Sayısal bir dizinin dizi limitinin sayısal diziler sınıflandırması. Dizilerin sınırları nasıl hesaplanır? Sıra Limitinin Belirlenmesi

Doğal argüman n'nin (n=1; 2; 3; 4;...) a n =f (n) fonksiyonuna sayı dizisi denir.

Sayılar a 1; bir 2; bir 3; Bir dizi oluşturan a 4 ;…'e sayısal dizinin üyeleri denir. Yani a 1 =f(1); a 2 =f(2); a 3 =f(3); a 4 =f(4);…

Yani dizinin üyeleri indeksleri gösteren harflerle belirtilir - seri numaralarıüyeleri: a 1 ; bir 2; bir 3; a 4 ;… dolayısıyla a 1 dizinin ilk üyesidir;

a 2 dizinin ikinci terimidir;

a 3 dizinin üçüncü üyesidir;

4, dizinin dördüncü terimidir, vb.

Kısaca sayısal dizi şu şekilde yazılır: a n =f (n) veya (a n).

Bir sayı serisini belirtmenin aşağıdaki yolları vardır:

1) Sözlü yöntem. Kelimelerle açıklanan bir dizinin üyelerinin düzenlenmesine yönelik bir modeli veya kuralı temsil eder.

Örnek 1. Hepsinin sırasını yazın Negatif olmayan sayılar, 5'in katları.

Çözüm. 0 veya 5 ile biten tüm sayılar 5'e bölünebildiğinden dizi şu şekilde yazılacaktır:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Örnek 2. Sıra verildiğinde: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Bunu sözlü olarak sorun.

Çözüm. 1=1 2 olduğunu fark ettik; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... Şu sonuca varıyoruz: doğal sayıların karelerinden oluşan bir dizi verildiğinde.

2) Analitik yöntem. Dizi, n'inci terimin formülüyle verilir: a n =f (n). Bu formülü kullanarak dizinin herhangi bir üyesini bulabilirsiniz.

Örnek 3. Bir sayı dizisinin k'inci teriminin ifadesi bilinmektedir: a k = 3+2·(k+1). Bu dizinin ilk dört terimini hesaplayın.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Örnek 4. İlk birkaç üyesini kullanarak bir sayısal dizi oluşturma kuralını belirleyin ve dizinin genel terimini daha basit bir formül kullanarak ifade edin: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Çözüm. Bize bir dizi tek sayı verildiğini fark ettik. Herhangi tek sayışu şekilde yazılabilir: 2k-1, burada k - doğal sayı yani k=1; 2; 3; 4; ... . Cevap: a k =2k-1.

3) Tekrarlanan yöntem. Sıralama da bir formülle verilir, ancak yalnızca terimin sayısına bağlı olan genel bir terim formülüyle değil. Her bir sonraki terimin önceki terimler aracılığıyla bulunacağı bir formül belirtilir. Bir işlevi belirlemenin yinelenen yöntemi durumunda, dizinin bir veya daha fazla ilk üyesi her zaman ek olarak belirtilir.

Örnek 5. Dizinin ilk dört terimini (a n) yazın,

1 =7 ise; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Cevap: 7; 12; 17; 22; ... .

Örnek 6. (b n) dizisinin ilk beş terimini yazın,

eğer b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Cevap: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Grafik yöntemi. Sayısal dizi, temsil eden bir grafikle verilir. yalıtılmış noktalar. Bu noktaların apsisleri doğal sayılardır: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinatlar dizi üyelerinin değerleridir: a 1 ; bir 2; bir 3; bir 4;….

Örnek 7. Grafiksel olarak verilen sayısal dizinin beş terimini de yazın.

Bunun her noktası koordinat düzlemi koordinatları vardır (n; a n). İşaretlenen noktaların koordinatlarını apsis n'ye göre artan sırada yazalım.

Şunu elde ederiz: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Bu nedenle a 1 = -3; a 2 =1; a3 =4; a 4 =6; 5 =7.

Cevap: -3; 1; 4; 6; 7.

İncelendi sayı dizisi bir fonksiyon olarak (örnek 7'de) ilk beş doğal sayı kümesinde (n=1; 2; 3; 4; 5) verilmiştir, dolayısıyla sonlu sayı dizisi(beş üyeden oluşur).

