Mevsimler

S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n; S2n

0; imS 2n =S (nà∞) imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S; Hatta ve

tek miktarlar

38.tek limitli => seri yakınsar. 1) S>0 olduğuna dikkat edin, yani. toplamın işareti birinci terimin işaretiyle çakışmaktadır..

Mutlak ve (1)

koşullu yakınsama

O. Seriyi görüntüle değişim işareti denir.

Leibniz'in testi

(satırın sembolünü çizin). (1) serisinin сх-я olması için mutlak değerlerin azalması ve n arttıkça →0 olması yeterlidir, yani.

O. Bir seri büyüklüklerin mutlak değerlerinden oluşuyorsa

cx-xia ise serinin mutlak yakınsak olduğu söylenir.

Teorem: Eğer seri mutlak cx-xia ise orijinal seri xx-xia olur. Belge: 1 karşılaştırma işareti

Satırı düşünün

- büyüklüklerin bir dizi mutlak değeri

39.sx, 2. karşılaştırma kriterine göre kanıtlanmıştır, buna göre ref serisi sx kesinlikle geçerlidir.

A. Bir seri, miktarlarının mutlak değerlerinden bir görüntü, exp-xia ise ve orijinal seri cx-xia ise, o zaman buna koşullu olarak xx-xia denir. Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. Seri katsayıları olarak adlandırılan sayıların bulunduğu formdaki seriler, X– değişken denir Sıradaki sakinleştirici.(-R;R) aralığına adım serisinin aralığı denir. x €(-R;R) için serinin mutlak olarak yakınsak olduğuna ve x= ± R noktalarında olduğuna dikkat edin.<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1 ise seri ıraksar. Teorem kanıtlanmıştır.) Herhangi bir | x | o zaman R=∞. Eğer L=∞ ise herhangi bir x≠0 için R=0 olur. Eğer R=0 ise seri tek bir x 0 =0 noktasında yakınsar; R=∞ ise seri sayı doğrusunda yakınsar. Dolayısıyla a n x n serisinin yakınsaklık aralığı (-R;R) olur. Serinin yakınsaklık alanını bulmak için x=R ve x=-R noktalarındaki yakınsamayı ayrı ayrı incelemek gerekir; Bu araştırmanın sonuçlarına bağlı olarak serinin tarım bölgesi aralıklardan biri: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Abel teoremi: 1) Eğer a n x n kuvvet serisi x=x 0'da yakınsarsa, |x| eşitsizliğini sağlayan tüm x'ler için mutlak olarak yakınsar.<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1 |. (Belge 1) O zamandan bu yana sayı serisi a n x 0 n yakınsarsa, a n x 0 n =0 olur. Bu, sayı dizisinin (a n x 0 n) sınırlı olduğu anlamına gelir. Daha sonra kuvvet serisini a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) biçiminde yeniden yazarız. +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . Bir dizi düşünün mutlak değerler. |bir 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Ama o zaman teoremin 1. kısmına göre kuvvet serisi | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

Tanım 1

Sayı serisi

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, (-1)^(n-1) \, \cdot a_(n) =a_(1) -a_(2) +a_( 3) -a_(4) +...,\]

burada $a_(n) > 0$ alternatif seri olarak adlandırılır.

Bu tür serilerin yakınsaklığını belirlemek için Leibniz kriteri adı verilen yeterli bir yakınsama kriteri vardır.

Teorem 1 (Leibniz testi)

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı serisinin koşulları karşıladığını varsayalım:

1. $u_(n) =(-1)^(n-1) \cdot a_(n) ,\, \, \, a_(n) > 0$, yani. bu seri dönüşümlüdür;
2. bu serinin terimlerinin mutlak değeri monoton bir şekilde azalır: $\left|u_(1) \right|>\left|u_(2) \right|>\left|u_(3) \right|>...\, \, \, $ yani $a_(n) >a_(n+1) ,\, \, \, \, n=1,\, 2,\, ...$;
3. $a_(n) $ serisinin ortak terimi 0'a eğilimlidir, yani $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) =0$.

Daha sonra $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ serisi yakınsar ve toplamı $S\le a_(1) $ olur.

