Método axiomático de construcción. Método clásico de mínimos cuadrados para el modelo de regresión múltiple

12.9. Método axiomático Para los antiguos griegos, los objetos de las matemáticas tenían una existencia real en el “mundo de las ideas”. Algunas propiedades de estos objetos parecían completamente innegables a la vista de la mente y fueron declaradas axiomas, otras, no obvias, deberían

un método para construir una teoría en el que se basa en ciertas disposiciones iniciales: axiomas o postulados, de los cuales todos los demás enunciados de esta teoría deben deducirse de una manera puramente lógica.

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método axiomático

del griego axioma - posición aceptada) - una forma de construir una teoría científica, que a priori acepta disposiciones como base, de las cuales se deducen lógicamente todas las demás afirmaciones de la teoría. La axiomatización completa de las teorías es imposible (K. Gödel, 1931).

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método axiomático

del griego axi?ma - posición aceptada) - un método para construir una teoría basada en posiciones iniciales aceptadas (o previamente probadas) (axiomas y postulados), de las cuales el resto del conocimiento se deriva lógicamente a través de evidencia. El método axiomático como aplicación de la deducción recibió una interpretación filosófica en las enseñanzas de R. Descartes. En un grado u otro, el método axiomático se utilizó en diversas ciencias: en filosofía (B. Spinoza), sociología (G. Vico), biología (J. Woodger), etc. Sin embargo, el área principal de su aplicación sigue siendo matemáticas y lógica simbólica, así como diversas áreas de la física (mecánica, termodinámica, electrodinámica, etc.).

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MÉTODO AXIOMATICO

un método para construir una teoría científica en el que se basa en ciertas disposiciones iniciales (axiomas) o postulados, de los cuales todas las demás afirmaciones de esta teoría deben deducirse de una manera puramente lógica mediante prueba. La construcción de la ciencia basada en el método axiomático suele denominarse deductiva. Este método comenzó a utilizarse al construir geometría en Antigua Grecia. Se implementa con mayor éxito para la organización. conocimiento matemático, donde un enorme peso en el conocimiento pertenece a la actividad constructiva y creativa de la mente. En las ciencias naturales, las ciencias sociales, las humanidades, la ingeniería y la tecnología, este método ocupa una posición subordinada en comparación con otros métodos cognitivos.

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MÉTODO AXIOMATICO

una forma de organizar el conocimiento científico (especialmente teórico), cuya esencia es distinguir entre todo el conjunto declaraciones verdaderas sobre un área temática determinada de dicho subconjunto (axiomas), de la cual se seguirían lógicamente todos los demás enunciados verdaderos (teoremas y enunciados verdaderos únicos). El ideal de la construcción axiomática del conocimiento científico, cuya implementación se inició con la construcción de la geometría en la antigua Grecia (siglos VII - IV a. C.), resultó ser el más adecuado para organizar sistemas de conocimiento matemático, a los que pertenece un enorme peso en el conocimiento. no sólo a la actividad empírico-abstracta de la razón, sino también a la actividad constructiva y creativa de la mente. En las ciencias naturales, las ciencias sociales, las humanidades y las ciencias de la ingeniería, el método axiomático de organización del conocimiento ocupa una posición subordinada en comparación con otras formas de organización cognitiva. (Ver prueba, deducción, teoría, método).

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MÉTODO AXIOMATICO

forma de construir ciencia teoría, en la que se basa en ciertas posiciones iniciales (juicios), axiomas o postulados, de los cuales todos los demás enunciados de esta ciencia (teoremas) deben deducirse lógicamente. por, a través de la prueba. Nombramiento de la mañana. Consiste en limitar la arbitrariedad en la adopción del conocimiento científico. juicios como verdades de una teoría dada. Construcción de la ciencia basada en A.M. generalmente se llama deductivo (ver Deducción). Todos los conceptos de una teoría deductiva (excepto un número fijo de iniciales) se introducen a través de definiciones que los expresan (o explican) a través de conceptos previamente introducidos. En un grado u otro, la evidencia deductiva, característica de A.M., se utiliza en plural. ciencias Pero a pesar de los intentos de sistemáticamente aplicación de A.m. en filosofía (Spinoza), sociología (Vico), economía política (Rodbertus-Yagezov), biología (Woodger) y otras ciencias, cap. región sus aplicaciones siguen siendo matemáticas y simbolismo. lógica, así como determinadas ramas de la física (mecánica, termodinámica, electrodinámica, etc.). Uno de los primeros ejemplos del uso de A.m. yavl. Elementos de Euclides (c. 300 a. C.). B.N.Makhutov

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MÉTODO AXIOMATICO

Un método de construcción de una teoría científica en el que algunas disposiciones de la teoría se eligen como iniciales y todas sus demás disposiciones se deducen de ellas de forma puramente lógica, a través de evidencia. Los enunciados demostrados sobre la base de axiomas se llaman teoremas.

