§17. Punto singular en el infinito

V. ZHVIRBLIS

El firmamento sin fondo de la noche y el incesante sonido de las olas suelen, contra nuestra voluntad, hacernos pensar en el infinito. Infinidad de espacio e infinidad de tiempo.

El infinito, sin embargo, no es tanto atractivo como aterrador. Realmente, un escalofrío sube por tu piel cuando intentas visualizarlo. Y aparentemente, es por eso que el hombre, desde la antigüedad hasta nuestros días, busca incansablemente y crea mentalmente un acogedor mundo finito a su alrededor.

Al principio, para proteger el mundo, el hombre colocó tierra plana sobre tres ballenas o tres elefantes y se le ocurrió una leyenda sobre la creación del mundo y el fin del mundo. Pero así como en los viejos tiempos nadie podía responder a la pregunta de dónde nadan las ballenas o dónde están los elefantes, qué sucedió antes de la creación del mundo y qué sucederá después del fin del mundo, así ahora, a pesar de la existencia de muchos Teorías sofisticadas del universo. significado fisico El concepto aparentemente simple de “infinito” sigue siendo muy vago, y nadie parece haber encontrado todavía una manera de representar el infinito con verdadera claridad.

Aunque los matemáticos son personas como todos los demás, llevan mucho tiempo vagando valientemente por las vastas extensiones del infinito.

¿Cómo lo hacen? ¿Qué se necesita, digamos, para escribir un número con absoluta precisión? mi, que denota la base de los logaritmos naturales?

Puede haber dos respuestas a esta pregunta.

Respuesta uno: una hoja de papel infinitamente grande e infinitamente gran momento, porque no importa cuán pequeños y rápidos escribamos números, llenando con ellos una superficie infinitamente grande en una fila interminable mi= 2,71828... tardará una eternidad. En este caso, se habla de infinito potencial, es decir, de un infinito que existe sólo potencialmente, por así decirlo, en principio, pero que en realidad nunca puede terminar.

Respuesta dos: cualquier hoja de papel y unos segundos, en los que puedas esbozar una fórmula que te permita calcular el número. mi con cualquier precisión predeterminada. Para hacer esto, en la fórmula (se puede encontrar en el libro de referencia), solo es necesario sustituir a su vez los números de la serie natural que aumenta hasta el infinito. Esta operación suele denotarse mediante una combinación de símbolos. norte→ ∞; En este caso, el infinito se llama real, es decir, como de una vez por todas, realmente completo, realmente existente, aunque no igual a nada definido.

El truco de la última técnica es que todo el infinito se esconde en una breve combinación de símbolos, en la que el tiempo participa de forma disfrazada: al fin y al cabo norte¡Necesitamos aumentarlo todo el tiempo! Pero los físicos que se ocupan del mundo real no pueden seguir el ejemplo de los matemáticos, que actúan a su manera lógica, ignorando por completo el tiempo.

EN fórmulas físicas El infinito surge de vez en cuando, y para deshacerse de él (después de todo, en mundo real todas las cantidades deben ser finitas), los físicos son hasta cierto punto falsos, reemplazando silenciosamente cantidades infinitamente grandes por cantidades muy grandes, pero aún finitas, y simplemente ignorando cantidades infinitesimales. Como dicen, si no existe el infinito, entonces no hay problemas asociados con él.

Este “redondeo” de infinitos es legítimo cuando estamos hablando acerca de sobre la interpretación resultados experimentales(después de todo, la precisión de las mediciones es siempre finita), pero esto es completamente inaceptable en una teoría "pura". Por ejemplo, muy a menudo uno tiene que lidiar con expresiones completamente sin sentido, de hecho, como “masa infinitamente grande (pequeña)” o “velocidad infinitamente pequeña (alta)”. Después de todo, esto significa que la masa aumenta o disminuye todo el tiempo, que la velocidad disminuye o aumenta todo el tiempo, es decir, que la masa y la energía provienen de lugares desconocidos o desaparecen hacia lugares desconocidos. ¿Podemos imaginar un cohete cuya velocidad aumenta constantemente, pero cuyos motores no consumen combustible?

Esto significa que lo que realmente se quiere decir aquí no son cantidades infinitamente grandes o infinitamente pequeñas, sino cantidades finitas, ya sean inimaginablemente grandes o insignificantemente pequeñas. De lo contrario, ¿cómo podrían los físicos describir situaciones que nunca ocurren?

La misma palabra “infinito” parece indicar que es algo que no tiene principio ni fin. linea interminable plano infinito, espacio infinito... Esta es una imagen visual del infinito potencial. ¿Se puede considerar infinito un segmento finito? Digamos, ¿un centímetro de largo?

Desde el punto de vista de las matemáticas puras, tanto un segmento de un centímetro de largo como un segmento igual al diámetro de un átomo de hidrógeno o de un electrón pueden considerarse infinitamente grandes. Y, en general, cualquier segmento, por pequeño que sea, pero finito, la cuestión es cómo medirlo. Después de todo, si una unidad de medida es infinitamente pequeña (o más bien, tiende a cero), entonces el tamaño de cualquier segmento medido con su ayuda es infinitamente grande (más precisamente, tiende a infinito).

En otras palabras, sin cesar gran valor no tiene por qué ser inimaginablemente grande; puede tener dimensiones finitas (e incluso extremadamente pequeñas desde nuestro punto de vista) si se utiliza un valor infinitamente pequeño para medirlo, es decir, que disminuye continuamente en el tiempo; pero la misma cantidad finita también puede considerarse infinitesimal si se mide utilizando una cantidad que aumenta infinitamente con el tiempo.

Es decir, de hecho, el infinito físico real debe tener dos regiones indisolublemente unidas: la región de lo infinitamente grande y la región de lo infinitamente pequeño y, por lo tanto, no se puede dividir en potencial y real. Semejante infinidad simplemente debe existir.

De hecho, sabemos que la materia está formada por moléculas, las moléculas están formadas por átomos, los átomos están formados por electrones y núcleos, y los núcleos están formados por protones y neutrones. ¿De qué están hechos los propios electrones, protones y neutrones? ¿De los quarks? ¿Y de qué están hechos esos? Es decir, no importa cuán profundamente penetremos en la estructura de las partículas de materia, podremos hacernos sin cesar la misma pregunta sacramental: ¿de qué?

Resulta que las ballenas y los elefantes se encuentran no sólo en la región de lo infinitamente grande, sino también en la región de lo infinitamente pequeño...

