Probabilidad 1 de 7. Suma de probabilidades de eventos mutuamente simultáneos

AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. Khalafyan

TEORÍA DE PROBABILIDAD

Y ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

textos de conferencias

krasnodar 2008

Definición estadística de probabilidad

Existe una gran clase de eventos cuyas probabilidades no se pueden calcular utilizando definición clásica. En primer lugar, se trata de eventos con resultados desigualmente posibles (por ejemplo, dado“injusto”, la moneda está aplastada, etc.). En tales casos puede ayudar definición estadística probabilidad basada en el cálculo de la frecuencia de ocurrencia de un evento en los ensayos.

Definición 2.La probabilidad estadística de que ocurra el evento A se llama Frecuencia relativa aparición de este evento en n ensayos realizados, es decir.

(A) = W( A) = Minnesota,

Dónde ( A) – determinación estadística de probabilidad; W( A) – Frecuencia relativa; norte – número de pruebas realizadas; metro – número de ensayos en los que el evento A apareció. Darse cuenta de probabilidad estadística es una característica experimentada y experimental.

Es más, cuando norte → ∞, (A) → P( A), por ejemplo, en los experimentos de Buffon (siglo XVIII) la frecuencia relativa de aparición del escudo de armas con 4040 lanzamientos de una moneda resultó ser 0,5069, en los experimentos de Pearson (siglo XIX) con 23000 lanzamientos – 0,5005.

Definición geométrica de probabilidad.

Otro inconveniente de la definición clásica que limita su aplicación es que supone numero final posibles resultados. En algunos casos, esta desventaja se puede eliminar utilizando definición geométrica probabilidades. Consideremos, por ejemplo, una figura plana. gramo forma parte figura plana GRAMO(Fig. 3).

Adaptar GRAMO Se lanza un punto al azar. Esto significa que todos los puntos de la región GRAMO“igualdad de derechos” en relación con ser arrojado allí punto aleatorio. Suponiendo que la probabilidad de un evento A– el punto lanzado golpea gramo proporcional al área de esta figura S g y no depende de su ubicación relativa al área. GRAMO, ni de la forma gramo, lo encontraremos

R(A) = S g/SG

Dónde SG– área de la región GRAMO. Pero dado que las áreas gramo Y GRAMO puede ser unidimensional, bidimensional, tridimensional y multidimensional, entonces, denotando la medida de la región por medir, puedes dar más definición general probabilidad geométrica

PAG = medir / medirG.

Prueba.

R(VIRGINIA) = R(ENÇ A)/R(A) = R(AÇ EN)/R(A) = {PAG(a/b)R(EN)}/R(A) = {R(A)R(EN)}/R(A) = R(EN).

De la Definición 4, se siguen fórmulas para multiplicar probabilidades de eventos dependientes e independientes.

Corolario 1. La probabilidad de que varios eventos ocurran conjuntamente es igual al producto de la probabilidad de que ocurra uno de ellos por probabilidades condicionales todos los demás, y la probabilidad de cada evento posterior se calcula bajo el supuesto de que todos los eventos anteriores ya han ocurrido:

PAG(Un 1 Un 2 … Un n)=P(un 1)P A1(un 2)PA1A2(un 3)…P A1A2…An-1(Un).

Definición 6. Los eventos A 1, A 2, ..., An son colectivamente independientes si dos de ellos son independientes y cualquiera de estos eventos y cualquier combinación (producto) de otros eventos son independientes.

Corolario 2. La probabilidad de que ocurran conjuntamente varios eventos que en conjunto son independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

PAG(Un 1 Un 2 … Un n) = PAG(A 1)PAG(A 2)… PAG(A norte).

Prueba.

PAG(A 1 A 2 … A norte) = PAG(A 1 · A 2 … A norte) = PAG(A 1)PAG(A 2 … A n).=…= PAG(A 1)PAG(A 2)… PAG(Un).

Definición 7. Evento A 1, A 2,… Una forma grupo completo eventos si son incompatibles por pares (yo∩aj= Ø, para cualquier yo ≠ j)y juntos forman Ω, aquellos. .

Teorema 2. Si los eventos A 1, A 2,… A n formar un grupo completo de eventos, R(yo) > 0 (ya que no se determinará PAG(B/yo)), entonces la probabilidad de algún evento BÎ S se define como la suma de los productos de las probabilidades incondicionales de que ocurra un evento. yo sobre probabilidades condicionales de que ocurra un evento B, es decir.

. (1)

Prueba. Desde los acontecimientos yo son incompatibles por pares, entonces su intersección con el evento B también son incompatibles por pares, es decir B∩A yo Y B∩А j- Incompatible con i¹j. Usando la propiedad de distributividad ((È yo)Ç EN = È( A yo Ç EN)), evento B se puede representar como . Usemos el axioma de la suma 3 y la fórmula para multiplicar probabilidades, obtenemos

La fórmula (1) se llama fórmula probabilidad total.

A partir de la fórmula de probabilidad total es fácil obtener la fórmula de Bayes, bajo el supuesto adicional de que PAG(B)>0

Dónde k = 1, 2, …, norte.

Prueba.P(A k /B) = P(A k ∩ B)/P(B)

Probabilidades de eventos PAG(yo), i =1, 2, …, norte son llamados probabilidades previas, es decir. probabilidades de eventos antes del experimento y las probabilidades condicionales de estos eventos PAG(a k/B), se llaman probabilidades posteriores, es decir aclarado como resultado de la experiencia, cuyo resultado fue la ocurrencia del evento EN.

Tarea. EN empresa comercial llegó Celularesúltimos modelos de tres fabricantes Alcatel, siemens, Motorola en una proporción de 1: 4: 5. La práctica ha demostrado que los teléfonos recibidos del primer, segundo y tercer fabricante no requerirán reparación durante el período de garantía en el 98%, 88% y 92% de los casos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que el teléfono que salió a la venta no requiera reparaciones durante el período de garantía, que el teléfono vendido requiera reparaciones durante el período de garantía y de qué fabricante probablemente provenga el teléfono.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Definición 1. Variable aleatoria espacio de probabilidad { Ω, S, P) es cualquier función X(w) , definido para wÎΩ, y tal que para todo x() real el conjunto ( w :X(w) < x}принадлежит полю S. En otras palabras, para cualquier evento de este tipo w la probabilidad se determina PAG(X(w)< X) = PAG(X < X).

Denotaremos variables aleatorias con letras mayúsculas. con letras latinas X, Y, z, ..., y los valores variables aleatorias– letras latinas minúsculas X, y, z...

