La necesidad de actuar sobre las probabilidades surge cuando se conocen las probabilidades de algunos eventos y es necesario calcular las probabilidades de otros eventos asociados con estos eventos.
La suma de probabilidades se utiliza cuando es necesario calcular la probabilidad de una combinación o suma lógica de eventos aleatorios.
Suma de eventos A Y B denotar A + B o A ∪ B. La suma de dos eventos es un evento que ocurre si y sólo si ocurre al menos uno de los eventos. Esto significa que A + B– un evento que ocurre si y sólo si el evento ocurrió durante la observación A o evento B, o simultáneamente A Y B.
Si los eventos A Y B son mutuamente inconsistentes y sus probabilidades están dadas, entonces la probabilidad de que uno de estos eventos ocurra como resultado de una prueba se calcula usando la suma de probabilidades.
Teorema de la suma de probabilidades. La probabilidad de que suceda una de dos cosas es mutuamente excluyente. eventos conjuntos, es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
Por ejemplo, mientras se caza, se disparan dos tiros. Evento A– golpear a un pato con el primer disparo, evento EN– impacto del segundo disparo, evento ( A+ EN) – un impacto del primer o segundo disparo o de dos disparos. Entonces, si dos eventos A Y EN– eventos incompatibles, entonces A+ EN– la ocurrencia de al menos uno de estos eventos o dos eventos.
Ejemplo 1. Hay 30 bolas en una caja. mismos tamaños: 10 rojos, 5 azules y 15 blancos. Calcula la probabilidad de que se recoja una bola de color (no blanca) sin mirar.
Solución. Supongamos que el evento A- “se toma la bola roja”, y el evento EN- “La bola azul fue tomada”. Entonces el evento es “se toma una bola de color (no blanca)”. Encontremos la probabilidad del evento. A:
y eventos EN:
Eventos A Y EN– mutuamente incompatibles, ya que si se toma una pelota, las pelotas no se pueden tomar Colores diferentes. Por tanto, utilizamos la suma de probabilidades:
El teorema para sumar probabilidades de varios eventos incompatibles. Si los eventos constituyen un conjunto completo de eventos, entonces la suma de sus probabilidades es igual a 1:
La suma de las probabilidades de eventos opuestos también es igual a 1:
Los eventos opuestos forman un conjunto completo de eventos y la probabilidad de que ocurra un conjunto completo de eventos es 1.
Las probabilidades de eventos opuestos generalmente se indican en letras minúsculas. pag Y q. En particular,
que sigue siguientes fórmulas probabilidades de eventos opuestos:
Ejemplo 2. El objetivo en el campo de tiro se divide en 3 zonas. La probabilidad de que un determinado tirador dispare al objetivo en la primera zona es de 0,15, en la segunda zona – 0,23, en la tercera zona – 0,17. Encuentre la probabilidad de que el tirador dé en el blanco y la probabilidad de que el tirador falle en el blanco.
Solución: Encuentre la probabilidad de que el tirador dé en el blanco:
Encontremos la probabilidad de que el tirador falle en el objetivo:
Los problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, se pueden encontrar en la página "Varios problemas que implican la suma y la multiplicación de probabilidades".
Suma de probabilidades de eventos mutuamente simultáneos.
Dos eventos aleatorios se llaman conjuntos si la ocurrencia de un evento no excluye la ocurrencia de un segundo evento en la misma observación. Por ejemplo, al lanzar dado evento A Se considera que el número 4 está desplegado y el evento EN– sacar un número par. Como el número 4 es número par, estos dos eventos son compatibles. En la práctica, surgen problemas a la hora de calcular las probabilidades de que ocurra uno de los eventos mutuamente simultáneos.
Teorema de la suma de probabilidades para eventos conjuntos. La probabilidad de que ocurra uno de los eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos, de la cual se resta la probabilidad. ofensiva general ambos eventos, es decir, producto de probabilidades. La fórmula para las probabilidades de eventos conjuntos tiene la siguiente forma:
Desde los acontecimientos A Y EN compatible, evento A+ EN ocurre si ocurre uno de tres posibles eventos: o AB. Según el teorema de la suma de eventos incompatibles, calculamos de la siguiente manera:
Evento A ocurrirá si ocurre uno de dos eventos incompatibles: o AB. Sin embargo, la probabilidad de que ocurra un evento entre varios eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de todos estos eventos:
Asimismo:
Sustituyendo las expresiones (6) y (7) en la expresión (5), obtenemos la fórmula de probabilidad para eventos conjuntos:
Al utilizar la fórmula (8), se debe tener en cuenta que los eventos A Y EN puede ser:
- mutuamente independientes;
- mutuamente dependientes.
