Un mensaje sobre el sistema cartesiano. Sistema de coordenadas rectangulares en el plano y en el espacio.

En un espacio en el que la posición de un punto se puede definir como su proyección sobre líneas fijas que se cruzan en un solo punto, llamado origen. Estas proyecciones se llaman coordenadas de puntos y las líneas rectas se llaman ejes de coordenadas.

EN caso general en la superficie sistema cartesiano coordenadas ( sistema afín coordenadas) está dada por el punto O (origen de las coordenadas) y un par ordenado de vectores e 1 y e 2 (vectores base) adjuntos que no se encuentran en la misma línea. Las líneas rectas que pasan por el origen en la dirección de los vectores base se denominan ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesiano determinado. El primero, determinado por el vector e 1, se llama eje de abscisas (o eje Ox), el segundo es eje de ordenadas (o eje Oy). El sistema de coordenadas cartesiano en sí se denomina Oe 1 e 2 u Oxy. Las coordenadas cartesianas del punto M (Figura 1) en el sistema de coordenadas cartesianas Oe 1 e 2 se denominan un par ordenado de números (x, y), que son los coeficientes de expansión del vector OM a lo largo de la base (e 1, e 2), es decir, x e y son tales que OM = xe 1 + ue 2. Número x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Si se introducen en el plano dos sistemas de coordenadas cartesianas Oe 1 e' 2 y 0'e' 1 e' 2 de manera que los vectores base (e' 1, e' 2) se expresen mediante los vectores base (e 1, e 2) por las fórmulas

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

y el punto O' tiene coordenadas (x 0, y 0) en el sistema de coordenadas cartesiano Oe 1 e 2, entonces las coordenadas (x, y) del punto M en el sistema de coordenadas cartesiano Oe 1 e2 y las coordenadas (x' , y') del mismo punto en el sistema de coordenadas cartesiano O'e 1 e' 2 están relacionados por las relaciones

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Un sistema de coordenadas cartesiano se llama rectangular si la base (e 1, e 2) es ortonormal, es decir, los vectores e 1 y e 2 son mutuamente perpendiculares y tienen longitudes. igual a uno(Los vectores e 1 y e 2 se denominan vectores en este caso). En un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, las coordenadas xey del punto M son cantidades proyecciones ortogonales puntos M en los ejes Ox y Oy, respectivamente. En el sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy, la distancia entre los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) es igual a √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1 ) 2

Las fórmulas para la transición de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy a otro sistema de coordenadas cartesiano rectangular O'x'y', cuyo comienzo O' del sistema de coordenadas cartesiano Oxy es O'(x0, y0), tienen la forma

x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

En el primer caso, el sistema O'x'y' se forma rotando los vectores base e 1; e 2 por el ángulo α y posterior traslado del origen de coordenadas O al punto O’ (Figura 2),

y en el segundo caso, girando los vectores base e 1, e 2 en un ángulo α, reflexionando posteriormente el eje que contiene el vector e 2 con respecto a la línea recta que lleva el vector e 1 y transfiriendo el origen O al punto O ' (Figura 3).

En ocasiones se utilizan sistemas de coordenadas cartesianas oblicuas, que se diferencian del rectangular en que el ángulo entre los vectores de base unitaria no es correcto.

El sistema de coordenadas cartesiano general (sistema de coordenadas afines) en el espacio se define de manera similar: se especifica un punto O: el origen de las coordenadas y un triple ordenado de vectores е 1 , е 2 , е 3 (vectores base) adjuntos a él y que no se encuentran en el mismo plano. Como en el caso de un plano, se determinan los ejes de coordenadas: el eje de abscisas (eje Ox), el eje de ordenadas (eje Oy) y el eje de aplicación (eje Oz) (Figura 4).

El sistema de coordenadas cartesiano en el espacio se denomina Oe 1 e 2 e 3 (u Oxyz). Los planos que pasan por pares de ejes coordenados se llaman planos coordinados. Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio se llama derecho si la rotación desde el eje Ox al eje Oy se realiza en la dirección movimiento opuesto en el sentido de las agujas del reloj, si miras el plano Oxy desde algún punto del semieje positivo Oz; de lo contrario, el sistema de coordenadas cartesiano se llama zurdo. Si los vectores base e 1, e 2, e 3 tienen longitudes iguales a uno y son perpendiculares por pares, entonces el sistema de coordenadas cartesiano se llama rectangular. La posición de un sistema de coordenadas cartesianas rectangular en el espacio con respecto a otro sistema de coordenadas cartesianas rectangular con la misma orientación está determinada por tres ángulos de Euler.

