Cómo saber el volumen de una pirámide triangular regular. altura de la pirámide

De vuelta atras

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Objetivos de la lección.

Educativo: deriva una fórmula para calcular el volumen de una pirámide.

De desarrollo: desarrollar el interés cognitivo de los estudiantes en las disciplinas académicas, la capacidad de aplicar sus conocimientos en la práctica.

Educativo: cultivar la atención, la precisión, ampliar los horizontes de los estudiantes.

Equipos y materiales: computadora, pantalla, proyector, presentación “Volumen de la Pirámide”.

1. Encuesta frontal. Diapositivas 2, 3

Lo que se llama pirámide, base de la pirámide, nervaduras, altura, eje, apotema. ¿Qué pirámide se llama pirámide regular, tetraedro y truncada?

Una pirámide es un poliedro formado por una superficie plana. polígono, puntos, que no se encuentra en el plano de este polígono y todos los segmentos, conectando este punto con los puntos del polígono.

Este punto llamado arriba pirámides, y un polígono plano es la base de la pirámide. Segmentos que conectan la cima de la pirámide con los vértices de la base se llaman costillas . Altura pirámides - perpendicular, bajado desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base. Apotema - altura del borde lateral pirámide regular. La pirámide, que en la base es correcto n-gon, A base de altura coincide con centro de la base llamado correcto Pirámide n-gonal. Eje de una pirámide regular es la recta que contiene su altura. Una pirámide triangular regular se llama tetraedro. Si la pirámide es intersecada por un plano paralelo al plano de la base, entonces cortará la pirámide, similar dado. La parte restante se llama pirámide truncada.

2. Derivación de la fórmula para calcular el volumen de la pirámide V=SH/3 Diapositivas 4, 5, 6

1. Sea SABC una pirámide triangular con vértice S y base ABC.

2. Sumemos esta pirámide a un prisma triangular con la misma base y altura.

3. Este prisma está compuesto por tres pirámides:

1) de esta pirámide SABC.

2) pirámides SCC 1 B 1.

3) y pirámides SCBB 1.

4. La segunda y tercera pirámides tienen bases iguales CC 1 B 1 y B 1 BC y una altura total trazada desde el vértice S hasta la cara del paralelogramo BB 1 C 1 C. Por lo tanto, tienen volúmenes iguales.

5. La primera y la tercera pirámide también tienen bases iguales SAB y BB 1 S y alturas coincidentes trazadas desde el vértice C hasta la cara del paralelogramo ABB 1 S. Por lo tanto, también tienen volúmenes iguales.

Esto significa que las tres pirámides tienen el mismo volumen. Como la suma de estos volúmenes es igual al volumen del prisma, los volúmenes de las pirámides son iguales a SH/3.

cualquier volumen Pirámide triangular igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.

3. Consolidación de nuevo material. Solución de ejercicios.

1) tarea № 33 del libro de texto de A.N. Pogorelova. Diapositivas 7, 8, 9

¿En el lado de la base? y el borde lateral b, encuentre el volumen de una pirámide regular, en cuya base se encuentra:

1) triángulo,

2) cuadrilátero,

3) hexágono.

En una pirámide regular, la altura pasa por el centro del círculo circunscrito a la base. Entonces: (Apéndice)

4. Información histórica sobre las pirámides. Diapositivas 15, 16, 17

El primero de nuestros contemporáneos en establecer una serie. fenómenos inusuales Asociado con la pirámide estaba el científico francés Antoine Bovy. Mientras exploraba la pirámide de Keops en los años 30 del siglo XX, descubrió que los cuerpos de pequeños animales que caían accidentalmente en habitación real, momificado. Bovey se explicó el motivo de esto por la forma de una pirámide y resultó que no se equivocaba. Sus obras constituyeron la base investigación moderna, como resultado de lo cual, durante los últimos 20 años, han aparecido muchos libros y publicaciones que confirman que la energía de las pirámides puede tener un significado práctico.

El misterio de las pirámides

Algunos investigadores sostienen que la pirámide contiene una gran cantidad de información sobre la estructura del Universo, el sistema solar y el hombre, codificada en su forma geométrica, o más precisamente, en la forma de un octaedro, la mitad del cual representa la pirámide. La pirámide con la cima hacia arriba simboliza la vida, con la cima hacia abajo, la muerte, el otro mundo. Al igual que los componentes de la Estrella de David (Magen David), donde un triángulo dirigido hacia arriba simboliza el ascenso a la Mente Superior, Dios, y un triángulo con su vértice hacia abajo simboliza el descenso del alma a la Tierra, la existencia material...

