Instrucciones
Método de sustituciónExpresa una variable y sustitúyela en otra ecuación. Puede expresar cualquier variable a su discreción. Por ejemplo, expresa y a partir de la segunda ecuación:
x-y=2 => y=x-2Luego sustituye todo en la primera ecuación:
2x+(x-2)=10 Mover todo sin “x” a lado derecho y calcular:
2x+x=10+2
3x=12 Luego, para obtener x, divide ambos lados de la ecuación por 3:
x=4. Entonces, encontraste “x. Encuentra "y. Para hacer esto, sustituya "x" en la ecuación a partir de la cual expresó "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.
Haz un control. Para hacer esto, sustituya los valores resultantes en las ecuaciones:
2*4+2=10
4-2=2
¡Las incógnitas se han encontrado correctamente!
Una forma de sumar o restar ecuaciones. Deshazte de cualquier variable de inmediato. En nuestro caso, esto es más fácil de hacer con “y.
Dado que en "y" hay un signo "+", y en el segundo "-", entonces puedes realizar la operación de suma, es decir lado izquierdo agréguelo al de la izquierda y agregue el de la derecha al de la derecha:
2x+y+(x-y)=10+2Convertir:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Sustituye “x” en cualquier ecuación y encuentra “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Con el primer método puedes ver que se encontraron correctamente.
Si no hay variables claramente definidas, entonces es necesario transformar ligeramente las ecuaciones.
En la primera ecuación tenemos “2x”, y en la segunda simplemente tenemos “x”. Para que x se reduzca durante la suma, multiplique la segunda ecuación por 2:
xy=2
2x-2y=4Luego resta el segundo de la primera ecuación:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Tenga en cuenta que si hay un signo menos antes del corchete, luego de abrirlo, cámbielo al opuesto:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
encuentre y = 2x expresando a partir de cualquier ecuación, es decir,
x=4
Vídeo sobre el tema.
Consejo 2: Cómo resolver una ecuación lineal en dos variables
La ecuacion, escrita en forma general ax+bу+c=0, se llama ecuación lineal con dos variables. Esta ecuación en sí contiene conjunto infinito soluciones, por lo tanto, en los problemas siempre se complementa con algo: otra ecuación o condiciones límite. Dependiendo de las condiciones proporcionadas por el problema, resuelva una ecuación lineal con dos variables debería diferentes caminos.
Necesitará
- - ecuación lineal con dos variables;
- - segunda ecuación o condiciones adicionales.
Instrucciones
Si se le da un sistema de dos ecuaciones lineales, resuélvelo de la siguiente manera. Elija una de las ecuaciones en las que los coeficientes son variables más pequeño y expresar una de las variables, por ejemplo, x. Luego sustituya este valor que contiene y en la segunda ecuación. En la ecuación resultante solo habrá una variable y, mueva todas las partes con y hacia el lado izquierdo y las libres hacia la derecha. Encuentre y y sustitúyalo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar x.
Hay otra forma de resolver un sistema de dos ecuaciones. Multiplica una de las ecuaciones por un número para que el coeficiente de una de las variables, como x, sea el mismo en ambas ecuaciones. Luego resta una de las ecuaciones de la otra (si el lado derecho no es igual a 0, recuerda restar los lados derechos de la misma manera). Verás que la variable x ha desaparecido y solo queda una variable y. Resuelve la ecuación resultante y sustituye el valor encontrado de y en cualquiera de las igualdades originales. Encuentra x.
La tercera forma de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales es gráfica. Dibuja un sistema de coordenadas y grafica dos líneas rectas cuyas ecuaciones están dadas en tu sistema. Para hacer esto, sustituya dos valores de x cualesquiera en la ecuación y encuentre la y correspondiente; estas serán las coordenadas de los puntos que pertenecen a la línea recta. La forma más conveniente de encontrar la intersección con los ejes de coordenadas es simplemente sustituir los valores x=0 e y=0. Las coordenadas del punto de intersección de estas dos líneas serán las tareas.
Si solo hay una ecuación lineal en las condiciones del problema, entonces se le han dado condiciones adicionales a través de las cuales puede encontrar una solución. Lea atentamente el problema para encontrar estas condiciones. Si variables x e y indican distancia, velocidad y peso; siéntase libre de establecer el límite x≥0 e y≥0. Es muy posible que x o y oculten el número de manzanas, etc. – entonces los valores sólo pueden ser . Si x es la edad del hijo, está claro que no puede ser mayor que su padre, así que indíquelo en las condiciones del problema.
