ve 3 = - 1/8 vb.
Aynı sayıdan oluşan bir dizi bile var. Yani n=6 sonsuz sayıda altılı sayılardan oluşur.
Sıra Limitinin Belirlenmesi
Dizi limitleri matematikte uzun süredir mevcuttur. Elbette kendi yetkin tasarımlarını hak ediyorlar. Artık dizi sınırlarının tanımını öğrenmenin zamanı geldi. Öncelikle doğrusal bir fonksiyonun limitine ayrıntılı olarak bakalım:
- Tüm limitler lim olarak kısaltılır.
- Bir limitin gösterimi lim kısaltmasından, yani belirli bir sayıya, sıfıra veya sonsuza yönelen herhangi bir değişkenin yanı sıra fonksiyonun kendisinden oluşur.
Bir dizinin limitinin tanımının şu şekilde formüle edilebileceğini anlamak kolaydır: bu, dizinin tüm üyelerinin sonsuz olarak yaklaştığı belirli bir sayıdır. Basit bir örnek: a x = 4x+1. O zaman dizinin kendisi şöyle görünecek.
5, 9, 13, 17, 21…x…
Dolayısıyla bu dizi sonsuza kadar artacaktır yani x→∞ kadar limiti sonsuza eşittir ve şu şekilde yazılmalıdır:
Benzer bir dizi alırsak ancak x 1'e eğilimliyse şunu elde ederiz:
Ve sayı dizisi şu şekilde olacaktır: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, vb. Her seferinde sayıyı bire yaklaştırmanız gerekir (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Bu seriden fonksiyonun limitinin beş olduğu açıktır.
Bu bölümden sayısal dizinin limitinin ne olduğunu, basit problemleri çözmenin tanımını ve yöntemini hatırlamakta fayda var.
Dizilerin limiti için genel tanım
Sayı dizisinin limitini, tanımını ve örneklerini inceledikten sonra daha karmaşık bir konuya geçebilirsiniz. Kesinlikle dizilerin tüm sınırları, genellikle ilk yarıyılda analiz edilen tek bir formülle formüle edilebilir.
Peki bu harf, modül ve eşitsizlik işaretleri kümesi ne anlama geliyor?
∀ evrensel bir niceleyicidir ve “herkes için”, “her şey için” vb. ifadelerin yerine geçer.
∃ varoluşsal bir niceleyicidir, bu durumda doğal sayılar kümesine ait bir N değerinin olduğu anlamına gelir.
N'yi takip eden uzun dikey çubuk, verilen N kümesinin "öyle" olduğu anlamına gelir. Pratikte "öyle ki", "öyle ki" vb. anlamına gelebilir.
Materyali güçlendirmek için formülü yüksek sesle okuyun.
Sınırın belirsizliği ve kesinliği
Yukarıda tartışılan dizilerin limitini bulma yöntemi, kullanımı basit olmasına rağmen pratikte o kadar rasyonel değildir. Bu fonksiyonun sınırını bulmaya çalışın:
Farklı “x” değerlerini değiştirirsek (her seferinde artar: 10, 100, 1000, vb.), o zaman payda ∞, paydada da ∞ elde ederiz. Bu oldukça garip bir kesirle sonuçlanır:
Peki bu gerçekten böyle mi? Bu durumda bir sayı dizisinin limitini hesaplamak oldukça kolay görünmektedir. Her şeyi olduğu gibi bırakmak mümkün olacaktır çünkü cevap hazırdır ve makul koşullar altında alınmıştır, ancak bu tür durumlar için özel olarak başka bir yol daha vardır.
Öncelikle kesrin payındaki en yüksek dereceyi bulalım - bu 1'dir, çünkü x, x 1 olarak temsil edilebilir.
Şimdi paydanın en yüksek derecesini bulalım. Ayrıca 1.
Hem payı hem de paydayı değişkene en yüksek dereceye kadar bölelim. Bu durumda kesri x 1'e bölün.
Daha sonra değişken içeren her bir terimin hangi değere yöneldiğini bulacağız. Bu durumda kesirler dikkate alınır. X→∞ olduğundan her kesrin değeri sıfıra doğru yönelir. Çalışmanızı yazılı olarak teslim ederken aşağıdaki dipnotları vermelisiniz:
Bu, aşağıdaki ifadeyle sonuçlanır:
Elbette x içeren kesirler sıfır olmadı! Ancak değerleri o kadar küçüktür ki, hesaplamalarda dikkate alınmamasına tamamen izin verilir. Aslında bu durumda x hiçbir zaman 0'a eşit olmayacaktır çünkü sıfıra bölemezsiniz.
Mahalle nedir?
Profesörün, açıkça eşit derecede karmaşık bir formülle verilen karmaşık bir diziyi elinde bulundurduğunu varsayalım. Profesör cevabı buldu ama doğru mu? Sonuçta bütün insanlar hata yapar.
Auguste Cauchy bir zamanlar dizilerin sınırlarını kanıtlamanın mükemmel bir yolunu buldu. Onun yöntemine mahalle manipülasyonu adı verildi.
Diyelim ki belirli bir a noktası var ve bu noktanın sayı doğrusu üzerinde her iki yöndeki komşuluğu ε'ya (“epsilon”) eşit. Son değişken mesafe olduğundan değeri her zaman pozitiftir.
Şimdi bir x n dizisi tanımlayalım ve dizinin onuncu teriminin (x 10) a'nın yakınında olduğunu varsayalım. Bu gerçeği matematik dilinde nasıl yazabiliriz?
Diyelim ki x 10 a noktasının sağında, o zaman x 10 -a mesafesi<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.
