Conceptos básicos y definiciones de la teoría de conjuntos difusos. Conjuntos difusos en sistemas de control.

Utilizando conjuntos difusos, es posible definir formalmente conceptos imprecisos y ambiguos como “alta temperatura”, “hombre joven”, “altura promedio” o “ Gran ciudad" Antes de formular la definición de conjunto difuso, es necesario definir el llamado universo del discurso. En el caso del concepto ambiguo de "mucho dinero", una cantidad se considerará grande si nos limitamos al rango y una cantidad completamente diferente, al rango. El área del razonamiento, denominada en adelante espacio o conjunto, se indicará con mayor frecuencia mediante el símbolo. Hay que recordar que se trata de un conjunto claro.

Definición 3.1

Un conjunto difuso en algún espacio (no vacío), que se denota como , es un conjunto de pares

Función pertenencia borrosa conjuntos. Esta función asigna a cada elemento el grado de pertenencia a un conjunto difuso, y se pueden distinguir tres casos:

1) significa la pertenencia completa de un elemento a un conjunto difuso, es decir ;

2) significa que el elemento no pertenece a un conjunto difuso, es decir;

3) significa que el elemento pertenece parcialmente a un conjunto difuso.

En la literatura se utiliza una descripción simbólica de conjuntos difusos. Si es un espacio con un número finito de elementos, es decir , entonces el conjunto difuso se escribe en la forma

La entrada anterior es simbólica. El signo “-” no significa división, sino que asigna grados de membresía a elementos específicos. En otras palabras, el registro

significa una pareja

De manera similar, el signo “+” en la expresión (3.3) no significa una operación de suma, sino que se interpreta como una suma múltiple de elementos (3.5). Cabe señalar que los conjuntos nítidos también se pueden escribir de manera similar. Por ejemplo, muchos grados escolares se puede representar simbólicamente como

lo que equivale a escribir

Si es un espacio con un número infinito de elementos, entonces el conjunto difuso se escribe simbólicamente en la forma

Ejemplo 3.1

Supongamos que existe un conjunto números naturales. Definamos el concepto de conjunto de números naturales “cercanos al número 7”. Esto se puede hacer definiendo el siguiente conjunto difuso:

Ejemplo 3.2

Si , donde está el conjunto de los números reales, entonces el conjunto numeros reales, "cerca del número 7", se puede definir mediante una función de membresía de la forma

Por lo tanto, el conjunto difuso de números reales “cercanos al número 7” se describe mediante la expresión

Observación 3.1

Conjuntos difusos Los números naturales o reales "cercanos al número 7" se pueden escribir de varias maneras. Por ejemplo, la función de membresía (3.10) se puede reemplazar por la expresión

En la Fig. 3.1a y 3.1b presentan dos funciones de pertenencia para el conjunto difuso de números reales "cercanos al número 7".

Arroz. 3.1. Ilustración del ejemplo 3.2: funciones de pertenencia de un conjunto difuso de números reales “cercanos al número 7”.

Ejemplo 3.3

Formalicemos la imprecisa definición de “temperatura adecuada para nadar en el Mar Báltico”. Definamos el área del razonamiento en forma de conjunto. El turista I, que se siente mejor a una temperatura de 21°, definiría para sí mismo un conjunto borroso

El Turista II, que prefiere una temperatura de 20°, sugeriría una definición diferente de este conjunto:

Utilizando conjuntos difusos, formalizamos la definición imprecisa del concepto de "temperatura adecuada para nadar en el Mar Báltico". Algunas aplicaciones utilizan formas estándar de funciones de membresía. Especifiquemos estas funciones y consideremos sus interpretaciones gráficas.

1. La función de pertenencia a una clase (figura 3.2) se define como

Dónde . La función de pertenencia a esta clase tiene una representación gráfica (Fig. 3.2) que recuerda a la letra “”, y su forma depende de la selección de los parámetros , y . En un momento dado, la función de pertenencia a la clase toma un valor igual a 0,5.

