Sistema ecuaciones lineales con dos incógnitas: son dos o más ecuaciones lineales para las cuales es necesario encontrarlas todas soluciones generales. Consideraremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. forma general En la siguiente figura se presenta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Aquí xey son variables desconocidas, a1,a2,b1,b2,c1,c2 son algunas numeros reales. Una solución a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números (x,y) tales que si sustituimos estos números en las ecuaciones del sistema, entonces cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad. Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Consideremos una de las formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales, a saber, el método de la suma.

Algoritmo para resolver por el método de la suma.

Un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método de la suma.

1. Si es necesario, por transformaciones equivalentes igualar los coeficientes de una de las variables desconocidas en ambas ecuaciones.

2. Sumando o restando las ecuaciones resultantes, obtenga una ecuación lineal con una incógnita.

3. Resuelve la ecuación resultante con una incógnita y encuentra una de las variables.

4. Sustituye la expresión resultante en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y resuelve esta ecuación, obteniendo así la segunda variable.

5. Verifique la solución.

Un ejemplo de una solución que utiliza el método de adición.

Para mayor claridad, resolvamos usando el método de la suma. el siguiente sistema ecuaciones lineales con dos incógnitas:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como ninguna de las variables tiene coeficientes idénticos, igualamos los coeficientes de la variable y. Para hacer esto, multiplica la primera ecuación por tres y la segunda ecuación por dos.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ahora restamos la primera de la segunda ecuación. Nosotros presentamos términos similares y resuelve la ecuación lineal resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Sustituimos el valor resultante en la primera ecuación de nuestro sistema original y resolvemos la ecuación resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

El resultado es un par de números x=6 e y=14. Estamos comprobando. Hagamos una sustitución.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como puede ver, obtuvimos dos igualdades verdaderas, por lo tanto, encontramos la decisión correcta.

Usando esto programa de matematicas Puedes resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables usando el método de sustitución y el método de suma.

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también da solución detallada con explicaciones de los pasos de solución de dos maneras: el método de sustitución y el método de suma.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea

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Reglas para ingresar ecuaciones
Cualquier letra latina puede actuar como variable.

Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis
. En este caso, primero se simplifican las ecuaciones.

Las ecuaciones después de las simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la precisión del orden de los elementos. Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2 En las ecuaciones puedes usar no solo números enteros, sino también

números fraccionarios
en forma de decimales y fracciones ordinarias. Reglas para ingresar fracciones decimales. entero y fracción V
decimales

pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción. El denominador no puede ser negativo. Al entrar /
fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: &

Toda una parte
está separado de la fracción por un signo comercial:
Ejemplos.

Ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2
Resolver sistema de ecuaciones.
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Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Expresemos y en términos de x de la primera ecuación: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en la segunda ecuación en lugar de y, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene sólo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo 1 en lugar de x en la igualdad y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones de dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. También se consideran equivalentes los sistemas que no tienen soluciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por suma.

Consideremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por sustitución, pasamos de este sistema a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de la suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, seleccionando factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones del sistema término por término;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encuentre el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones término por término, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Reemplacemos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38\) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38\). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \Flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones por suma: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, reducimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambos lados de cada una de las ecuaciones del sistema original), en el cual de las ecuaciones contiene sólo una variable.

1. Método de sustitución: de cualquier ecuación del sistema expresamos una incógnita mediante otra y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema.

Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución. De la primera ecuación del sistema expresamos en a través de X y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema equivalente al original.

después de traer miembros similares el sistema tomará la forma:

De la segunda ecuación encontramos: . Sustituyendo este valor en la ecuación en = 2 - 2X, obtenemos en= 3. Por lo tanto, la solución de este sistema es un par de números.