A. m. es una forma especial de definir objetos y relaciones entre ellos (ver: Definición axiomática). La AM se utiliza en matemáticas, lógica, así como en determinadas ramas de la física, la biología, etc.

A. m. se originó en la antigüedad y adquirió gran fama gracias a los Elementos de Euclides, que aparecieron alrededor del año 330 - 320. antes de Cristo mi. Euclides, sin embargo, no logró describir en sus “axiomas y postulados” todas las propiedades de los objetos geométricos que realmente utilizó; su testimonio estuvo acompañado de numerosos dibujos. Los supuestos "ocultos" de la geometría de Euclides se revelaron sólo en tiempos modernos D. Gilbert (1862-1943), quien consideró la teoría axiomática como una teoría formal que establece relaciones entre sus elementos (signos) y describe cualquier conjunto de objetos que la satisfagan. Hoy en día, las teorías axiomáticas suelen formularse como sistemas formalizados que contienen una descripción exacta. medios lógicos derivación de teoremas a partir de axiomas. Una prueba en tal teoría es una secuencia de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o se obtiene de fórmulas anteriores en la secuencia de acuerdo con una de las reglas de inferencia aceptadas.

Un sistema formal axiomático está sujeto a requisitos de coherencia, integridad, independencia del sistema de axiomas, etc.

SOY. es sólo uno de los métodos de construcción del conocimiento científico. Es de uso limitado porque requiere nivel alto desarrollo de una teoría sustantiva axiomatizable.

Como se muestra matemático famoso y el lógico K. Gödel, bastante rico teorías científicas(por ejemplo, la aritmética de los números naturales) no permiten una axiomatización completa. Esto muestra las limitaciones de A.M. y la imposibilidad de una formalización completa del conocimiento científico (ver: teorema de Gödel).

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MÉTODO AXIOMATICO

forma de construir ciencia teoría, en la que se basa en ciertas posiciones iniciales (juicios), axiomas o postulados, de los cuales todas las demás afirmaciones de esta teoría deben deducirse de forma puramente lógica. por, a través de evidencia. Se suele llamar a la construcción de la ciencia sobre la base de la AM. deductivo (ver Deducción). Todos los conceptos de una teoría deductiva (excepto un número fijo de iniciales) se introducen mediante definiciones que los expresan a través de conceptos previamente introducidos. En un grado u otro, la evidencia deductiva, característica de AM, se utiliza en plural. ciencias, sin embargo cap. su área de aplicación son las matemáticas, la lógica, así como determinadas ramas de la física.

La idea de AM se expresó por primera vez en relación con la construcción de la geometría por el Dr. Grecia (Pitágoras, Platón, Aristóteles, Euclides). Para moderno La etapa de desarrollo de la AM se caracteriza por el concepto de AM formal propuesto por Hilbert, que plantea la tarea de describir con precisión lo lógico. Medios para derivar teoremas a partir de axiomas. Básico La idea de Hilbert es una formalización completa del lenguaje de la ciencia, en el que sus juicios se consideran como secuencias de signos (fórmulas) que adquieren significado sólo con una determinada interpretación específica. Para derivar teoremas a partir de axiomas (y en general unas fórmulas a partir de otras), se formulan fórmulas especiales. reglas de inferencia. Una prueba en tal teoría (cálculo o sistema formal) es una determinada secuencia de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o se obtiene de las fórmulas anteriores de la secuencia de acuerdo con ciertos criterios. regla de inferencia. A diferencia de tales demostraciones formales, se estudian las propiedades del sistema formal en su conjunto. mediante la metateoría. Básico requisitos para axiomática sistemas formales: coherencia, integridad, independencia de los axiomas. El programa de Hilbert, que suponía la posibilidad de demostrar la coherencia y la integridad de todo el clásico. Las matemáticas, en general, resultaron imposibles. En 1931, Gödel demostró la imposibilidad de una axiomatización completa de una ciencia suficientemente desarrollada. teorías (por ejemplo, la aritmética de los números naturales), que indicaron las limitaciones de A. m. Los principios de la AM fueron criticados por los partidarios del intuicionismo y la dirección constructiva. Véase también Formalismo en matemáticas y lógica, Teoría.

