Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó 4 dígitos. Calcular probabilidades sin construir un espacio de eventos elementales

En la urna hay cinco bolas de diferentes tamaños. ¿Cuál es la probabilidad de sacar todas las bolas en orden ascendente si se sabe que no hay bolas idénticas?

Solución. Numero total posible resultados elementales la experiencia es igual al número de permutaciones de cinco elementos, y el número de resultados favorables al evento es igual a uno.

Probabilidad requerida:

.

Problema 17.

Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó los dos últimos dígitos y, al recordar que eran diferentes, los marcó para tener suerte. ¿Cuál es la probabilidad de que haya marcado el número correcto?

Solución. El número total de resultados posibles del experimento es igual al número de ubicaciones de 10 a 2, es decir . El número de resultados favorables al evento es igual a uno.

Probabilidad requerida:

.

Problema 18.

Hay 15 cuadernos en el cajón del escritorio, 8 de ellos son cuadrados. Tomamos tres cuadernos al azar. Encuentre la probabilidad de que los tres cuadernos tomados sean de la más alta calidad.

Solución. Dado que el orden no influye aquí, el número total de todos los resultados posibles será igual al número de combinaciones de 15 por 3, es decir, y el número de eventos favorables también será igual al número de combinaciones de 8 por 3. 3.

Probabilidad requerida:

.

Problema 19.

Hay 15 estudiantes en el grupo, 8 de los cuales son excelentes estudiantes. Se llamó a 6 estudiantes al azar (según la lista). Encuentre la probabilidad de que 4 de los estudiantes llamados sean excelentes estudiantes.

Solución. El número de resultados posibles del experimento aquí es igual al número de combinaciones de 15 por 6,.

Consideramos que una combinación es favorable si hay 4 estudiantes excelentes y 2 no lo son. Se pueden seleccionar 4 estudiantes excelentes entre 8 estudiantes excelentes de diferentes maneras, mientras que los 6-4 = 2 estudiantes restantes (estudiantes no excelentes) se seleccionan entre 15-8 = 7 estudiantes de diferentes maneras.

Si a cada cuatro alumnos excelentes le sumamos una de las parejas

A los estudiantes que no sean excelentes estudiantes, nos saldrán grupos “favorables” de 6 personas. Su número es igual a m =.

Probabilidad requerida:

Problema 20.

La primera dificultad que Pascal superó en su correspondencia con el Chevalier de Marais fue la de un recuento exacto de los casos. Se trataba de un juego en el que se lanzan tres dados y uno de los jugadores apuesta a que el total de los lados lanzados será superior a 10, y el otro, a que será igual o inferior a 10. Es fácil Observa que las posibilidades de ambos jugadores son iguales. Pero la dificultad era ésta. La contabilidad de los pacientes es muy gran número Los partidos demostraron al Chevalier de Marais que quien apuesta más de 10 gana más a menudo con 11 que con 12 puntos. Sin embargo, argumentó Mere, se pueden obtener 11 puntos de seis formas diferentes (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 ), y también se pueden obtener 12 puntos de seis formas (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). La respuesta de Pascal es muy sencilla: la combinación 6-4-1 no es prima, sino séxtuple, ya que si los dados están numerados, o si cada uno de los tres dados tiene un color diferente para que se puedan distinguir, se puede obtener el valor 6. en cada uno de los tres dados, y el valor 4 está en cada uno de los dos restantes, con lo que ya forman seis combinaciones. Por el contrario, una combinación como el 5-5-1 sólo se puede conseguir de tres formas diferentes, y una combinación como el 4-4-4 sólo se puede conseguir de una única forma.

Por tanto, si quieres saber Número Real de varias maneras obtenga 11 o obtenga 12 puntos, luego para cada uno de estos casos debe sumar la suma de esos seis números que corresponden a las combinaciones,

mientras que para el caso de 12 puntos tenemos

De esto concluimos que en promedio obtenemos 11 puntos 27 veces, mientras que obtenemos 12 puntos 25 veces, y este resultado concuerda perfectamente con las observaciones del Chevalier de Mére.