Todo el mundo sabe muy bien que las personas que operan en el espacio exterior no son las mismas. leyes fisicas, que está en un microcosmos. Allí - la teoría de la relatividad, especial y general: aquí - mecánica cuántica. Y aunque ambas teorías están unidas por la mecánica cuántica relativista, esto no lo hace más fácil: todas estas teorías no clásicas reflejan correctamente los resultados. experimentos reales, pero imaginemos claramente el carácter relativista y efectos cuánticos imposible, porque mentalmente sólo se pueden imaginar fenómenos que ocurren en el limitado mundo cotidiano de tamaño y velocidad moderados, descritos desde el punto de vista del llamado “sentido común” (léase – sentido físico) mecanica clasica Newton. Y si es así, ¿es realmente posible intentar visualizar el infinito físico real?

El cuanto relativista se diferencia del clásico sólo en que contiene dos postulados adicionales: sobre la finitud y la invariancia de la velocidad de la luz y la finitud del cuanto de acción: la constante de Planck. Cuanto mayor es la velocidad de un cuerpo y menor su masa, más inusual se vuelve su comportamiento. Y viceversa: que mas masa cuerpo y cuanto menor es su velocidad, con mayor precisión se describe su comportamiento mecanica clasica y más fácil es imaginarlo mentalmente. Del mismo modo, la mecánica clásica describiría con mayor precisión el comportamiento objetos fisicos, mayor es la velocidad de la luz y menor es la constante de Planck.

Entonces, ¿qué describe la mecánica clásica? Resulta que no parece describir nada: sólo sirve para describir objetos realmente inexistentes (con infinitas posibilidades). gran masa y velocidad infinitesimal) ubicados en el mundo real, u objetos reales existentes ubicados en el mundo real mundo existente(con una constante de Planck infinitesimal e infinitamente alta velocidad Luz)...

¿No es una conclusión extraña? Sin embargo, también se puede interpretar de esta manera: la mecánica clásica nos da un modelo puramente especulativo del mundo real, como si lo viera un observador “desde fuera”, desde el infinito. Naturalmente, las propiedades de tal modelo no se pueden estudiar experimentalmente, ya que el observador no puede realizar experimentos reales con objetos imaginarios o infinitamente distantes. Pero las teorías no clásicas describen el mismo mundo, pero sólo como “desde adentro”, desde el punto de vista de un observador real que forma un todo con el sistema que está estudiando y es capaz de influir activamente en él: en este Caso, teoría y experimento dan resultados que son estrictamente consistentes entre sí, pero sólo estos resultados ya no pueden imaginarse especulativamente, en estricta conformidad con el "sentido común".

En otras palabras, una visión del mundo “desde dentro” proporciona al observador sólo información relativamente verdadera sobre el objeto observado, inevitablemente distorsionada por el hecho de que el observador y el objeto constituyen una sola unidad. sistema fisico y se influyen mutuamente. Por el contrario, mirar el mundo “desde fuera”, desde el infinito, daría al observador información absolutamente verdadera sobre el objeto. Pero para avanzar hacia el infinito se necesita una cantidad de tiempo infinitamente grande... ¿No es éste el significado físico específico de las consideraciones filosóficas sobre la infinitud del proceso de conocimiento de la verdad absoluta?

El mundo es uno, sólo que los puntos de vista sobre él son diferentes. Pero si en principio no se puede observar una imagen absolutamente verdadera del mundo, ¿tal vez se pueda calcular? Por ejemplo, encontrando transformaciones de coordenadas similares a las galileanas o de Lorentz, que permitirían una transición invariante desde el punto de vista del mundo “desde fuera” al punto de vista del mundo “desde dentro” y viceversa. ¿No resultaría entonces que los postulados y conclusiones de las teorías no clásicas que son extraños, en nuestra opinión cotidiana, son sólo implícitos y no los más La mejor manera deshacerse de infinitos que no son menos extraños, en opinión de un físico teórico moderno modelo clasico¿paz?

La gente suele pensar en el infinito cuando mira un cielo estrellado sin luna. Pero el infinito del cielo es sólo, por así decirlo, la mitad del infinito físico real, y se extiende no sólo en la región de las cantidades infinitamente grandes, sino también en la región de las cantidades infinitamente pequeñas. Y ni siquiera la mitad, sino una parte ínfima.

La gente tuvo que lidiar con la imagen del infinito físico real no al aire libre, sino en un ambiente acogedor. ambiente en el hogar, con adivinación en espejos, de moda en los viejos tiempos. Esto se hizo así: en absoluto silencio y todo solo la niña se sentó a la mesa, colocando un espejo delante y otro detrás; Colocó velas encendidas a cada lado, iluminando su rostro con una luz parpadeante. Y luego miró atentamente su reflejo que se repetía sin cesar, pensando en una pregunta para la que le gustaría recibir respuesta. La cuestión, naturalmente, se refería al matrimonio...

Dicen que después de un tiempo, la adivina comenzó a imaginar algo desconocido y, si no arrojaba a tiempo una toalla especialmente preparada para tal caso sobre uno de los espejos, se desmayaba del susto.

No te rías, simplemente intenta sentarte en silencio y en el crepúsculo entre dos espejos durante al menos quince minutos, mirando hacia el infinito en movimiento, y serás moderno, racional. persona pensante– También te sentirás muy, muy incómodo. Tarde o temprano dejarás de entender dónde estás y dónde está tu reflejo, y entonces perderás el sentido de la realidad, confundiéndote en una fila interminable de caras idénticas...

Yo mismo encontré accidentalmente una imagen aún más precisa del infinito físico real en mi infancia lejana, en años de preguerra. A mí, que entonces tenía cuatro años, el cartero me trajo el siguiente número de "Murzilka", en cuya portada estaba impresa la siguiente imagen: una habitación, en ella un niño está sentado en un sofá mirando la revista "Murzilka". , en cuya portada se representa una y otra vez la misma habitación. Un niño está sentado en el sofá con "Murzilka" en las manos, y así sucesivamente, aparentemente hasta el infinito.

Y de repente pensé: pero yo también soy un niño, y también estoy sentado en el sofá en una habitación muy parecida, y también estoy mirando la revista Murzilka. ¿Qué pasa si yo mismo aparezco en la portada de la misma revista y me mira un niño que también está sentado en el mismo sofá en la misma habitación y él mismo aparece en la portada de la revista Murzilka? Entonces rugí de horror, tiré la revista y traté de no volver a verla, aunque por alguna razón deseaba apasionadamente volver a mirar la portada...

