Hoy ella merece ser cantada en poesía.
Teorema de Vieta sobre las propiedades de las raíces.
¿Qué es mejor, dime, una consistencia como esta?
Multiplicaste las raíces y la fracción está lista.
en el numerador Con, en el denominador A.
Y la suma de las raíces de la fracción también es igual.
Incluso con un menos esta fracción
Que problema
En numeradores V, en el denominador A.
(Del folclore escolar)
en el epígrafe maravilloso teorema François Vieta no se da del todo exactamente. De hecho, podemos escribir una ecuación cuadrática que no tenga raíces y escribir su suma y producto. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 2x + 12 = 0 no tiene raíces reales. Pero, adoptando un enfoque formal, podemos escribir su producto (x 1 · x 2 = 12) y la suma (x 1 + x 2 = -2). Nuestro los versos corresponderán al teorema con la salvedad: “si la ecuación tiene raíces”, es decir D ≥ 0.
Primero uso práctico Este teorema es la construcción de una ecuación cuadrática que tiene raíces. En segundo lugar, te permite resolver muchas ecuaciones cuadráticas de forma oral. Los libros de texto escolares se centran principalmente en el desarrollo de estas habilidades.
Aquí consideraremos más tareas complejas, resuelto usando el teorema de Vieta.
Ejemplo 1.
Una de las raíces de la ecuación 5x 2 – 12x + c = 0 es tres veces mayor que la segunda. Encuentra s.
Solución.
Sea la segunda raíz x 2.
Entonces la primera raíz x1 = 3x 2.
Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces es 12/5 = 2,4.
Creemos la ecuación 3x 2 + x 2 = 2,4.
Por tanto x 2 = 0,6. Por lo tanto x 1 = 1,8.
Respuesta: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Ejemplo 2.
Se sabe que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación x 2 – 8x + p = 0, siendo 3x 1 + 4x 2 = 29. Encuentra p.
Solución.
Según el teorema de Vieta, x 1 + x 2 = 8, y por condición 3x 1 + 4x 2 = 29.
Habiendo resuelto el sistema de estas dos ecuaciones, encontramos el valor x 1 = 3, x 2 = 5.
Y por tanto p = 15.
Respuesta: p = 15.
Ejemplo 3.
Sin calcular las raíces de la ecuación 3x 2 + 8 x – 1 = 0, encuentre x 1 4 + x 2 4
Solución.
Tenga en cuenta que según el teorema de Vieta x 1 + x 2 = -8/3 y x 1 x 2 = -1/3 y transforme la expresión
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Respuesta: 4898/9.
Ejemplo 4.
¿A qué valores del parámetro a se encuentra la diferencia entre el mayor y el raíces más pequeñas ecuaciones
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 es igual a su producto.
Solución.
Esta es una ecuación cuadrática. Tendrá 2 raíces diferentes si D > 0. En otras palabras, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 o (a – 3) 2 > 0. Por lo tanto, tenemos 2 raíces para todo a, excepto para a = 3.
Para ser más precisos, asumiremos que x 1 > x 2 y obtendremos x 1 + x 2 = (a + 1)/2 y x 1 x 2 = (a – 1)/2. Basado en las condiciones del problema x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Las tres condiciones deben cumplirse simultáneamente. Consideremos la primera y última ecuaciones como un sistema. Se puede resolver fácilmente mediante suma algebraica.
Obtenemos x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Comprobemos en qué A se cumplirá la segunda igualdad: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Sustituimos los valores obtenidos y tendremos: a/4 = (a – 1)/2. Entonces a = 2. Es obvio que si a = 2, entonces se cumplen todas las condiciones.
Respuesta: cuando a = 2.
Ejemplo 5.
¿Qué es igual a valor más pequeño a, en el cual la suma de las raíces de la ecuación
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 es igual a la suma de los cuadrados de sus raíces.
Solución.
En primer lugar, reduzcamos la ecuación a forma canónica: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Tendrá raíces si D/4 ≥ 0. Por lo tanto: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. O (a – 1) 2 ≥ 0. Y esta es la condición válida para cualquier a.
Apliquemos el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Calculemos
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. O después de la sustitución x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Queda por crear una igualdad que corresponda a las condiciones del problema: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Obtenemos: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Esta ecuación cuadrática tiene 2 raíces: a 1 = 1 y a 2 = 1/2. El más pequeño de ellos es –1/2.
