Evaluar la precisión de cualquier medición significa determinar, a partir de los resultados obtenidos, características numéricas (cuantitativas) comparables que expresen el lado cualitativo de las mediciones en sí y las condiciones para su implementación. Características cuantitativas Las mediciones o criterios para evaluar la precisión de las mediciones se establecen mediante la teoría de la probabilidad y la teoría de los errores (en particular, mediante el método mínimos cuadrados). Según estas teorías, la precisión de los resultados de las mediciones se evalúa únicamente mediante errores aleatorios.
Los indicadores de precisión de la medición pueden servir como:
Error de medición cuadrático medio;
Error de medición relativo;
Error máximo de medición.
El concepto de error cuadrático medio fue introducido por Gauss y actualmente se acepta como la principal característica de la precisión de las mediciones en geodesia.
La raíz del error cuadrático medio es la media valor cuadrático de la suma de errores al cuadrado de mediciones individuales. Para calcularlo se utilizan errores de medición reales o desviaciones de los resultados de la medición de la media aritmética.
Denotaremos el verdadero valor de la cantidad medida por X, el resultado de la medición por l i.
Errores de medición verdaderos Δ i se denominan diferencias entre los resultados de la medición y los valores reales, es decir
En este caso, el error cuadrático medio m de un resultado individual se calcula mediante la fórmula:
donde n es el número de mediciones de igual precisión.
Sin embargo, en la mayoría de los casos de la práctica, salvo casos raros investigación especial, el verdadero valor de la cantidad medida y, por tanto, los verdaderos errores siguen siendo desconocidos. En estos casos, para encontrar el valor final de la cantidad medida y evaluar la precisión de los resultados de la medición, se utiliza el principio de la media aritmética.
Dejar l 1, l 2, .... l norte resultados norte mediciones de igual precisión de la misma cantidad. Entonces el cociente
se llama media aritmética de los valores medidos de esta cantidad.
La diferencia entre el resultado de cada medición individual y el valor medio aritmético se denomina desviación de los resultados de la medición de la media aritmética y se denota con la letra v:
v yo = yo i - .
Ejemplo. Se midió un ángulo separado en cuatro pasos y se obtuvieron los resultados:
yo 1= 74° 17"42"; yo 2= 74° 17"46"; yo 3= 74° 17"43"; 4= 74° 17"47".
Entonces el promedio valor aritmético el ángulo será = 74° 17 "44",5, y las desviaciones de los resultados de la medición de la media aritmética serán en consecuencia v 1= - 2",5; v 2= +1",5; v 3= - 1", 5 y v 4= +2",5.
Las desviaciones de los resultados de las mediciones con respecto a la media aritmética tienen dos propiedades importantes:
Para cualquier serie de mediciones de igual precisión suma algebraica las desviaciones son cero [ v] = 0;
Para cualquier serie de mediciones de igual precisión, la suma de las desviaciones al cuadrado es mínima, es decir, menor que la suma de las desviaciones al cuadrado de las mediciones individuales de cualquier otro valor tomado en lugar de la media aritmética, [ v 2] = mín.
La primera propiedad de las desviaciones sirve como control confiable para calcular la media aritmética a partir de los resultados de la medición. La segunda propiedad de las desviaciones se utiliza para evaluar la precisión de los resultados de las mediciones.
Si los errores de las mediciones individuales se calculan en relación con la media aritmética de los resultados de las mediciones, el error cuadrático medio del resultado individual se calcula mediante la fórmula
Ejemplo. Usando los datos del ejemplo anterior, encontraremos la raíz del error cuadrático medio al medir el ángulo en un solo paso:
Al determinar los errores de medición cuadráticos medios, debe guiarse por las siguientes reglas:
1) el error cuadrático medio de la suma o diferencia de los valores medidos es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los errores cuadráticos medios de los términos, es decir, para la expresión A = a + b - c + ...+ q el error cuadrático medio será igual a
para mediciones de igual precisión, cuando m a = m b = m c = ... = m q:
2) error cuadrático medio del producto del valor medido por numero constante es igual al producto del error cuadrático medio de este valor por el mismo número, es decir, para la expresión L = kl;
3) el error cuadrático medio de los resultados de mediciones de igual precisión es directamente proporcional al error cuadrático medio de una medición m e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de mediciones, es decir
o teniendo en cuenta la fórmula (12):
Ejemplos: 1. El ángulo β se obtuvo como la diferencia de dos direcciones determinadas con errores m 1 = ± 3" y m 2 = ± 4".
