Bir doğrunun ve bir düzlemin paralelliğine ilişkin kanıta ek. B doğrusu üzerinde M noktasıyla çakışmayan N noktasını alıyoruz, yani N ∈ b, N≠M

Aksiyomlardan bazı sonuçlar

Teorem 1:

Bir düzlem düz bir çizgiden ve onun üzerinde olmayan bir noktadan geçer ve yalnızca bir tanesi.

Verilen: M ₵ a

Kanıtlayın: 1) α: a vardır∈ α, M ∈ b ∈ α

2) α tek kişidir

Kanıt:

1) Düz bir çizgi üzerinde ve noktaları seç P Ve Q. O zaman 3 puanımız var - R, S, M, aynı düz çizgide uzanmayanlar.

2) A1 aksiyomuna göre bir düzlem, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer; bir düz çizgi ve bir nokta içeren α düzlemi M, var.

3) Şimdi bunu kanıtlayalımα tek kişi. Hem M noktasından hem de a düz çizgisinden geçen bir β düzleminin olduğunu varsayalım, ancak bu düzlem noktalardan geçer.R, Q, M. Ve üç puandan sonra P, S, M, aksiyom 1'e göre aynı düz çizgi üzerinde uzanmaz, yalnızca bir düzlem geçer.

4) Bu, bu düzlemin α düzlemiyle çakıştığı anlamına gelir.Bu nedenle 1) Düz bir çizgi üzerinde ve noktaları seçin P Ve Q. O zaman 3 puanımız var - P, Q, M, aynı düz çizgide uzanmayanlar.Bu nedenle α benzersizdir.

Teorem kanıtlandı.

1) b doğrusu üzerinde M noktasıyla çakışmayan N noktasını alın, yani N ∈ b, N≠M

2) O zaman elimizde a doğrusuna ait olmayan bir N noktası var. Önceki teoreme göre, bir düzlem düz bir çizgiden ve onun üzerinde olmayan bir noktadan geçer. Buna α düzlemi diyelim. Bu, a doğrusundan ve N noktasından geçen böyle bir düzlemin var olduğu anlamına gelir.

3) Bu uçağın benzersizliğini kanıtlayalım. Tam tersini varsayalım. Hem a doğrusundan hem de b doğrusundan geçen bir β düzlemi olsun. Ama sonra aynı zamanda a doğrusundan ve N noktasından da geçer. Ancak önceki teoreme göre bu düzlem benzersizdir, yani. β düzlemi α düzlemiyle çakışır.

4) Bu, kesişen iki çizgiden geçen benzersiz bir düzlemin varlığını kanıtladığımız anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Paralel doğrular üzerine teorem

Teorem:

Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel bir çizgi geçer.

Verilen: düz bir, M₵ bir

Kanıtlamak:Tek bir düz çizgi varb ∥ a, M ∈ b

Kanıt:
1) Düz bir a çizgisi ve onun üzerinde yer almayan bir M noktası aracılığıyla benzersiz bir düzlem çizilebilir (Sonuç 1). α düzleminde M'den geçen, a'ya paralel bir b düz çizgisi çizebiliriz.
2) Onun tek olduğunu kanıtlayalım. M noktasından geçen ve a doğrusuna paralel başka bir c doğrusu olduğunu varsayalım. A ve c paralel düz çizgilerinin β düzleminde yer almasına izin verin. Daha sonra β, M'den ve a düz çizgisinden geçer. Ancak α düzlemi a düz çizgisinden ve M noktasından geçer.
3) Bu, α ve β'nın aynı olduğu anlamına gelir. Paralel çizgiler aksiyomundan, düzlemde içinden geçen tek bir düz çizgi olduğundan b ve c çizgilerinin çakıştığı sonucu çıkar. bu nokta ve belirli bir çizgiye paralel.
Teorem kanıtlandı.