Pero dejemos de lado las supersticiones absurdas, prescindamos de las arriesgadas. experimentos psicológicos y razonaremos sin emociones innecesarias. Supongamos que yo mismo era un niño de número ordinal. norte y sostenía una revista en sus manos, en cuya portada está representado un niño de número de serie norte– 1. Y al mismo tiempo estoy representado en la portada de una revista en manos de un niño de número de serie. norte+ 1. En este caso, asumiremos que norte aumenta continuamente, tiende al infinito. Es decir, que el número de mundos anidados unos dentro de otros, como muñecos nido, está aumentando. Sin embargo, no importa cuán grande sea el número norte, en mi mundo siempre seré yo mismo y no podré notar que está creciendo todo el tiempo; Además, puede que ni siquiera sepa de la existencia de mundos con números de serie. norte+ 1 y norte– 1. Además, puedo romper en pequeños pedazos una revista con una portada que me asustó, destruyendo inmediatamente una infinidad de mundos...

¿Pero qué cambiará a partir de esto? Si la revista se publicó con una tirada de, digamos, 1.000.000 de ejemplares, entonces se conservarán 999.999 infinitos; incluso si estos especímenes desaparecen, entonces en 999999 mundos de números de serie norte+ 1 999999 · Se conservarán 1000000 ejemplares de la revista, y el número de mundos del número de serie. norte+ 1, a su vez, también es igual a 1000000, y así sucesivamente hasta el infinito. En una palabra, en tal infinito no sólo hay infinitos números de serie, sino que también cada uno de los números está representado por un número infinitamente grande de copias.

Tal infinito puede parecer aterrador no tanto por su inmensidad e inagotabilidad, indestructibilidad y, por así decirlo, increatabilidad, sino más bien por su simplicidad, que llega al absurdo. (¿Es por eso que el sentimiento de infinito surge a menudo en una persona durante una enfermedad grave? Recuerde la descripción del delirio del Príncipe Bolkonsky). En otras palabras, el infinito físico real, todo lo que existe en nuestro mundo, no puede ser destruido ni creado: O no existe en absoluto (lo cual es imposible de imaginar), o existe siempre, para siempre (lo cual también es imposible de imaginar). Entonces, la pregunta: ¿tuvo el mundo un principio y tendrá un fin? no sólo no tiene respuesta, sino que tampoco tiene significado, y tenía razón el inolvidable Kozma Prutkov, quien dejó la siguiente parábola sobre esto: “Una vez, cuando la noche cubría los cielos con su manto invisible, el famoso filósofo francés Descartes, sentado en los escalones de la escalera de su casa y mirando con gran atención el horizonte lúgubre, un transeúnte se le acercó con la pregunta: “Dime, sabio, ¿cuántos ¿Hay estrellas en este cielo? - “¡Sinvergüenza! - respondió éste, - ¡nadie puede abrazar la inmensidad! Estas palabras pronunciadas con gran fuego tuvieron el efecto deseado en el transeúnte”.

Por supuesto, no vivimos en la portada plana de una revista, sino en un mundo geométricamente tridimensional, como acordamos con número de serie norte. Y es muy posible que este mundo sea sólo un insignificante ladrillo del mundo con un número de serie. norte+ 1, y nuestro mundo, a su vez, consta de una cantidad inimaginablemente grande de mundos con números de serie norte– 1, que llamamos partículas. Y así hasta el infinito, tanto en amplitud como en profundidad. Valery Bryusov escribió sobre tal infinito en su poema "El mundo del electrón"; Hoy en día, los físicos expresan hipótesis serias según las cuales existen partículas como "agujeros negros" (por ejemplo, "Friedmons" del académico M.A. Markov), indistinguibles en estructura de nuestro Universo, e hipótesis según las cuales todo nuestro Universo es un "agujero negro". " - una partícula de algún otro mundo inimaginablemente más grande...

Aparentemente, sólo un infinito así puede existir realmente: este es el Gran Infinito, en algún lugar en medio del cual (aunque ¿qué tipo de medio puede tener el infinito?) nuestro mundo se pierde; Todos los mundos del Gran Infinito, en conjunto, existen, por así decirlo, fuera del tiempo, ya que si fluye sin cesar, entonces cualquier momento puede considerarse infinitamente distante del principio, que nunca existió, así como puede considerarse fusionado con el principio.

Y si las matemáticas, sin temer a ningún infinito, describen con precisión Mayor infinito, entonces la física describe sólo su parte inconmensurablemente pequeña, que ciertamente contiene tanto lo más pequeño como lo más grande.

Dondequiera que miremos, veremos materia. Cada gramo contiene aproximadamente 10 partículas: electrones, protones y neutrones. Si cada una de estas partículas es un mundo de número de serie norte– 1, entonces, significa que dentro de cada uno de ellos hay miríadas de estrellas ardiendo, iluminando una innumerable cantidad de planetas, entre los cuales puede haber aquellos en los que viven criaturas capaces de pensar en el infinito.

Sólo que todo en este mundo sucede muchísimo más rápido que en el nuestro, probablemente tantas veces como nuestro mundo es más grande que el electrón (si, siguiendo a Bryusov, asumimos que el mundo del electrón es indistinguible del nuestro), aproximadamente 10 41 veces. Entonces, si para nosotros un instante dura 0,1 segundos, entonces en el mundo del número de serie norte– 1 para esto el tiempo pasará aproximadamente 10 23 mil millones de años, y esos 10 mil millones de años que nuestro mundo existe, en la escala de tiempo del mundo con un número de serie norte+ 1 parpadea en 10 a 24 segundos, inmensamente más corto que nuestro instante.

Estos innumerables mundos tiemblan en cada llama de vela y en cada célula de nuestro cuerpo. El número de mundos crece como una avalancha hasta el infinito con el movimiento tanto en anchura como en profundidad de la materia, desde uno de sus nivel estructural a otro. Todos estos mundos viven vida plena, e incluso si la Tierra es la única cuna de la inteligencia, esto no significa en absoluto que estemos solos en el Universo: incluso en cada insignificante mota de polvo que contenga un número incontable de mundos, debe haber un número infinitamente grande de planetas. poblado seres inteligentes. ¿Y tal vez cada acto de nacimiento de un par electrón-positrón es un acto de nacimiento de innumerables mundos, y cada acto de aniquilación es una prueba de su muerte?

