Tek kuvvetlere sahip polinomun katsayılarının toplamını bulun. Yüksek matematikte denklemler. Polinomların rasyonel kökleri.

Polinom teorisinin temel kavramları

Altında polinom formun bir ifadesi olarak anlaşılır, burada bir tam sayıdır negatif olmayan sayı,
– herhangi bir sayı; Ve
. Bu ifade aynı zamanda bir terimden de oluşabilir - böyle bir polinom denir tek terimli.

Keyfi bir polinom olsun ve . Sayı N isminde polinom derecesiF(X) ve derece( ile gösterilir) F(X)).

Polinomlar üzerindeki işlemlerin özelliklerinden birine dikkat edelim: F(X) Ve G(X) iki polinomdur, o zaman

derece( F(X) G(X))=derece( F(X))+derece( G(X));

derece( F(X) ± G(X)) ≤ maks(derece( F(X))),derece( G(X))}

(maks.( A,B) sayıların en büyüğü anlamına gelir A Ve B).

Görev 1. Polinomlara örnekler verin öyle ki

a) derece( F(X) + G(X)) = maksimum (derece( F(X))), derece( G(X))};

b) derece( F(X) + G(X)) < max {deg(F(X))), derece( G(X))}.

Görev 2. Kimlikleri kanıtlayın:

A) ( X – 1)(X n–1 + X N- 2 +…+ 1) = X n – 1;

B) ( X + 1)(X 2 N – X 2 N –1 + X 2 N –2 – …– X + 1) = X 2 N +1 + 1.

Çözüm. A) ( X – 1)(X n –1 + X N – 2 +…+ 1) = X N - X N – 1 + X n –1 – X N – 2 + X N – 2 – X N – 3 +…+ X 2 –X + X – 1 = = X n – 1.

Parantezlerin açılmasıyla ortaya çıkan ilk ve sonuncu hariç tüm terimler birbirini iptal eder.

Bir değişken yerine X bir polinoma F(X) herhangi bir sayıyı değiştirebilirsiniz C. Sonuç belli bir sayı olacaktır. Bu numara denir polinomun değeriF(X) X = C(veya bu noktada C) ve ile gösterilir F(C).

Polinomun değerleriyle ilgili ve problemlerin çözümünde yararlı olan iki basit eşitliğe dikkat edelim:

ücretsiz üye Bir polinomun 0 noktasındaki değerine eşit olması,

bir polinomun katsayılarının toplamı onun 1 noktasındaki değerine eşittir,

Görev 3. Polinomun serbest terimini ve katsayılarının toplamını bulun.

Çözüm. Parantezleri açıp döküm yaptıktan sonra benzer üyeler ifade serbest terimli bir polinom üretir
ve katsayıların toplamı F(1) = 1.

Cevap:
, 1.

Görev 4. Polinomun katsayılarının toplamını bulun
çift ​​ve tek güçler için X.

Sayı C isminde polinomun köküF(X), eğer polinomun değeri noktadaki C sıfıra eşittir. Sayı C polinomun köküdür F(X), Eğer F(C) = 0.

Kök kavramı polinom teorisinin merkezinde yer alır. Bu kavramla yakından ilgili olan, polinomların bölünebilirliği teorisi, bunların çarpanlara ayrılması ve çeşitli cebirsel denklemlerin çözümüdür.

Şimdi polinomların eşitliği kavramını tartışalım. Polinomlara şöyle bakarsak resmi ifadeler değişkenli X O halde, dereceleri aynıysa ve karşılık gelen katsayıları eşitse iki polinomun eşit kabul edilmesi doğaldır. Polinomların bu eşitliğine denir cebirsel anlamda eşitlik, yani if ​​ve polinomlar F(X) Ve G(X) eşittir, o halde M = N Ve A 0 = B 0 , A 1 = B 1 , …, A N = B N .

Ancak bir polinom bir fonksiyon olarak görülebilir. Ancak o zaman iki polinomun eşitliğinden iki fonksiyonun eşitliği olarak bahsedebiliriz. İki fonksiyonun aynı tanım alanına sahip olması ve bu tanım alanındaki her sayının her iki fonksiyon tarafından aynı sayıyla ilişkilendirilmesi durumunda eşit olarak adlandırıldığı bilinmektedir. Bu anlamda anlaşılan polinomların eşitliğine denir. işlevsel anlamda eşitlik. Polinomlar ise F(X) Ve G(X) eşittir, o zaman herhangi biri için
sahibiz F(C) = G(C).

Yani polinomlar kümesinde iki eşitlik kavramımız var. Polinomların eşitliği kavramının bu tanımları eşdeğerdir. Başka bir deyişle, eğer iki polinom cebirsel anlamda eşitse, o zaman fonksiyonel anlamda da eşittirler ve bunun tersi de geçerlidir.

Görev 5. Bir polinomda
köklerden biri 3'tür. Bulun F(X).

Çözüm.Çünkü X 0 = 3 polinomun köküdür F(X), O F(X 0) = 0$. yani
, Neresi A = 4.

Cevap: Gerekli polinom
.

Görev 6. Tam sayıları bulun A Ve B polinomun köklerinden biri eşittir
.

Çözüm. Verilen
–bir polinomun kökü F(X), Araç F(X 0) = 0.

Aşağıdakileri içeren tüm terimleri toplayalım:
, sağ tarafta. Çünkü A Ve B tam sayılar ise eşitlik ancak her iki kısmı da sıfıra eşit olduğunda sağlanır. Bir denklem sistemi elde ederiz
.

Bu sistemi çözerek şunu buluruz: A = –12$, B = 6.

Cevap: Gerekli polinom.

Görev 7. Polinomu bulun F(X) ikinci dereceden, koşulları karşılayan F(1) = 6, F(–2) = 21, F(3) = 16.

Çözüm. Polinom F(X) formda arama yapacağız
. Bilinmeyen katsayıları belirlemek için polinomun değerlerini hesaplıyoruz. verilen puanlar:

Bu sistemin çözümü A = 2, B = –3, C = 7.

Cevap: Gerekli polinom
.

Görev 8. Bilinmeyen katsayıların hangi değerleri için eşitlikler geçerlidir?

Polinomların bölünebilirliği

Bunu söylüyorlar polinomF(X) bir polinomla bölünebilirG(X) ≠ 0 eğer böyle bir polinom mevcutsa Q(X) eşitliğin geçerli olduğu

F(X) = G(X) Q(X) (1)

Eğer F(X) şuna bölünür: G(X), o zaman bu şekilde yazmak gelenekseldir
.