Kanıt

1. İlk önce düşünelim kısmi miktarçift ​​sipariş $S_(n) =S_(2m) =a_(1) -a_(2) +a_(3) -a_(4) +...+a_(2m-1) -a_(2m) $ ve şu şekilde yazalım: $S_(2m) =(a_(1) -a_(2))+(a_(3) -a_(4))+...+(a_(2m-1) -a_ (2m))$. Teorem 1'in 2) koşuluna göre, parantez içindeki tüm ifadeler pozitiftir, bu durumda $S_(2m) >0$ toplamı ve $\left\(S_(2m) \right\)$ dizisi monoton olarak artar:
\

\[\mathop(\lim )\limits_(m\to \infty ) S_(2m+1) =\mathop(\lim )\limits_(m\to \infty ) (S_(2m) +a_(2m+1) ))=\mathop(\lim )\limits_(m\to \infty ) S_(2m) +\mathop(\lim )\limits_(m\to \infty ) a_(2m+1) =S.\]

Yani, tüm n (çift veya tek) için $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) =S\le a_(1) $, dolayısıyla orijinal seri yakınsar. Teorem kanıtlandı.

Not 1

Leibniz testi aynı zamanda teoremin koşullarının $N\in $N değerindeki bir sayıdan sağlandığı serilere de uygulanabilir.

Not 2

Serinin terimlerinin monotonluğuna ilişkin Teorem 1'in (Leibniz testi) Koşul 2)'si esastır.

Sonuçlar

$|R_(n) |\le |a_(n+1) |$. Serinin geri kalanı, seride atılan ilk terimin modülü ile tahmin edilir.

Kanıt

Alternatif bir serinin geri kalanı da alternatif bir seri olduğundan, Leibniz kriteri kullanılarak toplamı ilk teriminin modülü ile tahmin edilir.

Yani, $|R_(n) |=\left|\sum \limits _(k=n+1)^(\infty )a_(n) \right|\le \left|a_(n+1) \ sağ |$. Ve serinin geri kalanının ilk terimi, atılan ilk terimdir.

Örnek 1

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) =\, 1-\frac(1)(2) +\frac (1)(3) -\frac(1)(4) +\ldots . \]

Çözüm. $\frac((-1)^(n-1) )(n) =u_(n) $'ı gösterelim. Leibniz testini bu seriye uyguluyoruz. Teorem 1'in koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim: koşul 1) alternatif seri $a_(n) =\frac(1)(n) ,\, \, \, u_(n) =(-1)^(n- 1) \cdot a_ (n) ,\, \, \, a_(n) >0$; koşul 2) karşılandı: $1>\frac(1)(2) >\frac(1)(3) >\frac(1)(4) >\ldots $; koşul 3) de karşılandı: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(1)(n) =0$. Bu nedenle Leibniz'in kriterine göre bu seri yakınsar ve toplamı $S\le a_(1) =1$.

Cevap: $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) \, $ serisi yakınsar.

Örnek 2

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n+2) )(n^(2)) ) \, $ serisinin kaç terimi alınmalıdır? Toplam seriyi 0,01 doğrulukla mı aldınız?

Çözüm. Bu seri Leibniz teoremine göre alternatif ve yakınsaktır. Formülü kullanarak $n$'ıncı geri kalanını tahmin edelim.

\[|R_(n) |=\left|\sum \limits _(k=n+1)^(\infty )a_(n) \right|\le \left|a_(n+1) \right| \]

Gerekli doğruluğu sağlamak için alınması gereken serilerin terim sayısını belirlemek için eşitsizliğin çözülmesi gerekir.

\[\left|R_(n) \right|\le 0.01.\]

$((n+1))^2>100$ veya $n\ge 10$ nereden geliyor?

Bundan, serinin en azından ilk on terimini almanın gerekli olduğu açıktır, böylece bir serinin toplamını ilk $n$ terimlerinin toplamı ile değiştirirken hata 0,01'den az olacaktır.

Örnek 3

Satırı keşfet

\[\sum\limits^(\infty )_(n=1)(((-1))^nn)\]

yakınsama için

Serinin ortak terimi $((-1))^n$ faktörünü içerir, bu da Leibniz kriterini kullanmamız gerektiği anlamına gelir

1. Satırın hizalanması kontrol ediliyor. Genellikle kararın bu noktasında seri ayrıntılı olarak tanımlanır $\sum\limits^(\infty )_(n=1)(((-1))^nn)=-1+2-3+4\dots $ ve şu yargıya varılır: "Seri işaret değiştiriyor."
2. Serinin terimlerinin modülü azalır mı? Sınırın çözülmesi gerekiyor
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) a_n\ )\]

bu çoğu zaman çok basittir.