El sistema de coordenadas cartesiano lleva el nombre de R. Descartes, aunque en su obra “Geometría” (1637) se consideró un sistema de coordenadas oblicuas, en el que las coordenadas de los puntos solo podían ser positivas. En la edición de 1659-61, se añadió a la Geometría el trabajo del matemático holandés I. Gudde, en el que por primera vez tanto positivo como valores negativos coordenadas El sistema de coordenadas cartesianas espaciales fue introducido por el matemático francés F. Lahire (1679). A principios del siglo XVIII se establecieron las notaciones x, y, z para las coordenadas cartesianas.

Sistema rectangular coordenadas en el plano está formado por dos ejes de coordenadas X'X e Y'Y mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se llama origen, se selecciona una dirección positiva en cada eje. La dirección positiva de los ejes (en un sistema de coordenadas diestro) se elige de modo que cuando se gira el eje X'X. en sentido antihorario 90°, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje Y'Y. Los cuatro ángulos (I, II, III, IV) formados por los ejes coordenados X'X e Y'Y se denominan ángulos coordenados (ver Fig. 1).

La posición del punto A en el plano está determinada por dos coordenadas xey. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es igual a la longitud del segmento OC en las unidades de medida seleccionadas. Los segmentos OB y OC están definidos por líneas trazadas desde el punto A paralelas a los ejes Y'Y y X'X, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A. Se escribe de la siguiente manera: A(x, y).

Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado I, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas positivas. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado II, entonces el punto A tiene una abscisa negativa y una ordenada positiva. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado III, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas negativas. Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado IV, entonces el punto A tiene una abscisa positiva y una ordenada negativa.

Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio. está formado por tres ejes de coordenadas OX, OY y OZ mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se llama origen, en cada eje se selecciona una dirección positiva, indicada por flechas, y una unidad de medida para los segmentos en los ejes. Las unidades de medida son las mismas para todos los ejes. OX - eje de abscisas, OY - eje de ordenadas, OZ - eje de aplicación. La dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje OX se gira 90° en sentido antihorario, su dirección positiva coincida con la dirección positiva del eje OY, si esta rotación se observa desde la dirección positiva del eje OZ. Este sistema de coordenadas se llama diestro. Si pulgar mano derecha Tome la dirección X como la dirección X, el índice como la dirección Y y el del medio como la dirección Z, luego se forma un sistema de coordenadas a la derecha. Dedos similares de la mano izquierda forman el sistema de coordenadas izquierdo. Es imposible combinar los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo de modo que coincidan los ejes correspondientes (ver Fig. 2).

La posición del punto A en el espacio está determinada por tres coordenadas x, y y z. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es la longitud del segmento OC, la coordenada z es la longitud del segmento OD en las unidades de medida seleccionadas. Los segmentos OB, OC y OD están definidos por planos trazados desde el punto A paralelos a los planos YOZ, XOZ y XOY, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A, la coordenada z se llama aplicación del punto A. Se escribe de la siguiente manera: A(a, b, c).

orty

Un sistema de coordenadas rectangular (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios alineados con los ejes de coordenadas. El número de vectores unitarios es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.

En el caso tridimensional, estos vectores unitarios suelen denominarse i j k o mi X mi y mi z. Es más, en caso sistema correcto las coordenadas son válidas siguientes fórmulas con el producto cruzado de vectores:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

Historia

El sistema de coordenadas rectangulares fue introducido por primera vez por René Descartes en su obra "Discurso sobre el método" en 1637. Por lo tanto, el sistema de coordenadas rectangulares también se llama: sistema de coordenadas Cartesianas. El método de coordenadas para describir objetos geométricos sentó las bases. geometría analítica. Pierre Fermat también contribuyó al desarrollo del método de coordenadas, pero sus trabajos se publicaron por primera vez después de su muerte. Descartes y Fermat utilizaron método de coordenadas sólo en un avión.

método de coordenadas para espacio tridimensional Fue utilizado por primera vez por Leonhard Euler en el siglo XVIII.

ver también

Enlaces

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Vea qué es "sistema de coordenadas cartesiano" en otros diccionarios:

