Presentamos a su atención un video tutorial sobre el tema “ círculo numérico" Se da una definición de qué son seno, coseno, tangente, cotangente y funciones. y= pecado X, y= porque X, y= tg X, y= ctg X para cualquier argumento numérico. Bajo consideración tareas estándar sobre la correspondencia entre números y puntos en el círculo de números unitarios para encontrar un solo punto para cada número y, a la inversa, encontrar para cada punto un conjunto de números que le correspondan.
Tema: Elementos de la teoría. funciones trigonométricas
Lección: Círculo numérico
Nuestro objetivo inmediato es definir funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente-
Argumento numérico se puede trazar en una línea de coordenadas o en un círculo.
Tal círculo se llama círculo numérico o unitario, porque por conveniencia, haga un círculo con
Por ejemplo, dado un punto, márquelo en la línea de coordenadas.
y en circulo numero.
Al trabajar con el círculo numérico, se acordó que el movimiento en sentido antihorario es una dirección positiva, y el sentido de las agujas del reloj es una dirección negativa.
Tareas típicas: es necesario determinar las coordenadas. Punto dado o, por el contrario, encontrar un punto por sus coordenadas.
La línea de coordenadas establece una correspondencia uno a uno entre puntos y números. Por ejemplo, un número corresponde al punto A con coordenada
Cada punto B con una coordenada se caracteriza por un solo número: la distancia de 0 a tomada con un signo más o menos.
En el círculo numérico, la correspondencia uno a uno sólo funciona en una dirección.
Por ejemplo, está el punto B en círculo de coordenadas(Fig. 2), la longitud del arco es 1, es decir este punto corresponde a 1.
Dado un círculo, circunferencia Si entonces - longitud circulo unitario.
Si sumamos, obtenemos el mismo punto B, luego también llegamos al punto B, restamos, también el punto B.
Considere el punto B: longitud del arco = 1, entonces los números caracterizan el punto B en el círculo numérico.
Por lo tanto, el número 1 corresponde a un solo punto en el círculo numérico: el punto B, y el punto B corresponde a un número infinito de puntos de la forma 
.
Lo siguiente es cierto para el círculo numérico:
Si t. METRO Si el círculo numérico corresponde a un número, entonces también corresponde a un número de la forma
Puedes hacer tantas revoluciones completas alrededor del círculo numérico como quieras, en positivo o dirección negativa- el punto es el mismo. Es por eso ecuaciones trigonométricas tener innumerables soluciones.
Por ejemplo, dado el punto D. ¿Cuáles son los números a los que corresponde?
Medimos el arco.
el conjunto de todos los números correspondientes al punto D.
Veamos los puntos principales del círculo numérico.
Longitud de toda la circunferencia.
Aquellos. el registro de múltiples coordenadas puede ser diferente .
Consideremos tareas tipicas en el círculo numérico.
1. Dado: . Encuentra: un punto en el círculo numérico.
Seleccionemos la parte completa:
Es necesario encontrar el punto en el círculo numérico. 
, Entonces 
.
Este conjunto también incluye el punto.
2. Dado: . Encuentra: un punto en el círculo numérico.
Es necesario encontrar t.
t.también pertenece a este conjunto.
Al resolver problemas estándar de correspondencia entre números y puntos en el círculo numérico, descubrimos que para cada número podemos encontrar un solo punto y para cada punto podemos encontrar un conjunto de números que se caracterizan por un punto determinado.
Divide el arco en tres partes iguales y marca los puntos M y N.
Encontremos todas las coordenadas de estos puntos.
 |
Entonces, nuestro objetivo es definir funciones trigonométricas. Para hacer esto, necesitamos aprender a especificar un argumento de función. Observamos los puntos del círculo unitario y resolvimos dos problemas típicos: encontrar un punto en el círculo numérico y escribir todas las coordenadas del punto en el círculo unitario.
1. Mordkovich A.G. y otros. Álgebra 9º grado: Libro de texto. Para educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: enfermo.