Örneğin eşitlikten X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X+ 1 şu şekilde oluyor
Ve
.

Polinom Q(X) eşitlikte (1) denir özel bölümden F(X) Açık G(X). Polinomun Q(X) eşitlikte (1) benzersiz olarak belirlenir.

Teorem (kalanlı bölme hakkında). Herhangi bir polinom için F(X) ve sıfırdan farklı herhangi bir polinom G(X) benzersiz bir polinom çifti var Q(X) Ve R(X), eşitliğin geçerli olduğu

F(X) = G(X) Q(X) + R(X), (2)

polinom nerede R(X) ya sıfırdır ya da dereceden daha düşük bir dereceye sahiptir G(X). ■

Uygulamada, bölümü ve kalanı bulmak için genellikle "açıya bölme" adı verilen bir hesaplama yöntemi kullanılır.

Görev 9. Bölme işleminde bölümü ve kalanı bulun
.

Çözüm.

Özel var
ve geri kalanı
.

Cevap: Tamamlanmamış bölüm ve kalan.

Görev 10. Hangi değerde A polinom
bir polinomla bölünebilir X– 2 mi? Cevap: A = –1.

Görev 11. Sıfır olmayan hangi değerlerde A Ve B polinom
bir polinomla bölünebilir
? Cevap: A = –1; B = –2.

Bezout'un teoremi

Polinomu düşünün
.

Hadi bölelim F(X) Açık X – 1, X – 2, X+3 kalanla birlikte ( R- kalan):

F(X) = (X – 1)(X 2 + 4X – 3) – 9, R = –9$;

F(X) = (X – 2)(X 2 + 5X + 3), R = 0;

F(X) = (X + 3)(X 2 – 7) + 15, R = 15.

Polinomun değerlerini hesaplayalım F(X) noktalarda X = 1, X = 2, X = –3.

F(1) = –9, F(2) = 0, F(–3) = 15.

Ele alınan örnekte geri kalanın her seferinde bir sayı ürettiğini fark edebilirsiniz. değere eşit karşılık gelen noktada polinom. Bu tesadüf pek tesadüfi değildir. Aşağıdaki teorem geçerlidir; önemli rol Polinom teorisi ve uygulamaları.

Teorem (Bezout). Polinom kalanı F(X) binom ile X – A polinomun değerine eşit F(X) noktada X = A.

Bu teoremin ana sonucu şu olacaktır:

Sonuç 1. Polinom F(X) şuna bölünür: X – A ancak ve ancak sayı A onun köküdür.

Görev 12. Polinom F(X) ile bölündüğünde X– 3, 5 kalanını verir ve bölündüğünde X– 1 – kalan 7. Kalan ne verir F(X) ('ye bölündüğünde X – 3)(X – 1)?

Çözüm. Bölücü ( X – 3)( X– 1) 2. dereceye sahiptir. Bu nedenle, kalan, birinciden daha yüksek olmayan bir derece polinomudur, yani R(X) = balta + B ve bulmamız gerekiyor A Ve B. Bölümü şu şekilde gösterelim: Q(X). Daha sonra F(X) = (X – 3)( X – 1)Q(X) + (balta + B). Değiştirme X= 3, şunu elde ederiz F(3) = 3A + B, ancak koşula göre ve Bezout teoremi sayesinde F(3) = 5, yani 3 A + B= 5. Benzer şekilde X= 1 elde ederiz A + B= 7. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini çözerek şunu elde ederiz: A = –1, B= 8. Yani R(X) = – X + 8.

Cevap: R(X) = – X + 8.

Görev 13. Bunu herhangi bir tamsayı için kanıtlayın A, B, C, sayı bölünebilir B – A – C.

Çözüm. düşünelim bu ifade bir polinom gibi F(B) değişkene göre B, sayma A Ve C sabit parametreler ve değerini hesaplayın B = A + C: F(A + C) = 0. Bezout teoreminin sonucu olarak polinom F(B) şuna bölünür: B – A – C. binomun baş katsayısından beri B – A – C 1'e eşitse, bölümün katsayıları "açıya göre bölme" yönteminden çıkan tam sayılar olacaktır. Bu nedenle bu tam sayı şuna bölünebilir: B – A – C Kanıtlanması gereken şey buydu.

Bezout teoreminden birkaç sonuca daha bakalım.

Sonuç 2. Eğer a 1, a 2,…, a k– bir polinomun farklı kökleri F(X), O F(X) çarpıma (3) bölünür

Sonuç 3. Sıfırdan farklı bir polinomun farklı köklerinin sayısı, derecesinden fazla değildir.

Gerçek şu ki, eğer iki polinom eşitse, yani değerleri herhangi biri için çakışıyorsa, daha önce belirtilmişti.
o zaman katsayıları çakışıyor eşit derece X. Artık bu ifadeyi büyük ölçüde güçlendirebiliriz.

Sonuç 3. Dereceleri birden büyük olmayan iki polinomun değerleri ise N, çakışıyor ( N+ 1)'inci nokta ise bu polinomlar eşittir.

Görev 14. Herhangi bir ikili farklı sayı için bunu kanıtlayın A, B, c kimlik tutar.

Çözüm.$f(x)$ ile kanıtlanan kimliğin sol tarafını gösterelim. Polinom derecesi F(X) en fazla iki (aslında, her terimde parantezleri açarak, aşağıdakileri içeren doğrusal binomları çarparken elde ederiz: X, kare trinomialler). Kanıtlanan özdeşliğin sağ tarafında polinom olarak bakılabilecek 1 sayısı vardır. G(X) sıfır derece, yani derece G(X) ayrıca ikiyi geçmez.

Sahibiz F(A) = 1 = G(A). (Polinom G(X) herhangi bir değer için 1'e eşittir X). Aynı şekilde, F(B) = G(B) Ve F(C) = G(C). Yani iki polinom F(X) Ve G(X Dereceleri ikiden fazla olmayanlar, aynı değerlerüç noktada: X = A, X = B, X = C. Yani, Sonuç 3'e göre F(X) = G(X) ve kimlik kanıtlanmıştır.

Görev 15. Bölündüğünde kalanı bulun X + 1.

Cevap: R = –6.

Görev 16. Hesaplamak F(4), eğer . Cevap: F(4) = 136.

Görev 17. Bölme işlemi yapmadan bölündüğünde kalanı bulun X+ 3. Cevap: R = –1.

