Determinando distancias
Distancias de punto a punto y de punto a línea
Distancia de un punto a otro está determinada por la longitud de la línea recta que conecta estos puntos. Como se muestra arriba, este problema se puede resolver mediante el método del triángulo rectángulo o reemplazando los planos de proyección, moviendo el segmento a la posición de la línea de nivel.
Distancia de un punto a una línea medido por un segmento perpendicular trazado desde un punto a una recta. Un segmento de esta perpendicular se representa en tamaño completo en el plano de proyección si se dibuja en la línea recta que se proyecta. Por lo tanto, primero se debe transferir la línea recta a la posición de proyección, y luego desde Punto dado baje una perpendicular sobre él. En la Fig. 1 muestra la solución a este problema. Para transferir la línea de posición general AB a la posición de la línea de nivel, se realiza x14 IIA1 B1. Luego AB se transfiere a la posición de proyección introduciendo un plano de proyección adicional P5, para el cual se dibuja un nuevo eje de proyección x45\A4 B4.
Foto 1
Al igual que los puntos A y B, el punto M se proyecta sobre el plano de proyección P5.
La proyección K5 de la base K de la perpendicular bajada desde el punto M hasta la recta AB en el plano de proyección P5 coincidirá con las correspondientes proyecciones de los puntos.
A y B. La proyección M5 K5 de la perpendicular MK es el valor natural de la distancia desde el punto M a la recta AB.
En el sistema de planos de proyección P4/P5, la perpendicular a MK será una línea de nivel, ya que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyección P5. Por tanto, su proyección M4 K4 sobre el plano P4 es paralela a x45, es decir perpendicular a la proyección A4 B4. Estas condiciones determinan la posición de la proyección K4 de la base de la perpendicular K, que se encuentra trazando una recta desde M4 paralela a x45 hasta que se cruza con la proyección A4 B4. Las proyecciones restantes de la perpendicular se encuentran proyectando el punto K sobre los planos de proyección P1 y P2.
Distancia de un punto a un plano
La solución a este problema se muestra en la Fig. 2. La distancia del punto M al plano (ABC) se mide mediante un segmento perpendicular que se deja caer desde el punto al plano.
Figura 2
Dado que la perpendicular al plano de proyección es una línea de nivel, nos movemos a esta posición avión dado, como resultado de lo cual en el nuevo plano de proyección P4 introducido obtenemos una proyección degenerada C4 B4 del plano ABC. A continuación, proyectamos el punto M sobre P4. El valor natural de la distancia del punto M al plano está determinado por el segmento perpendicular.
[MK]=[M4 K4]. Las restantes proyecciones de la perpendicular se construyen de la misma forma que en tarea anterior, es decir. teniendo en cuenta el hecho de que el segmento MK en el sistema de planos de proyección P1 / P4 es una línea de nivel y su proyección M1 K1 es paralela al eje
x14.
Distancia entre dos líneas
La distancia más corta entre líneas rectas que se cruzan se mide por el tamaño del segmento de la perpendicular común cortado por estas líneas rectas. El problema se resuelve eligiendo (como resultado de dos sustituciones sucesivas) un plano de proyección perpendicular a una de las líneas que se cruzan. En este caso, el segmento perpendicular requerido será paralelo al plano de proyección seleccionado y se representará en él sin distorsión. En la Fig. La Figura 3 muestra dos líneas que se cruzan definidas por los segmentos AB y CD.
figura 3
Las líneas se proyectan inicialmente sobre el plano de proyección P4, paralelo a una (cualquiera) de ellas, por ejemplo AB, y perpendicular a P1.
En el plano de proyección P4 se representará el segmento AB sin distorsión. Luego los segmentos se proyectan sobre nuevo avion P5 perpendicular a la misma recta AB y al plano P4. En el plano de proyección P5, la proyección del segmento AB perpendicular a él degenera en el punto A5 = B5, y el valor deseado N5 M5 del segmento NM es perpendicular a C5 D5 y se representa en tamaño completo. Utilizando líneas de comunicación adecuadas, se construyen proyecciones del segmento MN sobre el original.
dibujo. Como se mostró anteriormente, la proyección N4 M4 del segmento deseado sobre el plano P4 es paralela al eje de proyección x45, ya que es una línea de nivel en el sistema de planos de proyección P4/P5.
La tarea de determinar la distancia D entre dos líneas paralelas AB a CD - caso especial el anterior (Fig. 4).