Fuentes:
- cómo resolver una ecuación con una variable
Por sí mismo la ecuacion con tres desconocido tiene muchas soluciones, por lo que la mayoría de las veces se complementa con dos ecuaciones o condiciones más. De cuáles sean los datos iniciales dependerá en gran medida el curso de la decisión.
Necesitará
- - un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Instrucciones
Si dos de los tres sistemas tienen sólo dos de las tres incógnitas, intente expresar algunas variables en términos de las demás y sustitúyalas en la ecuacion con tres desconocido. Tu objetivo en este caso es convertirlo en algo normal. la ecuacion con una persona desconocida. Si es así, la solución adicional es bastante simple: sustituir el valor encontrado en otras ecuaciones y encontrar todas las demás incógnitas.
Algunos sistemas de ecuaciones se pueden restar de una ecuación por otra. Vea si es posible multiplicar uno de o una variable de modo que se cancelen dos incógnitas a la vez. Si existe esa oportunidad, lo más probable es que la aproveche, la solución posterior no será difícil. Recuerda que al multiplicar por un número, debes multiplicar tanto el lado izquierdo como el lado derecho. Asimismo, al restar ecuaciones debes recordar que también se debe restar el lado derecho.
Si los métodos anteriores no ayudaron, utilice de manera general soluciones a cualquier ecuación con tres desconocido. Para hacer esto, reescribe las ecuaciones en la forma a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ahora crea una matriz de coeficientes para x (A), una matriz de incógnitas (X) y una matriz de libres (B). Tenga en cuenta que al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de incógnitas, se obtiene la matriz, matriz miembros libres, es decir, A*X=B.
Encuentre la matriz A elevada a (-1) encontrando primero , tenga en cuenta que no debe ser igual a cero. Después de esto, multiplique la matriz resultante por la matriz B, como resultado obtendrá la matriz X deseada, indicando todos los valores.
También puedes encontrar una solución a un sistema de tres ecuaciones usando el método de Cramer. Para hacer esto, encuentre el determinante de tercer orden ∆ correspondiente a la matriz del sistema. Luego encuentre sucesivamente tres determinantes más ∆1, ∆2 y ∆3, sustituyendo los valores de los términos libres en lugar de los valores de las columnas correspondientes. Ahora encuentre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Fuentes:
- soluciones a ecuaciones con tres incógnitas
Resolver un sistema de ecuaciones es desafiante y emocionante. Cómo sistema más complejo, más interesante es solucionarlo. Más a menudo en matemáticas. escuela secundaria Hay sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, pero en Matemáticas avanzadas puede haber más variables. Los sistemas se pueden resolver utilizando varios métodos.
Instrucciones
El método más común para resolver un sistema de ecuaciones es la sustitución. Para hacer esto, necesita expresar una variable en términos de otra y sustituirla en la segunda la ecuacion sistemas, liderando así la ecuacion a una variable. Por ejemplo, dadas las siguientes ecuaciones: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
A partir de la segunda expresión conviene expresar una de las variables, moviendo todo lo demás hacia el lado derecho de la expresión, sin olvidar cambiar el signo del coeficiente: x = 3-y.
Abre los corchetes: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Sustituimos el valor resultante y en la expresión: x=3-y;x=3-1;x=2. .
En la primera expresión todos los términos son 2, puedes poner 2 entre paréntesis Propiedad distributiva multiplicación: 2*(2x-y-3)=0. Ahora ambas partes de la expresión se pueden reducir a este número y luego expresarlas como y, ya que el coeficiente del módulo es igual a uno: -y = 3-2x o y = 2x-3.
Al igual que en el primer caso, sustituimos esta expresión en el segundo la ecuacion y obtenemos: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. y=2x-3;y=4-3=1.
Vemos que el coeficiente para y es el mismo en valor, pero diferente en signo, por lo tanto, si sumamos estas ecuaciones, nos desharemos por completo de y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Sustituye el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y obtienes y=1.
Vídeo sobre el tema.
Bicuadrado la ecuacion representa la ecuacion cuarto grado, forma general el cual está representado por la expresión ax^4 + bx^2 + c = 0. Su solución se basa en el uso del método de sustitución de incógnitas. EN en este caso x^2 se reemplaza por otra variable. Por tanto, el resultado es un cuadrado ordinario. la ecuacion, que hay que solucionar.