Definición 2. Una variable aleatoria X se llama discreta si toma valores solo de algún conjunto discreto. En otras palabras, existe un número finito o contable de valores de x 1 , X 2 , …, tal que P(X = X yo) = Pi ³ 0, i = 1, 2…, yå Pi = 1.

Si se conocen los valores de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes, entonces decimos que se ha determinado la ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

Si se compila una tabla, en la parte superior de la cual se ubican los valores de las variables aleatorias, y en la parte inferior las probabilidades correspondientes, entonces obtenemos una serie de distribución de la variable aleatoria, que especifica la ley de distribución de la discreta. variable aleatoria.

Ejemplo 3. Hagamos una serie de distribución por la pérdida de un escudo de armas durante 2 lanzamientos de moneda. Posibles resultados: GG, GR, RG, RR. De los posibles resultados queda claro que el escudo de armas puede aparecer 0, 1 y 2 veces, con las probabilidades correspondientes: ¼, ½, ¼. Entonces la serie de distribución tomará la forma

Definición 3.La función de distribución de una variable aleatoria X se llama función F.(X), dependiendo de x Î R y tomando el valor, igual a la probabilidad eventos w, que X < X, es decir., F(X) = PAG(w: X(w)< X } = PAG(X < X).

De la definición se deduce que cualquier variable aleatoria tiene una función de distribución.

Distribución uniforme

Definición 1. Variable aleatoria X, aceptando valores 1, 2, …, n, tiene una distribución uniforme si P m = PAG(X = metro) = 1/norte,

metro = 1, …, norte.

Es obvio que .

Considere el siguiente problema. norte bolas, de las cuales METRO pelotas blanco. Recuperado al azar norte pelotas. Encuentre la probabilidad de que entre los extraídos haya metro bolas blancas.

Es fácil ver eso.

distribución de veneno

Definición 4. La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con el parámetro yo, Si , metro = 0, 1,…

Demostremos que Σp m = 1. .

Distribución binomial

Definición 5.La variable aleatoria X tiene Distribución binomial, Si , metro = 0, 1, …, norte,

Dónde norte– número de pruebas según el esquema de Bernoulli, metro– número de éxitos, R– probabilidad de éxito en un único resultado, q = 1–pag.

Distribución de Bernoulli

Definición 6.La variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli si P(X= metro) = Pm = p m q n - m, metro = 0, 1, …, norte.

En general metro Y norte El cálculo utilizando la fórmula de Bernoulli se vuelve problemático. Por lo tanto, en varios casos es posible reemplazar la fórmula de Bernoulli con una fórmula asintótica aproximada adecuada. Así que si norte- grande pero R poco entonces .

Teorema de Poisson. Si norte® ¥, y pag® 0, entonces notario público.®l, entonces .

Prueba. Denotemos l n = notario público., según las condiciones del teorema , Entonces

En norte® ¥, l m®l metro,

De esto obtenemos el enunciado del teorema. p norte(metro) ® en norte ® ¥.

La fórmula de Poisson es una buena aproximación de la fórmula de Bernoulli si npq£ 9. Si el trabajo npq es grande, entonces para calcular Р n (m) Utilice el teorema local de Moivre-Laplace.

teorema local Moivre-Laplace. Dejar pagО(0;1) es constante, el valor está uniformemente limitado, es decir $ s, |x metro |<с . Entonces

Dónde b(n;m) es una cantidad infinitamente pequeña, y .

De las condiciones del teorema se deduce que ,

Dónde , .

Calcular Р n (m) De acuerdo con la fórmula dada anteriormente, se utilizan tablas de funciones.

Problema 1. Tres clientes entran uno tras otro a una tienda de ropa. El gerente estima que la probabilidad de que un visitante entrante realice una compra es de 0,3. Crea una serie del número de visitantes que realizaron una compra.

Solución.

xyo
Pi	0,343	0,441	0,189	0,027

Problema 2. La probabilidad de que cualquier computadora se rompa es 0,01. Construya una serie de distribución para la cantidad de computadoras fallidas con un total de 25.

Solución.

Problema 3. Los coches llegan al salón de ventas en lotes de 10 piezas. Sólo 5 de cada 10 coches recibidos están sujetos a controles de calidad y seguridad. Normalmente, 2 de cada 10 vehículos recibidos no cumplen con los estándares de calidad y seguridad. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de cada cinco autos que se revisan sea rechazado?

Solución. P = P (1) + P (2) = + =0,5556 + 0,2222 = 0,7778

Prueba.

Problema 1. La probabilidad de que un dispositivo seleccionado al azar necesite ajustes adicionales es 0,05. Si, durante una verificación aleatoria de un lote de dispositivos, se descubre que al menos el 6% de los dispositivos seleccionados necesitan ajuste, entonces se devuelve el lote completo para su revisión. Determine la probabilidad de que el lote sea devuelto si se seleccionan 500 dispositivos del lote para inspección.

Solución. El lote se devolverá si el número de dispositivos seleccionados que requieren ajuste es superior al 6%, es decir metro 1 = 500 × 6/100 = 30. Siguiente: pag = 0,05: q = 0,95; notario público.= 25; 4.87. Consideramos un éxito si el dispositivo requiere una configuración adicional.

Apliquemos el teorema integral de Moivre-Laplace.

Tarea 2. Determine cuántos productos deben seleccionarse para que, con una probabilidad de 0,95, se pueda afirmar que la frecuencia relativa de productos defectuosos diferirá de la probabilidad de que ocurran en no más de 0,01.

Solución. Para resolver el problema, elegimos el esquema de Bernoulli como modelo matemático y utilizamos la fórmula (4). Necesitamos encontrar algo como esto. norte de modo que se satisface la igualdad (4), si e = 0,01, b = 0,95, la probabilidad p es desconocida.

F(X b) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. Usando la tabla de aplicaciones encontramos que X b = 1,96. Luego usando la fórmula (4) encontramos norte= ¼ × 1,96 2 /0,01 2 = 9600.

Distribución uniforme

Definición 5. Una variable aleatoria continua X, que toma un valor en el segmento , tiene una distribución uniforme si la densidad de distribución tiene la forma

. (1)

Es fácil comprobar que,

Si una variable aleatoria está distribuida uniformemente, entonces la probabilidad de que tome un valor de un intervalo dado no depende de la posición del intervalo en la recta numérica y es proporcional a la longitud de este intervalo.

Demostremos que la función de distribución X tiene la forma

. (2)

Dejar XÎ (–¥, a), Entonces F(X) = .

Dejar XÎ [ a,b], Entonces F(X) = .

Dejar X Î ( b,+¥], entonces F(X) = = 0 + .