Fórmula de probabilidad para mutuamente eventos independientes:
Fórmula de probabilidad para eventos mutuamente dependientes:
Si los eventos A Y EN son inconsistentes, entonces su coincidencia es un caso imposible y, por lo tanto, PAG(AB) = 0. La cuarta fórmula de probabilidad para eventos incompatibles es:
Ejemplo 3. En las carreras de autos, cuando conduces el primer auto, tienes más posibilidades de ganar, y cuando conduces el segundo auto. Encontrar:
- la probabilidad de que ambos coches ganen;
- la probabilidad de que gane al menos un coche;
1) La probabilidad de que gane el primer auto no depende del resultado del segundo auto, por lo que los eventos A(el primer coche gana) y EN(el segundo coche ganará) – eventos independientes. Encontremos la probabilidad de que ambos autos ganen:
2) Calcula la probabilidad de que gane uno de los dos coches:
Los problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, se pueden encontrar en la página "Varios problemas que implican la suma y la multiplicación de probabilidades".
Resuelva el problema de suma de probabilidades usted mismo y luego observe la solución.
Ejemplo 4. Se lanzan dos monedas. Evento A- pérdida del escudo de armas de la primera moneda. Evento B- pérdida del escudo de armas de la segunda moneda. Encuentra la probabilidad de un evento. C = A + B .
Multiplicar probabilidades
La multiplicación de probabilidad se utiliza cuando se debe calcular la probabilidad de un producto lógico de eventos.
Donde eventos aleatorios debe ser independiente. Se dice que dos eventos son mutuamente independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el segundo.
Teorema de multiplicación de probabilidad para eventos independientes. Probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos independientes. A Y EN es igual al producto de las probabilidades de estos eventos y se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo 5. La moneda se lanza tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de que el escudo de armas aparezca las tres veces.
Solución. La probabilidad de que el escudo de armas aparezca en el primer lanzamiento de una moneda, en la segunda y en la tercera vez. Encontremos la probabilidad de que el escudo de armas aparezca las tres veces:
Resuelve problemas de multiplicación de probabilidad por tu cuenta y luego mira la solución.
Ejemplo 6. Hay una caja con nueve pelotas de tenis nuevas. Para jugar se cogen tres bolas, y al finalizar el juego se devuelven. Al elegir las pelotas, las jugadas no se distinguen de las no jugadas. ¿Cuál es la probabilidad de que después tres juegos¿Quedan bolas sin jugar en la caja?
Ejemplo 7. 32 letras del alfabeto ruso están escritas en tarjetas del alfabeto recortadas. Se extraen cinco cartas al azar, una tras otra, y se colocan sobre la mesa en orden de aparición. Calcula la probabilidad de que las letras formen la palabra "fin".
Ejemplo 8. De una baraja de cartas completa (52 hojas), se extraen cuatro cartas a la vez. Calcula la probabilidad de que estas cuatro cartas sean de diferentes palos.
Ejemplo 9. La misma tarea que en el ejemplo 8, pero cada carta después de ser retirada se devuelve al mazo.
En la página "Varios problemas que involucran suma y multiplicación de probabilidades" se pueden encontrar problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, así como calcular el producto de varios eventos.
La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos mutuamente independientes se puede calcular restando de 1 el producto de las probabilidades de eventos opuestos, es decir, usando la fórmula:
Ejemplo 10. La carga se entrega mediante tres modos de transporte: fluvial, ferroviario y por carretera. Probabilidad de que la carga sea entregada. transporte fluvial, es 0,82, por ferrocarril 0,87, por transporte motorizado 0,90. Encuentre la probabilidad de que la carga sea entregada por al menos uno de tres tipos transporte.
Todo en el mundo sucede de forma determinista o por casualidad...
Aristóteles
Probabilidad: reglas básicas
La teoría de la probabilidad calcula probabilidades. varios eventos. Fundamental para la teoría de la probabilidad es el concepto de evento aleatorio.
Por ejemplo, lanzas una moneda y cae aleatoriamente en cara o cruz. No sabes de antemano en qué cara caerá la moneda. Celebra un contrato de seguro; no sabe de antemano si se realizarán los pagos o no.