El valor digital del código con el que se cifra la información sobre el Universo en la pirámide, el número 365, no fue elegido por casualidad. En primer lugar, este es el ciclo de vida anual de nuestro planeta. Además, el número 365 se compone de tres dígitos 3, 6 y 5. ¿Qué significan? si en sistema solar El Sol pasa por el número 1, Mercurio - 2, Venus - 3, Tierra - 4, Marte - 5, Júpiter - 6, Saturno - 7, Urano - 8, Neptuno - 9, Plutón - 10, luego 3 es Venus, 6 - Júpiter y 5 – Marte. En consecuencia, la Tierra está conectada de forma especial con estos planetas. Sumando los números 3, 6 y 5, obtenemos 14, de los cuales 1 es el Sol y 4 es la Tierra.

El número 14 generalmente tiene importancia global: en particular, en él se basa la estructura de las manos humanas, el número total de falanges de los dedos de cada una de las cuales también es 14. Este código también está relacionado con la constelación Osa Mayor, que incluye nuestro Sol, y en el que hubo una vez otra estrella que destruyó a Faetón, un planeta ubicado entre Marte y Júpiter, tras lo cual apareció Plutón en el sistema solar, y las características de los planetas restantes cambiaron.

Muchas fuentes esotéricas afirman que la humanidad en la Tierra ya ha experimentado cuatro veces una catástrofe mundial. La tercera raza lemuriana conoció la ciencia Divina del Universo, luego esta doctrina secreta fue transmitida sólo a los iniciados. Al inicio de los ciclos y semiciclos del año sidéreo se construyeron pirámides. Estuvieron cerca de descubrir el código de la vida. La civilización de la Atlántida tuvo éxito en muchas cosas, pero en algún nivel de conocimiento fue detenida por otra catástrofe planetaria, acompañada de un cambio de razas. Probablemente, los iniciados querían transmitirnos que las pirámides contienen conocimientos de las leyes cósmicas...

Dispositivos especiales en forma de pirámides neutralizan la radiación electromagnética negativa que llega a una persona desde una computadora, un televisor, un refrigerador y otros electrodomésticos.

Uno de los libros describe un caso en el que una pirámide instalada en el habitáculo de un coche redujo el consumo de combustible y redujo el contenido de CO en los gases de escape.

Las semillas de cultivos hortícolas guardadas en pirámides tuvieron mejor germinación y rendimiento. Las publicaciones incluso recomendaban remojar las semillas en agua piramidal antes de sembrar.

Se ha descubierto que las pirámides tienen efectos beneficiosos sobre situación ambiental. Elimina zonas patógenas en apartamentos, oficinas y casas de veraneo, creando un aura positiva.

El investigador holandés Paul Dickens en su libro da ejemplos de las propiedades curativas de las pirámides. Observó que con su ayuda se pueden aliviar los dolores de cabeza y las articulaciones, detener el sangrado por pequeños cortes y que la energía de las pirámides estimula el metabolismo y fortalece el sistema inmunológico.

Algunas publicaciones modernas señalan que los medicamentos colocados en forma de pirámide acortan el curso del tratamiento y el material del apósito, saturado de energía positiva, favorece la cicatrización de las heridas.

Las cremas y ungüentos cosméticos mejoran su efecto.

Las bebidas, incluidas las alcohólicas, mejoran su sabor y el agua contenida en el vodka al 40% se vuelve curativa. Es cierto que para cargar una botella estándar de 0,5 litros con energía positiva, necesitará una pirámide alta.

Un artículo periodístico dice que si las joyas se guardan debajo de una pirámide, se limpian solas y adquieren un brillo especial, y las piedras preciosas y semipreciosas acumulan bioenergía positiva y luego la liberan gradualmente.

Según los científicos estadounidenses, los productos alimenticios como los cereales, la harina, la sal, el azúcar, el café, el té, después de estar en la pirámide, mejoran su sabor y los cigarrillos baratos se vuelven similares a sus homólogos nobles.

Puede que esto no sea relevante para muchos, pero en una pirámide pequeña las hojas de afeitar viejas se afilan solas, y en una pirámide grande el agua no se congela a -40 grados centígrados.

Según la mayoría de los investigadores, todo esto es prueba de la existencia de la energía piramidal.

A lo largo de 5.000 años de existencia, las pirámides se han convertido en una especie de símbolo que personifica el deseo del hombre de alcanzar la cima del conocimiento.

