FUNCIÓN DE GRADIENTE tu = f(x, y, z), dado en alguna región. espacio (XYZ), Hay vector con proyecciones indicadas por los símbolos: grad 
Dónde yo, j, k- vectores unitarios de coordenadas. G.f. - hay una función puntual (x, y, z), es decir, forma un campo vectorial. Derivada en dirección a la G. f. en este punto llega valor más alto y es igual a: 
La dirección del gradiente es la dirección del aumento más rápido de la función. G.f. en un punto dado es perpendicular a la superficie nivelada que pasa por ese punto. Eficiencia del uso de G. f. durante los estudios litológicos se demostró en el estudio de exc. eólicas. Karakum central.
Diccionario geológico: en 2 volúmenes. - M.: Nedra. Editado por KN Paffengoltz et al.. 1978 .
Vea qué es "FUNCIÓN GRADIENTE" en otros diccionarios:
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- (lat.). Diferencias en lecturas barométricas y termométricas en diferentes zonas. Diccionario palabras extranjeras, incluido en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. GRADIENTE es la diferencia en las lecturas de un barómetro y un termómetro en el mismo momento... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.
degradado- Cambiar el valor de una determinada cantidad por unidad de distancia en una dirección determinada. El gradiente topográfico es el cambio en la elevación del terreno a lo largo de una distancia medida horizontalmente. Temas: protección del relé EN gradiente de la característica de disparo de la protección diferencial …
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Diccionario económico y matemático. Uno de los conceptos básicos del análisis vectorial y la teoría de mapeos no lineales. Degradado función escalar Se llama argumento vectorial del espacio euclidiano E n. derivada de la función f(t) con respecto al argumento vectorial t, es decir, un vector n-dimensional con... ...
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Libros
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De un curso escolar de matemáticas sabemos que un vector en un plano es un segmento dirigido. Su inicio y final tienen dos coordenadas. Las coordenadas vectoriales se calculan restando las coordenadas iniciales de las coordenadas finales.
El concepto de vector se puede extender al espacio n-dimensional (en lugar de dos coordenadas habrá n coordenadas).
Degradado gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) es el vector de derivadas parciales de la función en un punto, es decir vector con coordenadas.
Se puede demostrar que el gradiente de una función caracteriza la dirección del crecimiento más rápido del nivel de una función en un punto.
Por ejemplo, para la función z = 2x 1 + x 2 (ver Figura 5.8), el gradiente en cualquier punto tendrá coordenadas (2; 1). Puedes construirlo en un plano de varias maneras, tomando cualquier punto como inicio del vector. Por ejemplo, puede conectar el punto (0; 0) con el punto (2; 1), o el punto (1; 0) con el punto (3; 1), o el punto (0; 3) con el punto (2; 4), o así sucesivamente. (Ver Figura 5.8). Todos los vectores construidos de esta manera tendrán coordenadas (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
En la Figura 5.8 se ve claramente que el nivel de la función aumenta en la dirección del gradiente, ya que las líneas de nivel construidas corresponden a los valores de nivel 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Gradiente de la función z= 2x 1 + x 2
Consideremos otro ejemplo: la función z = 1/(x 1 x 2). El gradiente de esta función ya no será siempre el mismo en diferentes puntos, ya que sus coordenadas están determinadas por las fórmulas (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
La Figura 5.9 muestra las líneas de nivel de función z = 1/(x 1 x 2) para los niveles 2 y 10 (la línea recta 1/(x 1 x 2) = 2 se indica con una línea de puntos, y la línea recta 1/( x 1 x 2) = 10 es una línea continua).
Figura 5.9 - Gradientes de la función z= 1/(x 1 x 2) en varios puntos
Tomemos, por ejemplo, el punto (0,5; 1) y calculemos el gradiente en este punto: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Tenga en cuenta que el punto (0,5; 1) se encuentra en la línea de nivel 1/(x 1 x 2) = 2, porque z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Para dibujar el vector ( -4; -2) en la Figura 5.9, conecta el punto (0.5; 1) con el punto (-3.5; -1), porque (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
Tomemos otro punto en la misma línea de nivel, por ejemplo, el punto (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculemos el gradiente en este punto (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Para representarlo en la Figura 5.9, conectamos el punto (1; 0,5) con el punto (-1; -3,5), porque (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Tomemos otro punto en la misma línea de nivel, pero solo ahora en un cuarto de coordenadas no positivas. Por ejemplo, punto (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). El gradiente en este punto será igual a (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Representémoslo en la Figura 5.9 conectando el punto (-0,5; -1) con el punto (3,5; 1), porque (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).