Görev 18. Hangi değerde k polinom
bölünmüş X + 4?

Cevap: k = 11.

Görev 19. Tüm değerleri bul A, bunun için polinomun bölümünün geri kalanı
binom ile X– 2 eşittir 9 mu? Cevap: A = 3.

Görev 20. ne de A Ve B polinom
bölünmüş X– 1 ve X+2 kalansız mı? Cevap: A = –4; B = 5.

Görev 21. N polinom X N – A N bölünmüş X – A.

Görev 22. Bunu herhangi bir doğal durum için kanıtlayın N polinom X 2 N +1 + A 2 N+1 bölü X + A.

Görev 23. Polinomun olduğunu kanıtlayın X 2 N – A 2 N bölünmüş X – A ve üzerinde X + A herhangi bir doğal ortamda N.

Görev 24. Polinomun olduğunu kanıtlayın X 2 N + A 2 N bölünemez X + A hiç de bile X – A ne olursa olsun N.

Görev 25. Polinom F(X) ile bölündüğünde X– 2, 2 kalanını verir ve bölündüğünde X+3 7 kalanını verir. Bölmenin kalanını bulun F(X) Açık X 2 + X – 6.

Cevap: R = –X + 4.

Görev 26. Bir polinomu ikinci dereceden bir üç terimli sayıya bölerken kalanı bulun X 2 – X – 2.

Cevap: R = X –6

Görev 27. Bir polinomun geri kalanının olduğunu kanıtlayın P(X) binom ile balta + B polinomun değerine eşit X = –B/A.

Görev 28. Bir polinomu binom 2'ye bölerken kalanı bulun X – 3.

Cevap: R = 71/8.

Horner şeması

Bezout teoremi bir polinomu bölerken kalanı bulmanızı sağlar F(X) binom ile X – A. Ancak bazı problemleri çözerken sadece kalanı değil bölümü de bilmek gerekir. Bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz (örneğin, bir açıyla bölerek). Bir polinomu binomla bölerken X – A Bölüm ve kalanı bulmak için Horner şeması adı verilen daha basit bir yöntem kullanılır.

Derecenin bir polinomu olsun N. Daha sonra bölümün katsayılarını belirlemek için sistemi elde ederiz.
.

Horner'ın şemasını tablo şeklinde yazmak uygundur.

Polinom P(x) kökünde a sayısı bulunan bir sayı binomla bölünebilir (Ha) yani formda temsil edilir

P(x) = (x - a) Q(x),

Nerede S(x)- bir derece daha düşük bir polinom (bu durumda, eğer P(x) tamsayı katsayıları varsa, o zaman S(x)- Aynı). Derece polinomu N artık yok N kökler (çokluğu hesaba katarak bile). Bundan şu sonuç çıkar: eğer iki polinom P(x) Ve S(x) derece, artık yok N, aynı değerleri birden fazla al N noktaları varsa, karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşittir.

İki değişkenli polinomlar için cebirsel özdeşlikler sıklıkla kullanılır X Ve en.

Çözümlerle ilgili sorunlar

1. Faktör:

a) x 5 + x + 1;

b) (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3;

c) x 3 + y 3 + z 3 - xyz.

a) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1= x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) =

X 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 3 – x 2)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) =

= (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 + 1);

b) Koşullardan en az biri karşılandığında polinom kaybolur

a = b, b = c, c = a,

yani üç farkın her birine bölünür

a – b, b – c, c – a,

bu aynı zamanda onların çalışmaları anlamına da geliyor.

Orijinal polinomun derecesi 3 olduğundan, çarpım

(a – b)(b – c)(c – a)

(aynı zamanda 3. dereceden bir polinom) yalnızca k sayısal faktöründe farklılık gösterir.

Bu yüzden,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(a – b)(b – c)(c – a).

a = 1, b = 0, c = –1 için şunu elde ederiz:

1 + 1 – 8 = k 1 1 (–2),

Buradan k = 3, yani

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(a – b)(b – c)(c – a).

c) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. İki farklı doğal sayının karelerinin toplamı ile diğer iki farklı doğal sayının karelerinin toplamının iki doğal sayının karelerinin toplamı olarak ifade edilebileceğini kanıtlayın.

Kanıt doğrudan aşağıdaki cebirsel dönüşümlerden kaynaklanmaktadır:

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2) =

= (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

3. Herhangi bir x, y, z, t için x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt ifadesinin negatif olmadığını kanıtlayın. Sıfıra eşit olduğu tüm durumları öğrenin.

Bu polinomu negatif olmayan terimlerin toplamı olarak aşağıdaki şekillerde temsil edelim:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2) 2 + (z 2 – t 2) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2) 2 + (y 2 – t 2) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2) 2 + (y 2 – z 2) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

Eşitlik ancak şu durumlarda geçerlidir:

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

yani eğer

|x| = |y| = |z| = |t| ve xyzt > 0.

4. P(x) = 2x 4 + 8x 3 + 12x 2 + 8x + 1 polinomu başka bir polinomun karesi midir?

Diyelim ki ikinci dereceden bir Q(x) polinomu var:

P(x) = Q(x) · Q(x).

O halde P(–1) = –1 olduğuna göre Q(–1) Q(–1) = –1

5. Tüm x'ler için P(x) > 2015 · P"(x) olacak şekilde gerçek katsayılara sahip bir P(x) polinomu var mıdır?

Evet var. Örneğin,

P(x) = x 2 + 2015 2.

Daha sonra

P"(x) = 2x,

P(x) – 2015 P"(x) = x 2 + 2015 2 – 2 x 2015 = (x – 2015) 2 > 0.

6. (x 7 + x – 1) 2014 polinomunun tek kuvvetleri x'in katsayılarının toplamını bulun.

Polinomlar

P(x) = (x 7 + x – 1) 2014 ve P(–x) = (–x 7 – x – 1) 2014

Yalnızca x'in tek kuvvetlerindeki katsayıların işaretleri bakımından farklılık gösterirler. Yani polinom

Q(x) = P(x) – P(–x)

x'in yalnızca tek kuvvetlerini içerecektir ve gereken toplam, Q(1) değerinin yarısına eşittir. Çünkü

Q(1) = Р(1) – Р(–1) = 1 – 3 2014,

o zaman (x 7 + x – 1) 2014 polinomunun x tek kuvvetleri için katsayıların toplamı şuna eşittir:

7. Polinomun olduğunu kanıtlayın

tüm tam sayı değerleri için x, tam sayı değerlerini alır.