Doğal sayılar kümesinin tamamında bir fonksiyon olarak bir sayı dizisi verilirse, o zaman böyle bir dizi olacaktır. sonsuz bir sayı dizisi.

Sayı dizisi denir artan, eğer üyeleri artıyorsa (a n+1 >a n) ve azalıyorsa, eğer üyeleri azalıyor(bir n+1

Artan veya azalan sayı dizisine denir monoton.

Bu materyal Bir dizinin limiti - temel teoremler ve özellikler bölümünde sunulmaktadır. Burada bazı dizi örneklerine bakacağız.
.
Sıra Örnekleri Sonsuz artan dizi örnekleri Sırayı düşünün.

Bu dizinin ortak üyesi . İlk birkaç terimi yazalım: N sayısı arttıkça elementlerin sonsuza doğru arttığı görülmektedir.
.
pozitif değerler . Bu dizinin şu eğilimde olduğunu söyleyebiliriz: for .Şimdi sırayı düşünün

ortak üye

.
.
İşte ilk birkaç üyesi: = 0 N sayısı arttıkça bu dizinin elemanları sonsuza kadar artar. = 0 mutlak değer > 0 , ancak sabit bir işareti yoktur. Yani bu dizi şu eğilimdedir: at .

Sonlu bir sayıya yakınsan dizi örnekleri
.
Bu dizide çift sayılı terimler sıfıra eşittir. Tek n'li terimler eşittir. = 0 Bu nedenle n arttıkça değerleri a sınır değerine yaklaşır.
.
. > 0 Bu aynı zamanda şu gerçeğin de sonucudur: = 0 Tıpkı önceki örnekte olduğu gibi, keyfi olarak küçük bir hata ε belirleyebiliriz = 0 N'den büyük sayılara sahip elemanların a sınır değerinden sapacağı şekilde bir N sayısı bulmak mümkündür.

belirtilen hatayı aşmayan bir miktarda. Bu nedenle bu dizi a değerine yakınsar

: .

Iraksak dizi örnekleri


.
Aşağıdaki ortak terime sahip bir dizi düşünün:
,
İşte ilk üyeleri: 1 = 0 Çift sayılı terimlerin olduğu görülebilir:
,
İşte ilk üyeleri: 2 = 2 a değerine yakınsama

.

Tek sayılı üyeler: . Dizinin kendisi, n büyüdükçe herhangi bir değere yakınsamaz.
.
Terimlerin (0;1) aralığında dağıtıldığı dizi
.
Şimdi daha ilginç bir diziye bakalım. Sayısal olarak


.
hadi düz çizgiden gidelim

bölüm Ortadan ikiye bölelim. İki segment alıyoruz. İzin vermek (0; 1) Her bir parçayı tekrar ikiye bölelim. Dört segment elde ediyoruz. İzin vermek Her parçayı tekrar ikiye bölelim. Hadi alalım

Ve benzeri. Sonuç olarak, elemanları açık bir aralıkta dağıtılan bir dizi elde ederiz.. Kapalı aralıktan hangi noktayı alırsak alalım

, bu noktaya keyfi olarak yakın olacak veya onunla çakışacak dizinin üyelerini her zaman bulabiliriz. = 0 Daha sonra orijinal diziden, yakınsayacak bir alt dizi seçilebilir.
.
= 0 .

keyfi nokta = 1 aralıktan
.
. = 1 .

Yani n sayısı arttıkça alt dizinin üyeleri önceden seçilen noktaya giderek yaklaşacaktır. Örneğin, a noktası için aşağıdaki alt diziyi seçebilirsiniz:

a noktası için

Aşağıdaki alt diziyi seçelim: Bu alt dizinin terimleri a değerine yakınsar Yakınsayan alt diziler olduğundan

farklı anlamlar
,
, bu durumda orijinal dizinin kendisi herhangi bir sayıya yakınsamaz.
Tüm rasyonel sayıları içeren dizi

Bunu yapmak için p ve q eksenlerini düzleme çizin. P ve q'nun tamsayı değerleri üzerinden ızgara çizgileri çiziyoruz. Daha sonra bu ızgaranın her düğümü karşılık gelecektir (0; 0) rasyonel sayı < 1 . Rasyonel sayılar kümesinin tamamı bir dizi düğüm tarafından temsil edilecektir. Hiçbir düğümü kaçırmamak için tüm düğümleri numaralandırmanın bir yolunu bulmamız gerekiyor. Düğümleri merkezleri noktada bulunan karelerle numaralandırırsanız bunu yapmak kolaydır.

