Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değildir. Geometrik ilerleme, her bir sonraki terimi bir öncekiyle çarpılarak elde edilen b1, b2,..., b[n] sayılarından oluşan bir dizidir. sabit sayı. Aynı zamanda büyüme oranını veya ilerlemenin azalmasını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek
İçin görevi tamamla Geometrik ilerlemenin paydasına ek olarak ilk terimini de bilmek veya belirlemek gerekir. İçin pozitif değer payda ilerlemesi monoton dizi ve eğer bu sayı dizisi monoton olarak azalıyorsa ve eğer monoton olarak artıyorsa. Paydanın olduğu durum bire eşit pratikte dikkate alınmaz çünkü diziye sahibiz aynı sayılar ve bunların toplamının pratik bir önemi yok
Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle hesaplanır
Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülle belirlenir
Çözümleri düşünelim klasik problemler geometrik ilerlemeye Anlaşılması en basit olanlarla başlayalım.
Örnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk terimi 27 ve paydası 1/3'tür. Geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.
Çözüm: Sorunun durumunu forma yazalım.
Hesaplamalar için geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülünü kullanırız
Buna dayanarak ilerlemenin bilinmeyen terimlerini buluyoruz
Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek
Örnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimini bulun.
Çözüm: Geomitrik ilerlemenin paydasını tanımına göre hesaplıyoruz.
Paydası -2'ye eşit olan alternatif bir geometrik ilerleme elde ettik. Yedinci terim aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır
Bu sorunu çözer.
Örnek 3. Bir geometrik ilerleme, iki terimiyle verilmektedir. 
. İlerlemenin onuncu terimini bulun.
Çözüm:
Haydi yazalım değerleri belirle formüller aracılığıyla
Kurallara göre, paydayı bulmamız ve sonra aramamız gerekir. istenen değer ama onuncu dönem için elimizde
Aynı formül, giriş verileriyle yapılan basit manipülasyonlara dayanarak elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine bölersek sonuç olarak şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa onuncu terimi elde ederiz.
Böylece, benzer görevler basit dönüşümler kullanarak hızlı yol doğru çözümü bulabilirsiniz.
Örnek 4. Geometrik ilerleme yinelenen formüllerle verilmektedir
Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.
Çözüm:
Verilen verileri bir denklem sistemi biçiminde yazalım
Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin
İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulalım
Geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için aşağıdaki beş terimi hesaplayalım.
Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.
Sovyet matematikçi, akademisyen A.N. Kolmogorov
Geometrik ilerleme.
Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.
Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.
Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en çok hatırlayalım. önemli formüller ve açıklamalar, bu kavramla ilişkilidir.
Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir
, (1)
Nerede . Formül (1)'e formül denir genel üye geometrik ilerleme ve formül (2) geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .
Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:
, (3)
Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerleme terimleriformül geçerlidir
Eğer belirtirsek, o zaman
Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.
Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır
. (7)
Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne
Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.
Teorem. Eğer öyleyse
Kanıt. Eğer öyleyse
Teorem kanıtlandı.
“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.
Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman
Cevap: .
Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz
(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.
1. Eğer, daha sonra sistemin (9) ilk denkleminden elimizdeki.
2. Eğer öyleyse .
Örnek 3., ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .
Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .
Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.
Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri.
O zamandan beri veya
Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.
Ancak koşul gereği.
Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .
Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var
O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.
Cevap: .
Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:
O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.
Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz
Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .
Cevap: .
Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:
Ve .
Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz
Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz
Veya .
Cevap: .
Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.
Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.
Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .
Kontrol edelim: eğer, sonra , ve; eğer , o zaman ve .
İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .
Cevap: , .
Örnek 10.Denklemi çözün
, (11)
Nerede ve .
Çözüm. Sol Taraf denklem (11), sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .
Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem dır-dir
Cevap: .
Örnek 11. P tutarlılık pozitif sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .
Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama gelir: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.
O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.aldık tek karar dikkate alınan sorun, yani .
Cevap: .
Örnek 12. Toplamı Hesapla
. (12)
Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:
Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O
veya .
Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.
Cevap: .
Burada verilen problem çözme örnekleri başvuru sahiplerine sınava hazırlanırken faydalı olacaktır. giriş sınavları. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, kullanılabilir öğretim yardımcılarıÖnerilen literatür listesinden.
1. Üniversitelere başvuran adaylar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.
