Características numéricas de una función aleatoria. Determinar las características de una función aleatoria a partir de la experiencia.

Tema 13 Procesos aleatorios Conceptos básicos. Ley de distribución y. Estacionario, ergonómico

Definiciones

Clasificación de procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Principales características de los procesos aleatorios.

Procesos aleatorios estacionarios

Propiedades de la función de correlación de un SP estacionario.

Procesos aleatorios ergódicos

Procesos aleatorios elementales

PROCESOS ALEATORIOS
Y SUS CARACTERÍSTICAS

4.1. FINALIDAD DEL TRABAJO

4.2. INFORMACIÓN TEÓRICA

Eventos aleatorios y variables aleatorias

,

Dónde
. Si la función de distribución es continua y diferenciable, entonces podemos definir función de densidad de probabilidad(PDF), también llamado densidad de probabilidad por brevedad.
(y a veces solo densidad):

, mientras
.

Obviamente, la función de distribución es una función no negativa y no decreciente con las propiedades
,
. Por eso,
PDF es una función no negativa que satisface condición de normalización
.

A veces limitado características numéricas variable aleatoria, más a menudo momentos. Elemental momento -ésimo orden (ésimo momento inicial)

,

¿Dónde está la línea horizontal y
– notación simbólica del operador integral conjunto de promedios. Primer momento inicial
, llamado expectativa matemática o centro de distribución.

Central momento del ésimo orden (ésimo momento central)

El momento central más comúnmente utilizado es el segundo momento central, o dispersión

En lugar de dispersión, a menudo operan desviación estándar(RMS) de una variable aleatoria
.

^ Plaza del medio, o segundo momento inicial
, está relacionado con la dispersión y la expectativa matemática:

Para describir la forma del PDF, se utiliza el coeficiente. asimetría
y coeficiente exceso
(a veces la curtosis se caracteriza por el valor
).

Se suele utilizar la distribución normal o gaussiana (Gaussiana) con PDF

,

Dónde Y – parámetros de distribución ( expectativa matemática y MSD, respectivamente). Para una distribución gaussiana
,
.

Dos variables aleatorias y se caracterizan articulación densidad de distribución
. Características numéricas densidad articular servir como principal y central mezclado momentos

,
,

donde y – enteros arbitrarios numeros positivos;
Y – expectativas matemáticas de SV incógnita Y y.

Los momentos mixtos de segundo orden más utilizados son los iniciales ( correlacional momento):

y central ( covarianza momento, o covarianza)

.

Para un par de variables aleatorias gaussianas, la PDF conjunta bidimensional tiene la forma

Dónde , – desviaciones estándar;
– expectativas matemáticas; – coeficiente de correlación– momento de covarianza normalizado

.

Con un coeficiente de correlación cero, es obvio que

,

es decir. no correlacionado Variables aleatorias gaussianas independiente.
^

Procesos aleatorios

.

El proceso aleatorio se considera completamente definido, si para alguien uno puede escribir su PDF conjunto en cualquier momento que elija
.

A menudo, al describir un proceso aleatorio, podemos limitarnos a la totalidad de sus componentes mixtos. momentos iniciales(si existen, es decir, las integrales correspondientes convergen)

y momentos centrales mixtos

para números enteros no negativos
y en general.

En el caso general, los momentos de la PDF conjunta dependen de la ubicación de las secciones en el eje del tiempo y se denominan funciones de momento. El segundo momento central mixto es el más utilizado.

,

llamada función de autocorrelación o función de autocorrelación (ACF). Recordemos que aquí y a continuación no se indica explícitamente la dependencia del tiempo, es decir, las funciones del tiempo son
,
Y
.

Se pueden considerar dos procesos aleatorios juntos.
Y
; tal consideración presupone su descripción en forma de una PDF multidimensional conjunta, así como en forma de un conjunto de todos los momentos, incluidos los mixtos. La mayoría de las veces se utiliza el segundo momento central mixto.

,

llamada función de correlación cruzada
.

Entre todos los procesos aleatorios, se distinguen los SP para los cuales la PDF de dimensiones conjuntas no cambia cuando todas las secciones de tiempo cambian (desplazan) simultáneamente en la misma cantidad. Estos procesos se denominan estacionario en en el sentido estricto o estrictamente estacionario.

Más a menudo se considera una clase más amplia de procesos aleatorios con propiedades de estacionariedad debilitadas. La empresa conjunta se llama estacionario en en un sentido amplio , si con un cambio simultáneo de secciones solo sus momentos no cambian no superior al segundo orden. En la práctica, esto significa que el SP es estacionario en sentido amplio si tiene valores constantes. promedio(expectativa matemática) y dispersión
, y el ACF depende sólo de la diferencia entre los momentos de tiempo, pero no de sus posiciones en el eje del tiempo:

1)
,

2) ,
.

