Bir logaritmanın Taylor serisi açılımı. Taylor serisi açılımı

Fonksiyonel seriler teorisinde merkezi yer bir fonksiyonun seri açılımına ayrılmış bir bölümü kaplar.

Böylece görev belirlenir: belirli bir işlev için birini bulmam lazım güç serisi

belirli bir aralıkta birleşen ve toplamı şuna eşit olan
, onlar.

= ..

Bu göreve denir Bir fonksiyonu kuvvet serisine genişletme problemi.

Bir kuvvet serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için gerekli bir koşul sonsuz sayıda türevlenebilirliğidir - bu, yakınsak güç serilerinin özelliklerinden kaynaklanır. Bu koşul, kural olarak, tanım alanlarındaki temel işlevler için karşılanır.

Yani fonksiyonun olduğunu varsayalım
herhangi bir mertebeden türevleri vardır. Bunu bir kuvvet serisine genişletmek mümkün müdür? Eğer öyleyse, bu seriyi nasıl bulabiliriz? Sorunun ikinci kısmını çözmek daha kolay, o yüzden onunla başlayalım.

Fonksiyonun olduğunu varsayalım.
noktayı içeren aralıkta yakınsayan bir kuvvet serisinin toplamı olarak gösterilebilir. X 0 :

= .. (*)

Nerede A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – bilinmeyen (henüz) katsayılar.

Değeri eşitliğe (*) koyalım x = x 0 , o zaman alırız

.

Kuvvet serisi (*) terimini terim bazında ayırt edelim

= ..

ve buraya inanmak x = x 0 , aldık

.

Bir sonraki farklılaşma ile seriyi elde ederiz

= ..

inanmak x = x 0 , aldık
, Neresi
.

Sonrasında P elde ettiğimiz kat farklılaşması

Son eşitliği varsayarsak x = x 0 , aldık
, Neresi

Böylece katsayılar bulunur

,
,
, …,
,….,

(*) dizisine hangisinin yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seriye denir Taylor'ın yanındafonksiyon için
.

Böylece şunu tespit ettik: eğer fonksiyon kuvvetler (x - x) cinsinden bir kuvvet serisine genişletilebilirse 0 ), bu genişleme tektir ve ortaya çıkan seri zorunlu olarak bir Taylor serisidir.

Taylor serisinin herhangi bir mertebeden türevi olan herhangi bir fonksiyon için elde edilebileceğini unutmayın. x = x 0 . Ancak bu, fonksiyon ile sonuç serisi arasına eşit işaret konulabileceği anlamına gelmez; serinin toplamının orijinal fonksiyona eşit olduğu. Birincisi, böyle bir eşitlik ancak yakınsaklık bölgesinde anlam ifade edebilir ve fonksiyon için elde edilen Taylor serileri ıraksaklaşabilir, ikinci olarak Taylor serisi yakınsaksa toplamı orijinal fonksiyonla çakışmayabilir.

Görevin çözüleceği yardımı ile bir ifade formüle edelim.

Eğer fonksiyon
x noktasının bir mahallesinde 0 kadar türevleri vardır (N+ 1) sipariş dahil, o zaman bu mahallede elimizdeformülTaylor

NeredeR N (X)-Taylor formülünün kalan terimi – şu şekle sahiptir (Lagrange formu)

Nerede noktaξ x ve x arasında yer alır 0 .

Taylor serisi ile Taylor formülü arasında bir fark olduğuna dikkat edin: Taylor formülü şu şekildedir: son miktar, yani P - sabit numara.

Serinin toplamını hatırlayın S(X) kısmi toplamların fonksiyonel dizisinin limiti olarak tanımlanabilir S P (X) belli aralıklarla X:

.

Buna göre bir fonksiyonu Taylor serisine genişletmek, herhangi bir fonksiyon için öyle bir seri bulmak anlamına gelir ki XX

Taylor formülünü şu şekilde yazalım:

dikkat et ki
aldığımız hatayı tanımlar, işlevi değiştirir F(X) polinom S N (X).

Eğer
, O
,onlar. fonksiyon Taylor serisinde genişletilir. Tam tersi ise
, O
.

Böylece kanıtladık Taylor serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için kriter.

Belirli bir aralıkta fonksiyonunF(x) bir Taylor serisine genişliyor, bu aralıkta olması gerekli ve yeterli
, NeredeR N (X) Taylor serisinin kalan terimidir.

Formüle edilmiş kriteri kullanarak şunları elde edebilirsiniz: yeterliTaylor serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için koşullar.

Eğer içindeysex noktasının bir mahallesi 0 fonksiyonun tüm türevlerinin mutlak değerleri aynı M sayısıyla sınırlıdır≥ 0, yani

, To bu komşulukta fonksiyon bir Taylor serisine genişler.

Yukarıdan şu anlaşılıyor algoritmafonksiyon genişletmeF(X) Taylor serisinde bir noktanın yakınında X 0 :

1. Fonksiyonların türevlerini bulma F(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…

2. Fonksiyonun değerini ve türevlerinin değerlerini noktadaki hesaplayın X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…

3. Taylor serisini resmi olarak yazıyoruz ve ortaya çıkan kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini buluyoruz.

4. Yürütmeyi kontrol edin yeterli koşullar, yani bunun için belirliyoruz X yakınsama bölgesinden kalan terim R N (X) sıfıra doğru eğilim gösterir
veya
.

Bu algoritma kullanılarak fonksiyonların Taylor serisine genişletilmesine denir. bir fonksiyonun tanımı gereği Taylor serisine genişletilmesi veya doğrudan ayrışma.

Eğer fonksiyon f(x) noktayı içeren bir aralık var A, tüm mertebelerden türevler varsa, Taylor formülü buna uygulanabilir:

Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir:

, burada x sayısı arasındadır X Ve A.

Eğer bir değer için xrn®0 en N®¥, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak bir formüle dönüşür Taylor serisi:

Yani fonksiyon f(x) söz konusu noktada Taylor serisine genişletilebilir X, Eğer:

1) tüm mertebelerden türevleri vardır;

2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.

Şu tarihte: A=0 adında bir seri elde ederiz Maclaurin yakınında:

örnek 1 f(x)= 2X.

Çözüm. Fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bulalım. X=0

f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X In2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X 2 2'de, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2X içinde N 2, f(n)( 0) = 2 0 içinde N 2=ln N 2.

Türevlerin elde edilen değerlerini Taylor serisi formülüne değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu serinin yakınsaklık yarıçapı sonsuza eşittir, dolayısıyla bu ayrışma-¥ için geçerlidir