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MÉTODO AXIOMATICO

uno de los métodos de construcción deductiva de teorías científicas, en el que: 1) un determinado conjunto de proposiciones de una determinada teoría (axiomas) se aceptan sin prueba; 2) los conceptos incluidos en ellos no están claramente definidos en el marco de esta teoría; 3) las reglas de definición y reglas de inferencia de una teoría dada son fijas, lo que permite introducir nuevos términos (conceptos) en la teoría y derivar lógicamente algunas proposiciones de otras; 4) todas las demás proposiciones de esta teoría (teorema) se derivan de (1) sobre la base de (3). Las primeras ideas sobre A. m. Grecia (Eleática, Platón. Aristóteles, Euclides). Posteriormente, se intentó proporcionar una presentación axiomática de varias secciones de la filosofía y la ciencia (Spinoza, Newton, etc.). Estos estudios se caracterizaron por una construcción axiomática significativa de una determinada teoría (y solo una), mientras que se prestó la atención principal. a la definición y selección de axiomas intuitivamente obvios a partir de la segunda mitad. En el siglo XIX, en relación con el desarrollo intensivo de los problemas de fundamentación de las matemáticas y la lógica matemática, la teoría axiomática comenzó a considerarse formal (y desde el siglo XX). -Años 30 del siglo XX - como un sistema formalizado), estableciendo relaciones entre sus elementos (signos) y describiendo cualquier conjunto de objetos que lo satisfagan. Al mismo tiempo, el principal Se empezó a prestar atención a establecer la coherencia del sistema, su integridad, la independencia del sistema de axiomas, etc. Debido a que sistemas de signos Se pueden considerar independientemente del contenido que se pueda presentar en ellos, o teniendo en cuenta esto, se distinguen los sistemas axiomáticos sintácticos y semánticos (solo estos últimos representan el conocimiento científico en sí). requisitos que se les imponen, en dos términos, sintáctico y semántico (consistencia sintáctica y semántica, integridad, independencia de los axiomas, etc.). El análisis de los sistemas axiomáticos formalizados condujo al establecimiento de sus limitaciones fundamentales, la principal de las cuales es la imposibilidad de una completa Axiomatización de sistemas suficientemente desarrollados probados por las teorías científicas de Gödel (por ejemplo, la aritmética de los números naturales), lo que implica la imposibilidad de una formalización completa del conocimiento científico. La axiomatización es sólo uno de los métodos para construir el conocimiento científico, pero su uso como medio. descubrimiento científico muy limitado. La axiomatización generalmente se lleva a cabo después de que la teoría ya ha sido suficientemente construida en su contenido y sirve para una representación más precisa, en particular, para derivar estrictamente todas las consecuencias de las premisas aceptadas en los últimos 30 a 40 años. gran atención se dedica a la axiomatización no sólo de las disciplinas matemáticas, sino también de determinadas secciones de la física, la biología, la psicología, la economía, la lingüística, etc., incluidas las teorías de la estructura y dinámica del conocimiento científico. En el estudio de las ciencias naturales (en general, cualquier conocimiento no matemático), los métodos matemáticos aparecen en forma de método hipotético-deductivo (ver también Formalización)