Orijinal polinomun şu şekilde temsil edilebileceğini unutmayın:

P(x) = (1 / 2 5 7 9)(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 1)( x + 4).

Ardışık dokuz tam sayı arasında mutlaka 2, 5, 7, 9'a bölünebilen sayılar olacağından, herhangi bir k tamsayısı için çarpım

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

ürün karşılıklı olarak bölünebilir asal sayılar 2.5.7.9. Sonuç olarak P(k) sayısı kanıtlanması gerektiği gibi bir tamsayıdır.

8. Herhangi bir x tamsayısı için a, b, c, d bu tamsayılar olmak üzere ax 3 + bx 2 + cx + d'nin 5'e bölünebildiği bilinmektedir.Tüm a, b, c, d sayılarının 5'e bölünebileceğini kanıtlayın.

x = 0'ı yerine koyarsak d'nin 5'in katı olduğunu buluruz.

Bunu hesaba katarak x = ±1 yerine koyarsak a + b + c ve –a + b – c'nin 5'in katları olduğunu buluruz. Dolayısıyla 2b ve 2a + 2c 5'in katlarıdır, yani b ve a + c anlamına gelir 5'in katlarıdır.

x = 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz2(4a + c) + 4b + d = 6a + 2(a + c) + 4b + d, 5'in katıdır. Bu, a'nın 5'in katı olduğu ve dolayısıyla c'nin 5'in katı olduğu anlamına gelir.

9. x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b polinomunun tam kare olabilmesi için a ve b değerleri ne olmalıdır?

Dördüncü dereceden indirgenmiş bir polinom yalnızca indirgenmişinin karesi olabilir ikinci dereceden üç terimli. Bu yüzden,

x 4 + x 3 + 2x 2 + balta + b = (x 2 + piksel + q) 2 .

Sağ taraftaki üç terimlinin karesini alarak ve kimliğin her iki tarafındaki argümanın aynı kuvvetlerindeki katsayıları eşitleyerek, şunu elde ederiz:

2p = 1, p2 + 2q = 2, 2pq = a, q2 = b.

Bu denklem sistemini çözdükten sonra p = 1/2, q = a = 7/8, b = 49/64'ü buluruz.

Cevap: a = 7/8, b = 49/64.

10. Derecesi n olan bir P(x) polinomunun n farklı gerçek kökü vardır. Hangi en büyük sayı katsayıları sıfıra eşit olabilir mi?

Türevlenebilir bir fonksiyonun herhangi iki kökü arasında türevinin bir kökü vardır. Bu, derecesi şuna eşit olan P"(x) polinomunun anlamına gelir.n – 1, n – 1 farklı gerçek köke sahiptir, yani birden fazla kökü yoktur. Devam edersek, P(x) polinomunun tüm türevlerinin aynı özelliğe sahip olduğunu görüyoruz. Bundan, P(x) polinomunun herhangi iki ardışık katsayısından en az birinin olmadığı sonucu çıkar. sıfıra eşit. Aslında, x k ve x k+1'in katsayıları sıfıra eşitse, P(k)(x) türevinin serbest bir terimi vardır ve x'in katsayısı sıfıra eşittir. Ancak bu, 0'ın P(k)(x)'in kökünün katı olduğu anlamına gelir, ancak durum böyle değildir.
Polinomun katsayılarını çiftlere bölelim ve n çift ise baş katsayıyı çiftsiz bırakalım. Kanıtlananlara göre sıfır katsayı sayısı çift sayısını, yani çift n için n/2 ve tek n için (n+1)/2'yi geçmemektedir.
Örnekler. Polinomlar

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

derece n = 2k ve

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

n = 2k + 1 güçleri bu sonucun iyileştirilemeyeceğini gösterir: birincisi için tüm tek güçler için katsayılar ve ikincisi için tüm çift güçler için katsayılar sıfıra eşittir.

Çözümü olmayan sorunlar

1. Faktör:

a) x 8 + x 7 + 1;

b) (a - x) y 3 - (a - y) x 3 + (x - y) a 3;

c) (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3.

2. Tamsayı katsayılı bir P(x) polinomunun olmadığını kanıtlayın.

P(6) = 5 ve P(14) = 9.

3. Polinomun tüm katsayılarının toplamını bulun ( X 2 - 3X+1) 100 parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra.

4. P(x 3) + Q(x 3)'ün x 2 + x + 1'e bölünebildiği P(x) ve Q(x) polinomları. P(x) + Q(x)'in x'e bölünebildiğini kanıtlayın - 1.

5. P(x) = (x 2 + x + 1) n polinomunun tek katsayılarının sayısını bulun.

Bu polinomun tamsayı katsayıları vardır. Eğer bir tamsayı bu polinomun kökü ise, o zaman 16 sayısının bölenidir. Dolayısıyla, eğer belirli bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar yalnızca ±1 sayıları olabilir; ±2; ±4; ±8; ±16. Doğrudan doğrulamayla, 2 sayısının bu polinomun kökü olduğuna, yani x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x) olduğuna ikna olduk; burada Q (x), aşağıdakilerin bir polinomudur: ikinci derece. Sonuç olarak polinom, biri (x – 2) olan faktörlere ayrıştırılır. Q(x) polinomunun tipini bulmak için Horner şeması denilen yöntemi kullanırız. Bu yöntemin temel avantajı, kaydın kompaktlığı ve yeteneğidir. hızlı bölme polinomdan binoma. Aslında Horner'ın şeması, gruplama yöntemini kaydetmenin başka bir biçimidir, ancak ikincisinden farklı olarak tamamen görsel değildir. Cevap (çarpanlara ayırma) burada kendiliğinden elde edilir ve onu elde etme sürecini görmüyoruz. Horner'ın planının kesin bir şekilde doğrulanmasına girişmeyeceğiz, yalnızca nasıl çalıştığını göstereceğiz.

Bir üst hücredeki sayı, alt satırın ikinci hücresine yani 1'e "taşınır". Sonra bunu yaparlar. Denklemin kökü (2 sayısı) son yazılan sayıyla (1) çarpılır ve sonuç, bir sonraki boş hücrenin üst satırında yer alan sayıyla toplanır, örneğimizde:

Vesaire. genel eğitim niteliğindedir ve büyük değer TÜM kursu incelemek için yüksek matematik. Bugün "okul" denklemlerini tekrarlayacağız, ancak yalnızca "okul" denklemlerini değil, dünyanın her yerinde bulunan denklemleri de tekrarlayacağız. çeşitli görevler Vishmat. Her zamanki gibi hikaye uygulamalı bir şekilde anlatılacak. Tanımlara ve sınıflandırmalara odaklanmayacağım, tam olarak sizlerle paylaşacağım. kişisel deneyimçözümler. Bilgiler öncelikli olarak yeni başlayanlara yöneliktir, ancak daha ileri düzeydeki okuyucular da kendileri için çok şey bulacaklardır. ilginç anlar. Ve elbette olacak yeni malzeme, ötesine geçmek lise.