Figura 4
Al realizar una doble sustitución de los planos de proyección, las rectas paralelas se trasladan a la posición de proyección, por lo que en el plano de proyección P5 tendremos dos proyecciones degeneradas A5 = B5 y C5 = D5 de las rectas AB y CD. La distancia entre ellos D será igual a su valor natural.
La distancia de una línea recta a un plano paralelo a ella se mide mediante un segmento perpendicular trazado desde cualquier punto de la línea recta al plano. Por tanto, basta con transformar el plano de posición general en la posición del plano saliente, tomar un punto directo y la solución del problema se reducirá a determinar la distancia del punto al plano.
Para determinar la distancia entre planos paralelos, es necesario trasladarlos a la posición de proyección y construir una perpendicular a las proyecciones degeneradas de los planos, cuyo segmento entre ellos será el valor de distancia deseado.
Universidad Técnica Marina Estatal de San Petersburgo
Departamento gráficos de computadora y soporte informativo
LECCIÓN 3
TAREA PRÁCTICA N°3
Determinar la distancia de un punto a una línea recta.
Puede determinar la distancia entre un punto y una línea recta realizando las siguientes construcciones (ver Fig.1):
· desde el punto CON bajar la perpendicular a una línea recta A;
· marcar un punto A intersección de una perpendicular con una línea recta;
medir la longitud del segmento Kansas, cuyo comienzo es un punto dado y el final es el punto de intersección marcado.
Figura 1. Distancia de un punto a una recta.
La base para resolver problemas de este tipo es la regla de proyección. ángulo recto: Un ángulo recto se proyecta sin distorsión si al menos uno de sus lados es paralelo al plano de proyección.(es decir, ocupa un puesto privado). Comencemos con un caso así y consideremos construcciones para determinar la distancia desde un punto. CON a un segmento de recta AB.
No hay casos de prueba en esta tarea, pero sí opciones de ejecución. tareas individuales se muestra en la tabla1 y tabla2. La solución al problema se describe a continuación y las construcciones correspondientes se muestran en la Fig. 2.
1. Determinar la distancia de un punto a una línea particular.
Primero, se construyen proyecciones de un punto y un segmento. Proyección A1B1 paralelo al eje X. Esto significa que el segmento AB paralelo al plano P2. si desde el punto CON dibujar perpendicular a AB, entonces el ángulo recto se proyecta sin distorsión sobre el plano. P2. Esto le permite dibujar una perpendicular desde un punto. C2 a la proyección A2B2.
Menú desplegable Segmento de dibujo (Dibujar- Línea) . Colocar el cursor en el punto C2 y fijarlo como el primer punto del segmento. Mueva el cursor en la dirección de la normal al segmento. A2B2 y fija el segundo punto en el momento en que aparece la pista. Normal (Perpendicular) . Marcar el punto construido. K2. Habilitar modo ORTO(ORTO) , y desde el punto K2 dibuje una línea de conexión vertical hasta que se cruce con la proyección A1B1. Designe el punto de intersección por K1. Punto A, recostado sobre el segmento AB, es el punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto CON, con segmento AB. Así, el segmento Kansas es la distancia requerida desde el punto a la línea.
De las construcciones se desprende claramente que el segmento Kansas acepta posición general y por tanto sus proyecciones están distorsionadas. Cuando hablamos de distancia, siempre nos referimos valor real del segmento, expresando la distancia. Por lo tanto, necesitamos encontrar el valor real del segmento. KANSAS, girándolo a una posición particular, por ejemplo, Kansas|| P1. El resultado de las construcciones se muestra en la Fig. 2.
De las construcciones que se muestran en la Fig. 2, podemos concluir: la posición particular de la línea (el segmento es paralelo P1 o P2) le permite construir rápidamente proyecciones de la distancia desde un punto a una línea, pero están distorsionadas.
Figura 2. Determinar la distancia de un punto a una línea particular.
2. Determinación de la distancia de un punto a una recta general.
No siempre en condición inicial el segmento ocupa una posición particular. En general posición inicial Se realizan las siguientes construcciones para determinar la distancia de un punto a una recta:
a) utilizando el método de transformación del dibujo, convierta un segmento de una posición general a una particular; esto permitirá construir proyecciones de distancia (distorsionadas);
b) utilizando el método nuevamente, convertimos el segmento correspondiente a la distancia requerida a una posición particular; obtenemos una proyección de la distancia en magnitud igual a la real.