Tenga en cuenta que
, de donde se desprende la constancia de la dispersión.

No es difícil comprobar que un proceso que es estacionario en sentido estricto también lo es en sentido amplio. La afirmación inversa es generalmente falsa, aunque hay procesos para los cuales la estacionariedad en sentido amplio implica estacionariedad en sentido estricto.

PDF conjunto-dimensional de lecturas
El proceso gaussiano, tomado en secciones de tiempo, tiene la forma

, (4.1)

Dónde – determinante matriz cuadrada, compuesto por coeficientes de correlación por pares de muestras;
– complemento algebraico elemento esta matriz.

La FDP gaussiana conjunta para cualquier caso está completamente determinada por expectativas matemáticas, dispersiones y coeficientes de correlación de muestras, es decir, funciones de momento no superiores al segundo orden. Si el proceso gaussiano es estacionario en sentido amplio, entonces todas las expectativas matemáticas son iguales, todas las varianzas (y por lo tanto la desviación estándar) son iguales entre sí y los coeficientes de correlación están determinados únicamente por la distancia entre las secciones de tiempo y las distancias entre sí. entre sí. Entonces, obviamente, PDF (4.1) no cambiará si todas las secciones de tiempo se desplazan hacia la izquierda o hacia la derecha en la misma cantidad. Resulta que Proceso gaussiano, estacionario en sentido amplio, estacionario en sentido estricto(estrictamente estacionario).

Entre los procesos aleatorios estrictamente estacionarios, a menudo se distingue una clase más estrecha ergódico procesos aleatorios. Para procesos ergódicos, los momentos encontrados promediando el conjunto son iguales a los momentos correspondientes encontrados promediando el tiempo:

,

(Aquí – designación simbólica del operador promediador de tiempo).

En particular, para un proceso ergódico la expectativa matemática, la varianza y el ACF son iguales, respectivamente.

,

,

La ergodicidad es muy deseable, ya que permite medir (evaluar) prácticamente las características numéricas de un proceso aleatorio. El hecho es que normalmente el observador sólo dispone de una implementación (aunque posiblemente bastante larga) de un proceso aleatorio. Ergodicidad significa, esencialmente, que esta realización única es pleno representante de todo el conjunto.

La medición de las características del proceso ergódico se puede realizar utilizando dispositivos de medición simples; entonces, si el proceso es un voltaje dependiente del tiempo, entonces el voltímetro magnetoeléctrico el sistema mide su expectativa matemática (componente constante), un voltímetro de un sistema electromagnético o termoeléctrico conectado a través de una capacitancia de separación (para excluir el componente constante), su valor cuadrático medio (RMS). Dispositivo, diagrama de bloques que se muestra en la Fig. 4.1, le permite medir los valores de la función de autocorrelación para diferentes . Filtrar bajas frecuencias Aquí juega el papel de integrador, el condensador centraliza el proceso, ya que no pasa el componente de corriente continua. Este dispositivo se llama correlómetro.

Arroz. 4.1

Condiciones suficientes para la ergodicidad de un proceso aleatorio estacionario son la condición
, y también menos fuerte Condición de Slutsky
.
^

Algoritmos discretos estimación de los parámetros de la empresa conjunta

,

Dónde
– secuencia de muestras de proceso ( muestra volumen
). La estimación de dispersión es varianza muestral , definido por la expresión

.

Estimación de la función de autocorrelación, también llamada correlograma, se encuentra como

.

Una estimación de la densidad de distribución de probabilidad del valor instantáneo del SSP es histograma. Para encontrarlo, el rango de posibles valores de SP se divide en intervalos de igual ancho, entonces para cada -ésimo intervalo el número de muestras de la muestra incluida en el mismo. Un histograma es un conjunto de números.
, generalmente representado como un diagrama de celosía. El número de intervalos para un tamaño de muestra determinado se selecciona basándose en un compromiso entre la precisión de la estimación y la resolución (grado de detalle) del histograma.
^

Teoría de correlación-espectral de procesos aleatorios.

,
.

Obviamente, SPM... no negativo función. Si el proceso tiene una expectativa matemática distinta de cero, entonces el término se agrega a la PSD.
.

Para un proceso real, ACF y SPM son incluso funciones reales.

A veces puede limitarse a características numéricas: el intervalo de correlación y el ancho del espectro efectivo. ^ Intervalo de correlación se definen de diferentes maneras, en particular, se conocen las siguientes definiciones:

tarea para trabajo del curso

Dado: cinco momentos iniciales

A 1 = 1, un 2= 2, un 3= 2, un 4= 1, un 5 = 1 (µ GRAMO = 0, µ 0 = 1).

Encuentra: cinco puntos centrales.

