• apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
• caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
• costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — aspectos comunes bordes laterales;
• cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
• altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
• sección diagonal de la pirámide- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
• base (A B C D) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.

Propiedades de la pirámide.

1. Cuando todas las costillas laterales tengan el mismo tamaño, Entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
• Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las costillas laterales se forman con el plano de la base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.

2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
• el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que tanto alrededor de cualquier triangular como alrededor de cualquier pirámide regular puede describir la esfera.

4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.

La pirámide más simple.

Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.

Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.

Vídeotutorial 2: Problema de pirámide. Volumen de la pirámide

Vídeotutorial 3: Problema de la pirámide. Pirámide correcta

Conferencia: La pirámide, su base, nervaduras laterales, altura, superficie lateral; Pirámide triangular; pirámide regular

Pirámide- Este cuerpo volumétrico, que tiene un polígono en su base y todas sus caras están formadas por triángulos.

Un caso especial de pirámide es un cono con un círculo en su base.

Veamos los elementos principales de la pirámide:

Apotema- este es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura del borde de la pirámide.

En la figura puedes ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si miras de cerca los nombres, puedes ver que cada triángulo tiene uno carta común– S. Es decir, esto significa que todas las caras laterales (triángulos) convergen en un punto, que se llama la cima de la pirámide.

El segmento OS que conecta el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de triángulos, en el punto de intersección de las alturas) se llama altura de la pirámide.

sección diagonal Se llama plano al que pasa por la cima de la pirámide, así como a una de las diagonales de la base.

Dado que la superficie lateral de la pirámide consta de triángulos, entonces para encontrar área total superficie lateral, debes encontrar el área de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.

El único plano de una pirámide que no pertenece a su vértice se llama base pirámides.

En la figura vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede ser cualquier polígono arbitrario.

Propiedades:

Consideremos el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:

• Se puede dibujar un círculo alrededor de la base de dicha pirámide. Si proyecta la cima de dicha pirámide, su proyección estará ubicada en el centro del círculo.
• Los ángulos en la base de la pirámide son iguales en cada cara.
• Donde condición suficiente Además del hecho de que se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también podemos suponer que todas las aristas tienen diferentes longitudes, podemos considerar los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras.

Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuyo vértice se proyecta exactamente en el centro.
• Si dibuja cada borde lateral de la altura hasta la base, tendrán la misma longitud.
• Para encontrar el área de la superficie lateral de dicha pirámide, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la altura.
• S pb = 0,5P oc H.
• Tipos de pirámide.
• Dependiendo de qué polígono se encuentre en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si la base de la pirámide se encuentra polígono regular(Con lados iguales), entonces dicha pirámide se llamará regular.

Pirámide triangular regular

Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide es un poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular con todas las aristas iguales se llama tetraedro .

costilla lateral de una pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su cima hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son iguales triángulos isósceles. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral La pirámide es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Área superficie completa se llama suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si en una pirámide todas las aristas laterales tienen longitudes iguales, luego la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si todas las caras de una pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula correcta es:

Dónde V- volumen;

base S- área de la base;

h– altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

Ja– apotema;

h- altura;

S lleno

lado S

base S- área de la base;

V– volumen de una pirámide regular.

Pirámide truncada llamada la parte de la pirámide encerrada entre la base y el plano de corte, paralelo a la base pirámides (Fig. 17). Pirámide truncada regular Se llama la parte de una pirámide regular encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Jardines pirámide truncada - polígonos similares. caras laterales – trapecios. Altura de una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Es una sección de una pirámide truncada por un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada son válidas las siguientes fórmulas:

(4)

Dónde S 1 , S 2 – áreas de las bases superior e inferior;

S lleno- superficie total;

lado S– superficie lateral;

h- altura;

V– volumen de una pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular la fórmula es correcta:

Dónde pag 1 , pag 2 – perímetros de las bases;