Cabe señalar que en los tres casos considerados, el gradiente muestra la dirección de crecimiento del nivel de función (hacia la línea de nivel 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Se puede demostrar que la pendiente es siempre perpendicular a la línea de nivel (superficie de nivel) que pasa por un punto determinado.
Extremos de una función de varias variables.
Definamos el concepto extremo para una función de muchas variables.
Una función de muchas variables f(X) tiene en el punto X (0) máximo mínimo), si existe una vecindad de este punto tal que para todos los puntos X de esta vecindad se satisfacen las desigualdades f(X)f(X (0)) ().
Si estas desigualdades se satisfacen como estrictas, entonces el extremo se llama fuerte, y si no, entonces débil.
Tenga en cuenta que el extremo definido de esta manera es local carácter, ya que estas desigualdades se satisfacen sólo para una determinada vecindad del punto extremo.
Una condición necesaria para un extremo local de una función diferenciable z=f(x 1, . . ., x n) en un punto es la igualdad a cero de todas las derivadas parciales de primer orden en este punto: 
.
Los puntos en los que se cumplen estas igualdades se llaman estacionario.
De otra manera, la condición necesaria para un extremo se puede formular de la siguiente manera: en el punto extremo, el gradiente es cero. También se puede demostrar una afirmación más general: en el punto extremo, las derivadas de la función en todas las direcciones desaparecen.
Los puntos estacionarios deben someterse a investigaciones adicionales para determinar si se cumplen las condiciones suficientes para la existencia de un extremo local. Para hacer esto, determine el signo del diferencial de segundo orden. Si para cualquier , no simultáneamente igual a cero, siempre es negativo (positivo), entonces la función tiene un máximo (mínimo). Si puede llegar a cero no sólo con incrementos cero, entonces la cuestión del extremo permanece abierta. Si puede tomar valores tanto positivos como negativos, entonces no hay ningún extremo en un punto estacionario.
En el caso general, determinar el signo del diferencial es un problema bastante complejo que no consideraremos aquí. Para una función de dos variables se puede demostrar que si en un punto estacionario 
, entonces el extremo está presente. En este caso, el signo del segundo diferencial coincide con el signo 
, es decir. Si 
, entonces este es el máximo, y si 
, entonces este es el mínimo. Si 
, entonces no hay ningún extremo en este punto, y si 
, entonces la cuestión del extremo sigue abierta.
Ejemplo 1. Encuentra los extremos de la función. 
.
Encontremos derivadas parciales usando el método de diferenciación logarítmica.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Asimismo 
.
Encontremos puntos estacionarios del sistema de ecuaciones:
Así, se han encontrado cuatro puntos estacionarios (1; 1), (1; -1), (-1; 1) y (-1; -1).
Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Asimismo 
;
.
Porque 
, signo de expresión 
depende sólo de 
. Tenga en cuenta que en ambas derivadas el denominador siempre es positivo, por lo que sólo puede considerar el signo del numerador, o incluso el signo de las expresiones x(x 2 – 3) e y(y 2 – 3). Definámoslo en cada punto crítico y comprobemos que se cumple la condición suficiente para el extremo.
Para el punto (1; 1) obtenemos 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух números negativos
> 0, y 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Para el punto (1; -1) obtenemos 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Porque producto de estos números 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Para el punto (-1; -1) obtenemos (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Porque producto de dos números positivos 
> 0, y 
> 0, en el punto (-1; -1) se puede encontrar el mínimo. Es igual a 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Encontrar global máximo o mínimo (el valor más grande o más pequeño de una función) es algo más complejo que extremo local, ya que estos valores se pueden lograr no solo en puntos estacionarios, pero también en el límite del dominio de definición. No siempre es fácil estudiar el comportamiento de una función en el límite de esta región.
Algunos conceptos y términos se utilizan dentro de un marco puramente limitado. Otras definiciones se encuentran en áreas muy opuestas. Por ejemplo, el concepto de "gradiente" lo utilizan un físico, un matemático y una manicurista o especialista en Photoshop. ¿Qué es el gradiente como concepto? Vamos a resolverlo.
¿Qué dicen los diccionarios?