Encontremos la mediana X 0,5. Tenemos F(X 0,5) = 0,5, por lo tanto

Entonces, la mediana de la distribución uniforme coincide con la mitad del segmento. La figura 1 muestra el gráfico de densidad. R(X) y funciones de distribución F(X)

para una distribución uniforme.

Distribución normal

Definición 7. Una variable aleatoria continua tiene una distribución normal, con dos parámetros a, s, si

, s>0. (5)

El hecho de que una variable aleatoria tenga una distribución normal se escribirá brevemente en la forma X ~ norte(a;s).

demostremos que pag(X) - densidad

(mostrado en la lección 6).

Gráfico de densidad distribución normal(Fig. 3) se llama curva normal (curva gaussiana).

La densidad de distribución es simétrica con respecto a una línea recta. X = a. Si X® ¥, entonces R(X) ® 0. A medida que s disminuye, la gráfica se “contrae” con el eje de simetría X = a.

Juegos de distribución normal papel especial en teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Esto se debe a que, de acuerdo con el informe central teorema del límite teoría de la probabilidad cuando se cumplen ciertas condiciones la suma gran número Las variables aleatorias tienen una distribución “aproximadamente” normal.

Porque - densidad ley normal distribuciones con parámetros A= 0 y s =1, entonces la función = F(X), que se utiliza para calcular la probabilidad , es la función de distribución de la distribución normal con parámetros A= 0 y s =1.

Función de distribución de una variable aleatoria. X con parámetros arbitrarios A, s se puede expresar mediante F(X) – función de distribución de una variable aleatoria normal con parámetros A= 0 y s =1.

Dejar X ~ norte(a;s), entonces

. (6)

Hagamos un cambio de variables bajo el signo integral, obtenemos

F(X) = . (7)

EN aplicaciones prácticas La teoría de la probabilidad a menudo requiere encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de un intervalo determinado. De acuerdo con la fórmula (7), esta probabilidad se puede encontrar a partir de valores de la tabla Funciones de Laplace

Encontremos la mediana de una variable aleatoria normal. X ~ norte(a;s). Dado que la densidad de distribución p(x) es simétrica con respecto al eje X = A, Eso

R(X < a) = pag(X > a) = 0,5.

Por tanto, la mediana de una variable aleatoria normal coincide con el parámetro A:

X 0,5 = A.

Tarea 1. Los trenes de metro pasan cada 2 minutos. El pasajero ingresa al andén en algún momento. El tiempo X durante el cual tendrá que esperar el tren es una variable aleatoria distribuida con densidad uniforme en el área (0, 2) min. Encuentre la probabilidad de que un pasajero no tenga que esperar más de 0,5 minutos para el siguiente tren.

Solución. Es obvio que pag(x)= 1/2. Entonces, P 0,5 = R( 1,5 2) = = 0,25

Tarea 2. La planta de automóviles de Volzhsky lanza un nuevo motor. Se supone que el kilometraje promedio de un automóvil con motor nuevo es de 160 mil km, con una desviación estándar de σ = 30 mil km. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de kilómetros antes de la primera reparación? El kilometraje del coche oscilará entre los 100 mil km. hasta 180 mil km.

Solución. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Propiedades de dispersión

1.La varianza de la constante C es igual a 0,corriente continua = 0, CON = constante.

Prueba.corriente continua = METRO(CON– MC) 2 = METRO(CON– CON) = 0.

2.D(CX) = CON 2 DX.

Prueba. D(CX) = METRO(CX) 2 – METRO 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – METRO 2 X) = CON 2 DX.

3. Si X e Y – variables aleatorias independientes, Eso

Prueba.

4. Si X 1 , X 2 , … no son dependientes, entonces .

Esta propiedad se puede probar por inducción utilizando la Propiedad 3.

Prueba. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Prueba. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Sean variables aleatorias independientes, y , .

Creemos una nueva variable aleatoria, encontremos la expectativa matemática y la varianza. Y.

; .

Eso es cuando norte®¥ la expectativa matemática de la media aritmética de n variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente permanece sin cambios, igual a la expectativa matemática a, mientras que la varianza tiende a cero.

Esta propiedad de estabilidad estadística de la media aritmética subyace a la ley números grandes.

Distribución normal

Dejar X tiene una distribución normal. Anteriormente, en la lección 11 (ejemplo 2), se demostró que si

Entonces Y ~ N(0,1).

Desde aquí y luego, busquemos primero. DY.

Por eso

DX= D(s Y+a) = s 2 DY= s 2 , s X= s. (2)

distribución de veneno

Como es sabido

Por eso,

Distribución uniforme

Se sabe que .

Anteriormente mostramos eso, usemos la fórmula.

Prueba.

La última integral de la cadena de igualdades es igual a 0, ya que de las condiciones del problema se deduce que p(MX+t) – incluso funcionar con respecto a t (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2 k +1- Función impar.

Dado que las densidades de las leyes de distribución normal y uniforme son simétricas con respecto a X= MX, entonces todos los momentos centrales de orden impar son iguales a 0.

Teorema 2. Si X~norte(a,s), entonces .

Cuantos más momentos de una variable aleatoria se conozcan, más detallada será la comprensión de la ley de distribución. En teoría de la probabilidad y estadística matemática, se utilizan con mayor frecuencia dos características numéricas basadas en momentos centrales de tercer y cuarto orden. Estos son el coeficiente de asimetría y la curtosis de una variable aleatoria.

Definición 3. El coeficiente de asimetría de una variable aleatoria X es el número b = .

El coeficiente de asimetría es el momento central e inicial de la variable aleatoria normalizada. Y, Dónde . La validez de esta declaración se deriva de las siguientes relaciones:

Asimetría de una variable aleatoria X igual a la asimetría de la variable aleatoria Y = α X + β

hasta el signo de α, . Esto se desprende del hecho de que la normalización de variables aleatorias a X+ b y X conduce a la misma variable aleatoria Y hasta firmar

Si la distribución de probabilidad es asimétrica, con la “parte larga” del gráfico ubicada a la derecha del centro de agrupación, entonces β( X) > 0; si la “parte larga” de la gráfica se ubica a la izquierda, entonces β( X) < 0. Для нормального и distribución uniforme β = 0.

Como característica de un mayor o menor grado de “suavidad” de una curva de densidad o polígono de distribución en comparación con densidad normal Se utiliza el concepto de curtosis.

Definición 4. La curtosis de una variable aleatoria X es la cantidad

Kurtosis de una variable aleatoria X igual a la diferencia entre el valor inicial y momentos centrales Variable aleatoria normalizada de cuarto orden y número3, es decir . Mostremos esto:

Kurtosis de una variable aleatoria X igual a la curtosis de la variable aleatoria

Y = α X + β.