Todo esto lleva a pensamientos demasiado tristes. Volvamos a nuestra pequeña Tierra, donde el sol brilla de día y las estrellas de noche, donde hay mar y cielo, y donde hay familiares y amigos, junto a los cuales no se puede pensar en absoluto en el infinito, ni en el hecho de que todo lo que tiene un comienzo, lamentablemente, también tiene un final.

Infinito: en matemáticas...

A. FOMENKO

Cada área de las matemáticas modernas (geometría, álgebra, etc.) tiene su propio “patrón del infinito” y asocia su propio conjunto de imagenes psicologicas y emociones. Naturalmente, estas imágenes son más claras en geometría. El infinito geométrico es el más accesible para la demostración y al mismo tiempo extremadamente complejo, ya que a menudo entra en conflicto con nuestra intuición geométrica basada en experiencia cotidiana. El hecho es que mecanismos fisiológicos La percepción probablemente no sea capaz de responder adecuadamente a la tarea intelectual abstracta de “imaginar el infinito geométrico”, y nuestro cerebro se ve obligado a reemplazar el “verdadero infinito” con un objeto geométrico intuitivamente más claro y tosco, cometiendo a veces un error imperceptible, una sustitución. Por lo tanto, la intuición geométrica, al ser un medio poderoso para comprender la verdad matemática, a veces puede conducir insidiosamente a errores graves, de los cuales, como muestra la experiencia, ni siquiera los investigadores experimentados son inmunes. Tomemos, por ejemplo, el concepto familiar de línea de la escuela. Si te tomas tu tiempo y lo piensas más detenidamente, pronto revelará toda su complejidad. En el lenguaje de las matemáticas, una línea (curva) es un "objeto unidimensional", tiene "una dimensión". Euclides intentó definir una línea como “largo sin ancho”. La mecánica clásica de los siglos XVIII...XIX, basada en experimentos específicos, desarrolló lo siguiente representación natural sobre una línea (curva). Si consideramos un cuerpo de tamaño suficientemente pequeño (un punto infinitesimal) que se mueve en el espacio, entonces la trayectoria de su movimiento se puede llamar línea. Por tanto, una línea (curva) es la traza de un punto en movimiento. En este caso, por supuesto, merece ser estudiado en primer lugar el caso del “movimiento continuo”, cuando el punto no da saltos instantáneos inesperados, es decir, cuando su traza no tiene interrupciones. Dado que el movimiento de un punto ocurre en el tiempo, entonces, en términos matemáticos, podemos decir que una línea es una imagen de un segmento de tiempo en visualización continua(segmento) en el espacio. Mientras se trate de cuestiones ordinarias y no muy complejas sistemas mecánicos, este concepto de línea nos viene bastante bien. Es intuitivamente claro que continuo no es muy movimiento complejo Los puntos están representados por un objeto unidimensional: una línea. Sin embargo, tan pronto como pasamos a considerar los “procesos infinitos”, inmediatamente se revela la insuficiencia de nuestra formulación y, en consecuencia, las limitaciones de nuestra intuición geométrica y mecánica en la que se basó este concepto. El hecho es que líneas indicadas representan sólo el movimiento “no muy tortuoso” del punto. Ahora supongamos que comienza a cambiar la dirección de su movimiento muy a menudo, y dejemos que el número de tales "torceduras" aumente y tienda al infinito (todo esto se puede describir con bastante precisión). Entonces, la traza compleja de un punto puede resultar completamente diferente de una línea unidimensional ordinaria. Por ejemplo, puede resultar un cuadrado, una esfera, una bola o incluso el llamado norte-figura dimensional, donde “dimensión” norte puede ser tan grande como quieras. Nuevamente, usando el lenguaje matemático, podemos decir que todos estos objetos son imágenes continuas de un segmento unidimensional. Además, según nuestra definición original, son líneas. Entonces extraña circunstancia Fue notado por primera vez por el matemático italiano D. Peano en 1890, en su honor las "curvas" descritas se llaman curvas de Peano. Así, nuestra intuición geométrica (que nos dibuja “trayectorias unidimensionales del movimiento de un punto”) falla cuando nos enfrentamos al interminable proceso de construir una línea bastante compleja.

La geometría moderna conoce muchos ejemplos de este tipo, y en todos ellos, de una forma u otra, hay un procedimiento infinito (el infinito real), que en última instancia destruye nuestras ideas habituales formadas sobre la base de la experiencia "finita" cotidiana. Aprovechó con éxito esta circunstancia al crear su maravilloso obras graficas famoso artista francés M.K. Escher, cuyos grabados se publicaron repetidamente en nuestra prensa de divulgación científica. Por un lado, representó "objetos infinitamente complejos" y, por el otro, "objetos imposibles" ( máquinas de movimiento perpetuo etc.), explotando hábilmente las imperfecciones y limitaciones de nuestra intuición geométrica. Para ello, se basó en construcciones matemáticas utilizadas en el álgebra, geometría, cristalografía, etc. Es esta profunda penetración en la naturaleza del infinito geométrico lo que explica el fuerte impacto de las obras "matemáticas" de Escher en el espectador. Y en general mucho sentido desarrollado infinidad del espacio circundante, presente en las obras de muchos artistas importantes que no tienen una especial educación matemática, tiene sus raíces en el hecho de que cada uno de ellos creó sus propias técnicas para representar el infinito por "medios finitos". Al fin y al cabo, en un lienzo sólo se puede representar la ilusión del infinito, pero no el infinito en sí, y quien mejor consigue “engañar al espectador” consigue mayor efecto. Por eso, a partir del Renacimiento, muchos pintores estudiaron seriamente no sólo la teoría de la perspectiva, sino también estructuras matemáticas más profundas, tratando de penetrar más allá de los límites impuestos por la finitud de nuestro "mundo confortable".

En conclusión, observo que en matemáticas modernas Hay muchos conceptos tan profundos como el concepto de infinito, y cada uno de ellos merece su propia “historia”.

...y en física

Sr. Herzenstein.

Letras y matemáticas, que, al parecer, podrían ser todo lo contrario. Pero los opuestos a menudo convergen y, a veces, los letristas hacen preguntas profundas a los matemáticos. Por regla general, los matemáticos (y con ellos los físicos; después de todo, hoy no hay ni puede haber física sin matemáticas) simplemente dejan de lado estas cuestiones. Pero a veces, después de un tiempo, de repente resulta que las preguntas de los letristas tenían un trasfondo que los científicos ni siquiera sospechaban.

