Un círculo es una serie de puntos equidistantes de un punto que, a su vez, es el centro de este círculo. El círculo también tiene su propio radio, igual a la distancia de estos puntos al centro.
La relación entre la longitud de un círculo y su diámetro es la misma para todos los círculos. Esta relación es un número que es una constante matemática, que se denota letra griega π .
Determinando la circunferencia
Puedes calcular el círculo usando la siguiente fórmula:
l= π D=2 π r
r- radio del círculo
D- diámetro del círculo
l- circunferencia
π - 3.14
Tarea:
calcular circunferencia, teniendo un radio de 10 centímetros.
Solución:Fórmula para calcular la circunferencia de un círculo. tiene la forma:
l= π D=2 π r
donde L es la circunferencia, π es 3,14, r es el radio del círculo, D es el diámetro del círculo.
Por tanto, la longitud de un círculo que tiene un radio de 10 centímetros es:
L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 centímetros
Círculo es una figura geométrica, que es una colección de todos los puntos en el plano alejados de Punto dado, que se llama su centro, a una cierta distancia, no igual a cero y se llama radio. Los científicos pudieron determinar su longitud con diversos grados de precisión ya en la antigüedad: los historiadores de la ciencia creen que la primera fórmula para calcular la circunferencia se compiló alrededor del año 1900 a. C. en la antigua Babilonia.
Nos encontramos con formas geométricas como los círculos todos los días y en todas partes. Es su forma la que tiene la superficie exterior de las ruedas que están equipadas con varios vehículos. Este detalle, a pesar de su sencillez exterior y sencillez, se considera uno de mayores inventos humanidad, y es interesante que los aborígenes de Australia y los indios americanos, hasta la llegada de los europeos, no tenían absolutamente ninguna idea de qué era.
Con toda probabilidad, las primeras ruedas fueron trozos de troncos montados sobre un eje. Poco a poco, el diseño de las ruedas fue mejorando, su diseño se volvió cada vez más complejo y su fabricación requirió el uso de muchas herramientas diferentes. Al principio aparecieron ruedas compuestas por llantas y radios de madera y luego, para reducir su desgaste. Superficie exterior, comenzaron a cubrirlo con tiras de metal. Para determinar las longitudes de estos elementos, es necesario utilizar una fórmula para calcular la circunferencia (aunque en la práctica, lo más probable es que los artesanos lo hicieran "a ojo" o simplemente rodeando la rueda con una tira y cortando la sección requerida).
se debe notar que rueda no sólo se utiliza en vehículos. Por ejemplo, su forma tiene la forma de un torno de alfarero, así como elementos de engranajes de engranajes, muy utilizados en tecnología. Las ruedas se han utilizado durante mucho tiempo en la construcción de molinos de agua (las estructuras más antiguas de este tipo conocidas por los científicos se construyeron en Mesopotamia), así como ruecas, con las que se fabricaban hilos a partir de lana animal y fibras vegetales.
circulos A menudo se puede encontrar en la construcción. Su forma está determinada por ventanas circulares bastante extendidas, muy características del estilo arquitectónico románico. La fabricación de estas estructuras es una tarea muy difícil y requiere una gran habilidad, así como la disponibilidad. herramienta especial. Una de las variedades de ventanas redondas son las ventanas instaladas en barcos y aviones.
Así, los ingenieros de diseño que desarrollan diversas máquinas, mecanismos y agregados, así como los arquitectos y diseñadores, a menudo tienen que resolver el problema de determinar la circunferencia de un círculo. Desde el número π , necesario para ello, es infinito, no es posible determinar este parámetro con absoluta precisión, por lo que los cálculos tienen en cuenta el grado del mismo que en un caso particular es necesario y suficiente.
Un círculo es una línea curva que encierra un círculo. En geometría, las formas son planas, por lo que la definición se refiere a una imagen bidimensional. Se supone que todos los puntos de esta curva están a la misma distancia del centro del círculo.
El círculo tiene varias características a partir de las cuales se realizan los cálculos relacionados con esta figura geométrica. Estos incluyen: diámetro, radio, área y circunferencia. Estas características están interrelacionadas, es decir, para calcularlas es suficiente información sobre al menos uno de los componentes. Por ejemplo, conociendo sólo el radio figura geométrica Usando la fórmula puedes encontrar la circunferencia, el diámetro y el área.
- El radio de un círculo es el segmento interior del círculo conectado a su centro.
- Un diámetro es un segmento dentro de un círculo que conecta sus puntos y pasa por el centro. Básicamente, el diámetro es de dos radios. Así es exactamente como se ve la fórmula para calcularlo: D=2r.