Encontremos la curtosis de una variable aleatoria normal. X.

Si X~norte(a,s), entonces ~ (0,1).

Por lo tanto, la curtosis de una variable aleatoria distribuida normalmente es igual a 0. Si la densidad de distribución es unimodal y más “pico” que la densidad de distribución normal con la misma varianza, entonces g( X) > 0, si en las mismas condiciones es menos “pico”, entonces g( X) < 0.

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números establece las condiciones para la convergencia de la media aritmética de variables aleatorias a la media aritmética de las expectativas matemáticas.

Definición 1. Secuencia de variables aleatorias se llama convergente en probabilidad p al número b, Si
.

Pasemos al límite en en esta desigualdad y obtengamos

.

Estimación de intervalo

Si se recibe punto estimado parámetro desconocido basado en la muestra, entonces hablar de la estimación resultante como un parámetro verdadero es bastante arriesgado. En algunos casos, es más conveniente, una vez recibida la distribución de las estimaciones de los parámetros, hablar de estimación de intervalo significado verdadero parámetro. Para ilustrar lo dicho, consideremos la construcción. intervalo de confianza Para expectativa matemática distribución normal.

Hemos demostrado que – mejor estimado(absolutamente correcto) para la expectativa matemática MX= Q, por lo tanto es una estimación absolutamente correcta también para el parámetro a = distribución normal P, donde t– valor del argumento de la función de Laplace, en el que F(t) = , mi = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teoría de la probabilidad y matemáticas.

estadística matemática. METRO.: Escuela de posgrado, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teoría de la estadística con los fundamentos de la teoría de la probabilidad. M.: Unidad, 2001.

3. Szekely G. Paradojas en la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Teoría de la probabilidad y estadística matemática. M.: Unidad, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. curso de teoría de la probabilidad estadística matemática para aplicaciones técnicas. M.: Nauka, 1969.

6. métodos de estadística construcción fórmulas empíricas. M.: Escuela Superior, 1988.

TEMA 1. TEORÍAS DE LA PROBABILIDAD. HISTORIA. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.. 3

TEMA 2. TEOREMAS DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES. DEFINICIÓN ESTADÍSTICA Y GEOMÉTRICA DE PROBABILIDAD.. 8

TEMA 3. CONSTRUCCIÓN AXIOMÁTICA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD. LA AXIOMATICA DE KOLMOGOROV.. 14

TEMA 4. VARIABLE ALEATORIA. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN... 17

CONFERENCIA 5. DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS... 21

CONFERENCIA 6. TEOREMA INTEGRAL DE MOIVRE-LAPLACE, TEOREMA DE BERNOULLI.. 26

CONFERENCIA 7. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS... 29

CONFERENCIA 8. EL CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA MULTIDIMENSIONAL... 35

CONFERENCIA 9. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA MULTIDIMENSIONAL... 39

CONFERENCIA 10. PROPIEDADES DE LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL 43

CONFERENCIA 11. FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS... 48

CONFERENCIA 12. TEOREMA DE LA DENSIDAD DE LA SUMA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS.. 52

CONFERENCIA 13. ESTUDIANTE, LAS DISTRIBUCIONES DE FISCHER SON ALEATORIAS.

Respuestas a trabajo de prueba según la teoría de la probabilidad ayudará a los estudiantes de primer año que estudian disciplinas matemáticas. Las tareas cubren mucho. material teórico, y el fundamento de su decisión será útil para todos los estudiantes.
Problema 1. Un cubo con todos los bordes pintados se corta en 1000 cubos del mismo tamaño. Determine la probabilidad de que un cubo extraído al azar tenga:
a) un borde pintado;
b) dos caras sombreadas.

Cálculos: si el cubo se corta en cubos. mismo tamaño entonces todas las caras se dividirán en 100 cuadrados. (Aproximadamente como en la imagen)
Además, según la condición, el cubo debe tener un borde sombreado; esto significa que los cubos deben pertenecer a Superficie exterior pero no se acueste en los bordes del cubo (2 superficies sombreadas) ni en las esquinas: tienen tres superficies sombreadas.
Por lo tanto, la cantidad requerida es igual al producto de 6 caras por el número de cubos en un cuadrado de tamaño 8*8.
6*8*8=384 – cubos con 1 superficie pintada.
La probabilidad es igual al número de eventos favorables a su número total P=384/1000=0,384.
b) Dos caras sombreadas tienen cubos a lo largo de las aristas sin los vértices del cubo. Habrá 8 de esos cubos en un borde. Hay un total de 12 aristas en el cubo, por lo que las dos caras sombreadas tienen
8*12=96 cubos.
Y la probabilidad de sacarlos entre los 1000 es igual.
P=96/1000=0,096.
Esta tarea está solucionada y pasamos a la siguiente.
Tarea 2. Las letras A, A, A, N, N, C están escritas en tarjetas idénticas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al colocar las cartas en fila al azar, obtengamos la palabra PIÑA?
Cálculos: Siempre se debe razonar a partir de lo que se sabe. Dadas 3 letras A, 2-H y 1 - C, hay 6 en total. Comencemos a elegir letras para la palabra "piña". La primera letra es la A, que podemos elegir de 3 formas de 6, porque hay 3 letras A entre las 6 conocidas. Por lo tanto, la probabilidad de sacar A primero es
P1 =3/6=1/2.
La segunda letra es la H, pero no debemos olvidar que después de sacar la A, quedan 5 letras para elegir. Por lo tanto, la probabilidad de sacar el número 2 H es igual a
P2 = 2/5.
La siguiente probabilidad A se sortea entre las 4 que quedan.
P3=2/4.
A continuación, H se puede extraer de la probabilidad
P4=1/3.
Cuanto más cerca del final más como, y ya podemos extraer A con
P5=1/2.
Después de esto, sólo queda una carta C, por lo que la probabilidad de sacarla es del 100 por ciento o
P6 =1.
La probabilidad de formar la palabra PIÑA es igual al producto de las probabilidades.
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
En esto se basan tareas similares según la teoría de la probabilidad.
Tarea 3. El comerciante selecciona muestras al azar de un lote de productos. La probabilidad de que un producto tomado al azar sea de la calidad más alta es 0,8. Encuentre la probabilidad de que entre 3 productos seleccionados haya dos productos del grado más alto.
Cálculos: este ejemplo sobre la aplicación de la fórmula de Bernoulli.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Calculamos la probabilidad usando la fórmula.