¿Qué es el "gradiente" especial? diccionarios temáticos interpretados en relación con sus especificidades. Traducido de latín esta palabra significa “el que va, crece”. Y Wikipedia define este concepto como "un vector que indica la dirección del aumento de una cantidad". EN diccionarios explicativos Vemos el significado de esta palabra como "un cambio de cualquier cantidad en un valor". Un concepto puede tener significado tanto cuantitativo como cualitativo.
En resumen, es una transición suave y gradual de cualquier valor por un valor, un cambio progresivo y continuo en cantidad o dirección. El vector lo calculan matemáticos y meteorólogos. Este concepto se utiliza en astronomía, medicina, arte, gráficos de computadora. Un término similar define tipos de actividades completamente diferentes.
Funciones matemáticas
¿Cuál es el gradiente de una función en matemáticas? Esto indica la dirección de crecimiento de una función en un campo escalar de un valor a otro. La magnitud del gradiente se calcula utilizando derivadas parciales. Para determinar la dirección de crecimiento más rápida de una función, se seleccionan dos puntos en el gráfico. Definen el principio y el final del vector. La velocidad a la que un valor crece de un punto a otro es la magnitud del gradiente. Funciones matemáticas, según los cálculos de este indicador, se utilizan en gráficos vectoriales por computadora, cuyos objetos son imágenes gráficas objetos matemáticos.
¿Qué es un gradiente en física?
El concepto de gradiente es común en muchas ramas de la física: gradiente de óptica, temperatura, velocidad, presión, etc. En esta rama, el concepto denota una medida de aumento o disminución de un valor en uno. Se calcula mediante cálculos como la diferencia entre dos indicadores. Veamos algunos de los valores con más detalle.
¿Qué es un gradiente de potencial? en el trabajo con campo electrostático Se determinan dos características: tensión (potencia) y potencial (energía). Estos diferentes tamaños asociados con el medio ambiente. Y aunque determinan diferentes caracteristicas, todavía tienen una conexión entre sí.
Para determinar la tensión campo de fuerza Se utiliza un gradiente de potencial: una cantidad que determina la tasa de cambio de potencial en la dirección. Línea eléctrica. ¿Como calcular? Diferencia potencial entre dos puntos. campo eléctrico se calcula a partir de un voltaje conocido utilizando el vector de voltaje, que es igual al gradiente de potencial.
Términos de meteorólogos y geógrafos.
Por primera vez, los meteorólogos utilizaron el concepto de gradiente para determinar cambios en la magnitud y dirección de varios indicadores meteorológicos: temperatura, presión, velocidad y fuerza del viento. el es la medida cambio cuantitativo varios tamaños. Maxwell introdujo el término en matemáticas mucho más tarde. en definicion las condiciones climáticas Existen conceptos de gradientes verticales y horizontales. Echemos un vistazo más de cerca.
¿Qué es un gradiente de temperatura vertical? Este es un valor que muestra el cambio de indicadores, calculado a una altura de 100 m. Puede ser positivo o negativo, a diferencia del horizontal, que siempre es positivo.
El gradiente muestra la magnitud o ángulo de la pendiente del terreno. Se calcula como la relación entre la altura y la longitud de la proyección del camino en un tramo determinado. Expresado como porcentaje.
Indicadores médicos
La definición de “gradiente de temperatura” también se puede encontrar entre términos médicos. Muestra la diferencia en los indicadores correspondientes. órganos internos y superficies corporales. En biología, un gradiente fisiológico registra cambios en la fisiología de cualquier órgano u organismo en su conjunto en cualquier etapa de su desarrollo. En medicina, el indicador metabólico es la intensidad del metabolismo.
No sólo los físicos, sino también los médicos utilizan este término en su trabajo. ¿Qué es un gradiente de presión en cardiología? Este concepto define la diferencia en la presión arterial en cualquier parte interconectada del sistema cardiovascular.
Un gradiente decreciente de automaticidad es un indicador de una disminución en la frecuencia de las excitaciones del corazón en la dirección desde su base hacia arriba, que ocurre automáticamente. Además, los cardiólogos identifican la ubicación del daño arterial y su grado monitoreando la diferencia en las amplitudes de las ondas sistólicas. En otras palabras, utilizando el gradiente de amplitud del pulso.
¿Qué es un gradiente de velocidad?