En los cálculos actuariales, es necesario poder estimar la probabilidad de varios eventos, por lo que la teoría de la probabilidad juega un papel clave. Ninguna otra rama de las matemáticas puede abordar las probabilidades de eventos.
Echemos un vistazo más de cerca al lanzamiento de una moneda. Hay 2 resultados mutuamente excluyentes: el escudo de armas se cae o las colas se caen. El resultado del lanzamiento es aleatorio, ya que el observador no puede analizar y tener en cuenta todos los factores que influyen en el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que se caiga el escudo de armas? La mayoría responderá ½, pero ¿por qué?
Que sea formal A indica la pérdida del escudo de armas. Deja que la moneda se lance norte una vez. Entonces la probabilidad del evento A Se puede definir como la proporción de aquellos lanzamientos que resultan en un escudo de armas:
Dónde norte total lanza, n / A) el número de escudos de armas disminuye.
La relación (1) se llama frecuencia eventos A en una larga serie de pruebas.
Resulta que en varias series de pruebas la frecuencia correspondiente en general norte se agrupa alrededor de algunos valor constante PENSILVANIA). Esta cantidad se llama probabilidad de un evento A y se designa con la letra R- abreviatura de palabra inglesa probabilidad - probabilidad.
Formalmente tenemos:
(2)
Esta ley se llama ley de los grandes números.
Si la moneda es justa (simétrica), entonces la probabilidad de obtener un escudo de armas es igual a la probabilidad de obtener cara y es igual a ½.
Dejar A Y EN algunos eventos, por ejemplo, si ocurrió o no un evento asegurado. La unión de dos eventos es un evento que consiste en la ejecución de un evento. A, eventos EN, o ambos eventos juntos. La intersección de dos acontecimientos. A Y EN llamado un evento que consiste en la implementación como un evento A y eventos EN.
Reglas básicas El cálculo de probabilidades de eventos es el siguiente:
1. La probabilidad de cualquier evento está entre cero y uno:
2. Sean A y B dos eventos, entonces:
Se lee así: la probabilidad de que dos eventos se combinen es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos menos la probabilidad de que los eventos se crucen. Si los eventos son incompatibles o no se superponen, entonces la probabilidad de la unión (suma) de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades. Esta ley se llama ley. suma probabilidades.
Decimos que un evento es confiable si su probabilidad es igual a 1. Al analizar ciertos fenómenos, surge la pregunta de cómo afecta la ocurrencia de un evento. EN ante la ocurrencia de un evento A. Para hacer esto, ingrese la probabilidad condicional :
(4)
Se lee así: probabilidad de ocurrencia A dado que EN es igual a la probabilidad de intersección A Y EN, dividido por la probabilidad del evento EN.
La fórmula (4) supone que la probabilidad de un evento EN Por encima de cero.
La fórmula (4) también se puede escribir como:
(5)
Esta es la fórmula multiplicar probabilidades.
La probabilidad condicional también se llama posteriormente probabilidad de un evento A- probabilidad de ocurrencia A después del ataque EN.
En este caso, la probabilidad misma se llama a priori probabilidad. Hay varios mas fórmulas importantes, que se utilizan intensamente en los cálculos actuariales.
Fórmula de probabilidad total
Supongamos que se está llevando a cabo un experimento cuyas condiciones pueden determinarse de antemano. mutuamente supuestos mutuamente excluyentes (hipótesis):
Suponemos que existe una hipótesis, o...o. Las probabilidades de estas hipótesis son conocidas e iguales:
Entonces la fórmula se cumple lleno probabilidades :
(6)
Probabilidad de que ocurra un evento A igual a la suma de los productos de la probabilidad de ocurrencia A para cada hipótesis sobre la probabilidad de esta hipótesis.
fórmula de bayes
fórmula de bayes
le permite recalcular la probabilidad de hipótesis a la luz nueva información que dio el resultado A.
fórmula de bayes en cierto sentido es la inversa de la fórmula probabilidad total.
Considere el siguiente problema práctico.
Problema 1
Supongamos que se produce un accidente aéreo y los expertos están ocupados investigando sus causas. Se conocen de antemano 4 razones por las que ocurrió el desastre: o la causa, o, o, o. Según las estadísticas disponibles, estas razones tienen las siguientes probabilidades:
Al examinar el lugar del accidente, se encontraron rastros de ignición de combustible, según las estadísticas, la probabilidad de que este evento ocurra por una razón u otra es la siguiente:
Pregunta: ¿cuál es la causa más probable del desastre?