2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medynsky M.M. Tam kurs ilköğretim matematik Görevlerde ve alıştırmalarda. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler
Teorik bilgiler
Teorik bilgiler
Aritmetik ilerleme |
Geometrik ilerleme |
|
Tanım |
Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyenin aynı numaraya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir D (D- ilerleme farkı) |
Geometrik ilerleme bn her terimi ikinciden başlayarak önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olan sıfırdan farklı sayılar dizisidir Q (Q- ilerlemenin paydası) |
Tekrarlama formülü |
Herhangi bir doğal için N |
Herhangi bir doğal için N |
Formül n'inci terim |
bir n = bir 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristik özellik |  |
|
| İlk n terimin toplamı |  |
 |
Yorum içeren görev örnekleri
1. Egzersiz
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6, bir 2
N'inci terimin formülüne göre:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 gün
Koşula göre:
1= -6 ise 22= -6 + 21d .
İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 2
Geometrik ilerlemenin beşinci terimini bulun: -3; 6;....
1. yöntem (n-terim formülünü kullanarak)
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne göre:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Çünkü b 1 = -3,
2. yöntem (tekrarlayan formülü kullanarak)
İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğuna göre:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Cevap : b5 = -48.
Görev 3
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci terimini bulun.
Aritmetik ilerleme için karakteristik özellik benziyor 
.
Öyleyse:
.
Verileri formülde yerine koyalım:
Cevap: 95.
Görev 4
Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk on yedi terimin toplamını bulun.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:
.
Hangisi var bu durumda kullanımı daha mı uygun?
Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci teriminin formülü bilinmektedir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulabilirsiniz 1, Ve 16 bulmadan d. Bu nedenle ilk formülü kullanacağız.
Cevap: 368.
Görev 5
Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.
N'inci terimin formülüne göre:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21g.
Koşullara göre ise 1= -6 ise 22= -6 + 21d . İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:
d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Cevap : 22 = -48.
Görev 6
Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
İlerlemenin x ile gösterilen terimini bulun.
Çözerken n'inci terimin formülünü kullanacağız b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrik ilerlemeler için. İlerlemenin ilk dönemi. Q ilerlemesinin paydasını bulmak için, ilerlemenin verilen terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde alıp bölebiliriz. q = 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden, formülde n yerine 3'ü kullanırız.
Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:
.
Cevap : .
Görev 7
Aritmetik ilerlemelerden, formül tarafından verilen n'inci terim, koşulun sağlandığı terimi seçin 27 > 9:
Çünkü verilen koşul Aşamanın 27. dönemi için yerine getirilmesi gerekiyorsa, dört ilerlemenin her birinde n yerine 27 koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:
.
Cevap: 4.
Görev 8
Aritmetik ilerlemede 1= 3, d = -1,5. Belirt en yüksek değer n eşitsizliğinin geçerli olduğu yer BİR > -6.
>>Matematik: Geometrik ilerleme
Okuyucuya kolaylık sağlamak amacıyla bu paragraf, bir önceki paragrafta izlediğimiz planın aynısına göre oluşturulmuştur.
1. Temel kavramlar.
Tanım. Tüm üyeleri 0'dan farklı olan ve her üyesi ikinciden başlayarak bir önceki üyeden aynı sayı ile çarpılarak elde edilen sayısal diziye geometrik ilerleme denir. Bu durumda 5 sayısına geometrik ilerlemenin paydası denir.
Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (b n)
Bakmak mümkün mü sayı dizisi, bunun geometrik bir ilerleme olup olmadığını belirleyin? Olabilmek. Dizinin herhangi bir üyesinin önceki üyeye oranının sabit olduğuna ikna olursanız, geometrik ilerleme elde edersiniz.
Örnek 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Örnek 2.
Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 3.
Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Bu, b 1 - 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir.
Bu dizinin aynı zamanda aritmetik bir ilerleme olduğuna dikkat edin (bkz. § 15'teki örnek 3).
Örnek 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Bu, b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir.
Açıkçası, b 1 > 0, q > 1 ise geometrik ilerleme artan bir dizidir (bkz. örnek 1), b 1 > 0, 0 ise azalan bir dizidir.< q < 1 (см. пример 2).
(bn) dizisinin geometrik bir ilerleme olduğunu belirtmek için bazen aşağıdaki gösterim uygundur:
Simge “geometrik ilerleme” ifadesinin yerini alır.
Geometrik ilerlemenin ilginç ve aynı zamanda oldukça açık bir özelliğine dikkat çekelim:
Eğer sıra 
geometrik bir ilerlemedir, ardından kareler dizisi, yani 
geometrik bir ilerlemedir.
İkinci geometrik dizide birinci terim q 2'ye eşit ve eşittir.
Geometrik bir ilerlemede b n'den sonraki tüm terimleri atarsak, sonlu bir geometrik ilerleme elde ederiz 
Bu paragrafın ilerleyen paragraflarında en çok ele alacağız önemli özellikler geometrik ilerleme.
2. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül.
Geometrik bir ilerleme düşünün 
payda q. Sahibiz:
Herhangi bir n sayısı için eşitliğin doğru olduğunu tahmin etmek zor değil
Bu geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüdür.