Yani denklem… Birçoğu bu kelimeyi ürpererek hatırlıyor. Kökleri değerli olan "karmaşık" denklemler nelerdir... ...unut onları! Çünkü o zaman bu türün en zararsız "temsilcileriyle" tanışacaksınız. Veya sıkıcı trigonometrik denklemler Onlarca çözüm yöntemiyle. Dürüst olmak gerekirse ben de onları pek sevmedim... Panik yapma! – o zaman çoğunlukla “karahindiba” 1-2 adımda bariz bir çözümle sizi bekliyor. Her ne kadar "dulavratotu" kesinlikle yapışsa da, burada objektif olmanız gerekiyor.

Garip bir şekilde, yüksek matematikte aşağıdaki gibi çok ilkel denklemlerle uğraşmak çok daha yaygındır: doğrusal denklemler

Bu denklemi çözmek ne anlama geliyor? Bu, “x”in (kök) onu gerçek eşitliğe dönüştürecek BÖYLE değerini bulmak anlamına gelir. İşaret değişikliği ile “üç”ü sağa atalım:

ve “ikiyi” sıfırlayın sağ taraf (veya aynı şey - her iki tarafı da çarpın) :

Kontrol etmek için kazanılan kupayı yerine koyalım orijinal denklem :

Doğru eşitlik elde edilir; bu, bulunan değerin gerçekten bir kök olduğu anlamına gelir. verilen denklem. Veya onların da söylediği gibi bu denklemi karşılıyor.

Lütfen kökün şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın. ondalık:
Ve bu kötü üsluba bağlı kalmamaya çalışın! Sebebini özellikle ilk derste defalarca tekrarladım. yüksek cebir.

Bu arada denklem “Arapça” olarak da çözülebilir:

Ve en ilginç olanı - bu giriş tamamen yasal! Ancak öğretmen değilseniz, bunu yapmamak daha iyidir çünkü burada özgünlük cezalandırılır =)

Ve şimdi biraz hakkında

grafiksel çözüm yöntemi

Denklem şu şekildedir ve kökü "X" koordinatı kesişme noktaları doğrusal fonksiyon grafiği programlı doğrusal fonksiyon (x ekseni):

Örnek o kadar basit görünüyor ki burada analiz edilecek başka bir şey yok, ancak beklenmedik bir nüans daha "sıkıştırılabilir": aynı denklemi formda sunalım ve fonksiyonların grafiklerini oluşturalım:

Aynı zamanda lütfen iki kavramı karıştırmayın: bir denklem bir denklemdir ve işlev– bu bir fonksiyondur! Fonksiyonlar sadece yardım Denklemin köklerini bulun. Bunlardan iki, üç, dört ve hatta sonsuz sayıda olabilir. Bu anlamda en yakın örnek, tanınmış ikinci dereceden denklem ayrı bir paragraf alınan çözüm algoritması "sıcak" okul formülleri. Ve bu tesadüf değil! Eğer ikinci dereceden bir denklemi çözebilir ve biliyorsan Pisagor teoremi o zaman “yüksek matematiğin yarısı zaten cebinizde” diyebiliriz =) Elbette abartılı ama gerçeklerden o kadar da uzak değil!

Bu nedenle tembel olmayalım ve ikinci dereceden denklemleri kullanarak çözelim. standart algoritma:

bu da denklemin iki farklı olduğu anlamına gelir geçerli kök:

Bulunan her iki değerin de bu denklemi gerçekten karşıladığını doğrulamak kolaydır:

Çözüm algoritmasını aniden unutursanız ve elinizde hiçbir araç/yardım eli yoksa ne yapmalısınız? Bu durum örneğin bir test veya sınav sırasında ortaya çıkabilir. Grafik yöntemini kullanıyoruz! Ve iki yol var: yapabilirsin noktadan noktaya inşa etmek parabol böylece eksenin nerede kesiştiğini buluruz (eğer hiç geçerse). Ancak daha kurnazca bir şey yapmak daha iyidir: denklemi formda hayal edin, grafikleri daha fazla çizin basit işlevler- Ve "X" koordinatları kesişme noktaları açıkça görülüyor!


Düz çizginin parabole değdiği ortaya çıkarsa, denklemin iki eşleşen (çoklu) kökü vardır. Düz çizginin parabolle kesişmediği ortaya çıkarsa, o zaman gerçek kökler yoktur.

Bunu yapmak için elbette inşa edebilmeniz gerekir. temel fonksiyonların grafikleri ama öte yandan bir okul çocuğu bile bu becerileri yapabilir.

Ve yine, bir denklem bir denklemdir ve işlevler, sadece yardımcı oldu denklemi çöz!

Bu arada bir şeyi daha hatırlamakta fayda var: Bir denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa kökleri değişmez.

Yani, örneğin, denklem aynı köklere sahiptir. Basit bir “kanıt” olarak sabitleri parantezlerden çıkaracağım:
ve onu acısız bir şekilde çıkaracağım (Her iki parçayı da “eksi ikiye” böleceğim):

ANCAK! Fonksiyonu dikkate alırsak , o zaman buradaki sabitten kurtulamazsınız! Çarpanın yalnızca parantezlerden çıkarılmasına izin verilir: .

Pek çok kişi grafiksel çözüm yöntemini "onursuz" bir şey olarak değerlendirerek hafife alıyor ve hatta bazıları bu olasılığı tamamen unutuyor. Ve bu temelde yanlıştır, çünkü grafik çizmek bazen sadece durumu kurtarır!

Başka bir örnek: En basit trigonometrik denklemin köklerini hatırlamadığınızı varsayalım: . Genel formül içeride okul ders kitapları, tüm referans kitaplarında ilköğretim matematik, ancak bunlar sizin için mevcut değildir. Ancak denklemi çözmek kritik öneme sahiptir (“iki”). Bir çıkış yolu var! – fonksiyonların grafiklerini oluşturun:


daha sonra kesişme noktalarının “X” koordinatlarını sakin bir şekilde yazıyoruz:

Sonsuz sayıda kök vardır ve cebirde bunların özet gösterimi kabul edilir:
, Nerede ( – tamsayılar kümesi) .