(resme bakınız). Bu durumda q olan karelerin alt kısımları
.
buna ihtiyacımız yok. Bu nedenle şekilde gösterilmemiştir. Yani, ilk karenin üst tarafı için elimizde: Sonraki numarayı veriyoruz

.
üst kısım

.
hadi düz çizgiden gidelim

aşağıdaki kare:

Aşağıdaki karenin üst kısmını numaralandırıyoruz: Bu şekilde tüm rasyonel sayıları içeren bir dizi elde ederiz. Bu dizide herhangi bir rasyonel sayının sonsuz sayıda göründüğünü fark edebilirsiniz. Aslında, bu dizi, düğümle birlikte, doğal bir sayı olan düğümleri de içerecektir. Ancak bu düğümlerin tümü aynı rasyonel sayıya karşılık gelir. Daha sonra oluşturduğumuz diziden, tüm öğeleri önceden belirlenmiş bir rasyonel sayıya eşit olan (sonsuz sayıda öğeye sahip) bir alt dizi seçebiliriz. Oluşturduğumuz dizinin yakınsayan alt dizileri olduğundan

farklı sayılar

ise dizi herhangi bir sayıya yakınsamaz. Çözüm Burada sayı dizisinin kesin bir tanımını verdik. Sezgisel fikirlere dayanarak yakınsama konusunu da gündeme getirdik.

Tam tanım yakınsama Bir Dizinin Limitinin Belirlenmesi sayfasında tartışılmıştır. İlgili özellikler ve teoremler sayfada belirtilmiştir. Birçok insan için matematiksel analiz anlaşılmaz sayılar, simgeler ve tanımlardan oluşan bir dizidir. gerçek hayat. Ancak içinde bulunduğumuz dünya, tanımlanması yalnızca kavramaya yardımcı olmayan sayısal kalıplar üzerine inşa edilmiştir. etrafımızdaki dünya ve çöz karmaşık problemler, ama aynı zamanda evi basitleştirmek için

pratik problemler

. Bir matematikçi sayı dizisinin yakınsak olduğunu söylerken ne demek ister? Bu konuyu daha detaylı konuşmalıyız. küçük? böylesine parlak rakamlar, ortaya çıkan sıranın fevkalade uzun olacağı ortaya çıkacak. Bu yakınsak bir sayı dizisidir. Ve sıfıra meyillidir, çünkü sonraki her yuvalama bebeğinin boyutu felaketle azalarak yavaş yavaş hiçbir şeye dönüşmez. Böylece sonsuz küçüklüğün ne olduğunu açıklamak kolaydır.

Benzer bir örnek uzaklara giden bir yol olabilir. Ve gözlemciden uzaklaşan arabanın görsel boyutları yavaş yavaş küçülerek bir noktaya benzeyen şekilsiz bir beneğe dönüşüyor. Böylece araba, bilinmeyen bir yöne doğru hareket eden bir nesne gibi sonsuz derecede küçülür. Seçenekler belirtilen vücut asla sıfır olmayacak gerçekten Bu kelimeyi ama her zaman nihai sınırda bu değer için çabalıyoruz. Bu nedenle bu dizi tekrar sıfıra yakınsar.

Her şeyi damla damla hesaplayalım

Şimdi hayal edelim günlük durum. Doktor, hastaya günde on damla ile başlayıp sonraki her gün iki damla ekleyerek karışımı almasını önerdi. Bunun üzerine doktor, hacmi 190 damla olan ilaç şişesinin içeriği bitene kadar devam etmeyi önerdi. Yukarıdakilerden, güne göre listelenen sayıların şu sayı serisi olacağı anlaşılmaktadır: 10, 12, 14 vb.