Yorum.
Eğer okursan önemli Notönceki paragraftan anlayın ve anlayın, ardından yöntemi kullanarak formül (1)'i kanıtlamaya çalışın. matematiksel tümevarım aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülü için yapıldığı gibi.
Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yeniden yazalım.
ve gösterimi tanıtalım: y = mq 2 elde ederiz, veya daha detaylı olarak, 
x argümanı üssün içinde yer aldığından bu fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir. Bu, geometrik bir ilerlemenin, doğal sayılar kümesi N'de tanımlanan üstel bir fonksiyon olarak düşünülebileceği anlamına gelir. İncirde. Şekil 96a, Şekil 96'daki fonksiyonun grafiğini göstermektedir. 966 - fonksiyon grafiği 
Her iki durumda da elimizde yalıtılmış noktalar(apsis x = 1, x = 2, x = 3, vb. ile) belirli bir eğri üzerinde yer alır (her iki şekil de aynı eğriyi gösterir, yalnızca farklı konumlardadır ve farklı ölçeklerde tasvir edilmiştir). Bu eğriye üstel eğri denir. Hakkında daha fazlasını okuyun üstel fonksiyon ve grafikleri 11.sınıf cebir dersinde işlenecektir.
Önceki paragraftaki 1-5 arasındaki örneklere dönelim.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu b 1 = 1, q = 3 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım. 
2) 
Bu geometrik bir ilerlemedir. Bunun için n'inci terim için bir formül oluşturalım. 
Bu geometrik bir ilerlemedir 
N'inci terimin formülünü oluşturalım 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu b 1 = 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım. 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir. N'inci terimin formülünü oluşturalım 
Örnek 6.
Geometrik bir ilerleme verildiğinde
Her durumda çözüm, geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne dayanmaktadır.
a) Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne n = 6 koyarsak şunu elde ederiz:
b) elimizde
512 = 2 9 olduğundan n - 1 = 9, n = 10 elde ederiz.
d) Bizde var
Örnek 7.
Geometrik dizinin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 48, beşinci ve altıncı terimlerin toplamı da 48'dir. Bu dizinin onikinci terimini bulun.
İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.
Problemin koşulları kısaca şu şekilde yazılabilir:
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
O halde problemin ikinci koşulu (b 7 - b 5 = 48) şu şekilde yazılabilir:
Problemin üçüncü koşulu (b 5 + b 6 = 48) şu şekilde yazılabilir:
Sonuç olarak, iki değişken b 1 ve q olan iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:
yukarıda yazılan koşul 1) ile birlikte, matematiksel model görevler.
İkinci aşama.
Derlenmiş modelle çalışma. Sistemin her iki denkleminin sol taraflarını eşitleyerek şunu elde ederiz:
(denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan b 1 q 4 ifadesine böldük).
q 2 - q - 2 = 0 denkleminden q 1 = 2, q 2 = -1'i buluruz. Sistemin ikinci denkleminde q = 2 değerini yerine koyarsak şunu elde ederiz: 
Sistemin ikinci denkleminde q = -1 değerini yerine koyarsak b 1 1 0 = 48 elde ederiz; bu denklemin çözümü yoktur.
Yani b 1 =1, q = 2 - bu çift derlenmiş denklem sisteminin çözümüdür.
Şimdi geometrik ilerlemeyi yazabiliriz. Hakkında konuşuyoruz problemde: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Üçüncü sahne.
Sorun sorusunun cevabı. B 12'yi hesaplamanız gerekiyor. Sahibiz
Cevap: b 12 = 2048.
3. Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formül.
Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin
Terimlerinin toplamını S n ile gösterelim;
Bu miktarı bulmak için bir formül türetelim.
En baştan başlayalım basit durum, q = 1 olduğunda. O zaman b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn geometrik ilerlemesi b 1'e eşit n sayıdan oluşur, yani. ilerleme b 1, b 2, b 3, ..., b 4 gibi görünüyor. Bu sayıların toplamı nb 1'dir.
Şimdi q = 1 olsun S n'yi bulmak için yapay bir teknik uyguluyoruz: S n q ifadesinde bazı dönüşümler gerçekleştiriyoruz. Sahibiz:
Dönüşümleri gerçekleştirirken öncelikle geometrik ilerlemenin tanımını kullandık, buna göre (üçüncü akıl yürütme çizgisine bakın); ikincisi, eklediler ve çıkardılar, bu yüzden ifadenin anlamı elbette değişmedi (dördüncü akıl yürütme çizgisine bakın); üçüncü olarak geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullandık:
Formül (1)'den şunları buluyoruz:
Bu, geometrik ilerlemenin n teriminin toplamına ilişkin formüldür (q = 1 durumu için).