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) a_n\ )=(\mathop(lim)_(n\to \infty ) n\ )=+\infty \ne 0\]

Serinin terimleri modülde azalmaz. Bu arada artık düşüşün monotonluğunu tartışmaya gerek yok.

Sonuç: seri ıraksaktır.

Örnek 4

Alternatif serilerin işaret yakınsaklığını inceleyin:

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left(-1\right)^(n+1) \frac(1)(n^(2) ) =1-\frac(1 )(2^(2) ) +\frac(1)(3^(2) ) -\frac(1)(4^(2) ) +... \]

Serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri oluşturalım

\ \[\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(1)(n^(2) ) =0\]

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n^(2) ) $ serisi integral testine göre yakınsar. Bu, $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n^(p)) $ serisinin durumudur, burada $ p = 2 > 1$.

Tanım 5. Hem pozitif hem de negatif terimler içeren sayı serilerine alternatif seriler denir.

Tüm üyelerin dahil olduğu seriler negatif sayılar, pozitif işaretli serilerle karşılaştırıldığında yeni bir şeyi temsil etmezler çünkü pozitif işaretli serilerin şu şekilde çarpılmasıyla elde edilirler: – 1.

Özel bir durum olan alternatif serilerle alternatif serileri incelemeye başlayalım.

Tanım 6. Formun sayı serisi sen 1 -sen 2 +sen 3 -sen 4 +…++(- 1) N- 1. sen +…, Nerede sen– Bir serinin bir üyesinin modülüne alternatif sayı serisi denir.

Teorem 9. (Leibniz'in testi )

Ev

Denemeler

Serinin terimleri modülde azalır sen 1>sen 2>…>sen>…,

bu durumda seri (19) yakınsar ve toplamı pozitiftir ve serinin ilk terimini aşmaz.

Kanıt. Kısmi toplamı düşünün çift ​​sayı bir numaranın üyeleri S2N=(sen 1 -sen 2)+(sen 3 -u 4)+…+(sen 2n -1 -sen 2N).

Koşullara göre sen 1>sen 2>…>sen 2n-1>sen 2N yani parantez içindeki tüm farklar pozitiftir, dolayısıyla S2N arttıkça artar N Ve S2N herhangi biri için >0 N.

Diğer tarafta S2N=sen 1 -[(sen 2 -sen 3)+(sen 4 -u 5)+…+(sen 2n -2 -sen 2n -1)+sen 2N]. Köşeli parantez içindeki ifade pozitiftir ve S2N>0 yani S2N<sen 1 herkes için N. Böylece kısmi toplamlar dizisi S2N artar ve sınırlıdır, dolayısıyla sonludur S2N=S. Aynı zamanda 0<S≤sen 1.

Şimdi serinin tek sayıdaki terimlerinin kısmi toplamını ele alalım. S2n+1=S2N+sen 2n+1. Son eşitliği de limite kadar geçelim. n →∞: S2n +1 =S2n+sen 2n +1 =S+ 0= S. Böylece serideki hem çift hem de tek sayı terimlerinin kısmi toplamları aynı limite sahiptir. S, Bu yüzden Sn=S yani bu seri yakınsaktır. Teorem kanıtlandı.

Örnek.

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Leibniz testini uygulayalım.

sen= >sen n+1=

sen=

Leibniz kriterinin her iki koşulu da sağlandığından seri yakınsar.

Notlar.

1. Leibniz teoremi şu koşulda geçerli olsa bile geçerlidir: sen >sen + 1 bir sayıdan başlayarak yürütülür N.

2. Durum sen >sen +1 gerekli değil. Tutulmaması durumunda seri yakınlaşabilir. Örneğin, bir dizi
iki yakınsak serinin farkı olarak yakınsar şart olmasına rağmen sen >sen +1 idam edilmez.

Tanım 8. Eğer alternatif seri yakınsar ancak bu serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri ıraksaksa, alternatif seriye koşullu yakınsak denir.

Tanım 9. Eğer hem alternatif serinin kendisi hem de terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri yakınsaksa, alternatif serinin mutlak yakınsadığı söylenir.

Örnek.