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MÉTODO AXIOMATICO

Griego axioma - posición significativa y aceptada) - un método para construir una teoría en el que se seleccionan algunos enunciados verdaderos como posiciones iniciales (axiomas), a partir de los cuales los enunciados verdaderos restantes (teoremas) de esta teoría se deducen y prueban lógicamente. Importancia científica de A.M. fue justificado por Aristóteles, quien fue el primero en dividir todo el conjunto de enunciados verdaderos en los básicos ("principios") y los que requieren prueba ("demostrables"). En su desarrollo A.M. pasó por tres etapas. En la primera etapa A.M. era significativo, los axiomas se aceptaban sobre la base de su obviedad. Un ejemplo de tal construcción de teoría deductiva son los Elementos de Euclides. En la segunda etapa, D. Hilbert introdujo un criterio formal para la aplicación de A.M. - el requisito de coherencia, independencia e integridad del sistema de axiomas. En la tercera etapa A.M. se formaliza. En consecuencia, el concepto de "axioma" ha cambiado. Si en la primera etapa de desarrollo de A.M. se entendió no solo como el punto de partida de la evidencia, sino también como una posición verdadera que no necesita prueba por su obviedad, luego en la actualidad el axioma se fundamenta como un elemento necesario de la teoría, cuando se considera la confirmación de esta última. al mismo tiempo que la confirmación de sus fundamentos axiomáticos como punto de partida de la construcción. Además de las declaraciones principales e introductorias de A.M. el nivel también empezó a destacar reglas especiales producción. Así, junto con los axiomas y teoremas como un conjunto de todos declaraciones verdaderas Esta teoría formula axiomas y teoremas para las reglas de inferencia: metaaxiomas y metateoremas. En 1931, K. Gödel demostró un teorema sobre la incompletitud fundamental de cualquier sistema formal, porque contiene proposiciones indecidibles que son a la vez indemostrables e irrefutables. Teniendo en cuenta las limitaciones que le imponen, la MA se considera uno de los principales métodos para construir una teoría formalizada (y no sólo sustantiva) desarrollada, junto con el método hipotético-deductivo (que a veces se interpreta como “semiaxiomático”). y el método de hipótesis matemáticas. El método hipotético-deductivo, a diferencia de A.M., implica la construcción de una jerarquía de hipótesis, en la que las hipótesis más débiles se derivan de las más fuertes en el marco de un único sistema deductivo, donde la fuerza de la hipótesis aumenta con la distancia de lo empírico. base de la ciencia. Esto nos permite debilitar el poder de las restricciones de A.M.: superar el carácter cerrado del sistema axiomático debido a la posibilidad de introducir hipótesis adicionales que no están estrictamente vinculadas a las disposiciones iniciales de la teoría; ingresar objetos abstractos niveles diferentes organización de la realidad, es decir eliminar la restricción a la validez de la axiomática “en todos los mundos”; eliminar el requisito de igualdad de axiomas. Por otro lado, A.M., a diferencia del método de hipótesis matemáticas, que se centra en las propias reglas de construcción. hipótesis matemáticas, relacionado con fenómenos no estudiados, le permite apelar a ciertos significativos áreas temáticas.

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MÉTODO AXIOMATICO

un método para construir teorías, según el cual se permite utilizar en las pruebas únicamente axiomas y enunciados previamente derivados de ellos. Las razones para utilizar el método axiomático pueden ser diferentes, lo que generalmente lleva a distinguir los axiomas no solo según sus formulaciones, sino también según su estatus metodológico (pragmático). Por ejemplo, un axioma puede tener el estatus de una afirmación, o el estatus de una suposición, o el estatus de una convención lingüística sobre el uso deseado de los términos. A veces, esta diferencia de estatus se refleja en los nombres de los axiomas (en los axiomas modernos de las teorías empíricas, entre todos los axiomas, a menudo se distinguen postulados de significado que expresan convenciones lingüísticas, y los antiguos griegos dividieron los axiomas geométricos en conceptos generales y postulados, creyendo que los primeros describen, los segundos construyen). En términos generales, tener en cuenta los estados de los axiomas es obligatorio, ya que es posible, por ejemplo, cambiar el contenido de una teoría axiomática sin cambiar ni la formulación ni la semántica de los axiomas, sino sólo cambiar su estado, declarando, digamos, uno de ellos un nuevo postulado de significado. El método axiomático fue demostrado por primera vez por Euclides en sus Elementos, aunque los conceptos de axioma, postulado y definición ya fueron considerados por Aristóteles. En particular, la interpretación de los axiomas como necesaria se remonta a él. principios comunes prueba. La comprensión de los axiomas como verdades evidentes se desarrolló más tarde y se volvió fundamental con el advenimiento de la lógica escolar de Port-Royal, para cuyos autores evidencia significa la capacidad especial del alma para comprender ciertas verdades directamente (en pura contemplación o intuición). ). Por cierto, la creencia de Kant en el carácter sintético a priori de la geometría de Euclides depende de esta tradición de no considerar los axiomas como convenciones o suposiciones lingüísticas. Descubrimiento de la geometría no euclidiana (Gauss, Lobachevsky, Bolyai); la aparición en álgebra abstracta de nuevos sistemas numéricos y de familias enteras de ellos a la vez (por ejemplo, números /-ádicos); el surgimiento de estructuras variables como grupos; finalmente, una discusión sobre preguntas como "¿qué geometría es verdadera?" - todo esto contribuyó a la conciencia de dos nuevos estados de los axiomas, en comparación con los antiguos: los axiomas como descripciones (clases de posibles universos de razonamiento) y los axiomas como suposiciones, en lugar de declaraciones evidentes. Así se formaron las bases comprensión moderna método axiomático. Este desarrollo del método axiomático se vuelve especialmente claro cuando se comparan los “Principios” de Euclides con los “Fundamentos de la geometría” de D. Hilbert, una nueva axiomática de la geometría basada en los más altos logros de las matemáticas del siglo XIX. A finales del mismo siglo, J. Peano presentó la axiomática de los números naturales. Además, el método axiomático se utilizó para salvar la teoría de conjuntos después de encontrar paradojas. Al mismo tiempo, el método axiomático se generalizó a la lógica. Hilbert formuló los axiomas y reglas de inferencia de la lógica proposicional clásica y P. Bernays formuló la lógica de los predicados. Hoy en día, la tarea axiomática es una forma estándar de definir nuevas lógicas y nuevos conceptos algebraicos. En las últimas décadas, a medida que se desarrollaron los modelos teóricos, el método axiomático casi necesariamente se ha complementado con el método teórico de modelos.

