Ecuaciones cuadráticas reducidas. Casos especiales de resolución de ecuaciones cuadráticas.

teorema de vieta

Trabajo creativo alumno Octavo grado

Institución educativa municipal "Escuela secundaria Novokievskaya"

Lukanina Kirill

Jefe: Kryzhanovskaya V.I.

I. Introducción. Referencia histórica.

II Parte principal

1. 
   Páginas de la biografía de F. Vieta
2. 
   Actividad científica:

B) teorema inverso

1. 
   Ejemplos de resolución de ecuaciones.
2. 
   Trabajo practico
3. 
   Alguno casos especiales resolviendo ecuaciones

III Conclusión. El teorema de Vieta en verso

IV Referencias utilizadas
Con razón digno de ser cantado en poesía.

Teorema de Vieta sobre las propiedades de las raíces.

Referencia histórica

Por primera vez, la relación entre raíces y coeficientes. ecuación cuadrática establecido por el famoso científico francés Francois Viète.

François Viète era abogado de profesión y trabajó durante muchos años como asesor del rey. Y aunque las matemáticas eran solo su hobby, gracias al trabajo duro logró grandes resultados en ellas.

En 1951 introdujo designaciones de letras para coeficientes de incógnitas en ecuaciones, así como sus propiedades.

Vieta hizo muchos descubrimientos; él mismo valoró más el establecimiento de la relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática, que se llama teorema de Vieta.

comienzo de la forma

Fin del formulario

Sólo una parte de los trabajos de este talentoso y prolífico científico se publicó durante la vida de Vieta. Su principal ensayo: “ Introducción al arte analítico"()), que consideró como el comienzo de un tratado completo, pero no tuvo tiempo de continuar. Hay algunos indicios de que el científico murió de muerte violenta.

La aplicación directa de las obras de Vieta se vio dificultada por la presentación pesada y engorrosa. Debido a esto, aún no se han publicado en su totalidad. Más o menos reunión completa Las obras de Wirth fueron publicadas en 1646 en Leiden por el matemático holandés van Scooten con el título "Obras matemáticas de Vieta". G. G. Zeiten señaló que la lectura de las obras de Vieta se hace difícil por la forma algo refinada, en la que su gran erudición brilla por todas partes, y gran cantidad inventado por él y no echó raíces en absoluto términos griegos. Por lo tanto, su influencia, tan significativa en relación con todas las matemáticas posteriores, se extendió con relativa lentitud”.

LOGROS MATEMÁTICOS
Escribió artículos sobre matemáticas extremadamente lenguaje difícil, por lo que no obtuvieron distribución. Las obras de Vieth fueron recopiladas después de su muerte por el profesor de Matemáticas de Leiden F. Schooten. En las obras de Vieta, el álgebra se convierte ciencia general sobre ecuaciones algebraicas basadas en notación simbólica. Viet Nam fue el primero en designar con letras no sólo las incógnitas, sino también las cantidades dadas, es decir, los coeficientes de las ecuaciones correspondientes. Gracias a esto, por primera vez fue posible expresar las propiedades de las ecuaciones y sus raíces mediante fórmulas generales, y las propias expresiones algebraicas se convirtieron en objetos sobre los que se podían realizar acciones. Viet desarrolló un método uniforme para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado y Nuevo método soluciones ecuación cúbica, dio solución trigonométrica ecuaciones de 3er grado en el caso irreducible, propuso varias transformaciones racionales raíces, estableció la relación entre las raíces y los coeficientes de ecuaciones (fórmulas de Vieta). Para resolver aproximadamente las ecuaciones con coeficientes numéricos Viet propuso un método similar al desarrollado más tarde por I. Newton. Los logros de Vieta en trigonometría - solución completa problemas de determinación de todos los elementos de un triángulo plano o esférico a partir de tres elementos dados, importantes expansiones de sinпх y cosпх en potencias de cos x y sinx. El conocimiento de la fórmula de los senos y cosenos de múltiples arcos permitió a Viet resolver la ecuación de 45 grados propuesta por el matemático A. Roomen; Viète demostró que la solución de esta ecuación se reduce a dividir el ángulo en 45 partes iguales y que hay 23 raíces positivas esta ecuación. Vieth resolvió el problema de Apolonio utilizando una regla y un compás.