Si no lo explicas en el lenguaje de las fórmulas, entonces necesitas hacer combinaciones de tres eventos, dos de los cuales son favorables y uno no. Esto se puede escribir como la suma de los productos.

Ambas opciones son equivalentes, sólo la primera se puede aplicar en todas las tareas, y la segunda en aquellas similares a la considerada.
Problema 4. De cinco tiradores, dos dieron en el blanco con una probabilidad de 0,6 y tres con una probabilidad de 0,4. ¿Qué es más probable: que un tirador elegido al azar dé en el blanco o no?
Cálculos: Usando la fórmula de probabilidad total, determinamos la probabilidad de que el tirador acierte.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilidad menor que P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilidad de no acertar es

o
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.
Problema 5. De los 20 estudiantes que acudieron al examen, 10 estaban perfectamente preparados (sabían todas las preguntas), 7 estaban bien preparados (sabían 35 preguntas cada uno) y 3 estaban mal preparados (10 preguntas). El programa contiene 40 preguntas. Un estudiante llamado al azar respondió tres preguntas en el boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que esté preparado para
a) excelente;
b) malo.

Cálculos: La esencia del problema es que el alumno respondió tres preguntas en el boleto, es decir, todo lo que se le preguntó, pero ahora calcularemos cuál es la probabilidad de obtenerlas.
Encontremos la probabilidad de que el estudiante haya respondido correctamente tres preguntas. Esta será la relación entre el número de estudiantes y todo el grupo multiplicada por la probabilidad de sacar boletos que conozcan entre todos los posibles.

Ahora encontremos la probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que esté “excelentemente” preparado. Esto es equivalente a la proporción del primer término de la probabilidad preliminar con respecto a la probabilidad misma.

La probabilidad de que un estudiante pertenezca a un grupo que estaba mal preparado es bastante pequeña e igual a 0,00216.

Esta tarea está completa. Entiéndelo bien y recuerda cómo calcularlo, ya que es común en cuestionarios y exámenes.
Problema 6. Se lanza una moneda 5 veces. Encuentre la probabilidad de que el escudo de armas aparezca menos de 3 veces.
Cálculos: La probabilidad de sacar un escudo o frac es equivalente e igual a 0,5. Menos de 3 veces significa que el escudo puede aparecer 0, 1 o 2 veces. “O” siempre se expresa en probabilidad en operaciones por suma.
Encontramos las probabilidades usando la fórmula de Bernoulli.

Dado que p=q=0.5, entonces la probabilidad es

La probabilidad es 0,5.
Problema 7. Al estampar terminales metálicos se obtiene una media del 90% de los estándar. Encuentre la probabilidad de que entre 900 terminales, al menos 790 y como máximo 820 terminales sean estándar.
Cálculos: Se deben realizar cálculos.

La necesidad de actuar sobre las probabilidades surge cuando se conocen las probabilidades de algunos eventos y es necesario calcular las probabilidades de otros eventos asociados con estos eventos.

La suma de probabilidades se utiliza cuando es necesario calcular la probabilidad de una combinación o suma lógica de eventos aleatorios.

Suma de eventos A Y B denotar A + B o A ∪ B. La suma de dos eventos es un evento que ocurre si y sólo si ocurre al menos uno de los eventos. Esto significa que A + B- un evento que ocurre si y sólo si el evento ocurrió durante la observación A o evento B, o simultáneamente A Y B.

Si los eventos A Y B son mutuamente inconsistentes y sus probabilidades están dadas, entonces la probabilidad de que uno de estos eventos ocurra como resultado de una prueba se calcula usando la suma de probabilidades.

Teorema de la suma de probabilidades. La probabilidad de que ocurra uno de dos eventos mutuamente incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

Por ejemplo, mientras se caza, se disparan dos tiros. Evento A– golpear a un pato con el primer disparo, evento EN– impacto del segundo disparo, evento ( A+ EN) – un impacto del primer o segundo disparo o de dos disparos. Entonces, si dos eventos A Y EN– eventos incompatibles, entonces A+ EN– la ocurrencia de al menos uno de estos eventos o dos eventos.

Ejemplo 1. En una caja hay 30 bolas del mismo tamaño: 10 rojas, 5 azules y 15 blancas. Calcula la probabilidad de que se recoja una bola de color (no blanca) sin mirar.

Solución. Supongamos que el evento A- “se toma la bola roja”, y el evento EN- “Se llevaron la bola azul”. Entonces el evento es “se toma una bola de color (no blanca)”. Encontremos la probabilidad del evento. A:

y eventos EN:

Eventos A Y EN– mutuamente incompatibles, ya que si se toma una bola, es imposible tomar bolas de diferentes colores. Por tanto, utilizamos la suma de probabilidades:

El teorema para sumar probabilidades de varios eventos incompatibles. Si los eventos constituyen un conjunto completo de eventos, entonces la suma de sus probabilidades es igual a 1:

La suma de las probabilidades de eventos opuestos también es igual a 1:

Los eventos opuestos forman un conjunto completo de eventos y la probabilidad de que ocurra un conjunto completo de eventos es 1.

Las probabilidades de eventos opuestos generalmente se indican en letras minúsculas. pag Y q. En particular,

de donde se siguen las siguientes fórmulas para la probabilidad de eventos opuestos:

Ejemplo 2. El objetivo en el campo de tiro se divide en 3 zonas. La probabilidad de que un determinado tirador dispare al objetivo en la primera zona es de 0,15, en la segunda zona – 0,23, en la tercera zona – 0,17. Encuentre la probabilidad de que el tirador acierte en el blanco y la probabilidad de que el tirador falle.

Solución: Encuentre la probabilidad de que el tirador dé en el blanco:

Encontremos la probabilidad de que el tirador falle en el objetivo:

Los problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, se pueden encontrar en la página "Varios problemas que implican la suma y la multiplicación de probabilidades".

Suma de probabilidades de eventos mutuamente simultáneos.

Dos eventos aleatorios se llaman conjuntos si la ocurrencia de un evento no excluye la ocurrencia de un segundo evento en la misma observación. Por ejemplo, al lanzar un dado el evento A Se considera que el número 4 está desplegado y el evento EN– sacar un número par. Como 4 es un número par, los dos eventos son compatibles. En la práctica, surgen problemas a la hora de calcular las probabilidades de que ocurra uno de los eventos mutuamente simultáneos.