Şimdi yukarıda tartışılan formülü pratikte açıklamanın zamanı geldi. Limitlerinden herhangi biri için ε>0 eşitsizliği karşılanıyorsa ve tüm komşuluğun kendi doğal numarası N varsa, dizinin tüm üyeleri daha yüksek sayılara sahip olacak şekilde belirli bir sayıyı bir dizinin bitiş noktası olarak adlandırmak doğru olur. |x n - a| dizisinin içinde olacak< ε.
Böyle bir bilgiyle dizi sınırlarını çözmek, hazır cevabı kanıtlamak veya çürütmek kolaydır.
Teoremler
Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler teorinin önemli bir bileşenidir ve bunlar olmadan pratik yapmak imkansızdır. Çözümü veya ispatı çok daha kolaylaştırabilecek yalnızca dört ana teorem vardır:
- Bir dizinin limitinin benzersizliği. Herhangi bir dizinin yalnızca bir limiti olabilir veya hiç limiti olmayabilir. Yalnızca bir ucu olabilecek bir kuyrukla aynı örnek.
- Bir sayı dizisinin bir sınırı varsa, bu sayıların dizisi de sınırlıdır.
- Dizilerin toplamının (fark, çarpım) limiti, limitlerinin toplamına (fark, çarpım) eşittir.
- İki diziyi bölme bölümünün limiti, ancak ve ancak paydanın kaybolmaması durumunda limitlerin bölümüne eşittir.
Dizilerin kanıtı
Bazen bir sayısal dizinin belirli bir limitini kanıtlamak için ters bir problemi çözmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.
Formülde verilen dizinin limitinin sıfır olduğunu kanıtlayın.
Yukarıda tartışılan kurala göre, herhangi bir dizi için |x n - a| eşitsizliği<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:
Belirli bir sayının varlığını göstermek ve dizinin bir limitinin varlığını kanıtlamak için n'yi "epsilon" aracılığıyla ifade edelim.
Bu noktada “epsilon” ve “en”in pozitif sayılar olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını unutmamak gerekir. Artık lisede eşitsizliklerle ilgili kazanılan bilgileri kullanarak daha fazla dönüşüme devam etmek mümkün.
n > -3 + 1/ε olduğu nasıl ortaya çıkıyor? Doğal sayılardan bahsettiğimizi hatırlamakta fayda var, köşeli parantez içine alınarak sonuç yuvarlanabilir. Böylece a = 0 noktasının “epsilon” komşuluğunun herhangi bir değeri için başlangıç eşitsizliğini sağlayacak bir değerin bulunduğu kanıtlanmıştır. Buradan a sayısının belirli bir dizinin limiti olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Q.E.D.
Bu kullanışlı yöntem, ilk bakışta ne kadar karmaşık olursa olsun, sayısal bir dizinin limitini kanıtlamak için kullanılabilir. Önemli olan görevi gördüğünüzde paniğe kapılmamak.
Ya da belki orada değildir?
Pratikte bir tutarlılık sınırının varlığı gerekli değildir. Gerçekten sonu olmayan sayı dizilerine kolaylıkla rastlayabilirsiniz. Örneğin aynı “yanıp sönen ışık” x n = (-1) n. Döngüsel olarak tekrarlanan yalnızca iki rakamdan oluşan bir dizinin limitinin olamayacağı açıktır.
Aynı hikaye, tek sayıdan oluşan, kesirli olan, hesaplamalar sırasında herhangi bir sıranın belirsizliği olan (0/0, ∞/∞, ∞/0 vb.) dizilerle tekrarlanır. Ancak yanlış hesaplamaların da meydana geldiği unutulmamalıdır. Bazen kendi çözümünüzü tekrar kontrol etmek dizi sınırını bulmanıza yardımcı olabilir.
Monoton dizi
Yukarıda birkaç dizi örneği ve bunları çözme yöntemleri tartışılmıştı; şimdi daha spesifik bir durumu ele almaya çalışalım ve buna "monotonik dizi" adını verelim.
Tanım: Herhangi bir dizi, eğer katı xn eşitsizliği geçerliyse, haklı olarak monoton artan olarak adlandırılabilir.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.
Bu iki koşulun yanı sıra benzer katı olmayan eşitsizlikler de vardır. Buna göre x n ≤ x n +1 (azalan olmayan dizi) ve x n ≥ x n +1 (artan olmayan dizi).
Ancak bunu örneklerle anlamak daha kolaydır.
x n = 2+n formülüyle verilen dizi aşağıdaki sayı dizisini oluşturur: 4, 5, 6 vb. Bu monoton olarak artan bir dizidir.
Ve x n =1/n alırsak şu diziyi elde ederiz: 1/3, ¼, 1/5, vb. Bu monoton olarak azalan bir dizidir.
Yakınsak ve sınırlı bir dizinin limiti
Sınırlı dizi, limiti olan bir dizidir. Yakınsak bir dizi, sonsuz küçük bir limite sahip bir sayı dizisidir.
Dolayısıyla sınırlı bir dizinin limiti herhangi bir gerçek veya karmaşık sayıdır. Yalnızca bir sınırın olabileceğini unutmayın.
Yakınsak bir dizinin limiti sonsuz küçük (gerçek veya karmaşık) bir miktardır. Bir dizi diyagramı çizerseniz, belirli bir noktada birleşiyor gibi görünecek, belirli bir değere dönüşme eğiliminde olacaktır. Bu nedenle adı - yakınsak dizi.
Monotonik bir dizinin limiti
Böyle bir dizinin bir sınırı olabilir veya olmayabilir. Öncelikle limitin ne zaman var olduğunu anlamakta fayda var; limitin yokluğunu ispatlamaya buradan başlayabilirsiniz.