Respuesta: 1/2.
Ejemplo 6.
Encuentra la relación entre los coeficientes de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 si la suma de los cubos de sus raíces es igual al producto de los cuadrados de estas raíces.
Solución.
Partiremos del hecho de que ecuación dada tiene raíces y, por tanto, se le puede aplicar el teorema de Vieta.
Entonces la condición del problema se escribirá de la siguiente manera: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. O: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
El segundo factor necesita ser convertido. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Obtenemos (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Queda por reemplazar las sumas y productos de las raíces mediante coeficientes.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Esta expresión se puede convertir fácilmente a la forma b(3ac – b 2)/a = c 2. La relación ha sido encontrada.
Comentario. Se debe tener en cuenta que la relación resultante tiene sentido para ser considerada sólo después de que se cumple la otra: D ≥ 0.
Ejemplo 7.
Encuentra el valor de la variable a para el cual la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 es el valor mayor.
Solución.
Si esta ecuación tiene raíces x 1 y x 2, entonces su suma es x 1 + x 2 = -2a, y el producto x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Calculamos x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Ahora es obvio que esta expresión toma valor más alto en a = 3.
Queda por comprobar si la ecuación cuadrática original realmente tiene raíces en a = 3. Comprobamos por sustitución y obtenemos: x 2 + 6x + 7 = 0 y para ello D = 36 – 28 > 0.
Por tanto, la respuesta es: para a = 3.
Ejemplo 8.
La ecuación 2x 2 – 7x – 3 = 0 tiene raíces x 1 y x 2. Encuentre la suma triplicada de los coeficientes de la ecuación cuadrática dada, cuyas raíces son los números X 1 = 1/x 1 y X 2 = 1/x 2. (*)
Solución.
Obviamente, x 1 + x 2 = 7/2 y x 1 x 2 = -3/2. Compongamos la segunda ecuación a partir de sus raíces en la forma x 2 + px + q = 0. Para hacer esto, usamos el inverso del teorema de Vieta. Obtenemos: p = -(X 1 + X 2) y q = X 1 · X 2.
Habiendo realizado la sustitución en estas fórmulas basándose en (*), entonces: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 y q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
La ecuación requerida tomará la forma: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Ahora podemos calcular fácilmente la suma triplicada de sus coeficientes:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Se recibe la respuesta.
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Gobierno municipal institución educativa
"Ochkurovskaya secundaria escuela comprensiva»
Nikolaievski distrito municipal Región de Volgogrado
teorema de vieta
Completado por: Onoprienko Kristina,
estudiante de octavo grado
MKOU "Escuela secundaria Ochkurovskaya"
Distrito Nikolaevsky
Responsable: E.A.
Con. Ochkurovka
2015
Tabla de contenido
Introducción………………………………………………………………………………………… ……3
Parte principal
1.Antecedentes históricos………………………………………………………….4
2. Demostración del teorema de Vieta……………………………………………………..6
3. Compilación de un bloque de ecuaciones resueltas usando el teorema de Vieta……………….8
4. Construcción del simulador……………………………………………………10
Conclusión
Importancia práctica del proyecto……………………………………... 12
Conclusiones……………………………………………………………………………….13
Lista de fuentes de información………………………….…………………………...14
Solicitud……………………………………………………………………..15
Con razón digno de ser cantado en poesía.
Teorema de Vieta sobre las propiedades de las raíces.
¿Qué es mejor, dime, una consistencia como esta?
Una vez que multiplicas las raíces, ¡la fracción está lista!
El numerador es c, el denominador es a.
Y la suma de las raíces de la fracción también es igual.
Incluso con una fracción negativa, ¡qué problema!
en el numerador
b
, en el denominador a.
Introducción
Relevancia del tema del proyecto: La aplicación del teorema de Vieta es una técnica única para resolver ecuaciones cuadráticas oralmente. Hay muy pocas ecuaciones cuadráticas en el libro de texto que puedan resolverse utilizando el teorema de Vieta. Mis compañeros y yo cometemos errores.
Objeto investigación es el teorema de Vieta, como parte integral de la resolución de ecuaciones cuadráticas en lecciones de álgebra.
Tema de estudio – Teorema de Vieta y compilación de un bloque de ecuaciones para fortalecer la habilidad de resolver ecuaciones cuadráticas.