Instrucciones
resolver la cuadrática la ecuacion, resultante de la sustitución. Para hacer esto, primero calcule el valor de acuerdo con la fórmula: D = b^2? 4ac. En este caso, las variables a, b, c son los coeficientes de nuestra ecuación.
Encuentra las raíces ecuación bicuadrática. Para ello, saque la raíz cuadrada de las soluciones obtenidas. Si hubiera una solución, habrá dos: positiva y significado negativo raíz cuadrada. Si hubiera dos soluciones, la ecuación bicuadrática tendrá cuatro raíces.
Vídeo sobre el tema.
Uno de métodos clásicos Resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de Gauss. Que se encuentra en exclusión consistente variables cuando se utiliza un sistema de ecuaciones transformaciones simples se traduce en un sistema paso a paso, a partir del cual todas las variables se encuentran secuencialmente, comenzando por la última.
Instrucciones
Primero, lleve el sistema de ecuaciones a una forma en la que todas las incógnitas estén en estricto orden. en un cierto orden. Por ejemplo, todas las X desconocidas aparecerán primero en cada línea, todas las Y aparecerán después de las X, todas las Z aparecerán después de las Y, y así sucesivamente. No debe haber incógnitas en el lado derecho de cada ecuación. Determina mentalmente los coeficientes delante de cada incógnita, así como los coeficientes en el lado derecho de cada ecuación.
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Con uno dado La situación es indecentemente simple. Permítanme recordarles que la probabilidad se encuentra mediante la fórmula P=m/n
PAG
=
metro
norte
, donde norte
norte
- el número de todos igualmente posibles resultados elementales experimentar lanzando un dado o dados, y m
metro
- el número de resultados que favorecen el evento.
Ejemplo 1: El dado se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sucedido? número par¿anteojos?
Dado que un dado es un cubo (también dicen dado normal, es decir, dado equilibrado para que caiga por todos sus lados con la misma probabilidad), el cubo tiene 6 caras (con un número de puntos del 1 al 6, normalmente indicado por puntos), entonces Y numero total resultados en el problema n=6
norte
=
6
. Los únicos resultados que favorecen el evento son aquellos en los que aparece un bando con 2, 4 o 6 puntos (solo números pares); hay m=3 de esos bandos;
metro
=
3
. Entonces la probabilidad requerida es P=3/6=1/2=0.5
PAG
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.
Ejemplo 2. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de obtener al menos 5 puntos.
Razonamos de la misma manera que en el ejemplo anterior. El número total de resultados igualmente posibles al lanzar un dado n=6
norte
=
6
, y la condición “al menos 5 puntos obtenidos”, es decir, “5 o 6 puntos obtenidos” se cumple con 2 resultados, m=2
metro
=
2
. La probabilidad requerida es P=2/6=1/3=0.333
PAG
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.
Ni siquiera veo sentido a dar más ejemplos, pasemos a los dos dados, donde todo se pone más interesante y complicado.
dos dados
Cuando estamos hablando acerca de Para problemas que implican tirar 2 dados, es muy conveniente utilizar una tabla de puntuación. Tracemos horizontalmente el número de puntos que cayeron en el primer dado y verticalmente el número de puntos que cayeron en el segundo dado. Consigamos algo como esto (normalmente lo hago en Excel, puedes descargar el archivo a continuación):
tabla de puntos por tirar 2 dados
¿Qué hay en las celdas de la tabla, preguntas? Y esto depende del problema que resolveremos. Habrá una tarea sobre la suma de puntos: escribiremos la suma allí, sobre la diferencia, escribiremos la diferencia y así sucesivamente. ¿Empecemos?
Ejemplo 3. Se lanzan 2 dados al mismo tiempo. Calcula la probabilidad de que el total sea inferior a 5 puntos.
Primero, veamos el número total de resultados del experimento. cuando lanzamos un dado, todo era obvio, 6 caras - 6 resultados. Aquí ya hay dos dados, por lo que los resultados se pueden representar como pares ordenados de números de la forma (x,y)
X
,
y
, donde x
X
- cuántos puntos se obtuvieron en el primer dado (de 1 a 6), y
y
- cuántos puntos se obtuvieron en el segundo dado (del 1 al 6). Obviamente, habrá n=6⋅6=36 tales pares de números
norte
=
6
⋅
6
=
36
(y les corresponden exactamente 36 celdas de la tabla de resultados).