5. Resumiendo la lección.

Bibliografía.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Geometría 10-11, editorial Prosveshchenie.

3) Enciclopedia “Árbol del conocimiento” Marshall K.

Metas y objetivos de la lección:

• derivar fórmulas para el volumen de una pirámide usando la fórmula básica para el volumen de cuerpos y el volumen de una pirámide truncada.
• sistematizar conocimientos teóricos sobre el tema de encontrar el volumen de una pirámide.
• Desarrollar la habilidad de encontrar el volumen de una pirámide cuyo vértice se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito o circunscrito cerca de la base.
• desarrollar habilidades de solución tareas tipicas sobre la aplicación de fórmulas para el volumen de una pirámide y una pirámide truncada.

durante las clases

I.Explicaciónnuevo material.

La demostración del teorema se realiza mediante un proyector multimedia.

Demostremos el teorema: el volumen de la pirámide esun tercio, el producto del área de la base por la altura.

Prueba:

Primero demostramos el teorema de una pirámide triangular y luego de una arbitraria.

1. Considere una pirámide triangular OABC con volumen V, área base S y altura h. Dibujemos el eje oh (OM 2- altura), considere la sección A 1 B 1 C 1 pirámide con un plano perpendicular al eje Oh y, por tanto, paralelo al plano de la base. Denotemos por X punto de abscisa METRO 1 intersección de este plano con el eje x, y a través de S(X)- área de la sección transversal. vamos a expresar S(X) a través de S, h Y X. Darse cuenta de

En efecto , por eso, .

Triángulos Rectángulos , también son similares (tienen un común esquina filosa con tapa ACERCA DE).

Apliquemos ahora fórmula básica calcular el volumen de los cuerpos en a = 0, segundo =h obtenemos

2. Demostremos ahora el teorema de una pirámide arbitraria con altura h y área base S. Una pirámide de este tipo se puede dividir en pirámides triangulares con una altura total h. Expresemos el volumen de cada pirámide triangular usando la fórmula que hemos probado y sumemos estos volúmenes. Horquillado multiplicador común, obtenemos entre paréntesis la suma de las bases de pirámides triangulares, es decir área S de las bases de la pirámide original.

Por tanto, el volumen de la pirámide original es. El teorema ha sido demostrado.

II. Resolver problemas utilizando dibujos ya hechos.

Tarea 1. (Fig.3)

Dado:A B CD- pirámide regular AB = 3; anuncio= . Encontrar: A) Sbásico; b) JSC; V) HACER GRAMO) V .

Tarea 2. (Fig.4)

Dado:A B CDF- pirámide regular .

Tarea 3. (Fig.5)

Dado:A B CDEKF- pirámide regular

Encontrar: A) Sbásico ; b) v.

Tarea4. (fig.. 6)

Encontrar: v.

La verificación de la tarea se realiza mediante un proyector multimedia con análisis detallado Solución paso-a-paso.

Tarea 1. (Fig.3)

a) (la fórmula se utiliza para calcular el área de un triángulo regular)
AB = = 3, tenemos

b) (fórmula para el radio de un círculo circunscrito usando el lado de un triángulo equilátero) .

Tarea 2. (Fig.4)

1) Consideremos, pues,
– isósceles, OS = FO = 2.

Tarea 3. (Fig.5)

Tarea 4. (Fig.6)

III. Comprobar el resultado de la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada (el mensaje del alumno en la pizarra se realiza mediante un proyector multimedia)

Respuesta del estudiante:

Consideramos el volumen de una pirámide truncada como la diferencia de volúmenes. pirámide completa y el que está separado de él por un avión, paralelo a la base(Figura 1).

Sustituyamos esta expresión por X en la primera fórmula,

Trabajo en forma de test, con verificación a través de un proyector multimedia.

1.B prisma inclinado costilla lateral es igual a 7 cm, la sección perpendicular es un triángulo rectángulo con catetos: 4 cm y 3 cm Encuentra el volumen del prisma.

a) 10 cm 3, b) 42 cm 3, c) 60 cm 3, d) 30 cm 3.

2. De la manera correcta pirámide hexagonal El lado de su base mide 2 cm. El volumen de la pirámide es 6 cm 3. ¿Cuál es la altura?

3. El volumen de la pirámide es de 56 cm 3, el área de la base es de 14 cm 2. ¿Cuál es la altura?

a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.