2. La función de pertenencia a una clase (Fig. 3.3) se determina mediante la función de pertenencia a una clase:

Arroz. 3.2. Función de pertenencia a una clase.

Arroz. 3.3. Función de pertenencia a una clase.

La función de pertenencia a una clase toma valores cero para y. En los puntos su valor es 0,5.

3. La función de pertenencia a una clase (figura 3.4) viene dada por la expresión

El lector notará fácilmente la analogía entre las formas de las funciones de pertenencia a clases y .

4. La función de pertenencia a una clase (figura 3.5) se define como

Arroz. 3.4. Función de pertenencia a una clase.

Arroz. 3.5. Función de pertenencia a una clase.

En algunas aplicaciones, la función de pertenencia a una clase puede ser una alternativa a la función de clase.

5. La función de pertenencia a una clase (figura 3.6) está determinada por la expresión

Ejemplo 3.4

Consideremos tres formulaciones imprecisas:

1) “baja velocidad del vehículo”;

2) " velocidad media auto";

3) “alta velocidad del vehículo”.

Como área de razonamiento tomaremos el rango, donde está la velocidad máxima. En la Fig. 3.7 presenta los conjuntos difusos , y , correspondientes a las formulaciones anteriores. Tenga en cuenta que la función de pertenencia de un conjunto tiene tipo, los conjuntos tienen tipo y los conjuntos tienen tipo. En un punto fijo km/h, la función de pertenencia del conjunto difuso “velocidad baja del vehículo” toma el valor 0,5, es decir . La función de pertenencia del conjunto difuso “velocidad promedio del automóvil” toma el mismo valor, es decir , mientras .

Ejemplo 3.5

En la Fig. La figura 3.8 muestra la función de membresía del conjunto difuso “mucho dinero”. Esta es una función de la clase, y , , .

Arroz. 3.6. Función de pertenencia a una clase.

Arroz. 3.7. Ilustración del ejemplo 3.4: funciones de pertenencia de conjuntos difusos de velocidad de automóvil “pequeña”, “media” y “alta”.

Arroz. 3.8. Ilustración del ejemplo 3.5: Función de membresía del conjunto difuso “mucho dinero”.

En consecuencia, las cantidades superiores a 10.000 rublos definitivamente pueden considerarse "grandes", ya que los valores de la función de membresía se vuelven iguales a 1. Las cantidades inferiores a 1.000 rublos no se consideran "grandes", ya que los valores correspondientes de la función de membresía son iguales a 0. Por supuesto, tal definición del conjunto difuso “mucho dinero” es subjetiva. El lector puede tener su propia comprensión del concepto ambiguo de "mucho dinero". Esta representación se verá reflejada por otros valores de los parámetros y funciones de la clase.

Definición 3.2

El conjunto de elementos espaciales para los cuales , se denomina soporte de un conjunto difuso y se denota por (soporte). Su notación formal tiene la forma

Definición 3.3

La altura de un conjunto difuso se denota y define como

Ejemplo 3.6

Definición 3.4

Un conjunto difuso se llama normal si y sólo si. Si el conjunto difuso no es normal, entonces se puede normalizar mediante la transformación

¿Dónde está la altura de este conjunto?

Ejemplo 3.7

conjunto difuso

después de la normalización toma la forma

Definición 3.5

Un conjunto difuso se llama vacío y se denota si y sólo si para cada uno.

Definición 3.6

Un conjunto difuso está contenido en un conjunto difuso, que se escribe como , si y sólo si

para cada .

En la figura 1 se ilustra un ejemplo de la inclusión (contenido) de un conjunto difuso en un conjunto difuso. 3.9. El concepto de grado de inclusión de conjuntos difusos también se encuentra en la literatura. El grado de inclusión de un conjunto difuso en un conjunto difuso de la Fig. 3,9 es igual a 1 (inclusión total). Los conjuntos difusos presentados en la Fig. 3.10 no satisfacen la dependencia (3.27); por lo tanto, no hay inclusión en el sentido de la definición (3.6); Sin embargo, un conjunto difuso está contenido en un conjunto difuso en el grado

Se cumple la condición

Arroz. 3.12. Conjunto convexo difuso.