Calculemos las probabilidades de las causas en las condiciones de ocurrencia de un evento. A.
De esto se desprende que la primera razón es la más probable, ya que su probabilidad es máxima.
Problema 2
Considere un avión que aterriza en un aeródromo.
Al aterrizar clima puede ser de la siguiente manera: sin nubes bajas (), nubes bajas sí (). En el primer caso, la probabilidad de un aterrizaje seguro es P1. En el segundo caso - P2. Está claro que P1>P2.
Los dispositivos que proporcionan aterrizaje ciego tienen una probabilidad de funcionar sin problemas. R. Si hay nubes bajas y los instrumentos de aterrizaje ciego han fallado, la probabilidad de un aterrizaje exitoso es P3, y P3<Р2 . Se sabe que para un aeródromo determinado la proporción de días al año con nubes bajas es igual a .
Calcula la probabilidad de que el avión aterrice de forma segura.
Necesitamos encontrar la probabilidad.
Hay dos opciones mutuamente excluyentes: los dispositivos de aterrizaje ciego están funcionando, los dispositivos de aterrizaje ciego han fallado, por lo que tenemos:
Por tanto, según la fórmula de probabilidad total:
Problema 3
Una compañía de seguros ofrece seguros de vida. El 10% de los asegurados por esta compañía son fumadores. Si el asegurado no fuma, la probabilidad de que fallezca durante el año es 0,01. Si es fumador, entonces esta probabilidad es 0,05.
¿Cuál es la proporción de fumadores entre los asegurados que fallecieron durante el año?
Respuestas posibles: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Solución
Entremos en los eventos:
La condición del problema significa que
Además, dado que los eventos forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares, entonces .
La probabilidad que nos interesa es .
Usando la fórmula de Bayes tenemos:
por lo tanto la opción correcta es ( EN).
Problema 4
La compañía de seguros vende contratos de seguros de vida en tres categorías: estándar, preferente y ultraprivilegiado.
El 50% de los asegurados son estándar, el 40% son preferentes y el 10% son ultraprivilegiados.
La probabilidad de muerte dentro de un año para un asegurado estándar es 0,010, para uno privilegiado - 0,005 y para uno ultraprivilegiado - 0,001.
¿Cuál es la probabilidad de que el asegurado fallecido sea ultraprivilegiado?
Solución
Introduzcamos los siguientes eventos en consideración:
En términos de estos eventos, la probabilidad que nos interesa es . Por condición:
Dado que los eventos , forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares, usando la fórmula de Bayes tenemos:
Variables aleatorias y sus características.
Sea alguna variable aleatoria, por ejemplo, los daños causados por un incendio o el monto de los pagos del seguro.
Una variable aleatoria se caracteriza completamente por su función de distribución.
Definición. Función 
llamado función de distribución
variable aleatoria ξ
.
Definición. Si existe una función tal que para arbitrario a hecho
entonces dicen que la variable aleatoria ξ Tiene función de densidad de probabilidad f(x).
Definición. Dejar . Para una función de distribución continua F α-cuantil teórico se llama solución de la ecuación.
Esta solución puede no ser la única.
Nivel cuantil ½ llamado teórico mediana , niveles cuantiles ¼ Y ¾ -cuartiles inferior y superior respectivamente.
En aplicaciones actuariales, juega un papel importante. La desigualdad de Chebyshev:
a cualquiera
Símbolo de expectativa matemática.
Se lee así: la probabilidad de que el módulo sea mayor o igual a la expectativa matemática del módulo dividida por.
La vida como variable aleatoria
La incertidumbre del momento de la muerte es un factor de riesgo importante en los seguros de vida.
No se puede decir nada definitivo sobre el momento de la muerte de un individuo. Sin embargo, si estamos tratando con un grupo grande y homogéneo de personas y no estamos interesados en el destino de las personas individuales de este grupo, entonces estamos dentro del marco de la teoría de la probabilidad como ciencia de los fenómenos aleatorios masivos que tienen la propiedad de estabilidad de frecuencia. .
Respectivamente, Podemos hablar de esperanza de vida como una variable aleatoria T.
Función de supervivencia
La teoría de la probabilidad describe la naturaleza estocástica de cualquier variable aleatoria. t función de distribución F(x), que se define como la probabilidad de que la variable aleatoria t menos que el numero X:
.
En matemáticas actuariales es bueno trabajar no con la función de distribución, sino con la función de distribución adicional. 