- Hay un componente más de un círculo: una cuerda. Esta es una línea recta que conecta dos puntos en un círculo, pero no siempre pasa por el centro. Por eso la cuerda que lo atraviesa también se llama diámetro.
¿Cómo saber la circunferencia? Averigüemos ahora.
Circunferencia: fórmula
Se eligió la letra latina p para denotar esta característica. Arquímedes también demostró que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es el mismo número para todos los círculos: este es el número π, que es aproximadamente igual a 3,14159. La fórmula para calcular π es: π = p/d. Según esta fórmula, el valor de p es igual a πd, es decir, la circunferencia: p= πd. Dado que d (diámetro) es igual a dos radios, la misma fórmula para la circunferencia se puede escribir como p=2πr. Consideremos la aplicación de la fórmula usando problemas simples como ejemplo:
Problema 1
En la base de la Campana del Zar el diámetro es de 6,6 metros. ¿Cuál es la circunferencia de la base de la campana?
- Entonces, la fórmula para calcular el círculo es p= πd
- Sustituya el valor existente en la fórmula: p=3,14*6,6= 20,724
Respuesta: La circunferencia de la base de la campana es de 20,7 metros.
Problema 2
El satélite artificial de la Tierra gira a una distancia de 320 km del planeta. El radio de la Tierra es 6370 km. ¿Cuál es la longitud de la órbita circular del satélite?
- 1. Calcula el radio de la órbita circular del satélite terrestre: 6370+320=6690 (km)
- 2.Calcule la longitud de la órbita circular del satélite usando la fórmula: P=2πr
- 3.P=2*3.14*6690=42013.2
Respuesta: la longitud de la órbita circular del satélite terrestre es 42013,2 km.
Métodos para medir la circunferencia.
En la práctica, no se suele utilizar el cálculo de la circunferencia de un círculo. La razón de esto valor aproximado números π. En la vida cotidiana, para encontrar la longitud de un círculo, se utiliza un dispositivo especial: un curvímetro. Se marca un punto de partida arbitrario en el círculo y el dispositivo se conduce estrictamente a lo largo de la línea hasta llegar nuevamente a este punto.
¿Cómo encontrar la circunferencia de un círculo? Solo necesita tener en mente fórmulas de cálculo simples.
Primero, comprendamos la diferencia entre un círculo y un círculo. Para ver esta diferencia basta considerar cuáles son ambas cifras. Estos son un número infinito de puntos en el plano ubicado en igual distancia desde un único punto central. Pero, si el círculo también consta de espacio interno, entonces no pertenece al círculo. Resulta que un círculo es a la vez un círculo que lo limita (círculo(r)) y un número innumerable de puntos que se encuentran dentro del círculo.
Para cualquier punto L que se encuentre en el círculo, se aplica la igualdad OL=R. (La longitud del segmento OL es igual al radio del círculo).
Un segmento que une dos puntos de una circunferencia es su acorde.
Una cuerda que pasa directamente por el centro de una circunferencia es diámetro este círculo (D). El diámetro se puede calcular mediante la fórmula: D=2R
Circunferencia calculado por la fórmula: C=2\pi R
Área de un círculo: S=\piR^(2)
Arco de círculo Se llama aquella parte de ella que se sitúa entre sus dos puntos. Estos dos puntos definen dos arcos de círculo. El acorde CD subtiende dos arcos: CMD y CLD. Cuerdas idénticas subtienden arcos iguales.
ángulo central Se llama al ángulo que se encuentra entre dos radios.
Longitud de arco se puede encontrar usando la fórmula:
- Usando medida de grado: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Usando medida en radianes: CD = \alpha R
El diámetro, que es perpendicular a la cuerda, divide por la mitad la cuerda y los arcos que ésta contrae.
Si las cuerdas AB y CD de un círculo se cortan en el punto N, entonces los productos de los segmentos de cuerdas separados por el punto N son iguales entre sí.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia Se acostumbra llamar círculo a una línea recta que tiene un punto común.
Si una recta tiene dos puntos comunes, la llaman secante.
Si dibujas el radio al punto tangente, será perpendicular a la tangente al círculo.
Dibujemos dos tangentes desde este punto a nuestro círculo. Resulta que los segmentos tangentes serán iguales entre sí y el centro del círculo estará ubicado en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto.
CA = CB
Ahora dibujemos una tangente y una secante a la circunferencia desde nuestro punto. Encontramos que el cuadrado de la longitud del segmento tangente será igual al producto todo el segmento secante a su parte exterior.