Düz bir çizgi ve bir düzlem, eğer sahip değillerse paralel olarak adlandırılır. ortak noktalar. Belirli bir düzlemde yer almayan bir doğru bu düzlemde yer alan bir doğruya paralel ise

1. Bir düzlem, başka bir düzleme paralel belirli bir çizgiden geçip bu düzlemle kesişiyorsa, düzlemlerin kesişme çizgisi verilen çizgiye paraleldir.

2. İki paralel çizgiden biri belirli bir düzleme paralelse ve diğer doğrunun bu düzlemle ortak noktası varsa bu doğru, verilen düzlemde yer alır. düzlem ise düzlemin kendisine paraleldir.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin göreceli konumu durumları: a) düz çizgi düzlemde yer alır;

b) bir doğru ile düzlemin tek bir ortak noktası vardır; c) bir doğru ile düzlemin tek bir ortak noktası yoktur.

2. Dik üçgen yöntemini kullanarak bir düz çizgi parçasının genel konumdaki doğal değerinin belirlenmesi.

Bir AB doğru parçasının genel konumdaki doğal değeri (n.v.), bir ABC dik üçgeninin hipotenüsüdür. Bu üçgende AK ayağı, π1 projeksiyon düzlemine paraleldir ve A "B" segmentinin yatay izdüşümüne eşittir. BK ayağı, A ve B noktalarının π1 düzleminden uzaklıkları farkına eşittir.

Genel durumda, bir düz çizgi parçasının doğal değerini belirlemek için, bir bacağı parçanın yatay (ön) izdüşümü olan, diğer bacağı eşit bir parça olan bir dik üçgenin hipotenüsünü oluşturmak gerekir. segmentin uç noktalarının Z (Y) koordinatlarındaki cebirsel farkın değeri.

Bir dik üçgenden, α açısını bulun - düz çizginin yatay projeksiyon düzlemine eğim açısı.

Düz bir çizginin çıkıntıların ön düzlemine eğim açısını belirlemek için, segmentin önden izdüşümünde benzer yapıların yapılması gerekir.

3. Düzlemin ana çizgileri (yatay, ön).

P düzleminin yatayı bu düzlemde yer alan ve yatay düzleme paralel olan düz bir çizgidir. Yatay, yatay düzleme paralel düz bir çizgi olarak ön projeksiyonѓ, x eksenine paralel.

P düzleminin ön düzlemi, bu düzlemde yer alan ve ön düzleme paralel olan düz bir çizgidir.

Ön, ön düzleme paralel düz bir çizgidir ve yatay izdüşümü x eksenine paraleldir.

4. Uzaydaki çizgilerin göreceli konumu. Rakip noktalara dayalı görünürlük tespiti. Uzayda iki düz çizgi farklı konumlara sahip olabilir: A) kesişir (aynı düzlemde yer alır). Özel bir kesişme durumu dik açılardadır; B) paralel olabilir (aynı düzlemde yer alır); C) çakışır - özel bir paralellik durumu; D) kesişir (farklı düzlemlerde bulunur ve kesişmez).

P1'e izdüşümleri çakışan noktalara denir. yarışıyor P1 düzlemine göre ve P2'ye izdüşümleri çakışan noktalara denir. yarışıyor P2 düzlemine göre.

K ve L noktaları P1 düzlemine göre rekabet halindedir, çünkü P1 düzleminde K ve L noktaları tek bir noktaya yansıtılır: K1 = L1.

K noktası L noktasından daha yüksektir çünkü K2, L2 noktasından daha yüksektir, bu nedenle K1, P1 üzerinde görünür.

Temel geometri nesnelerin kavramlarını ve ilişkilerini inceler. Açık bir gerekçe olmadan kişi gezinemez uygulama alanı. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki paralelliğin işareti uzay geometrisine atılan ilk adımdır. Başlangıç kategorilerine hakim olma yaklaşmanıza izin verecek kesinliğin, mantığın ve netliğin büyüleyici dünyasına.