Monotonik diziler arasında yakınsak ve ıraksak olanlar ayırt edilir. Yakınsak, x kümesi tarafından oluşturulan ve bu kümede gerçek veya karmaşık bir limiti olan bir dizidir. Iraksak, kümesinde sınırı olmayan (ne gerçek ne de karmaşık) bir dizidir.
Ayrıca, geometrik gösterimde üst ve alt limitleri yakınsa, dizi yakınsar.
Yakınsak bir dizinin limiti çoğu durumda sıfır olabilir, çünkü herhangi bir sonsuz küçük dizinin bilinen bir limiti (sıfır) vardır.
Hangi yakınsak diziyi alırsanız alın, hepsi sınırlıdır, ancak tüm sınırlı diziler yakınsak değildir.
İki yakınsak dizinin toplamı, farkı ve çarpımı da bir yakınsak dizidir. Bununla birlikte, eğer tanımlanmışsa bölüm yakınsak da olabilir!
Sınırlı çeşitli eylemler
Sıra sınırları (çoğu durumda) rakamlar ve sayılar kadar önemlidir: 1, 2, 15, 24, 362 vb. Bazı işlemlerin sınırlarla gerçekleştirilebildiği ortaya çıktı.
İlk olarak, rakamlar ve sayılar gibi herhangi bir dizinin sınırları da toplanıp çıkarılabilir. Dizilerin limitlerine ilişkin üçüncü teoreme dayanarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Dizilerin toplamının limiti, limitlerinin toplamına eşittir.
İkinci olarak, dizilerin limitlerine ilişkin dördüncü teoreme göre aşağıdaki eşitlik doğrudur: n'inci sayıdaki dizilerin çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir. Aynı durum bölme için de geçerlidir: İki dizinin bölümünün limiti, limitin sıfır olmaması koşuluyla limitlerinin bölümüne eşittir. Sonuçta, eğer dizilerin limiti sıfıra eşitse, sonuç sıfıra bölünme olacaktır ki bu imkansızdır.
Sıra miktarlarının özellikleri
Sayısal dizinin limiti zaten ayrıntılı olarak tartışılmış gibi görünüyor, ancak "sonsuz derecede küçük" ve "sonsuz derecede büyük" sayılar gibi ifadelerden birden fazla kez bahsediliyor. Açıkçası, eğer x→∞ olmak üzere 1/x dizisi varsa, o zaman böyle bir kesir sonsuz küçüktür ve eğer aynı dizi ancak limit sıfıra doğru yöneliyorsa (x→0), o zaman kesir sonsuz büyük bir değer haline gelir. Ve bu miktarların kendine has özellikleri vardır. Herhangi bir küçük veya büyük değere sahip bir dizinin limitinin özellikleri aşağıdaki gibidir:
- Herhangi bir sayıdaki küçük niceliklerin toplamı da küçük bir nicelik olacaktır.
- Herhangi bir sayıdaki büyük niceliklerin toplamı sonsuz büyük bir nicelik olacaktır.
- Keyfi olarak küçük miktarların ürünü sonsuz küçüktür.
- Herhangi bir sayıdaki büyük sayıların çarpımı sonsuz büyüktür.
- Eğer orijinal dizi sonsuz büyük bir sayıya yöneliyorsa, tersi de sonsuz küçük olacak ve sıfıra doğru yönelecektir.
Aslında, eğer basit bir algoritma biliyorsanız, bir dizinin limitini hesaplamak o kadar da zor bir iş değildir. Ancak tutarlılığın sınırları azami dikkat ve azim gerektiren bir konudur. Elbette bu tür ifadelerin çözümünün özünü basitçe kavramak yeterlidir. Küçükten başlayarak zamanla büyük boyutlara ulaşabilirsiniz.
Birçok insan için matematiksel analiz, gerçek hayattan uzak, anlaşılmaz sayılar, semboller ve tanımlardan ibarettir. Bununla birlikte, içinde bulunduğumuz dünya, tanımlanması yalnızca etrafımızdaki dünyayı anlamaya ve onun karmaşık sorunlarını çözmeye yardımcı olmakla kalmayıp, aynı zamanda günlük pratik sorunları basitleştirmeye de yardımcı olan sayısal kalıplar üzerine inşa edilmiştir. Bir matematikçi sayı dizisinin yakınsak olduğunu söylerken ne demek ister? Bu konuyu daha detaylı konuşmalıyız.
küçük?
İç içe geçmiş bebeklerin iç içe geçtiğini hayal edelim. Sayı şeklinde yazılan büyüklükleri en büyüğünden başlayıp en küçüğüne kadar bir dizi oluşturur. Sonsuz sayıda bu kadar parlak figürler hayal ederseniz, ortaya çıkan sıranın fevkalade uzun olduğu ortaya çıkacaktır. Bu yakınsak bir sayı dizisidir. Ve sıfıra meyillidir, çünkü sonraki her yuvalama bebeğinin boyutu felaketle azalarak yavaş yavaş hiçbir şeye dönüşmez. Böylece sonsuz küçüklüğün ne olduğunu açıklamak kolaydır.
Benzer bir örnek uzaklara giden bir yol olabilir. Ve gözlemciden uzaklaşan arabanın görsel boyutları yavaş yavaş küçülerek bir noktaya benzeyen şekilsiz bir beneğe dönüşüyor. Böylece araba, bilinmeyen bir yöne doğru hareket eden bir nesne gibi sonsuz derecede küçülür. Belirtilen gövdenin parametreleri hiçbir zaman kelimenin tam anlamıyla sıfır olmayacak, ancak nihai sınırda her zaman bu değere yönelecektir. Bu nedenle bu dizi tekrar sıfıra yakınsar.