Ahora es el momento de completar la tabla. En cada celda ingresamos la suma del número de puntos obtenidos en el primer y segundo dado y obtenemos la siguiente imagen:
tabla de suma de puntos al lanzar 2 dados
Ahora esta tabla nos ayudará a encontrar el número de resultados favorables al evento “aparecerán en total menos de 5 puntos”. Para ello contamos el número de celdas en las que el valor de la suma es menor que 5 (es decir, 2, 3 o 4). Para mayor claridad, coloreemos estas celdas, habrá m=6
metro
=
6
:
tabla de puntos totales inferiores a 5 al lanzar 2 dados
Entonces la probabilidad es: P=6/36=1/6
PAG
=
6
36
=
1
6
.
Ejemplo 4. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto del número de puntos sea divisible por 3.
Creamos una tabla de los productos de los puntos obtenidos en el primer y segundo dado. Destacamos inmediatamente en él aquellos números que son múltiplos de 3:
Tabla del producto de puntos al lanzar 2 dados
Sólo queda anotar que el número total de resultados es n=36
norte
=
36
(vea el ejemplo anterior, el razonamiento es el mismo) y el número de resultados favorables (el número de celdas sombreadas en la tabla anterior) m=20
metro
=
20
. Entonces la probabilidad del evento será igual a P=20/36=5/9
PAG
=
20
36
=
5
9
.
Como ves, este tipo de problemas, con una preparación adecuada (veamos un par de problemas más), se pueden solucionar de forma rápida y sencilla. Para variar, hagamos una tarea más con una tabla diferente (todas las tablas se pueden descargar en la parte inferior de la página).
Ejemplo 5: Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que la diferencia en el número de puntos del primer y segundo dado sea de 2 a 5.
Escribamos una tabla de diferencias de puntos, resaltemos las celdas en las que el valor de la diferencia estará entre 2 y 5:
Tabla de diferencia de puntos al tirar 2 dados
Entonces, el número total de resultados elementales igualmente posibles es n=36
norte
=
36
y el número de resultados favorables (el número de celdas sombreadas en la tabla anterior) m=10
metro
=
10
. Entonces la probabilidad del evento será igual a P=10/36=5/18
PAG
=
10
36
=
5
18
.
Entonces, en el caso en el que estamos hablando de tirar 2 dados y evento simple, necesitas construir una tabla, seleccionar las celdas necesarias en ella y dividir su número entre 36, esta será la probabilidad. Además de los problemas sobre la suma, el producto y la diferencia del número de puntos, también hay problemas sobre el módulo de diferencia, el número más pequeño y más grande de puntos dibujados (encontrará las tablas adecuadas en el archivo Excel).
En todas las tareas B6 en teoría de probabilidad, que se presentan en Abrir banco de tareas para, necesitas encontrar probabilidad Cualquier evento.
Solo necesitas saber uno fórmula, que se utiliza para calcular probabilidad:
En esta fórmula p - probabilidad del evento,
k- el número de eventos que nos “satisfacen”, en el lenguaje teoría de probabilidad ellos se llaman resultados favorables.
norte- numero de todos posibles eventos, o número de todos los resultados posibles.
Obviamente, el número de todos los eventos posibles es mayor que el número de resultados favorables, por lo que probabilidad es un valor menor o igual a 1.
Si probabilidad evento es igual a 1, esto significa que este evento Definitivamente sucederá. Tal evento se llama confiable. Por ejemplo, el hecho de que después del domingo llegue el lunes es, desgraciadamente, evento confiable y su probabilidad es 1.
Las mayores dificultades para resolver problemas surgen precisamente al encontrar los números k y n.
Por supuesto, como al resolver cualquier problema, al resolver problemas en teoría de probabilidad Debe leer atentamente la condición para comprender correctamente lo que se proporciona y lo que necesita encontrar.
Veamos algunos ejemplos de resolución de problemas de de banco abierto tareas para .
Ejemplo 1. EN experimento aleatorio Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que el total sea 8 puntos. Redondea el resultado a centésimas.
Deje que el primer dado arroje un punto, luego el segundo dado puede arrojar 6 opciones diferentes. Así, como el primer dado tiene 6 caras diferentes, el número total de opciones diferentes es 6x6=36.
Pero no estamos satisfechos con todo. Según las condiciones del problema, la suma de los puntos extraídos debe ser igual a 8. Creemos una tabla de resultados favorables:
Vemos que el número de resultados que nos convienen es 5.