Arroz. 3.13. Conjunto cóncavo difuso.

Arroz. La figura 3.13 ilustra un conjunto cóncavo difuso. Es fácil comprobar que un conjunto difuso es convexo (cóncavo) si y sólo si todos sus cortes son convexos (cóncavos).

Por conjunto claro o simplemente conjunto, solemos entender un determinado conjunto de objetos definidos y distinguibles de nuestra intuición e intelecto, concebidos como un todo único. EN esta declaración Notemos el siguiente punto: el conjunto A es una colección ciertos objetos. Esto significa que para cualquier x se puede decir sin ambigüedades si pertenece al conjunto A o no.

La condición para que un elemento x pertenezca al conjunto A se puede escribir utilizando el concepto de función de pertenencia m(x), es decir

En consecuencia, el conjunto se puede especificar como un conjunto de pares: un elemento y el valor de su función de pertenencia.

A = ((x|m(x)) (1)

Ejemplo 1. El departamento ofrece cinco cursos electivos x1, x2, x3, x4 y x5. De acuerdo con el programa, se requieren tres cursos. El estudiante ha elegido los cursos x 2, x 3 y x 5 para estudiar. Escribamos este hecho usando la función de membresía.

donde el primer elemento de cada par significa el nombre del curso, y el segundo describe el hecho de que pertenece al subconjunto elegido por el estudiante en cuestión ("sí" o "no").

Hay infinitos ejemplos de conjuntos nítidos: lista de estudiantes grupo de estudio, muchas casas en una determinada calle de la ciudad, muchas moléculas en una gota de agua, etc.

Mientras tanto, un enorme volumen conocimiento humano y conexiones con mundo exterior incluir conceptos que no pueden llamarse conjuntos en el sentido de (1). Más bien deberían considerarse clases con límites difusos, cuando la transición de pertenecer a una clase a pertenecer a otra se produce de forma gradual, no abrupta. Por lo tanto, se supone que la lógica del razonamiento humano no se basa en la lógica clásica de dos valores, sino en la lógica con valores de verdad difusos: conectivos difusos y reglas de inferencia difusas. A continuación se muestran algunos ejemplos de esto: la extensión del artículo es de aproximadamente 12 páginas, La mayoría de Territorio, superioridad abrumadora en el juego, un grupo de varias personas.

Detengámonos en último ejemplo. Está claro que un grupo de personas de 3, 5 o 9 personas pertenece al concepto: “un grupo de personas formado por varias personas”. Sin embargo, no tendrán el mismo grado de confianza en pertenecer a este concepto, que depende de diversas circunstancias, incluso subjetivas. Estas circunstancias pueden formalizarse si asumimos que la función de pertenencia puede tomar cualquier valor en el intervalo. Además valores extremos se prescriben si el elemento definitivamente no pertenece o definitivamente pertenece este concepto. En particular, un conjunto de personas A formado por varias personas puede describirse mediante una expresión de la forma:

A = ((1½0), 2½0,1), 3½0,4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0,8), (8½0,3), (9½0,1), (a½0)

Damos la definición de conjunto difuso dada por el fundador de la teoría de conjuntos difusos L.A. Zade. Sea x un elemento de un conjunto universal específico (llamado básico) E. Entonces difuso(borrosa) multitud A definido en el conjunto base E es el conjunto de pares ordenados

A= (xúm A((x)), "x О E,

donde m A(X) - Función de la membresía, mapeando el conjunto E en un intervalo unitario, es decir metro A (x): E®.

Obviamente, si el rango de valores m A (x) está limitado a dos números 0 y 1, entonces esta definición coincidirá con el concepto de conjunto ordinario (nítido).

La función de membresía de un conjunto difuso se puede especificar no solo enumerando todos sus valores para cada elemento del conjunto base, sino también en la forma expresión analítica. Por ejemplo, muchos numeros reales Z muy cerca del número 2, se puede dar así:

z= (xúm z(x)), "x О R,

donde m z(x) = .