Ja– apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diédrico en la base es de 60º. Encuentra la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La pirámide es regular, lo que significa que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Ángulo diedro en la base: este es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo. a entre dos perpendiculares: etc. La cima de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito del triángulo). A B C). El ángulo de inclinación del borde lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. para la costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas conocer los catetos. ENTONCES Y TRANSMISIÓN EXTERIOR.. Sea la longitud del segmento BD es igual a 3 A. Punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y de encontramos ENTONCES: De encontramos:

Respuesta:

Ejemplo 2. Encuentra el volumen del truncado correcto. pirámide cuadrangular, si las diagonales de sus bases son iguales a cm y cm, y su altura es 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, debes encontrar los lados de los cuadrados de las bases, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son iguales a 2 cm y 8 cm, respectivamente. Esto significa que las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112cm3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapecio, necesitas saber la base y la altura. Las bases se dan según el estado, sólo se desconoce la altura. La encontraremos de donde A 1 mi perpendicular a un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D– perpendicular desde A 1 por C.A.. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware Hagamos un dibujo adicional que muestre la vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE– proyección de los centros de las bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO– radio inscrito en el círculo y om– radio inscrito en un círculo:

MK = DE.

Según el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.

Usemos la afirmación de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE– proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano de la base. Por el teorema del área proyección ortogonal figura plana obtenemos:

De la misma manera significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide. A B C D. Dibujemos un trapecio A B C D por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE– el centro de un círculo inscrito en un trapezoide.

Dado que un círculo puede inscribirse en un trapezoide, entonces o Del teorema de Pitágoras tenemos

Hipótesis: Creemos que la perfección de la forma piramidal se debe a leyes matemáticas, incrustado en su forma.

Objetivo: habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.

Tareas:

1. Dar definición matemática pirámide.

2. Estudiar la pirámide como cuerpo geométrico.

3. Entiende qué conocimiento matemático los egipcios lo pusieron en sus pirámides.

Preguntas privadas:

1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?

2. ¿Cómo podemos explicar la forma única de la pirámide con punto matemático¿visión?

3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?

4. ¿Qué explica la perfección de la forma piramidal?

Definición de pirámide.

PIRÁMIDE (del griego pyramis, gen. Pyramidos) - un poliedro cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos que tienen cima común(dibujo). Según el número de vértices de la base, las pirámides se clasifican en triangulares, cuadrangulares, etc.

PIRÁMIDE - un edificio monumental con forma geometrica pirámides (a veces también escalonadas o en forma de torre). Las pirámides son el nombre que se les da a las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo. e., así como antiguos pedestales de templos americanos (en México, Guatemala, Honduras, Perú), asociados con cultos cosmológicos.

Es posible que Palabra griega"pirámide" proviene de expresión egipcia per-em-us es decir, del término que significa la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram...j” proviene del antiguo egipcio “p"-mr".

De la historia. Habiendo estudiado el material del libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzov y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por un n-góno A1A2A3... An yn triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3...An es la base de la pirámide, y los triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos PA1, PA2,.. ., PAn son los bordes laterales.

Sin embargo, esta definición de pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el antiguo matemático griego, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura sólida limitada por planos que convergen de un plano a un punto.

Pero esta definición ya fue criticada en la antigüedad. Entonces Heron sugirió siguiente definición pirámide: “Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono”.

Nuestro grupo, después de comparar estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de "fundamento".

Examinamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elementos de geometría” define una pirámide de la siguiente manera: “Una pirámide es una figura sólida formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en lados diferentes base plana."

Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que estamos hablando acerca de que la base sea plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: "una pirámide es un ángulo sólido intersecado por un plano".

Pirámide como cuerpo geométrico.

Eso. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las caras restantes (lados) son triángulos que tienen un vértice común (el vértice de la pirámide).

La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama alturah pirámides.

Además de la pirámide arbitraria, hay pirámide correcta en cuya base hay un polígono regular y pirámide truncada.

En la figura hay una pirámide PABCD, ABCD es su base, PO es su altura.

Superficie total La pirámide es la suma de las áreas de todas sus caras.

Sfull = Sside + Smain, Dónde Lado– la suma de las áreas de las caras laterales.

Volumen de la pirámide se encuentra mediante la fórmula:

V=1/3Sbas. h, donde Sbas. - área de la base, h- altura.