Actividad científica

Todos los matemáticos sabían que bajo su álgebra… se escondían tesoros incomparables, pero no sabían cómo encontrarlos; las tareas que consideraban más difíciles se resuelven fácilmente por docenas con la ayuda de nuestro arte, que por lo tanto representa la más Manera correcta para la investigación matemática.

Viet divide la presentación en dos partes: leyes generales y sus implementaciones numéricas concretas. Es decir, primero resuelve problemas en vista general, y solo entonces conduce ejemplos numéricos. En la parte general, denota con letras no solo las incógnitas que ya se han encontrado antes, sino también todas las demás. opciones, para lo cual acuñó el término " impares"(literalmente: promoviendo). Vieth usó solo letras mayúsculas para esto: vocales para incógnitas, consonantes para coeficientes.

Viet aplica libremente una variedad de transformación algebraica- por ejemplo, reemplazar variables o cambiar el signo de una expresión al moverla a otra parte de la ecuación. Esto es digno de mención, teniendo en cuenta el entonces actitud sospechosa a números negativos. Los exponentes del vietnamita todavía se escriben verbalmente.

Otros logros de Vietnam:

• 
  famoso " Las fórmulas de Vieta» para probabilidades polinomio¿Cómo funciona? raíces;
• 
  nuevo método trigonométrico soluciones a irreductible ecuación cúbica, también aplicable para trisección de ángulos;
• 
  primer ejemplo de un producto infinito:

• 
  una presentación analítica completa de la teoría de ecuaciones de los primeros cuatro grados;
• 
  idea de aplicación funciones trascendentales a resolver ecuaciones algebraicas;
• 
  método original Solución aproximada de ecuaciones algebraicas con coeficientes numéricos.

Fórmulas vieta

Formulación

(cada raíz se toma el número de veces correspondiente a su multiplicidad), luego los coeficientes se expresan en la forma polinomios simétricos desde las raíces, a saber:

En otras palabras (- 1) k a k es igual a la suma de todos los productos posibles de k raíces

Si el coeficiente principal de un polinomio es , entonces para aplicar la fórmula de Vieta es necesario primero dividir todos los coeficientes entre a 0 (esto no afecta el valor de las raíces del polinomio). En este caso, la fórmula de Vieta da una expresión para la relación entre todos los coeficientes y el mayor. De la última fórmula de Vieta se deduce que si las raíces de un polinomio son enteras, entonces son divisores de su término libre, que también es entero.

Prueba

Dónde parte derecha es un polinomio factorizado.

Después de multiplicar los elementos del lado derecho, los coeficientes para grados iguales X debe ser igual en ambas partes, de lo que se derivan las fórmulas de Vieta.

Ejemplos

Ecuación cuadrática

Suma de raíces de la ecuación cuadrática reducida. X 2 + píxeles + q= 0 es igual al coeficiente pag, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre q:

EN caso general(para ecuación cuadrática no reducida hacha 2 + bx + C = 0):

Trabajo práctico de álgebra en 8º grado.

Tema: “Teorema de Vieta”

Objetivo: Establecer una conexión entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes.

Objeto de estudio: ecuación cuadrática y sus raíces.

Conocimientos, habilidades y habilidades requeridas para desempeñar el puesto:

(es decir, lo que se debe recordar y repetir antes de ofrecer a los estudiantes este trabajo):

• 
  el concepto de ecuación cuadrática completa;
• 
  capacidad de escribir trinomio cuadrático en general;
• 
  algoritmo para resolver una ecuación cuadrática (tanto completa como reducida);
• 
  capacidad de escribir formula general raíces de una ecuación cuadrática (completa y reducida).

Ecuaciones cuadráticas reducidas.

1.1. Resuelve las ecuaciones:

A) x2 + 4x + 3 = 0;

B)x2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Llena la tabla:

1.3. Compara la suma y el producto de las raíces de cada ecuación con sus coeficientes.

1.4. Hipótesis:¿Qué conexión notaste entre las raíces de la ecuación cuadrática anterior y sus coeficientes? Escríbelo usando símbolos.