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, un sistema de coordenadas rectilíneo en un plano o en el espacio (generalmente con ejes mutuamente perpendiculares y escalas iguales a lo largo de los ejes). El nombre de R. Descartes (ver DESCARTES René). Descartes introdujo por primera vez... diccionario enciclopédico

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS- un sistema de coordenadas rectangular en un plano o en el espacio, en el que las escalas a lo largo de los ejes son las mismas y los ejes de coordenadas son mutuamente perpendiculares. D. s. K. se denota con las letras x:, y para un punto en un plano o x, y, z para un punto en el espacio. (Cm.… …

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, un sistema introducido por René DESCARTES, en el que la posición de un punto está determinada por la distancia desde él a las líneas (ejes) que se cruzan entre sí. En la versión más simple del sistema, los ejes (indicados por x e y) son perpendiculares.... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico.

sistema de coordenadas Cartesianas

Un sistema de coordenadas rectilíneo (ver Coordenadas) en un plano o en el espacio (generalmente con escalas iguales a lo largo de los ejes). El propio R. Descartes en “Geometría” (1637) utilizó únicamente un sistema de coordenadas en un plano (en general, oblicuo). A menudo… … Gran enciclopedia soviética

Un conjunto de definiciones que implementa el método de coordenadas, es decir, una forma de determinar la posición de un punto o cuerpo utilizando números u otros símbolos. El conjunto de números que determinan la posición de un punto específico se llama coordenadas de este punto. En... ... Wikipedia

sistema cartesiano- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. sistema cartesiano; Sistema cartesiano de coordenadas vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. sistema cartesiano, f; Sistema cartesiano... ... Fizikos terminų žodynas

SISTEMA COORDINADO- un conjunto de condiciones que determinan la posición de un punto en línea recta, en un plano, en el espacio. Existen diversas formas lineales: cartesiana, oblicua, cilíndrica, esférica, curvilínea, etc. Lineales y valores angulares, determinando la posición... ... Gran Enciclopedia Politécnica

Sistema de coordenadas rectilíneo ortonormal en el espacio euclidiano. D.p.s. en un plano está especificado por dos ejes de coordenadas rectos mutuamente perpendiculares, en cada uno de los cuales se elige una dirección positiva y un segmento de la unidad ... Enciclopedia Matemática

Un sistema de coordenadas rectangular es un sistema de coordenadas rectilíneo con ejes mutuamente perpendiculares en un plano o en el espacio. El sistema de coordenadas más simple y, por tanto, más utilizado. Muy fácil y directamente resumido para... ... Wikipedia

Libros

Dinámica de fluidos computacional. Bases teóricas. Libro de texto, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. El libro está dedicado a una presentación sistemática. fundamentos teóricos para establecer tareas modelo matematico flujos de líquidos y gases. Atención especial dedicado a temas de construcción...

Para determinar la posición de un punto en el espacio utilizaremos coordenadas rectangulares cartesianas (Fig. 2).

El sistema de coordenadas rectangular cartesiano en el espacio está formado por tres ejes de coordenadas OX, OY, OZ mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se llama origen, en cada eje se selecciona una dirección positiva, indicada por flechas, y una unidad de medida para los segmentos en los ejes. Las unidades de medida suelen ser (no necesariamente) las mismas para todos los ejes. El eje OX se llama eje de abscisas (o simplemente abscisas), el eje OY es el eje de ordenadas y el eje OZ es el eje de aplicación.

La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A y la coordenada z se llama aplicación del punto A.

Simbólicamente se escribe así:

o vincular el registro de coordenadas a punto específico usando índice:

x A , y A , z A ,

Cada eje se considera una recta numérica, es decir, tiene una dirección positiva y los puntos que se encuentran en rayo negativo, se asignan valores de coordenadas negativos (la distancia se toma con un signo menos). Es decir, si, por ejemplo, el punto B no se encuentra como en la figura, en el rayo OX, sino en su continuación en reverso desde el punto O (en la parte negativa del eje OX), entonces la abscisa x del punto A sería negativa (menos la distancia OB). Lo mismo ocurre con los otros dos ejes.