Serinin yakınsaklığının doğasını belirlemek

Bu serinin Leibniz'in kriterine göre yakınsak olduğu açıktır. Gerçekten mi: Ve sen=

Belirli bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri, ıraksak bir harmonik seridir. Dolayısıyla bu seri koşullu yakınsaktır.

Teorem 10 . (Alternatif bir serinin yeterli yakınsaklık işareti veya mutlak yakınsaklık işareti)

sen 1 +sen 2 +…+sen+…= (20)

alternatif seriler ve terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan serinin yakınsamasına izin verin

│sen 1│+│ sen 2│+…+│ sen │+…= │ sen │.(21)

O halde (20) serisi de yakınsar.

Kanıt. Yardımcı serileri ele alalım

(sen 1+│sen 1│)+(sen 2+│sen 2│)+…+(sen+│sen│)+…= (sen+│sen│).(22)

Açıkçası 0≤ sen+│sen│≤2│sen n │ hepsi için N=1, 2,… . Seri (21) duruma göre yakınsar, yani seri 2│ yakınsar sen│, daha sonra karşılaştırma kriterine göre seri (22) yakınsar. Seri (20), yakınsak iki serinin (22) ve (21) farkıdır, dolayısıyla aynı zamanda yakınsar. Teorem kanıtlandı.

Yorum.

Tersi ifade doğru değildir. Belirli bir seri yakınsarsa, üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri ıraksayabilir.

Örneğin, Leibniz'in kriterine göre bir seri yakınsar, ancak bir seri ıraksar (bu bir harmonik seridir).

Serinin geri kalanı ve değerlendirmesi

Yakınsak bir sayı serisi düşünün

Bir serinin toplamını hesaplama S= genellikle teknik olarak çok zordur. Bu nedenle, S almak S≈Sn. Bu eşitliğin doğruluğu n arttıkça artar.

Tanım 7. Sayı serisi yakınsaksa fark Rn=S-Sn isminde N-satırın geri kalanı.

Böylece, Rn yakınsak bir sayı serisini temsil eder:

Rn= sen n+1 +u n+2 +… .

Dikkat Rn = (S-Sn)=S-S=0.

Bir serinin toplamını değiştirirken mutlak hata S kısmi miktarı Sn eşittir | Rn |=|S-Sn |. Bu nedenle, bir serinin toplamını doğru bulmanız gerekiyorsa e>0 ise, serinin ilk terimlerinin n sayısının toplamını almamız gerekir, böylece | Rn |< e. Ancak, genel durum tam olarak bul Rn başarısız olur.

Teorem 11.(alternatif sayı serisinin geri kalanını tahmin etme hakkında)

Alternatif bir sayı serisi Leibniz kriterine göre yakınsaksa, o zaman N- Mutlak değerde kalan kısım modülü ( N Serinin +1)inci üyesi.

Kanıt. Sıraya izin ver sen 1 -sen 2 +sen 3 -u 4 +…+(-1)n-1.sen +… Leibniz testine göre yakınsar. Daha sonra nS≈1-0,166≈0,84.

Herhangi iki bitişik üyenin farklı işaretleri varsa, bir seriye alternatif denir; u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + … formundaki seriler, burada u 1, u 2, …, u n, … pozitiftir.

Leibniz'in teoremi. Alternatif bir serinin terimleri mutlak değer olarak alındığında monoton bir şekilde azalırsa ve modül genel üye serisi sıfıra eğilimlidir, yani
, o zaman seri yakınsar.

Örnek 1.

Alternatif bir serinin yakınsaklığını araştırın:

.

Mutlak değere göre alınan serinin terimleri monoton olarak azalır:

Seri birleşiyor.

1.6. Alternatif seri. Serilerin mutlak ve koşullu yakınsaklığı

Sıra sen 1 + sen 2 +…+ sen N +… Üyeleri hem olumlu hem de olumsuz olanları içeriyorsa alternatif olarak adlandırılır.

Alternatif seriler, alternatif serilerin özel bir durumudur.

Teorem. Alternatif bir seri verildiğinde sen 1 + sen 2 +…+ sen N +…(1). Hadi bir seri yapalım | sen 1 |+| sen 2 |+…+| sen N |+… (2). Seri (1)'in terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri (2) yakınsarsa, seri (1) yakınsar.

Tanım. Alternatif seri sen 1 + sen 2 +…+ sen N +… üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri yakınsaksa mutlak yakınsak olarak adlandırılır | sen 1 |+| sen 2 |+…+| sen N |+… .

