të numrave me terma pozitivë, i krijuar nga Pierre Jamet. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Formulimi në formë ekstreme ... Wikipedia