Así, la probabilidad de que aparezcan un total de 8 puntos es 5/36=0,13(8).
Una vez más leemos la pregunta del problema: necesitamos redondear el resultado a centésimas.
Recordemos regla de redondeo.
Necesitamos redondear a la centésima más cercana. Si en el lugar siguiente a las centésimas (es decir, en el lugar de las milésimas) hay un número mayor o igual a 5, entonces sumamos 1 al número en el lugar de las centésimas si este número es menor que 5, luego dejamos el número en el lugar de las centésimas sin cambios.
En nuestro caso, el número que está en el lugar de las centésimas es 8, por lo que aumentamos el número 3, que está en el lugar de las centésimas, en 1.
Entonces, p=5/36 ≈0.14
Respuesta: 0,14
Ejemplo 2. En el campeonato de gimnasia participan 20 atletas: 8 de Rusia, 7 de Estados Unidos y el resto de China. El orden en que actúan las gimnastas se determina por sorteo. Calcula la probabilidad de que el atleta que compita primero sea de China.
En este problema, el número de resultados posibles es 20; este es el número de todos los atletas.
Encontremos el número de resultados favorables. Es igual al número de atletas femeninas de China.
De este modo,
Respuesta: 0,25
Ejemplo 3: En promedio, de 1000 bombas de jardín vendidas, 5 tienen fugas. Encuentre la probabilidad de que una bomba seleccionada al azar para el control no tenga fugas.
En este problema n=1000.
Estamos interesados en bombas que no tengan fugas. Su número es 1000-5=995. Aquellos.
Otro problema popular en la teoría de la probabilidad (junto con el problema del lanzamiento de una moneda) es problema de lanzamiento de dados.
Por lo general, la tarea suena así: se lanzan uno o más dados (generalmente 2, con menos frecuencia 3). Necesita encontrar la probabilidad de que el número de puntos sea 4, o que la suma de los puntos sea 10, o que el producto del número de puntos sea divisible por 2, o que el número de puntos difiera en 3, y así sucesivamente.
Método de solución básica tareas similares- uso de la fórmula de probabilidad clásica, que analizaremos mediante ejemplos a continuación.
Después de familiarizarte con los métodos de solución, puedes descargar una solución súper útil para lanzar 2 dados (con tablas y ejemplos).
un dado
Con un dado la situación es indecentemente sencilla. Permítanme recordarles que la probabilidad se encuentra mediante la fórmula $P=m/n$, donde $n$ es el número de todos los resultados elementales igualmente posibles de un experimento con el lanzamiento de un cubo o un dado, y $m$ es el número de aquellos resultados que favorecen el evento.
Ejemplo 1. El dado se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par de puntos?
Como el dado es un cubo (también dicen dados justos, es decir, el cubo está equilibrado, por lo que cae en todos los lados con la misma probabilidad), el cubo tiene 6 lados (con un número de puntos del 1 al 6, generalmente puntos designados), luego el número total de resultados en el El problema es $n=6$. Los únicos resultados que favorecen el evento son aquellos en los que aparece un bando con 2, 4 o 6 puntos (solo pares); Entonces la probabilidad requerida es igual a $P=3/6=1/2=0.5$.
Ejemplo 2. Se tiran los dados. Calcula la probabilidad de obtener al menos 5 puntos.
Razonamos de la misma manera que en el ejemplo anterior. El número total de resultados igualmente posibles al lanzar un dado es $n=6$, y la condición “al menos 5 puntos acumulados”, es decir, “5 o 6 puntos acumulados” se satisfacen con 2 resultados, $m =2$. La probabilidad requerida es $P=2/6=1/3=0.333$.
Ni siquiera veo sentido a dar más ejemplos, pasemos a los dos dados, donde todo se pone más interesante y complicado.
dos dados
Cuando se trata de problemas que implican tirar 2 dados, es muy conveniente utilizar tabla de puntos. Tracemos horizontalmente el número de puntos que cayeron en el primer dado y verticalmente el número de puntos que cayeron en el segundo dado. Consigamos algo como esto (yo suelo hacerlo en Excel, puedes descargar el archivo):
¿Qué hay en las celdas de la tabla, preguntas? Y esto depende del problema que resolveremos. Habrá una tarea sobre la suma de puntos: escribiremos la suma allí, sobre la diferencia, escribiremos la diferencia y así sucesivamente. ¿Empecemos?