4. En una pirámide triangular regular, la altura es de 5 cm y los lados de la base miden 3 cm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

5. De la manera correcta pirámide cuadrangular la altura es de 9 cm. el lado de la base es de 4 cm.

a) 50 cm 3, b) 48 cm 3, c) 16 cm 3.

6. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es 27 cm 3, altura 9 cm Encuentra el lado de la base.

a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.

7. El volumen de una pirámide truncada es de 210 cm 3, el área de la base inferior es de 36 cm 2 y la superior es de 9 cm 2. Encuentra la altura de la pirámide.

a) 1 cm, b) 15 cm, c) 10 cm.

8. El prisma del mismo tamaño y la pirámide cuadrangular regular tienen alturas iguales. ¿Cuál es el lado de la base de la pirámide si el área de la base del prisma es S?

Tabla de respuestas.

Tarea: 1. Resolver los problemas No. 695v, No. 697, No. 690

2. Considere tareas basicas

Tarea 1.

Demuestre que si los bordes laterales de la pirámide son iguales (o iguales ángulos iguales con el plano de la base), luego la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo descrito alrededor de la base.

demostrar que si ángulos diédricos si la base de la pirámide es igual (o las alturas de las caras laterales dibujadas desde la cima de la pirámide son iguales), entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide.

Uno de los más simples figuras volumétricas Es una pirámide triangular porque está formada por número más pequeño Caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide regular triangular.

Pirámide triangular

De acuerdo a definición general una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.

La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto donde tres están conectados. caras laterales, se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.

Como ya hemos dicho, la base de una pirámide triangular puede ser un triángulo. tipo general. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.

Cualquier pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.

tipo general

Antes de escribir una pirámide triangular regular, damos la expresión para esto. cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:

Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:

Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.

Una pirámide triangular regular tiene triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:

Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volumen de una pirámide regular con base triangular es función de la longitud del lado de la base y la altura de la figura.

ya que cualquier polígono regular se puede inscribir en un círculo, cuyo radio determinará inequívocamente la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir a través del radio correspondiente r:

Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:

Problema de determinar el volumen de un tetraedro.

Le mostraremos cómo usar las fórmulas anteriores para resolver Tareas específicas geometría.

Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm. Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.

Recuerde que un tetraedro es regular en el que todas las bases son iguales entre sí. Para utilizar la fórmula del volumen triangular, necesitas calcular dos cantidades:

• longitud del lado del triángulo;
• altura de la figura.

La primera cantidad se conoce a partir del planteamiento del problema:

Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.

Marcado triangulo abc es rectangular, donde el ángulo ABC mide 90 o. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:

Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Ahora puedes sustituir h y a en fórmula correspondiente para volumen:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de las condiciones del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta, lo cual se realiza de alguna manera. sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.

Problema de la pirámide homotética

Resolvamos una curiosa problema geométrico. Supongamos que hay una pirámide regular triangular con un cierto volumen V 1. ¿Cuántas veces se debe reducir el tamaño de esta figura para obtener una pirámide homotética con un volumen tres veces menor que el original?

Comencemos a resolver el problema escribiendo la fórmula de la pirámide regular original:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Deje que el volumen de la figura requerido por las condiciones del problema se obtenga multiplicando sus parámetros por el coeficiente k. Tenemos:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Dado que la relación de los volúmenes de las figuras se conoce por la condición, obtenemos el valor del coeficiente k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Nótese que obtendríamos un valor similar para el coeficiente k de la pirámide tipo arbitrario, y no sólo para triangular regular.

Una de las figuras tridimensionales más simples es la pirámide triangular, ya que consta del menor número de caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide regular triangular.

Pirámide triangular

Según la definición general, una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.

La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto en el que se conectan las tres caras laterales se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.

Como ya hemos dicho, la base de una pirámide triangular puede ser un tipo general de triángulo. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.

Cualquier pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.

Volumen de una pirámide triangular general.

Antes de escribir la fórmula del volumen de una pirámide triangular regular, damos una expresión para esta cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:

Sobre este tema: "Global Finance": reseñas de la empresa por parte de empleados y clientes

Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:

V = 1/6*a*h o *h.

Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.

Una pirámide triangular regular tiene un triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:

Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

El volumen de una pirámide regular de base triangular es función de la longitud del lado de la base y de la altura de la figura.

Dado que cualquier polígono regular puede inscribirse en un círculo, cuyo radio determinará de forma única la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir en términos del radio correspondiente r:

V = √3/4*h*r 2 .

Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:

Problema de determinar el volumen de un tetraedro.

Mostraremos cómo utilizar las fórmulas anteriores al resolver problemas de geometría específicos.

Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm. Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.

Recordemos que un tetraedro es una pirámide triangular regular en la que todas las bases son iguales entre sí. Para usar la fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, necesitas calcular dos cantidades:

Sobre este tema: Estos materiales inusuales pronto se utilizarán para fabricar asientos para automóviles

• longitud del lado del triángulo;
• altura de la figura.

La primera cantidad se conoce a partir del planteamiento del problema:

Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.

El triángulo marcado ABC es un triángulo rectángulo, donde el ángulo ABC mide 90°. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:

Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Ahora puedes sustituir h y a en la fórmula correspondiente para el volumen:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de las condiciones del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta que se presenta en algunas sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.

Problema de la pirámide homotética

Aquí veremos ejemplos relacionados con el concepto de volumen. Para resolver este tipo de problemas, debes conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:

S

h – altura de la pirámide

La base puede ser cualquier polígono. Pero en la mayoría de los problemas En el examen, por regla general, las condiciones se refieren a pirámides regulares. Déjame recordarte una de sus propiedades:

La cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base.

Mire la proyección de las pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales (VISTA SUPERIOR):

Puedes hacerlo en el blog, donde se discutieron los problemas relacionados con encontrar el volumen de una pirámide.Consideremos las tareas:

27087. Calcula el volumen de una pirámide triangular regular cuyos lados de base son iguales a 1 y cuya altura es igual a la raíz de tres.

S– área de la base de la pirámide

h– altura de la pirámide

Encontremos el área de la base de la pirámide, esta es triangulo regular. Usemos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:

Respuesta: 0,25

27088. Calcula la altura de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son iguales a 2 y cuyo volumen es igual a la raíz de tres.

Conceptos como la altura de una pirámide y las características de su base están relacionados mediante la fórmula del volumen:

S– área de la base de la pirámide

h– altura de la pirámide

Conocemos el volumen en sí, podemos encontrar el área de la base, ya que conocemos los lados del triángulo, que es la base. Conociendo los valores indicados, podemos encontrar fácilmente la altura.

Para encontrar el área de la base, usamos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes y el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:

Así, sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen, podemos calcular la altura de la pirámide:

La altura es tres.

Respuesta: 3

27109. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 6 y el borde lateral es 10. Encuentra su volumen.

El volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:

S– área de la base de la pirámide

h– altura de la pirámide

Sabemos la altura. Necesitas encontrar el área de la base. Permítanme recordarles que la cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base. La base de una pirámide cuadrangular regular es un cuadrado. Podemos encontrar su diagonal. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en azul):

El segmento que conecta el centro del cuadrado con el punto B es el cateto, que igual a la mitad diagonales de un cuadrado. Podemos calcular este cateto usando el teorema de Pitágoras:

Esto significa BD = 16. Calculemos el área del cuadrado usando la fórmula para el área de un cuadrilátero:

Por eso:

Por tanto, el volumen de la pirámide es:

Respuesta: 256

27178. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 12 y el volumen es 200. Encuentra el borde lateral de esta pirámide.

Se conoce la altura de la pirámide y su volumen, lo que significa que podemos encontrar el área del cuadrado, que es la base. Conociendo el área de un cuadrado podemos encontrar su diagonal. A continuación, considerando un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, calculamos la arista lateral:

Encontremos el área del cuadrado (base de la pirámide):

Calculemos la diagonal del cuadrado. Como su área es 50, el lado será igual a la raíz de cincuenta y según el teorema de Pitágoras:

El punto O divide la diagonal BD por la mitad, lo que significa cateto triángulo rectángulo OB = 5.

Así, podemos calcular a qué es igual el borde lateral de la pirámide:

Respuesta: 13

245353. Encuentra el volumen de la pirámide que se muestra en la figura. Su base es un polígono cuyos lados adyacentes son perpendiculares y uno de los bordes laterales es perpendicular al plano de la base e igual a 3.

Como se ha dicho muchas veces, el volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:

S– área de la base de la pirámide

h– altura de la pirámide

El borde lateral perpendicular a la base es igual a tres, lo que significa que la altura de la pirámide es tres. La base de la pirámide es un polígono cuya área es igual a:

De este modo:

Respuesta: 27

27086. La base de la pirámide es un rectángulo con lados 3 y 4. Su volumen es 16. Calcula la altura de esta pirámide.

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.