Teniendo a tu disposición cinco momentos iniciales y cinco centrales, calcula los valores:

A)expectativa matemática;

b)dispersión;

V)desviación estándar;

GRAMO)coeficiente de variación;

d)coeficiente de asimetría;

mi)coeficiente de curtosis.

Utilizando los datos obtenidos, describa cualitativamente la densidad de probabilidad de este proceso.

1. Información teórica

Distribuciones de variables aleatorias y funciones de distribución.

La distribución de una variable aleatoria numérica es una función que determina de forma única la probabilidad de que la variable aleatoria tome valor establecido o pertenece a algún intervalo dado.

La primera es si la variable aleatoria toma numero final valores. Entonces la distribución viene dada por la función P (X = x),dando a todos posible significado incógnitavariable aleatoria incógnitala probabilidad de que X=x.

La segunda es si la variable aleatoria toma infinitos valores. Esto sólo es posible cuando espacio de probabilidad, en el que se define la variable aleatoria, consta de numero infinito eventos elementales. Entonces la distribución viene dada por el conjunto de probabilidades. R (unincógnita para todos los pares de números a, b tal que A La distribución se puede especificar mediante el llamado. función de distribución F(x) = P (X<х), definiendo para todos los reales incógnita la probabilidad de que la variable aleatoria incógnita toma valores menores que INCÓGNITA. esta claro que

R (unincógnita

Esta relación muestra que tanto la distribución se puede calcular a partir de la función de distribución como, a la inversa, la función de distribución se puede calcular a partir de la distribución.

Las funciones de distribución utilizadas en los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas son discretas, continuas o combinaciones de ellas.

Las funciones de distribución discreta corresponden a variables aleatorias discretas que toman un número finito de valores o valores de un conjunto cuyos elementos pueden numerarse mediante números naturales (tales conjuntos se denominan contables en matemáticas). Su gráfico parece una escalera de mano (Fig. 1).

Ejemplo 1.Número incógnitaLos artículos defectuosos en un lote toman un valor de 0 con una probabilidad de 0,3, un valor de 1 con una probabilidad de 0,4, un valor de 2 con una probabilidad de 0,2 y un valor de 3 con una probabilidad de 0,1. Gráfica de la función de distribución de una variable aleatoria. incógnitamostrado en la Fig. 1.

Arroz. 1. Gráfica de la función de distribución del número de productos defectuosos.

Las funciones de distribución continua no tienen saltos. Aumentan monótonamente a medida que aumenta el argumento, de 0 para x→∞ a 1 para x→+∞. Las variables aleatorias que tienen funciones de distribución continua se denominan continuas.

Las funciones de distribución continua utilizadas en los métodos de toma de decisiones estadístico-probabilístico tienen derivadas. Primera derivada f(x)funciones de distribución F(x)se llama densidad de probabilidad,

Usando la densidad de probabilidad, puedes determinar la función de distribución:

Para cualquier función de distribución.

Las propiedades enumeradas de las funciones de distribución se utilizan constantemente en métodos probabilísticos y estadísticos de toma de decisiones. En particular, la última igualdad implica una forma específica de constantes en las fórmulas para densidades de probabilidad que se consideran a continuación.

Ejemplo 2.A menudo se utiliza la siguiente función de distribución:

(1)

Dónde AY b-algunos numeros A Encontremos la densidad de probabilidad de esta función de distribución:

(en puntos incógnita = AY x = segundoderivada de una función F(x)no existe).

Una variable aleatoria con función de distribución (1) se denomina "distribuida uniformemente en el segmento ».

Las funciones de distribución mixta se producen, en particular, cuando las observaciones se detienen en algún punto. Por ejemplo, al analizar datos estadísticos obtenidos mediante el uso de planes de pruebas de confiabilidad que prevén la finalización de las pruebas después de un cierto período. O al analizar datos sobre productos técnicos que requirieron reparaciones en garantía.

Ejemplo 3.Sea, por ejemplo, la vida útil de una bombilla eléctrica una variable aleatoria con una función de distribución Pie),y la prueba se realiza hasta que falle la bombilla, si esto ocurre en menos de 100 horas desde el inicio de la prueba, o hasta t0 = 100 horas. Dejar G(t) -Función de distribución del tiempo de funcionamiento de la bombilla en buen estado durante esta prueba. Entonces

Función G(t)tiene un salto en un punto t0 , ya que la variable aleatoria correspondiente toma el valor t0 con probabilidad 1-F(t0 )>0.

Características de las variables aleatorias.En los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones, se utilizan una serie de características de las variables aleatorias, expresadas mediante funciones de distribución y densidades de probabilidad.