El conjunto de números reales Y que están suficientemente cerca del número 2 es

Y= (xúm Y(x)), "x О R,

MI z(x) = .

Imagen gráfica Estas dos funciones de pertenencia se dan en la figura 3.9.

Definición. conjunto difuso A llamado subconjunto difuso B, si A Y B se definen en el mismo conjunto base E y "x О E: m A(x) £ millones B(x), que se denota como AÌ B.

Condiciones para la igualdad de dos conjuntos difusos A Y B, definido en el mismo conjunto base E, tiene la siguiente forma

A = B o "x О E: m A(x) = metro B(X).

Comentario. Existe cierta similitud entre los conceptos inherentemente diferentes de "borroso" y "probabilidad". En primer lugar, estos conceptos se utilizan en tareas en las que existe incertidumbre o inexactitud de nuestro conocimiento o imposibilidad fundamental. predicciones precisas resultados de las decisiones. En segundo lugar, los intervalos de cambio y las funciones de probabilidad y membresía coinciden:

y P О y m A(x) О .

Al mismo tiempo, la probabilidad es una característica objetiva y las conclusiones obtenidas a partir de la aplicación de la teoría de la probabilidad pueden, en principio, verificarse experimentalmente.

La función de pertenencia se determina subjetivamente, aunque suele reflejar las relaciones reales entre los objetos considerados. La eficacia del uso de métodos basados ​​en la teoría de conjuntos difusos suele juzgarse después de obtener resultados específicos.

Si la teoría de la probabilidad supone que la probabilidad evento confiable igual a uno, es decir

entonces la suma correspondiente de todos los valores de la función de pertenencia puede tomar cualquier valor entre 0 y ¥.

Entonces, para definir un conjunto difuso A necesita ser determinado conjunto básico elementos de E, y forman una función de membresía m A(x), que es una medida subjetiva de confianza con la que cada elemento x de E pertenece a un conjunto difuso dado A.

conjunto difuso- concepto clave lógica difusa. Dejar mi- conjunto universal, X- elemento MI, una R es alguna propiedad. Subconjunto regular (crujiente) A conjunto universal MI, cuyos elementos satisfacen la propiedad R se define como el conjunto de pares ordenados

A = ( µA(X) / X},

Dónde µA (x) —función característica, tomando el valor 1 si X satisface la propiedad R, y 0 en caso contrario.

El subconjunto difuso es diferente de temas regulares, que es para elementos X de mi no hay una respuesta clara de sí o no con respecto a la propiedad R. En este sentido, el subconjunto difuso A conjunto universal mi se define como el conjunto de pares ordenados

A = ( µA(X) / X},

Dónde µA (x) — función de membresía característica(o simplemente Función de la membresía), tomando valores en algún conjunto completamente ordenado METRO(Por ejemplo, METRO = ).

La función de membresía indica el grado (o nivel) de membresía de un elemento X subconjunto A. Un montón de METRO llamado conjunto de accesorios. Si METRO= (0, 1), entonces el subconjunto difuso A Puede considerarse como un conjunto ordinario o nítido.

Ejemplos de escritura de un conjunto difuso

Dejar mi = {X 1 , X 2 , xz,X 4 , x5), m = ; A es un conjunto difuso para el cual μ A ( X 1 )= 0,3; µA ( x2)= 0; µA ( X 3) = 1; µA (x 4) = 0,5; µA ( x5)= 0,9.

Entonces A se puede representar en la forma

Una ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

o

A={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

o

Comentario. Aquí el signo “+” no denota la operación de suma, sino que tiene el significado de unión.

Características básicas de los conjuntos difusos.

Dejar METRO= y A— conjunto difuso con elementos del conjunto universal mi y muchos accesorios METRO.

La cantidad se llama altura conjunto difuso A. conjunto difuso Está bien si su altura es 1, es decir limite superior su función de membresía es 1 (= 1). En< 1нечеткое множество называется subnormal.

conjunto difuso vacío si ∀ Xϵ mi μ A ( X) = 0. Un conjunto subnormal no vacío se puede normalizar usando la fórmula

conjunto difuso unimodal, Si μ A ( X) = 1 en solo uno X de MI.