Ve "uzaklaşmadan", tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin grafiksel yöntemi hakkında birkaç söz. Prensip aynıdır. Yani örneğin eşitsizliğin çözümü herhangi bir "x"tir, çünkü Sinüzoid neredeyse tamamen düz çizginin altında yer alır. Eşitsizliğin çözümü sinüzoidin parçalarının düz çizginin tam üzerinde olduğu aralıklar kümesidir. (x ekseni):

veya kısaca:

Ancak eşitsizliğin birçok çözümü şunlardır: boşÇünkü sinüzoidin hiçbir noktası düz çizginin üzerinde değildir.

Anlamadığınız bir şey var mı? Acilen dersleri inceleyin setleri Ve fonksiyon grafikleri!

Hadi ısınalım:

Görev 1

Aşağıdaki trigonometrik denklemleri grafiksel olarak çözün:

Cevaplar dersin sonunda

Gördüğünüz gibi ders çalışmak kesin bilimler Formülleri ve referans kitaplarını tıkamak hiç de gerekli değil! Üstelik bu, temelde hatalı bir yaklaşımdır.

Dersin başında size güvence verdiğim gibi, standart yüksek matematik dersindeki karmaşık trigonometrik denklemlerin çok nadiren çözülmesi gerekir. Tüm karmaşıklık, kural olarak, çözümü en basit denklemlerden kaynaklanan iki grup kök olan denklemlerle sona erer ve . İkincisini çözme konusunda fazla endişelenmeyin; bir kitaba bakın veya internette bulun =)

Grafiksel çözüm yöntemi daha az önemsiz durumlarda da yardımcı olabilir. Örneğin aşağıdaki "paçavra" denklemini düşünün:

Çözüme dair beklentiler... hiçbir şeye benzemiyor, ancak denklemi şu şekilde hayal etmeniz yeterli: fonksiyon grafikleri ve her şey inanılmaz derecede basit olacak. Makalenin ortasında bununla ilgili bir çizim var. sonsuz küçük fonksiyonlar (sonraki sekmede açılacaktır).

Aynı grafiksel yöntem denklemin zaten iki kökü olduğunu ve bunlardan birinin sıfıra eşit olduğunu, diğerinin ise görünüşe göre, mantıksız ve segmentine aittir. Verilen kök yaklaşık olarak hesaplanabilir, örneğin, teğet yöntem. Bu arada, bazı problemlerde kökleri bulmanız gerekmiyor, ancak bulmanız gerekiyor gerçekten varlar mı?. Ve burada da çizim yardımcı olabilir - grafikler kesişmiyorsa kök yoktur.

Tamsayı katsayılı polinomların rasyonel kökleri.
Horner şeması

Şimdi sizleri bakışlarınızı Orta Çağ'a çevirmeye ve klasik cebirin eşsiz atmosferini hissetmeye davet ediyorum. Materyali daha iyi anlamak için en azından biraz okumanızı tavsiye ederim karmaşık sayılar.

Onlar en iyileridir. Polinomlar.

İlgilendiğimiz konu formun en yaygın polinomları olacaktır. tüm katsayılar Doğal sayı isminde polinom derecesi, sayı – en yüksek derecenin katsayısı (veya sadece en yüksek katsayı) ve katsayı ücretsiz üye.

Bu polinomu kısaca ile belirteceğim.

Bir polinomun kökleri denklemin köklerini çağır

Demir mantığını seviyorum =)

Örnekler için makalenin en başına gidin:

1. ve 2. derece polinomların köklerini bulmada herhangi bir sorun yoktur ancak arttıkça bu iş daha da zorlaşır. Öte yandan her şey daha ilginç! Ve dersin ikinci bölümünün tam olarak buna ayrılacağı şey bu.

İlk olarak, kelimenin tam anlamıyla teori ekranının yarısı:

1) Sonuç olarak cebirin temel teoremi, derece polinomu tam olarak karmaşık kökler. Bazı kökler (hatta hepsi) özellikle geçerli. Ayrıca gerçek kökler arasında aynı (birden fazla) kök bulunabilir. (minimum iki, maksimum adet).

Eğer bir karmaşık sayı bir polinomun kökü ise, o zaman birleşik sayısı da zorunlu olarak bu polinomun köküdür (eşlenik karmaşık kökler gibi görünmek ).

En basit örnek ilk olarak 8'de ortaya çıkan ikinci dereceden bir denklemdir (beğenmek) sınıf ve sonunda konuyu "bitirdik" karmaşık sayılar. Size şunu hatırlatmama izin verin: İkinci dereceden bir denklemin ya iki farklı gerçek kökü vardır, ya birden fazla kökü vardır ya da eşlenik karmaşık kökleri vardır.

2) Gönderen Bezout'un teoremi eğer bir sayı bir denklemin kökü ise, o zaman karşılık gelen polinom çarpanlara ayrılabilir:
burada derece polinomu var.

Ve yine eski örneğimize bakalım: denklemin kökü olduğundan, o zaman . Bundan sonra ünlü “okul” genişlemesini elde etmek zor değil.

Bezout teoreminin sonucunun büyük bir pratik değeri vardır: 3. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, onu şu şekilde temsil edebiliriz: ve itibaren ikinci dereceden denklem kalan kökleri tanımak kolaydır. Eğer 4. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, o zaman sol tarafı bir çarpıma vs. genişletmek mümkündür.

Ve burada iki soru var:

Birinci soru. Bu kökü nasıl bulabilirim? Her şeyden önce, doğasını tanımlayalım: yüksek matematiğin birçok probleminde şunu bulmak gerekir: akılcıözellikle tüm polinomların kökleri ve bu bağlamda, esas olarak onlarla ilgileneceğiz.... ...o kadar güzel, o kadar yumuşaklar ki, onları bulmak istiyorsunuz! =)

İlk akla gelen seçim yöntemidir. Örneğin denklemi düşünün. Buradaki yakalama serbest terimdedir - eğer sıfıra eşit olsaydı, o zaman her şey yoluna girerdi - "X" i parantezlerden çıkarırız ve köklerin kendileri yüzeye "düşer":

Ancak serbest terimimiz "üç" e eşittir ve bu nedenle denklemde yerine koymaya başlarız farklı sayılar, "kök" olduğunu iddia ediyor. Her şeyden önce tekil değerlerin ikamesi kendini göstermektedir. yerine koyalım:

Kabul edilmiş yanlış eşitlik dolayısıyla birim “uymadı.” Tamam, yerine koyalım:

Kabul edilmiş doğru eşitlik! Yani değer bu denklemin köküdür.