Her şeyi damla damla hesaplayalım
Şimdi günlük bir durumu hayal edelim. Doktor, hastaya günde on damla ile başlayıp sonraki her gün iki damla ekleyerek karışımı almasını önerdi. Bunun üzerine doktor, hacmi 190 damla olan ilaç şişesinin içeriği bitene kadar devam edilmesini önerdi. Yukarıdakilerden, güne göre listelenen sayıların şu sayı serisi olacağı anlaşılmaktadır: 10, 12, 14 vb.
Tüm kursu tamamlama süresini ve dizideki üye sayısını nasıl öğrenebilirim? Burada elbette damlaları ilkel bir şekilde sayabilirsiniz. Ancak modeli dikkate alarak d = 2 adımlı formülü kullanmak çok daha kolaydır. Ve bu yöntemi kullanarak sayı serisinin üye sayısının 10 olduğunu bulun. Üstelik a 10 = 28. üye sayısı ilacı aldığı gün sayısını, 28 ise hastanın son günde alması gereken damla sayısını ifade etmektedir. Bu dizi yakınsıyor mu? Hayır, çünkü alttan 10, üstten 28 ile sınırlı olmasına rağmen böyle bir sayı serisinin önceki örneklerden farklı olarak bir sınırı yoktur.
Fark ne?
Şimdi konuyu açıklığa kavuşturmaya çalışalım: Bir sayı serisinin yakınsak bir dizi olduğu ortaya çıktığında. Bu tür bir tanım, yukarıdan da anlaşılacağı gibi, varlığı konunun özünü ortaya koyan sonlu limit kavramıyla doğrudan ilgilidir. Peki daha önce verilen örnekler arasındaki temel fark nedir? Peki neden sonuncusunda 28 sayısı X n = 10 + 2(n-1) sayı serisinin limiti olarak kabul edilemiyor?
Bu soruyu açıklığa kavuşturmak için aşağıdaki formülle verilen ve n'nin doğal sayılar kümesine ait olduğu başka bir diziyi düşünün.
Bu üye topluluğu, payı 1 olan ve paydası sürekli artan bir dizi sıradan kesirden oluşur: 1, ½ ...
Üstelik bu serinin her bir sonraki temsilcisi, sayı doğrusu üzerinde konum olarak 0'a giderek daha yakın hale geliyor. Bu, noktaların sınır olan sıfır etrafında kümelendiği bir mahallenin ortaya çıktığı anlamına geliyor. Ve ona yaklaştıkça sayı doğrusu üzerindeki konsantrasyonları da artar. Ve aralarındaki mesafe felaket derecede azalır ve sonsuz küçüklüğe dönüşür. Bu dizinin yakınsak olduğunun işaretidir.
Aynı şekilde şekilde gösterilen çok renkli dikdörtgenler uzayda kaldırıldığında görsel olarak birbirine daha yakın düzenleniyor ve varsayımsal sınırda ihmal edilebilir boyutlara dönüşüyor.
Sonsuz büyük diziler
Yakınsak dizinin tanımını inceledikten sonra şimdi karşı örneklere geçelim. Birçoğu eski çağlardan beri insanoğlu tarafından biliniyor. Iraksak dizilerin en basit varyantları doğal ve çift sayılar dizisidir. Aksi halde sonsuz büyük olarak adlandırılırlar, çünkü sürekli artan üyeleri giderek pozitif sonsuza yaklaşmaktadır.
Bunların örnekleri, sırasıyla sıfırdan büyük bir adım ve paydaya sahip aritmetik ve geometrik ilerlemelerden herhangi biri olabilir. Iraksak diziler aynı zamanda hiçbir sınırı olmayan sayısal diziler olarak da kabul edilir. Örneğin, Xn = (-2)n-1 .
Fibonacci Dizisi
Daha önce bahsedilen sayı serilerinin insanlığa pratik faydaları yadsınamaz. Ama başka birçok harika örnek var. Bunlardan biri Fibonacci dizisidir. Bir ile başlayan terimlerin her biri öncekilerin toplamıdır. İlk iki temsilcisi 1 ve 1'dir. Üçüncüsü 1+1=2, dördüncüsü 1+2=3, beşincisi 2+3=5'tir. Ayrıca aynı mantığa göre 8, 13, 21 vb. sayıları takip edin.
Bu sayı dizisi süresiz olarak artar ve sonlu bir sınırı yoktur. Ama başka bir harika özelliği daha var. Önceki her sayının bir sonraki sayıya oranı giderek 0,618'e yaklaşıyor. Burada yakınsak ve ıraksak dizi arasındaki farkı anlayabilirsiniz, çünkü bölmelerden elde edilen bir dizi bölüm derlerseniz, belirtilen sayısal sistem elde edilecektir. 0,618'e eşit bir nihai sınır.
Fibonacci oranları dizisi
Yukarıdaki sayısal seri, piyasaların teknik analizinde pratik amaçlar için yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu, Mısırlıların ve Yunanlıların eski zamanlarda bildiği ve uygulamaya koyabildiği yeteneklerini sınırlamaz. Bu, inşa ettikleri piramitler ve Parthenon tarafından kanıtlanmıştır. Sonuçta 0,618 sayısı, eski çağlardan beri iyi bilinen altın oranın sabit bir katsayısıdır. Bu kurala göre, herhangi bir parça, parçaları arasındaki ilişki, parçaların en büyüğü ile toplam uzunluk arasındaki ilişkiyle çakışacak şekilde bölünebilir.