Teorema de la suma de probabilidades para eventos conjuntos. La probabilidad de que ocurra uno de los eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos, de la cual se resta la probabilidad de que ocurran común ambos eventos, es decir, el producto de las probabilidades. La fórmula para las probabilidades de eventos conjuntos tiene la siguiente forma:

Desde los acontecimientos A Y EN compatible, evento A+ EN ocurre si ocurre uno de tres eventos posibles: o AB. Según el teorema de la suma de eventos incompatibles, calculamos de la siguiente manera:

Evento A ocurrirá si ocurre uno de dos eventos incompatibles: o AB. Sin embargo, la probabilidad de que ocurra un evento entre varios eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de todos estos eventos:

Asimismo:

Sustituyendo las expresiones (6) y (7) en la expresión (5), obtenemos la fórmula de probabilidad para eventos conjuntos:

Al utilizar la fórmula (8), se debe tener en cuenta que los eventos A Y EN puede ser:

mutuamente independientes;

mutuamente dependientes.

Fórmula de probabilidad para eventos mutuamente independientes:

Fórmula de probabilidad para eventos mutuamente dependientes:

Si los eventos A Y EN son inconsistentes, entonces su coincidencia es un caso imposible y, por lo tanto, PAG(AB) = 0. La cuarta fórmula de probabilidad para eventos incompatibles es:

Ejemplo 3. En las carreras de autos, cuando conduces el primer auto, tienes más posibilidades de ganar, y cuando conduces el segundo auto. Encontrar:

la probabilidad de que ambos coches ganen;

la probabilidad de que gane al menos un coche;

1) La probabilidad de que gane el primer auto no depende del resultado del segundo auto, por lo que los eventos A(el primer coche gana) y EN(el segundo coche ganará) – eventos independientes. Encontremos la probabilidad de que ambos autos ganen:

2) Calcula la probabilidad de que gane uno de los dos coches:

Los problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, se pueden encontrar en la página "Varios problemas que implican la suma y la multiplicación de probabilidades".

Resuelva el problema de suma de probabilidades usted mismo y luego observe la solución.

Ejemplo 4. Se lanzan dos monedas. Evento A- pérdida del escudo de armas de la primera moneda. Evento B- pérdida del escudo de armas de la segunda moneda. Encuentra la probabilidad de un evento. C = A + B .

Multiplicar probabilidades

La multiplicación de probabilidad se utiliza cuando se debe calcular la probabilidad de un producto lógico de eventos.

En este caso, los eventos aleatorios deben ser independientes. Se dice que dos eventos son mutuamente independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el segundo.

Teorema de multiplicación de probabilidad para eventos independientes. Probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos independientes. A Y EN es igual al producto de las probabilidades de estos eventos y se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo 5. La moneda se lanza tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de que el escudo de armas aparezca las tres veces.

Solución. La probabilidad de que el escudo de armas aparezca en el primer lanzamiento de una moneda, en la segunda y en la tercera vez. Encontremos la probabilidad de que el escudo de armas aparezca las tres veces:

Resuelve problemas de multiplicación de probabilidad por tu cuenta y luego mira la solución.

Ejemplo 6. Hay una caja con nueve pelotas de tenis nuevas. Para jugar se cogen tres bolas, y al finalizar el juego se devuelven. Al elegir las pelotas, las jugadas no se distinguen de las no jugadas. ¿Cuál es la probabilidad de que después de tres juegos no queden bolas sin jugar en la caja?

Ejemplo 7. 32 letras del alfabeto ruso están escritas en tarjetas del alfabeto recortadas. Se extraen cinco cartas al azar, una tras otra, y se colocan sobre la mesa en orden de aparición. Calcula la probabilidad de que las letras formen la palabra "fin".

Ejemplo 8. De una baraja de cartas completa (52 hojas), se extraen cuatro cartas a la vez. Calcula la probabilidad de que estas cuatro cartas sean de diferentes palos.

Ejemplo 9. La misma tarea que en el ejemplo 8, pero cada carta después de ser retirada se devuelve al mazo.

En la página "Varios problemas que involucran suma y multiplicación de probabilidades" se pueden encontrar problemas más complejos, en los que es necesario utilizar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, así como calcular el producto de varios eventos.

La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos mutuamente independientes se puede calcular restando a 1 el producto de las probabilidades de eventos opuestos, es decir, usando la fórmula:

Ejemplo 10. La carga se entrega mediante tres modos de transporte: fluvial, ferroviario y por carretera. La probabilidad de que la carga se entregue por transporte fluvial es de 0,82, por ferrocarril de 0,87 y por carretera de 0,90. Encuentre la probabilidad de que la carga sea entregada por al menos uno de los tres modos de transporte.

¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de comenzar a leer el artículo, preste atención a nuestro navegador para conocer los recursos más útiles para

¿Qué es la probabilidad?

La primera vez que encontré este término, no habría entendido de qué se trataba. Por tanto, intentaré explicarlo claramente.

La probabilidad es la posibilidad de que suceda el evento que queremos.

Por ejemplo, decidiste ir a la casa de un amigo, recuerdas la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y ahora estás parado en las escaleras y frente a ti hay puertas para elegir.

¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si tocas el primer timbre, tu amigo te abra la puerta? Solo hay apartamentos y un amigo vive solo detrás de uno de ellos. Con las mismas posibilidades podemos elegir cualquier puerta.

¿Pero cuál es esta oportunidad?

La puerta, la puerta correcta. Probabilidad de adivinar tocando el primer timbre: . Es decir, una de cada tres veces adivinarás con precisión.

Queremos saber, habiendo llamado una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Veamos todas las opciones:

Usted llamó 1er puerta

Usted llamó 2do puerta

Usted llamó 3er puerta

Ahora veamos todas las opciones donde podría estar un amigo:

A. Detrás 1er puerta
b. Detrás 2do puerta
v. Detrás 3er puerta

Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca de verificación indica opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.

¿Cómo ves todo? Tal vez opciones la ubicación de tu amigo y tu elección de a qué puerta llamar.

A resultados favorables de todos . Es decir, adivinarás una vez tocando el timbre una vez, es decir. .

Esto es probabilidad: la relación entre un resultado favorable (cuando su elección coincide con la ubicación de su amigo) y el número de eventos posibles.

La definición es la fórmula. La probabilidad generalmente se denota por p, entonces:

No es muy conveniente escribir una fórmula de este tipo, por lo que tomaremos por el número de resultados favorables y por el número total de resultados.

La probabilidad se puede escribir como un porcentaje; para hacer esto, debes multiplicar el resultado resultante por:

La palabra “resultados” probablemente le llamó la atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a varias acciones (en nuestro caso, tal acción es un timbre), el resultado de tales experimentos generalmente se denomina resultado.

Bueno, hay resultados favorables y desfavorables.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que llamamos a una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No acertamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos la abra?