El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- altura de la cara lateral (apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es intersecada por el plano A’B’C’D’, paralelo a la base, entonces:

1) las nervaduras laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;

2) en sección se obtiene un polígono A’B’C’D’, similar a la base;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ancho="287" alto="151">

Bases de una pirámide truncada– polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapecios.

Altura pirámide truncada: la distancia entre las bases.

Volumen truncado La pirámide se encuentra mediante la fórmula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado = ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- altura de la cara lateral (apotema de un piri truncado regular

Secciones de una pirámide.

Las secciones de una pirámide formadas por planos que pasan por su vértice son triángulos.

Una sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de una pirámide se llama sección diagonal.

Si la sección pasa por un punto costilla lateral y el lado de la base, entonces su traza en el plano de la base de la pirámide será este lado.

Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide y una sección determinada traza en el plano base, entonces la construcción se debe realizar de la siguiente manera:

· encontrar el punto de intersección del plano de una cara determinada y la traza de la sección de la pirámide y designarlo;

construir una línea recta que pase por Punto dado y el punto de intersección resultante;

· repite estos pasos para las siguientes caras.

, que corresponde a la relación de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de los catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, que se llama triángulo “perfecto”, “sagrado” o “egipcio”. Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios comparaban la naturaleza del universo con un triángulo “sagrado”; comparaban simbólicamente el cateto vertical con el marido, la base con la esposa y la hipotenusa con lo que nace de ambos.

Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No era este teorema el que los sacerdotes egipcios querían perpetuar erigiendo una pirámide basada en el triángulo 3:4:5? Es difícil encontrar un ejemplo más exitoso para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de su descubrimiento por Pitágoras.

Así, los brillantes creadores Pirámides egipcias buscaron sorprender a los descendientes lejanos con la profundidad de sus conocimientos, y lo lograron eligiendo "dorado" como la "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops. triángulo rectángulo, y para la pirámide de Kefrén, el triángulo "sagrado" o "egipcio".

Muy a menudo en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con proporciones áureas.

En matemáticas diccionario enciclopédico Se da la siguiente definición de Sección Áurea - esta es una división armónica, división en razón extrema y media - dividiendo el segmento AB en dos partes de tal manera que su parte mayor AC sea el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte más pequeña NE.

Determinación algebraica de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a – x), de la cual x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.

La construcción geométrica de la sección áurea del segmento AB se realiza de la siguiente manera: en el punto B se restablece la perpendicular a AB, sobre él se traza el segmento BE = 1/2 AB, se conectan A y E, DE = Se despide BE y, finalmente, AC = AD, entonces se cumple la igualdad AB: CB = 2:3.

proporción áurea A menudo se utiliza en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos Se encuentran la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en el tallo común de las plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas el tercero se ubica en la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la proporción áurea "en nuestras manos" con nosotros: esta es la proporción de las falanges de los dedos.

Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medición del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático de Rhind. Al estudiar estos problemas, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios abordaban en diferentes cantidades, que surgió en el cálculo de medidas de peso, longitud y volumen, que a menudo utilizaban fracciones y cómo trataban los ángulos.

Los antiguos egipcios utilizaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaban cualquier ángulo en el lenguaje de un gradiente. La pendiente de la pendiente se expresó como una relación de números enteros llamada "seced". En Matemáticas en la época de los faraones, Richard Pillins explica: “El segundo de una pirámide regular es la pendiente de cualquiera de las cuatro caras triangulares al plano de la base, medido por el enésimo número de unidades horizontales por una unidad vertical de elevación. Por tanto, esta unidad de medida es equivalente a nuestra cotangente moderna del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seced" está relacionada con nuestra palabra moderna"degradado"".

La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y su base. En términos prácticos, esta es la forma más sencilla de realizar las plantillas necesarias para comprobar constantemente el correcto ángulo de inclinación durante toda la construcción de la pirámide.

Los egiptólogos estarían felices de convencernos de que cada faraón anhelaba expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas, ocultas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Kefrén (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático de Rhind). De modo que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.

Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, la longitud de la hipotenusa 5 nunca fue mencionada. Pero problemas de matematicas Las cuestiones relativas a las pirámides siempre se deciden basándose en el segundo ángulo: la relación entre la altura y la base. Como nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.

Sin duda, los antiguos egipcios conocían las proporciones altura-base utilizadas en las pirámides de Giza. Es posible que estas relaciones para cada pirámide hayan sido elegidas arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de egipcio. Artes visuales. Es muy probable que tales relaciones fueran significativas porque expresaban ideas religiosas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba subordinado a un diseño coherente diseñado para reflejar un determinado tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos La inclinación de las tres pirámides.

En El misterio de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes que vinculan las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del Cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y hay razones para creerlo. cada pirámide como representación de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.

MILAGROS "GEOMÉTRICOS".

Entre las grandiosas pirámides de Egipto lugar especial acepta Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de comenzar a analizar la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: un "codo" (466 mm), que equivalía a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).

Analicemos las dimensiones de la pirámide de Keops (Fig.2), siguiendo los argumentos dados en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinsky " proporción áurea" (1990).

La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia igual a l= 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 “codos”. El cumplimiento total de 500 "codos" se producirá si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.

Altura de la pirámide ( h) los investigadores estiman de diversas formas entre 146,6 y 148,2 m y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas sus proporciones cambian. elementos geométricos. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en las estimaciones de la altura de la pirámide? El caso es que, en sentido estricto, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy mide aproximadamente 10 ´ 10 m, pero hace un siglo medía 6 ´ 6 m. Obviamente la cima de la pirámide fue desmantelada, y no corresponde a la original.

Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Detrás largo tiempo bajo la influencia de una presión colosal (alcanzando 500 toneladas por 1 m2 superficie inferior) la altura de la pirámide ha disminuido en comparación con su altura original.

¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear encontrando la "idea geométrica" ​​básica de la pirámide.

Figura 2.

En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a= 51°51". Este valor todavía es reconocido por la mayoría de los investigadores en la actualidad. Valor específico el ángulo corresponde a la tangente (tg a), igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación entre la altura de la pirámide. C.A. a la mitad de su base C.B.(Fig.2), es decir C.A. / C.B. = h / (l / 2) = 2h / l.

¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272 Comparando este valor con el valor tg a= 1,27306, vemos que estos valores están muy próximos entre sí. Si tomamos el ángulo a= 51°50", es decir, redúzcalo sólo en un minuto de arco, entonces el valor a será igual a 1.272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a=51°50".

Estas mediciones llevaron a los investigadores a lo siguiente: hipótesis interesante: el triángulo ACB de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / C.B. = = 1,272!

Consideremos ahora el triángulo rectángulo. A B C, en el que la proporción de las piernas C.A. / C.B.= (Figura 2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo A B C designar por X, y, z, y también tener en cuenta que la relación y/X= , entonces de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular usando la fórmula:

si aceptamos X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">

Figura 3. Triángulo rectángulo "dorado".

Un triángulo rectángulo cuyos lados están relacionados como t:triángulo rectángulo dorado.

Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" ​​de la pirámide de Keops es un triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí podemos calcular fácilmente la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:

Alto = (L/2)´ = 148,28 m.

Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "áurea". En particular, encontraremos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. C.B. por unidad, es decir: C.B.= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base E F G H será igual SEFGH = 4.

Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops. Dakota del Sur. desde la altura AB triángulo AEF igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a Dakota del Sur = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área exterior total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Eso es lo que es - El principal misterio geométrico de la pirámide de Keops.!

Al grupo " maravillas geométricas"A las pirámides de Keops se les pueden atribuir propiedades reales y ficticias de la relación entre diferentes dimensiones en la pirámide.

Por regla general, se obtienen en busca de determinadas “constantes”, en particular, el número “pi” (número de Ludolfo), igual a 3,14159...; jardines logaritmos naturales"e" (número de Neper), igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual a, por ejemplo, 0,618... etc.