3. dereceden bir polinomun köklerini bulmak için analitik yöntem (sözde Cardano formülleri) ama şimdi biraz farklı bir görevle ilgileniyoruz.

Polinomumuzun kökü - olduğundan, polinom şu şekilde temsil edilebilir ve ortaya çıkabilir: İkinci soru: “küçük erkek kardeş” nasıl bulunur?

En basit cebirsel düşünceler, bunu yapmak için 'ye bölmemiz gerektiğini önerir. Bir polinom bir polinoma nasıl bölünür? Aynı okul yöntemi paylaşıldı sıradan sayılar- “bir sütunda”! Bu yöntem Dersin ilk örneklerinde detaylı olarak anlattım. Karmaşık Limitler ve şimdi adı verilen başka bir yönteme bakacağız. Horner şeması.

İlk önce “en yüksek” polinomu yazıyoruz herkesle sıfır katsayılar dahil:
, ardından bu katsayıları (kesinlikle sırayla) tablonun üst satırına giriyoruz:

Kökü sola yazıyoruz:

Horner'ın planının "kırmızı" sayı olması durumunda da işe yarayacağına dair hemen rezervasyon yaptıracağım Olumsuz polinomun köküdür. Ancak işleri aceleye getirmeyelim.

Baş katsayıyı yukarıdan kaldırıyoruz:

Alt hücreleri doldurma işlemi bir şekilde nakışı andırıyor; burada "eksi bir", sonraki adımlara nüfuz eden bir tür "iğne" dir. “Aşağıya taşınan” sayıyı (–1) ile çarpıyoruz ve üst hücredeki sayıyı çarpıma ekliyoruz:

Bulunan değeri “kırmızı iğne” ile çarpıyoruz ve aşağıdaki denklem katsayısını ürüne ekliyoruz:

Ve son olarak ortaya çıkan değer yine “iğne” ve üst katsayı ile “işlenir”:

Son hücredeki sıfır bize polinomun bölündüğünü söyler iz bırakmadan (olması gerektiği gibi) genişleme katsayıları doğrudan tablonun alt satırından "kaldırılır":

Böylece denklemden eşdeğer bir denkleme geçtik ve kalan iki kökle her şey açık. (V bu durumda eşlenik karmaşık kökler elde ederiz).

Bu arada denklem grafiksel olarak da çözülebilir: arsa "yıldırım" ve grafiğin x eksenini kestiğini görün () noktada. Veya aynı "kurnaz" numara - denklemi formda yeniden yazıyoruz, çiziyoruz temel grafikler ve kesişme noktalarının “X” koordinatını tespit edin.

Bu arada, herhangi bir üçüncü dereceden polinom fonksiyonunun grafiği ekseni en az bir kez keser, bu da karşılık gelen denklemin olduğu anlamına gelir. en azından bir geçerli kök. Bu gerçek tek dereceli herhangi bir polinom fonksiyonu için geçerlidir.

Ve burada ayrıca üzerinde durmak istiyorum önemli nokta terminolojiyle ilgili olan: polinom Ve polinom fonksiyonu – bu aynı şey değil! Ancak pratikte sıklıkla örneğin "bir polinomun grafiği" hakkında konuşurlar ki bu elbette ihmaldir.

Ancak Horner'ın planına dönelim. Geçenlerde bahsettiğim gibi bu şema diğer numaralar için de çalışıyor ancak eğer numara Olumsuz denklemin kökü ise formülümüzde sıfır olmayan bir ekleme (kalan) görünür:

Horner'ın şemasına göre "başarısız" değerini "çalıştıralım". Bu durumda, aynı tabloyu kullanmak uygundur - sola yeni bir "iğne" yazın, önde gelen katsayıyı yukarıdan hareket ettirin (sol yeşil ok), ve yola çıkıyoruz:

Kontrol etmek için parantezleri açıp sunalım benzer terimler:
, TAMAM.

Kalanın (“altı”) tam olarak polinomun değeri olduğunu fark etmek kolaydır. Ve aslında - nasıl bir şey:
, ve daha da güzeli - şöyle:

Yukarıdaki hesaplamalardan Horner'ın planının yalnızca polinomu çarpanlara ayırmaya değil, aynı zamanda kökün "uygar" bir seçimini gerçekleştirmeye de izin verdiğini anlamak kolaydır. Hesaplama algoritmasını bağımsız olarak küçük bir görevle birleştirmenizi öneririm:

Görev 2

Horner'ın şemasını kullanarak bulun bütün kök Denklem ve karşılık gelen polinomu çarpanlarına ayırın

Başka bir deyişle, burada son sütunda sıfır kalan "çizilene" kadar 1, –1, 2, –2, ... – sayılarını sırayla kontrol etmeniz gerekir. Bu, bu doğrunun "iğnesinin" polinomun kökü olduğu anlamına gelecektir.

Hesaplamaların tek bir tabloda düzenlenmesi uygundur. Detaylı çözüm ve dersin sonunda cevap.

Kök seçme yöntemi nispeten iyidir basit vakalar ancak polinomun katsayıları ve/veya derecesi büyükse süreç daha uzun sürebilir. Ya da belki aynı listeden 1, –1, 2, –2 gibi bazı değerler vardır ve dikkate almanın bir anlamı yoktur? Ayrıca köklerin kesirli olduğu ortaya çıkabilir ve bu da tamamen bilimsel olmayan bir dürtüye yol açacaktır.

Neyse ki, “aday” değerlerinin aranmasını önemli ölçüde azaltabilecek iki güçlü teorem vardır. rasyonel kökler:

Teorem 1 düşünelim indirgenemez kesir, nerede. Sayı denklemin kökü ise, serbest terim bölünür ve baş katsayı bölünür.

özellikle, eğer baş katsayı ise, bu rasyonel kök bir tamsayıdır:

Ve teoremden şu lezzetli ayrıntıyla yararlanmaya başlıyoruz:

Denkleme dönelim. Baş katsayısı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tamsayı olabilir ve serbest terimin mutlaka bu köklere kalansız olarak bölünmesi gerekir. Ve “üç” yalnızca 1, –1, 3 ve –3'e bölünebilir. Yani elimizde sadece 4 “kök aday” var. Ve göre Teorem 1, diğer rasyonel sayılarİLKEDE bu denklemin kökleri olamaz.