Por la primera regla encontramos .
2. El radio del círculo se mide con un error cuadrático medio m R = ±5 cm.
Usando la segunda regla, encontramos el error cuadrático medio de la circunferencia.
m 0 = 2πm R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 cm.
3. La raíz del error cuadrático medio al medir un ángulo en un paso es m = ± 8". ¿Cuál es la precisión de medir un ángulo en cuatro pasos?
Según la tercera regla
.
4. El ángulo β se mide en cinco pasos. En este caso, las desviaciones de la media aritmética fueron: - 2", + 3", - 4", +4" y -1". ¿Cuál es la exactitud del resultado final?
Según la tercera regla
Media aritmética de una serie de medidas.
A medida que n aumenta, el valor promedio
La fórmula de Gauss se puede derivar de los siguientes supuestos:
- los errores de medición pueden adquirir una serie continua de valores;
- en gran número observaciones de error mismo tamaño, Pero signo diferente ocurren con la misma frecuencia;
- probabilidad, es decir Frecuencia relativa La aparición de errores disminuye al aumentar la magnitud del error. En otras palabras, grandes errores son menos comunes que los pequeños.
La ley de distribución normal se describe mediante la siguiente función:
donde σ es el error cuadrático medio; σ2 – dispersión de la medición; Xist es el valor real de la cantidad medida.
El análisis de la fórmula (1.13) muestra que la función de distribución normal es simétrica con respecto a la línea recta X = X fuente y tiene un máximo en X = X fuente. Encontramos el valor de ordenadas de este máximo poniendo lado derecho ecuación (1.13) fuente X en lugar de X. Obtenemos
,
de donde se sigue que a medida que σ disminuye, y(X) aumenta. Área bajo la curva
debe permanecer constante e igual a 1, ya que la probabilidad de que el valor medido de X esté contenido en el intervalo de -∞ a +∞ es igual a 1 (esta propiedad se llama condición de normalización de probabilidad).
En la Fig. 1.1 muestra gráficas de tres funciones de distribución normal para tres valores de σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) y una fuente X. Distribución normal caracterizado por dos parámetros: valor medio variable aleatoria, que por infinito grandes cantidades mediciones (n → ∞) coincide con su valor real y varianza σ. El valor σ caracteriza la dispersión de errores en relación con el valor promedio tomado como verdadero. Para valores pequeños de σ las curvas se vuelven más pronunciadas y valores grandesΔХ son menos probables, es decir, la desviación de los resultados de la medición de significado verdadero los valores en este caso son menores.
Para estimar el valor error al azar Hay varias formas de medir. La estimación más común es utilizar el error cuadrático medio estándar o. A veces se utiliza el error de la media aritmética.
El error estándar (media cuadrática) del promedio en una serie de n mediciones está determinado por la fórmula:
Si el número de observaciones es muy grande, entonces el valor de Sn, sujeto a fluctuaciones aleatorias, tiende a un cierto valor constanteσ, que se denomina límite estadístico Sn:
Es este límite el que se llama error cuadrático medio. Como se señaló anteriormente, el cuadrado de esta cantidad se llama dispersión de medición, que se incluye en la fórmula de Gauss (1.13).
El valor de σ es grande. significado práctico. Dejemos como resultado de las mediciones de algunos cantidad física encontró la media aritmética<Х>y algún error ΔX. Si la cantidad medida está sujeta a un error aleatorio, entonces no se puede suponer incondicionalmente que el verdadero valor de la cantidad medida se encuentra en el intervalo (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) o (<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)). Siempre existe cierta probabilidad de que el valor real se encuentre fuera de este intervalo.
Un intervalo de confianza es un intervalo de valores (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) del valor X, en el que, por definición, cae el verdadero valor de la fuente X con una probabilidad dada.