Hipótesis: Sugerí que puedes aprender a resolver ecuaciones con precisión usando el teorema de Vieta usando un simulador.
Objetivo del proyecto : Crear un simulador de ecuaciones resueltas usando el teorema de Vieta.
Tareas:
conozca la historia del descubrimiento del teorema de Vieta;
realizar un estudio de la dependencia de los coeficientes del cuadrado.
ecuación y producto y suma de sus raíces.
aprender a demostrar el teorema de Vieta;
componer de forma independiente ecuaciones que puedan resolverse utilizando el teorema de Vieta
elaborar un bloque de ecuaciones en papel y crear un simulador en formato electrónico
Ofrece a tus compañeros un simulador para resolver ecuaciones usando el teorema de Vieta.
Métodos :
comparación de resultados Trabajo independiente antes del proyecto y después del entrenamiento, resolviendo ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta
estudio y análisis fuentes electrónicas y literatura
trabajo independiente en la compilación de un bloque de ecuaciones y un simulador
1.Información histórica
Francois Viet nació en 1540 en el sur de Francia en la pequeña ciudad de Fanteney-le-Comte.
El padre de Viet era fiscal. El hijo eligió la profesión de su padre y se convirtió en abogado, graduándose en la universidad de Poitou. En 1560, un abogado de veinte años comenzó su carrera en ciudad natal, pero tres años después pasó a servir en la noble familia hugonota de Parthenay. Se convirtió en secretario del dueño de la casa y maestro de su hija Catalina, de doce años. Fue la enseñanza lo que despertó el interés del joven abogado por las matemáticas.
Cuando la estudiante creció y se casó, Viet no se separó de su familia y se mudó con ella a París, donde le resultó más fácil conocer los logros de los principales matemáticos de Europa. Se comunicó con un destacado profesor de la Sorbona, Ramus, y mantuvo una correspondencia amistosa con el mayor matemático de Italia, Raphael Bombelli.
En 1571, Viet cambió a servicio público, convirtiéndose en asesor del parlamento y luego asesor del rey Enrique III de Francia.
En 1580 Enrique III nombró a Viet para el importante puesto gubernamental de mafioso, lo que le dio el derecho de controlar la implementación de órdenes en el país y suspender las órdenes de los grandes señores feudales.
En 1584, ante la insistencia de los Guisa, Vieta fue destituido de su cargo y expulsado de París. Habiendo encontrado la paz y la relajación, el científico se propuso crear matemáticas integrales que le permitieran resolver cualquier problema.
Viet describió su programa de investigación y enumeró tratados unidos por un concepto común y escritos en lenguaje matemático nueva álgebra de letras, en la famosa “Introducción al arte analítico” publicada en 1591. Viet llamó la base de su enfoque logística de especies; distinguió claramente entre números, cantidades y relaciones, reuniéndolas en un determinado sistema de "especies". Este sistema incluía, por ejemplo, variables, sus raíces, cuadrados, cubos, cuadrados-cuadrados, etc. Para estos tipos, Viet dio un simbolismo especial, designándolos en letras mayúsculas alfabeto latino. Para cantidades desconocidas se utilizaron vocales, para variables, consonantes.
Viète demostró que operando con símbolos se puede obtener un resultado que es aplicable a cualquier cantidad correspondiente, es decir, resolver el problema en vista general. Esto marcó el comienzo de un cambio radical en el desarrollo del álgebra: el cálculo literal se hizo posible.
El famoso teorema que establece la relación entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces se publicó en 1591. Ahora lleva el nombre de Vieta, y el propio autor lo formuló de esta manera: “Si B + D multiplicado por A, menos A al cuadrado es igual a BD, entonces A es igual a B y es igual a D”.
En su tratado "Adiciones a la geometría" buscó crear una especie de álgebra geométrica, utilizando métodos geométricos para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado. Cualquier ecuación de tercer y cuarto grado, argumentó Viet, puede resolverse método geométrico trisección de un ángulo o construyendo dos proporcionales medios.