1.5. Evaluación de la hipótesis: Escribe la ecuación cuadrática anterior en forma general (x 2 + px + q = 0).

1.6. Escribe la fórmula general para las raíces de la ecuación cuadrática dada.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación cuadrática.

1.8. Encuentra el producto de las raíces de la ecuación cuadrática.

1.9. Obtener una conclusión

Pregunta adicional.

Comprueba tus conclusiones resolviendo la ecuación: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Completar ecuaciones cuadráticas.

2.1. Resuelve las ecuaciones:

A) 6x2 – 5x – 1 = 0;

B) 5x2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Llena la tabla:

2.4. Hipótesis:¿Qué conexión notaste entre las raíces de una ecuación cuadrática completa y sus coeficientes? Escríbelo en símbolos.

2.5. Evaluación de la hipótesis: escribir la ecuación cuadrática completa en forma general

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. Escribe la fórmula general de las raíces de una ecuación cuadrática completa.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación cuadrática.

2.8. Encuentra el producto de las raíces de la ecuación cuadrática.

2.9. Obtener una conclusión: indicar el resultado obtenido. Anótalo en tu cuaderno.

(El enunciado resultante se llama teorema de Vieta)

Pregunta adicional.

Comprueba tus conclusiones resolviendo la ecuación: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Tarea adicional.

Encuentra la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

A) x2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x 2 – 5x = 0.

2. Utilizando el teorema de Vieta, comprueba si las raíces de la ecuación cuadrática se han encontrado correctamente.

Usando el teorema, encuentre teorema inverso Raíces de Vieta de una ecuación cuadrática:

A) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2x2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

Casos especiales de resolución de ecuaciones cuadráticas.

hacha 2 +bx + c = 0

1. si a+b+c =0, entonces x 1 = 1, x 2 =

2. si a-b+c =0, (o a+c=b), entonces x 1 = -1, x 2 = -

Por ejemplo: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Resolver oralmente:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Primero escribamos "menos",
Al lado de él pag a la mitad,
Signo radical "más-menos",
Familiar para nosotros desde la infancia.

Bueno, en la raíz, amigo,
Todo se reduce a nada:
pag por la mitad y al cuadrado
menos lo bello q.

• 
  De " Monitores para bebés" (otra variante):

Y bajo la raíz es muy útil.
medio pag al cuadrado
menos q- y aquí están las soluciones,
es decir, las raíces de la ecuación.

Con razón digno de ser cantado en poesía.

Teorema de Vieta sobre las propiedades de las raíces.

Cuál es mejor, diga esto constantemente:

Multiplicas las raíces y la fracción está lista:

El numerador es c, el denominador es a,

Y la suma de las raíces también es una fracción.

Aunque sea una fracción con un menos, ¡qué problema!

El numerador está en, el denominador es a.
Libros usados:

1. 
   Diccionario enciclopédico de un joven matemático.

1. 
   Matemáticas. Materiales de referencia. V.A.Gusev, A.G.Mordkovich. M. "Ilustración" 1986
2. 
   Historia de las matemáticas en la escuela. soldado

1. 
   Álgebra octavo grado. editado por S.A. Telyakovsky

Entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática, además de las fórmulas de raíces, existen otras relaciones útiles que se dan teorema de vieta. En este artículo daremos una formulación y demostración del teorema de Vieta para una ecuación cuadrática. A continuación consideramos el teorema inverso al teorema de Vieta. Después de esto, analizaremos las soluciones más ejemplos típicos. Finalmente, anotamos las fórmulas de Vieta que definen la relación entre raíces reales. ecuación algebraica grado n y sus coeficientes.

Navegación de páginas.

Teorema de Vieta, formulación, demostración.

De las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0 de la forma, donde D=b 2 −4·a·c, se siguen las siguientes relaciones: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Estos resultados se confirman teorema de vieta:

Teorema.

Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, entonces la suma de las raíces es igual a la relación de los coeficientes b y a tomados de signo opuesto, y el producto de las raíces es igual a la relación de los coeficientes c y a, es decir, .