Ejes de coordenadas OX, OY, OZ, mostrados en la Fig. 2, forma un sistema de coordenadas diestro. Esto significa que si miras el plano YOZ a lo largo de la dirección positiva del eje OX, entonces el movimiento del eje OY hacia el eje OZ será en el sentido de las agujas del reloj. Esta situación se puede describir utilizando la regla de la barrena: si la barrena (tornillo con rosca a la derecha) se gira en la dirección del eje OY al eje OZ, entonces se moverá a lo largo de la dirección positiva del eje OX.

Los vectores de longitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes de coordenadas se denominan vectores unitarios de coordenadas. Generalmente se les designa como (Fig. 3). También está la designación Los vectores unitarios forman la base del sistema de coordenadas.

En el caso de un sistema de coordenadas diestro, las siguientes fórmulas son válidas con obras vectoriales ortov:

Un sistema ordenado de dos o tres ejes que se cruzan perpendicularmente entre sí con comienzo común referencia (origen) y una unidad común de longitud se llama sistema de coordenadas cartesiano rectangular .

Sistema de coordenadas cartesiano general (sistema de coordenadas afines) no necesariamente puede incluir ejes perpendiculares. En honor de matemático francés René Descartes (1596-1662) nombró precisamente un sistema de coordenadas en el que se mide una unidad de longitud común en todos los ejes y los ejes son rectos.

Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano. tiene dos ejes y sistema de coordenadas cartesiano rectangular en el espacio - tres ejes. Cada punto en un plano o en el espacio está definido por un conjunto ordenado de coordenadas: números correspondientes a la unidad de longitud del sistema de coordenadas.

Tenga en cuenta que, como se desprende de la definición, existe un sistema de coordenadas cartesianas en línea recta, es decir, en una dimensión. La introducción de coordenadas cartesianas en una recta es una de las formas por las que cualquier punto de una recta se asocia a un número real bien definido, es decir, una coordenada.

El método de coordenadas, que surgió en las obras de René Descartes, marcó una reestructuración revolucionaria de todas las matemáticas. Se hizo posible interpretar ecuaciones algebraicas(o desigualdades) en forma de imágenes geométricas (gráficos) y, a la inversa, buscar una solución problemas geométricos utilizando fórmulas analíticas y sistemas de ecuaciones. Si, desigualdad z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xoy y ubicado por encima de este plano por 3 unidades.

Usando el sistema de coordenadas cartesiano, la pertenencia de un punto a una curva dada corresponde al hecho de que los números X Y y satisfacer alguna ecuación. Entonces, las coordenadas de un punto en una circunferencia con centro en Punto dado (a; b) satisface la ecuación (X - a)² + ( y - b)² = R² .

Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano.

Dos ejes perpendiculares en un plano con origen común y la misma forma unitaria de escala Sistema de coordenadas rectangular cartesiano en el plano. . Uno de estos ejes se llama eje. Buey, o eje x , el otro - el eje Oye, o eje y . Estos ejes también se denominan ejes de coordenadas. Denotemos por METROX Y METROy respectivamente, la proyección de un punto arbitrario METRO en el eje Buey Y Oye. ¿Cómo obtener proyecciones? pasemos por el punto METRO Buey. Esta recta corta al eje Buey en el punto METROX. pasemos por el punto METRO recta perpendicular al eje Oye. Esta recta corta al eje Oye en el punto METROy. Esto se muestra en la imagen de abajo.

X Y y puntos METRO llamaremos a los valores de los segmentos dirigidos en consecuencia omX Y omy. Los valores de estos segmentos dirigidos se calculan en consecuencia como X = X0 - 0 Y y = y0 - 0 . Coordenadas cartesianas X Y y puntos METRO abscisa Y ordenada . El hecho de que el punto METRO tiene coordenadas X Y y, se denota de la siguiente manera: METRO(X, y) .

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro. cuadrante , cuya numeración se muestra en la siguiente figura. También muestra la disposición de los signos de las coordenadas de los puntos según su ubicación en un cuadrante particular.

Además de las coordenadas rectangulares cartesianas en un plano, también se suele considerar el sistema de coordenadas polares. Sobre el método de transición de un sistema de coordenadas a otro - en la lección sistema de coordenadas polares .

Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio.

Las coordenadas cartesianas en el espacio se introducen en completa analogía con las coordenadas cartesianas en el plano.

Tres ejes mutuamente perpendiculares en el espacio ( ejes de coordenadas) con un comienzo común oh y con la misma unidad de escala forman Sistema de coordenadas rectangular cartesiano en el espacio. .