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método axiomático

MÉTODO AXIOMATICO (del griego axioma) - una posición aceptada - un método para construir una teoría científica, en el que solo se utilizan en las pruebas axiomas, postulados y declaraciones derivadas previamente de ellos. Euclides lo demostró claramente por primera vez en sus Elementos, aunque Aristóteles ya mencionó los conceptos de axioma y postulado. Entre los antiguos griegos, un axioma era una proposición claramente formulada que era tan evidente que no se demostraba y se utilizaba como base para otras pruebas. Un postulado es una afirmación sobre la posibilidad de realizar alguna construcción. Por lo tanto, “El todo es mayor que la parte” es un axioma, y ​​“Desde un punto dado con un radio dado se puede describir un círculo” es un postulado. Posteriormente, el concepto de axioma absorbió el concepto de postulado, ya que los conceptos de descriptivo y constructivo no se realizaron (un axioma describe, un postulado construye). Casi todos los axiomas de la geometría helénica se formularon con tanta claridad y éxito que no suscitaron dudas. Sin embargo, una de las disposiciones de Euclides, a saber, el quinto postulado, equivalente a la afirmación “A través de un punto que se encuentra fuera de una línea, se puede trazar una línea paralela a la dada, y sólo una”, estuvo en duda desde el principio. Además, antes de Euclides, los helenos exploraron las tres hipótesis posibles: 1) es imposible trazar una sola línea paralela, 2) es posible dibujar más de una y 3) es posible dibujar solo una línea paralela; pero Euclides eligió deliberadamente una formulación, ya que sólo en este caso existían el cuadrado y el concepto de semejanza de figuras. Posteriormente, se olvidó la presencia de alternativas y se intentó repetidamente probar el quinto postulado. Hasta el siglo XVII. A. m. se desarrolló poco. Euclides y Arquímedes formularon los axiomas de la estática y la óptica y, más tarde, en relación con la tendencia general hacia el comentario y la canonización, la investigación tradujo o, en el mejor de los casos, analizó los antiguos sistemas de axiomas. No es sorprendente que las nuevas matemáticas comenzaran con el rechazo de la AM y que el análisis de los infinitesimales se desarrollara como una teoría no formalizada. Se entendió lo dudoso del axioma “El todo es menor que la parte”, ya que Nicolás de Cusa y después Galileo demostraron que para agregados infinitos el todo puede ser isomorfo a la parte. Pero este descubrimiento fue subestimado porque concordaba demasiado con la religión cristiana (con los conceptos de las diversas hipóstasis del Dios infinito). Además, el fracaso de Spinoza en sus intentos de derivar un sistema de ética y metafísica utilizando un método geométrico y puramente racional mostró la inaplicabilidad de la MA existente a los conceptos humanitarios. Volver a A. m. sucedió en el siglo XIX. Se basó en dos descubrimientos: la geometría no euclidiana (redescubriendo lo que se sabía antes de Euclides, pero luego olvidado por completo) y el álgebra abstracta. En geometría no euclidiana (Gauss, Lobachevsky, Bolyai) se demostró que una de las negaciones del quinto postulado -a saber, que a través de un punto situado fuera de una línea se pueden trazar dos líneas rectas paralelas a la dada- es compatible con los demás axiomas de la geometría. Así, esos axiomas y postulados que fueron creados para describir el espacio “único verdadero” en realidad describen toda una clase de espacios diferentes. En álgebra abstracta, aparecieron nuevos sistemas numéricos, incluidas familias enteras de ellos (por ejemplo, números p-ádicos) y estructuras variables como grupos. Era natural describir las propiedades de las estructuras variables mediante axiomas, pero ahora nadie insistía en su evidencia, sino que las consideraba simplemente como una forma de describir una clase de objetos matemáticos. Por ejemplo, un semigrupo está determinado por un solo axioma: la asociatividad de la multiplicación: a° (b o c) = (a o b) oh CON. En la propia geometría, ha llegado el momento de repensar críticamente los axiomas clásicos. E. Pash demostró que Euclides no vio otro postulado, tan intuitivamente obvio como los descritos por él: "Si una línea recta cruza uno de