En el artículo físico famoso E. Wigner “La incomprensible eficiencia de las matemáticas en Ciencias Naturales“Cabe señalar que las matemáticas son la ciencia de las operaciones ingeniosas realizadas de acuerdo con reglas especialmente desarrolladas sobre conceptos especialmente inventados. ¿Qué tiene esto que ver con el mundo real? ¿Y dónde y cuándo puede el estricto cumplimiento de las reglas inventadas por los matemáticos llevar a los físicos a un resultado erróneo?

Tomemos, por ejemplo, el mundo de los números enteros reales. Sabemos que puedes sumar uno a cualquier número entero y obtener más numero mayor. Si realiza esta operación norte→ ∞ veces, entonces obtenemos infinito; Lo mismo sucede si duplicas el número. Sin embargo, cualquier número se puede dividir por la mitad, lo que da como resultado un número menor. Número Real, que se puede dividir a la mitad, repitiendo esta operación al menos norte→ ∞ veces.

Pero en el mundo real, lamentablemente, no es posible hacer la transición. norte→ ∞. Por ejemplo, si comenzamos a duplicar un segmento con una longitud de solo 1 cm, luego de solo unas 100 operaciones similares obtendremos un segmento igual al tamaño en todo nuestro Universo, y su mayor duplicación perderá su significado físico. Y viceversa, si comenzamos a dividir un segmento de 1 cm de largo por la mitad, luego de solo unas 50 operaciones de este tipo obtendremos un segmento igual al límite de pequeñas distancias a las que nos acercamos experimentalmente. física moderna. Entonces, ¿por qué las matemáticas, que utilizan operaciones con infinitos que son claramente imposibles en el mundo real, siguen dando a la física las respuestas correctas a preguntas sobre el mismo mundo real? Ésta es la esencia de la pregunta planteada por Wigner, si se relaciona con el problema del infinito.

Este es el momento de que Lyrics se regodee: si ustedes, los físicos, cuando piensan, recurren a operaciones que son imposibles en el mundo real, ¿es de extrañar que sus teorías produzcan infinitos y no cantidades finitas razonables? Para justificarlo, podemos decir que en las matemáticas mismas hay problemas asociados con los infinitos.

Es decir, hasta hace poco, los matemáticos estaban sinceramente convencidos de que en su ciencia estricta, basada en un sistema finito de axiomas, era imposible sumar o restar nada. Pero no, resultó que en el marco de un sistema finito de axiomas pueden haber afirmaciones cuya verdad o falsedad no se puede establecer, y por lo tanto se pueden agregar tantos nuevos axiomas a las matemáticas, y su armonía no se alterará...

El letrista, en mi opinión, está en vano "patear" a los físicos, escribiendo incluso en modo subjuntivo: “...resulta que la mecánica clásica no parece describir nada.” Cualquier descripción de la naturaleza es una verdad relativa, siempre cercana a la verdad absoluta que desconocemos. Aproximarse tanto por razones de carácter fundamental (inexactitud de las ecuaciones de la mecánica clásica) como por razones más bien prosaicas (en la práctica, una precisión excesiva en la descripción es a veces tan perjudicial como insuficiente).

Tampoco me gustaron las palabras sobre las visiones del mundo “desde fuera” y “desde dentro”. Creo que enfatizan demasiado el papel del observador. Pero nosotros, los físicos, también tenemos la culpa de esto último: hablamos demasiado del papel del observador cuando presentamos los fundamentos de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.

Tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad, primero debemos conectar de alguna manera el espacio y el tiempo con los objetos que estudian los matemáticos (en el caso más simple, con los números). ¿Pero cómo? ¡Un vacío no es la superficie de la Tierra; no se pueden colocar hitos en él! Por supuesto, puedes dejar un objeto en paz y considerarlo un punto de partida. Pero si este objeto se mueve por inercia con cierta velocidad inicial, entonces, durante el tiempo que se realiza la observación, el punto de referencia puede desplazarse en una dirección desconocida a una distancia desconocida. ¿Qué hacer en esta situación? ¿Cómo tender un puente entre la física y las matemáticas?

Por tanto, en la teoría de la relatividad tenemos que hablar de sistema coordinado tal o cual observador, sin entrar en detalles sobre lo que significa. Sin embargo, fue precisamente este enfoque el que permitió obtener conclusiones interesantes que fueron confirmadas experimentalmente. Observo que algunas características del puente que conecta las matemáticas con la realidad se descubrieron hace relativamente poco tiempo: por ejemplo, resultó que, a pesar de la contracción de Lorentz, una bola en movimiento no parece un elipsoide, sino una bola, y esto también se confirmó experimentalmente. !

Las propiedades ondulatorias del electrón determinan la naturaleza del espectro de radiación del átomo, pero el espectro de radiación no depende de si alguien lo observará. Naturalmente, si un cuanto es absorbido en un lugar, no puede ser absorbido simultáneamente en otro lugar. Si se coloca una pantalla con dos agujeros en el camino del cuanto, entonces el cuanto, como cualquier onda, penetrará a través de ambos agujeros a la vez y dará un patrón de interferencia que se puede observar incluso en distancias cósmicas. Pero si los receptores de fotones se colocan detrás de los agujeros, entonces el cuanto obligará a funcionar sólo a uno de ellos, la pregunta es: ¿cómo supo el segundo receptor (¡a velocidad superluminal, instantáneamente!) que el primero estaba funcionando?

Sin embargo, tanto la mecánica cuántica como la relatividad son teorías sin contradicciones internas y, a pesar de que contradicen el llamado “ sentido común”, representan verdades relativas firmemente establecidas.

En conclusión, unas palabras sobre los mundos de las matrioskas. Sin duda, la idea en sí es hermosa y a menudo se analiza en la literatura física seria. Pero, en mi opinión, esto sólo atestigua la pobreza de la imaginación de los autores. Cambios cuantitativos siempre conducen a cambios cualitativos: las muñecas nido no pueden ser completamente idénticas en sus propiedades, diferenciándose sólo en el tamaño. De hecho, de esta hipótesis poética aún no ha sido posible extraer consecuencias concretas accesibles a la verificación experimental; más bien, algunas de sus conclusiones contradicen hechos ya conocidos;

Los pensamientos líricos sobre el infinito resultaron ser bastante profundos y nos permitieron hablar de lo que está en primer plano. ciencia moderna. Debemos esperar que esta conversación continúe. Pero, por supuesto, no indefinidamente.