Si pensabas eso, entonces esto es un error. Vamos a resolverlo.

Nos quedan dos puertas. Entonces tenemos posibles pasos:

1) Llamar 1er puerta
2) Llamar 2do puerta

El amigo, a pesar de todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (al fin y al cabo, no estaba detrás del que llamamos):

a) Amigo por 1er puerta
b) Amigo por 2do puerta

Dibujemos la tabla nuevamente:

Como puede ver, sólo hay opciones que son favorables. Es decir, la probabilidad es igual.

¿Por qué no?

La situación que consideramos es ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.

Y se les llama dependientes porque influyen en las siguientes acciones. Después de todo, si después del primer toque de timbre fue abierto un amigo, ¿cuál sería la probabilidad de que estuviera detrás de uno de los otros dos? Bien, .

Pero si hay eventos dependientes, entonces también debe haberlos. independiente? Así es, suceden.

Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.

Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara, por ejemplo? Así es, porque hay todas las opciones (ya sea cara o cruz, descuidaremos la probabilidad de que la moneda caiga en su borde), pero solo nos conviene.

Pero salió cara. Bien, lancemos de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara ahora? Nada ha cambiado, todo sigue igual. ¿Cuantas opciones? Dos. ¿Con cuántos estamos contentos? Uno.

Y que salga cara al menos mil veces seguidas. La probabilidad de obtener cara a la vez será la misma. Siempre hay opciones y favorables.

Es fácil distinguir eventos dependientes de independientes:

Si el experimento se realiza una vez (lanzan una moneda una vez, tocan el timbre una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.

Si un experimento se lleva a cabo varias veces (se lanza una moneda una vez, se toca el timbre varias veces), entonces el primer evento es siempre independiente. Y luego, si cambia el número de resultados favorables o el número de todos los resultados, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.

Practiquemos un poco la determinación de la probabilidad.

Ejemplo 1.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas?

Solución:

Consideremos todas las opciones posibles:

águila-águila

Cara y cruz

Colas-Cabezas

colas-colas

Como puedes ver, sólo hay opciones. De estos sólo estamos satisfechos. Es decir, la probabilidad:

Si la condición simplemente te pide que encuentres la probabilidad, entonces la respuesta debe darse en forma de fracción decimal. Si se especificara que la respuesta se debe dar en porcentaje, entonces multiplicaríamos por.

Respuesta:

Ejemplo 2.

En una caja de bombones, todos los bombones están empaquetados en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces: con nueces, con coñac, con cerezas, con caramelo y con turrón.

¿Cuál es la probabilidad de tomar un caramelo y obtener un caramelo con nueces? Da tu respuesta como porcentaje.

Solución:

¿Cuántos resultados posibles hay? .

Es decir, si coges un caramelo, será uno de los disponibles en la caja.

¿Cuántos resultados favorables?

Porque la caja contiene sólo bombones con nueces.

Respuesta:

Ejemplo 3.

En una caja de globos. de los cuales son blancos y negros.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?

Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola blanca?

Solución:

a) En la caja sólo hay bolas. De ellos son blancos.

La probabilidad es:

b) Ahora hay más bolas en la caja. Y quedan otros tantos blancos...

Respuesta:

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a ().

Digamos que hay bolas rojas y verdes en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? ¿Bola verde? ¿Bola roja o verde?

Probabilidad de sacar una bola roja.

Bola verde:

Bola roja o verde:

Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es igual a (). Comprender este punto te ayudará a resolver muchos problemas.

Ejemplo 4.

Hay marcadores en el cuadro: verde, rojo, azul, amarillo, negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar NO un marcador rojo?

Solución:

contemos el numero resultados favorables.

NO es un marcador rojo, eso significa verde, azul, amarillo o negro.

La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.
Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

Ya sabes qué son los eventos independientes.

¿Qué pasa si necesitas encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?

Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que si lanzamos una moneda una vez, veamos cara dos veces.

Ya hemos considerado - .

¿Qué pasa si lanzamos una moneda una vez? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila dos veces seguidas?

Total de opciones posibles:

águila-águila-águila

Cara-cara-cruz

Cara-cruz-cara

Cara-cruz-cruz

Cruz-cara-cara

Cruz-cara-cruz

Cruz-cruz-cara

Colas-colas-colas

No sé ustedes, pero yo cometí errores varias veces al compilar esta lista. ¡Guau! Y sólo nos conviene la opción (la primera).

Para 5 lanzamientos, usted mismo puede hacer una lista de posibles resultados. Pero los matemáticos no son tan trabajadores como tú.

Por lo tanto, primero notaron y luego demostraron que la probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes disminuye cada vez en la probabilidad de un evento.

En otras palabras,

Veamos el ejemplo de la misma moneda desafortunada.

¿Probabilidad de sacar cara en un desafío? . Ahora lanzamos la moneda una vez.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara seguida?

Esta regla no sólo funciona si se nos pide encontrar la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.

Si quisiéramos encontrar la secuencia CORAS-CARA-COLAS para lanzamientos consecutivos, haríamos lo mismo.

La probabilidad de obtener cruz es , cara - .

Probabilidad de obtener la secuencia COLAS-CABEZAS-COLAS-COLAS:

Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una tabla.

La regla para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.

¡Así que deja de! Nueva definición.

Vamos a resolverlo. Tomemos nuestra moneda gastada y lancemos una vez.
Posibles opciones:

águila-águila-águila

Cara-cara-cruz

Cara-cruz-cara

Cara-cruz-cruz

Cruz-cara-cara

Cruz-cara-cruz

Cruz-cruz-cara

Colas-colas-colas

Entonces, los eventos incompatibles son una secuencia determinada de eventos. - Estos son eventos incompatibles.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, entonces sumamos las probabilidades de estos eventos.

Debes entender que cara o cruz son dos eventos independientes.

Si queremos determinar la probabilidad de que ocurra una secuencia (o cualquier otra), entonces usamos la regla de multiplicar probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo y tercer lanzamiento?

Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando sale cara exactamente una vez, es decir opciones y, luego debemos sumar las probabilidades de estas secuencias.

Las opciones totales nos convienen.

Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de ocurrencia de cada secuencia:
Por lo tanto, sumamos probabilidades cuando queremos determinar la probabilidad de ciertas secuencias de eventos inconsistentes.

Existe una gran regla que le ayudará a evitar confundirse cuándo multiplicar y cuándo sumar:

Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda una vez y queríamos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?

Debería caerse:
(cara Y cruz Y cruz) O (cruz Y cara Y cruz) O (cruz Y cruz Y cara).
Así resulta:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.