los lados de un triángulo, también cruzará al otro". Se demostró además que uno de los criterios para la igualdad de los triángulos debe aceptarse como axioma, de lo contrario se pierde el rigor de las demostraciones, ya que de los demás axiomas no se sigue la posibilidad de figuras en movimiento. El axioma "El todo es menor que la parte" fue descartado por carecer de sentido desde el punto de vista de las nuevas matemáticas y fue reemplazado por varias disposiciones sobre la relación entre las medidas de las figuras. Y finalmente, D. Hilbert formuló una nueva axiomática de la geometría, basada en los mayores logros de las matemáticas del siglo XIX. En la época helénica y posteriormente, el concepto de número no se describió de forma axiomática. Sólo a finales del siglo XIX. G. Peano (Italia) presentó la axiomática de los números naturales. Cada una de las axiomáticas de Peano y Hilbert contiene un principio de orden superior, que no habla de conceptos fijos, sino de conceptos arbitrarios o agregados. Por ejemplo, en aritmética, este es el principio de inducción matemática. Sin principios de orden superior, es imposible una descripción inequívoca de las estructuras matemáticas estándar. A.M. fue utilizado para el rescate. teoría de conjuntos después de encontrar relación con ella paradojas. El rescate en sí no se llevó a cabo de la mejor manera: parcheando paradigmas. Aquellos principios de la teoría de conjuntos que parecían no conducir a paradojas y proporcionaban las construcciones necesarias para las matemáticas fueron aceptados como axiomas. Pero al mismo tiempo, la AM se generalizó a la lógica. D. Hilbert formuló explícitamente los axiomas y reglas de inferencia del clásico Lógica proposicional, y P. Bernays- lógica de predicados. Hoy en día, la tarea axiomática es una forma estándar de definir nuevas lógicas y nuevos conceptos algebraicos. Los métodos matemáticos modernos se diferencian de los tradicionales en que no sólo se especifican explícitamente los axiomas, sino también el lenguaje y, en lógica, también las reglas de inferencia de la teoría o sistema que se describe. La AM revisada y fortalecida se convirtió en un arma poderosa en áreas de conocimiento tan nuevas como Ciencia cognitiva y lingüística matemática. Le permite reducir los problemas semánticos al nivel sintáctico y así ayudar a resolverlos. En las últimas décadas, a medida que se desarrolló la teoría de modelos, la AM necesariamente se ha complementado con métodos teóricos de modelos. Al formular un sistema axiomático, es necesario describir la totalidad de sus modelos. La justificación mínima necesaria para un sistema de axiomas es su exactitud e integridad para una clase determinada de modelos. Pero para las aplicaciones, tal justificación formal no es suficiente: también es necesario mostrar el significado significativo del sistema construido y sus capacidades expresivas. La principal limitación matemática de las matemáticas es que la lógica de orden superior no es formalizable e incompleta, y sin ella es imposible describir estructuras matemáticas estándar. Por tanto, en aquellas áreas donde existen estimaciones numéricas específicas, la AM no se puede aplicar a un lenguaje matemático completo. En tales áreas sólo es posible una axiomatización incompleta e inconsistente, la llamada parcial o significativa. La no formalización de los conceptos en sí misma, curiosamente, no impide la aplicación de MA a estos conceptos. Aun así, cuando se trabaja en un entorno fijo, tiene sentido pasar a modelos formales mucho más eficaces. En este caso, una característica positiva de los formalismos puede ser a menudo su inconsistencia con la situación real. Los formalismos no pueden corresponder completamente al contenido de los conceptos, pero si estas inconsistencias están ocultas, entonces los formalismos a menudo continúan usándose incluso después de que la situación ha dejado de ser adecuada para su uso, e incluso en una situación que no era adecuada para su uso desde el principio. Existen peligros similares para la formalización parcial. Soy n. Nepeyvoda

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(Axioma griego - posición significativa y aceptada) - una forma de construir una teoría en la que se seleccionan algunos enunciados verdaderos...