AC^(2) = CD \cdot BC
Podemos concluir: el producto de un segmento entero de la primera secante y su parte externa es igual al producto de un segmento entero de la segunda secante y su parte externa.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Ángulos en un círculo
Medidas de grado ángulo central y el arco sobre el que descansa son iguales.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas.
Se puede calcular conociendo el tamaño del arco, ya que igual a la mitad este arco.
\ángulo AOB = 2 \ángulo ADB
Basado en un diámetro, ángulo inscrito, ángulo recto.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son idénticos.
Los ángulos inscritos que descansan sobre una cuerda son idénticos o su suma es igual a 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\ángulo ADB = \ángulo AEB = \ángulo AFB
En una misma circunferencia están los vértices de triángulos con ángulos idénticos y una base determinada.
Un ángulo con vértice dentro de una circunferencia y situado entre dos cuerdas es idéntico a la mitad de la suma valores angulares Arcos de círculo que están contenidos dentro de un ángulo vertical dado.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un ángulo con vértice fuera del círculo y situado entre dos secantes es idéntico a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro del ángulo.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
círculo inscrito
círculo inscrito es un círculo tangente a los lados de un polígono.
En el punto donde se cruzan las bisectrices de las esquinas de un polígono, se ubica su centro.
No se puede inscribir un círculo en cada polígono.
El área de un polígono con un círculo inscrito se encuentra mediante la fórmula:
S = pr,
p es el semiperímetro del polígono,
r es el radio del círculo inscrito.
Se deduce que el radio del círculo inscrito es igual a:
r = \frac(S)(p)
Las sumas de las longitudes de los lados opuestos serán idénticas si el círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo. Y viceversa: un círculo cabe en un cuadrilátero convexo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son idénticas.
AB + DC = ANUNCIO + BC
Es posible inscribir un círculo en cualquiera de los triángulos. Sólo uno. En el punto donde se cruzan las bisectrices esquinas internas figura, estará el centro de este círculo inscrito.
El radio del círculo inscrito se calcula mediante la fórmula:
r = \frac(S)(p) ,
donde p = \frac(a + b + c)(2)
círculo circunstante
Si un círculo pasa por cada vértice de un polígono, dicho círculo generalmente se llama descrito sobre un polígono.
En el punto de intersección de las mediatrices de los lados de esta figura estará el centro del círculo circunstante.
El radio se puede encontrar calculándolo como el radio del círculo que está circunscrito al triángulo definido por 3 vértices cualesquiera del polígono.
Comer siguiente condición: un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero sólo si su suma esquinas opuestas es igual a 180^( \circ) .
\ángulo A + \ángulo C = \ángulo B + \ángulo D = 180^ (\circ)
Alrededor de cualquier triángulo se puede describir un círculo, y sólo uno. El centro de dicho círculo estará ubicado en el punto donde se cruzan. bisectrices perpendiculares lados del triángulo.
El radio del círculo circunscrito se puede calcular mediante las fórmulas:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,
S es el área del triángulo.
teorema de ptolomeo
Finalmente, considere el teorema de Ptolomeo.
El teorema de Ptolomeo establece que el producto de las diagonales es idéntico a la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
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Muy a menudo al decidir tareas de la escuela En física surge la pregunta: ¿cómo encontrar la circunferencia de un círculo conociendo el diámetro? De hecho, no hay dificultades para resolver este problema, sólo hay que imaginar claramente de qué se trata; fórmulas Para ello se necesitan conceptos y definiciones.
En contacto con
Conceptos básicos y definiciones.
- El radio es la línea que conecta el centro del círculo y su punto arbitrario. esta designado letra latina r.
- Una cuerda es una línea que conecta dos arbitrarios puntos que se encuentran en un círculo.
- El diámetro es la línea que conecta dos puntos de una circunferencia y que pasa por su centro. Se denota con la letra latina d.
- es una línea que consta de todos los puntos ubicados a distancias iguales de un punto seleccionado, llamado su centro. Su longitud la denotaremos con la letra latina l.
El área de un círculo es todo el territorio. encerrado dentro de un círculo. se mide V unidades cuadradas y se denota con la letra latina s.
Usando nuestras definiciones, llegamos a la conclusión de que el diámetro de un círculo es igual a su cuerda más grande.
¡Atención! A partir de la definición de cuál es el radio de un círculo, puedes averiguar cuál es el diámetro de un círculo. ¡Estos son dos radios dispuestos en direcciones opuestas!
Diámetro de un círculo.
Encontrar la circunferencia y el área de un círculo.