Ejemplo 3. Se lanzan 2 dados al mismo tiempo. Calcula la probabilidad de que el total sea inferior a 5 puntos.
Primero, veamos el número total de resultados del experimento. cuando lanzamos un dado, todo era obvio, 6 caras - 6 resultados. Aquí ya hay dos dados, por lo que los resultados se pueden representar como pares ordenados de números de la forma $(x,y)$, donde $x$ es cuántos puntos cayeron en el primer dado (del 1 al 6), $ y$ es la cantidad de puntos que cayeron en el segundo dado (del 1 al 6). Obviamente, el número total de tales pares de números será $n=6\cdot 6=36$ (y corresponden exactamente a 36 celdas en la tabla de resultados).
Ahora es el momento de completar la tabla. En cada celda ingresamos la suma del número de puntos obtenidos en el primer y segundo dado y obtenemos la siguiente imagen:
Ahora esta tabla nos ayudará a encontrar el número de resultados favorables al evento “aparecerán en total menos de 5 puntos”. Para ello contamos el número de celdas en las que el valor de la suma es menor que 5 (es decir, 2, 3 o 4). Para mayor claridad, coloreemos estas celdas, habrá $m=6$:
Entonces la probabilidad es igual a: $P=6/36=1/6$.
Ejemplo 4. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto del número de puntos sea divisible por 3.
Creamos una tabla de los productos de los puntos obtenidos en el primer y segundo dado. Destacamos inmediatamente en él aquellos números que son múltiplos de 3:
Todo lo que queda es anotar que el número total de resultados es $n=36$ (ver el ejemplo anterior, el razonamiento es el mismo), y el número de resultados favorables (el número de celdas sombreadas en la tabla anterior) es $m=20$. Entonces la probabilidad del evento será igual a $P=20/36=5/9$.
Como ves, este tipo de problemas, con una preparación adecuada (veamos un par de problemas más), se pueden solucionar de forma rápida y sencilla. Para variar, hagamos una tarea más con una tabla diferente (todas las tablas se pueden descargar en la parte inferior de la página).
Ejemplo 5. Los dados se lanzan dos veces. Calcula la probabilidad de que la diferencia en el número de puntos del primer y segundo dado sea de 2 a 5.
Escribamos una tabla de diferencias de puntos, resaltemos las celdas en las que el valor de la diferencia estará entre 2 y 5:
Entonces, el número total de resultados elementales igualmente posibles es $n=36$, y el número de resultados favorables (el número de celdas sombreadas en la tabla anterior) es $m=10$. Entonces la probabilidad del evento será igual a $P=10/36=5/18$.
Entonces, en el caso de que estemos hablando de lanzar 2 dados y un evento simple, debes construir una tabla, seleccionar las celdas necesarias en ella y dividir su número entre 36, esta será la probabilidad. Además de los problemas sobre la suma, el producto y la diferencia del número de puntos, también hay problemas sobre el módulo de diferencia, el número más pequeño y más grande de puntos extraídos (encontrará tablas adecuadas en).
Otros problemas sobre dados y cubos.
Por supuesto, el asunto no se limita a las dos clases de problemas sobre el lanzamiento de dados discutidos anteriormente (son simplemente los que se encuentran con más frecuencia en los libros de problemas y manuales de capacitación), hay otros. Para variar y comprender el método de solución aproximada, analizaremos tres más. ejemplos típicos: para tirar 3 dados, para probabilidad condicional y para la fórmula de Bernoulli.
Ejemplo 6. Se lanzan 3 dados. Calcula la probabilidad de que el total sea 15 puntos.
En el caso de 3 dados, las tablas se elaboran con menos frecuencia, ya que necesitarás hasta 6 piezas (y no una, como arriba), se las arreglan simplemente buscando las combinaciones requeridas.
Encontremos el número total de resultados del experimento. Los resultados se pueden representar como tripletes ordenados de números de la forma $(x,y,z)$, donde $x$ es cuántos puntos cayeron en el primer dado (del 1 al 6), $y$ es cuántos puntos cayeron en el segundo dado (de 1 a 6), $z$ - cuántos puntos se obtuvieron en el tercer dado (de 1 a 6). Obviamente, el número total de tales tripletas de números será $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .
Ahora seleccionemos resultados que den un total de 15 puntos.