(Axioma griego - posición aceptada significativa): un método para construir una teoría en el que se seleccionan algunos enunciados verdaderos como posiciones iniciales (axiomas), a partir de los cuales luego se deducen y prueban lógicamente los enunciados verdaderos restantes (teoremas) de esta teoría. Importancia científica de A.M. Fue justificado por Aristóteles, quien fue el primero en dividir todo el conjunto de enunciados verdaderos en básicos (“principios”) y aquellos que requieren prueba (“demostrables”). En su desarrollo A.M. pasó por tres etapas. En la primera etapa A.M. era significativo, los axiomas se aceptaban sobre la base de su obviedad. Un ejemplo de tal construcción deductiva de una teoría son los "Elementos" de Euclides. En la segunda etapa, D. Hilbert introdujo un criterio formal para la aplicación de A.M. - el requisito de coherencia, independencia e integridad del sistema de axiomas. En la tercera etapa A.M. se formaliza. En consecuencia, el concepto de "axioma" ha cambiado. Si en la primera etapa de desarrollo de A.M. se entendió no solo como el punto de partida de la evidencia, sino también como una posición verdadera que no necesita prueba por su obviedad, luego en la actualidad el axioma se fundamenta como un elemento necesario de la teoría, cuando se considera la confirmación de esta última. al mismo tiempo que la confirmación de sus fundamentos axiomáticos como punto de partida de la construcción. Además de las declaraciones principales e introductorias de A.M. También empezó a destacarse el nivel de reglas de inferencia especiales. Así, junto con los axiomas y teoremas, como conjunto de todos los enunciados verdaderos de una teoría determinada, se formulan axiomas y teoremas para las reglas de inferencia: metaaxiomas y metateoremas. En 1931, K. Gödel demostró un teorema sobre la incompletitud fundamental de cualquier sistema formal, porque contiene proposiciones indecidibles que son a la vez indemostrables e irrefutables. Teniendo en cuenta las limitaciones que le imponen, la MA se considera uno de los principales métodos para construir una teoría formalizada (y no sólo sustantiva) desarrollada, junto con el método hipotético-deductivo (que a veces se interpreta como “semiaxiomático”). y el método de hipótesis matemáticas. El método hipotético-deductivo, a diferencia de A.M., implica la construcción de una jerarquía de hipótesis, en la que las hipótesis más débiles se derivan de las más fuertes en el marco de un único sistema deductivo, donde la fuerza de la hipótesis aumenta con la distancia de lo empírico. base de la ciencia. Esto nos permite debilitar el poder de las restricciones de A.M.: superar el carácter cerrado del sistema axiomático debido a la posibilidad de introducir hipótesis adicionales que no están estrictamente vinculadas a las disposiciones iniciales de la teoría; introducir objetos abstractos de diferentes niveles de organización de la realidad, es decir, eliminar la restricción a la validez de la axiomática “en todos los mundos”; eliminar el requisito de igualdad de axiomas. Por otro lado, A.M., a diferencia del método de hipótesis matemáticas, que se centra en las reglas mismas para construir hipótesis matemáticas relacionadas con fenómenos no estudiados, permite apelar a ciertas áreas temáticas de contenido.

VL Abushenko

Método axiomático

Una de las formas de construir deductivamente teorías científicas, en la que: 1) se selecciona un determinado conjunto de teorías aceptadas sin...