Tüm kursu tamamlama süresini ve dizideki üye sayısını nasıl öğrenebilirim? Burada elbette damlaları ilkel bir şekilde sayabilirsiniz. Ancak verilen model göz önüne alındığında, d = 2 adımlı formülü kullanmak çok daha kolaydır. Ve bu yöntemi kullanarak terim sayısının kaç olduğunu bulun. sayı serisi 10'a eşittir. Ayrıca a 10 = 28'dir. Üye numarası ilacın kullanıldığı gün sayısını, 28 ise hastanın son gün alması gereken damla sayısını ifade etmektedir. Bu dizi yakınsıyor mu? Hayır, çünkü alttan 10, üstten 28 ile sınırlı olmasına rağmen böyle bir sayı serisinin önceki örneklerden farklı olarak bir sınırı yoktur.

Fark nedir?

Şimdi konuyu açıklığa kavuşturmaya çalışalım: Bir sayı serisinin yakınsak bir dizi olduğu ortaya çıktığında. Bu tür bir tanım, yukarıdan da anlaşılacağı gibi, varlığı konunun özünü ortaya koyan sonlu limit kavramıyla doğrudan ilgilidir. Ne olmuş? temel fark daha önce verilen örnekler? Peki neden sonuncusunda 28 sayısı X n = 10 + 2(n-1) sayı serisinin limiti olarak kabul edilemiyor?

Bu soruyu açıklığa kavuşturmak için aşağıdaki formülle verilen ve n'nin doğal sayılar kümesine ait olduğu başka bir diziyi düşünün.

Bu üye topluluğu bir koleksiyondur sıradan kesirler payı 1 olan ve paydası sürekli artan: 1, ½ ...

Üstelik bu serinin sonraki her temsilcisi, sayı doğrusu üzerindeki konum açısından 0'a giderek daha fazla yaklaşıyor. Bu, noktaların sınır olan sıfır etrafında kümelendiği bir mahallenin ortaya çıkması anlamına geliyor. Ve ona yaklaştıkça sayı doğrusu üzerindeki konsantrasyonları da artar. Ve aralarındaki mesafe felaket derecede azalır ve sonsuz küçüklüğe dönüşür. Bu dizinin yakınsak olduğunun işaretidir.

Aynı şekilde şekilde gösterilen çok renkli dikdörtgenler uzayda kaldırıldığında görsel olarak birbirine daha yakın düzenleniyor ve varsayımsal sınırda ihmal edilebilir boyutlara dönüşüyor.

Sonsuz büyük diziler

Yakınsak dizinin tanımını inceledikten sonra şimdi konuya geçiyoruz. karşı örnekler. Birçoğu eski çağlardan beri insanoğlu tarafından biliniyor. Iraksak dizilerin en basit varyantları doğal ve çift sayılar dizisidir. Aksi halde sonsuz büyük olarak adlandırılırlar, çünkü sürekli artan üyeleri giderek pozitif sonsuza yaklaşmaktadır.

Bunların örnekleri aynı zamanda aritmetik ve geometrik ilerlemeler sırasıyla adım ve payda ile sıfırdan büyük. Iraksak diziler aynı zamanda hiçbir sınırı olmayan sayısal diziler olarak da kabul edilir. Örneğin, Xn = (-2)n-1 .

Fibonacci dizisi

Daha önce bahsedilen sayı serilerinin insanlığa pratik faydaları yadsınamaz. Ama çok sayıda başkaları da var harika örnekler. Bunlardan biri Fibonacci dizisidir. Bir ile başlayan terimlerin her biri öncekilerin toplamıdır. İlk iki temsilcisi 1 ve 1'dir. Üçüncüsü 1+1=2, dördüncüsü 1+2=3, beşincisi 2+3=5'tir. Ayrıca aynı mantığa göre 8, 13, 21 vb. sayıları takip edin.