.
En términos de longevidad, esta es la probabilidad de que una persona viva hasta envejecer. X años.
llamado función de supervivencia(función de supervivencia):
La función de supervivencia tiene las siguientes propiedades:
Las tablas de vida generalmente suponen que hay algo limite de edad (edad límite) (generalmente años) y, en consecuencia, en x>.
Al describir la mortalidad mediante leyes analíticas, generalmente se supone que el tiempo de vida es ilimitado, pero el tipo y los parámetros de las leyes se seleccionan de modo que la probabilidad de vida más allá de cierta edad sea insignificante.
La función de supervivencia tiene un significado estadístico simple.
Digamos que estamos observando un grupo de recién nacidos (normalmente) a quienes observamos y podemos registrar los momentos de su muerte.
Denotemos el número de representantes vivos de este grupo por edad por . Entonces:
.
Símbolo mi aquí y abajo se utiliza para denotar expectativa matemática.
Entonces, la función de supervivencia es igual a la proporción promedio de aquellos que sobreviven hasta la edad de algún grupo fijo de recién nacidos.
En matemáticas actuariales, a menudo no se trabaja con la función de supervivencia, sino con el valor recién introducido (fijación del tamaño inicial del grupo).
La función de supervivencia se puede reconstruir a partir de la densidad:
Características de la vida útil
Desde un punto de vista práctico, las siguientes características son importantes:
1 . Promedio toda la vida
,
2
. Dispersión toda la vida
,
Dónde 
,
Definición clásica y estadística de probabilidad.
Para las actividades prácticas, es necesario poder comparar eventos según el grado de posibilidad de que ocurran. Consideremos un caso clásico. Hay 10 bolas en la urna, 8 de ellas son blancas y 2 son negras. Obviamente, el evento “se sacará una bola blanca de la urna” y el evento “se sacará una bola negra de la urna” tienen diferentes grados de posibilidad de que ocurran. Por tanto, para comparar acontecimientos se necesita una determinada medida cuantitativa.
Una medida cuantitativa de la posibilidad de que ocurra un evento es probabilidad . Las definiciones más utilizadas de probabilidad de un evento son la clásica y la estadística.
Definición clásica La probabilidad está asociada con el concepto de un resultado favorable. Veamos esto con más detalle.
Dejemos que los resultados de alguna prueba formen un grupo completo de eventos y sean igualmente posibles, es decir únicamente posibles, incompatibles e igualmente posibles. Estos resultados se denominan resultados elementales, o casos. Se dice que la prueba se reduce a esquema de caso o " esquema de urna", porque Cualquier problema de probabilidad para tal prueba puede ser reemplazado por un problema equivalente con urnas y bolas de diferentes colores.
El resultado se llama favorable evento A, si la ocurrencia de este caso implica la ocurrencia del evento A.
Según la definición clásica probabilidad de un evento A es igual a la relación entre el número de resultados favorables a este evento y el número total de resultados., es decir.
| , | (1.1) |
Dónde PENSILVANIA)– probabilidad de evento A; metro– número de casos favorables al evento A; norte– número total de casos.
Ejemplo 1.1. Al lanzar un dado, hay seis resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par de puntos?
Solución. Todo norte= 6 resultados forman un grupo completo de eventos y son igualmente posibles, es decir únicamente posibles, incompatibles e igualmente posibles. El evento A - "la aparición de un número par de puntos" - se ve favorecido por 3 resultados (casos): la pérdida de 2, 4 o 6 puntos. Usando la fórmula clásica para la probabilidad de un evento, obtenemos
PENSILVANIA) = = . ◄
Basándonos en la definición clásica de probabilidad de un evento, observamos sus propiedades:
1. La probabilidad de cualquier evento está entre cero y uno, es decir
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno.
3. La probabilidad de un evento imposible es cero.
Como se indicó anteriormente, la definición clásica de probabilidad es aplicable solo para aquellos eventos que pueden surgir como resultado de pruebas que tienen simetría de posibles resultados, es decir reducible a un patrón de casos. Sin embargo, existe una gran clase de eventos cuyas probabilidades no pueden calcularse utilizando la definición clásica.
Por ejemplo, si suponemos que la moneda está aplanada, entonces es obvio que los eventos “aparición de un escudo de armas” y “aparición de cabezas” no pueden considerarse igualmente posibles. Por tanto, la fórmula para determinar la probabilidad según el esquema clásico no es aplicable en este caso.