2. Mordkovich A.G. y otros. Álgebra de noveno grado: libro de problemas para estudiantes. Instituciones educacionales/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina y otros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo.
3. Makarychev Yu. 9no grado: educativo para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Álgebra. Noveno grado. 16ª edición. - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Álgebra. Noveno grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12ª ed., borrada. - M.: 2010. - 224 p.: enfermo.
6. Álgebra. Noveno grado. En 2 partes, Parte 2. Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; Ed. A. G. Mordkovich. — 12ª ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: enfermo.
Mordkovich A.G. y otros Álgebra de noveno grado: Libro de problemas para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
En este artículo analizaremos con gran detalle la definición del círculo numérico, descubriremos su propiedad principal y ordenaremos los números 1,2,3, etc. Aprenda a marcar otros números en un círculo (incluido pi).
círculo numérico llamado círculo de radio unitario cuyos puntos corresponden , ordenados según siguiendo las reglas:
1) El origen está en el extremo derecho del círculo;
2) En sentido antihorario - dirección positiva; en el sentido de las agujas del reloj – negativo;
3) Si trazamos la distancia \(t\) en el círculo en la dirección positiva, entonces llegaremos al punto con el valor \(t\);
4) Si trazamos la distancia \(t\) en el círculo en la dirección negativa, entonces llegaremos a un punto con el valor \(–t\).
¿Por qué el círculo se llama círculo numérico?
Porque tiene números. En esto el círculo es similar a eje numérico– tanto en el círculo como en el eje, hay un punto específico para cada número.
¿Por qué saber qué es un círculo numérico?
Con la ayuda del círculo numérico se determinan los valores de los senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Por tanto, saber trigonometría y aprobar el examen estatal unificado Para obtener más de 60 puntos, debes comprender qué es un círculo numérico y cómo colocar puntos en él.
¿Qué significan las palabras “...de radio unitario...” en la definición?
Esto significa que el radio de este círculo es igual a \(1\). Y si construimos tal círculo con el centro en el origen, entonces se cruzará con los ejes en los puntos \(1\) y \(-1\).
No es necesario que sea pequeño; puedes cambiar el "tamaño" de las divisiones a lo largo de los ejes, entonces la imagen será más grande (ver más abajo).
¿Por qué el radio es exactamente uno? Esto es más conveniente, porque en este caso, al calcular la circunferencia usando la fórmula \(l=2πR\), obtenemos:
La longitud del círculo numérico es \(2π\) o aproximadamente \(6,28\).
¿Qué significa “...cuyos puntos corresponden a números reales”?
Como se dijo anteriormente, en el círculo numérico para cualquier Número Real Definitivamente habrá su "lugar", un punto que corresponde a este número.
¿Por qué determinar el origen y la dirección en el círculo numérico?
el objetivo principal círculo numérico: cada número determina de forma única su punto. Pero, ¿cómo puedes determinar dónde colocar el punto si no sabes desde dónde contar ni hacia dónde moverte?
Aquí es importante no confundir el origen en la línea de coordenadas y en el círculo numérico; estos son dos diferentes sistemas¡cuenta regresiva! Y tampoco confunda \(1\) en el eje \(x\) y \(0\) en el círculo: estos son puntos en diferentes objetos.
¿Qué puntos corresponden a los números \(1\), \(2\), etc.?
¿Recuerda que asumimos que el círculo numérico tiene un radio de \(1\)? Este será nuestro segmento unitario (por analogía con eje numérico), que trazaremos en el círculo.
Para marcar un punto en el círculo numérico correspondiente al número 1, debes ir desde 0 a una distancia igual al radio en la dirección positiva.
Para marcar un punto en el círculo correspondiente al número \(2\), es necesario recorrer una distancia igual a dos radios desde el origen, de modo que \(3\) sea una distancia igual a tres radios, etc.
Al mirar esta imagen, es posible que tengas 2 preguntas:
1. ¿Qué pasará cuando el círculo “termine” (es decir, hagamos vuelta completa)?
Respuesta: ¡vamos a por la segunda ronda! Y cuando termine el segundo, pasaremos al tercero y así sucesivamente. Por lo tanto, en el círculo puedes aplicar. número infinito números.