Durante siglos, los matemáticos se han interesado por la cuestión de la resolución de triángulos, tal como lo dictaban las necesidades de la astronomía, la arquitectura y la geodesia. Viet fue el primero en formular explícitamente en forma verbal el teorema de los cosenos, aunque se han utilizado esporádicamente equivalentes desde el siglo I a.C. El caso de resolver un triángulo utilizando dos lados dados y uno de los ángulos opuestos a ellos, anteriormente conocido por su dificultad, recibió un análisis exhaustivo por parte de Vieta. Un profundo conocimiento de álgebra le dio a Vieta grandes beneficios. Además, su interés por el álgebra se debió inicialmente a aplicaciones a la trigonometría y la astronomía. No sólo cada nueva aplicación del álgebra impulsó nuevas investigaciones en trigonometría, sino que también los resultados trigonométricos obtenidos fueron la fuente. éxitos importantesálgebra. Vieta, en particular, es responsable de la derivación de expresiones para senos (o cuerdas) y cosenos de arcos múltiples.
En las memorias de algunos cortesanos de Francia hay una indicación de que Viet estaba casado, que tenía una hija, la única heredera de la propiedad, por lo que Viet fue llamado Seigneur de la Bigautier. En las noticias de la corte, el Marqués de Letual escribió: “... 14 de febrero de 1603 Sr. Viet, mafioso, hombre de gran inteligencia y razonamiento y uno de los más científicos matemáticos El siglo murió... en París. Tenía más de sesenta años."
2. Prueba del teorema de Vieta
3. Elaboración de un bloque de ecuaciones y un simulador electrónico.
Bibliografía
Álgebra octavo grado: libro de texto para Instituciones educacionales. G.V.Dorofeev, S.B.
Materiales didácticos sobre álgebra para octavo grado. V.I. M.: Educación, 2000.
Matemáticas.Octavo grado: materiales didácticos al libro de texto “Matemáticas 8. Álgebra” / ed. G. V. Dorofeeva. – M.: Avutarda, 2012\
Estado examen final. Noveno grado. Matemáticas. Tareas de prueba temáticas./L.D. Lappo, MA. Popov/-M.: Editorial de exámenes, 2011
Resultado planificado
1. Informativo
Recopilación de información, su análisis.
Estudio de la literatura
Material para la parte teórica del proyecto.
2.Organizacional
Análisis, generalización.
Desarrollo de un bloque de ecuaciones.
Material para el trabajo
3. Etapa tecnológica
Selección de ecuaciones
Creando un simulador
Aparato de entrenamiento
4.final
Generalización de la experiencia.
Conclusiones sobre el trabajo realizado, diseño del proyecto.
Proyecto. Diseño de colección. Clase maestra. Participación en el concurso.
X 2 + 17x - 38 = 0,
X 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
X 2 + 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
X 2 - 7x + 10 = 0,
X 2 - 2x - 3= 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
2x 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2x 2 - 7x + 3 = 0,
X 2 + 17x - 18 = 0,
X 2 - 17x - 18 = 0,
X 2 - 11x + 18 = 0,
X 2 + 7x - 38 = 0,
X 2 - 9x + 18 = 0,
X 2 - 13x + 36 = 0,
X 2 - 15x + 36 = 0,
X 2 - 5x - 36 = 0.
X 2 + x – 2 = 0
X 2 + 2x – 3 =0
X 2 - 3x + 2 =0
X 2 -x – 2 = 0
X 2 - 2x – 3 =0
X 2 - 3x – 4 = 0
X 2 +17 X -18=0
X 2 + 23 X – 24=0
X 2 – 39x-40 =0
X 2 – 37x – 38=0
X 2 – 3x – 10 = 0
X 2 – 5x + 3 = 0
X 2 + 8 x – 11 = 0
X 2 + 6x + 5 = 0
X 2 – X – 12 = 0
X 2 + 5 X + 6 = 0
X 2 + 3 X – 10 = 0
X 2 – 8 X– 9 = 0
X 2 + x – 56 = 0
X 2 – 19x + 88 = 0
X 2 – 4x – 4 = 0
X 2 -15x+14=0
X 2 +8x+7=0
X 2 +9x+20=0
X 2 +18x -11 = 0
X 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
X 2 +18x -11 = 0
X 2 +27x – 24 = 0
4x-21=0
4x-21=0
X 2 -15x+56=0
X 2 -4x-60=0
X 2 +5x+6=0
2x-3=0
X 2 +18x+81=0
X-20=0
X 2 +4x+21=0
X 2 -10x-24=0
X 2 + x-56=0
X 2 -x-56=0
X 2 +3x+2=0
X 2 +5x-6=0
X 2 -18x+81=0
X 2 -9x+20=0
X 2 -5 X +6=0
X 2 -4x-21=0
X 2 - 7x+6=0
X 2 -15x+56=0
X 2 – 3x + 2 = 0
X 2 – 4x + 3 = 0
X 2 – 2x + 4 = 0
X 2 – 2x + 5 = 0
X 2 – 2x + 6 = 0
X 2 – 11x + 24 = 0
X 2 + 11x – 30 = 0
X 2 + x – 12 = 0
X 2 – 6x + 8 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 4 x -21 = 0
X 2 +x – 42 =0
X 2 – x – 20 =0
X 2 +4x-32=0
X 2 - 2x – 35 =0
X 2 +x-20 =0
X 2 + 7 x + 10 = 0
X 2 -x-6=0
X 2 + 2x+0 =0
X 2 + 6x+0 =0
X 2 + 3x - 18=0
X 2 +5x-24=0
X 2 - 2 x - 24=0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 8x + 7 =0
X 2 + 9x – 20=0
X 2 – 6x - 7 = 0
X 2
4.