La confiabilidad del resultado de una serie de mediciones es la probabilidad de que el valor real del valor medido se encuentre dentro de un intervalo de confianza determinado. Fiabilidad del resultado de la medición o probabilidad de confianza expresado en fracciones de una unidad o porcentaje.
Sea α la probabilidad de que el resultado de la medición difiera del valor real en una cantidad no mayor que ΔХ. Esto generalmente se escribe en la forma:
R((<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
La expresión (1.16) significa que con una probabilidad igual a α, el resultado de la medición no traspasa los límites intervalo de confianza de<Х>– ΔХ hasta<Х>+ ΔХ. Cuanto mayor sea el intervalo de confianza, es decir, cuanto mayor sea el error especificado del resultado de la medición ΔX, más fiablemente estará el valor deseado de X dentro de este intervalo. Naturalmente, el valor de α depende del número n de mediciones tomadas. y también sobre el error indicado ΔХ.
Por tanto, para caracterizar la magnitud del error aleatorio, es necesario establecer dos números, a saber:
- la magnitud del error en sí (o intervalo de confianza);
- el valor de la probabilidad de confianza (fiabilidad).
Indicar sólo la magnitud del error sin indicar la probabilidad de confianza correspondiente no tiene mucho sentido, ya que en este caso no sabemos qué tan confiables son nuestros datos. Conocer la probabilidad de confianza permite evaluar el grado de fiabilidad del resultado obtenido.
El grado requerido de confiabilidad está determinado por la naturaleza de los cambios que se realizan. El error cuadrático medio S n corresponde a una probabilidad de confianza de 0,68, el error cuadrático medio duplicado (2σ) corresponde a una probabilidad de confianza de 0,95 y el error triplicado (3σ) corresponde a 0,997.
Si se elige el intervalo (X – σ, X + σ) como intervalo de confianza, entonces podemos decir que de cien resultados de medición, 68 necesariamente estarán dentro de este intervalo (Fig. 1.2). Si durante una medición el error absoluto ∆Х > 3σ, entonces esta medición debe clasificarse como error grave o error. El valor 3σ se suele tomar como valor límite error absoluto medición separada (a veces en lugar de 3σ se toma el error absoluto del dispositivo de medición).
Para cualquier valor del intervalo de confianza, la probabilidad de confianza correspondiente se puede calcular utilizando la fórmula de Gauss. Estos cálculos se llevaron a cabo y sus resultados se resumen en la tabla. 1.1.
Probabilidades de confianza α para el intervalo de confianza, expresadas como fracciones del error cuadrático medio ε = ΔX/σ.
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INTERPOLACIÓN DE PROCESO ALEATORIO- problema de estimación de valores proceso aleatorio X(t) en un cierto intervalo a
Error medio y raíz del error cuadrático medio. Cuanto menores sean los valores de estos criterios, mayor será la confiabilidad del modelo de pronóstico.
El coeficiente de correlación lineal está determinado por la fórmula.
Error cuadrático medio (desviación estándar) para la estimación S e intervalo de confianza de la predicción
De hecho, el problema se reduce a estimar la elasticidad media durante un período de tiempo más o menos largo. Analicemos estimaciones de la elasticidad de precios específicos (elasticidad conjunta) en diferentes niveles, es decir estructura de especies, para grano elevador, grano en el intercambio y para harina. Las estimaciones obtenidas se resumen en la tabla. 14.5 junto con sus errores cuadráticos medios estándar: errores de estimación o límites de intervalos de confianza para indicadores de elasticidad.
Para comprobar la importancia de los coeficientes de correlación, calculamos los errores cuadráticos medios de los coeficientes de correlación r
El grado de cercanía de múltiples relaciones estadísticas y el error cuadrático medio del pronóstico (aproximación) de una variable en función de la totalidad de las demás. Intuitivamente y a partir del significado de las características del grado de cercanía de una conexión estadística discutidas anteriormente, está claro que cuanto más estrecha es esta conexión, más información contiene una variable en relación con otra, con mayor precisión se puede restaurar (predecir, aproximar). ) el valor desconocido de una variable a partir de un valor dado de otra.