$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$
Obtuvimos $ m = 3 + 6 + 1 = 10 $ resultados. La probabilidad deseada es $P=10/216=0.046$.
Ejemplo 7. Se lanzan 2 dados. Encuentre la probabilidad de que el primer dado no arroje más de 4 puntos, siempre que el número total de puntos sea par.
La forma más sencilla de solucionar este problema es volver a utilizar la tabla (todo quedará claro), como antes. Escribimos una tabla de sumas de puntos y seleccionamos solo celdas con valores pares:
Obtenemos que, según las condiciones del experimento, no hay 36, sino $n=18$ resultados (cuando la suma de puntos es par).
Ahora de estas células Seleccionemos solo aquellos que correspondan al evento “no más de 4 puntos lanzados en el primer dado” - es decir, de hecho, las celdas en las primeras 4 filas de la tabla (resaltadas en naranja), serán $m= 12$.
La probabilidad requerida $P=12/18=2/3.$
Se puede hacer la misma tarea decidir diferente utilizando la fórmula de probabilidad condicional. Entremos en los eventos:
A = La suma del número de puntos es par
B = No más de 4 puntos tirados en el primer dado
AB = La suma del número de puntos es par y no se lanzaron más de 4 puntos en el primer dado
Entonces la fórmula para la probabilidad deseada tiene la forma: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Encontrar probabilidades. El número total de resultados es $n=36$, para el evento A el número de resultados favorables (ver tablas anteriores) es $m(A)=18$, y para el evento AB - $m(AB)=12$. Obtenemos: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Las respuestas fueron las mismas.
Ejemplo 8. El dado se lanza 4 veces. Calcula la probabilidad de que un número par de puntos aparezca exactamente 3 veces.
En el caso de que los dados lanza varias veces, y el evento no se trata de la suma, producto, etc. características integrales, pero sólo sobre numero de gotas de cierto tipo, puedes usarlo para calcular la probabilidad
Problemas 1.4 - 1.6
Condición del problema 1.4
Indique el error en la “solución” del problema: se lanzan dos dados; encuentre la probabilidad de que la suma de los puntos extraídos sea 3 (evento A). "Solución". Hay dos resultados posibles de la prueba: la suma de los puntos extraídos es 3, la suma de los puntos extraídos no es igual a 3. El evento A se ve favorecido por un resultado, el número total de resultados es dos. Por tanto, la probabilidad deseada es igual a P(A) = 1/2.
Solución al problema 1.4
El error de esta “solución” es que los resultados en cuestión no son igualmente posibles. Solución correcta: El número total de resultados igualmente posibles es igual (cada número de puntos obtenidos en un dado se puede combinar con todos los números de puntos obtenidos en otro dado). Entre estos resultados, sólo dos resultados favorecen el evento: (1; 2) y (2; 1). Esto significa que la probabilidad requerida 
Respuesta:
Condición del problema 1.5
Se lanzan dos dados. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: a) la suma de los puntos extraídos es siete; b) la suma de los puntos sorteados es ocho y la diferencia es cuatro; c) la suma de los puntos sorteados es ocho, si se sabe que su diferencia es cuatro; d) la suma de los puntos obtenidos es cinco y el producto es cuatro.
Solución al problema 1.5
a) Seis opciones en el primer dado, seis en el segundo. Opciones totales: (según regla de producto). Opciones para una suma igual a 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3): seis opciones en total. Medio,
b) Sólo dos opciones adecuadas: (6.2) y (2.6). Medio,
c) Sólo hay dos opciones adecuadas: (2,6), (6,2). pero en total opciones posibles 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Medio, .
d) Para una suma igual a 5, son adecuadas las siguientes opciones: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). El producto es 4 por solo dos opciones. Entonces
Respuesta: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18
Condición del problema 1.6
Un cubo, cuyos bordes están coloreados, se corta en mil cubos. mismo tamaño, que luego se mezclan bien. Calcula la probabilidad de que el cubo extraído por la suerte tenga caras de colores: a) uno; b) dos; a las tres.
Solución al problema 1.6
Se formaron un total de 1000 cubos. Cubos con tres caras de colores: 8 (estos son cubos de esquina). Con dos caras de colores: 96 (ya que hay 12 aristas de un cubo con 8 cubos en cada arista). Dados con aristas de colores: 384 (ya que hay 6 caras y hay 64 cubos en cada cara). Sólo queda dividir cada cantidad encontrada entre 1000.
Respuesta: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008