2. Método suma algebraica : Al sumar dos ecuaciones, se obtiene una ecuación con una variable.

Tarea. Resuelve la ecuación del sistema:

Solución. Multiplicando ambos lados de la segunda ecuación por 2 obtenemos el sistema equivalente al original. Sumando las dos ecuaciones de este sistema llegamos al sistema

Después de traer términos similares, este sistema tomará la forma: De la segunda ecuación encontramos . Sustituyendo este valor en la ecuación 3 X + 4en= 5, obtenemos , dónde . Por tanto, la solución de este sistema es un par de números.

3. Método para introducir nuevas variables.: buscamos algunas expresiones repetidas en el sistema, que denotaremos con nuevas variables, simplificando así la apariencia del sistema.

Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución. vamos a escribirlo este sistema de lo contrario:

Dejar x + y = tú, xy = v. Entonces obtenemos el sistema.

Resolvámoslo usando el método de sustitución. De la primera ecuación del sistema expresamos tu a través de v y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema aquellos.

De la segunda ecuación del sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Sustituyendo estos valores en la ecuación. tu = 5 - v, obtenemos tu 1 = 3,
tu 2 = 2. Entonces tenemos dos sistemas.

Resolviendo el primer sistema, obtenemos dos pares de números (1; 2), (2; 1). El segundo sistema no tiene soluciones.

Ejercicios para el trabajo independiente.

1. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.

Más confiable que el método gráfico discutido en el párrafo anterior.

Método de sustitución

Usamos este método en séptimo grado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El algoritmo que se desarrolló en séptimo grado es bastante adecuado para resolver sistemas de dos ecuaciones cualesquiera (no necesariamente lineales) con dos variables xey (por supuesto, las variables se pueden designar con otras letras, lo cual no importa). De hecho, utilizamos este algoritmo en el párrafo anterior, cuando el problema de número de dos dígitos llevado a modelo matemático, que es un sistema de ecuaciones. Resolvimos este sistema de ecuaciones anterior usando el método de sustitución (ver ejemplo 1 del § 4).

Un algoritmo para utilizar el método de sustitución al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables x, y.

1. Exprese y en términos de x de una ecuación del sistema.
2. Sustituye la expresión resultante en lugar de y en otra ecuación del sistema.
3. Resuelve la ecuación resultante para x.
4. Sustituye sucesivamente cada una de las raíces de la ecuación encontrada en el tercer paso en lugar de x en la expresión y hasta x obtenida en el primer paso.
5. Escribe la respuesta en forma de pares de valores (x; y), que se encontraron en el tercer y cuarto paso, respectivamente.

4) Sustituye uno por uno cada uno de los valores encontrados de y en la fórmula x = 5 - 3. si entonces
5) Pares (2; 1) y soluciones a un sistema de ecuaciones dado.

Respuesta: (2; 1);

Método de suma algebraica

Este método, al igual que el método de sustitución, le resulta familiar desde el curso de álgebra de séptimo grado, donde se utilizaba para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recordemos la esencia del método usando el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Resolver sistema de ecuaciones.

Multipliquemos todos los términos de la primera ecuación del sistema por 3 y dejemos la segunda ecuación sin cambios:
Resta la segunda ecuación del sistema de su primera ecuación:

Como resultado de la suma algebraica de dos ecuaciones del sistema original, se obtuvo una ecuación que era más simple que la primera y la segunda ecuaciones del sistema dado. Con esta ecuación más simple tenemos derecho a reemplazar cualquier ecuación de un sistema dado, por ejemplo la segunda. Entonces el sistema de ecuaciones dado será reemplazado por un sistema más simple:

Este sistema se puede resolver mediante el método de sustitución. De la segunda ecuación encontramos. Sustituyendo esta expresión en lugar de y en la primera ecuación del sistema, obtenemos.

Queda por sustituir los valores encontrados de x en la fórmula

Si x = 2 entonces

Así, encontramos dos soluciones al sistema:

Método para introducir nuevas variables.