Una fuente de información:

“Tecnología para la Juventud”, N° 12, 1990.

Definición. Punto al infinito plano complejo llamado punto singular aislado inequívoco función analíticaF(z), Si afuera círculo de algún radio R,

aquellos. porque no existe un punto singular finito de la función F(z).

Para estudiar la función en un punto del infinito, hacemos la sustitución
Función

tendrá una singularidad en el punto ζ = 0, y este punto estará aislado, ya que

dentro del circulo
No existen otros puntos singulares según la condición. Ser analítico en esto

círculo (excepto los llamados ζ = 0), función
se puede ampliar en una serie de Laurent en potencias ζ . La clasificación descrita en el párrafo anterior se mantiene completamente inalterada.

Sin embargo, si volvemos a la variable original z, luego series en potencias positivas y negativas z'Cambiar lugares. Aquellos. clasificación sin fin puntos remotos se verá así:

Ejemplos. 1.
. Punto z = i − polo de 3er orden.

2.
. Punto z = ∞ − significativamente punto singular.

§18. Residuo de una función analítica en un punto singular aislado.

deja el punto z 0 es un punto singular aislado de una función analítica de un solo valor

F(z). Según lo anterior, en las proximidades de este punto F(z) puede estar representado únicamente por la serie Laurent:
Dónde

Definición.Deducción función analítica F(z) en un punto singular aislado z 0

llamado Número complejo, igual al valor de la integral
, tomado en la dirección positiva a lo largo de cualquier contorno cerrado que se encuentre en el dominio de analiticidad de la función y que contenga dentro de sí un único punto singular z 0 .

La deducción se indica con el símbolo Res [F(z),z 0 ].

Es fácil ver que el residuo en un punto singular regular o removible es igual a cero.

En un polo o punto esencialmente singular, el residuo es igual al coeficiente Con-1 fila Laurent:

.

Ejemplo. Encuentra el residuo de una función.
.

(Que sea fácil ver que

coeficiente Con-1 se obtiene al multiplicar los términos con norte= 0:Res[ F(z),i ] =
}

A menudo es posible calcular residuos de funciones sobre de una manera sencilla. Deja que la función F(z) tiene incl. z 0 polos de primer orden. En este caso, el desarrollo de la función en una serie de Laurent tiene la forma (§16):. Multipliquemos esta igualdad por (z−z 0) y vayamos al límite en
. Como resultado obtenemos: Res[ F(z),z 0 ] =
Entonces, en

En el último ejemplo tenemos Res[ F(z),i ] =
.

Para calcular los residuos en polos de orden superior, multiplique la función

en
(metro− orden de los polos) y diferenciar la serie resultante ( metro − 1 vez.

En este caso tenemos: Res[ F(z),z 0 ]

Ejemplo. Encuentra el residuo de una función.
en z= −1.

{res[ F(z), −1] }

Si alguna secuencia converge a un número finito a, entonces escribe
.
Anteriormente, consideramos secuencias infinitamente grandes. Supusimos que son convergentes y denotamos sus límites con los símbolos y . Estos símbolos representan puntos en el infinito. No pertenecen a la multitud. numeros reales. Pero el concepto de límite nos permite introducir dichos puntos y proporciona una herramienta para estudiar sus propiedades utilizando números reales.

Definición
Punto al infinito, o infinito sin signo, es el límite hacia el que tiende una secuencia infinitamente grande.
Punto en infinito más infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos positivos.
Punto en infinito menos infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos negativos.

Para cualquier número real a se cumplen las siguientes desigualdades:
;
.

Usando números reales, introdujimos el concepto. vecindad de un punto en el infinito.
La vecindad de un punto es el conjunto.
Finalmente, la vecindad de un punto es el conjunto.
Aquí M es un número real arbitrario y arbitrariamente grande.

Así, hemos ampliado el conjunto de números reales introduciendo en él nuevos elementos. En este sentido, hay siguiente definición:

recta numérica extendida o conjunto extendido de números reales es el conjunto de los números reales complementados por los elementos y :
.

Primero, escribiremos las propiedades que tienen los puntos y . A continuación consideramos la cuestión de la estricta definición matemática operaciones para estos puntos y pruebas de estas propiedades.

Propiedades de los puntos en el infinito.

suma y diferencia.
; ;
; ;

Producto y cociente.
; ; ;
;
;
; ; .

Relación con números reales.
Sea a un número real arbitrario. Entonces
; ;
; ; ; .
deja un > 0 . Entonces
; ; .
deja un < 0 . Entonces
; .

Operaciones indefinidas.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Pruebas de las propiedades de los puntos en el infinito.

Definición de operaciones matemáticas

Ya hemos dado definiciones para puntos en el infinito. Ahora necesitamos definir operaciones matemáticas para ellos. Dado que definimos estos puntos usando secuencias, las operaciones con estos puntos también deberían definirse usando secuencias.

Entonces, suma de dos puntos
c = a + b,
perteneciente al conjunto ampliado de números reales,
,
llamaremos al límite
,
donde y son secuencias arbitrarias que tienen límites
Y .

Las operaciones de resta, multiplicación y división se definen de forma similar. Sólo que, en el caso de división, los elementos del denominador de la fracción no deben ser igual a cero.
Entonces la diferencia de dos puntos:
- Este es el límite: .
Producto de puntos:
- Este es el límite: .
Privado:
- Este es el límite: .
Aquí y son secuencias arbitrarias cuyos límites son a y b, respectivamente. EN el último caso, .

Pruebas de propiedades

Para probar las propiedades de los puntos en el infinito, necesitamos usar las propiedades de secuencias infinitamente grandes.

Considere la propiedad:
.
Para demostrarlo debemos demostrar que
,

En otras palabras, necesitamos demostrar que la suma de dos secuencias que convergen a más infinito converge a más infinito.

1 se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .

Otras propiedades se pueden demostrar de manera similar. Como ejemplo, demos otra prueba.

Demostremos que:
.
Para ello debemos demostrar que
,
donde y son secuencias arbitrarias, con límites y .

Es decir, necesitamos demostrar que el producto de dos secuencias infinitamente grandes es una secuencia infinitamente grande.