Importancia práctica del proyecto.
Aplicación en lecciones de álgebra de octavo grado y durante la repetición final de la OGE Conclusiones:
El resultado de mi trabajo es un bloque de ecuaciones cuadráticas que se pueden resolver utilizando el teorema de Vieta. Me dejé llevar por el trabajo; la forma más sencilla era crear ecuaciones cuadráticas en las que el término libre se encuentre según la tabla de multiplicar. Ahora no sólo encuentro con precisión las raíces de una ecuación usando el teorema de Vieta, sino que también lo aplico al verificar la solución de cualquier ecuación cuadrática. Usando el simulador, mis compañeros y yo aprendimos a resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta. Lista de fuentes de información:
“Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas” - Habilidades de resolución. Kostromá. Yaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreevich. Resolvamos la ecuación. Igualdad. trabajo oral. Kazán. Objeto de movimiento. Tabla criptográfica. Nizhny Novgorod. Lyapunov Alexander Mikhailovich. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Velocidad. Autobús. Tareas de movimiento.
“Matemáticas “Ecuaciones cuadráticas”” - f) ¿A qué valor de a la ecuación tiene una raíz? Resolver ecuaciones cuadráticas. Resuelve la ecuación cuadrática de forma oral. Resuelve la ecuación con coeficientes de letras. Intenta darle a tu mente la mayor cantidad de alimento posible. Objetivo: aprender a ver manera racional resolver ecuaciones cuadráticas. M.V. Lomonósov. Haciendo ejercicios.
“François Viète y su teorema” - Dos polinomios son idénticamente iguales. Enseñanza matemática. Descubrimientos matemáticos. Las fórmulas de Vieta. Francois Viet. Maestros. Descubra desde varias fuentes¿Quién es François Viet? Discriminante. El teorema de Vieta se puede generalizar a polinomios de cualquier grado. Fórmulas derivadas de Viethe para ecuaciones cuadráticas.
“Encontrar las raíces de una ecuación cuadrática” - La ecuación no tiene raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas. Propiedades de los coeficientes de ecuación. Resolver ecuaciones usando la fórmula. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Determinar el número de raíces de una ecuación cuadrática. Encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas incompletas. Encontrar el discriminante. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
“Resolver ecuaciones con raíces cuadradas” - Apéndice. Dibujo. Resolviendo la ecuación usando el método "lanzamiento". Solución gráfica ecuaciones cuadráticas. Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática. Factorización. Método de selección cuadrado lleno. La ecuacion. Coeficiente. Suma de coeficientes. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Miembro gratuito.
“Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas” - Resolver el problema. Acumulación de hechos. Distribuye estas ecuaciones en 4 grupos. Revisión por pares. Comprensión primaria y aplicación del material estudiado. Tema de la lección. Considera desafortunado el día o la hora en que no has aprendido nada. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Pregunta. Establecer una tarea de aprendizaje.
Hay un total de 34 presentaciones en el tema.
