Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.
Unutulmamalıdır ki, en büyük ve en küçük değer fonksiyonlar genellikle fonksiyonun tüm alanı veya alanının bir parçası olan bir X aralığında aranır. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir 
, sonsuz bir aralık.
Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) 'in açıkça tanımlanmış bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin bulunmasından bahsedeceğiz.
Sayfada gezinme.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.
Kısaca ana tanımlara bakalım.
Fonksiyonun en büyük değeri 
bu herkes için 
eşitsizlik doğrudur.
Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir 
bu herkes için eşitsizlik doğrudur.
Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.
Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.
En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir ekstremuma sahip olması durumunda ( yerel minimum veya yerel maksimum) belirli bir noktada ise bu nokta durağandır. Bu nedenle, fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.
Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve minimum değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.
Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.
Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.
Segmentte
İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.
İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin olduğu noktada elde edilir.
Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.
Açık bir aralıkta
Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.
Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.
sonsuzlukta
Yedinci şekilde gösterilen örnekte fonksiyon, en yüksek değer(max y) apsis x=1 olan sabit bir noktadadır ve en küçük değer (min y) aralığın sağ sınırında elde edilir. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.
Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. x=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 düz çizgisi dikey asimptot) ve apsis artı sonsuza doğru yöneldiğinden fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.
Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.
Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.
- Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
- Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
- Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
- Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
- Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.
Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.
Örnek.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma
- segmentte;
- [-4;-1] segmentinde.
Çözüm.
Bir fonksiyonun etki alanı kümenin tamamıdır gerçek sayılar, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.
Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun: 
Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.
Denklemden sabit noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.
İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz: 
Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri 
x=1'de elde edilir ve en küçük değer 
– x=2'de.
İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir): 
Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.
Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:
1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);
2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;
3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;
4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma
segmentte.
Kritik noktaları bulma:
Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;
bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.
Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.
İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) grafiği tanjantın üzerinde yer alıyorsa.
Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.
Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:
1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.
2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.
3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.
Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.
Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.
Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.
Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani
fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.
Örnek.
D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – kırılma noktası.
Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer
Örnek.
|
X | |||
|
sen |
Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede
Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.
Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :
1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).
2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).
3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).
4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.
6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.
7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.
Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.
1) D (sen) =
X= 4 – kırılma noktası.
2) Ne zaman X = 0,
(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.
Şu tarihte: sen = 0,
3)
sen(‒
X)=
işlev genel görünüm(ne çift ne de tek).
4) Asimptotları inceliyoruz.
a) dikey
yatay
c) eğik asimptotları bulun;
‒eğik asimptot denklemi
5)B verilen denklem fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmaya gerek yoktur.
6)
Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.
$z=f(x,y)$ fonksiyonu tanımlı ve sınırlı bir durumda sürekli olsun kapalı alan$D$. Bu bölgedeki verilen fonksiyonun birinci dereceden sonlu kısmi türevleri olsun (belki sonlu sayıda nokta hariç). Belirli bir kapalı bölgedeki iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gerekir.
Kapalı bir $D$ etki alanında $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.
- $D$ etki alanına ait $z=f(x,y)$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun. Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesinin sınırındaki davranışını araştırın ve olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bulun. Elde edilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Kritik noktalar nelerdir? göster\gizle
Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevlerin de sıfıra eşit olduğu noktaları ima eder (yani $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.
Genellikle birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Dolayısıyla durağan noktalar bir alt kümedir kritik noktalar.
Örnek No.1
$z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun kapalı bir bölgedeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun, çizgilerle sınırlı$x=3$, $y=0$ ve $y=x+1$.
Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimiyle ilgileneceğiz. Bize verildi üçün denklemleri Bu alanı sınırlayan düz çizgiler. $x=3$ düz çizgisi, ordinat eksenine (Oy ekseni) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. $y=0$ düz çizgisi apsis ekseninin (Ox ekseni) denklemidir. $y=x+1$ çizgisini oluşturmak için içinden bu çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulacağız. Elbette $x$ yerine birkaç keyfi değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ doğrusu üzerinde bulunan $(10;11)$ noktasını bulduk. Ancak, $y=x+1$ düz çizgisinin $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Bu neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş vuracağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki nokta alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin, verilen alanı sınırlayan diğer doğrularla hangi noktalarda kesiştiğini bulacağız. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusunu $(3;4)$ noktasında kesiyor ve $y=0$ doğrusu $(-1;0)$ noktasında kesişiyor. Çözümün ilerleyişini yardımcı açıklamalarla karıştırmamak adına bu iki noktanın elde edilmesi sorusunu bir notta belirteceğim.
$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster\gizle
$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesiştiği noktadan başlayalım. İstenilen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci düz çizgilere aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: sahip olacağımız ilk denklemin yerine $x=3$ koymak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Denklem sistemini tekrar oluşturup çözelim:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
İlk denklemde $y=0$ yerine şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (x ekseni) doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Şöyle görünecek bir çizim oluşturmak için her şey hazır:
Nottaki soru açık görünüyor çünkü resimde her şey görülebiliyor. Ancak çizimin delil teşkil edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Çizim yalnızca açıklama amaçlıdır.
Alanımız onu sınırlayan çizgilerin denklemleri kullanılarak tanımlandı. Açıkçası, bu çizgiler bir üçgeni tanımlıyor, değil mi? Yoksa tamamen açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanan farklı bir alan verilmiştir:
Tabii şart alanın kapalı olduğunu söylüyor, dolayısıyla gösterilen resim hatalı. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklere göre tanımlamak daha iyidir. Uçağın $y=x+1$ düz çizgisinin altında bulunan kısmıyla ilgileniyor muyuz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi yer almalı? Harika, bu $y ≥ 0$ anlamına geliyor. Bu arada, son iki eşitsizlik kolayca tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Bu eşitsizlikler $D$ bölgesini tanımlar ve hiçbir belirsizliğe izin vermeden açık bir şekilde tanımlar. Peki bunun, notun başında belirtilen soru konusunda bize nasıl bir faydası olacak? Ayrıca faydası olur :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ alanına ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sisteminde $x=1$ ve $y=1$ yerine koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanırsa nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmıyorsa nokta bölgeye ait değildir. Bu yüzden:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
Her iki eşitsizlik de geçerlidir. $M_1(1;1)$ noktası $D$ bölgesine aittir.
Şimdi fonksiyonun bölge sınırındaki davranışını incelemenin zamanı geldi, yani. hadi gidelim. $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.
$y=0$ düz çizgisi (apsis ekseni), $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $y=0$ yerine koyalım verilen fonksiyon$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Değiştirme sonucunda elde edilen $x$ değişkeninin fonksiyonunu $f_1(x)$ olarak gösteririz:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla noktalar listesine $M_2(2;0)$ da ekleyeceğiz. Ayrıca $z$ fonksiyonunun $-1 ≤ x ≤ 3$ bölütünün uçlarındaki değerlerini de hesaplayalım, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, eğer $M_2$ noktası söz konusu segmente ait olmasaydı, o zaman elbette içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktı.