Alternatif seri (1) yakınsarsa ve üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan seri (2) ıraksarsa, bu alternatif seriye (1) koşullu veya mutlak olmayan yakınsak seri denir.

Örnek 1.

Seriyi yakınsaklık ve mutlak yakınsaklık açısından inceleyin:
.

Alternatif bir seri Leibniz teoremine göre yakınsaktır, çünkü
. Serinin terimleri monoton olarak azalır ve
. Şimdi bu seriyi mutlak yakınsaklık açısından inceleyeceğiz. Bu serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seriyi ele alalım: . Bu serinin yakınsaklığını d'Alembert testini kullanarak araştırıyoruz:
. Seri birleşiyor. Bu, verilen alternatif serinin mutlak yakınsak olduğu anlamına gelir.

Örnek 2.

Seriyi yakınsaklık ve mutlak yakınsaklık açısından inceleyin:
.

Leibniz'in teoremine göre
. Seri birleşiyor. Belirli bir serinin üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri şu şekildedir:
. D'Alembert'in kriterini kullanarak şunu elde ederiz:
. Seri yakınsaktır, bu da verilen alternatif serinin mutlak yakınsak olduğu anlamına gelir.

2. Fonksiyonel seriler. Fonksiyonel serinin yakınsama bölgesi

Belirli bir aralıkta tanımlanan bir dizi işlevi düşünün [ A, B] :

F 1 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.), F 2 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.), F 3 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.) … F N (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.), ….

Bu fonksiyonları serinin üyeleri olarak alarak seriyi oluştururuz:

F 1 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.) + F 2 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.) + F 3 (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.) + … + F N (Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.) + …, (1)

buna denir işlevsel aralık.

Örneğin: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

Belirli bir durumda fonksiyonel seri şu seridir:

buna denir güç serisi, Nerede
sabit numaralar aranır kuvvet serisi terimlerinin katsayıları.

Kuvvet serileri şu şekilde de yazılabilir:

Nerede
bazı sabit sayılar.

Belirli bir sabit veya sayısal değer Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. yakınsak veya ıraksak olabilen bir sayı serisi elde ederiz.

Tanım : Tüm değerlerin kümesi X(veya tüm noktalar X kuvvet serisinin yakınsadığı sayı doğrusuna denir kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi.

Örnek 1.

Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun:

Çözüm (1 yollu).

D'Alembert testini uygulayalım.

D'Alembert testi yalnızca serilere uygulanabildiğinden pozitif üyeler ise limit işaretinin altındaki ifade mutlak değer olarak alınır.

D'Alembert testine göre bir seri şu durumda yakınsar:
Ve
.

Onlar. seri eğer yakınsarsa < 1, откуда
veya -3< Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.<3.

Bu kuvvet serisinin yakınsama aralığını elde ederiz: (-3;3).

Aralığın uç noktalarında Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. =
, sahip olacağız
.

Bu durumda d'Alembert teoremi serinin yakınsaklığı sorusuna cevap vermiyor.

Serileri sınır noktalarında yakınsaklık açısından inceliyoruz:

x = -3,

Alternatif serinin işaretini alıyoruz. Leibniz kriterini kullanarak yakınsama açısından inceliyoruz:

1.
Mutlak değer olarak alınan serinin terimleri monoton bir şekilde azalır.

2.
Bu nedenle seri x = -3 noktasında yakınsar.

Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. = 3,

Pozitif bir seri elde ediyoruz. Serinin yakınsaklığı için integral Cauchy testini uygulayalım.

serinin terimleri monoton bir şekilde azalır.

İşlev
arada
:

.

Uygun olmayan integral ıraksaktır, yani x=3 noktasındaki seri ıraksar.

Cevap:

İkinci yol Bir güç serisinin yakınsama bölgesinin belirlenmesi, bir güç serisinin yakınsama yarıçapına ilişkin formülün uygulanmasına dayanır:

, Nerede Ve
ihtimaller Ve
serinin üyeleri.

Bu seri için elimizde:

. R=3.

seri yakınsak

Seri yakınsama aralığı: -3< Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi.<3.

Daha sonra, önceki durumda olduğu gibi sınır noktalarını araştırmamız gerekiyor: Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. =
.

Cevap:[-3;3] serisinin yakınsaklık bölgesi.