Francois Viet nació en 1540 en Francia, en Fontenay-le-Comte. Abogado de formación. Estuvo muy involucrado en la abogacía y de 1571 a 1584 fue asesor de los reyes Jorge III y Jorge IV. Pero todo es tuyo tiempo libre, dedicó todo su tiempo libre a las matemáticas y la astronomía. Comenzó a trabajar de forma especialmente intensa en el campo de las matemáticas en 1584 después de su destitución de su cargo bajo Corte real. Viet estudió en detalle los trabajos de matemáticos antiguos y contemporáneos.
François Viète esencialmente creó una nueva álgebra. Introdujo en él el simbolismo alfabético. Sus principales ideas se presentan en la obra “Introducción al Arte Analítico”. Escribió: “Todos los matemáticos sabían que bajo su álgebra y almucabala se escondían tesoros incomparables, pero no sabían cómo encontrarlos: los problemas que consideraban más difíciles se resuelven fácilmente con la ayuda de nuestro arte”.
De hecho, todos sabemos lo fácil que es resolver, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas. Existen fórmulas preparadas para resolverlos. Antes de F. Vieta, la solución de cada ecuación cuadrática se llevaba a cabo según sus propias reglas en forma de argumentos y descripciones verbales muy largas, acciones bastante engorrosas. Incluso la ecuación misma forma moderna No pude escribirlo. Esto también requirió un proceso bastante largo y complejo. descripción verbal. Llevó años dominar las técnicas para resolver ecuaciones. Reglas generales, similares a los modernos, y más aún no existían fórmulas para resolver ecuaciones. Probabilidades constantes no estaban indicados con letras. Sólo se consideraron expresiones con coeficientes numéricos específicos.
Vietnam introdujo los símbolos de letras en el álgebra. Después de la innovación de Vieta, fue posible escribir reglas en forma de fórmulas. Es cierto que Viet todavía denotaba exponentes con palabras, y esto creaba ciertas dificultades para resolver algunos problemas. En la época de Vieta, la oferta de ejemplares todavía era limitada. François Viète describió con gran detalle en sus obras la teoría de la resolución de ecuaciones de primer a cuarto grado.
El gran mérito de Vieta fue el descubrimiento de la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones de la forma reducida de un arbitrario. grado natural. Conocemos muy bien el famoso teorema de Vieta para una ecuación cuadrática reducida: “la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma reducida es igual al segundo coeficiente tomado de signo opuesto, y el producto de las raíces de esta ecuación es igual a miembro gratuito" Este teorema le permite verificar verbalmente la exactitud de la resolución de ecuaciones cuadráticas y, en los casos más simples, encontrar las raíces de las ecuaciones.
Tenga en cuenta también que Viète dio la primera representación analítica (usando una fórmula) del número π en Europa.
Viet murió a la edad de 63 años en 1603.
Teorema de Vieta.
suma de raices trinomio cuadrático x2 + px + q es igual a su segundo coeficiente p de signo opuesto, y el producto es igual al término libre q.
Prueba.
Sean x1 y x2 raíces diferentes del trinomio cuadrático x2 + px + q. El teorema de Vieta establece que se cumplen las siguientes relaciones: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Para probar esto, sustituyamos cada una de las raíces en la expresión del trinomio cuadrático. Obtenemos dos igualdades numéricas correctas: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Restemos estas igualdades entre sí. Obtenemos x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Ampliemos la diferencia de cuadrados y al mismo tiempo muevamos el segundo término hacia el lado derecho:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Dado que por condición las raíces x1 y x2 son diferentes, entonces x1 – x2 ≠ 0 y podemos dividir la igualdad entre x1 – x2. Obtenemos la primera igualdad del teorema: x1 + x2 = –p
Para probar el segundo, sustituyamos en una de las igualdades escritas arriba (por ejemplo, la primera) en lugar del coeficiente p, un número igual – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Transformando lado izquierdo, obtenemos: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, que es lo que faltaba demostrar.
En el caso de una ecuación cuadrática no reducida ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
Teorema inverso al teorema de Vieta.
Si se satisfacen las igualdades x1+x2 = y x1x2 =, entonces los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0.
Prueba.
De la igualdad x1+x2 = y x1x2 = se deduce que x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.
Pero x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) y por lo tanto x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
De ello se deduce que x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + x + = 0 y, por tanto, las ecuaciones ax2 + bx + c = 0.
Aplicación del teorema de Vieta.