Demostrémoslo. Desde y, entonces hay algunas funciones y, por lo que para cualquier numero positivo METRO 1 se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .

Operaciones indefinidas

Parte Operaciones matemáticas con puntos en el infinito no están definidos. Para mostrar su incertidumbre, es necesario citar un par de casos especiales en los que el resultado de la operación depende de la elección de las secuencias incluidas en ellos.

Considere esta operación:
.
Es fácil demostrar que si y , entonces el límite de la suma de secuencias depende de la elección de secuencias y .

De hecho, tomémoslo. Los límites de estas secuencias son. límite de cantidad

es igual al infinito.

Ahora tomemos. Los límites de estas secuencias también son iguales. Pero el límite de su cantidad.

igual a cero.

Es decir, siempre que y , el valor del límite de importe pueda tomar diferentes significados. Por tanto la operación no está definida.

De manera similar, puede mostrar la incertidumbre del resto de operaciones presentadas anteriormente.

Estoy roto. La razón es su amor. Marco el teléfono, que está lleno de llamadas de emergencia, y escucho atentamente los pitidos para saber el paradero de mi novio. Tengo veinticinco años, necesito un marido, en el peor de los casos, un hombre con el que pueda sentirme segura y no temblorosa como en una balsa. Sonidos largos y medidos y vuelvo a sentir una sensación de asfixia a través del plástico, él no responde, se olvida de sí mismo, olvida que estoy yo además del alcohol y las fiestas. Un largo y embriagador sentimiento de felicidad duró exactamente un año, la liberación de adrenalina que se había ido acumulando durante tantos años, un par de lindas citas con flores y listo, soy suya. Me parecía que estaba en un cuento de hadas, porque donde lo veían, el propio Igor Sokolovsky, hijo de un hombre famoso e influyente en Moscú, simplemente decidió ligar con un tonto como yo.

Realmente todo era un cuento de hadas, no lo niego, pero el juego no valía la pena, no valía la pena derramar lágrimas y dolor por las noches cuando solo había una almohada fría cerca y las bragas de otras personas estaban acostado en el armario, ni siquiera se dio cuenta como su novia dejaba su ropa interior casi debajo de mis narices, tratando de marcar mi territorio. Bueno, ella lo hizo, yo me derrumbé, por dentro estaba lista para llorar y empacar mis cosas. Sólo la lástima, el amor y la lástima, cosas que no parecen ser componentes de la felicidad, pero que influyen demasiado en las relaciones, me quedé, pensando que todo cambiaría, creyendo y esperando condenatoriamente sólo lo mejor.
Lo mejor ahora estaba allí, en una discoteca o bar, donde hay de todo, desde alcohol hasta prostitutas, donde la música es la parte principal de la vida, y yo sólo tenía que aceptarlo, dejarlo todo y seguir adelante. Caminando tras él, agarrándose la manga de la camisa, arrancando los restos de orgullo y coraje: estoy destrozado y la razón es su amor.

El timbre, la voz vil al otro lado de la puerta, la estúpida esperanza de una gran velada juntos se convirtieron en polvo en apenas un par de segundos. Fue él, fueron sus viles manos las que golpearon la puerta con fuerza, haciendo que mi corazón se congelara. Tenía miedo, miedo de que se volviera loco, de que ya no sintiera nada, de que yo fuera sólo una persona para él, estúpida, enamorada. Después de ponerme apresuradamente una chaqueta, abrí la puerta con manos temblorosas y dejé la cadena en su lugar: es más seguro. Se veía incluso peor de lo que había imaginado: tenía los nudillos rotos, las manos raspadas, moretones adornaban la mayor parte de su rostro, su labio era una vista aterradora, las comisuras estaban cubiertas de sangre, la piel estaba ligeramente hinchada. No tenía ninguna duda sobre el motivo de la pelea: apestaba a vapores, como dicen, "a una milla de distancia".

Lo siento, Vic, no volverá a suceder. – Cada vez que llegaba a casa en un estado de total euforia repetía esta frase, ni siquiera pensé si la había entendido bien, ¿el concepto de “más” significa lo mismo para él que para mí? Yo, sin entender qué hacer, hago clic en el candado y lo abro de par en par. puerta principal, No me importa cómo sea, ha vuelto, lo principal es que está aquí.

Ya he olvidado cómo luces. Desapareciste esta mañana. – Intento no gritar, me lo guardo para mí, no hablo de la llamada matutina de su amante en mi móvil, o no de su amante – fatiga, eso es lo que siento ahora. Son poco más de las dos de la madrugada y, en lugar de mirar a la cama, estoy mirando a Igor a los ojos, buscando una respuesta a mi pregunta. propia pregunta– ¿Me ama? ¿Significo algo para él?

Lo siento, cariño, tenía algo de trabajo que hacer”, me entra hipo y gimo desgarradoramente, sintiendo la pesadez de mi cuerpo. Es una carga demasiado grande para mí y grito mientras doy un paso y luego caigo dolorosamente junto con él sobre la alfombra. - Tonterías.

Se levanta lentamente y da un paso adelante, apenas pisando la superficie del suelo, apenas controlando sus movimientos. Él simplemente se acerca sin darse cuenta de mí, ahora mismo está demostrando mis suposiciones: simplemente pasó de largo en nuestra relación. Sólo desempeñó un papel: habló sobre el amor, proporcionó dinero y surgen dudas: ¿fue del bolsillo de papá? Me tapo la cabeza con las manos, esto no puede durar tanto, no podría soportarlo tanto. Dios.
Escuché un sonido en el baño, así que decidí darme una ducha. Tampoco me vendría mal dejar mi estado de completa apatía y ponerme en orden, soy mujer. Eres un cobarde si te permites que te traten de esta manera - mi subconsciente grita y entiendo que esto es cierto. Que el mundo es completamente diferente, no tiene limitaciones entre cuatro paredes, está plenamente desarrollado, allí hay gente, allí hay vida. Aquí, en esta casa, la vida se ha convertido desde hace mucho tiempo en aire radiactivo, que te hace morir poco a poco, matar una parte de ti mismo, desaparecer la felicidad y evaporar por completo el orgullo de tus pulmones.

¿Dónde está la toalla?