Así, nuevamente (como en los párrafos B.5 y 1.1.1) llegamos a la función de regresión f (X) = E (m] = X), esta vez en función de p variables (1>, c (2) ,.., x(p) reproduce con mayor precisión (en el sentido del error cuadrático medio) el valor condicional del indicador resultante estudiado m] (X) para un valor dado X de variables explicativas.
El error cuadrático medio del pronóstico combinado es correspondientemente igual a
Si el término desviación estándar se usa para describir la dispersión de una variable, entonces el término error cuadrático medio se usa para describir un parámetro estadístico similar.
Es bien sabido que el algoritmo óptimo en términos del error cuadrático medio mínimo de estimación del estado (actual, pasado y futuro) de un sistema dinámico se denomina filtro de R. Kalman. Todos los demás algoritmos de estimación sólo pueden acercarse a la precisión de estimación proporcionada por el filtro de Kalman. La precisión de estimación potencialmente posible lograda por el filtro especificado se garantiza debido al hecho de que la estructura y los parámetros del algoritmo especificado están preajustados al retrato estadístico del sistema dinámico que se está estimando. Por eso es necesario realizar estudios estadísticos preliminares del mercado financiero para obtener un modelo matemático adecuado al mercado en forma de un sistema de ecuaciones diferenciales (en diferencias), y solo entonces ajustar el filtro de Kalman apropiado al resultado. modelo matemático del mercado financiero.
Por lo tanto, el uso de las fórmulas (1.13)-(1.16) conduce a una contradicción en la determinación del parámetro de suavizado a medida que disminuye y el error cuadrático medio disminuye, pero al mismo tiempo aumenta el error en las condiciones iniciales, lo que a su vez afecta la exactitud del pronóstico.
Este hecho permite utilizar las relaciones (1.81) para construir valores de pronóstico de la serie de tiempo analizada con 1 paso de tiempo por delante. La base teórica para este enfoque de pronóstico la proporciona el conocido resultado según el cual el mejor pronóstico lineal (en el sentido del error cuadrático medio) en el instante t con una ventaja de 1 es la expectativa matemática condicional del pronóstico aleatorio. variable xt+i, calculada bajo la condición de que todos los valores de xt hasta el momento t. Este resultado es un caso especial de la teoría general de la previsión (ver).
Para cualquier división de un polinomio completo de un grado dado en polinomios parciales, el criterio para el error cuadrático medio mínimo determinado en la secuencia de entrenamiento (el primer criterio) permite determinar de forma única las estimaciones óptimas de todos los coeficientes si el número de puntos en la secuencia de entrenamiento es mayor que el número de términos de cada uno de los polinomios parciales en al menos uno.
Para un grado dado de un polinomio completo, existen muchas opciones para dividirlo en polinomios parciales. Una búsqueda completa de todas las combinaciones según el criterio del error cuadrático medio, medido en una secuencia de datos de prueba separada, nos permite encontrar la única mejor separación.
En consecuencia, como en el caso de una dependencia pareada, la variación (dispersión aleatoria) del indicador resultante m] consiste en la variación de la función de regresión / (X) que controlamos (por el valor de la variable predictora X) y de la dispersión aleatoria de los valores r (X) que no está sujeta a nuestro control) (para un X fijo) en relación con la función de regresión / (X). Es esta dispersión incontrolada (caracterizada por el valor o (X)) la que determina simultáneamente tanto el error cuadrático medio del pronóstico (o aproximación) como el valor del indicador resultante r en función de los valores del predictor. variables X, y el grado de cercanía de la relación que existe entre el valor r, por un lado, y los valores
X. Theil propuso en este caso utilizar el error cuadrático medio estándar
Esta correlación no reduce mucho la incertidumbre. De hecho, el error cuadrático medio del pronóstico se reduce sólo en un 1%. Así, aunque se han encontrado algunos signos débiles de autocorrelación en el índice NASDAQ, en la práctica son de poca utilidad. Todas las demás correlaciones son aleatorias y estadísticamente insignificantes. Teniendo en cuenta cuántas correlaciones analizamos para encontrar solo una que fuera remotamente significativa desde el punto de vista estadístico, es muy probable que esta única correlación sea muy probablemente un resultado aleatorio, similar a obtener varias caras seguidas cuando se lanza una moneda.