Hay lápices en la caja. rojo, verde, naranja y amarillo y negro. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?

Solución:

Ejemplo 6.

Si se lanza un dado dos veces ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 8?

Solución.

¿Cómo podemos conseguir puntos?

(y) o (y) o (y) o (y) o (y).

La probabilidad de obtener una (cualquier) cara es .

Calculamos la probabilidad:

Capacitación.

Creo que ahora entiendes cuándo necesitas calcular probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No es? Practiquemos un poco.

Tareas:

Tomemos una baraja de cartas que contenga cartas que incluyan espadas, corazones, 13 tréboles y 13 diamantes. Del al As de cada palo.

¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (devolvemos a la baraja la primera carta extraída y la barajamos)?

¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (picas o tréboles)?

¿Cuál es la probabilidad de sacar un dibujo (jota, reina, rey o as)?

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta extraída de la baraja)?

¿Cuál es la probabilidad, al tomar dos cartas, de obtener una combinación (sota, reina o rey) y un as? No importa el orden en que se extraigan las cartas.

Respuestas:

Si pudiste resolver todos los problemas tú mismo, ¡eres genial! ¡Ahora resolverás como loco los problemas de teoría de la probabilidad en el Examen Estatal Unificado!

TEORÍA DE PROBABILIDAD. NIVEL PROMEDIO

Veamos un ejemplo. Digamos que lanzamos un dado. ¿Qué clase de hueso es este? ¿Lo sabes? Así llaman a un cubo con números en sus caras. Cuántas caras, tantos números: ¿de hasta cuántos? Antes.

Entonces tiramos los dados y queremos que salga o. Y lo entendemos.

En la teoría de la probabilidad dicen lo que pasó. evento auspicioso(no confundir con próspero).

Si sucediera, el evento también sería favorable. En total, sólo pueden ocurrir dos eventos favorables.

¿Cuantos son desfavorables? Como hay totales de eventos posibles, significa que los desfavorables son eventos (esto es si o cae).

Definición:

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.. Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles son favorables.

Denotan probabilidad con una letra latina (aparentemente de la palabra inglesa probabilidad - probabilidad).

Se acostumbra medir la probabilidad como porcentaje (ver tema). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe multiplicarse por. En el ejemplo de los dados, probabilidad.

Y en porcentaje: .

Ejemplos (decide por ti mismo):

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado? ¿Y cuál es raro?

En una caja de lápices sencillos, azules y rojos. Dibujamos un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener uno simple?

Soluciones:

¿Cuántas opciones hay? Cara y cruz, solo dos. ¿Cuantos de ellos son favorables? Sólo uno es un águila. Entonces la probabilidad
Lo mismo ocurre con las colas: .

Opciones totales: (cuántas caras tiene el cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (todos estos son números pares :).
Probabilidad. Por supuesto, ocurre lo mismo con los números impares.

Total: . Favorable: . Probabilidad: .

Probabilidad total

Todos los lápices de la caja son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidades: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).

Tal evento se llama imposible.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente el mismo número de eventos favorables que eventos totales (todos los eventos son favorables). Entonces la probabilidad es igual a o.

Un evento así se llama confiable.

Si una caja contiene lápices verdes y rojos, ¿cuál es la probabilidad de sacar lápices verdes o rojos? Una vez más. Tengamos en cuenta esto: la probabilidad de sacar el verde es igual y la roja es igual.

En resumen, estas probabilidades son exactamente iguales. Eso es, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.

Ejemplo:

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar verde?

Solución:

Recordamos que todas las probabilidades suman. Y la probabilidad de salir verde es igual. Esto significa que la probabilidad de no sacar el verde es igual.

Recuerda este truco: La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación.

Lanzas una moneda una vez y quieres que salga cara las dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:

Cara-cara, cruz-cara, cara-cruz, cruz-cruz. ¿Qué otra cosa?

Opciones totales. De ellos, sólo uno nos conviene: Eagle-Eagle. En total, la probabilidad es igual.

Bien. Ahora lancemos una moneda una vez. Haz los cálculos tú mismo. ¿Sucedió? (respuesta).

Es posible que hayas notado que con la adición de cada lanzamiento posterior, la probabilidad se reduce a la mitad. La regla general se llama regla de multiplicación:

Las probabilidades de eventos independientes cambian.

¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez se realiza un nuevo lanzamiento, cuyo resultado no depende de todos los lanzamientos anteriores. Con la misma facilidad podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.

Más ejemplos:

Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtenerlo ambas veces?

La moneda se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara la primera vez y luego cruz dos veces?

El jugador tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en ellos sea igual?

Respuestas:

Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de la multiplicación funciona: .

La probabilidad de que salga cara es igual. La probabilidad de que salga cruz es la misma. Multiplicar:

12 sólo se puede obtener si se lanzan dos -ki: .

Eventos incompatibles y la regla de la suma

Los eventos que se complementan hasta el punto de tener total probabilidad se denominan incompatibles. Como sugiere el nombre, no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, puede salir cara o cruz.

Ejemplo.

En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar verde o rojo?

Solución .

La probabilidad de sacar un lápiz verde es igual. Rojo - .

Eventos favorables en todos: verde + rojo. Esto significa que la probabilidad de sacar verde o rojo es igual.

La misma probabilidad se puede representar de esta forma: .

Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Problemas de tipo mixto

Ejemplo.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de las tiradas sean diferentes?

Solución .

Esto significa que si el primer resultado es cara, el segundo debe ser cruz, y viceversa. Resulta que hay dos pares de eventos independientes y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse acerca de dónde multiplicar y dónde sumar.

Existe una regla simple para tales situaciones. Intenta describir lo que va a pasar usando las conjunciones “Y” u “O”. Por ejemplo, en este caso:

Debería aparecer (cara y cruz) o (cruz y cara).

Donde hay conjunción “y” habrá multiplicación, y donde hay “o” habrá suma:

Inténtalo tú mismo:

¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza dos veces una moneda, caiga en el mismo lado ambas veces?

Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de puntos?

Soluciones:

Otro ejemplo:

Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al menos una vez?

Solución:

TEORÍA DE PROBABILIDAD. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a ().

La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

La probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada evento.

Eventos incompatibles

Los eventos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente como resultado de un experimento. Varios eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos.

Las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.

Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las conjunciones “Y” u “O”, en lugar de “Y” ponemos un signo de multiplicación, y en lugar de “O” ponemos un signo de suma.

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

Ahora lo más importante.

Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.

El problema es que esto puede no ser suficiente...

¿Para qué?

Por aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado, por ingresar a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.

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Pero esto no es lo principal.

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