Al describir la diferenciación de ingresos, al encontrar límites de confianza para los parámetros de distribuciones de variables aleatorias y en muchos otros casos, se utiliza un concepto como "cuantil de orden". r",donde 0 <р < 1 (denotado incógnitar). Orden cuantil r- el valor de una variable aleatoria cuyo valor toma la función de distribución ro hay un “salto” desde un valor menor ra un valor mayor r(Figura 2). Puede suceder que esta condición se cumpla para todos los valores de x que pertenecen a este intervalo (es decir, la función de distribución es constante en este intervalo y es igual a pag).Entonces cada uno de esos valores se denomina "cuantil de orden". r".Para funciones de distribución continua, por regla general, hay un solo cuantil incógnitar orden r(Figura 2), y

f(x)pag)=p.(2)

Arroz. 2. Determinación del cuantil incógnitar orden r.

Ejemplo 4.Encontremos el cuantil incógnitar orden rpara la función de distribución F(x)de (1).

A las 0 <р < 1 cuantil incógnitar se encuentra a partir de la ecuación

aquellos. incógnitar= un+ p (b - a) = a (1-p) + bр. En pag = 0 cualquiera incógnitaA es un cuantil de orden pag= 0. Cuantil de orden r= 1 es cualquier número incógnitab.

Para distribuciones discretas, por regla general, no hay incógnitar, satisfaciendo la ecuación (2). Más precisamente, si la distribución de una variable aleatoria se da en la tabla. 1, donde incógnita1 < х 2 <… < х A, entonces la igualdad (2), considerada como una ecuación con respecto a incógnitar, tiene soluciones solo para kvalores pag,a saber,

pag = pag1

pag = pag1 +p2 ,

pag = pag1 +p2 +p3 ,

pag = pag1 +p2 + rt, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +pagk

Tabla 1. Distribución de una variable aleatoria discreta

Valores de variable aleatoria x Xxx1 incógnita2 …incógnitakProbabilidades P (X = x)P1 R2 …Rk

Para los enumerados Avalores de probabilidad rsolución incógnitar la ecuación (2) no es única, es decir,

F(x) =ð, +ð2 +… + Rt

para todos incógnitatal que incógnitat < х < х t+1. Aquellos. incógnitar - cualquier número del intervalo (INCÓGNITAt; incógnitam+1). Para todos los demás rdesde el intervalo (0; 1), no incluido en la lista (3), hay un “salto” desde un valor menor ra un valor mayor r.Es decir, si

pag1 +p2 +… + pagt 1 +p2 + … + pagt+pt+1,

Eso incógnitar=xt+1.

La propiedad considerada de las distribuciones discretas crea dificultades importantes al tabular y utilizar dichas distribuciones, ya que es imposible mantener con precisión los valores numéricos típicos de las características de la distribución. En particular, esto es cierto para los valores críticos y niveles de significancia de pruebas estadísticas no paramétricas (ver más abajo), ya que las distribuciones de estadísticas de estas pruebas son discretas.

El orden cuantil es de gran importancia en estadística. pag =½. Se llama mediana (variable aleatoria incógnitao sus funciones de distribución F(x))y es designado Pelo).En geometría existe el concepto de "mediana": una línea recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide su lado opuesto por la mitad. En estadística matemática, la mediana divide por la mitad no el lado del triángulo, sino la distribución de una variable aleatoria: igualdad f(x)0,5 ) = 0,5 significa que la probabilidad de acertar hacia la izquierda incógnita0,5 y la probabilidad de llegar a la derecha incógnita0,5 (o directamente incógnita0,5 ) son iguales entre sí e iguales ½ , aquellos.

La mediana indica el "centro" de la distribución. Desde el punto de vista de uno de los conceptos modernos, la teoría de los procedimientos estadísticos estables, la mediana es una mejor característica de una variable aleatoria que la expectativa matemática. Al procesar resultados de mediciones en una escala ordinal (consulte el capítulo sobre teoría de la medición), se puede utilizar la mediana, pero no la expectativa matemática.

Una característica de una variable aleatoria como la moda tiene un significado claro: el valor (o valores) de una variable aleatoria correspondiente al máximo local de la densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua o al máximo local de la probabilidad para una variable aleatoria discreta. .

Si incógnita0 - modo de variable aleatoria con densidad f(x),como se sabe

del cálculo diferencial,

Una variable aleatoria puede tener muchas modas. Entonces, para una distribución uniforme (1) cada punto incógnitatal que A< х < b, es moda. Sin embargo, esta es una excepción. La mayoría de las variables aleatorias utilizadas en los métodos estadísticos probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas tienen una moda. Las variables aleatorias, densidades y distribuciones que tienen una moda se denominan unimodales.

La expectativa matemática para variables aleatorias discretas con un número finito de valores se analiza en el capítulo "Eventos y probabilidades". Para una variable aleatoria continua incógnitaexpectativa matemática M(X)satisface la igualdad

Ejemplo 5.Expectativa de una variable aleatoria distribuida uniformemente incógnitaes igual

Para las variables aleatorias consideradas en este capítulo, todas aquellas propiedades de las expectativas y varianzas matemáticas que se consideraron anteriormente para variables aleatorias discretas con un número finito de valores son ciertas. Sin embargo, no proporcionamos pruebas de estas propiedades, ya que requieren profundizar en sutilezas matemáticas, lo cual no es necesario para la comprensión y la aplicación calificada de los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones.