Örnek 8.
Sonlu bir geometrik ilerleme verildiğinde
a) ilerleme koşullarının toplamı; b) terimlerinin karelerinin toplamı.
b) Yukarıda (bkz. s. 132), bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin karesi alınırsa, o zaman ilk terim b2 ve paydası q2 olan bir geometrik ilerleme elde ettiğimizi zaten belirtmiştik. Daha sonra yeni ilerlemenin altı teriminin toplamı şu şekilde hesaplanacaktır:
Örnek 9.
Geometrik ilerlemenin 8. terimini bulun.
Aslında aşağıdaki teoremi kanıtladık.
Sayısal bir dizi, geometrik bir ilerlemedir ancak ve ancak, ilk Teorem (ve sonlu bir dizi durumunda sonuncusu) dışında, terimlerinin her birinin karesi önceki ve sonraki terimlerin çarpımına eşitse (a geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplanması sorununu ele alalım. Belirli bir sonsuz ilerlemenin kısmi toplamına, onun ilk terimlerinin toplamı diyelim. Kısmi toplamı sembolle gösterelim
Her sonsuz ilerleme için
kısmi toplamlarının (aynı zamanda sonsuz) bir dizisi oluşturulabilir
Artışı sınırsız olan bir dizinin bir limiti olsun
Bu durumda S sayısına, yani bir ilerlemenin kısmi toplamlarının limitine sonsuz ilerlemenin toplamı denir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin her zaman bir toplamı olduğunu kanıtlayacağız ve bu toplam için bir formül türeteceğiz (aynı zamanda şunu da gösterebiliriz: sonsuz ilerleme toplamı yoktur, mevcut değildir).
İfadeyi yazalım kısmi miktar formül (91.1)'e göre ilerlemenin terimlerinin toplamı olarak ve kısmi toplamın limitini şu şekilde ele alacağız:
Teorem 89'dan azalan bir ilerleme için; bu nedenle fark limiti teoremini uygulayarak şunu buluruz:
(Kural burada da kullanılır: sabit faktör sınır işaretinin ötesine çıkarılır). Varlığı kanıtlanır ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülü elde edilir:
Eşitlik (92.1) şeklinde de yazılabilir.
Burada miktarın paradoksal olduğu düşünülebilir. sonsuz sayı Terimlere çok kesin bir nihai değer atanır.
Bu durumu açıklamak için net bir örnek verilebilir. Kenarı olan bir kare düşünün bire eşit(Şek. 72). Bu kareyi bölelim yatay çizgi iki eşit parçaya bölünür ve Üst kısmı 2 ve . kenarlarıyla bir dikdörtgen oluşacak şekilde tabana uygulayın. daha sonrasında sağ yarı Bu dikdörtgeni yine yatay bir çizgiyle ikiye bölüp üst kısmı alt kısma bağlayacağız (Şekil 72'de gösterildiği gibi). Bu işleme devam ederek alanı 1 olan orijinal kareyi sürekli olarak şu şekle dönüştürüyoruz: eşit boyutlu rakamlar(ince basamaklı bir merdiven şeklini alır).
Bu sürecin sonsuz devamı ile karenin tüm alanı sonsuz sayıda terime ayrıştırılır - tabanları 1'e eşit olan dikdörtgenlerin alanları ve yükseklikleri tam olarak sonsuz bir azalan ilerleme oluşturur, toplamı.
yani beklendiği gibi karenin alanına eşittir.
Örnek. Aşağıdaki sonsuz ilerlemelerin toplamlarını bulun:
Çözüm, a) Bu ilerlemenin olduğunu fark ediyoruz. Dolayısıyla (92.2) formülünü kullanarak şunu buluyoruz:
b) Burada aynı formül (92.2)'yi kullanarak şunu elde ettiğimiz anlamına gelir:
c) Dolayısıyla bu ilerlemenin toplamının olmadığını görüyoruz.
Paragraf 5'te, periyodik bir sayının ters çevrilmesine kadar sonsuz azalan ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülün uygulanmasını gösterdik. ondalık ortak bir kesir haline getiririz.
Egzersizler
1. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı 3/5, ilk dört teriminin toplamı 13/27'dir. İlerlemenin ilk terimini ve paydasını bulun.
2. İkinci terimin birinci terimden 35 sayı daha küçük ve üçüncü terimin dördüncü terimden 560 birim büyük olduğu alternatif bir geometrik dizi oluşturan dört sayı bulun.
3. Sıranın şu şekilde olduğunu gösterin:
sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur, ardından dizi
herhangi biri için sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur. Bu ifade şu durumda geçerli olacak mı?
Geometrik ilerlemenin terimlerinin çarpımı için bir formül türetin.