Le presentaron el método de introducir una nueva variable al resolver ecuaciones racionales con una variable en el curso de álgebra de octavo grado. La esencia de este método para resolver sistemas de ecuaciones es la misma, pero desde un punto de vista técnico hay algunas características que discutiremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3. Resolver sistema de ecuaciones.

Introduzcamos una nueva variable. Luego, la primera ecuación del sistema se puede reescribir en una forma más. en forma sencilla: Resolvamos esta ecuación para la variable t:

Ambos valores satisfacen la condición y por lo tanto son raíces. ecuación racional con variable t. Pero eso significa que encontramos que x = 2y, o
Así, utilizando el método de introducción de una nueva variable, logramos “estratificar” la primera ecuación del sistema, que era bastante compleja en apariencia, en dos ecuaciones más simples:

x = 2y; y - 2x.

¿Que sigue? Y luego cada uno de los dos recibió ecuaciones simples deben considerarse uno por uno en un sistema con la ecuación x 2 - y 2 = 3, que aún no hemos recordado. En otras palabras, el problema se reduce a resolver dos sistemas de ecuaciones:

Necesitamos encontrar soluciones para el primer sistema, el segundo sistema e incluir todos los pares de valores resultantes en la respuesta. Resolvamos el primer sistema de ecuaciones:

Usemos el método de sustitución, especialmente porque aquí todo está listo: sustituyamos la expresión 2y en lugar de x en la segunda ecuación del sistema. Obtenemos

Como x = 2y, encontramos, respectivamente, x 1 = 2, x 2 = 2. Así, se obtienen dos soluciones del sistema dado: (2; 1) y (-2; -1). Resolvamos el segundo sistema de ecuaciones:

Usemos el método de sustitución nuevamente: sustituya la expresión 2x ​​en lugar de y en la segunda ecuación del sistema. Obtenemos

Esta ecuación no tiene raíces, lo que significa que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. Por lo tanto, sólo es necesario incluir en la respuesta las soluciones del primer sistema.

Respuesta: (2; 1); (-2;-1).

El método de introducir nuevas variables al resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables se utiliza en dos versiones. Primera opción: se introduce una nueva variable y se utiliza en una sola ecuación del sistema. Esto es exactamente lo que sucedió en el ejemplo 3. Segunda opción: se introducen y utilizan dos nuevas variables simultáneamente en ambas ecuaciones del sistema. Este será el caso en el ejemplo 4.

Ejemplo 4. Resolver sistema de ecuaciones.

Introduzcamos dos nuevas variables:

Tengamos en cuenta que entonces

Esto le permitirá reescribir sistema dado en una forma mucho más simple, pero variables a y b relativamente nuevas:

Dado que a = 1, entonces de la ecuación a + 6 = 2 encontramos: 1 + 6 = 2; 6=1. Así, con respecto a las variables a y b, tenemos una solución:

Volviendo a las variables x e y, obtenemos un sistema de ecuaciones

Apliquemos el método de la suma algebraica para resolver este sistema:

Desde entonces de la ecuación 2x ​​+ y = 3 encontramos:
Así, con respecto a las variables xey, tenemos una solución:

Concluyamos este párrafo con una breve pero bastante seria conversación teórica. Ya has adquirido algo de experiencia resolviendo diferentes ecuaciones: lineal, cuadrado, racional, irracional. Sabes que la idea principal de resolver una ecuación es pasar gradualmente de una ecuación a otra, más simple, pero equivalente a la dada. En el párrafo anterior introdujimos el concepto de equivalencia para ecuaciones con dos variables. Este concepto también se utiliza para sistemas de ecuaciones.

Definición.

Dos sistemas de ecuaciones con variables xey se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o si ambos sistemas no tienen soluciones.

Los tres métodos (sustitución, suma algebraica e introducción de nuevas variables) que analizamos en esta sección son absolutamente correctos desde el punto de vista de la equivalencia. En otras palabras, utilizando estos métodos reemplazamos un sistema de ecuaciones por otro más simple, pero equivalente al sistema original.

Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.

Ya hemos aprendido cómo resolver sistemas de ecuaciones de formas tan comunes y confiables como el método de sustitución, la suma algebraica y la introducción de nuevas variables. Ahora recordemos el método que ya estudiaste en la lección anterior. Es decir, repitamos lo que sabes sobre método gráfico soluciones.

Método para resolver sistemas de ecuaciones. gráficamente representa la construcción de una gráfica para cada uno de ecuaciones específicas, que están incluidos en este sistema y están en uno Plano coordinado, y también donde es necesario encontrar las intersecciones de los puntos de estas gráficas. Para resolver este sistema de ecuaciones están las coordenadas de este punto (x; y).

Cabe recordar que para sistema grafico Las ecuaciones tienden a tener una única solución correcta o conjunto infinito soluciones o no tienen ninguna solución.

Ahora veamos cada una de estas soluciones con más detalle. Y entonces, el sistema de ecuaciones puede tener única decisión en caso de que las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema se crucen. Si estas rectas son paralelas, entonces dicho sistema de ecuaciones no tiene absolutamente ninguna solución. Si las gráficas directas de las ecuaciones del sistema coinciden, entonces dicho sistema permite encontrar muchas soluciones.

Bueno, ahora veamos el algoritmo para resolver un sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas usando el método gráfico:

En primer lugar, primero construimos una gráfica de la primera ecuación;
El segundo paso será construir una gráfica que se relacione con la segunda ecuación;
En tercer lugar, necesitamos encontrar los puntos de intersección de las gráficas.
Y como resultado, obtenemos las coordenadas de cada punto de intersección, que será la solución al sistema de ecuaciones.

Veamos este método con más detalle usando un ejemplo. Se nos da un sistema de ecuaciones que debe resolverse:

Resolver ecuaciones

1. Primero, construiremos una gráfica de esta ecuación: x2+y2=9.

Pero cabe señalar que esta gráfica de las ecuaciones será un círculo con centro en el origen y su radio será igual a tres.

2. Nuestro siguiente paso será graficar una ecuación como: y = x – 3.

En este caso debemos construir una recta y encontrar los puntos (0;−3) y (3;0).

3. Veamos qué tenemos. Vemos que la recta corta a la circunferencia en dos de sus puntos A y B.

Ahora estamos buscando las coordenadas de estos puntos. Vemos que las coordenadas (3;0) corresponden al punto A, y las coordenadas (0;−3) corresponden al punto B.

¿Y qué obtenemos como resultado?

Los números (3;0) y (0;−3) obtenidos cuando la recta corta al círculo son precisamente las soluciones de ambas ecuaciones del sistema. Y de esto se deduce que estos números también son soluciones de este sistema de ecuaciones.

Es decir, la respuesta a esta solución son los números: (3;0) y (0;−3).

Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.

El método de la suma consiste en tres simples pasos:

1. Mire el sistema y elija una variable que tenga coeficientes idénticos (u opuestos) en cada ecuación;
2. Ejecutar resta algebraica(Para números opuestos- suma) de ecuaciones entre sí y luego traer términos similares;
3. Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

• Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
• No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

1. Método de suma;
2. Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, definitivamente estará entre las raíces. ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumemos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

1. Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
2. Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
3. El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
4. La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas, utilizamos dosis adicional, es decir, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente.

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, pero los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, y por lo tanto es fácil aplicar el método de la suma aquí:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos sólo por numeros positivos- Esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

1. Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
2. Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
3. Encontramos una variable.
4. Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
5. Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos se puede actuar de forma algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay probabilidades fraccionarias, sin embargo, para ninguno de los coeficientes variables no encajan entre sí un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicamos por fracciones, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final al vídeo tutorial de hoy, veamos un par de realmente sistemas complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora busquemos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema: veremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones mismas ya serán no lineales. ¡Hasta luego!