. Transportador conjunto difuso A es un subconjunto ordinario con la propiedad μ A ( X)>0, es decir transportista A = {X/x ϵ mi, μ A ( X)>0}.

Elementos Xϵ mi, para cual μ A ( X) = 0,5 , son llamados puntos de transición conjuntos A.

Ejemplos de conjuntos difusos

1. dejar mi = {0, 1, 2, . . ., 10}, m =. conjunto difuso"Varios" se pueden definir de la siguiente manera:

“Varios” = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; sus características:altura = 1, transportador = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, puntos de transición — {3, 8}.

2. dejar mi = {0, 1, 2, 3,…, norte,… ). El conjunto difuso “Pequeño” se puede definir:

3. deja mi= (1, 2, 3,..., 100) y corresponde al concepto “Edad”, entonces el conjunto difuso “Joven” se puede definir usando

Conjunto difuso “Joven” en el conjunto universal MI"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) se especifica mediante la función de membresía μ Joven ( X) en mi =(1, 2, 3, ..., 100) (edad), llamado en relación con MI" función de compatibilidad, con:

Dónde X— La edad de SIDOROV.

4. deja mi= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un conjunto de marcas de automóviles, y MI"= es el conjunto universal “Costo”, luego en MI" podemos definir conjuntos difusos del tipo:

Arroz. 1.1. Ejemplos de funciones de membresía

“Para los pobres”, “Para la clase media”, “Prestigioso”, con funciones de afiliación como la Fig. 1.1.

Tener estas funciones y conocer el costo de los autos de mi V este momento tiempo, de esta manera determinaremos MI" conjuntos difusos con el mismo nombre.

Así, por ejemplo, el conjunto difuso “Para los pobres”, definido en el conjunto universal mi =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), tiene el aspecto que se muestra en la Fig. 1.2.

Arroz. 1.2. Un ejemplo de especificación de un conjunto difuso

De manera similar, puede definir el conjunto difuso "Alta velocidad", "Media", "Lenta velocidad", etc.

5. deja mi- conjunto de números enteros:

mi= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Entonces el subconjunto difuso de números, según valor absoluto cercano a cero se puede definir, por ejemplo, así:

Una ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sobre métodos para construir funciones de membresía de conjuntos difusos

Los ejemplos anteriores utilizados derecho métodos cuando un experto simplemente establece para cada X ϵ mi significado µA (x), o define una función de compatibilidad. Como regla general, los métodos directos para especificar la función de pertenencia se utilizan para conceptos mensurables como velocidad, tiempo, distancia, presión, temperatura, etc., o cuando se distinguen valores polares.

En muchos problemas, al caracterizar un objeto, es posible seleccionar un conjunto de características y para cada una de ellas determinar valores polares correspondientes a los valores de la función de pertenencia, 0 o 1.

Por ejemplo, en la tarea de reconocimiento facial, podemos distinguir las escalas que figuran en la tabla. 1.1.

Tabla 1.1. Escalas en la tarea de reconocimiento facial.

Para una persona específicaAel experto, basándose en la escala dada, estableceμ A(x)ϵ, formando la función de membresía vectorial (μ A(x1) , μ A(x2),…, μ A(x9)}.

Con los métodos directos, también se utilizan métodos directos grupales, cuando, por ejemplo, a un grupo de expertos se les presenta una persona específica y todos deben dar una de dos respuestas: “esta persona es calva” o “esta persona no es calva”, luego el número de respuestas afirmativas dividido en numero total expertos, da significado μ calvo ( de esta persona). (En este ejemplo, puedes actuar a través de la función de compatibilidad, pero luego tendrás que contar el número de pelos de la cabeza de cada persona presentada al experto).

Indirecto Los métodos para determinar los valores de la función de pertenencia se utilizan en los casos en que no existen propiedades elementales mensurables a través de las cuales se determina el conjunto difuso que nos interesa. Por regla general, se trata de métodos de comparación por pares. Si conociéramos los valores de las funciones de membresía, por ejemplo, μ A(X-i) = ωi , i= 1, 2, ..., norte, entonces las comparaciones por pares se pueden representar mediante una matriz de relaciones A= (a ij), donde un ij= ωi/ ω j(operación de división).