Me duele muchísimo la cabeza, todo lo que puedo sentir además de la pelusa esponjosa en mi pecho y la manta a mis pies. No siento a Igor, ni siquiera intento adivinar su paradero. Fue a expiar su culpa con su madre con la ayuda del alcohol, así entiende él la palabra “pérdida”, así entiendo yo la palabra “fin”, así es exactamente él. Nada más levantarme de la cama me encuentro con una foto de ellos juntos y una nota cerca, ¿es realmente un deseo de buenos días?

Me fui. Para siempre. Será mejor así, estoy cansado de ti, de tus eternos lloriqueos, de preguntas que no deberían haberte hecho, si supieras la respuesta. Eres demasiado estúpido. Adiós.
Ígor.

Definición
Subsecuencia (βn) llamada secuencia infinitamente grande, si por alguien, arbitrariamente gran número M, existe tal cosa número natural N M dependiendo de M tal que para todo n > N M natural se cumple la siguiente desigualdad:
|βn | >M.
En este caso escriben
.
O en .
Dicen que tiende al infinito, o converge al infinito.

Si, a partir de algún número N 0 , Eso
( converge a más infinito).
si entonces
( converge a menos infinito).

Escribamos estas definiciones usando los símbolos lógicos de existencia y universalidad:
(1) .
(2) .
(3) .

Las secuencias con límites (2) y (3) son casos especiales de infinitamente secuencia grande(1). De estas definiciones se deduce que si el límite de una secuencia es igual a más o menos infinito, entonces también es igual a infinito:
.
Lo contrario, por supuesto, no es cierto. Los miembros de una secuencia pueden tener signos alternos. En este caso, el límite puede ser igual al infinito, pero sin un signo específico.

Tenga en cuenta también que si alguna propiedad se cumple para una secuencia arbitraria con un límite igual al infinito, entonces la misma propiedad se cumple para una secuencia cuyo límite es igual a más o menos infinito.

En muchos libros de texto de cálculo, la definición de secuencia infinitamente grande establece que el número M es positivo: M > 0 . Sin embargo, este requisito es innecesario. Si se cancela, no surgen contradicciones. Lo que pasa es que los valores pequeños o negativos no nos interesan. Estamos interesados ​​en el comportamiento de la secuencia para arbitrariamente grandes valores positivos METRO. Por lo tanto, si surge la necesidad, entonces M puede limitarse desde abajo por cualquiera, de antemano numero dado

a, es decir, supongamos que M > a. ¿Cuándo definimos ε - vecindad? punto final > 0 , entonces el requisito ε es una importante. En valores negativos

, la desigualdad no puede satisfacerse en absoluto.

Barrios de puntos en el infinito.

Cuando consideramos límites finitos, introdujimos el concepto de vecindad de un punto. Recuerde que una vecindad de un punto final es un intervalo abierto que contiene este punto. También podemos introducir el concepto de vecindades de puntos en el infinito.
Sea M un número arbitrario. Barrio del punto "infinito"
, , se llama conjunto. Barrio del punto "infinito"
Barrio del punto "más infinito" Barrio del punto "infinito"

En las proximidades del punto "menos infinito"
(4) ,
Estrictamente hablando, la vecindad del punto "infinito" es el conjunto 1 donde m 2 y M

- números positivos arbitrarios. Usaremos la primera definición, ya que es más sencilla. Aunque todo lo que se dice a continuación también es cierto cuando se utiliza la definición (4). Ahora podemos dar una definición unificada del límite de una secuencia que se aplica tanto a finitos como a.

hasta límites infinitos.
Definición universal de límite de secuencia

Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de una secuencia si para cualquier vecindad de este punto existe un número natural N tal que todos los elementos de la secuencia con números pertenecen a esa vecindad. numero final miembros de una secuencia, o el conjunto vacío. Esta condición es necesaria y suficiente. La prueba de esta propiedad es exactamente la misma que para límites finitos.

Propiedad de vecindad de una secuencia convergente
Para que un punto a (finito o en el infinito) sea límite de la secuencia, es necesario y suficiente que fuera de cualquier vecindad de este punto haya un número finito de términos de la secuencia o un conjunto vacío.
Prueba .

También a veces se introducen los conceptos de ε - vecindades de puntos en el infinito.
Recuerde que la ε-vecindad de un punto finito a es el conjunto.
Introduzcamos la siguiente notación. Sea ε la vecindad del punto a. Luego, para el punto final,
.
Para puntos en el infinito:
;
;
.
Usando los conceptos de ε - vecindades, podemos dar otra definición universal límite de secuencia:

Un punto a (finito o en el infinito) es el límite de la secuencia si para cualquier número positivo ε > 0 existe un número natural N ε que depende de ε tal que para todos los números n > N ε los términos x n pertenecen a la ε-vecindad del punto a:
.

Utilizando los símbolos lógicos de existencia y universalidad, esta definición se puede escribir de la siguiente manera:
.

Ejemplos de secuencias infinitamente grandes.

Primero veremos tres ejemplos simples similares y luego resolveremos uno más complejo.

Ejemplo 1

.

.
Anotemos la definición de una secuencia infinitamente grande:
(1) .
En nuestro caso
.

Introducimos los números y , conectándolos con desigualdades:
.
Según las propiedades de las desigualdades, si y , entonces
.
Tenga en cuenta que esta desigualdad es válida para cualquier n. Por lo tanto, puedes elegir así:
en ;
en .

Entonces, para cualquiera podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que . Es decir, la secuencia es infinitamente grande.

Ejemplo 2

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

(2) .
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.

Ingrese los números y:
.
.

Entonces, para cualquiera se puede encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, por lo que para todos,
.
Esto significa que .

.

Ejemplo 3

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a menos infinito:
(3) .
El término general de la secuencia dada tiene la forma:
.

Ingrese los números y:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.

Dado que para cualquiera es posible encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad, entonces
.

Dado , como N podemos tomar cualquier número natural que satisfaga la siguiente desigualdad:
.

Ejemplo 4

Usando la definición de una secuencia infinitamente grande, demuestre que
.

Lo escribiremos miembro común secuencias:
.
Anotemos la definición del límite de una secuencia igual a más infinito:
(2) .

Como n es un número natural, n = 1, 2, 3, ... , Eso
;
;
.

Introducimos números y M, conectándolos con desigualdades:
.
De esto queda claro que si y , entonces
.

Entonces, para cualquier número M podemos encontrar un número natural que satisfaga la desigualdad. Entonces para todos,
.
Esto significa que .

Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Bien Análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
CM. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983.