Düz çizgi. Bir çizginin denklemi

İki puan verilsin M(X 1 ,sen 1) ve N(X 2,sen 2). Bu noktalardan geçen doğrunun denklemini bulalım.

Bu doğru bu noktadan geçtiği için M, o zaman formül (1.13)'e göre denklemi şu şekildedir:

sen – e 1 = k(X–x 1),

Nerede k– bilinmeyen açısal katsayı.

Bu katsayının değeri istenilen düz çizginin noktadan geçmesi koşulundan belirlenir. N, bu da koordinatlarının denklemi (1.13) karşıladığı anlamına gelir

e 2 – e 1 = k(X 2 – X 1),

Buradan bu çizginin eğimini bulabilirsiniz:

,

Veya dönüşümden sonra

(1.14)

Formül (1.14) şunu belirler: İki noktadan geçen çizginin denklemi M(X 1, e 1) ve N(X 2, e 2).

Puanların olduğu özel durumda M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, koordinat eksenleri üzerinde yer alır, denklem (1.14) daha basit bir form alacaktır

Denklem (1.15) isminde Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi, Burada A Ve B eksenler üzerinde düz bir çizgiyle kesilen parçaları belirtir (Şekil 1.6).

Şekil 1.6

Örnek 1.10. Noktalardan geçen bir doğrunun denklemini yazın M(1, 2) ve B(3, –1).

. (1.14)’e göre istenilen doğrunun denklemi şu şekildedir:

2(e – 2) = -3(X – 1).

Tüm üyeler şuraya aktarılıyor: sol taraf sonunda gerekli denklemi elde ederiz

3X + 2e – 7 = 0.

Örnek 1.11. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazın M(2, 1) ve doğruların kesişme noktası X+ Y- 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Bu denklemleri birlikte çözerek doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını bulacağız.

Bu denklemleri terim terim toplarsak 2 elde ederiz. X+ 1 = 0, dolayısıyla . Bulunan değeri herhangi bir denklemde değiştirerek ordinatın değerini buluruz sen:

Şimdi (2, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım ve:

veya .

Dolayısıyla veya –5( e – 1) = X – 2.

Sonunda istenilen doğrunun denklemini formda elde ederiz. X + 5e – 7 = 0.

Örnek 1.12. Noktalardan geçen doğrunun denklemini bulun M(2.1) ve N(2,3).

Formül (1.14)'ü kullanarak denklemi elde ederiz

İkinci payda olduğundan hiçbir anlamı yok sıfıra eşit. Problemin koşullarından her iki noktanın apsislerinin aynı değere sahip olduğu açıktır. Bu, istenen düz çizginin eksene paralel olduğu anlamına gelir OY ve denklemi: X = 2.

Yorum . Formül (1.14)'ü kullanarak bir çizginin denklemini yazarken paydalardan biri sıfıra eşitse, karşılık gelen payın sıfıra eşitlenmesiyle istenen denklem elde edilebilir.

Düzlemde bir çizgiyi tanımlamanın diğer yollarını düşünelim.

1. Sıfırdan farklı bir vektörün verilen çizgiye dik olmasına izin verin L ve nokta M 0(X 0, e 0) bu çizgi üzerinde yer almaktadır (Şekil 1.7).

Şekil 1.7

Haydi belirtelim M(X, e) keyfi nokta düz bir çizgide L. Vektörler ve Ortogonal. Bu vektörlerin ortogonallik koşullarını kullanarak şunu elde ederiz veya A(X – X 0) + B(e – e 0) = 0.

Bir noktadan geçen doğrunun denklemini elde ettik M 0 vektöre diktir. Bu vektöre denir Normal vektör düz bir çizgiye L. Ortaya çıkan denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

Ah + Wu + İLE= 0, burada İLE = –(AX 0 + İle 0), (1.16),

Nerede A Ve İÇİNDE– normal vektörün koordinatları.

Doğrunun genel denklemini parametrik biçimde elde ediyoruz.

2. Düzlemdeki düz bir çizgi şu şekilde tanımlanabilir: sıfır olmayan bir vektörün verilen düz çizgiye paralel olmasına izin verin L ve dönem M 0(X 0, e 0) bu doğru üzerinde yer almaktadır. Tekrar keyfi bir noktaya değinelim M(X, y) düz bir çizgi üzerindedir (Şekil 1.8).

Şekil 1.8

Vektörler ve eşdoğrusal.

Bu vektörlerin eşdoğrusallık koşulunu yazalım: T – keyfi sayı parametre olarak adlandırılır. Bu eşitliği koordinatlarla yazalım:

Bu denklemlere denir Parametrik denklemler Doğrudan. Parametreyi bu denklemlerin dışında bırakalım T:

Bu denklemler aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

. (1.18)

Ortaya çıkan denklem denir Kanonik denklem doğrudan. vektör denir Yönlendirici vektör düzdür .

Yorum . Doğrunun normal vektörü olup olmadığını görmek kolaydır L, o zaman yön vektörü o zamandan beri vektör olabilir, yani.

Örnek 1.13. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazın M 0(1, 1) 3. doğruya paralel X + 2sen– 8 = 0.

Çözüm . Vektör verilen ve istenilen doğrulara normal vektördür. Bir noktadan geçen düz çizginin denklemini kullanalım M 0 sn verilen vektör normaller 3( X –1) + 2(sen– 1) = 0 veya 3 X + 2 yıl– 5 = 0. İstenilen doğrunun denklemini elde ettik.

K(x 0 ; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Burada k doğrunun eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 çizgisine paralel bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Örnek No. 2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm . Doğrular paralel olduğundan istenilen doğrunun denklemi 2x + 5y + C = 0 olur. Alan dik üçgen, burada a ve b bacaklarıdır. İstenilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulalım:
;
.
Yani A(-C/2,0), B(0,-C/5). Bunu alan formülünde yerine koyalım: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y – 10 = 0.

Örnek No. 3. (-2; 5) noktasından geçen ve 5x-7y-4=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm. Bu düz çizgi y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenilen doğrunun denklemi y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) yani. 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek No. 4. Örnek 3'ü (A=5, B=-7) formül (2)'yi kullanarak çözdüğümüzde, 5(x+2)-7(y-5)=0 buluruz.

Örnek No. 5. (-2;5) noktasından geçen ve 7x+10=0 doğrusuna paralel olan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 sonucunu verir; x+2=0. Formül (1) uygulanamaz çünkü verilen denklem y'ye göre çözülemez (bu çizgi ordinata paraleldir).

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

İÇİNDE üç boyutlu uzayüç seçenek var göreceli konum iki düz çizgi:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen sistem koordinatlar düz çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Genel denklem doğrudan.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli şekillerde verilen herhangi bir şeye bağlı olarak

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen olarak dikdörtgen sistem(A, B) bileşenleriyle koordinat vektörü

düz çizgiye dik, denklem tarafından verilen

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim doğrudan.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Geometrik anlam katsayılar şu şekildedir: a katsayısı kesişme noktasının koordinatıdır

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı Ah.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal denklem doğrudan.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Yazmak için gerekli çeşitli türler denklemler

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, O dar açı bu satırların arasında

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki düz çizgiler birbirine diktir,

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca C 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

İçinden geçen bir çizginin denklemi bu nokta bu çizgiye dik.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi ise içinden geçen çizginin denklemidir. verilen nokta M 0 dikey

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.