En la práctica, el propio experto forma la matriz. A, en este caso se supone que los elementos de la diagonal son iguales a 1, y para elementos que son simétricos con respecto a la diagonal a ij = 1/a ij , es decir si un elemento se evalúa como α veces más fuerte que el otro, entonces este último debe ser 1/α veces más fuerte que el primero. EN caso general el problema se reduce a encontrar un vector ω que satisfaga una ecuación de la forma ay= λ máx w, donde λ max es el valor propio más grande de la matriz A. Desde la matriz A es positivo por construcción, existe una solución a este problema y es positiva.

Se pueden señalar dos enfoques más:

• uso de formularios estándar curvas para especificar funciones de pertenencia (en forma de tipo (L-R) - ver más abajo) con aclaración de sus parámetros de acuerdo con datos experimentales;
• uso de frecuencias relativassegún el experimento como valores de membresía.

La ciencia y la tecnología modernas no se pueden imaginar sin el uso generalizado de modelos matemáticos, ya que no siempre es posible realizar experimentos a gran escala, a menudo son demasiado costosos y requieren un tiempo considerable y, en muchos casos, están asociados con riesgos y grandes costos materiales o morales. costos. La esencia del modelado matemático es reemplazar un objeto real con su "imagen", un modelo matemático, y estudiar más a fondo el modelo utilizando algoritmos lógicos y computacionales implementados en computadoras. El requisito más importante para un modelo matemático es la condición de su adecuación (correspondencia correcta) con el objeto real que se está estudiando en relación con el sistema seleccionado de sus propiedades. Esto significa, en primer lugar, una descripción cuantitativa correcta de las propiedades del objeto considerado. La construcción de tales modelos cuantitativos es posible para sistemas simples.

La situación es diferente con los sistemas complejos. Obtener conclusiones significativas sobre el comportamiento. sistemas complejos es necesario abandonar la alta precisión y el rigor al construir un modelo y utilizar enfoques que sean de naturaleza aproximada al construirlo. Uno de estos enfoques está asociado con la introducción de variables lingüísticas que describen el reflejo poco claro de una persona del mundo circundante. Para que una variable lingüística se convierta en un objeto matemático de pleno derecho, se introdujo el concepto de conjunto difuso.

En la teoría de los conjuntos nítidos, se consideraba la función característica de un conjunto nítido en el espacio universal. , igual a 1 si el elemento satisface la propiedad y, por tanto, pertenece al conjunto, e igual a 0 en caso contrario. Así, estábamos hablando de un mundo claro (álgebra booleana), en el que la presencia o ausencia de una determinada propiedad está determinada por los valores 0 o 1 (“no” o “sí”).

Sin embargo, todo en el mundo no se puede dividir sólo en blanco y negro, verdad y mentira. Así, incluso el Buda vio un mundo lleno de contradicciones, las cosas podían ser hasta cierto punto verdaderas y, hasta cierto punto, falsas al mismo tiempo. Platón sentó las bases de lo que se convertiría en lógica confusa al señalar que había un tercer ámbito (más allá de la Verdad y la Falsedad) donde estas contradicciones son relativas.

El profesor Zadeh de la Universidad de California publicó el artículo “Fuzzy Sets” en 1965, en el que extendió la estimación de dos valores de 0 o 1 a una estimación ilimitada de múltiples valores por encima de 0 y por debajo de 1 en un intervalo cerrado e introdujo por primera vez el concepto de un "conjunto difuso". En lugar del término “función característica”, Zadeh utilizó el término “función de membresía”. Un conjunto difuso (se deja la misma notación que para el conjunto nítido) en el espacio universal a través de la función de pertenencia (la misma notación que para la función característica) se define de la siguiente manera

La función de membresía se interpreta más a menudo de la siguiente manera: el valor significa evaluación subjetiva el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto difuso, por ejemplo, significa que pertenece en un 80%. Por lo tanto, debe existir “mi función de membresía”, “su función de membresía”, “función de membresía del especialista”, etc. La representación gráfica de un conjunto difuso, un diagrama de Venn, está representado por círculos concéntricos en la Fig. 1. La función de pertenencia de un conjunto difuso tiene una gráfica en forma de campana, en contraste con la función característica rectangular de un conjunto claro, Fig. 1.