Bu sayı dizisi süresiz olarak artar ve sonlu bir sınırı yoktur. Ama onun bir tane daha var dikkat çekici özellik. Önceki her sayının bir sonraki sayıya oranı giderek değer olarak 0,618'e yaklaşmaktadır. Burada yakınsak ve ıraksak dizi arasındaki farkı anlayabilirsiniz, çünkü bölmelerden elde edilen bir dizi bölüm derlerseniz, belirtilen sayısal sistem elde edilecektir. son sınır 0,618'e eşit.

Fibonacci oranları dizisi

Yukarıdaki sayı serisi yaygın olarak kullanılmaktadır. pratik amaçlar Piyasaların teknik analizi için. Ancak bu, Mısırlıların ve Yunanlıların eski zamanlarda bildiği ve uygulamaya koyabildiği yeteneklerini sınırlamaz. Bu, inşa ettikleri piramitler ve Parthenon tarafından kanıtlanmıştır. Sonuçta 0,618 sayısı sabit katsayı Antik çağlardan beri bilinen altın oran. Bu kurala göre, herhangi bir parça, parçaları arasındaki ilişki, parçaların en büyüğü ile toplam uzunluk arasındaki ilişkiyle çakışacak şekilde bölünebilir.

Bu ilişkilerden bir dizi oluşturalım ve bu diziyi analiz etmeye çalışalım. Sayı serisi şu şekilde olacaktır: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 vb. Bu şekilde devam edersek yakınsak dizinin limitinin gerçekten 0,618 olacağını doğrulayabiliriz. Ancak bu modelin diğer özelliklerine de dikkat etmek gerekir. Burada sayılar sıra dışı görünüyor ve hiç de artan veya azalan sırada değil. Bu, bu yakınsak dizinin monoton olmadığı anlamına gelir. Bunun neden böyle olduğu daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Monotonluk ve sınırlama

Sayıları artan bir sayı serisinin üyeleri açıkça azalabilir (eğer x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) veya artabilir (eğer x 1 ise)

Bu serinin rakamlarını yazdığınızda, süresiz olarak 1'e yaklaşan üyelerinden hiçbirinin bu değeri asla aşmayacağını görebilirsiniz. Bu durumda yakınsak dizinin sınırlı olduğu söylenir. Ne zaman böyle bir şey olsa bu olur pozitif sayı M, her zaman serinin modül açısından herhangi bir teriminden daha büyük olduğu ortaya çıkar. Bir sayı serisinin monotonluk işaretleri varsa ve bir sınırı varsa ve bu nedenle yakınsaksa, o zaman bu özelliğe mutlaka sahiptir. Üstelik bunun tersinin doğru olması da şart değil. Bu, yakınsak bir dizinin sınırlılığı hakkındaki teorem ile kanıtlanır.

Bu tür gözlemlerin pratikte uygulanmasının çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. X n = n/n+1 dizisinin özelliklerini inceleyerek spesifik bir örnek verelim ve yakınsaklığını kanıtlayalım. (x n +1 - x n), n'nin herhangi bir değeri için pozitif bir sayı olduğundan, bunun monoton olduğunu göstermek kolaydır. Dizinin limiti 1 sayısına eşittir, bu da Weierstrass teoremi olarak da adlandırılan yukarıdaki teoremin tüm koşullarının karşılandığı anlamına gelir. Yakınsak bir dizi için sınırlılık teoremi, eğer bir limiti varsa her durumda sınırlı olduğunu belirtir. Ancak aşağıdaki örneği verelim. X n = (-1) n sayı serisi alttan -1, üstten ise 1 ile sınırlanmıştır. Ancak bu dizi monoton değildir, limiti yoktur ve dolayısıyla yakınsak değildir. Yani sınırlılık her zaman bir sınırın ve yakınsamanın varlığı anlamına gelmemektedir. Bunun gerçekleşebilmesi için Fibonacci oranlarında olduğu gibi alt ve üst sınırların çakışması gerekir.

Evrenin sayıları ve yasaları

Yakınsak ve ıraksak bir dizinin en basit varyantları belki de X n = n ve X n = 1/n sayı serileridir. Bunlardan ilki doğal sayı dizisidir. Daha önce de belirtildiği gibi sonsuz büyüklüktedir. İkinci yakınsak dizi sınırlıdır ve terimlerinin büyüklüğü sonsuz küçüktür. Bu formüllerin her biri, çok yönlü Evrenin taraflarından birini kişileştirir ve bir kişinin sayılar ve işaretler dilinde, bilinemeyen, sınırlı algı için erişilemez bir şeyi hayal etmesine ve hesaplamasına yardımcı olur.