Bu ilişkilerden bir dizi oluşturalım ve bu diziyi analiz etmeye çalışalım. Sayı serisi şu şekilde olacaktır: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 vb. Bu şekilde devam edersek yakınsak dizinin limitinin gerçekten 0,618 olacağını doğrulayabiliriz. Ancak bu modelin diğer özelliklerine de dikkat etmek gerekir. Burada sayılar sıra dışı görünüyor ve hiç de artan veya azalan sırada değil. Bu, bu yakınsak dizinin monoton olmadığı anlamına gelir. Bunun neden böyle olduğu daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.
Monotonluk ve sınırlama
Sayıları artan bir sayı serisinin üyeleri açıkça azalabilir (eğer x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) veya artabilir (eğer x 1 ise) 
Bu serinin rakamlarını yazdığınızda, süresiz olarak 1'e yaklaşan üyelerinden hiçbirinin bu değeri asla aşmayacağını görebilirsiniz. Bu durumda yakınsak dizinin sınırlı olduğu söylenir. Bu, her zaman modüldeki serinin herhangi bir teriminden daha büyük olduğu ortaya çıkan pozitif bir M sayısı olduğunda meydana gelir. Bir sayı serisinin monotonluk işaretleri varsa ve bir limiti varsa ve bu nedenle yakınsaksa, o zaman mutlaka bu özelliğe sahiptir. Üstelik bunun tersinin doğru olması da şart değil. Bu, yakınsak bir dizinin sınırlılığı hakkındaki teorem ile kanıtlanır.
Bu tür gözlemlerin pratikte uygulanmasının çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. X n = n/n+1 dizisinin özelliklerini inceleyerek spesifik bir örnek verelim ve yakınsaklığını kanıtlayalım. (x n +1 - x n), n'nin herhangi bir değeri için pozitif bir sayı olduğundan, bunun monoton olduğunu göstermek kolaydır. Dizinin limiti 1 sayısına eşittir, bu da Weierstrass teoremi olarak da adlandırılan yukarıdaki teoremin tüm koşullarının karşılandığı anlamına gelir. Yakınsak bir dizi için sınırlılık teoremi, eğer bir limiti varsa her durumda sınırlı olduğunu belirtir. Ancak aşağıdaki örneği verelim. X n = (-1) n sayı serisi alttan -1, üstten ise 1 ile sınırlanmıştır. Ancak bu dizi monoton değildir, limiti yoktur ve dolayısıyla yakınsak değildir. Yani sınırlılık her zaman bir sınırın ve yakınsamanın varlığı anlamına gelmemektedir. Bunun gerçekleşebilmesi için Fibonacci oranlarında olduğu gibi alt ve üst sınırların çakışması gerekir.
Evrenin sayıları ve yasaları
Yakınsak ve ıraksak bir dizinin en basit varyantları belki de X n = n ve X n = 1/n sayı serileridir. Bunlardan ilki doğal sayılar dizisidir. Daha önce de belirtildiği gibi sonsuz büyüklüktedir. İkinci yakınsak dizi sınırlıdır ve terimlerinin büyüklüğü sonsuz küçüktür. Bu formüllerin her biri, çok yönlü Evrenin taraflarından birini kişileştirir ve bir kişinin sayılar ve işaretler dilinde, bilinemeyen, sınırlı algı için erişilemez bir şeyi hayal etmesine ve hesaplamasına yardımcı olur.
Evrenin önemsizden inanılmaz büyüğe kadar uzanan yasaları da 0,618 altın katsayısıyla ifade ediliyor. Bilim adamları onun şeylerin özünün özünde yattığına ve doğa tarafından parçalarını oluşturmak için kullanıldığına inanıyor. Fibonacci serisinin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki daha önce bahsedilen ilişkiler, bu eşsiz serinin şaşırtıcı özelliklerinin gösterilmesini tamamlamamaktadır. Bir önceki terimi bir sonrakine birer birer bölme bölümünü dikkate alırsak 0,5 serisini elde ederiz; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 vb. İlginç olan, bu sınırlı dizinin yakınsamasıdır, monoton değildir, ancak belirli bir terimden aşırı olan bitişik sayıların oranı her zaman yaklaşık olarak 0,382'ye eşit çıkar ve bu, mimaride, teknik analizde ve diğer endüstrilerde de kullanılabilir.
Fibonacci serisinin başka ilginç katsayıları da var, hepsi doğada özel bir rol oynuyor ve insanlar tarafından pratik amaçlarla da kullanılıyor. Matematikçiler, Evrenin belirtilen katsayılardan oluşan bir tür "altın sarmal" boyunca geliştiğinden eminler. Onların yardımıyla, belirli bakteri sayısının büyümesinden uzak kuyruklu yıldızların hareketine kadar Dünya'da ve uzayda meydana gelen birçok olguyu hesaplamak mümkündür. DNA kodunun da benzer yasalara tabi olduğu ortaya çıktı.
Geometrik ilerlemenin azaltılması
Yakınsak bir dizinin limitinin benzersizliğini belirten bir teorem vardır. Bu, iki veya daha fazla limite sahip olamayacağı anlamına gelir ve bu da şüphesiz matematiksel özelliklerini bulmak için önemlidir.
Bazı durumlara bakalım. Sıfır adımlı durum dışında, bir aritmetik ilerlemenin üyelerinden oluşan herhangi bir sayı serisi ıraksaktır. Aynı durum, paydası 1'den büyük olan geometrik diziler için de geçerlidir. Bu tür sayı serilerinin limitleri sonsuzluğun “artı” veya “eksi”sidir. Payda -1'den küçükse limit yoktur. Diğer seçenekler de mümkündür.