Öyleyse $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarında hesaplayalım. Elbette bu noktaların koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Ancak hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$'a sahip olduğumuzu hatırlamakta fayda var. Bunu ayrıntılı olarak yazacağım:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(hizalanmış)
Elbette böyle bir durumda detaylı kayıtlar Genellikle buna gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları kısaca yazacağız:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Şimdi $x=3$ düz çizgisine dönelim. Bu düz çizgi $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. Verilen $z$ fonksiyonuna $x=3$ koyalım. Bu ikamenin sonucu olarak $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla önceden bulunan noktalara $M_5(3;3)$ da ekleyeceğiz. Ek olarak, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uçlarındaki noktalarda $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamak gerekir, yani. $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında $z$ değerini zaten hesapladık. $z$ fonksiyonunun değerini $M_5$ ve $M_6$ noktalarında hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, dolayısıyla:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalanmış)
Ve son olarak, $D$ bölgesinin son sınırını düşünün, yani. düz çizgi $y=x+1$. Bu düz çizgi $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $z$ fonksiyonunda $y=x+1$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Bir kez daha elimizde $x$ değişkenli bir fonksiyon var. Ve yine bu fonksiyonun $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığında en büyük ve en küçük değerlerini bulmamız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulalım ve onu sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. Eğer $x=1$ ise, o zaman $y=x+1=2$ olur. Nokta listesine $M_7(1;2)$'ı ekleyelim ve $z$ fonksiyonunun bu noktada değerinin ne olduğunu bulalım. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki noktalar, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktaları daha önce dikkate alınmıştı, fonksiyonun değerini zaten bunların içinde bulduk.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Çözümün ikinci adımı tamamlandı. Yedi değer aldık:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Hadi dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek şunu elde edeceğiz:
$$z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6.$$
Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kaldı.
Cevap: $z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6$.
Örnek No.2
$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
İlk önce bir çizim oluşturalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, belirli bir alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı şu şekilde olan bir daireyi tanımlar: 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 eşitsizliği söz konusu çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları karşılar.
Ona göre hareket edeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.
$$ \frac(\kısmi z)(\kısmi x)=2x-12; \frac(\kısmi z)(\kısmi y)=2y+16. $$
Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı nokta yoktur. Her iki kısmi türevin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım. Durağan noktaları bulalım.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.
Elimizde sabit nokta$(6;-8)$. Ancak bulunan nokta $D$ bölgesine ait değildir. Bunu çizime bile başvurmadan göstermek kolaydır. $D$ bölgemizi tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Eğer $x=6$, $y=-8$ ise, o zaman $x^2+y^2=36+64=100$, yani. $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği geçerli değil. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ alanına ait değil.
Yani $D$ bölgesinde kritik nokta yok. Devam edelim... Belirli bir alanın sınırındaki fonksiyonun davranışını incelememiz gerekir; $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebilir ve elde edilen ifadeyi $z$ fonksiyonumuzun yerine koyabiliriz. Bir daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin $y=\sqrt(25-x^2)$ ifadesini verilen işleve koyarsak, şunu elde ederiz:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Diğer çözüm, önceki örnek 1'deki bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Bu yöntemin yalnızca ilk kısmıyla ilgileneceğiz. Lagrange yönteminin ilk kısmını uyguladıktan sonra $z$ fonksiyonunun minimum ve maksimum değerlerini inceleyeceğimiz puanları elde edeceğiz.
Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$
Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalanmış) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(align)\right.$ $
Bu sistemi çözmek için hemen $\lambda\neq -1$'a işaret edelim. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymayı deneyelim:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin kabul edilemez olduğunu gösterir. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalanmış)
Burada neden özellikle $\lambda\neq -1$ koşulunu şart koştuğumuzun açıkça ortaya çıktığına inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini paydalara müdahale olmadan sığdırmak için yapıldı. Yani, paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.
$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyalım, yani. $x^2+y^2=25$ cinsinden:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Ortaya çıkan eşitlikten $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ sonucu çıkar. Dolayısıyla $\lambda$ parametresinin iki değeri var: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre $x$ ve $y$ olmak üzere iki çift değer elde ederiz:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalanmış)
Yani iki olası puanımız var koşullu ekstremum yani $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_1$ ve $M_2$ noktalarında bulalım:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalanmış)
Birinci ve ikinci adımda elde ettiğimiz değerler arasından en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ama içinde bu durumda seçim küçük :) Elimizde:
$$ z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125. $$
Cevap: $z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125$.