Prueba.

Realizaremos la demostración del teorema de Vieta según el siguiente esquema: componeremos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática usando fórmulas famosas raíces, luego transformamos las expresiones resultantes y nos aseguramos de que sean iguales a −b/a y c/a, respectivamente.

Empecemos por la suma de las raíces y completémoslas. Ahora reducimos las fracciones a común denominador, tenemos . En el numerador de la fracción resultante, después del cual:. Finalmente, después de 2, obtenemos. Esto prueba la primera relación del teorema de Vieta para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática. Pasemos al segundo.

Componemos el producto de las raíces de la ecuación cuadrática: . Según la regla para multiplicar fracciones, ultimo pedazo Se puede escribir como . Ahora multiplicamos un paréntesis por un paréntesis en el numerador, pero es más rápido colapsar este producto por fórmula de diferencia cuadrada, Entonces . Luego, recordando, realizamos la siguiente transición. Y como el discriminante de la ecuación cuadrática corresponde a la fórmula D=b 2 −4·a·c, entonces en lugar de D en la última fracción podemos sustituir b 2 −4·a·c, obtenemos. Después de abrir los paréntesis y convertir términos similares llegamos a la fracción , y su reducción en 4·a da . Esto prueba la segunda relación del teorema de Vieta para el producto de raíces.

Si omitimos las explicaciones, la demostración del teorema de Vieta adoptará una forma lacónica:
,
.

Sólo queda señalar que cuando igual a cero La ecuación cuadrática discriminante tiene una raíz. Sin embargo, si asumimos que la ecuación en este caso tiene dos raíces idénticas, entonces las igualdades del teorema de Vieta también se cumplen. En efecto, cuando D=0 la raíz de la ecuación cuadrática es igual a , entonces y , y como D=0, es decir, b 2 −4·a·c=0, de donde b 2 =4·a·c, entonces .

En la práctica, el teorema de Vieta se utiliza con mayor frecuencia en relación con la ecuación cuadrática reducida (con el coeficiente principal a igual a 1) de la forma x 2 +p·x+q=0. En ocasiones se formula para ecuaciones cuadráticas precisamente de este tipo, lo que no limita la generalidad, ya que cualquier ecuación cuadrática puede ser reemplazada por una ecuación equivalente dividiendo ambos lados por un número a distinto de cero. Demos la formulación correspondiente del teorema de Vieta:

Teorema.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 es igual al coeficiente de x tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre, es decir, x 1 +x 2 = −p, x 1 x 2 = q.

Teorema inverso al teorema de Vieta

La segunda formulación del teorema de Vieta, dada en el párrafo anterior, indica que si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0, entonces las relaciones x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Por otro lado, de las relaciones escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q se deduce que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 +p x+q=0. En otras palabras, lo contrario del teorema de Vieta es cierto. Formulémoslo en forma de teorema y probémoslo.

Teorema.

Si los números x 1 y x 2 son tales que x 1 +x 2 =−p y x 1 · x 2 =q, entonces x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p · x+q =0.

Prueba.

Después de reemplazar los coeficientes p y q en la ecuación x 2 +p·x+q=0 con sus expresiones hasta x 1 y x 2, se transforma en una ecuación equivalente.

Sustituyamos el número x 1 en lugar de x en la ecuación resultante, tenemos la igualdad x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, que para cualquier x 1 y x 2 representa la igualdad numérica correcta 0=0, ya que x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Por tanto, x 1 es la raíz de la ecuación. x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, lo que significa que x 1 es la raíz de la ecuación equivalente x 2 +p·x+q=0.

Si en la ecuación x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 sustituyendo el número x 2 en lugar de x, obtenemos la igualdad x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Esta es una verdadera igualdad, ya que x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Por lo tanto, x 2 también es raíz de la ecuación x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, y por lo tanto las ecuaciones x 2 +p·x+q=0.

Esto completa la demostración del teorema inverso al teorema de Vieta.

Ejemplos de uso del teorema de Vieta

Es hora de hablar de la aplicación práctica del teorema de Vieta y su teorema inverso. En esta sección analizaremos soluciones a varios de los ejemplos más típicos.