Sin embargo, existe otro enfoque para estimar la probabilidad de eventos, basado en la frecuencia con la que ocurrirá un evento determinado en las pruebas realizadas. En este caso, se utiliza la definición estadística de probabilidad.
Probabilidad estadísticaEl evento A es la frecuencia relativa (frecuencia) de ocurrencia de este evento en n ensayos realizados, es decir
 ,
| (1.2) |
Dónde PENSILVANIA)– probabilidad estadística de un evento A; Washington)– frecuencia relativa del evento A; metro– número de ensayos en los que ocurrió el evento A; norte– número total de pruebas.
A diferencia de la probabilidad matemática PENSILVANIA), considerado en la definición clásica, probabilidad estadística PENSILVANIA) es una característica experimentado, experimental. En otras palabras, la probabilidad estadística de un evento. A es el número alrededor del cual se estabiliza (establece) la frecuencia relativa Washington) con un aumento ilimitado del número de pruebas realizadas en el mismo conjunto de condiciones.
Por ejemplo, cuando dicen de un tirador que acierta en el objetivo con una probabilidad de 0,95, esto significa que de cientos de disparos realizados por él en determinadas condiciones (el mismo objetivo a la misma distancia, el mismo rifle, etc.). ), en promedio hay alrededor de 95 exitosos. Naturalmente, no cada cien tendrán 95 tiros exitosos, a veces serán menos, a veces más, pero en promedio, con múltiples repeticiones de tiro en las mismas condiciones, este porcentaje de aciertos se mantendrá sin cambios. La cifra de 0,95, que sirve como indicador de la habilidad del tirador, suele ser muy estable, es decir. el porcentaje de aciertos en la mayoría de los tiroteos será casi el mismo para un tirador determinado, sólo que en casos raros se desviará significativamente de su valor medio.
Otra desventaja de la definición clásica de probabilidad ( 1.1 ) lo que limita su uso es que asume un número finito de resultados de prueba posibles. En algunos casos, esta desventaja puede superarse utilizando una definición geométrica de probabilidad, es decir, encontrar la probabilidad de que un punto caiga en un área determinada (segmento, parte de un plano, etc.).
Deja que la figura plana gramo forma parte de una figura plana GRAMO(Figura 1.1). Adaptar GRAMO Se lanza un punto al azar. Esto significa que todos los puntos de la región GRAMO“igualdad de derechos” con respecto a si un punto aleatorio lanzado lo golpea. Suponiendo que la probabilidad de un evento A– la punta lanzada golpea la figura gramo– es proporcional al área de esta figura y no depende de su ubicación con respecto a GRAMO, ni de la forma gramo, lo encontraremos
“El lector ya habrá notado en nuestra presentación el uso frecuente del concepto “probabilidad”.
Este es un rasgo característico de la lógica moderna en contraposición a la lógica antigua y medieval. Un lógico moderno entiende que todo nuestro conocimiento es sólo más o menos probabilístico, y no seguro, como los filósofos y los teólogos están acostumbrados a pensar. No le preocupa demasiado el hecho de que la inferencia inductiva sólo imparta probabilidad a su conclusión, ya que no espera nada más. Sin embargo, lo pensará si encuentra motivos para dudar incluso de la probabilidad de su conclusión.
Así, dos problemas han adquirido mucha mayor importancia en la lógica moderna que en épocas anteriores. La primera es la naturaleza de la probabilidad y la segunda es el significado de la inducción. Analicemos brevemente estos problemas.
En consecuencia, existen dos tipos de probabilidad: definida e incierta.
La probabilidad de cierto tipo ocurre en la teoría matemática de la probabilidad, donde se analizan problemas como tirar dados o monedas. Ocurre allí donde existen varias posibilidades y ninguna de ellas puede preferirse a la otra. Si lanzas una moneda, debería caer en cara o cruz, pero ambas parecen igualmente probables. Por lo tanto, las posibilidades de que salga cara y cruz son del 50%, se toma uno como confiabilidad. De manera similar, si tiras un dado, puede caer en cualquiera de los seis lados, y no hay razón para favorecer uno sobre el otro, por lo que cada uno tiene una probabilidad de 1/6. Las compañías de seguros utilizan este tipo de probabilidad en su trabajo. No saben qué edificio se quemará, pero sí saben qué porcentaje de edificios se queman cada año. No saben cuánto tiempo vivirá una persona en particular, pero sí conocen la esperanza de vida promedio en un período determinado. En todos estos casos, la estimación de la probabilidad no es en sí misma meramente probable, excepto en el sentido en que todo conocimiento es meramente probable. Una estimación de probabilidad puede tener en sí misma un alto grado de probabilidad. De lo contrario, las compañías de seguros quebrarían.