Si nos dan el radio de un círculo, entonces el diámetro del círculo se describe mediante la fórmula re = 2*r. Así, para responder a la pregunta de cómo encontrar el diámetro de un círculo, conociendo su radio, basta con el último. multiplicar por dos.
La fórmula para la circunferencia de un círculo, expresada en términos de su radio, tiene la forma l = 2*P*r.
¡Atención! La letra latina P (Pi) denota la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, y esta es una fracción decimal no periódica. EN matematicas escolares se considera conocido de antemano valor tabular, igual a 3,14!
Ahora reescribamos la fórmula anterior para encontrar la circunferencia de un círculo a través de su diámetro, recordando cuál es su diferencia con relación al radio. Resultará: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.
Del curso de matemáticas sabemos que la fórmula que describe el área de un círculo tiene la forma: s = П*r^2.
Ahora reescribamos la fórmula anterior para encontrar el área de un círculo a través de su diámetro. Obtenemos,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
Uno de los más tareas difíciles en este tema se determina el área de un círculo a través de la circunferencia y viceversa. Aprovechemos que s = П*r^2 y l = 2*П*r. De aquí obtenemos r = l/(2*П). Sustituyamos la expresión resultante por el radio en la fórmula del área, obtenemos: s = l^2/(4P). De forma completamente similar, la circunferencia se determina a través del área del círculo.
Determinar la longitud y el diámetro del radio
¡Importante! En primer lugar, aprendamos a medir el diámetro. Es muy simple: dibuja cualquier radio, extiéndelo el lado opuesto hasta que se cruza con el arco. Medimos la distancia resultante con una brújula y utilizamos cualquier instrumento métrico para saber lo que buscamos.
Respondamos la pregunta de cómo saber el diámetro de un círculo conociendo su longitud. Para ello lo expresamos a partir de la fórmula l = П*d. Obtenemos d = l/P.
Ya sabemos cómo encontrar su diámetro a partir de la circunferencia de un círculo, y también podemos encontrar su radio de la misma forma.
l = 2*P*r, por lo tanto r = l/2*P. En general, para saber el radio hay que expresarlo en términos del diámetro y viceversa.
Supongamos que ahora necesita determinar el diámetro, conociendo el área del círculo. Usamos el hecho de que s = П*d^2/4. Expresemos d desde aquí. Funcionará d^2 = 4*s/P. Para determinar el diámetro en sí, deberá extraer raíz cuadrada del lado derecho. Resulta d = 2*sqrt(s/P).
Resolver tareas típicas.
- Averigüemos cómo encontrar el diámetro si se da la circunferencia. Sea igual a 778,72 kilómetros. Requerido para encontrar d. d = 778,72/3,14 = 248 kilómetros. Recordemos qué es un diámetro e inmediatamente determinemos el radio, para ello dividimos el valor d determinado anteriormente por la mitad; Funcionará r = 248/2 = 124 kilómetro
- Consideremos cómo encontrar la longitud de un círculo dado, conociendo su radio. Sea r un valor de 8 dm 7 cm. Convirtamos todo esto a centímetros, entonces r será igual a 87 centímetros. Usemos la fórmula para encontrar la longitud desconocida de un círculo. Entonces nuestro valor deseado será igual a largo = 2*3,14*87 = 546,36 cm. Convirtamos nuestro valor obtenido en números enteros de cantidades métricas l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
- Necesitamos determinar el área de un círculo dado usando la fórmula a través de su diámetro conocido. Sea d = 815 metros. Recordemos la fórmula para encontrar el área de un círculo. Sustituyamos los valores que nos dan aquí, obtenemos s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 cuadrados. metro.
- Ahora aprenderemos a encontrar el área de un círculo, conociendo la longitud de su radio. Sea el radio 38 cm. Usamos la fórmula que conocemos. Sustituyamos aquí el valor que nos da la condición. Obtienes lo siguiente: s = 3,14*38^2 = 4534,16 pies cuadrados. cm.
- La última tarea es determinar el área de un círculo basándose en la circunferencia conocida. Sea l = 47 metros. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 cuadrados. metro.
Circunferencia
Muchos objetos del mundo circundante tienen forma redonda. Se trata de ruedas, aberturas de ventanas redondas, tuberías, platos variados y mucho más. Puedes calcular la longitud de un círculo conociendo su diámetro o radio.
Existen varias definiciones de esta figura geométrica.
- Se trata de una curva cerrada formada por puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto determinado.
- Esta es una curva que consta de los puntos A y B, que son los extremos del segmento, y todos los puntos desde los cuales A y B son visibles en ángulo recto. En este caso, el segmento AB es el diámetro.
