Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulma algoritması fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktalar.
Teorik olarak kesinlikle bizim için faydalı olacaktır türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu tabakta:
En büyük ve en küçük değeri bulma algoritması.
Açıklamak benim için daha uygun spesifik örnek. Dikkate almak:
Örnek: Bulmak en yüksek değer[–4;0] aralığında y=x^5+20x^3–65x işlevi görür.
Aşama 1. Türevini alıyoruz.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Adım 2. Ekstrem noktaları bulma.
Ekstrem nokta fonksiyonun en büyük veya minimum değerine ulaştığı noktalara denir.
Ekstrem noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemeniz gerekir (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Şimdi bunu çözelim iki ikinci dereceden denklem ve bulunan kökler uç noktalarımızdır.
Bu tür denklemleri t = x^2'yi, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.
Denklemi 5 azaltalım, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ters değişimi x^2 = t olarak yaparız:
X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, olamaz negatif sayılar, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)
Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.
Aşama 3. En büyüğünü ve en fazlasını belirleyin düşük değer.
İkame yöntemi.
Bu koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. Bu yüzden bunu dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak parçamızın sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekir. Bunu yapmak için bu üç noktanın tamamını orijinal fonksiyonda yerine koyarız. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazı insanlar onu türevin yerine koymaya başlar...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Bu, fonksiyonun en büyük değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4; parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktasında elde edildiği anlamına gelir; 0].
Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! Y(-4)'ü hesaplamanın bir şekilde çok zor olduğunu düşünmüyor musunuz? Sınırlı süre koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:
İşaret tutarlılığı aralıkları boyunca.
Bu aralıklar fonksiyonun türevi için yani iki ikinci dereceden denklemimiz için bulunur.
Ben böyle yapıyorum. Yönlendirilmiş bir bölüm çiziyorum. Noktaları koyuyorum: -4, -1, 0, 1. Her ne kadar verilen parçaya 1 dahil olmasa da işaretin değişmezlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den kat kat büyük bir sayı alalım, örneğin 100 ve bunu zihinsel olarak iki ikinci dereceden denklemimiz olan 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65'e yerleştirelim. Hiçbir şeyi saymasak bile, 100 noktasında fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksiye çevirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon işareti tekrar artıya çevirecektir.
Teoriden fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunu tam olarak onun için çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce hesaplandığı gibi) Açık bu bölüm(bu mantıksal olarak çok anlaşılır bir durum, fonksiyon maksimuma ulaştığı için artmayı bıraktı ve azalmaya başladı).
Buna göre fonksiyonun türevi işareti eksiden artıya değiştirir, elde edilir bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet evet, noktayı da bulduk yerel minimum 1 ve y(1) ise Minimum değer diyelim ki -1'den +∞'a kadar bir segment üzerindeki fonksiyonlar. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM, yani belirli bir segmentteki minimum olduğunu unutmayın. Çünkü fonksiyonun gerçek (global) minimumu orada bir yere, -∞'a ulaşacaktır.
Bana göre ilk yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise bakış açısından daha basittir. Aritmetik işlemler ancak teorik açıdan çok daha karmaşıktır. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işareti değiştirmediği durumlar vardır ve genel olarak bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak yine de bu konuda ustalaşmanız gerekecektir. kaydolmayı planlıyorum teknik Üniversite(başka neden alasınız ki? profil Birleşik Devlet Sınavı ve bu sorunu çözün). Ancak pratik ve sadece pratik size bu tür sorunları kesin olarak çözmeyi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .
Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa sormayı unutmayın. Size cevap vermekten ve makalede değişiklik ve eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte oluşturduğumuzu unutmayın!
Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.
Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:
1) bul kritik noktalar aralıktaki işlevler ( a, b);
2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;
3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;
4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma
segmentte.
Kritik noktaları bulma:
Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;
noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.
Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.
İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arasında (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denir aşağı dışbükey (içbükey), eğer grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.
Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.
Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:
1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.
2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.
3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.
Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.
Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.
Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.
Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani
fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.
Örnek.
D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – kırılma noktası.
Tanım. Dümdüz y =A isminde Yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer
Örnek.
|
X | |||
|
sen |
Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede
Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.
Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :
1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).
2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).
3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).
4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.
6. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.
7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.
Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.
1) D (sen) =
X= 4 – kırılma noktası.
2) Ne zaman X = 0,
(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.
Şu tarihte: sen = 0,
3)
sen(‒
X)=
işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).
4) Asimptotları inceliyoruz.
a) dikey
yatay
c) eğik asimptotları bulun;
‒eğik asimptot denklemi
5)B verilen denklem fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmaya gerek yoktur.
6)
Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.
Sorun bildirimi 2:
Belirli bir aralıkta tanımlı ve sürekli olan bir fonksiyon verildiğinde. Bu aralıkta fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmanız gerekiyor.
Teorik temel.
Teorem (İkinci Weierstrass Teoremi):
Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli ise bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.
Fonksiyon en büyük ve en küçük değerlerine aralığın iç noktalarında veya sınırlarında ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri gösterelim. 
Açıklama:
1) Fonksiyon en büyük değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise aralığın sağ sınırında noktasında ulaşır.
2) Fonksiyon en büyük değerine noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bu noktadaki aralığın sağ sınırında ulaşır.
3) Fonksiyon maksimum değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (bu minimum noktadır).
4) Fonksiyon aralıkta sabittir, yani. aralığın herhangi bir noktasında minimum ve maksimum değerlerine ulaşır ve minimum ve maksimum değerler birbirine eşittir.
5) Fonksiyon maksimum değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (fonksiyonun bu aralıkta hem maksimum hem de minimuma sahip olmasına rağmen).
6) Fonksiyon en büyük değerine bir noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bir noktada (minimum noktadır) ulaşır.
Yorum:
"Maksimum" ve " maksimum değer" - Farklı şeyler. Bu, maksimumun tanımından ve "maksimum değer" ifadesinin sezgisel anlaşılmasından kaynaklanmaktadır.
Problem 2'yi çözmek için algoritma.
4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.
Örnek 4:
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme 
segmentte.
Çözüm:
1) Fonksiyonun türevini bulun. 
2) Denklemi çözerek sabit noktaları (ve ekstremum olduğundan şüphelenilen noktaları) bulun. İki taraflı sonlu türevin olmadığı noktalara dikkat edin. 
3) Fonksiyon değerlerini hesaplayın sabit noktalar ve aralığın sınırlarında.
4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.
Bu parçadaki fonksiyon en büyük değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.
Bu segmentteki fonksiyon minimum değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.
İncelenen fonksiyonun grafiğine bakarak hesaplamaların doğruluğunu doğrulayabilirsiniz. 
Yorum: Fonksiyon en büyük değerine maksimum noktada, minimum değerine ise parçanın sınırında ulaşır.
Özel bir durum.
Bir segmentteki bazı fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmanız gerektiğini varsayalım. Algoritmanın ilk noktasını tamamladıktan sonra, yani. türev hesaplaması, örneğin sadece negatif değerler dikkate alınan bölümün tamamı boyunca. Türev negatifse fonksiyonun azaldığını unutmayın. Fonksiyonun tüm segment boyunca azaldığını bulduk. Bu durum yazının başındaki 1 numaralı grafikte gösterilmektedir.
Fonksiyon segmentte azalır, yani. hiçbir ekstremum noktası yoktur. Resimden fonksiyonun segmentin sağ sınırında en küçük değeri, sol sınırında ise en büyük değeri alacağını görebilirsiniz. segmentteki türev her yerde pozitifse fonksiyon artar. En küçük değer segmentin sol kenarında, en büyüğü ise sağındadır.
segmentte
. Daha sonra bu x değerini fonksiyon denkleminde yerine koyarız 