Uno de los métodos de construcción deductiva de teorías científicas, en el que: 1) se acepta sin prueba un determinado conjunto de proposiciones de una determinada teoría (axiomas); 2) los conceptos incluidos en ellos no están claramente definidos en el marco de esta teoría; 3) las reglas de definición y reglas de inferencia de una teoría dada son fijas, lo que permite introducir nuevos términos (conceptos) en la teoría y derivar lógicamente algunas proposiciones de otras; 4) todas las demás proposiciones de esta teoría (teorema) se derivan de (1) sobre la base de (3). Las primeras ideas sobre A. m. Grecia (Eleática, Platón. Aristóteles, Euclides). Posteriormente, se intentó proporcionar una presentación axiomática de varias secciones de la filosofía y la ciencia (Spinoza, Newton, etc.). Estos estudios se caracterizaron por una construcción axiomática significativa de una determinada teoría (y solo una), mientras que se prestó la atención principal. a la definición y selección de axiomas intuitivamente obvios a partir de la segunda mitad. En el siglo XIX, en relación con el desarrollo intensivo de los problemas de fundamentación de las matemáticas y la lógica matemática, la teoría axiomática comenzó a considerarse formal (y desde el siglo XX). -Años 30 del siglo XX - como un sistema formalizado), estableciendo relaciones entre sus elementos (signos) y describiendo cualquier conjunto de objetos que lo satisfagan. Al mismo tiempo, el principal Se empezó a prestar atención a establecer la coherencia del sistema, su integridad, la independencia del sistema de axiomas, etc. Debido a que los sistemas de signos pueden considerarse independientemente del contenido que se pueda representar en ellos, o tomando Si se tiene en cuenta, se distinguen los sistemas axiomáticos sintácticos y semánticos (sólo estos últimos representan el conocimiento científico en sí). Esta distinción requirió la formulación de lo básico. requisitos para ellos, en dos niveles, sintáctico y semántico (consistencia sintáctica y semántica, integridad, independencia de los axiomas, etc.) El análisis de los sistemas axiomáticos formalizados condujo al establecimiento de sus limitaciones fundamentales, la principal de las cuales es la imposibilidad de una axiomatización completa. de sistemas suficientemente desarrollados probados por las teorías científicas de Gödel (por ejemplo, la aritmética de los números naturales), lo que implica la imposibilidad de una formalización completa del conocimiento científico. La axiomatización es sólo uno de los métodos de construcción del conocimiento científico, pero su uso como medio de conocimiento científico. El descubrimiento es muy limitado. La axiomatización suele llevarse a cabo después de que la teoría ya está suficientemente estructurada en su contenido y sirve para una representación más precisa, en particular para derivar estrictamente todas las consecuencias de las premisas aceptadas en los últimos 30-40 años. Se ha prestado atención a la axiomatización no sólo de las disciplinas matemáticas, sino también de determinadas secciones de la física, la biología, la psicología, la economía, la lingüística, etc., incluidas las teorías de la estructura y dinámica del conocimiento científico. En el estudio de las ciencias naturales (en general, cualquier conocimiento no matemático), los métodos matemáticos aparecen en forma de método hipotético-deductivo (ver también Formalización)

Método axiomático

Un método de construcción de una teoría en el que se basa en ciertas disposiciones iniciales: axiomas o postulados...

Un método para construir una teoría en el que se basa en ciertas disposiciones iniciales: axiomas o postulados, de los cuales todos los demás enunciados de esta teoría deben deducirse de una manera puramente lógica.

Método axiomático

Un método de construcción de una teoría científica en el que algunas disposiciones de la teoría se eligen como iniciales, y todo lo demás...

Un método de construcción de una teoría científica en el que algunas disposiciones de la teoría se eligen como iniciales y todas sus demás disposiciones se deducen de ellas de forma puramente lógica, a través de evidencia. Los enunciados demostrados sobre la base de axiomas se llaman teoremas.

A. m. es una forma especial de definir objetos y relaciones entre ellos (ver: Definición axiomática). A. m. se utiliza en matemáticas, lógica, así como en ciertas ramas de la física, la biología, etc. A. m. se originó en la antigüedad y ganó gran fama gracias a los "Elementos" de Euclides, que aparecieron alrededor del año 330-320. antes de Cristo mi. Euclides, sin embargo, no logró describir en sus “axiomas y postulados” todas las propiedades de los objetos geométricos que realmente utilizó; su testimonio estuvo acompañado de numerosos dibujos. Los supuestos "ocultos" de la geometría de Euclides fueron revelados sólo en los tiempos modernos por D. Hilbert (1862-1943), quien consideró la teoría axiomática como una teoría formal que establece relaciones entre sus elementos (signos) y describe cualquier conjunto de objetos que la satisfagan. . Hoy en día, las teorías axiomáticas suelen formularse como sistemas formalizados que contienen una descripción precisa de los medios lógicos para derivar teoremas a partir de axiomas. Una prueba en tal teoría es una secuencia de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o se obtiene de fórmulas anteriores en la secuencia de acuerdo con una de las reglas de inferencia aceptadas.

Un sistema formal axiomático está sujeto a requisitos de coherencia, integridad, independencia del sistema de axiomas, etc.

SOY. es sólo uno de los métodos de construcción del conocimiento científico. Tiene una aplicación limitada, ya que requiere un alto nivel de desarrollo de una teoría sustantiva axiomatizada.

Como demostró el famoso matemático y lógico K. Gödel, las teorías científicas bastante ricas (por ejemplo, la aritmética de los números naturales) no permiten una axiomatización completa. Esto muestra las limitaciones de A.M. y la imposibilidad de una formalización completa del conocimiento científico (ver: teorema de Gödel).