2. ¿Dónde estarán? números negativos?
Respuesta: ¡ahí mismo! También se pueden ordenar contando desde cero el número de radios necesarios, pero ahora en sentido negativo.
Desafortunadamente, es difícil denotar números enteros en el círculo numérico. Esto se debe al hecho de que la longitud del círculo numérico no será igual a un número entero: \(2π\). Y al mismo lugares convenientes(en los puntos de intersección con los ejes) tampoco habrá números enteros, sino fracciones
Lección y presentación sobre el tema: "Círculo numérico en el plano coordenado"
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Qué estudiaremos:
1. Definición.
2. Coordenadas importantes del círculo numérico.
3. ¿Cómo encontrar las coordenadas del círculo numérico?
4. Tabla de las principales coordenadas del círculo numérico.
5. Ejemplos de resolución de problemas.
Definición del círculo numérico en el plano coordenado.
Coloquemos el círculo numérico en Plano coordinado de modo que el centro del círculo coincida con el origen de coordenadas, y su radio se toma como segmento unitario. punto de partida El círculo numérico A está alineado con el punto (1;0).Cada punto del círculo numérico tiene sus propias coordenadas xey en el plano de coordenadas, y:
1) para $x > 0$, $y > 0$ - en el primer trimestre;
2) por $x 0$ - en el segundo trimestre;
3) para $x 4) para $x > 0$, $y
Para cualquier punto $M(x; y)$ en el círculo numérico se satisfacen las siguientes desigualdades: $-1
Recuerda la ecuación del círculo numérico: $x^2 + y^2 = 1$.
Es importante para nosotros aprender a encontrar las coordenadas de los puntos en el círculo numérico presentado en la figura. 
Encontremos la coordenada del punto $\frac(π)(4)$
El punto $M(\frac(π)(4))$ es la mitad del primer trimestre. Dejemos caer la perpendicular MR desde el punto M a la recta OA y consideremos el triángulo OMP. Dado que el arco AM es la mitad del arco AB, entonces $∠MOP=45°$. Entonces el triángulo OMP es isósceles triángulo rectángulo y $OP=MP$, es decir en el punto M la abscisa y la ordenada son iguales: $x = y$.
Dado que las coordenadas del punto $M(x;y)$ satisfacen la ecuación del círculo numérico, entonces para encontrarlas necesitas resolver el sistema de ecuaciones:
$\begin (casos) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (casos)$
habiendo decidido este sistema, obtenemos: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Esto significa que las coordenadas del punto M correspondiente al número $\frac(π)(4)$ serán $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Las coordenadas de los puntos presentados en la figura anterior se calculan de forma similar.
Coordenadas de puntos en el círculo numérico.
Veamos ejemplos
Ejemplo 1.Encuentra la coordenada de un punto en el círculo numérico: $P(45\frac(π)(4))$.
Solución:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Esto significa que el número $45\frac(π)(4)$ corresponde al mismo punto en el círculo numérico que el número $\frac(5π)(4)$. Observando el valor del punto $\frac(5π)(4)$ en la tabla, obtenemos: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Ejemplo 2.
Encuentra la coordenada de un punto en el círculo numérico: $P(-\frac(37π)(3))$.
Solución:
Porque los números $t$ y $t+2π*k$, donde k es un número entero, corresponden al mismo punto en el círculo numérico entonces:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Esto significa que el número $-\frac(37π)(3)$ corresponde al mismo punto en el círculo numérico que el número $–\frac(π)(3)$, y el número –$\frac(π) (3)$ corresponde al mismo punto que $\frac(5π)(3)$. Observando el valor del punto $\frac(5π)(3)$ en la tabla, obtenemos:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Ejemplo 3.
Encuentra puntos en el círculo numérico con ordenadas $y =\frac(1)(2)$ y escribe a qué números $t$ corresponden.