Evrenin önemsizden inanılmaz büyüğe kadar uzanan yasaları da 0,618 altın katsayısıyla ifade ediliyor. Bilim adamları onun şeylerin özünün özünde yattığına ve doğa tarafından parçalarını oluşturmak için kullanıldığına inanıyor. Fibonacci serisinin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki daha önce bahsedilen ilişkiler, bu eşsiz serinin şaşırtıcı özelliklerinin gösterilmesini tamamlamamaktadır. Bir önceki terimi bir sonrakine birer birer bölme bölümünü dikkate alırsak 0,5 serisini elde ederiz; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 vb. İlginç olan, bu sınırlı dizinin yakınsamasıdır, monoton değildir, ancak belirli bir terimden aşırı olan bitişik sayıların oranı her zaman yaklaşık olarak 0,382'ye eşit çıkar ve bu, mimaride, teknik analizde ve diğer endüstrilerde de kullanılabilir.

Başka ilginç Fibonacci serisi katsayıları da var, hepsi doğada özel bir rol oynuyor ve insanlar tarafından pratik amaçlarla da kullanılıyor. Matematikçiler, Evrenin belirtilen katsayılardan oluşan bir tür "altın sarmal" boyunca geliştiğinden eminler. Onların yardımıyla, belirli bakteri sayısının büyümesinden uzak kuyruklu yıldızların hareketine kadar Dünya'da ve uzayda meydana gelen birçok olguyu hesaplamak mümkündür. DNA kodunun da benzer yasalara tabi olduğu ortaya çıktı.

Geometrik ilerlemenin azaltılması

Yakınsak bir dizinin limitinin benzersizliğini belirten bir teorem vardır. Bu, iki veya daha fazla limite sahip olamayacağı anlamına gelir ve bu da şüphesiz matematiksel özelliklerini bulmak için önemlidir.

Bazı durumlara bakalım. Sıfır adımlı durum dışında, bir aritmetik ilerlemenin üyelerinden oluşan herhangi bir sayı serisi ıraksaktır. Aynı durum, paydası 1'den büyük olan geometrik ilerleme için de geçerlidir. Bu tür sayı serilerinin limitleri sonsuzluğun “artı” veya “eksi”sidir. Payda -1'den küçükse limit yoktur. Diğer seçenekler de mümkündür.

X n = (1/4) n -1 formülüyle verilen bir sayı serisini ele alalım. İlk bakışta bu yakınsak dizinin sınırlı olduğunu anlamak kolaydır çünkü kesin olarak azalan bir dizidir ve hiçbir şekilde negatif değer alamamaktadır.

Belirli sayıda üyesini bir dizi halinde yazalım.

Görünüşe göre: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 vb. Bu geometrik ilerlemenin payda 0'dan ne kadar hızlı başladığını anlamak için oldukça basit hesaplamalar yeterlidir.

Temel Diziler

Fransız bilim adamı Augustin Louis Cauchy, dünyaya matematiksel analizle ilgili birçok eser gösterdi. Diferansiyel, integral, limit, süreklilik gibi kavramların tanımlarını yaptı. Ayrıca yakınsak dizilerin temel özelliklerini de araştırdı. Fikirlerinin özünü anlamak için bazı önemli detayları özetlemek gerekir.

Makalenin en başında, sayı doğrusu üzerinde belirli bir serinin üyelerini temsil eden noktaların bir araya gelmeye başladığı, giderek daha yoğun bir şekilde sıralandığı bir mahallenin bulunduğu dizilerin olduğu gösterilmişti. Aynı zamanda bir sonraki temsilcinin sayısı arttıkça aralarındaki mesafe azalarak sonsuz küçüklüğe dönüşür. Böylece, belirli bir mahallede belirli bir serinin sonsuz sayıda temsilcisinin gruplandırıldığı, dışında ise sınırlı sayıda temsilcinin gruplandırıldığı ortaya çıkıyor. Bu tür dizilere temel denir.