Comencemos aplicando el teorema inverso al teorema de Vieta. Es conveniente utilizarlo para comprobar si dos números dados son raíces de una ecuación cuadrática determinada. En este caso, se calcula su suma y diferencia, tras lo cual se comprueba la validez de las relaciones. Si se satisfacen ambas relaciones, entonces, en virtud del teorema inverso al teorema de Vieta, se concluye que estos números son las raíces de la ecuación. Si al menos una de las relaciones no se cumple, entonces estos números no son las raíces de la ecuación cuadrática. Este enfoque se puede utilizar al resolver ecuaciones cuadráticas para verificar las raíces encontradas.

Ejemplo.

¿Cuál de los pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2) o 3) es un par de raíces de la ecuación cuadrática 4 x 2 −16 x+9=0?

Solución.

Los coeficientes de la ecuación cuadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 son a=4, b=−16, c=9. Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces de una ecuación cuadrática debe ser igual a −b/a, es decir, 16/4=4, y el producto de las raíces debe ser igual a c/a, es decir, 9 /4.

Ahora calculemos la suma y el producto de los números en cada uno de los tres. pares dados y compararlos con los valores recién obtenidos.

En el primer caso tenemos x 1 +x 2 =−5+3=−2. El valor resultante es diferente de 4, por lo que no se puede realizar ninguna verificación adicional, pero usando el teorema inverso al teorema de Vieta, se puede concluir inmediatamente que el primer par de números no es un par de raíces de la ecuación cuadrática dada.

Pasemos al segundo caso. Aquí, es decir, se cumple la primera condición. Comprobamos la segunda condición: el valor resultante es diferente de 9/4. En consecuencia, el segundo par de números no es un par de raíces de la ecuación cuadrática.

Se mantuvo último caso. Aquí y . Se cumplen ambas condiciones, por lo que estos números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada.

Respuesta:

Lo inverso del teorema de Vieta se puede utilizar en la práctica para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Por lo general, se seleccionan raíces enteras de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros, ya que en otros casos esto es bastante difícil de hacer. En este caso, utilizan el hecho de que si la suma de dos números es igual al segundo coeficiente de una ecuación cuadrática, tomado con signo menos, y el producto de estos números es igual al término libre, entonces estos números son el raíces de esta ecuación cuadrática. Entendamos esto con un ejemplo.

Tomemos la ecuación cuadrática x 2 −5 x+6=0. Para que los números x 1 y x 2 sean raíces de esta ecuación, se deben satisfacer dos igualdades: x 1 + x 2 =5 y x 1 · x 2 =6. Todo lo que queda es seleccionar esos números. EN en este caso esto es bastante sencillo de hacer: dichos números son 2 y 3, ya que 2+3=5 y 2·3=6. Por tanto, 2 y 3 son las raíces de esta ecuación cuadrática.

El teorema inverso al teorema de Vieta es especialmente conveniente para encontrar la segunda raíz de una ecuación cuadrática dada cuando una de las raíces ya es conocida o es obvia. En este caso, la segunda raíz se puede encontrar a partir de cualquiera de las relaciones.

Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 512 x 2 −509 x −3=0. Aquí es fácil ver que la unidad es la raíz de la ecuación, ya que la suma de los coeficientes de esta ecuación cuadrática es igual a cero. Entonces x 1 = 1. La segunda raíz x 2 se puede encontrar, por ejemplo, a partir de la relación x 1 ·x 2 =c/a. Tenemos 1 x 2 = −3/512, de donde x 2 = −3/512. Así determinamos ambas raíces de la ecuación cuadrática: 1 y −3/512.

Es claro que la selección de raíces es aconsejable sólo en los casos más casos simples. En otros casos, para encontrar raíces, puedes usar fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática a través de un discriminante.

Otro uso práctico El teorema, a la inversa del teorema de Vieta, consiste en componer ecuaciones cuadráticas dadas las raíces x 1 y x 2. Para hacer esto, basta con calcular la suma de las raíces, que da el coeficiente de x con el signo opuesto de la ecuación cuadrática dada, y el producto de las raíces, que da miembro gratuito.

Ejemplo.

Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean −11 y 23.

Solución.

Denotemos x 1 = −11 y x 2 =23. Calculamos la suma y el producto de estos números: x 1 +x 2 =12 y x 1 ·x 2 =−253. Por eso, números especificados son las raíces de la ecuación cuadrática reducida con un segundo coeficiente de −12 y un término libre de −253. Es decir, x 2 −12·x−253=0 es la ecuación requerida.

Respuesta:

x 2 −12·x−253=0 .

El teorema de Vieta se utiliza con mucha frecuencia para resolver problemas relacionados con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. ¿Cómo se relaciona el teorema de Vieta con los signos de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p·x+q=0? Aquí hay dos declaraciones relevantes:

• Si el término libre q es un número positivo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces ambas son positivas o ambas negativas.
• Si el término libre q es un número negativo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces sus signos son diferentes, es decir, una raíz es positiva y la otra es negativa.

Estas afirmaciones se derivan de la fórmula x 1 · x 2 =q, así como de las reglas de la multiplicación positiva, números negativos y números con diferentes signos. Veamos ejemplos de su aplicación.

Ejemplo.

R es positivo. Usando la fórmula discriminante encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, el valor de la expresión r 2 +8 es positivo para cualquier r real, por lo tanto D>0 para cualquier r real. En consecuencia, la ecuación cuadrática original tiene dos raíces para cualquier valores reales parámetro r.

Ahora averigüemos cuándo tienen las raíces. diferentes signos. Si los signos de las raíces son diferentes, entonces su producto es negativo y, según el teorema de Vieta, el producto de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al término libre. Por tanto, nos interesan aquellos valores de r para los cuales el término libre r−1 es negativo. Por tanto, para encontrar los valores de r que nos interesan, necesitamos decidir desigualdad lineal r-1<0 , откуда находим r<1 .

Respuesta:

en r<1 .

Fórmulas vieta

Arriba hablamos sobre el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática y analizamos las relaciones que afirma. Pero existen fórmulas que conectan las raíces reales y los coeficientes no solo de ecuaciones cuadráticas, sino también de ecuaciones cúbicas, ecuaciones de cuarto grado y, en general, ecuaciones algebraicas grado n. Se les llama Las fórmulas de Vieta.

Escribamos la fórmula de Vieta para una ecuación algebraica de grado n de la forma, y ​​supondremos que tiene n raíces reales x 1, x 2, ..., x n (entre ellas pueden haber coincidencias):

Se pueden obtener las fórmulas de Vieta. teorema sobre la descomposición de un polinomio en factores lineales, así como la definición de polinomios iguales mediante la igualdad de todos sus coeficientes correspondientes. Entonces el polinomio y su expansión en factores lineales de la forma son iguales. Abriendo los paréntesis del último producto e igualando los coeficientes correspondientes, obtenemos las fórmulas de Vieta.

En particular, para n=2 tenemos las ya conocidas fórmulas de Vieta para una ecuación cuadrática.

Para una ecuación cúbica, las fórmulas de Vieta tienen la forma

Sólo queda señalar que en el lado izquierdo de las fórmulas de Vieta se encuentran las llamadas elementales. polinomios simétricos.

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra y el comienzo del análisis matemático. Décimo grado: libro de texto. para educación general Instituciones: básica y perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editado por A. B. Zhizhchenko. - 3ª edición. - M.: Educación, 2010.- 368 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Institución educativa presupuestaria municipal

“Escuela secundaria nº 64”, Briansk

Conferencia científica y práctica de la ciudad.