X n = (1/4) n -1 formülüyle verilen bir sayı serisini ele alalım. İlk bakışta bu yakınsak dizinin sınırlı olduğunu anlamak kolaydır çünkü kesin olarak azalan bir dizidir ve hiçbir şekilde negatif değer alamamaktadır.
Belirli sayıda üyesini bir dizi halinde yazalım.
Şunu elde edersiniz: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 vb. Bu geometrik ilerlemenin payda 0'dan ne kadar hızlı başladığını anlamak için oldukça basit hesaplamalar yeterlidir. 
Temel Diziler
Fransız bilim adamı Augustin Louis Cauchy, dünyaya matematiksel analizle ilgili birçok eser gösterdi. Diferansiyel, integral, limit, süreklilik gibi kavramların tanımlarını yaptı. Ayrıca yakınsak dizilerin temel özelliklerini de araştırdı. Fikirlerinin özünü anlamak için bazı önemli detayları özetlemek gerekir.
Makalenin en başında, sayı doğrusu üzerinde belirli bir serinin üyelerini temsil eden noktaların bir araya gelmeye başladığı, giderek daha yoğun bir şekilde sıralandığı bir mahallenin bulunduğu dizilerin olduğu gösterilmişti. Aynı zamanda bir sonraki temsilcinin sayısı arttıkça aralarındaki mesafe azalarak sonsuz küçüklüğe dönüşür. Böylece, belirli bir mahallede belirli bir serinin sonsuz sayıda temsilcisinin gruplandırıldığı, dışında ise sınırlı sayıda temsilcinin gruplandırıldığı ortaya çıkıyor. Bu tür dizilere temel denir.
Fransız bir matematikçi tarafından oluşturulan ünlü Cauchy kriteri, böyle bir özelliğin varlığının dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için yeterli olduğunu açıkça göstermektedir. Bunun tersi de doğrudur.
Fransız matematikçinin bu sonucunun çoğunlukla tamamen teorik ilgiye yönelik olduğunu belirtmek gerekir. Pratikte uygulanması oldukça zor kabul edilir, bu nedenle serilerin yakınsamasını belirlemek için dizinin sonlu bir limitinin varlığını kanıtlamak çok daha önemlidir. Aksi takdirde farklı kabul edilir.
Problemleri çözerken yakınsak dizilerin temel özelliklerini de dikkate almalısınız. Aşağıda sunulmuştur.
Sonsuz miktarlar
Arşimed, Öklid, Eudoxus gibi ünlü antik bilim adamları, eğrilerin uzunluklarını, cisimlerin hacimlerini ve şekillerin alanlarını hesaplamak için sonsuz sayı serilerinin toplamlarını kullandılar. Özellikle parabolik bir segmentin alanını bulmak bu şekilde mümkün oldu. Bu amaçla q = 1/4 olan bir geometrik ilerlemenin sayı serisinin toplamı kullanıldı. Diğer rastgele şekillerin hacimleri ve alanları da benzer şekilde bulunmuştur. Bu seçeneğe "tükenme" yöntemi adı verildi. Buradaki fikir, incelenen karmaşık şekilli vücudun, kolayca ölçülebilir parametrelere sahip figürleri temsil eden parçalara bölünmesiydi. Bu nedenle alanlarını ve hacimlerini hesaplamak zor olmadı ve daha sonra toplandılar.
Bu arada, benzer sorunlar modern okul çocuklarına çok tanıdık geliyor ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde de bulunuyor. Uzak ataların bulduğu benzersiz bir yöntem, bugün hala en basit çözümdür. Sayısal bir şeklin bölündüğü yalnızca iki veya üç parça olsa bile, bunların alanlarının toplamı yine de sayı serisinin toplamını temsil eder.
Çok daha sonra, eski Yunan bilim adamları Leibniz ve Newton, bilge öncüllerinin deneyimlerine dayanarak integral hesaplama yasalarını öğrendiler. Dizilerin özelliklerinin bilgisi, diferansiyel ve cebirsel denklemleri çözmelerine yardımcı oldu. Şu anda, birçok nesil yetenekli bilim insanının çabalarıyla oluşturulan seri teorisi, çok sayıda matematiksel ve pratik problemi çözme şansı sunuyor. Ve sayısal dizilerin incelenmesi, yaratılışından bu yana matematiksel analizin çözdüğü ana problemdir.
Sıra matematiğin temel kavramlarından biridir. Dizi sayılardan, noktalardan, fonksiyonlardan, vektörlerden vb. oluşabilir. Her doğal sayının belirli bir kümenin bir öğesiyle ilişkilendirildiği bir yasa belirtilirse, bir dizi verilmiş sayılır. Sıra şeklinde veya kısaca yazılır. Elemanlara dizinin üyeleri denir; - birinci, - ikinci, - dizinin ortak (th) üyesi.
Sayı dizileri çoğunlukla dikkate alınır; Üyeleri sayılardan oluşan diziler. Analitik yöntem, sayısal bir diziyi belirlemenin en basit yoludur. Bu, dizinin inci üyesini numarasıyla ifade eden bir formül kullanılarak yapılır. Örneğin, eğer
Dizinin ilk birkaç terimini ve sonraki her terimi öncekiler aracılığıyla hesaplamanıza olanak tanıyan bir kuralı belirttiğinizde, başka bir yöntem yinelenendir (Latince recurrens kelimesinden - "geri dönen"). Örneğin:
Sayı dizilerine örnek olarak aritmetik ilerleme ve geometrik ilerleme verilebilir.