Solución: 
La línea recta $y =\frac(1)(2)$ intersecta el círculo numérico en los puntos M y P. El punto M corresponde al número $\frac(π)(6)$ (de los datos de la tabla). Esto significa cualquier número de la forma: $\frac(π)(6)+2π*k$. El punto P corresponde al número $\frac(5π)(6)$, y por tanto a cualquier número de la forma $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Recibimos, como suele decirse en estos casos, dos series de valores:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ y $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Respuesta: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ y $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Ejemplo 4.
Encuentra puntos en el círculo numérico con abscisas $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ y escribe a qué números $t$ corresponden.
Solución:
La línea recta $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ corta el círculo numérico en los puntos M y P. La desigualdad $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ corresponde a los puntos del arco PM. El punto M corresponde al número $3\frac(π)(4)$ (de los datos de la tabla). Esto significa cualquier número de la forma $-\frac(3π)(4) +2π*k$. El punto P corresponde al número $-\frac(3π)(4)$, y por tanto a cualquier número de la forma $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Entonces obtenemos $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Respuesta: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Problemas para resolver de forma independiente.
1) Encuentra la coordenada de un punto en el círculo numérico: $P(\frac(61π)(6))$.2) Encuentra la coordenada de un punto en el círculo numérico: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Encuentra puntos en el círculo numérico con ordenadas $y = -\frac(1)(2)$ y escribe a qué números $t$ corresponden.
4) Encuentra puntos en el círculo numérico con ordenada $y ≥ -\frac(1)(2)$ y escribe a qué números $t$ corresponden.
5) Encuentra puntos en el círculo numérico con la abscisa $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ y escribe a qué números $t$ corresponden.
círculo numérico es un círculo unitario cuyos puntos corresponden a ciertos números reales.
Un círculo unitario es un círculo de radio 1.
Vista general del círculo numérico.
1) Su radio se toma como unidad de medida.
2) Los diámetros horizontal y vertical dividen el círculo numérico en cuatro cuartos (ver figura). Se denominan respectivamente primer, segundo, tercer y cuarto cuarto.
3) El diámetro horizontal se denota por AC, siendo A el punto del extremo derecho.
El diámetro vertical se denomina BD, siendo B el punto más alto.
Respectivamente:
el primer cuarto es el arco AB
segundo cuarto - arco BC
tercer cuarto – arco CD
cuarto cuarto – arco DA
4) El punto inicial del círculo numérico es el punto A.
Se puede contar a lo largo del círculo numérico en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Contar desde el punto A en sentido antihorario se llama dirección positiva.
Contar desde el punto A en el sentido de las agujas del reloj se llama dirección negativa.
Círculo numérico en el plano coordenado.
El centro del radio del círculo numérico corresponde al origen (número 0).
El diámetro horizontal corresponde al eje. X, vertical – ejes y.
El punto inicial A del círculo numérico está en el eje. X y tiene coordenadas (1; 0).
ValoresX Yy en cuartos de un círculo numérico:
Valores básicos del círculo numérico:
Nombres y ubicaciones de los puntos principales del círculo numérico:
Cómo recordar los nombres de los círculos numéricos.
Hay varios patrones simples que te ayudarán a recordar fácilmente los nombres básicos del círculo numérico.
Antes de comenzar, te recordamos: el conteo se realiza en sentido positivo, es decir, desde el punto A (2π) en sentido antihorario.
1) Empecemos con puntos extremos en los ejes de coordenadas.
El punto de partida es 2π (el punto más a la derecha en el eje X, igual a 1).
Como sabes, 2π es la circunferencia de un círculo. Esto significa que medio círculo es 1π o π. Eje X divide el círculo exactamente por la mitad. En consecuencia, el punto más a la izquierda en el eje. X igual a -1 se llama π.
El punto más alto del eje. en, igual a 1, divide el semicírculo superior por la mitad. Esto significa que si un semicírculo es π, entonces la mitad de un semicírculo es π/2.
Al mismo tiempo, π/2 también es un cuarto de círculo. Cuentemos tres de esos cuartos del primero al tercero y llegaremos al punto más bajo del eje. en, igual a -1. Pero si incluye tres cuartos, entonces su nombre es 3π/2.