"Primeros pasos hacia la ciencia"

Trabajo de investigación

"Teorema de Viete para ecuaciones de tercer y cuarto grado"

Matemáticas

Completado por: estudiante de 11b grado

Shanov Iliá Alekseevich

Consejero científico:

profesor de matematicas,

Candidato de Física y Matemáticas ciencias

Bykov Serguéi Valentinovich

Briansk 2012

Introducción…………………………………………………………………………………… 3

Metas y objetivos ……………………………………………………… 4

Breve trasfondo histórico ………………………………………… 4

Ecuación cuadrática …………………………………………………. 5

Ecuación cúbica………………………………………………………………. 6

Ecuación de cuarto grado ………………………………………… 7

Parte práctica…………………………………………………………. 9

Referencias…………………………………………………… 12

Apéndice …………………………………………………………… 13

Introducción

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que un cuerpo es algebraicamente cerrado, en otras palabras, que las ecuaciones de grado n con coeficientes complejos (en general) sobre el cuerpo tienen exactamente n raíces complejas. Las ecuaciones de tercer grado se resuelven mediante la fórmula de Cordano. Ecuaciones de cuarto grado utilizando el método de Ferrari. Además, se ha demostrado en la teoría del álgebra que si es la raíz de la ecuación, entonces es también la raíz de esta ecuación. Para una ecuación cúbica, son posibles los siguientes casos:

las tres raíces son reales;

Dos raíces son complejas, una es real.

De ello se deduce que cualquier ecuación cúbica tiene al menos una raíz real.

Para una ecuación de cuarto grado:

Las cuatro raíces son diferentes.

Dos raíces son reales, dos son complejas.

Las cuatro raíces son complejas.

Este trabajo está dedicado a un estudio exhaustivo del teorema de Vieta: su formulación, demostración y resolución de problemas utilizando este teorema.

El trabajo realizado tiene como objetivo ayudar a los estudiantes de 11º grado que están a punto de rendir el Examen Estatal Unificado, así como a los jóvenes matemáticos que estén interesados ​​en métodos de solución más simples y efectivos en diversas áreas de las matemáticas.

En el apéndice de este trabajo se proporciona una colección de problemas para la resolución independiente y la consolidación del nuevo material que he estudiado.

Esta cuestión no puede ignorarse, ya que es importante para las matemáticas, tanto para las ciencias en general como para los estudiantes y aquellos interesados ​​en resolver este tipo de problemas.

Metas y objetivos del trabajo.:

Obtenga un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

Demuestre un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

Obtenga un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Demuestre un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Considere la aplicación de estas preguntas a la resolución de problemas prácticos.

• Asegúrese de que la aplicación de este teorema sea práctica.

Profundizar en los conocimientos matemáticos en el campo de la resolución de ecuaciones.

Desarrollar un interés por las matemáticas.

Breve trasfondo histórico

Con razón digno de ser cantado en poesía.

Sobre las propiedades de las raíces TEOREMA DE VIETTE...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - Matemático francés. Abogado de profesión. En 1591, introdujo designaciones de letras no sólo para cantidades desconocidas, sino también para coeficientes de ecuaciones; Gracias a esto, fue posible por primera vez expresar las propiedades de las ecuaciones y sus raíces mediante fórmulas generales. Fue responsable de establecer un método uniforme para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Entre los descubrimientos, el propio Viète valoró especialmente el establecimiento de la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones. Para la solución aproximada de ecuaciones con coeficientes numéricos, Vieth propuso un método similar al método posterior de Newton. En trigonometría, François Viète dio una solución completa al problema de determinar todos los elementos de un triángulo plano o esférico a partir de tres datos, y encontró importantes expansiones de cos nx y el pecado nx en potencias de cos X y el pecado X. Consideró por primera vez obras infinitas. Las obras de Vieta fueron escritas en un lenguaje difícil y, por lo tanto, recibieron en su época menos distribución de la que merecían. .

Ecuación cuadrática

Para empezar, recordemos las fórmulas de Vieta para ecuaciones de segundo grado, que aprendimos en el plan de estudios de la escuela.

t
teorema de vietapara ecuación cuadrática (octavo grado)

mi
si y son las raíces de una ecuación cuadrática entonces

es decir, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Además, recuerda el teorema, inverso del teorema de Vieta:

si los numeros - pag Y q son tales que

entonces y son las raíces de la ecuación

El teorema de Vieta es notable porque, sin conocer las raíces del trinomio cuadrado, podemos calcular fácilmente su suma y producto, es decir, las expresiones simétricas más simples.

El teorema de Vieta te permite adivinar las raíces enteras de un trinomio cuadrado.

ecuación cúbica

Pasemos ahora directamente a la formulación y solución de la ecuación cúbica utilizando el teorema de Vieta.