Considere la secuencia de construcciones para determinar la distancia desde un punto. A a un segmento en posición general Sol(Fig. 3).
En el primer giro es necesario obtener la posición particular del segmento ENC. Para hacer esto en la capa TMR Necesito conectar los puntos A LAS 2, C2 Y A2. Usando el comando Cambiar-Rotar (Modificar – Girar) triángulo В2С2А2 girar alrededor de un punto C2 a la posición donde la nueva proyección B2*C2 se ubicará estrictamente horizontal (punto CON está inmóvil y, por tanto, su nueva proyección coincide con la original y la denominación C2* Y C1* puede que no se muestre en el dibujo). Como resultado se obtendrán nuevas proyecciones del segmento. B2*C2 y puntos: A2*. Siguiente desde puntos A2* Y A LAS 2* se realizan las verticales, y desde los puntos EN 1 Y A1 líneas de comunicación horizontales. La intersección de las líneas correspondientes determinará la posición de los puntos de la nueva proyección horizontal: el segmento B1*C1 y puntos A1*.
En la posición particular resultante, podemos construir proyecciones de distancia para esto: desde el punto A1* lo normal a B1*C1. El punto de su intersección mutua es K1*. A partir de este punto se lleva a cabo linea vertical conexiones hasta que se crucen con la proyección B2*C2. Un punto está marcado K2*. Como resultado se obtuvieron las proyecciones del segmento. Alaska, que es la distancia requerida desde el punto A a un segmento de recta Sol.
A continuación, es necesario construir proyecciones de distancia en la condición inicial. Para hacer esto desde el punto K1* conveniente para llevar a cabo linea horizontal hasta que se cruza con la proyección В1С1 y marcar el punto de intersección K1. Luego se construye un punto K2 en la proyección frontal del segmento y se realizan proyecciones. A1K1 Y A2K2. Como resultado de las construcciones se obtuvieron proyecciones de la distancia, pero tanto en la posición parcial inicial como en la nueva del segmento. sol, segmento de línea Alaska Ocupa una posición general, y esto lleva a que todas sus proyecciones estén distorsionadas.
En la segunda rotación es necesario rotar el segmento Alaska a una posición particular, lo que nos permitirá determinar el verdadero valor de la distancia - proyección A2*K2**. El resultado de todas las construcciones se muestra en la Fig. 3.
TAREA No. 3-1. CON a una línea recta de una posición particular especificada por un segmento AB. Da la respuesta en mm (Tabla 1).Quitar lentes de proyección
tabla 1
TAREA No. 3-2. Encuentra la distancia real desde un punto. METRO a una recta en posición general dada por el segmento DE. Da la respuesta en mm (Tabla 2).
Tabla 2
Verificar y aprobar la TAREA No. 3 completada.
155*. Determine el tamaño natural de un segmento AB de una línea recta en posición general (Fig. 153, a).
Solución. Como sabes, la proyección de un segmento de recta en cualquier plano es igual al segmento en sí (teniendo en cuenta la escala del dibujo), si es paralelo a este plano.
(Figura 153, b). De esto se deduce que al transformar el dibujo es necesario lograr el paralelismo. de este segmento pl. V o cuadrado H o complementar el sistema V, H con otro plano perpendicular al cuadrado. V o pl. H y al mismo tiempo paralelo a este segmento.
En la Fig. 153, c muestra la introducción de un plano adicional S, perpendicular al cuadrado. H y paralelo a un segmento dado AB.
La proyección a s b s es igual al valor natural del segmento AB.
En la Fig. 153, d muestra otra técnica: el segmento AB se gira alrededor de una línea recta que pasa por el punto B y es perpendicular al cuadrado. H, a una posición paralela
pl. V. En este caso, el punto B permanece en su lugar y el punto A toma una nueva posición A 1. El horizonte está en una nueva posición. proyección a 1 b || eje x La proyección a" 1 b" es igual al tamaño natural del segmento AB.
156. Dana Pirámide SABC D (figura 154). Determine el tamaño real de las aristas AS y CS de la pirámide, utilizando el método de cambio de planos de proyección, y las aristas BS y DS, utilizando el método de rotación, y tome el eje de rotación perpendicular al cuadrado. h.
157*. Determine la distancia desde el punto A hasta la línea recta BC (Fig. 155, a).