Debes prestar atención a la conexión entre los conjuntos nítidos y difusos. Dos valores (0,1) de la función característica pertenecen a un intervalo cerrado de valores de la función de pertenencia. Por lo tanto, un conjunto nítido es un caso especial de conjunto difuso, y el concepto de conjunto difuso es un concepto extendido que también cubre el concepto de conjunto nítido. En otras palabras, un conjunto nítido es también un conjunto difuso.

Un conjunto difuso se define estrictamente mediante la función de membresía y no contiene ninguna vaguedad. El hecho es que un conjunto difuso se define estrictamente utilizando los valores estimados de un intervalo cerrado, y esta es la función de pertenencia. Si el conjunto universal consta de un conjunto finito discreto de elementos, entonces, basándose en consideraciones prácticas, indique el valor de la función de pertenencia y el elemento correspondiente utilizando los signos de separación / y +. Por ejemplo, supongamos que el conjunto universal consta de números enteros menores que 10, entonces el conjunto difuso de “números pequeños” se puede representar como

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Aquí, por ejemplo, 0,8/2 significa . El signo + denota una unión. Al escribir un conjunto difuso en la forma anterior, se omiten los elementos del conjunto universal con valores de función de pertenencia iguales a cero. Por lo general, todos los elementos del conjunto universal se escriben con los valores correspondientes de la función de pertenencia. Se utiliza una notación de conjunto difuso, como en la teoría de la probabilidad,

Definición. En general, un subconjunto difuso de un conjunto universal se define como un conjunto de pares ordenados

Por tradición, los conjuntos claros suelen estar ilustrados por círculos con límites claramente delineados. Los conjuntos difusos son círculos formados por puntos individuales: en el centro del círculo hay muchos puntos y más cerca de la periferia su densidad disminuye a cero; el círculo parece estar sombreado en los bordes. Estos “conjuntos borrosos” se pueden ver... en un campo de tiro, en la pared donde se cuelgan los objetivos. Forma de marcas de viñeta aleatorio conjuntos cuyas matemáticas se conocen. Resultó que para la cirugía. conjuntos difusos el aparato de conjuntos aleatorios desarrollado desde hace mucho tiempo es adecuado...

Concepto de difuso conjunto - intento formalización matemática información difusa con el fin de utilizarla en la construcción modelos matemáticos sistemas complejos. Este concepto se basa en la idea de que los elementos que componen un conjunto determinado y tienen propiedad comun, puede tener esta propiedad en distintos grados y, por tanto, pertenecer a un conjunto dado en distintos grados.

Una de las formas más sencillas. descripción matemática conjunto difuso: caracterización del grado de pertenencia de un elemento a un conjunto mediante un número, por ejemplo, del intervalo. Dejar X– un determinado conjunto de elementos. A continuación consideraremos subconjuntos de este conjunto.

Conjunto difuso A en X se llama una colección de pares de la forma ( X, metro Hacha)), Dónde xÎX, y M A- función X®, llamado Función de la membresía conjunto difuso A. valor m Hacha) esta función para un específico X se llama grado de pertenencia de este elemento al conjunto difuso A.

Como puede verse en esta definición, un conjunto difuso se describe completamente mediante su función de pertenencia, por lo que a menudo usaremos esta función como designación para un conjunto difuso.

Los conjuntos ordinarios constituyen una subclase de la clase de conjuntos difusos. De hecho, la función de membresía de un conjunto ordinario BÌ X es su función característica: m B(x)=1 si XÎ B y M B(x)=0 si XÏ B. Entonces, de acuerdo con la definición de conjunto difuso, el conjunto ordinario EN También se puede definir como un conjunto de pares de la forma ( X, metro B(x)). Por tanto, un conjunto difuso es más concepto amplio que un conjunto ordinario, en el sentido de que la función de pertenencia de un conjunto difuso puede, en términos generales, ser una función arbitraria o incluso una aplicación arbitraria.