Cuando hablan de la tasa de cambio de una determinada cantidad, se refieren a la velocidad de cambio en el tiempo y el espacio. En otras palabras, el gradiente de velocidad determina el cambio de coordenadas espaciales en relación con los indicadores de tiempo. Este indicador lo calculan meteorólogos, astrónomos y químicos. El gradiente de velocidad de corte de las capas líquidas se determina en Industria de petróleo y gas, para calcular la tasa de ascenso de un líquido a través de una tubería. Este indicador movimientos tectónicos- esta es el área de cálculo de los sismólogos.
Funciones económicas
Los economistas utilizan ampliamente el concepto de gradiente para fundamentar importantes conclusiones teóricas. Al resolver problemas de los consumidores, se utiliza una función de utilidad para ayudar a representar las preferencias de un conjunto de alternativas. "Función de restricción presupuestaria" es un término utilizado para referirse a un conjunto de paquetes de consumo. Los gradientes en esta área se utilizan para calcular el consumo óptimo.
gradiente de color
El término "gradiente" es familiar. individuos creativos. Aunque están lejos de las ciencias exactas. ¿Qué es un degradado para un diseñador? desde en Ciencias Exactas- se trata de un aumento gradual del valor en uno, y en color este indicador denota una transición suave y alargada de tonos de un color de más claro a más oscuro, o viceversa. Los artistas llaman a este proceso "estiramiento". También es posible cambiar a diferentes colores acompañantes en la misma gama.
Las extensiones de tonos degradados en las salas de pintura han ocupado un lugar destacado entre las técnicas de diseño. El novedoso estilo sombrío (un suave flujo de sombras de claro a oscuro, de brillante a pálido) transforma eficazmente cualquier habitación del hogar u oficina.
Los ópticos utilizan lentes especiales en las gafas de sol. ¿Qué es un degradado en gafas? Esta es la fabricación de una lente de una manera especial, cuando de arriba a abajo el color cambia de un tono más oscuro a un tono más claro. Los productos elaborados con esta tecnología protegen los ojos de radiación solar y le permiten ver objetos incluso con luz muy brillante.
El color en el diseño web
Para aquellos involucrados en el diseño web y gráficos de computadora, es bien conocida la herramienta universal “degradado”, con la que puedes crear una amplia variedad de efectos. Las transiciones de color se transforman en reflejos, un fondo extraño y tridimensionalidad. La manipulación de sombras y la creación de luces y sombras dan volumen a los objetos vectoriales. Para estos fines se utilizan varios tipos de degradados:
- Lineal.
- Radial.
- En forma de cono.
- Reflejado.
- En forma de diamante.
- gradiente de ruido.
Belleza gradiente
Para los visitantes de los salones de belleza, la pregunta de qué es un gradiente no será una sorpresa. Cierto, y en este caso conocimiento. leyes matemáticas y la física básica no es necesaria. Se trata de Se trata de transiciones de color. Los objetos del degradado son cabello y uñas. La técnica del ombre, que en francés significa "tono", se puso de moda entre los amantes del surf y otras actividades en la playa. El cabello naturalmente decolorado y vuelto a crecer se ha convertido en un éxito. Los amantes de la moda comenzaron a teñirse el cabello especialmente con una transición de tonos apenas perceptible.
La técnica del ombre no ha pasado por los salones de uñas. Un degradado en las uñas crea un color con un aclaramiento gradual de la placa desde la raíz hasta el borde. Los maestros ofrecen variedades horizontales, verticales, con transición y otras.
Costura
Las mujeres costureras conocen el concepto de "gradiente" desde un lado más. Se utiliza una técnica similar para crear cosas. salir adelante por sí mismo en estilo decoupage. De esta forma se crean nuevas antigüedades o se restauran antiguas: cómodas, sillas, cómodas, etc. El decoupage implica aplicar un patrón utilizando una plantilla, cuya base es un degradado de color como fondo.
Los artistas textiles han adoptado este método de teñido para nuevos modelos. Los vestidos con colores degradados han conquistado las pasarelas. La moda fue recogida por las costureras: tejedoras. Son populares las prendas de punto con una transición de color suave.
Para resumir la definición de "gradiente", podemos decir sobre un área muy amplia. actividad humana, en el que se encuentra este término. Reemplazarlo con el sinónimo "vector" no siempre es adecuado, ya que un vector sigue siendo un concepto espacial funcional. Lo que determina la generalidad del concepto es un cambio gradual en una determinada cantidad, sustancia, parámetro físico por unidad durante un período determinado. En color es una suave transición de tono.