2) Ahora pasemos a los puntos restantes. Tenga en cuenta: todos los puntos opuestos tienen el mismo numerador, y estos son puntos opuestos con respecto al eje en, tanto en relación con el centro de los ejes como en relación con el eje X. Esto nos ayudará a conocer sus valores en puntos sin abarrotarnos.
Sólo hace falta recordar el significado de los puntos del primer cuarto: π/6, π/4 y π/3. Y luego “veremos” algunos patrones:
- Relativo al eje y en los puntos del segundo cuarto, frente a los puntos del primer cuarto, los números en los numeradores son 1 menos que el tamaño de los denominadores. P.ej, tomemos un puntoπ/6. El punto opuesto a él en relación con el eje. en también tiene 6 en el denominador y 5 en el numerador (1 menos). Es decir, el nombre de este punto es: 5π/6. El punto opuesto a π/4 también tiene 4 en el denominador y 3 en el numerador (1 menos que 4), es decir, es un punto 3π/4.
El punto opuesto a π/3 también tiene 3 en el denominador y 1 menos en el numerador: 2π/3.
- Relativo al centro de los ejes de coordenadas. todo es al revés: números en los numeradores de puntos opuestos (en el tercer cuarto) por 1 mayor valor denominadores. Tomemos nuevamente el punto π/6. El punto opuesto a él con respecto al centro también tiene 6 en el denominador, y en el numerador el número es 1 mayor, es decir, es 7π/6.
El punto opuesto al punto π/4 también tiene 4 en el denominador, y en el numerador el número es 1 más: 5π/4.
El punto opuesto al punto π/3 también tiene 3 en el denominador, y en el numerador el número es 1 más: 4π/3.
- Relativo al eje X(cuarto trimestre) el asunto es más complicado. Aquí debe agregar al valor del denominador un número que sea 1 menos; esta suma será igual a la parte numérica del numerador del punto opuesto. Empecemos de nuevo con π/6. Sumemos al valor del denominador igual a 6 un número que es 1 menos que este número, es decir, 5. Obtenemos: 6 + 5 = 11. Esto significa que es opuesto al eje. X el punto tendrá 6 en el denominador y 11 en el numerador, es decir, 11π/6.
Punto π/4. Al valor del denominador le sumamos un número 1 menos: 4 + 3 = 7. Esto significa que es opuesto al eje. X el punto tiene 4 en el denominador y 7 en el numerador, es decir, 7π/4.
Punto π/3. El denominador es 3. Suma 3 de uno en uno. número más pequeño- es decir, 2. Obtenemos 5. Esto significa que el punto opuesto tiene 5 en el numerador - y este es el punto 5π/3.
3) Otro patrón para los puntos de los puntos medios de los cuartos. Está claro que su denominador es 4. Prestemos atención a los numeradores. El numerador de la mitad del primer trimestre es 1π (pero no se acostumbra escribir 1). El numerador de la mitad del segundo trimestre es 3π. El numerador de la mitad del tercer cuarto es 5π. El numerador de la mitad del cuarto trimestre es 7π. Resulta que los numeradores de los cuartos del medio contienen los primeros cuatro números impares en orden ascendente:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Esto también es muy sencillo. Como los puntos medios de todos los cuartos tienen 4 en el denominador, ya los conocemos nombres completos: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Características del círculo numérico. Comparación con la recta numérica.
Como sabes, en la recta numérica, cada punto corresponde a singular. Por ejemplo, si el punto A de una recta es igual a 3, entonces ya no puede ser igual a ningún otro número.
Es diferente en el círculo numérico porque es un círculo. Por ejemplo, para llegar del punto A de un círculo al punto M, puedes hacerlo como en línea recta (solo pasando un arco), o puedes rodear un círculo completo y luego llegar al punto M. Conclusión:
Sea el punto M igual a algún número t. Como sabemos, la circunferencia de un círculo es 2π. Esto significa que podemos escribir un punto en un círculo t de dos maneras: t o t + 2π. Estos son valores equivalentes.