Estamos hablando conjunto difuso. Y muchos ¿qué? Si somos consistentes, tenemos que afirmar que un elemento de un conjunto difuso resulta ser... un nuevo conjunto difuso de nuevos conjuntos difusos, etc. pasemos a ejemplo clásico- A montón de grano. Un elemento de este conjunto difuso será millones de granos, Por ejemplo. Pero un millón de granos no está nada claro. elemento, y nuevo conjunto difuso. Después de todo, al contar granos (manual o automáticamente), no es sorprendente cometer un error: tomar 999.997 granos como un millón, por ejemplo. Aquí podemos decir que el elemento 999,997 tiene un valor de función de pertenencia para el conjunto “millones” igual a 0,999997. Además, el grano en sí nuevamente no es un elemento, sino un nuevo conjunto difuso: hay un grano completo y dos granos fusionados, un grano subdesarrollado o simplemente una cáscara. Al contar granos, una persona debe rechazar algunos, tomar dos granos como uno y, en otro caso, un grano como dos. Un conjunto difuso no es tan fácil de introducir en una computadora digital con lenguajes clásicos: los elementos de una matriz (vector) deben ser nuevas matrices de matrices (vectores anidados y matrices, si hablamos de Mathcad). Las matemáticas clásicas de conjuntos nítidos (teoría de números, aritmética, etc.) son el gancho por el cual hombre razonable se fija (determina) a sí mismo en el mundo resbaladizo y confuso que lo rodea. Y un anzuelo, como saben, es una herramienta bastante tosca que a menudo estropea aquello a lo que se aferra. Términos que representan conjuntos difusos: “mucho”, “ligeramente”, “un poco”, etc. etc. - es difícil "meterlo" en una computadora también porque Dependiente del contexto. Una cosa es decirle “Dame unas semillas” a una persona que tiene un vaso de semillas, y otra cosa es decirle a una persona sentada al volante de un camión con semillas.

Subconjunto difuso A conjuntos X caracterizado por la función de membresía m A:X→, que asigna a cada elemento XÎ X numero m Hacha) del intervalo que caracteriza el grado de pertenencia del elemento X subconjunto A. Además, 0 y 1 representan, respectivamente, el valor más bajo y el grado más alto Pertenencia de un elemento a un subconjunto específico.

Demos definiciones básicas.

· Valor sup metro A(X) llamado altura conjunto difuso A. conjunto difuso A Bien , si su altura es 1 , es decir. el límite superior de su función de membresía es 1. cuando sup metroA(X)<1 el conjunto difuso se llama subnormal.

Un conjunto difuso se llama vacío, si su función de pertenencia es igual a cero en todo el conjunto X, es decir. metro 0 (x)= 0 " XÎ X.

conjunto difuso vacío , Si " XÎ mi metro un ( X)=0 . Un conjunto subnormal no vacío se puede normalizar mediante la fórmula

(Figura 1).

Figura 1. Normalización de un conjunto difuso con función de membresía. .

Transportador conjunto difuso A(designación apoyo A) con función de membresía m Hacha) llamado conjunto de la forma suppA={x|xÎ X, metro A(x)> 0). Para aplicaciones prácticas Los portadores de conjuntos difusos siempre son limitados. Por tanto, el portador de un conjunto difuso de modos admisibles para un sistema puede ser un subconjunto claro (intervalo), para el cual el grado de admisibilidad no es igual a cero (Fig. 2).

Arroz. 3. Núcleo, portador y α- sección de un conjunto difuso

Significado α llamado α -nivel. El portador (núcleo) puede considerarse como una sección de un conjunto difuso en cero (unidad) α -nivel.

Arroz. 3 ilustra las definiciones portador, núcleo,α - secciones yα - nivel conjunto difuso.