Se han hecho grandes esfuerzos para aumentar la probabilidad de inducción, pero hay motivos para creer que todos estos intentos fueron en vano. La probabilidad característica de las inferencias inductivas es casi siempre, como dije antes, de naturaleza incierta.
Ahora te explicaré qué es.
Se ha vuelto trivial decir que todo conocimiento humano es falible. Es obvio que los errores son diferentes. si digo eso Buda Vivió en el siglo VI. Antes de la Natividad de Cristo, la probabilidad de error será muy alta. si digo eso César fue asesinado, la probabilidad de error será pequeña.
Si digo que ahora hay una gran guerra, entonces la probabilidad de un error es tan pequeña que sólo un filósofo o un lógico puede admitir su presencia. Estos ejemplos se refieren a acontecimientos históricos, pero existe una gradación similar en relación con las leyes científicas. Algunas de ellas tienen el carácter obvio de hipótesis, a las que nadie les dará un estatus más serio debido a la falta de datos empíricos a su favor, mientras que otras parecen tan definitivas que prácticamente no hay dudas por parte de los científicos sobre su validez. verdad. (Cuando digo "verdad", me refiero a "verdad aproximada", ya que toda ley científica está sujeta a alguna modificación).
La probabilidad es algo que se encuentra entre lo que estamos seguros y lo que estamos más o menos dispuestos a admitir, si se entiende esta palabra en el sentido de la teoría matemática de la probabilidad.
Sería más correcto hablar de grados de certeza o grados de confiabilidad. . Este es un concepto más amplio de lo que llamé “probabilidad cierta”, que también es más importante”.
Bertrand Russell, El arte de sacar conclusiones / El arte de pensar, M., “Casa de los libros intelectuales”, 1999, p. 50-51.
Probabilidad evento es la relación entre el número de resultados elementales favorables a un evento dado y el número de todos los resultados igualmente posibles de la experiencia en la que este evento puede aparecer. La probabilidad del evento A se denota por P(A) (aquí P es la primera letra de la palabra francesa probabilite - probabilidad). Según la definición
(1.2.1)
¿Dónde está el número de resultados elementales favorables al evento A? - el número de todos los resultados elementales igualmente posibles del experimento, formando un grupo completo de eventos.
Esta definición de probabilidad se llama clásica. Surgió en la etapa inicial del desarrollo de la teoría de la probabilidad.
La probabilidad de un evento tiene las siguientes propiedades:
1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno. Denotemos un evento confiable con la letra . Por lo tanto, para un determinado evento
(1.2.2)
2. La probabilidad de un evento imposible es cero. Denotemos un evento imposible con la letra. Para un evento imposible, por lo tanto
(1.2.3)
3. La probabilidad de un evento aleatorio se expresa como un número positivo menor que uno. Dado que para un evento aleatorio se satisfacen las desigualdades , o , entonces
(1.2.4)
4. La probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades.
(1.2.5)
Esto se desprende de las relaciones (1.2.2) - (1.2.4).
Ejemplo 1. Una urna contiene 10 bolas de igual tamaño y peso, de las cuales 4 son rojas y 6 son azules. Se extrae una bola de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea azul?
Solución. Denotamos el evento “la bola extraída resultó ser azul” con la letra A. Esta prueba tiene 10 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales 6 favorecen el evento A. De acuerdo con la fórmula (1.2.1), obtenemos 
Ejemplo 2. Todos los números naturales del 1 al 30 se escriben en tarjetas idénticas y se colocan en una urna. Después de barajar bien las cartas, se retira una carta de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la tarjeta extraída sea múltiplo de 5?
Solución. Denotemos por A el evento "el número de la tarjeta tomada es múltiplo de 5". En esta prueba hay 30 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales el evento A se ve favorecido por 6 resultados (los números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Por eso, 
Ejemplo 3. Se lanzan dos dados y se calcula la suma de los puntos de las caras superiores. Encuentre la probabilidad del evento B tal que las caras superiores de los dados tengan un total de 9 puntos.