Ejemplo 4. Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó un dígito y lo marcó al azar. Calcula la probabilidad de que se marque el número correcto.

Solución. Denotemos por A evento: se ha marcado el número requerido. El suscriptor podría marcar cualquiera de los 10 dígitos. Por lo tanto, el número total de resultados elementales posibles es 10. Estos resultados son igualmente posibles (el número se escribe al azar) y forman grupo completo(definitivamente se marcará al menos un dígito), es decir. Sólo se necesita un número. Por lo tanto para el evento A A .

Ejemplo 5. Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó los dos últimos dígitos y, recordando sólo que eran diferentes, los marcó al azar. Encuentre la probabilidad de que los numeros necesarios.

Solución. Denotemos por EN evento: se han marcado dos números requeridos. Hay un número limitado de pares que puedes coleccionar. diferentes numeros, cuantas colocaciones se pueden hacer de 10 dígitos por 2, es decir . Por lo tanto, el número total de resultados elementales igualmente posibles es. Sólo se necesita una combinación de dos números. Por lo tanto para el evento A sólo un resultado es favorable. La probabilidad requerida es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento. A al número de todos los resultados elementales: .

Ejemplo 6. En un lote de 10 piezas hay 7 estándar. Encuentre la probabilidad de que entre seis partes tomadas al azar, haya exactamente 4 estándar.

Solución. deja que el evento A– entre las 6 piezas tomadas, exactamente 4 son estándar. El número total de posibles resultados de pruebas elementales es igual al número de formas en que se pueden extraer 6 partes de 10, es decir, el número de combinaciones de 10 elementos de 6 (). Contemos el número de resultados favorables al evento. A: Se pueden tomar 4 piezas estándar de 7 piezas estándar de diferentes maneras. En este caso, las 6-4=2 piezas restantes no deben ser estándar. Se pueden tomar de 10 a 7 = 3 piezas no estándar por métodos. Por tanto, el número de resultados favorables es . La probabilidad requerida es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento. A, al número de todos los resultados elementales.

Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó los dos últimos dígitos y, recordando sólo que eran diferentes, los marcó al azar. Encuentre la probabilidad de que se marquen los números requeridos.

Tarea número 2

Dada una función diferencial de continua variable aleatoria X:

Encontrar función integral F(x)

Tarea número 3

Hay 3 bolas blancas y 3 negras en la urna. Se saca dos veces de la urna una bola a la vez sin volver a colocarlas. Encuentra la probabilidad de ocurrencia. bola blanca en el segundo intento (evento B) si la bola negra fue extraída en el primer intento (evento A).

Tarea número 4

Hay 3 cajas que contienen 10 piezas. La primera caja contiene 8, la segunda 7 y la tercera 9 piezas estándar. Se saca una parte al azar de cada caja. Calcule la probabilidad de que las tres piezas extraídas resulten ser estándar.

Tarea número 5
La probabilidad de dar en el blanco al disparar con tres cañones es la siguiente: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Encuentre la probabilidad de al menos un impacto (evento A) con una salva de todos los cañones.

Tarea número 6

Hay dos conjuntos de piezas. La probabilidad de que la parte del primer conjunto sea estándar es 0,8 y la del segundo es 0,9. Encuentre la probabilidad de que una pieza tomada al azar (de un conjunto tomado al azar) sea estándar.

Tarea número 7

Para participar en las competiciones deportivas clasificatorias de estudiantes, se asignaron 4 estudiantes del primer grupo del curso, 6 del segundo y 5 del tercer grupo. Las probabilidades de que un estudiante del primer, segundo y tercer grupo sea incluido en el equipo del instituto son respectivamente iguales a 0,9; 0,7 y 0,8. Como resultado de la competencia, un estudiante seleccionado al azar terminó en el equipo nacional. ¿A qué grupo probablemente pertenecía este estudiante?