Denklemde biraz daha “rakipler” var: serbest terim 1, –1, 2, – 2, 4 ve –4'e bölünmüştür.

Lütfen 1, –1 rakamlarının olası kökler listesinin “düzenli sayıları” olduğunu unutmayın. (teoremin bariz bir sonucu) ve çoğu en iyi seçimöncelik kontrolü için.

Daha anlamlı örneklere geçelim:

Sorun 3

Çözüm: baş katsayı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tamsayı olabilir ve bunlar mutlaka serbest terimin bölenleri olmalıdır. “Eksi kırk” aşağıdaki sayı çiftlerine bölünmüştür:
– toplam 16 “aday”.

Ve burada hemen cazip bir düşünce ortaya çıkıyor: tüm olumsuz veya tüm olumlu kökleri ayıklamak mümkün mü? Bazı durumlarda bu mümkün! İki işaret formüle edeceğim:

1) Eğer Tüm polinomun katsayıları negatif değilse, o olamaz pozitif kökler. Ne yazık ki, bizim durumumuz bu değil (Şimdi, eğer bize bir denklem verilmişse - o zaman evet, polinomun herhangi bir değerini değiştirirken, polinomun değeri kesinlikle pozitiftir, bu da her şeyin olduğu anlamına gelir pozitif sayılar (ve mantıksız olanlar da) denklemin kökleri olamaz.

2) Tek kuvvetler için katsayılar negatif değilse ve tüm çift kuvvetler için katsayılar (ücretsiz üye dahil) negatifse polinom olamaz negatif kökler. Bu bizim durumumuz! Biraz daha yakından baktığınızda, denklemde herhangi bir negatif "X"i yerine koyduğunuzda şunu görebilirsiniz: sol taraf kesinlikle negatif olacak, yani negatif kökler yok olmak

Böylece araştırma için 8 sayı kaldı:

Onlardan sürekli olarak Horner'ın planına göre "ücret alıyoruz". Umarım zihinsel hesaplamalarda zaten ustalaşmışsınızdır:

“İkiyi” test ederken şans bizi bekliyordu. Dolayısıyla, söz konusu denklemin kökü ve

Denklemi incelemek kalıyor . Bunu diskriminant aracılığıyla yapmak kolaydır, ancak aynı şemayı kullanarak gösterge niteliğinde bir test yapacağım. Öncelikle serbest terimin 20'ye eşit olduğunu belirtelim. Teorem 1 8 ve 40 sayıları olası kökler listesinden çıkar ve değerleri araştırmaya bırakılır (Horner'ın planına göre biri elendi).

Üç terimlinin katsayılarını üst satıra yazıyoruz yeni masa Ve Aynı “iki” ile kontrol etmeye başlıyoruz. Neden? Kökler katlı olabileceği için lütfen: - bu denklemin 10'u var özdeş kökler. Ama dikkatimizi dağıtmayalım:

Ve burada elbette biraz yalan söylüyordum, köklerin rasyonel olduğunu biliyordum. Sonuçta, eğer bunlar irrasyonel veya karmaşık olsaydı, geri kalan tüm sayıların başarısız bir şekilde kontrol edilmesiyle karşı karşıya kalırdım. Bu nedenle pratikte ayrımcının rehberliğinde olun.

Cevap: rasyonel kökler: 2, 4, 5

Analiz ettiğimiz problemde şanslıydık çünkü: a) hemen düştüler negatif değerler ve b) kökü çok hızlı bir şekilde bulduk (ve teorik olarak listenin tamamını kontrol edebiliriz).

Ancak gerçekte durum çok daha kötü. Sizi “adlı heyecan verici bir oyunu izlemeye davet ediyorum” Son Kahraman»:

Sorun 4

Denklemin rasyonel köklerini bulun

Çözüm: İle Teorem 1 varsayımsal paylar rasyonel kökler koşulu sağlamalıdır (“on iki el'e bölünür” diye okuyoruz) ve paydalar koşula karşılık gelir. Buna dayanarak iki liste elde ederiz:

"listele":
ve "um'u listele": (neyse ki buradaki sayılar doğaldır).

Şimdi mümkün olan tüm köklerin bir listesini yapalım. İlk olarak “el listesini” sayısına bölüyoruz. Aynı rakamların elde edileceği kesinlikle açıktır. Kolaylık sağlamak için bunları bir tabloya koyalım:

Pek çok kesir azaltılarak zaten "kahraman listesinde" olan değerler ortaya çıktı. Yalnızca “yeni başlayanlar” ekliyoruz:

Benzer şekilde, aynı "listeyi" şu şekilde bölüyoruz:

ve nihayet

Böylece oyunumuza katılanların ekibi tamamlandı:


Maalesef bu problemdeki polinom "pozitif" veya "negatif" kriterini karşılamıyor ve bu nedenle üst veya alt satırı göz ardı edemiyoruz. Tüm sayılarla çalışmanız gerekecek.

Nasıl hissediyorsun? Haydi, kafanızı kaldırın - mecazi anlamda "katil teoremi" olarak adlandırılabilecek başka bir teorem daha var…. ...“adaylar” elbette =)

Ancak önce en az bir tanesi için Horner diyagramını kaydırmanız gerekir. bütün sayılar. Geleneksel olarak bir tane alalım. En üst satıra polinomun katsayılarını yazıyoruz ve her şey her zamanki gibi:

Dört açıkça sıfır olmadığı için değer söz konusu polinomun kökü değildir. Ama bize çok yardımcı olacak.

Teorem 2 Bazıları için ise genel olarak polinomun değeri sıfırdan farklıysa: rasyonel kökleri (varsa) koşulu karşılamak

Bizim durumumuzda ve dolayısıyla tüm olası köklerin bu koşulu karşılaması gerekir. (buna Koşul No. 1 diyelim). Bu dörtlü pek çok “adayın” “katil”i olacak. Bir gösteri olarak birkaç kontrole bakacağım:

"Aday"ı kontrol edelim. Bunu yapmak için, onu yapay olarak bir kesir şeklinde temsil edelim, buradan açıkça görüldüğü gibi. Test farkını hesaplayalım: . Dört "eksi ikiye" bölünür: Bu, olası kökün testi geçtiği anlamına gelir.

Değeri kontrol edelim. İşte test farkı: . Elbette ve dolayısıyla ikinci “konu” da listede kalıyor.