Solución. La distancia de un punto a una recta se mide mediante un segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.
Si la línea recta es perpendicular a cualquier plano (figura 155.6), entonces la distancia del punto a la línea recta se mide por la distancia entre la proyección del punto y punto de proyección línea recta en este plano. Si una línea recta ocupa una posición general en el sistema V, H, entonces para determinar la distancia de un punto a una línea recta cambiando los planos de proyección, es necesario introducir dos planos adicionales en el sistema V, H.
Primero (Fig. 155, c) ingresamos al cuadrado. S, paralelo al segmento BC (el nuevo eje S/H es paralelo a la proyección bс), y construimos las proyecciones b s c s y a s. Luego (Fig. 155, d) introducimos otro cuadrado. T, perpendicular a la recta BC (el nuevo eje T/S es perpendicular a b s con s). Construimos proyecciones de una línea recta y un punto, con t (b t) y a t. La distancia entre los puntos a t y c t (b t) es igual a la distancia l desde el punto A hasta la recta BC.
En la Fig. 155, d, la misma tarea se logra utilizando el método de rotación en su forma, que se llama método de movimiento paralelo. Primero, la línea recta BC y el punto A, manteniendo su posición relativa sin cambios, se giran alrededor de alguna línea recta (no indicada en el dibujo) perpendicular al cuadrado. H, de modo que la recta BC es paralela al cuadrado. V. Esto equivale a mover los puntos A, B, C en planos paralelos al cuadrado. H. Al mismo tiempo, el horizonte. proyección sistema dado(BC + A) no cambia ni en tamaño ni en configuración, solo cambia su posición relativa al eje x. Colocamos el horizonte. proyección de la recta BC paralela al eje x (posición b 1 c 1) y determine la proyección a 1, dejando de lado c 1 1 1 = c-1 y a 1 1 1 = a-1, y a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Dibujando rectas b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 paralelas al eje x, encontramos el frente en ellas. proyecciones b" 1, a" 1, c" 1. A continuación, movemos los puntos B 1, C 1 y A 1 en planos paralelos al área V (también sin cambiarlos posición relativa), para obtener B 2 C 2 ⊥ pl. H. En este caso, la proyección de la recta será perpendicular al frente ejes x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1, y para construir la proyección a" 2 necesitas tomar b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, dibujar 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 y reserve a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Ahora bien, habiendo pasado con 1 con 2 y a 1 a 2 || x 1 obtenemos las proyecciones b 2 de 2 y a 2 y la distancia deseada l desde el punto A hasta la recta BC. La distancia de A a BC se puede determinar girando el plano definido por el punto A y la recta BC alrededor de la horizontal de este plano hasta la posición T || pl. H (Figura 155, f).
En el plano definido por el punto A y la línea recta BC, dibuje una línea horizontal A-1 (Fig. 155, g) y gire el punto B alrededor de ella. El punto B se mueve al cuadrado. R (especificado en el dibujo junto a R h), perpendicular a A-1; en el punto O está el centro de rotación del punto B. Ahora determinamos el valor natural del radio de rotación VO (Fig. 155, c). En la posición requerida, es decir cuando pl. T, determinada por el punto A y la recta BC, se convertirá en || pl. H, el punto B estará en R h a una distancia Ob 1 del punto O (puede haber otra posición en la misma traza R h, pero al otro lado de O). El punto b 1 es el horizonte. proyección del punto B después de desplazarlo a la posición B 1 en el espacio, cuando el plano definido por el punto A y la recta BC ha tomado la posición T.
Dibujando (Fig. 155, i) la línea recta b 1 1, obtenemos el horizonte. proyección de la recta BC, ya situada || pl. H está en el mismo plano que A. En esta posición, la distancia de a a b 1 1 es igual a la distancia deseada l. El plano P, en el que se encuentran los elementos dados, se puede combinar con el cuadrado. H (Fig. 155, j), girando a escuadra. R a su alrededor está el horizonte. rastro. Pasando de especificar el plano por el punto A y la línea recta BC a especificar las líneas rectas BC y A-1 (Fig. 155, l), encontramos trazas de estas líneas rectas y trazamos las trazas P ϑ y P h a través de ellas. Estamos construyendo (Fig. 155, m) combinado con la plaza. Posición H frontal. traza - P ϑ0 .