Comentario. Este libro de texto evita conscientemente las sutilezas matemáticas asociadas, en particular, con los conceptos de conjuntos mensurables y funciones mensurables, álgebra de eventos, etc. Quienes deseen dominar estos conceptos deben recurrir a la literatura especializada, en particular a la enciclopedia.

Cada una de las tres características (expectativa matemática, mediana, moda) describe el “centro” de la distribución de probabilidad. El concepto de "centro" se puede definir de diferentes maneras, de ahí tres características diferentes. Sin embargo, para una clase importante de distribuciones (unimodal simétrica) las tres características coinciden.

Densidad de distribución f(x)- densidad de distribución simétrica, si hay un número incógnita0 tal que

(3)

La igualdad (3) significa que la gráfica de la función y =f(x)simétrico con respecto a una línea vertical que pasa por el centro de simetría x = x0 . De (3) se deduce que la función de distribución simétrica satisface la relación

(4)

Para una distribución simétrica con una moda, la expectativa matemática, la mediana y la moda coinciden y son iguales. incógnita0 .

El caso más importante es la simetría alrededor de 0, es decir incógnitanorte = 0. Entonces (3) y (4) se convierten en igualdades.

(5)

(6)

respectivamente. Las relaciones anteriores muestran que no hay necesidad de tabular distribuciones simétricas para todos INCÓGNITA, basta con tener tablas para x incógnita0 .

Observemos una propiedad más de las distribuciones simétricas, que se utiliza constantemente en los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas. Para una función de distribución continua

PAG(a) = P (-a<Х a) = F(a) - F(-a),

Dónde F- función de distribución de una variable aleatoria INCÓGNITA.Si la función de distribución Fes simétrico con respecto a 0, es decir la fórmula (6) es válida para ello, entonces

PAG(a) =2F(a) - 1.

A menudo se utiliza otra formulación de la afirmación en cuestión: si

Si Y - cuantiles de orden α y 1- α en consecuencia (ver (2)) una función de distribución simétrica alrededor de 0, entonces de (6) se deduce que

De las características de la posición (esperanza matemática, mediana, moda), pasemos a las características de la dispersión de la variable aleatoria. INCÓGNITA:

variaciones , desviación estándar σ y coeficiente de variación v. La definición y las propiedades de dispersión de variables aleatorias discretas se analizaron en el capítulo anterior. Para variables aleatorias continuas

La desviación estándar es el valor no negativo de la raíz cuadrada de la varianza:

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la expectativa matemática:

El coeficiente de variación se aplica cuando M(X)>0.Mide el diferencial en unidades relativas, mientras que la desviación estándar está en unidades absolutas.

Ejemplo 6.Para una variable aleatoria distribuida uniformemente incógnitaEncontremos la dispersión, la desviación estándar y el coeficiente de variación. La varianza es:

Reemplazo de variables permite escribir:

Dónde c = (b- A)/2. Por lo tanto, la desviación estándar es igual a , y el coeficiente de variación es:

Para cada variable aleatoria incógnitadeterminar tres cantidades más - centradas Y,normalizado Vy dado Ud.Variable aleatoria centrada Y-es la diferencia entre una variable aleatoria dada incógnitay su expectativa matemática M(X),aquellos. Y=X-M(X).La expectativa matemática de la variable aleatoria centrada Г es igual a 0 y la varianza es la dispersión de esta variable aleatoria: M(Y) =0, D(Y) = D(X).Función de distribución FY(incógnita)variable aleatoria centrada Yrelacionado con la función de distribución F(x)variable aleatoria original incógnitarelación:

FY(x) =F (x + M(X)).

Las densidades de estas variables aleatorias satisfacen la igualdad.

FY(x) =f (x + M(X)).

Variable aleatoria normalizada Ves la razón de una variable aleatoria dada incógnitaA su desviación estándar σ , es decir. . Expectativa y varianza de una variable aleatoria normalizada. Vexpresado a través de características incógnitaEntonces:

Dónde v- coeficiente de variación de la variable aleatoria original INCÓGNITA.Para la función de distribución Fv(incógnita)y densidad Fv(incógnita)variable aleatoria normalizada Vtenemos:

Dónde F(x)- función de distribución de la variable aleatoria original INCÓGNITA,a f(x) -su densidad de probabilidad.