Nesnelerin korelasyonu: olası seçenekler

Stereometri dünyayı anlamak için bir araçtır. Nesnelerin birbirleriyle ilişkilerini inceliyor ve cetvel olmadan mesafelerin nasıl hesaplanacağını öğretiyor. Başarılı uygulama gerektirir temel kavramlara hakim olun.

Bir a yüzeyi ve bir l çizgisi var. Nesne ilişkilerinin üç durumu vardır. Kesişme noktalarına göre belirlenirler. Hatırlanması kolay:

0 puan - paralel;
1 puan - karşılıklı olarak kesişir;
sonsuz sayıda - düz çizgi düzlemde yer alır.

Nesnelerin paralellik işaretini tanımlamak kolaydır. a yüzeyinde || şeklinde bir çizgi var ben, sonra ben || A.

Basit bir ifade kanıt gerektirir. Yüzeyin çizgilerle çizilmesine izin verin: l || C. Ω a = c cinsinden. A ile ortak bir noktamız olsun. P'de yatmalı. Bu şu koşulla çelişiyor: l || C. O halde l, a düzlemine paraleldir. Başlangıç konumu Sağ.

Önemli! Boşlukta en az bir çizgi var || düz yüzey. Bu, başlangıç geometrisi (planimetri) ifadesiyle tutarlıdır.

Basit bir düşünce: a, birden fazla l noktasına aittir, bu da l düz çizgisinin tamamen a'ya ait olduğu anlamına gelir.

bir || sadece her ihtimale karşı tek bir kesişim noktasının olmaması.

Bu, bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralelliğin mantıksal bir tanımıdır.

Bulması kolay pratik uygulama hükümler. Bir doğrunun bir düzleme paralel olduğu nasıl kanıtlanır?

Çalışılan özelliği kullanmak yeterlidir.

Bilmek ne işe yarar

Sorunları yetkin bir şekilde çözmek için nesnelerin ek konumlarını incelemeniz gerekir. Temel, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki paralelliğin işaretidir. Kullanımı diğer unsurların anlaşılmasını kolaylaştıracaktır. Uzayın geometrisi özel durumları dikkate alır.

Stereometride kesişmeler

Önceki nesneler: düz yüzey a, satırlar c, l. Birbirlerinin yanında nasıllar? || ile l. L a ile kesişiyor. Anlaması kolay: c kesinlikle a ile kesişecektir. Bu fikir bir düzlemin paralel doğrularla kesişmesiyle ilgili bir lemmadır.

Faaliyet alanı genişliyor. İncelenen nesnelere c yüzeyi eklenir. O, l'in sahibi. Orijinal nesnelerde hiçbir şey değişmez: l || A. Yine çok basit: düzlemlerin kesişmesi durumunda ortak hat D || l. Konsept hemen şu şekilde ortaya çıkıyor: hangi iki düzleme kesişen denir. Ortak bir çizgiye sahip olanlar.

Hangi teoremlerin incelenmesi gerekiyor?

Nesnelerin ilişkisine ilişkin ana kavramlar, ana ifadelerin tanımlanmasına yol açar. Onlar kapsamlı deliller gerektirir. Birincisi: bir doğru ile bir düzlemin paralelliği ile ilgili teoremler. Çeşitli vakalar değerlendiriliyor.

Nesneler: P, Q, R yüzeyleri, AB, CD düz çizgileri. Koşul: P||Q, R bunları kesiyor. Doğal olarak AB||CD.

Araştırma konuları: AB, CD, A1B1, C1D1 hatları. AB, CD'yi bir düzlemde keser, A1B1, C1D1'i diğer düzlemde keser. AB||A1B1, CD||C1D1. Sonuç: kesişen çiftleri içeren yüzeyler paralel çizgiler, ||.