Dikkat Bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini belirlemenin ikinci yolu, serinin yakınsaklık yarıçapı formülünü kullanmaktır.
daha rasyonel.

Örnek 2.

Kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini bulun:
.

bulacağız R– serinin yakınsaklık yarıçapı.

,
,
.

.
.

Seri yakınsama aralığı (- ;).

Serileri noktalardaki yakınsaklık açısından inceliyoruz Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. = -Ve Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. = .

Kuvvet serisi kavramı. Kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi. Abel teoremi. = - ,

Alternatif serinin işaretini alıyoruz. Leibniz testini uygulayalım:

1.
Mutlak değer olarak alınan serinin terimleri monoton bir şekilde azalır.

2.
dolayısıyla x = - noktasındaki seri yakınsar.

x = ,
.

Olumlu üyelerle kavga ettik. İntegral Cauchy testini uygulayalım.

Burada
:

, serinin üyeleri
monoton olarak azalır.

İşlev
arada
:

.

Uygun olmayan integral ıraksar, seri ıraksar.

Cevap: [-;) – serinin yakınsaklık alanı.

Teorem aşağıdaki gibi formüle edilmiştir. Alternatif seri

her iki koşul da karşılanırsa yakınsar:

Sonuçlar

Leibniz teoreminden, bir serinin eksik toplamının hesaplanmasındaki hatayı tahmin etmemizi sağlayan bir sonuç çıkar:

Yakınsak alternatif serinin geri kalanı R N = S − S N mutlak değer olarak ilk atılan terimden daha az olacaktır:

Kaynaklar

• Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Matematik El Kitabı. - Ed. 7. basmakalıp. - M .: Teknik ve Teorik Literatür Devlet Yayınevi, 1967. - S. 296.

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Leibniz İşareti”nin ne olduğunu görün:

Dirichlet testi, uygun olmayan integrallerin yakınsaması ve sonsuz serilerin toplanabilirliği için yeterli koşulları gösteren bir teoremdir. Adını Alman matematikçi Lejeune Dirichlet'ten almıştır. İçindekiler... Vikipedi

Dini testi, Fourier serisinin noktasal yakınsaklığını test eden bir testtir. Bir fonksiyonun Fourier serisinin ona norm anlamında yakınsak olmasına rağmen, ona noktasal olarak yaklaşmak zorunda değildir (sürekli bir fonksiyon durumunda bile). Ancak bazılarıyla... ... Vikipedi

Karşılaştırma işareti, bu serilerin terimlerinin karşılaştırılmasına dayanarak, iki serinin ıraksamasının veya yakınlaşmasının eşzamanlılığı hakkında bir ifadedir. İçindekiler 1 Formülasyon 2 Kanıt ... Vikipedi

Lobaçevski tarafından 1834 ile 1836 yılları arasında önerilen bir sayı serisinin yakınsaklığı testi. Pozitif sayıların azalan bir dizisi olsun, o zaman seri, seriyle aynı anda yakınsar veya ıraksar... Vikipedi

Fourier serisinin yakınsamasının bir işareti: eğer periyodik bir fonksiyonun bir segment üzerinde sınırlı değişimi varsa, o zaman Fourier serisi her noktada bir sayıya yakınsar; eğer fonksiyon segment üzerinde sürekli ise... Vikipedi

- (Raabe Duhamel'in testi) Joseph Ludwig Raabe tarafından ve bağımsız olarak Jean Marie Duhamel tarafından oluşturulan, pozitif sayı serilerinin yakınsaması için bir test. İçindekiler 1 Formülasyon 2 Formüller ... Vikipedi

Joseph Bertrand tarafından sayı serilerinin pozitif terimlerle yakınsaması için geliştirilen bir test. İçindekiler 1 Formülasyon 2 Ekstrem formdaki formülasyon ... Vikipedi

Vasily Ermakov tarafından oluşturulan sayı serilerinin pozitif terimlerle yakınsaması için bir test. Onun özgüllüğü, duyarlılığı açısından diğer tüm işaretleri aşmasında yatmaktadır. Bu çalışma şu makalelerde yayınlandı: “Genel teori... ... Vikipedi

Sayı serilerinin pozitif terimlerle yakınsaması için Pierre Jamet tarafından geliştirilen bir test. İçindekiler 1 Formülasyon 2 Ekstrem formdaki formülasyon ... Vikipedi