Es decir, t = t + 2π. La única diferencia es que en el primer caso llegaste al punto M inmediatamente sin hacer un círculo, y en el segundo caso hiciste un círculo, pero terminaste en el mismo punto M. Puedes hacer dos, tres o doscientos de esos. círculos. Si denotamos el número de círculos con la letra k, entonces obtenemos una nueva expresión:
t = t + 2π k.
De ahí la fórmula:
Ecuación del círculo numérico
(la segunda ecuación está en la sección “Seno, coseno, tangente, cotangente”):
x 2 + y 2 = 1 |
Si colocas el círculo del número unitario en el plano de coordenadas, entonces podrás encontrar las coordenadas de sus puntos. El círculo numérico se coloca de modo que su centro coincida con el origen del plano, es decir, el punto O (0; 0).
Generalmente en el círculo del número unitario se marcan los puntos correspondientes al origen del círculo.
- cuartos - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
- cuartos medios - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- tercios de cuartos - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
En el plano de coordenadas, con la ubicación anterior del círculo unitario, puede encontrar las coordenadas correspondientes a estos puntos del círculo.
Las coordenadas de los extremos de los cuartos son muy fáciles de encontrar. En el punto 0 del círculo, la coordenada x es 1 y la coordenada y es 0. Podemos denotarlo como A (0) = A (1; 0).
El final del primer trimestre se ubicará en el eje y positivo. Por tanto, B (π/2) = B (0; 1).
El final del segundo trimestre está en el semieje negativo: C (π) = C (-1; 0).
Final del tercer cuarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).
¿Pero cómo encontrar las coordenadas de los puntos medios de los cuartos? Para hacer esto, construye un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es un segmento desde el centro del círculo (u origen) hasta el punto medio del cuarto de círculo. Este es el radio del círculo. Como el círculo es unitario, la hipotenusa es igual a 1. Luego, dibuja una perpendicular desde un punto del círculo hasta cualquier eje. Que esté hacia el eje x. El resultado es un triángulo rectángulo, cuyas longitudes de los catetos son las coordenadas xey del punto del círculo.
Un cuarto de círculo mide 90º. Y medio cuarto son 45º. Como la hipotenusa se dibuja hasta el punto medio del cuadrante, el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que se extiende desde el origen es de 45º. Pero la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º. En consecuencia, el ángulo entre la hipotenusa y el otro cateto también permanece en 45º. Esto da como resultado un triángulo rectángulo isósceles.
Del teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación x 2 + y 2 = 1 2. Como x = y y 1 2 = 1, la ecuación se simplifica a x 2 + x 2 = 1. Al resolverla, obtenemos x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Así, las coordenadas del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
En las coordenadas de los puntos de los puntos medios de los otros cuartos solo cambiarán los signos, y los módulos de los valores seguirán siendo los mismos, ya que el triángulo rectángulo solo se volteará. Obtenemos:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Al determinar las coordenadas de las terceras partes de los cuartos de un círculo, también se construye un triángulo rectángulo. Si tomamos el punto π/6 y trazamos una perpendicular al eje x, entonces el ángulo entre la hipotenusa y el cateto que se encuentra sobre el eje x será de 30º. Se sabe que un cateto que se encuentra opuesto a un ángulo de 30º igual a la mitad hipotenusa. Esto significa que hemos encontrado la coordenada y, es igual a ½.
Conociendo las longitudes de la hipotenusa y de uno de los catetos, utilizando el teorema de Pitágoras encontramos el otro cateto:
x2 + (½)2 = 1 2
x2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Así T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Para el punto del segundo tercio del primer cuarto (π/3), es mejor trazar una perpendicular al eje y. Entonces el ángulo en el origen también será de 30º. Aquí la coordenada x será igual a ½ e y, respectivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Para otros puntos de los terceros cuartos, los signos y el orden de los valores de las coordenadas cambiarán. Todos los puntos que estén más cerca del eje x tendrán un valor de coordenada de módulo x igual a √3/2. Aquellos puntos que estén más cerca del eje y tendrán un valor de módulo y igual a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T5 ((7π)/6) = T5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)