Sayı süresiz olarak arttıkça dizi üyelerinin davranışlarını izlemek ilginçtir (sonsuzca artan şey formda yazılır ve şöyle okunur: "sonsuza doğru gider").
Ortak terimi olan bir dizi düşünün: , , , …, , …. Bu dizinin tüm terimleri sıfırdan farklıdır, ancak ne kadar çoksa sıfırdan o kadar az farklıdır. Bu dizinin terimleri süresiz olarak arttıkça sıfıra doğru eğilim gösterir. Sıfır sayısının bu dizinin limiti olduğunu söylüyorlar.
Başka bir örnek: - bir diziyi tanımlar
Bu dizinin terimleri de sıfıra eğilimlidir, ancak bazen sıfırdan büyük, bazen de sıfırdan küçüktürler; bunların limitleri.
Başka bir örneğe bakalım: 
. Formda temsil edilirse
o zaman bu dizinin birlik eğiliminde olduğu ortaya çıkacaktır.
Bir dizinin limitini tanımlayalım. Herhangi bir pozitif sayı için eşitsizliğin tümü için geçerli olacağı bir sayı belirtmek mümkünse, bu sayıya dizinin limiti denir.
Dizinin bir sınırı varsa, o zaman veya (Latince limes kelimesinin ilk üç harfi - “sınır”) yazarlar.
Bu tanıma geometrik bir anlam verilirse daha net hale gelecektir. Sayıyı bir aralığa yerleştirelim (Şekil 1). Aralığın küçüklüğüne bakılmaksızın, bazılarından daha büyük sayılara sahip dizinin tüm üyeleri bu aralıkta yer alıyorsa, bu sayı bir dizinin limitidir. Başka bir deyişle, dizinin yalnızca sonlu sayıda terimi herhangi bir aralığın dışında olabilir.
Ele alınan dizi için, sıfır noktasının -komşusu, dizinin ilk on dışındaki tüm terimlerini ve at - ilk yüz dışındaki dizinin tüm terimlerini içerir.
Limiti olan bir diziye yakınsak, limiti olmayan bir diziye ise ıraksak denir. Burada farklı bir dizi örneği verilmiştir: . Üyeleri dönüşümlü olarak eşittir ve herhangi bir sınıra eğilimli değildir.
Dizi yakınsarsa sınırlı olur, yani. sayılar vardır ve öyle ki dizinin tüm terimleri koşulu karşılar. Buradan tüm sınırsız dizilerin ıraksak olduğu sonucu çıkar. Bunlar dizilerdir:
"Doğanın yakından ve derinlemesine incelenmesi matematikteki en verimli keşiflerin kaynağıdır." J. Fourier
Sıfıra yaklaşan diziye sonsuz küçük denir. Sonsuz küçük kavramı, bir dizinin limitinin genel tanımı için temel olarak kullanılabilir, çünkü bir dizinin limiti ancak ve ancak sonsuz küçük olan bir toplam olarak temsil edilebiliyorsa eşittir.
Dikkate alınan diziler sonsuz küçüktür. (2)'deki gibi dizi, 1'den sonsuz küçüklük kadar farklıdır ve bu nedenle bu dizinin limiti 1'dir.
Sonsuz büyük dizi kavramı matematiksel analizde de büyük önem taşımaktadır. Dizi sonsuz küçükse, diziye sonsuz büyük denir. Sonsuz büyüklükte bir dizi veya şeklinde yazılır ve "sonsuza doğru gittiği" söylenir. İşte sonsuz büyük dizilerin örnekleri:
Sonsuz büyük bir dizinin sınırının olmadığını vurguluyoruz.
ve dizilerini ele alalım. Dizileri ortak terimler olan , , ve (if) ile tanımlamak mümkündür. Genellikle limitli aritmetik işlemler teoremi olarak adlandırılan aşağıdaki teorem geçerlidir: eğer diziler yakınsaksa , , , ve eşitlik dizileri de geçerlidir:
İkinci durumda, dizinin tüm terimlerinin sıfırdan farklı olmasına ek olarak koşulun da sağlanması gerekir.
Bu teoremi uygulayarak birçok limit bulunabilir. Örneğin ortak terimli ve artmayan terimli bir dizinin limitini bulalım. Bu dizinin kendisinden küçük veya ona eşit bir sayıya yöneldiği oldukça açıktır. Matematiksel analiz sırasında, azalmayan ve üstten sınırlı bir dizinin bir limiti olduğu teoremi kanıtlanmıştır (benzer bir ifade, artmayan ve alttan sınırlı bir dizi için de doğrudur). Bu dikkate değer teorem, bir limitin varlığı için yeterli koşulları sağlar. Buradan, örneğin, birim yarıçaplı bir daire içine yazılan düzenli üçgenlerin alanları dizisinin, monoton olarak arttığı ve yukarıdan sınırlandığı için bir sınırı olduğu sonucu çıkar. Bu dizinin limiti ile gösterilir.
Monotonik sınırlı bir dizinin limiti kullanılarak, matematiksel analizde büyük rol oynayan bir sayı belirlenir - doğal logaritmanın temeli:
.
Dizi (1) daha önce de belirtildiği gibi monotondur ve üstelik yukarıdan sınırlıdır. Bir sınırı var. Bu sınırı rahatlıkla bulabiliriz. Eşitse, sayının eşitliği sağlaması gerekir. Bu denklemi çözerek şunu elde ederiz.
Bir dizi doğal sayıyı düşünün: 1, 2, 3, , N
– 1, N,
.