Fransız bir matematikçi tarafından oluşturulan ünlü Cauchy kriteri, böyle bir özelliğin varlığının dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için yeterli olduğunu açıkça göstermektedir. Bunun tersi de doğrudur.

Fransız matematikçinin bu sonucunun çoğunlukla tamamen teorik ilgiye yönelik olduğunu belirtmek gerekir. Pratikte uygulanması oldukça zor kabul edilir, bu nedenle serilerin yakınsamasını belirlemek için dizinin sonlu bir limitinin varlığını kanıtlamak çok daha önemlidir. Aksi takdirde farklı kabul edilir.

Problemleri çözerken yakınsak dizilerin temel özelliklerini de dikkate almalısınız. Aşağıda sunulmuştur.

Sonsuz miktarlar

Arşimet, Öklid, Eudoxus gibi ünlü antik bilim adamları, eğrilerin uzunluklarını, cisimlerin hacimlerini ve şekillerin alanlarını hesaplamak için sonsuz sayı serilerinin toplamlarını kullandılar. Özellikle parabolik bir segmentin alanını bulmak bu şekilde mümkün oldu. Bu amaçla q = 1/4 olan bir geometrik ilerlemenin sayı serisinin toplamı kullanıldı. Diğer rastgele şekillerin hacimleri ve alanları da benzer şekilde bulunmuştur. Bu seçeneğe "tükenme" yöntemi adı verildi. Buradaki fikir, incelenen karmaşık şekilli vücudun, kolayca ölçülebilir parametrelere sahip figürleri temsil eden parçalara bölünmesiydi. Bu nedenle alanlarını ve hacimlerini hesaplamak zor olmadı ve daha sonra toplandılar.

Bu arada, benzer sorunlar modern okul çocuklarına çok tanıdık geliyor ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde de bulunuyor. Uzak ataların bulduğu benzersiz bir yöntem, bugün hala en basit çözümdür. Sayısal şeklin bölündüğü yalnızca iki veya üç parça olsa bile, bunların alanlarının toplamı yine de sayı serisinin toplamını temsil eder.

Çok daha sonra, eski Yunan bilim adamları Leibniz ve Newton, bilge öncüllerinin deneyimlerine dayanarak integral hesaplama yasalarını öğrendiler. Dizilerin özelliklerinin bilgisi, diferansiyel ve cebirsel denklemleri çözmelerine yardımcı oldu. Şu anda, birçok nesil yetenekli bilim insanının çabalarıyla oluşturulan seri teorisi, çok sayıda matematiksel ve pratik problemi çözme şansı sunuyor. Ve sayısal dizilerin incelenmesi, yaratılışından bu yana matematiksel analizin çözdüğü ana problemdir.

Bir dizi doğal sayıyı düşünün: 1, 2, 3, , N – 1, N,  .

Her doğal sayıyı değiştirirsek N bu seride belli bir sayıya göre A N bazı kanunları takip ederek yeni bir sayı dizisi elde ederiz:

A 1 , A 2 , A 3, , A N –1 , A N , ,

kısaca belirlenmiş ve çağrılmış sayısal dizi. Büyüklük A N sayı dizisinin ortak üyesi denir. Genellikle sayı dizisi bazı formüllerle verilir A N = F(N) dizinin herhangi bir üyesini numarasına göre bulmanızı sağlar N; bu formüle genel terim formülü denir. Genel terim formülü kullanarak bir sayısal diziyi tanımlamanın her zaman mümkün olmadığını unutmayın; bazen bir dizi, üyelerini tanımlayarak belirtilir.

Tanım gereği, bir dizi her zaman sonsuz sayıda öğe içerir: Herhangi iki farklı öğe, en azından sayıları bakımından farklılık gösterir ve bunların sonsuz sayıda vardır.

Sayı dizisi, bir fonksiyonun özel bir durumudur. Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan ve gerçek sayılar kümesinde değer alan bir fonksiyondur, yani formun bir fonksiyonu F : N  R.

Alt sıra
isminde artan(azalan), eğer varsa N  N
Bu tür dizilere denir kesinlikle monoton.