Uno de estos ejes se llama eje. Buey, o eje x , el otro - el eje Oye, o eje y , el tercer eje Onz, o aplicar eje . Dejar METROX, METROy METROz- proyecciones de un punto arbitrario METRO espacio en el eje Buey , Oye Y Onz respectivamente.

pasemos por el punto METRO BueyBuey en el punto METROX. pasemos por el punto METRO plano perpendicular al eje Oye. Este plano corta al eje Oye en el punto METROy. pasemos por el punto METRO plano perpendicular al eje Onz. Este plano corta al eje Onz en el punto METROz.

Coordenadas rectangulares cartesianas X , y Y z puntos METRO llamaremos a los valores de los segmentos dirigidos en consecuencia omX, omy Y omz. Los valores de estos segmentos dirigidos se calculan en consecuencia como X = X0 - 0 , y = y0 - 0 Y z = z0 - 0 .

Coordenadas cartesianas X , y Y z puntos METRO son llamados en consecuencia abscisa , ordenada Y aplicar .

Los ejes de coordenadas tomados en pares se encuentran en planos de coordenadas. xoy , yOz Y zOx .

Problemas sobre puntos en un sistema de coordenadas cartesiano

Ejemplo 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Encuentre las coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre el eje de abscisas.

Solución. Como se desprende de la parte teórica de esta lección, la proyección de un punto sobre el eje de abscisas se ubica sobre el propio eje de abscisas, es decir, el eje Buey, y por tanto tiene una abscisa igual a la abscisa del propio punto, y una ordenada (coordenada en el eje Oye, que el eje x corta en el punto 0), igual a cero. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de estos puntos en el eje x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Ejemplo 2. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos están dados en el plano.

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Encuentre las coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre el eje de ordenadas.

Solución. Como se desprende de la parte teórica de esta lección, la proyección de un punto sobre el eje de ordenadas se sitúa sobre el propio eje de ordenadas, es decir, el eje Oye, y por tanto tiene una ordenada igual a la ordenada del propio punto, y una abscisa (coordenada en el eje Buey, que el eje de ordenadas corta en el punto 0), que es igual a cero. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de estos puntos en el eje de ordenadas:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Ejemplo 3. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos están dados en el plano.

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Buey .

Buey Buey Buey, tendrá la misma abscisa que Punto dado, y ordenada igual a valor absoluto ordenada de un punto dado y su signo opuesto. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al eje Buey :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Resuelva problemas utilizando el sistema de coordenadas cartesiano usted mismo y luego observe las soluciones.

Ejemplo 4. Determine en qué cuadrantes (cuartos, dibujando con cuadrantes, al final del párrafo "Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano") se puede ubicar un punto METRO(X; y) , Si

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X − y > 0 ;

8) X − y < 0 .

Ejemplo 5. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos están dados en el plano.

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Encuentre las coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al eje. Oye .

Sigamos resolviendo problemas juntos

Ejemplo 6. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos están dados en el plano.

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Encuentre las coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al eje. Oye .

Solución. Girar 180 grados alrededor del eje. Oye segmento direccional desde el eje Oye hasta este punto. En la figura, donde se indican los cuadrantes del plano, vemos que el punto simétrico al dado con respecto al eje Oye, tendrá la misma ordenada que el punto dado, y una abscisa igual en valor absoluto a la abscisa del punto dado y de signo opuesto. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al eje Oye :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Ejemplo 7. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos están dados en el plano.

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Encuentre las coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al origen.

Solución. Giramos el segmento dirigido que va desde el origen hasta el punto dado 180 grados alrededor del origen. En la figura, donde se indican los cuadrantes del plano, vemos que un punto simétrico al punto dado con respecto al origen de coordenadas tendrá una abscisa y una ordenada igual en valor absoluto a la abscisa y la ordenada del punto dado, pero opuesto en signo. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto al origen:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Ejemplo 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Encuentra las coordenadas de las proyecciones de estos puntos:

1) en un avión oxi ;

2) en un avión Oxz ;

3) al avión Oyz ;

4) en el eje de abscisas;

5) en el eje de ordenadas;

6) en el eje de aplicación.