El teorema de Vieta se utiliza en octavo grado para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas. Puede ampliar el alcance de uso de este teorema, por ejemplo, para resolver sistemas de ecuaciones en los grados 9-11 y resolver problemas relacionados con el estudio de ecuaciones cuadráticas y sus raíces. Esto reduce el tiempo y simplifica la solución del sistema.
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Si asumimos que las raíces xey de alguna ecuación cuadrática, cuya suma de raíces es igual a 5, y su producto es igual a 6, entonces obtenemos un conjunto de dos sistemas
Respuesta: (2;3), (3;2).
Los estudiantes dominan rápidamente este método de resolución y lo utilizan con placer. Además, puedes complicar los sistemas y utilizar esta técnica al estudiar. temas variados en los grados 10-11.
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Bajo la condición x > 0 y > 0 obtenemos
Sean y las raíces de alguna ecuación cuadrática reducida, entonces este sistema es equivalente a la combinación de dos sistemas
El segundo sistema de la población no tiene solución; la solución del primero es el par x=9,y=4.
Respuesta: (9;4).
A continuación se muestran sistemas de ecuaciones que se pueden resolver utilizando el teorema de Vieta.
Respuesta: (65;3),(5;63).
Respuesta: (23;11),(7;27).
Respuesta: (4;729),(81;4096).
Respuesta: (2;2).
5. x + y =12 Respuesta: (8;4),(4;8).
Respuesta: (9;4),(4;9).
El propio profesor puede compilar sistemas de ecuaciones similares o los estudiantes pueden participar en esto, lo que ayuda a desarrollar el interés en el tema.
Tareas de solución oral.
Sin resolver ecuaciones cuadráticas, encuentra sus raíces.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Respuesta: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Respuesta: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Respuesta: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Respuesta: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Respuesta: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Respuesta: -2,5;-1.
Consideremos problemas en los que se utiliza el teorema de Vieta.
Sin resolver la ecuación 9x²+18x-8=0, encuentra x1³+x2³, donde x1,x2 son sus raíces.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) discriminante Por encima de cero, D>0, lo que significa que x1,x2 son raíces reales.
Según el teorema de Vieta, se deduce que: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) Transformar la expresión x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
Sustituyamos los valores que conocemos en la fórmula resultante y obtengamos la respuesta:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
¿A qué valor de k en la ecuación 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
Según el teorema de Vieta: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), obtuvimos un sistema de dos ecuaciones y sustituimos 2x1 en lugar de x2.
2x12=-k│:2x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Comparemos las ecuaciones resultantes:
Resolvamos la ecuación cuadrática y encontremos k:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Respuesta: con k1=-1 y k2=2.
Sean x1;x2 las raíces de la ecuación cuadrática x²+13x-17=0. Inventa una ecuación cuyas raíces serían los números 2-x1 y 2-x2.
Considere la ecuación x²+13x-17=0.
1) Discriminante D>0, lo que significa que x1; x2 son raíces reales.
Según el teorema de Vieta: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) Sustituye los números 2-x2 y 2-x2 en este sistema.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Por tanto, aplicando el teorema de Vieta, la ecuación deseada es x²-17x+13=0.
Respuesta: x²-17x+13=0.
Dada una ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, ¿cuáles son los signos de byc si x2>x1,x1>0,x2?
Dado que x2 x1, se deduce que b>0,c
Respuesta: b>0,ñ
6) Dada una ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, ¿cuáles son los signos de byc si x1 0,x2>0?
Por el teorema de Vieta: x1+x2=-b x1∙x2=c
Como x1>0, x2>0 y x2>x1, se deduce que b 0.
Tareas para solución independiente.
1) Sin resolver la ecuación 2x²-3x-11=0, encuentra +, donde x1;x2 son sus raíces.
2) Encuentra el valor de la expresión +, donde x1;x2 son las raíces del trinomio x²-18x+11=0.
3) Sean x1;x2 las raíces de la ecuación cuadrática x²-7x-46=0.
Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean números.
2x1 +x2 y 2x2 +x1.
Respuesta: 9x2-21x-481=0
4) ¿A qué valor entero de k se encuentra una de las raíces de la ecuación?
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 tres veces menor que el segundo?
Respuesta:k=2.
5) Dada una ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, ¿cuáles son los signos de b y c si x1 0?