Por el punto a dibujamos el horizonte. proyección frontal; el frontal combinado pasa por el punto 2 de la traza P h paralela a P ϑ0. Punto A 0 - combinado con cuadrado. H es la posición del punto A. De manera similar, encontramos el punto B 0. Sol directo en combinado con plaza. La posición H pasa por el punto B 0 y el punto m (trazado horizontal de la recta).
La distancia desde el punto A 0 a la recta B 0 C 0 es igual a la distancia requerida l.
Puede realizar la construcción indicada encontrando solo una traza de P h (Fig. 155, n y o). Toda la construcción es similar a una rotación alrededor de una horizontal (ver Fig. 155, g, c, i): la traza Ph es una de las horizontales pl. r.
De los métodos dados para resolver este problema, el método preferido para transformar un dibujo es el método de rotación horizontal o frontal.
158. Se da la pirámide SABC (Fig. 156). Determinar distancias:
a) desde la parte superior B de la base hasta su lado AC utilizando el método de movimiento paralelo;
b) desde la cima S de la pirámide hasta los lados BC y AB de la base girando alrededor de la horizontal;
c) desde la parte superior S hacia el lado AC de la base cambiando los planos de proyección.
159. Se da un prisma (Fig. 157). Determinar distancias:
a) entre las costillas AD y CF cambiando los planos de proyección;
b) entre las costillas BE y CF mediante rotación alrededor del frontal;
c) entre los bordes AD y BE mediante movimiento paralelo.
160. Determine el tamaño real del cuadrilátero ABCD (Fig. 158) alineándolo con el cuadrado. N. Utilice sólo la traza horizontal del avión.
161*. Determine la distancia entre las rectas que se cruzan AB y CD (Fig. 159, a) y construya proyecciones de la perpendicular común a ellas.
Solución. La distancia entre líneas que se cruzan se mide mediante un segmento (MN) perpendicular a ambas líneas (Fig. 159, b). Evidentemente, si una de las rectas se coloca perpendicular a cualquier cuadrado. entonces
el segmento MN perpendicular a ambas rectas será paralelo al cuadrado. Su proyección en este plano mostrará la distancia requerida. Proyección del ángulo recto de la menada MN n AB sobre el cuadrado. T también resulta ser un ángulo recto entre m t n t y a t b t , ya que uno de los lados del ángulo recto es AMN, es decir, MN. paralelo al cuadrado T.
En la Fig. 159, cyd, la distancia requerida l se determina mediante el método de cambio de planos de proyección. Primero introducimos un cuadrado adicional. proyecciones S, perpendiculares al cuadrado. H y paralelo a la recta CD (Fig. 159, c). Luego introducimos otro cuadrado adicional. T, perpendicular al cuadrado. S y perpendicular a la misma recta CD (Fig. 159, d). Ahora puedes construir una proyección de la perpendicular general dibujando m t n t desde el punto c t (d t) perpendicular a la proyección a t b t. Los puntos m t y n t son proyecciones de los puntos de intersección de esta perpendicular con las rectas AB y CD. Usando el punto m t (Fig. 159, e) encontramos m s en a s b s: la proyección de m s n s debe ser paralela al eje T/S. A continuación, de m s y n s encontramos m y n en ab y cd, y de ellos m" y n" en a"b" y c"d".
En la Fig. 159, c muestra la solución a este problema utilizando el método de movimientos paralelos. Primero colocamos la recta CD paralela al cuadrado. V: proyección c 1 d 1 || X. A continuación, movemos las rectas CD y AB desde las posiciones C 1 D 1 y A 1 B 1 a las posiciones C 2 B 2 y A 2 B 2 de modo que C 2 D 2 sea perpendicular a H: proyección c" 2 d" 2 ⊥ X. Se localiza el segmento de la perpendicular requerida || pl. H, y por lo tanto m 2 n 2 expresa la distancia deseada l entre AB y CD. Encontramos la posición de las proyecciones m" 2, y n" 2 sobre a" 2 b" 2 y c" 2 d" 2, luego las proyecciones m 1 y m" 1, n 1 y n" 1, finalmente, la proyecciones m" y n ", my n.
162. Se da la pirámide SABC (Fig. 160). Determine la distancia entre el borde SB y el lado AC de la base de la pirámide y construya proyecciones de una perpendicular común a SB y AC, utilizando el método de cambio de planos de proyección.
163. Se da la pirámide SABC (Fig. 161). Determine la distancia entre el borde SH y el lado BC de la base de la pirámide y construya proyecciones de la perpendicular común a SX y BC usando el método de desplazamiento paralelo.