Se puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura)2 = 0,5 art. básico x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Altura: 0,5 art. base = Raíz cuadrada de "F"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente: 2 cucharadas. básico : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Borde: Radio del círculo inscrito: 0,5 art. básico = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothema) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. . principal X Apotema) + (v. principal)2). Etc. Puedes encontrar muchas propiedades de este tipo, especialmente si conectas dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefyev" se puede mencionar que la diferencia en los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Mikerin...

Muchos disposiciones interesantes En particular, la construcción de pirámides según la "proporción áurea" se describe en los libros de D. Hambidge "Simetría dinámica en la arquitectura" y M. Gick "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte". Recordemos que la “proporción áurea” es la división de un segmento en una proporción tal que la parte A sea tantas veces mayor que la parte B, cuantas veces A sea menor que todo el segmento A + B. La proporción A/B es igual al número “F” == 1.618. El uso de la “proporción áurea” está indicado no solo en pirámides individuales, sino también en todo el complejo de pirámides de Giza.

Lo más curioso, sin embargo, es que una misma pirámide de Keops simplemente “no puede” contener tantas propiedades maravillosas. Tomando una determinada propiedad una por una, se puede “ajustar”, pero no todas encajan a la vez, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente tomamos el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una cierta "familia" de pirámides que son externamente similares a Keops, pero corresponden diferentes propiedades. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; muchas cosas surgen de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un “milagro” sólo debería considerarse algo que era claramente imposible para los antiguos egipcios. Esto, en particular, incluye los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o del complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces menos, mil millones de veces menos, y pronto. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".

Una de las afirmaciones es: “si divides el lado de la base de la pirámide por la duración exacta de un año, obtienes exactamente 10 millonésimas de un año”. eje de la tierra". Calcular: dividimos 233 entre 365, obtenemos 0,638. El radio de la Tierra es 6378 km.

Otra afirmación es en realidad la contraria a la anterior. F. Noetling señaló que si se utiliza el "codo egipcio" que él mismo inventó, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa". año solar, expresado a la milmillonésima de día más cercana" - 365.540.903.777.

Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque la altura habitualmente tomada es de 146,6 m, Smith la consideró 148,2 m, según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor. órbita terrestre es 149.597.870 + 1,6 km. Ésta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.

Una última declaración interesante:

“¿Cómo podemos explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Mykerinus se relacionan entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus y Marte?” Calculemos. Las masas de las tres pirámides son: Kefrén - 0,835; Keops: 1.000; Mikerin - 0,0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0,815; Tierra: 1.000; Marte - 0,108.

Entonces, a pesar del escepticismo, notamos la conocida armonía en la construcción de las afirmaciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que “va al espacio”, corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide, más cercano “al sustrato”, es decir, a la Tierra, es responsable de radio de la tierra y circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la relación de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Un “cifrado” similar se puede encontrar, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, por el momento nos abstendremos de comentar este asunto.

FORMA DE PIRÁMIDE

La famosa forma tetraédrica de las pirámides no surgió de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Esto ocurrió por primera vez después de la unificación del Alto y Bajo Egipto, en el siglo 28 a.C., cuando antes del fundador III dinastía Al faraón Zoser (Zoser) se le encomendó la tarea de fortalecer la unidad del país.

Y aquí, según los historiadores, papel importante en el fortalecimiento Gobierno central jugó" nuevo concepto"deificación" del rey Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no se diferenciaban de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas, encima de la cámara con el sarcófago que contenía la momia, una forma rectangular. Se vertió una colina de piedras pequeñas, donde luego se colocó un pequeño edificio hecho de grandes bloques de piedra: “mastaba” (en árabe, “banco”). En el lugar de la mastaba de su predecesor, Sanakht, el faraón Zoser erigió la primera. La pirámide era escalonada y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra de mastaba a pirámide.

De esta manera, el sabio y arquitecto Imhotep, que luego fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio, “crió” al faraón. Era como si se erigieran seis mastabas seguidas. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según los estándares egipcios, 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no alargada, sino de planta cuadrada. Posteriormente se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, parecía que había dos escalones.

Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de la enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la cima. La tumba estaba ubicada debajo de la pirámide.

Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero luego los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas que nos resultan más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas según los cuatro puntos cardinales y, por tanto, tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una “casa”, el armazón de una cámara funeraria cuadrangular.

Pero ¿qué determinaba el ángulo de inclinación de las caras? En el libro “El principio de proporciones” se dedica un capítulo entero a esto: “Lo que pudo determinar los ángulos de inclinación de las pirámides”. En particular, se indica que “la imagen hacia la que gravitan las grandes pirámides Reino antiguo- un triángulo con un ángulo recto en el vértice.

En el espacio, es un semioctaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las caras son triangulos equilateros". Ciertas consideraciones se dan sobre este tema en los libros de Hambidge, Gick y otros.

¿Cuál es la ventaja del ángulo semioctaedro? Según descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un “ángulo de durabilidad”, un ángulo que fuera el más confiable desde el punto de vista energético. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar desde el ángulo del vértice de un montón de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, es necesario utilizar un modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, es necesario colocarles una quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puedes cometer un error, por lo que un cálculo teórico te ayudará: debes conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). La base será un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será solo la base de la pirámide, cuya longitud de sus aristas también será igual al doble del radio.

Por lo tanto, un empaquetado compacto de bolas como 1:4 nos dará un semioctaedro regular.

Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Al contrario del famoso dicho:

"Todo en el mundo tiene miedo al tiempo, y el tiempo tiene miedo a las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, en ellas pueden y deben ocurrir no sólo procesos de erosión externa, sino también procesos de "contracción" interna, que pueden hacer que las pirámides se vuelvan más bajas. La contracción también es posible porque, como lo revela el trabajo de D. Davidovits, los antiguos egipcios utilizaban la tecnología de fabricar bloques a partir de virutas de cal, es decir, de "hormigón". Precisamente procesos similares podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, situada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es 118 m. “¿Por qué está tan desfigurado?”, pregunta V. Zamarovsky. “Las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y al “uso de la piedra para otras construcciones” no son adecuadas aquí.

Al fin y al cabo, la mayoría de sus bloques y losas de revestimiento permanecen en su lugar hasta el día de hoy, en ruinas a sus pies". Como veremos, una serie de disposiciones incluso nos hacen pensar que la famosa pirámide de Keops también "se marchitó". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas las pirámides son puntiagudas...

La forma de las pirámides también podría haber sido generada por imitación: algunas muestras naturales, “perfección milagrosa”, digamos, algunos cristales en forma de octaedro.

Cristales similares podrían ser cristales de diamante y oro. Característica un gran número de signos "superpuestos" para conceptos como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), grandioso, impecable, etc. Las similitudes no son accidentales.

El culto solar, como se sabe, formaba una parte importante de la religión Antiguo Egipto. “No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides”, señala uno de ayudas modernas- “El firmamento de Keops” o “El firmamento de Keops”, significaba que el rey es el sol”. Si Keops, en el brillo de su poder, se imaginaba a sí mismo como el segundo sol, entonces su hijo Djedef-Ra se convirtió en. el primero de los reyes egipcios en llamarse a sí mismo “el hijo de Ra", es decir, el hijo del Sol. El Sol de casi todos los pueblos estaba simbolizado por el "metal solar", el oro. "Un gran disco de oro brillante". - así es como los egipcios llamaban a nuestro luz. Los egipcios conocían perfectamente el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.

Lo interesantes que son los "formularios de muestra" aquí y " piedra del sol" - diamante. El nombre de diamante proviene precisamente del mundo árabe, “almas” es el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían bastante bien el diamante y sus propiedades. Según algunos autores, incluso utilizaban tubos de bronce con diamantes. cortadores para taladrar.

Actualmente el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Mali incluso se llama "Tierra del Diamante". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleo-visita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser el motivo de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que precisamente al copiar los octaedros de diamantes y cristales de oro, los antiguos egipcios deificaran a los faraones, “indestructibles” como el diamante y “brillantes” como el oro, los hijos del Sol, sólo comparables. a las más maravillosas creaciones de la naturaleza.

Conclusión:

Habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, conociendo sus elementos y propiedades, estábamos convencidos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.

Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.

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