- Para el mismo segmento AB, esta curva incluye todos los puntos C tales que la relación AC/BC es constante y no igual a 1.
- Esta es una curva que consta de puntos para los cuales se cumple lo siguiente: si sumas los cuadrados de las distancias de un punto a dos dados otros puntos A y B, obtienes numero constante, mayor que la mitad del segmento que conecta A y B. Esta definición se deriva del teorema de Pitágoras.
¡Nota! Hay otras definiciones. Un círculo es un área dentro de un círculo. El perímetro de un círculo es su longitud. Por diferentes definiciones el círculo puede incluir o no la curva misma, que es su límite.
Definición de un círculo
Fórmulas
¿Cómo calcular la circunferencia de un círculo usando el radio? Esto se hace usando una fórmula simple:
donde L es el valor deseado,
π es el número pi, aproximadamente igual a 3,1413926.
Por lo general, para encontrar el valor requerido, basta con usar π hasta el segundo dígito, es decir, 3,14, esto proporcionará la precisión requerida. En las calculadoras, en particular las de ingeniería, puede haber un botón que ingresa automáticamente el valor del número π.
Designaciones
Para encontrar el diámetro existe la siguiente fórmula:
Si ya se conoce L, se puede encontrar fácilmente el radio o el diámetro. Para hacer esto, L debe dividirse entre 2π o π, respectivamente.
Si ya se ha dado un círculo, debes entender cómo encontrar la circunferencia a partir de estos datos. El área del círculo es S = πR2. De aquí encontramos el radio: R = √(S/π). Entonces
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Calcular el área en términos de L también es fácil: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Resumiendo, podemos decir que existen tres fórmulas básicas:
- a través del radio – L = 2πR;
- diámetro pasante – L = πD;
- a través del área del círculo – L = 2√(Sπ).
Pi
Sin el número π no será posible resolver el problema considerado. El número π se encontró por primera vez como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Esto lo hicieron los antiguos babilonios, egipcios e indios. Lo encontraron con bastante precisión: sus resultados diferían del valor actualmente conocido de π en no más del 1%. La constante se aproximaba mediante fracciones como 25/8, 256/81, 339/108.
Además, el valor de esta constante se calculó no solo desde el punto de vista de la geometría, sino también desde el punto de vista. Análisis matemático mediante sumas de series. La designación de esta constante con la letra griega π fue utilizada por primera vez por William Jones en 1706 y se hizo popular después del trabajo de Euler.
Ahora se sabe que esta constante es infinita y no periódica. decimal, es irracional, es decir, no se puede representar como una razón de dos números enteros. Utilizando cálculos por supercomputadora, en 2011 se descubrió el signo número 10 billones de la constante.
¡Esto es interesante! Se han inventado varias reglas mnemotécnicas para recordar los primeros dígitos del número π. Algunos te permiten almacenar en la memoria Número grande números, por ejemplo, uno poema francés te ayudará a recordar pi hasta el dígito 126.
Si necesitas la circunferencia, una calculadora en línea te ayudará con esto. Existen muchas calculadoras de este tipo; solo necesita ingresar el radio o el diámetro. Algunas tienen ambas opciones, otras calculan el resultado solo mediante R. Algunas calculadoras pueden calcular el valor deseado con diferente precisión, es necesario especificar el número de decimales. También puedes calcular el área de un círculo usando calculadoras en línea.
Estas calculadoras son fáciles de encontrar con cualquier motor de búsqueda. También hay aplicaciones móviles, que ayudará a resolver el problema de cómo encontrar la circunferencia de un círculo.
Video útil: circunferencia
Uso práctico
Resolver este problema suele ser necesario para ingenieros y arquitectos, pero en la vida cotidiana el conocimiento fórmulas necesarias También puede resultar útil. Por ejemplo, es necesario envolver una tira de papel alrededor de un pastel horneado en un molde con un diámetro de 20 cm. Entonces no será difícil encontrar la longitud de esta tira:
L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.
Otro ejemplo: es necesario construir una valla alrededor de una piscina redonda a cierta distancia. Si el radio de la piscina es de 10 m y la cerca debe colocarse a una distancia de 3 m, entonces R para el círculo resultante será de 13 m. Entonces su longitud es:
L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.
Video útil: círculo - radio, diámetro, circunferencia
Línea de fondo
El perímetro de un círculo se puede calcular fácilmente mediante fórmulas simples, incluido el diámetro o el radio. También puedes encontrar la cantidad deseada a través del área de un círculo. Calculadoras online o aplicaciones móviles en las que necesitas ingresar singular– diámetro o radio.