Yeni bir konsept ortaya çıkıyor . Kesişen çizgilerin kendisi paralel değildir. paralel düzlemlerde bulunmalarına rağmen. Bunlar C1D1 ve AB, A1B1 ve CD'dir. Bu fenomen pratik stereometride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Doğal ifade: kesişen çizgilerden biri aracılığıyla gerçektir belirtilen düzleme paralel yalnızca bir düzlem vardır.

O zaman iz teoremine ulaşmak kolaydır. Bu, bir doğru ile bir yüzeyin paralelliğiyle ilgili üçüncü ifadedir. Düz bir l çizgisi var. O || A. aitim. Ω a = d'de. Sadece olası seçenek:d || l.

Önemli! Düz bir çizgiye ve bir düzleme || denir. yokluğunda ortak tesisler- puan.

Paralelliğin özellikleri ve kanıtları

Düz yüzeylerin düzenlenmesi kavramına ulaşmak kolaydır:

boş ortak noktalar kümesi (paralel olarak adlandırılır);
düz bir çizgide kesişir.

Stereometride kullanılırlar Paralelliğin özellikleri. Herhangi bir mekansal resmin yüzeyleri ve çizgileri vardır. Sorunları başarılı bir şekilde çözmek için temel teoremleri incelemeniz gerekir:

İncelenmekte olan nesneler: a || B; c Ω b = l, c Ω a = m. Sonuç: l ||m. Varsayım kanıt gerektirir. l ve m'nin konumu ikisinden biridir: kesişen veya paralel. Ancak ikinci durumda yüzeylerin ortak noktaları yoktur. Sonra ben || M. Bu ifade kanıtlanmıştır. Unutulmamalıdır: Eğer bir çizgi bir düzlemde bulunuyorsa, birden fazla kesişme noktasına sahiptirler.

Bir a yüzeyi vardır ve A noktası a'ya ait değildir. O halde yalnızca bir yüzey vardır b || A'dan geçiş. Konumu kanıtlamak basittir. l Ωm olsun; l, m a'ya aittir. Her birinin ve A'nın içinden bir düzlem inşa edilir. A'yı geçiyor. İçinde A'dan geçen bir doğru var ve || A. A noktasında kesişirler. Tek bir yüzey oluştururlar b || A.

L ve m eğri çizgileri var. Sonra || l ve m'nin ait olduğu a ve b yüzeyleri. Bunu yapmak mantıklı: l ve m'yi seçin keyfi noktalar. m1 harca || m, l1 || l. Çiftler halinde kesişen çizgiler || => bir || B. Durum kanıtlandı.

Bir düz çizginin ve düzlemin paralellik özelliklerinin bilgisi, bunları pratikte ustaca uygulamanıza olanak sağlayacaktır. Basit ve mantıksal kanıtlar, stereometrinin büyüleyici dünyasında gezinmenize yardımcı olacaktır.

Düzlemler: Paralellik Değerlendirmesi

Konsepti açıklamak kolaydır. Soru: Bir doğru ile bir düzlemin paralel olmasının ne anlama geldiği çözüldü. Uzay geometrisinin ilk kategorilerinin incelenmesi daha karmaşık bir ifadeye yol açtı.

Karar verirken uygulamalı problemler paralellik özelliği uygulanır. Basit açıklama: l Ω m, l1 Ω m1, l, m'nin a, l1, m1 – b'ye ait olduğunu varsayalım. Bu durumda ben || l1, m || m1. Sonra bir || B.

Başvuru yok matematiksel semboller: Çiftler halinde kesişen paralel çizgiler boyunca çizilen düzlemlere paralel denir.

Stereometri incelemeleri özellikler paralel düzlemler . Teoremlerle tanımlanırlar:

İncelenmekte olan nesneler: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Sonra ben || M. Kanıtlar açık. ve Doğrular aynı düzlemde yer alıyorsa || veya kesişir. Doğrunun ve yüzeyin paralelliği ile ilgili ifade uygulanmalıdır. O zaman şu ortaya çıkıyor: l ve m kesişemez. Geriye kalan tek şey ben || M.