Bazen doğal sayıların tamamını sayı olarak değil, yalnızca bazılarını (örneğin, bazı doğal sayılardan başlayan doğal sayılar) kullanmak daha uygun olur. N 0). Numaralandırma için yalnızca doğal sayıları değil aynı zamanda diğer sayıları da kullanmak mümkündür, örneğin: N= 0, 1, 2,  (burada doğal sayılar kümesine başka bir sayı olarak sıfır eklenir). Bu gibi durumlarda sırayı belirtirken sayıların hangi değerleri aldığını belirtin N.

Herhangi biri için bir sırayla ise N  N
o zaman dizi çağrılır azalmayan(artmayan). Bu tür dizilere denir monoton.

Örnek 1 . 1, 2, 3, 4, 5, ... sayı dizisi bir doğal sayı dizisidir ve ortak bir terime sahiptir. A N = N.

Örnek 2 . 2, 4, 6, 8, 10, ... sayı dizisi çift sayılardan oluşan bir dizidir ve ortak bir terime sahiptir A N = 2N.

Örnek 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – artan doğrulukla yaklaşık değerlerin sayısal dizisi.

Son örnekte dizinin genel terimi için bir formül vermek mümkün değildir.

Örnek 4 . Bir sayı dizisinin ilk 5 terimini ortak terimini kullanarak yazın
. Hesaplamak A Genel terim formülünde 1 gereklidir A N yerine N hesaplamak için 1 yerine A 2 − 2, vb. O halde elimizde:

Test 6 . 1, 2, 6, 24, 120,  dizisinin ortak elemanı:

1)

2)

3)

4)

Test 7 .
şu:

1)

2)

3)

4)

Test 8 . Dizinin ortak üyesi
şu:

1)

2)

3)

4)

Numara dizisi sınırı

Ortak terimi belirli bir sayıya yaklaşan bir sayı dizisi düşünün A seri numarası arttığında N. Bu durumda sayı dizisinin bir limiti olduğu söylenir. Bu kavramın daha katı bir tanımı var.

Sayı A sayı dizisinin limiti denir
:

(1)

eğer herhangi bir  > 0 için böyle bir sayı varsa N 0 = N 0 (), 'ye bağlı olarak
en N > N 0 .

Bu tanım şu anlama gelir A ortak terimi sınırsız yaklaşıyorsa sayı dizisinin bir sınırı vardır A artan ile N. Geometrik olarak bu, herhangi bir  > 0 için böyle bir sayının bulunabileceği anlamına gelir N 0 , hangisinden başlayarak N > N 0, dizinin tüm üyeleri aralığın içinde yer alır ( A – , A+ ). Limiti olan diziye denir yakınsak; aksi takdirde - farklı.

Bir sayı dizisi, belirli bir işaretin yalnızca bir limitine (sonlu veya sonsuz) sahip olabilir.

Örnek 5 . Harmonik dizi 0 limit numarasına sahiptir. Aslında herhangi bir aralık için (–; +) sayı olarak N 0'dan büyük herhangi bir tamsayı olabilir. O zaman herkes için N > N 0 >elimizde

Örnek 6 . 2, 5, 2, 5,  dizisi ıraksaktır. Gerçekten de, örneğin birden daha kısa hiçbir aralık, belirli bir sayıdan başlayarak dizinin tüm üyelerini içeremez.

Sıra denir sınırlı eğer böyle bir sayı varsa M, Ne
herkes için N. Her yakınsak dizi sınırlıdır. Her monotonik ve sınırlı dizinin bir sınırı vardır. Her yakınsak dizinin benzersiz bir sınırı vardır.

Örnek 7 . Alt sıra
artıyor ve sınırlanıyor. Onun bir sınırı var
=e.

Sayı e isminde Euler numarası ve yaklaşık olarak 2,718 28'e eşittir.

Test 9 . 1, 4, 9, 16,  dizisi şöyledir:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

Test 10 . Alt sıra
şu:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

4) aritmetik ilerleme;

5) geometrik ilerleme.

Test 11 . Alt sıra değil:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

4) harmonik.

Test 12 . Ortak bir terimle verilen bir dizinin limiti
eşit.