164*. Determine la distancia desde el punto A al plano en los casos en que el plano esté especificado por: a) el triángulo BCD (Fig. 162, a); b) rastros (Fig. 162, b).
Solución. Como sabes, la distancia de un punto a un plano se mide por el valor de la perpendicular trazada del punto al plano. Esta distancia se proyecta sobre cualquier área. proyecciones a tamaño real, si avión dado perpendicular al cuadrado proyecciones (Fig. 162, c). Esta situación se puede lograr transformando el dibujo, por ejemplo, cambiando el área. proyecciones. Presentemos pl. S (Fig. 16c, d), perpendicular al cuadrado. triángulo BCD. Para ello, pasamos en la plaza. triángulo horizontal B-1 y coloque el eje de proyección S perpendicular a la proyección b-1 horizontal. Construimos proyecciones de un punto y un plano: a s y un segmento c s d s. La distancia de a s a c s d s es igual a la distancia deseada l del punto al plano.
A Río. 162, d se utiliza el método del movimiento paralelo. Movemos todo el sistema hasta que el plano horizontal B-1 se vuelve perpendicular al plano V: la proyección b 1 1 1 debe ser perpendicular al eje x. En esta posición, el plano del triángulo se proyectará frontalmente y la distancia l desde el punto A será pl. V sin distorsión.
En la Fig. 162, b el plano está definido por huellas. Introducimos (Fig. 162, e) un cuadrado adicional. S, perpendicular al cuadrado. P: El eje S/H es perpendicular a P h. El resto se desprende del dibujo. En la Fig. 162, g el problema se resolvió con un solo movimiento: pl. P pasa a la posición P 1, es decir, se proyecta frontalmente. Pista. P 1h es perpendicular al eje x. Construimos el frente en esta posición del avión. la traza horizontal es el punto n" 1,n 1. La traza P 1ϑ pasará por P 1x y n 1. La distancia de a" 1 a P 1ϑ es igual a la distancia requerida l.
165. Se da la pirámide SABC (ver Fig. 160). Determine la distancia desde el punto A hasta el borde de la pirámide SBC utilizando el método de movimiento paralelo.
166. Se da la pirámide SABC (ver Fig. 161). Determine la altura de la pirámide utilizando el método de desplazamiento paralelo.
167*. Determine la distancia entre las líneas que se cruzan AB y CD (ver Fig. 159,a) como la distancia entre planos paralelos trazados a través de estas líneas.
Solución. En la Fig. 163, y los planos P y Q son paralelos entre sí, de los cuales pl. Q se traza a través de CD paralelo a AB, y pl. P - pasando por AB paralelo al cuadrado. P. Se considera que la distancia entre dichos planos es la distancia entre las líneas rectas AB y CD que se cruzan. Sin embargo, puede limitarse a construir solo un plano, por ejemplo Q, paralelo a AB, y luego determinar la distancia al menos desde el punto A hasta este plano.
En la Fig. 163, c muestra el plano Q dibujado a través de CD paralelo a AB; en proyecciones realizadas con "e" || a"b" y ce || ab. Usando el método de cambiar pl. proyecciones (Fig. 163, c), introducimos un cuadrado adicional. S, perpendicular al cuadrado. v y al mismo tiempo
perpendicular al cuadrado P. Para dibujar el eje S/V, tome el frontal D-1 en este plano. Ahora dibujamos S/V perpendicular a d"1" (Fig. 163, c). Pl. Q se representará en el cuadrado. S como una línea recta con s d s. El resto se desprende del dibujo.
168. Se da la pirámide SABC (ver Fig. 160). Determine la distancia entre las costillas SC y AB. Aplique: 1) método de cambio de área. proyecciones, 2) método de movimiento paralelo.
169*. Determine la distancia entre planos paralelos, uno de los cuales está definido por las rectas AB y AC, y el otro por las rectas DE y DF (Fig. 164, a). También realice la construcción para el caso en que los planos estén definidos por trazas (Fig. 164, b).
Solución. La distancia (Fig. 164, c) entre planos paralelos se puede determinar trazando una perpendicular desde cualquier punto de un plano a otro. En la Fig. 164, g se introdujo un cuadrado adicional. S perpendicular al cuadrado. H y a ambos planos dados. El eje S.H es perpendicular a la horizontal. Proyección horizontal dibujada en uno de los planos. Construimos una proyección de este plano y un punto en otro plano del cuadrado. 5. La distancia del punto d s a la recta l s a s es igual a la distancia requerida entre planos paralelos.