Tarea número 8

La probabilidad de que el consumo de electricidad durante un día no supere la norma establecida es 0,75. Encuentre la probabilidad de que en los próximos 6 días el consumo de electricidad durante 4 días no supere la norma.

Tarea número 9

Encuentre la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente 80 veces en 400 ensayos si la probabilidad de que este evento ocurra en cada ensayo es 0,2.

Tarea número 10

La probabilidad de que un tirador acierte en el blanco con un solo disparo es de 0,75. Encuentre la probabilidad de que con 100 disparos el objetivo sea alcanzado: a) no menos de 70 y no más de 80 veces; b) no más de 70 veces.

Tarea número 11

Un comerciante examina 24 muestras de mercancías. La probabilidad de que cada una de las muestras se considere apta para la venta es de 0,6. Encuentre el número más probable de muestras que un comerciante reconoce como aptas para la venta.

Probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de 400 pruebas independientes igual a 0,8. Encuentra uno numero positivo E, de modo que con probabilidad 0,9876 valor absoluto la desviación de la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento de su probabilidad de 0,8 no superó E.

Tarea número 13

La moneda se lanza 5 veces. Encuentre la probabilidad de que aparezca el “escudo de armas”:

a) menos de dos veces;

b) al menos dos veces.

Tarea número 14

La primera urna contiene 10 bolas, 8 de las cuales son blancas; La segunda urna contiene 20 bolas, 4 de las cuales son blancas. Se extrae una bola al azar de cada urna y luego se extrae una bola al azar de estas dos bolas. Calcula la probabilidad de que salga la bola blanca.

Tarea número 15

¿Cuántos ensayos independientes se deben realizar con una probabilidad de ocurrencia de un evento en cada ensayo igual a 0.4 para que el número más probable de ocurrencia de un evento en estos ensayos sea igual a 25?

Tarea número 16

La variable aleatoria discreta X está especificada por la ley de distribución.

Encontrar: varianza D(X), media Desviación Estándar(X) y construye un polígono de distribución.

Tarea número 17

El libro de texto se publicó con una tirada de 100.000 ejemplares. La probabilidad de que el libro de texto esté encuadernado incorrectamente es 0,0001. Encuentre la probabilidad de que la circulación contenga exactamente 5 libros defectuosos.

Tarea número 18

Se proporciona una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: y también conocido expectativas matemáticas esta cantidad y sus cuadrados:

M(X)=2,3 y M(X) )=5,9.

Encuentre las probabilidades correspondientes valores posibles X.

Tarea número 19

La variable aleatoria X está especificada por la función integral

Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, el valor de X tome un valor contenido en el intervalo (-1;1)

Tarea número 20
Una variable aleatoria discreta está especificada por una ley de distribución.

Encuentra la función integral y traza su gráfica.

Tarea número 21

Se da la variable aleatoria continua X función diferencial
en el intervalo (0; π/3); fuera de este intervalo f(x)=0. Encuentre la probabilidad de que X tome un valor perteneciente al intervalo (
)

Tarea número 22

La variable aleatoria discreta X está especificada por la ley de distribución:

Encontrar puntos centrales primer, segundo, tercer y cuarto orden

Tarea número 23

Escribe una ley binomial para la distribución de una variable aleatoria discreta X: el número de apariciones de un número par de puntos en dos dados.

Tarea número 24

Encuentre la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta X especificada por la ley de distribución:

La probabilidad de que ocurra el evento a en cada ensayo es ½. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que el número X de ocurrencias del evento A esté en el rango de 40 a 60 si se realizan 100 ensayos independientes.

Tarea número 27

Construir un histograma frecuencias relativas Por distribución dada muestras

La muestra se especifica como una distribución de frecuencia.

Tarea número 29

Para construido serie de intervalos calcular intervalo de confianza en γ=0,99 y t=2,861

Tarea número 30

La muestra se especifica como una distribución de frecuencia.