Formulación

A
La ecuación ubicua es una ecuación de tercer orden de la forma

Dónde un ≠ 0.

Si un = 1, entonces la ecuación se llama ecuación cúbica reducida:

Entonces, necesitamos demostrar que para la ecuación

el siguiente teorema es verdadero:

PAG
encuentre las raíces de esta ecuación, entonces

Prueba

Imaginemos un polinomio

realicemos las transformaciones:

Entonces, entendemos eso

Dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes en las potencias correspondientes son iguales.

Esto significa que

Q.E.D.

Ahora considere el teorema, inversa del teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

F
formulación

mi
si los números son tales que

Ecuación de cuarto grado

Ahora pasemos a configurar y resolver una ecuación de cuarto grado usando el teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Formulación

Ud.
ecuación de cuarto grado - una ecuación de la forma

GRAMO
Delaware un ≠ 0.

mi
si un = 1, entonces la ecuación se llama reducida

Y
entonces, demostremos que para la ecuación

Con
El siguiente teorema es verdadero: sean las raíces de la ecuación dada, entonces

Prueba

Imaginemos un polinomio

realicemos las transformaciones:

Entonces, entendemos eso

Lo sabemos dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes en las potencias correspondientes son iguales.

Esto significa que

Q.E.D.

Considere el teorema, inversa del teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Formulación

Si los números son tales que

entonces estos números son las raíces de la ecuación

Parte practica

Ahora consideremos soluciones a problemas utilizando los teoremas de Vieta para ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Tarea número 1

Respuesta: 4, -4.

Tarea número 2

Respuesta: 16, 24.

Para resolver estas ecuaciones podemos usar las fórmulas de Cardano y el método de Ferrari respectivamente, pero usando el teorema de Vieta conocemos la suma y el producto de las raíces de estas ecuaciones.

Tarea número 3

Crea una ecuación de tercer grado si se sabe que la suma de las raíces es 6, el producto par de las raíces es 3 y el producto es -4.

Hagamos una ecuación, obtenemos

Tarea número 4

Escribe una ecuación de tercer grado si se sabe que la suma de las raíces es igual a 8 , el producto par de las raíces es igual a 4 , el triple del producto es igual a 12 , y el producto 20 .

Solución: usando la fórmula de Vieta, obtenemos

Hagamos una ecuación, obtenemos

Usando el teorema de Vieta, compusimos fácilmente ecuaciones usando sus raíces. Esta es la forma más racional de resolver estos problemas.

Problema #5

donde a, b, c son las fórmulas de Heron.

Abramos los corchetes y transformemos la expresión, obtenemos

z
Tenga en cuenta que la expresión radical es expresión cúbica. Usemos el teorema de Vieta para la ecuación cúbica correspondiente, entonces tenemos que

z

Sabiendo que obtenemos:

De la solución a este problema se desprende claramente que el teorema de Vieta es aplicable a problemas de diferentes áreas de las matemáticas.

Conclusión

En este artículo, se investigó un método para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado utilizando el teorema de Vieta. Las fórmulas derivadas del trabajo son fáciles de usar. Durante el curso del estudio, se hizo evidente que en algunos casos este método es más eficaz que la fórmula de Cordano y el método de Ferrari para ecuaciones de tercer y cuarto grado, respectivamente.

El teorema de Vieta se aplicó en la práctica. Se resolvieron una serie de problemas que ayudaron a consolidar mejor el nuevo material.

Este estudio fue muy interesante y educativo para mí. Habiendo profundizado mis conocimientos en matemáticas, descubrí muchas cosas interesantes y disfruté esta investigación.

Pero mi investigación en el campo de la resolución de ecuaciones no ha terminado. En el futuro, planeo estudiar la solución de una ecuación de enésimo grado utilizando el teorema de Vieta.

Me gustaría expresar mi profundo agradecimiento a mi supervisor, Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas, por la oportunidad de una investigación tan inusual y una atención constante en mi trabajo.

Bibliografía

Vinogradov I.M. Enciclopedia matemática. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Problemas de matemáticas elementales, Fizmatlit, 1980.