En la Fig. 164, d se da otra construcción (según el método de movimiento paralelo). Para que el plano expresado por las rectas AB y AC que se cruzan sea perpendicular al cuadrado. V, horizonte. Establecemos la proyección horizontal de este plano perpendicular al eje x: 1 1 2 1 ⊥ x. Distancia entre frente. la proyección d" 1 del punto D y la recta a" 1 2" 1 (proyección frontal del avión) es igual a la distancia requerida entre los planos.
En la Fig. 164, e muestra la introducción de un cuadrado adicional. S, perpendicular al área H y a los planos dados P y Q (el eje S/H es perpendicular a las trazas P h y Q h). Construimos trazas de P s y Q s. La distancia entre ellos (ver Fig. 164, c) es igual a la distancia deseada l entre los planos P y Q.
En la Fig. 164, g muestra el movimiento de los planos P 1 n Q 1, hacia la posición P 1 y Q 1 cuando el horizonte. las trazas resultan ser perpendiculares al eje x. Distancia entre nuevos frentes. las trazas P 1ϑ y Q 1ϑ son iguales a la distancia requerida l.
170. Dado el paralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 165). Determine las distancias: a) entre las bases del paralelepípedo - l 1; b) entre las caras ABFE y DCGH - l 2; c) entre las caras de ADHE y BCGF-l 3.
La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. EN geometría descriptiva esta determinado gráficamente según el siguiente algoritmo.
Algoritmo
- La línea recta se mueve a una posición en la que será paralela a cualquier plano de proyección. Para ello se utilizan métodos de transformación de proyecciones ortogonales.
- Desde un punto se traza una perpendicular a una recta. En el núcleo de esta construcción radica el teorema de la proyección de un ángulo recto.
- La longitud de una perpendicular se determina transformando sus proyecciones o utilizando el método del triángulo rectángulo.
La siguiente figura muestra dibujo complejo punto M y recta b definida por el segmento CD. Necesitas encontrar la distancia entre ellos.
Según nuestro algoritmo, lo primero que debemos hacer es mover la línea recta a la posición paralelo al plano proyecciones. Es importante entender que una vez realizadas las transformaciones, la distancia real entre el punto y la línea no debería cambiar. Por eso es conveniente utilizar aquí el método de sustitución de planos, que no implica mover figuras en el espacio.
Los resultados de la primera etapa de construcción se muestran a continuación. La figura muestra cómo se introduce un plano frontal adicional P 4 paralelo a b. EN nuevo sistema(P 1, P 4) los puntos C"" 1, D"" 1, M"" 1 están a la misma distancia del eje X 1 que C"", D"", M"" del eje X.
Realizando la segunda parte del algoritmo, desde M"" 1 bajamos la perpendicular M"" 1 N"" 1 a la recta b"" 1, ya que el ángulo recto MND entre by MN se proyecta sobre el plano P 4 en tamaño completo. Utilizando la línea de comunicación determinamos la posición del punto N" y realizamos la proyección M"N" del segmento MN.
En etapa final es necesario determinar el tamaño del segmento MN a partir de sus proyecciones M"N" y M"" 1 N"" 1. Para esto estamos construyendo triángulo rectángulo M"" 1 N"" 1 N 0, que tiene el lado N"" 1 N 0 igual a la diferencia(Y M 1 – Y N 1) eliminando los puntos M" y N" del eje X 1. La longitud de la hipotenusa M"" 1 N 0 del triángulo M"" 1 N"" 1 N 0 corresponde a la distancia deseada de M a b.
Segunda solución
- Paralelamente al CD, presentamos un nuevo plano frontal P 4. Intersecta a P 1 a lo largo del eje X 1 y X 1 ∥C"D". De acuerdo con el método de sustitución de planos, determinamos las proyecciones de los puntos C"" 1, D"" 1 y M"" 1, como se muestra en la figura.
- Perpendicular a C"" 1 D"" 1 construimos un adicional plano horizontal P 5 sobre el cual se proyecta la recta b hasta el punto C" 2 = b" 2.
- La distancia entre el punto M y la línea b está determinada por la longitud del segmento M" 2 C" 2, indicado en rojo.
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