Variable aleatoria reducida U-esta es la variable aleatoria centrada y normalizada:

Para la variable aleatoria dada:

(7)

Las variables aleatorias normalizadas, centradas y reducidas se utilizan constantemente tanto en estudios teóricos como en algoritmos, productos de software y documentación reglamentaria, técnica e instructiva. En particular, porque permiten simplificar la justificación de métodos, la formulación de teoremas y fórmulas de cálculo.

Se utilizan transformaciones de variables aleatorias y otras más generales. Entonces, si Y= aX+ b,Dónde Ayb - algunos números, entonces

(8)

Ejemplo 7.Si Eso U -dada una variable aleatoria, y las fórmulas (8) se convierten en fórmulas (7).

Con cada variable aleatoria incógnitapuedes asociar muchas variables aleatorias Y,dado por la fórmula Ud.= aX+ben diferentes a>0Y b.Este conjunto se llama familia de cambio de escala,generado por una variable aleatoria INCÓGNITA.Funciones de distribución FY(incógnita)constituyen una familia de distribuciones de cambio de escala generadas por la función de distribución F(x).En lugar de Y= aX+ bA menudo uso la grabación.

(9)

Número Conse llama parámetro de desplazamiento y el número d- parámetro de escala. La fórmula (9) muestra que X -el resultado de medir una determinada cantidad - entra en Y - el resultado de medir la misma cantidad si el comienzo de la medición se mueve a un punto Con,y luego usar la nueva unidad de medida, en dveces más grande que el anterior.

Para la familia de desplazamiento de escala (9), la distribución de X se denomina estándar. En los métodos estadísticos probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas, se utilizan la distribución normal estándar, la distribución estándar de Weibull-Gnedenko, la distribución gamma estándar, etc. (ver más abajo).

También se utilizan otras transformaciones de variables aleatorias. Por ejemplo, para una variable aleatoria positiva incógnitaestan considerando Y=gramo INCÓGNITA,donde lg incógnita-logaritmo decimal de un número INCÓGNITA.Cadena de igualdades

UNIVERSIDAD ESTATAL DE SEBASTOPOL

MM. Ghashim, TV Cernautanu

CARACTERÍSTICAS ALEATORIAS

Tutorial

Aprobado

consejo científico del instituto

Sebastopol

Ghashim M.M., T.V.Cerneutanu

Funciones aleatorias: método educativo. prestación. – Sebastopol: SevGU, 2015.

Este manual cubre tres secciones principales: “ ”, “ ”, “ “. Cada sección incluye preguntas teóricas básicas, análisis de ejemplos típicos y tareas para el trabajo independiente con sus respuestas.

destinado a estudiantes de tercer año en el estudio del tema "".

Revisores:

Doctor en Filosofía.,

Ph.D., Profesor Asociado

Profesor asociado NK.Ph.S.

© Editorial SevGU, 2015

§ 1. El concepto de función aleatoria……………………………………

§ 2. Características de las funciones aleatorias………………………………

§ 3. Operador de un sistema dinámico……………………………….

§ 4. Transformaciones lineales de funciones aleatorias………………

§ 5. Procesos aleatorios estacionarios……………………

§ 6. Expansión espectral de una función aleatoria estacionaria………

§ 7. Propiedad ergódica de funciones aleatorias estacionarias………….

Resolver problemas típicos………………………………………………………………..

Problemas para solución independiente………………………………

LITERATURA………………………………………………………………

Funciones aleatorias

El concepto de función aleatoria.

En el curso de la teoría de la probabilidad, el principal tema de estudio fueron las variables aleatorias, que se caracterizaban por el hecho de que, como resultado del experimento, adquirieron un valor desconocido de antemano, pero solo un valor. Es decir, los fenómenos aleatorios se estudiaron como en "estática", en algunas condiciones constantes fijas de un experimento separado. Sin embargo, en la práctica a menudo uno tiene que lidiar con variables aleatorias que cambian continuamente durante el experimento. Por ejemplo, el ángulo de avance cuando se apunta continuamente a un objetivo en movimiento; desviación de la trayectoria de un proyectil guiado de la teórica durante el control o guiado, etc. En principio, cualquier sistema con control automatizado impone ciertos requisitos sobre la base teórica correspondiente: la teoría del control automático. El desarrollo de esta teoría es imposible sin analizar los errores que inevitablemente acompañan a los procesos de control, que siempre ocurren bajo condiciones de perturbaciones aleatorias o "interferencias" que operan continuamente. Estas perturbaciones son funciones aleatorias por su naturaleza. Entonces:

Definición . Función aleatoria incógnita(t) se llama función de un argumento no aleatorio t, que para cada valor fijo del argumento es una variable aleatoria.

La forma específica adoptada por una función aleatoria. incógnita(t) como resultado de la experiencia se llama implementación función aleatoria.

Ejemplo . Un avión en un curso aéreo tiene una velocidad teóricamente constante. V. De hecho, su velocidad fluctúa alrededor de este valor nominal medio y es una función aleatoria del tiempo. El vuelo puede considerarse como un experimento en el que una función aleatoria V(t) acepta una implementación específica (Fig. 1).