Her doğal sayıyı değiştirirsek N bu seride belirli bir sayıya göre A N bazı kanunları takip ederek yeni bir sayı dizisi elde ederiz:
A 1 ,
A 2 ,
A 3, , A N –1 ,
A N ,
,
kısaca belirlenmiş ve çağrılmış sayısal dizi. Büyüklük A N sayı dizisinin ortak üyesi denir. Genellikle sayı dizisi bazı formüllerle verilir A N
= F(N) dizinin herhangi bir üyesini numarasına göre bulmanızı sağlar N; bu formüle genel terim formülü denir. Genel terim formülü kullanarak bir sayısal diziyi tanımlamanın her zaman mümkün olmadığını unutmayın; bazen bir dizi, üyelerini tanımlayarak belirtilir.
Tanım gereği, bir dizi her zaman sonsuz sayıda öğe içerir: herhangi iki farklı öğe, en azından sayıları açısından farklılık gösterir ve bunların sonsuz sayıda vardır.
Sayı dizisi, bir fonksiyonun özel bir durumudur. Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan ve gerçek sayılar kümesinde değer alan bir fonksiyondur, yani formun bir fonksiyonu F
: N
R.
Alt sıra
isminde artan(azalan), eğer varsa N N
Bu tür dizilere denir kesinlikle monoton.
Bazen doğal sayıların tamamını sayı olarak değil, yalnızca bazılarını (örneğin, bazı doğal sayılardan başlayan doğal sayılar) kullanmak daha uygun olur. N 0). Numaralandırma için yalnızca doğal sayıları değil aynı zamanda diğer sayıları da kullanmak mümkündür, örneğin: N= 0, 1, 2, (burada doğal sayılar kümesine başka bir sayı olarak sıfır eklenir). Bu gibi durumlarda sırayı belirtirken sayıların hangi değerleri aldığını belirtin N.
Herhangi biri için bir sırayla ise N N
daha sonra dizi çağrılır azalmayan(artmayan). Bu tür dizilere denir monoton.
örnek 1
.
1, 2, 3, 4, 5, ... sayı dizisi bir doğal sayılar dizisidir ve ortak bir terime sahiptir. A N
= N.
Örnek 2
.
2, 4, 6, 8, 10, ... sayı dizisi çift sayılardan oluşan bir dizidir ve ortak bir terime sahiptir A N
= 2N.
Örnek 3
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – artan doğrulukla yaklaşık değerlerin sayısal dizisi.
Son örnekte dizinin genel terimi için bir formül vermek mümkün değildir.
Örnek 4
.
Bir sayı dizisinin ilk 5 terimini ortak terimini kullanarak yazın
. Hesaplamak A Genel terim formülünde 1 gereklidir A N yerine N hesaplamak için 1 yerine A 2 − 2, vb. O halde elimizde:
Test 6
.
1, 2, 6, 24, 120, dizisinin ortak elemanı:
1)
2)
3)
4)
Test 7
.
dır-dir:
1)
2)
3)
4)
Test 8
.
Dizinin ortak üyesi
dır-dir:
1)
2)
3)
4)
Numara dizisi sınırı
Ortak terimi belirli bir sayıya yaklaşan bir sayı dizisi düşünün A seri numarası arttığında N. Bu durumda sayı dizisinin bir limiti olduğu söylenir. Bu kavramın daha katı bir tanımı var.
Sayı A sayı dizisinin limiti denir
:
(1)
eğer herhangi bir > 0 için böyle bir sayı varsa N 0
= N 0 (), 'ye bağlı olarak
en N
> N 0 .
Bu tanım şu anlama gelir A ortak terimi sınırsız yaklaşıyorsa sayı dizisinin bir sınırı vardır A yükselmekle birlikte N. Geometrik olarak bu, herhangi bir > 0 için böyle bir sayının bulunabileceği anlamına gelir N 0 , hangisinden başlayarak N
> N 0, dizinin tüm üyeleri aralığın içinde yer alır ( A
– ,
A+ ). Limiti olan diziye denir yakınsak; aksi takdirde - farklı.
Bir sayı dizisi belirli bir işaretin yalnızca bir limitine (sonlu veya sonsuz) sahip olabilir.
Örnek 5
.
Harmonik dizi 
0 limit numarasına sahiptir. Aslında herhangi bir aralık için (–; +) sayı olarak N 0'dan büyük herhangi bir tamsayı olabilir. O zaman herkes için N
> N 0 >elimizde
Örnek 6
.
2, 5, 2, 5, dizisi ıraksaktır. Gerçekten de, örneğin birden daha kısa hiçbir aralık, belirli bir sayıdan başlayarak dizinin tüm üyelerini içeremez.
Sıra denir sınırlı eğer böyle bir sayı varsa M, Ne
hepsi için N. Her yakınsak dizi sınırlıdır. Her monotonik ve sınırlı dizinin bir sınırı vardır. Her yakınsak dizinin benzersiz bir sınırı vardır.
Örnek 7
.
Alt sıra
giderek artıyor ve sınırlanıyor. Onun bir sınırı var
=e.
Sayı e isminde Euler numarası ve yaklaşık olarak 2,718 28'e eşittir.
Test 9
.
1, 4, 9, 16, dizisi şöyledir:
1) yakınsak;
2) farklı;
3) sınırlı;
Test 10
.
Alt sıra
dır-dir:
1) yakınsak;
2) farklı;
3) sınırlı;
4) aritmetik ilerleme;
5) geometrik ilerleme.
Test 11
.
Alt sıra 
değil:
1) yakınsak;
2) farklı;
3) sınırlı;
4) harmonik.
Ölçek
12
.
Ortak bir terimle verilen bir dizinin limiti
eşit.