1) Proyección de un punto sobre un plano. oxi se sitúa en este plano mismo, y por tanto tiene una abscisa y ordenada iguales a la abscisa y ordenada de un punto dado, y una aplicada igual a cero. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre oxi :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proyección de un punto sobre un plano. Oxz está situado en este plano mismo, y por tanto tiene una abscisa y una aplicación iguales a la abscisa y una aplicación de un punto dado, y una ordenada igual a cero. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Proyección de un punto sobre un plano. Oyz se encuentra en este plano mismo, y por tanto tiene ordenada y aplicada iguales a la ordenada y aplicada de un punto dado, y una abscisa igual a cero. Entonces obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Como se desprende de la parte teórica de esta lección, la proyección de un punto sobre el eje de abscisas se ubica sobre el propio eje de abscisas, es decir, el eje Buey, y por lo tanto tiene una abscisa igual a la abscisa del punto mismo, y la ordenada y la aplicación de la proyección son iguales a cero (ya que los ejes de ordenadas y aplicación se cruzan con la abscisa en el punto 0). Obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre el eje de abscisas:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) La proyección de un punto sobre el eje de ordenadas se sitúa sobre el propio eje de ordenadas, es decir, el eje Oye, y por lo tanto tiene una ordenada igual a la ordenada del punto mismo, y la abscisa y la aplicación de la proyección son iguales a cero (ya que los ejes de abscisa y aplicación se cruzan con el eje de ordenadas en el punto 0). Obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre el eje de ordenadas:

Ay(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) La proyección de un punto sobre el eje de la aplicación se ubica en el propio eje de la aplicación, es decir, el eje Onz, y por lo tanto tiene una aplicación igual a la aplicación del punto mismo, y la abscisa y la ordenada de la proyección son iguales a cero (ya que los ejes de abscisas y ordenadas se cruzan con el eje de la aplicación en el punto 0). Obtenemos las siguientes coordenadas de las proyecciones de estos puntos sobre el eje aplicado:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Ejemplo 9. En el sistema de coordenadas cartesiano, los puntos se dan en el espacio.

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Encuentre las coordenadas de puntos simétricos a estos puntos con respecto a:

1) avión oxi ;

2) aviones Oxz ;

3) aviones Oyz ;

4) ejes de abscisas;

5) ejes de ordenadas;

6) aplicar ejes;

7) origen de coordenadas.

1) “Mover” el punto al otro lado del eje oxi oxi, tendrá una abscisa y una ordenada iguales a la abscisa y la ordenada de un punto dado, y una aplicación igual en magnitud a la aplicación de un punto dado, pero de signo opuesto. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al plano. oxi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) “Mover” el punto al otro lado del eje Oxz a la misma distancia. En la figura que muestra el espacio de coordenadas, vemos que un punto simétrico a uno dado con respecto al eje Oxz, tendrá una abscisa y una aplicación iguales a la abscisa y una aplicación de un punto dado, y una ordenada igual en magnitud a la ordenada de un punto dado, pero de signo opuesto. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al plano. Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) “Mover” el punto al otro lado del eje Oyz a la misma distancia. En la figura que muestra el espacio de coordenadas, vemos que un punto simétrico a uno dado con respecto al eje Oyz, tendrá una ordenada y una aplicada iguales a la ordenada y una aplicada de un punto dado, y una abscisa igual en valor a la abscisa de un punto dado, pero de signo opuesto. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al plano. Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Por analogía con puntos simétricos en el plano y puntos en el espacio simétricos a los datos relativos a los planos, observamos que en el caso de simetría con respecto a algún eje del sistema de coordenadas cartesiano en el espacio, la coordenada en el eje con respecto al cual se da la simetría será conservará su signo, y las coordenadas de los otros dos ejes serán las mismas en términos absolutos, el mismo valor que las coordenadas de un punto dado, pero de signo opuesto.

4) La abscisa conservará su signo, pero la ordenada y la aplicada cambiarán de signo. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al eje de abscisas:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) La ordenada conservará su signo, pero la abscisa y la aplicada cambiarán de signo. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al eje de ordenadas:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) La aplicada conservará su signo, pero la abscisa y la ordenada cambiarán de signo. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al eje de aplicación:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Por analogía con la simetría en el caso de puntos en un plano, en el caso de simetría con respecto al origen de coordenadas, todas las coordenadas de un punto simétrico a este serán iguales en valor absoluto a las coordenadas de un punto dado, pero opuesto a ellos en signo. Entonces, obtenemos las siguientes coordenadas de puntos simétricos a los datos relativos al origen.