El tipo de implementación cambia de una experiencia a otra. Si se instala una grabadora en un avión, en cada vuelo registrará una implementación nueva, diferente de las demás, de una función aleatoria. Como resultado de varios vuelos, se puede obtener una familia de implementaciones de una función aleatoria. V(t) (Figura 2).

En la práctica, existen funciones aleatorias que dependen no de un argumento, sino de varios, por ejemplo, el estado de la atmósfera (temperatura, presión, viento, precipitación). En este curso consideraremos sólo funciones aleatorias de un argumento. Dado que este argumento suele ser tiempo, lo denotaremos con la letra t. Además, aceptamos denotar funciones aleatorias con letras mayúsculas ( incógnita(t), Y(t), …) en contraste con las funciones no aleatorias ( incógnita(t),y(t), …).

Considere alguna función aleatoria incógnita(t). Supongamos que ha sido norte experimentos independientes, como resultado de los cuales se obtuvieron n implementaciones, que denotamos según el número de experimentos incógnita 1 (t), incógnita 2 (t), …, x norte(t). Obviamente, cada implementación es una función ordinaria (no aleatoria). Así, como resultado de cada experimento, la función aleatoria incógnita(t) se convierte en una función no aleatoria.

Fijemos ahora algún valor del argumento. t. En este caso, la función aleatoria incógnita(t) se convertirá en una variable aleatoria.

Definición. Sección función aleatoria incógnita(t) es una variable aleatoria correspondiente a un valor fijo del argumento de una función aleatoria.

Vemos que una función aleatoria combina las características de una variable aleatoria y una función. En el futuro, a menudo consideraremos la misma función alternativamente. incógnita(t) ya sea como función aleatoria o como variable aleatoria, dependiendo de si se considera en todo el rango de cambio t o a su valor fijo.

Considere la variable aleatoria incógnita(t) – sección transversal de una función aleatoria en este momento t. Esta variable aleatoria obviamente tiene una ley de distribución, que en general depende de t. vamos a denotarlo F(incógnita, t). Función F(incógnita, t) se llama ley de distribución unidimensional función aleatoria incógnita(t).

Obviamente la función F(incógnita, t) no es una característica completa y exhaustiva de una función aleatoria incógnita(t), porque caracteriza sólo la ley de distribución incógnita(t) para un determinado, aunque arbitrario t y no responde a la pregunta sobre la dependencia de las variables aleatorias incógnita(t) para diferentes t. Desde este punto de vista, una caracterización más completa de la función aleatoria. incógnita(t) es el llamado ley de distribución bidimensional: F(incógnita 1 , incógnita 2 ; t 1 , t 2). Esta es la ley de distribución de un sistema de dos variables aleatorias. incógnita(t 1), incógnita(t 2), es decir dos secciones arbitrarias de una función aleatoria incógnita(t). Pero esta característica no es exhaustiva en el caso general. Obviamente, teóricamente es posible aumentar ilimitadamente el número de argumentos y obtener una descripción cada vez más completa de una función aleatoria, pero es extremadamente difícil operar con características tan engorrosas que dependen de muchos argumentos. En este curso, no usaremos leyes de distribución en absoluto, sino que nos limitaremos a considerar las características más simples de las funciones aleatorias, similares a las características numéricas de las variables aleatorias.

Una función en capas compleja se llama función.

z(t)=X(t)+Y(t)i,

Dónde incógnita(t) Y Y(t) -funciones aleatorias reales de un argumento real t.

Generalicemos las definiciones de expectativa matemática y varianza a funciones aleatorias complejas para que, en particular, en Y = 0, estas características coincidan con las características previamente introducidas para funciones aleatorias reales, es decir, para que se cumplan los requisitos:

m z(t)=mx(t)(*)

D z(t)=Dx(t)(**)

Matemático,espera,función aleatoria compleja Z(t)=incógnita(t)+Y(t)i llamada función compleja (no aleatoria)

m z ( t)=mx(t)+m y(t)i.

En particular, para Y=0 obtenemos t z(t)= tx(t),aquellos. Se cumple el requisito (*).

Dispersión de la función aleatoria compleja Z(t) es la expectativa matemática del módulo al cuadrado de una función centrada z(t):

dz(t)=M[| (t)| 2 ].

En particular, para Y==0 obtenemos D z ( t)= METRO[| (t)|] 2 =Dx(t), es decir, se cumple el requisito (**).

Considerando que la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos, tenemos

dz(t)=M[| (t)| 2 ]=METRO{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=METRO[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=dx(t)+D y(t).

Entonces, la varianza de una función aleatoria compleja es igual a la suma de las varianzas de sus partes real e imaginaria:

D z ( t)=Dx(t)+D y(t).