Solución. En esta prueba sólo hay 6 2 = 36 resultados elementales igualmente posibles. El evento B se ve favorecido por 4 resultados: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), por lo tanto 
Ejemplo 4. Se elige al azar un número natural no mayor que 10 ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?
Solución. Denotemos con la letra C el evento “el número elegido es primo”. En este caso, n = 10, m = 4 (números primos 2, 3, 5, 7). Por lo tanto, la probabilidad requerida 
Ejemplo 5. Se lanzan dos monedas simétricas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya números en las caras superiores de ambas monedas?
Solución. Denotemos con la letra D el evento "hay un número en la parte superior de cada moneda". En esta prueba hay 4 resultados elementales igualmente posibles: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notación (G, C) significa que la primera moneda tiene un escudo de armas, la segunda tiene un número). El evento D se ve favorecido por un resultado elemental (C, C). Como m = 1, n = 4, entonces 
Ejemplo 6.¿Cuál es la probabilidad de que un número de dos cifras elegido al azar tenga los mismos dígitos?
Solución. Los números de dos dígitos son números del 10 al 99; Hay 90 números de este tipo en total. 9 números tienen dígitos idénticos (estos son los números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Como en este caso m = 9, n = 90, entonces 
,
donde A es el evento "número con dígitos idénticos".
Ejemplo 7. De las letras de la palabra. diferencial Se elige una letra al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta letra sea: a) vocal, b) consonante, c) letra? h?
Solución. La palabra diferencial tiene 12 letras, de las cuales 5 son vocales y 7 son consonantes. Letras h no hay nada en esta palabra. Designemos los eventos: A - “letra vocal”, B - “letra consonante”, C - “letra h". El número de resultados elementales favorables: - para el evento A, - para el evento B, - para el evento C. Dado que n = 12, entonces
, Y .
Ejemplo 8. Se lanzan dos dados y se anota el número de puntos en la parte superior de cada dado. Calcula la probabilidad de que ambos dados muestren la misma cantidad de puntos.
Solución. Denotemos este evento con la letra A. El evento A se ve favorecido por 6 resultados elementales: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). El número total de resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos, en este caso n=6 2 =36. Esto significa que la probabilidad requerida 
Ejemplo 9. El libro tiene 300 páginas. ¿Cuál es la probabilidad de que una página abierta al azar tenga un número de serie divisible por 5?
Solución. De las condiciones del problema se deduce que todos los resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos serán n = 300. De estos, m = 60 favorecen la ocurrencia del evento especificado. De hecho, un número que es múltiplo de 5 tiene la forma 5k, donde k es un número natural, y , de donde 
. Por eso, 
, donde A - el evento "página" tiene un número de secuencia que es múltiplo de 5".
Ejemplo 10. Se lanzan dos dados y se calcula la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Qué es más probable: obtener un total de 7 u 8?
Solución. Designemos los eventos: A - “se obtienen 7 puntos”, B – “se obtienen 8 puntos”. El evento A se ve favorecido por 6 resultados elementales: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), y el evento B se ve favorecido. por 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Todos los resultados elementales igualmente posibles son n = 6 2 = 36. Por tanto, Y .
Entonces, P(A)>P(B), es decir, obtener un total de 7 puntos es un evento más probable que obtener un total de 8 puntos.
Tareas
1. Se elige al azar un número natural que no excede 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea múltiplo de 3?
2. En la urna a rojo y b bolas azules, idénticas en tamaño y peso. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar de esta urna sea azul?
3. Se elige al azar un número que no excede 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisor de 30?
4. En la urna A azul y b bolas rojas, idénticas en tamaño y peso. Se saca una bola de esta urna y se reserva. Esta bola resultó ser roja. Después de esto, se extrae otra bola de la urna. Calcula la probabilidad de que la segunda bola también sea roja.
5. Se elige al azar un número nacional que no excede 50. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?
6. Se lanzan tres dados y se calcula la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Qué es más probable: obtener un total de 9 o 10 puntos?
7. Se lanzan tres dados y se calcula la suma de los puntos obtenidos. ¿Qué es más probable: obtener un total de 11 (evento A) o 12 puntos (evento B)?
Respuestas
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilidad de obtener 9 puntos en total; p 2 = 27/216 - probabilidad de obtener 10 puntos en total; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Preguntas
1. ¿Cómo se llama la probabilidad de un evento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de un evento confiable?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un evento imposible?
4. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de un evento aleatorio?
5. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de cualquier evento?
6. ¿Qué definición de probabilidad se llama clásica?