Se sabe que la función de correlación de una función aleatoria real incógnita(t) para diferentes valores de los argumentos es igual a la varianza dx(t). Generalicemos la definición de la función de correlación a funciones aleatorias complejas. z(t) de modo que para valores iguales de los argumentos t 1 = t 2 = t función de correlación k z(t,t) era igual a la varianza dz(t), es decir, para que se cumpla el requisito

k z(t,t)=Dz(t). (***)

La función de correlación de la función aleatoria compleja Z.(t) se llama momento de correlación de las secciones transversales ( t 1) y ( t 2)

k z(t 1 ,t 2)= METRO.

En particular, con valores iguales de los argumentos.

k z(t,t)= METRO=METRO[| | 2 ]=D z(t).

es decir, se cumple el requisito (***).

Si funciones aleatorias reales incógnita(t) Y Y(t) están correlacionados, entonces

k z(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].

Si incógnita(t) Y Y(t) no están correlacionados, entonces

k z(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).

Generalicemos la definición de la función de correlación cruzada a funciones aleatorias complejas. z 1 (t)=incógnita 1 (t)+Y 1 (t)i Y z 2 (t)=incógnita 2 (t)+Y 2 (t)i para que, en particular, cuando Y 1 =S 2 = 0 requisito cumplido

Función de correlación cruzada de dos funciones aleatorias complejas llamar a una función (no aleatoria)

En particular, cuando Y 1 =S 2 = 0 obtenemos

es decir, se cumple el requisito (****).

La función de correlación cruzada de dos funciones aleatorias complejas se expresa mediante las funciones de correlación cruzada de sus partes real e imaginaria mediante la siguiente fórmula:

Tareas

1. Encuentre la expectativa matemática de funciones aleatorias:

a) incógnita(t)=Ut 2 donde U- variable aleatoria, y METRO(Ud.)=5 ,

b)incógnita(t)=U cos2 t+Vt, Dónde Ud. Y V- variables aleatorias y METRO(Ud.)=3 ,METRO(V)=4 .

Reps. a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. k x(t 1 ,t 2) función aleatoria incógnita(t). Encuentre funciones de correlación de funciones aleatorias:

a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)incógnita(t); V) Y(t)=4X(t).

Reps. a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Se especifica la variación dx(t) función aleatoria incógnita(t). Encuentre la varianza de funciones aleatorias: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).

Responder. a) dy(t)=Dx(t); b) dy(t)= t 2 dx(t).

4. Encuentre: a) expectativa matemática; b) función de correlación; c) varianza de una función aleatoria incógnita(t)=usin 2t, Dónde U- variable aleatoria, y METRO(Ud.)=3 ,D(Ud.)=6 .

Responder. A) mx(t) =3pecado 2t; b) k x(t 1 ,t 2)= 6pecado 2t 1 pecado 2t 2; V) dx(t)=6pecado 2 2t.

5. Encuentre la función de correlación normalizada de la función aleatoria. incógnita(t), conociendo su función de correlación k x(t 1 ,t 2)=3porque(t 2 -t 1).

Reps. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Encuentre: a) función de correlación mutua; b) función de correlación cruzada normalizada de dos funciones aleatorias incógnita(t)=(t+1)Ud. y Y( t)= (t 2 + 1)Ud., Dónde U- variable aleatoria, y D(Ud.)=7.

Responder. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +1)( t 2 2 +1); b) xy(t 1 ,t 2)=1.

7. Se dan funciones aleatorias. incógnita(t)= (t- 1)Ud. Y Y(t)=t 2 Ud., Dónde Ud. Y V- variables aleatorias no correlacionadas, y METRO(Ud.)=2, METRO(V)= 3,D(Ud.)=4 , D(V)=5 . Encuentre: a) expectativa matemática; b) función de correlación; c) varianza de la suma z(t)=X(t)+Y(t).

Nota. Asegúrese de que la función de correlación cruzada de las funciones aleatorias dadas sea igual a cero y, por lo tanto, incógnita(t) Y Y(t) no están correlacionados.

Responder. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2; b) k z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - yo)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.

8. Se da la expectativa matemática. mx(t)=t 2 +1 función aleatoria incógnita(t). Encuentre la esperanza matemática de su derivada.

9. Se da la expectativa matemática. mx(t)= t 2 +3 función aleatoria incógnita(t). Encuentra la expectativa matemática de una función aleatoria. Y(t)=tX"(t)+t 3.

Reps. m y (t)=t 2 (t+2).

10. La función de correlación está dada. k x(t 1 ,t 2)= función aleatoria incógnita(t). Encuentra la función de correlación de su derivada.

11. La función de correlación está dada. k x(t 1 ,t 2)= función aleatoria incógnita(t). Encuentra funciones de correlación cruzada.