Las funciones hiperbólicas se encuentran en mecánica, ingeniería eléctrica y otras disciplinas técnicas. Muchas fórmulas para funciones hiperbólicas son similares a las fórmulas de funciones trigonométricas, excepto por la propiedad de estar acotadas.
| № | Función | Nombre | Derivado  |
| 1. |  | seno hiperbólico |  |
| 2. |  | coseno hiperbólico |  |
| 3. |  | tangente hiperbólica |  |
| 4. |  | cotangente hiperbólica |  |
Fórmulas para funciones hiperbólicas.
1. 
.
Prueba. Consideremos la diferencia requerida.
. .
Prueba. Echemos un vistazo al trabajo
.
Echemos un vistazo al trabajo 
.
Agreguemos dos productos y demos otros similares:
Conectando el principio y el final, obtenemos la igualdad a demostrar: .
Hay muchas otras propiedades de las funciones hiperbólicas similares a las propiedades de las funciones trigonométricas, que se demuestran de manera similar.
Probemos fórmulas para derivadas de funciones hiperbólicas.
1. Considere el seno hiperbólico 
.
Al encontrar la derivada, quitamos la constante del signo de la derivada. A continuación, aplicamos la propiedad de la derivada de la diferencia entre dos funciones y . Encuentra la derivada de una función usando la tabla de derivadas: 
. Buscamos la derivada de la función como derivada. función compleja 
.
Por lo tanto, la derivada 
.
Conectando el principio y el final, obtenemos la igualdad a demostrar: 
.
2. Considere el coseno hiperbólico .
Aplicamos completamente el algoritmo anterior, solo que en lugar de la propiedad sobre la derivada de la diferencia de dos funciones, usamos la propiedad sobre la derivada de la suma de estas dos funciones. 
.
Conectando el principio y el final, obtenemos la igualdad a demostrar: 
.
3. Considere la tangente hiperbólica .
Encontramos la derivada usando la regla para encontrar la derivada de una fracción.
4. Derivada de la cotangente hiperbólica
se puede encontrar como la derivada de una función compleja 
.
Conectando el principio y el final, obtenemos la igualdad a demostrar: 
.
Función diferencial
Deja que la función 
– es diferenciable en el punto, entonces su incremento de esta función en el punto, correspondiente al incremento del argumento, se puede representar como
donde es un cierto número independiente de y es función del argumento, que es infinitesimal para 
.
Por tanto, el incremento de la función es la suma de dos términos infinitesimales 
Y 
. Se demostró que el segundo término 
es infinito pequeña función orden superior que es decir (ver 8.1). Por lo tanto el primer término 
es la parte lineal principal del incremento de la función . En la observación 8.1. Se obtuvo otra fórmula (8.1.1) para el incremento de la función. , a saber: . (8.1.1)
Definición 8.3.Diferencial funciones en un punto se llama parte lineal principal de su incremento, igual al producto derivado 
en este punto por un incremento arbitrario de argumento, y se denota (o 
):
(8.4)
Función diferencial también llamado diferencial de primer orden.
El diferencial de una variable independiente es cualquier número independiente de . La mayoría de las veces, este número se considera el incremento de la variable, es decir 
. Esto es consistente con la regla (8.4) para encontrar el diferencial de la función
Considere la función 
y encontrar su diferencial.
Porque derivado 
. Así obtuvimos: 
y funciones diferenciales se puede encontrar usando la fórmula
. (8.4.1)
Observación 8.7. De la fórmula (8.4.1) se deduce eso. 
Por tanto, la notación puede entenderse no sólo como una notación para la derivada 
, sino también como la relación de los diferenciales de las variables dependientes e independientes.
8.7. Significado geométrico de la función diferencial.
Sea la gráfica de la función. 
Se traza una tangente (ver figura 8.1). Punto 
está en la gráfica de la función y tiene una abscisa - . Damos un incremento arbitrario tal que el punto 
no abandonó el dominio de la definición de la función .
Figura 8.1 Ilustración de la gráfica de una función
El punto tiene coordenadas. 
. Segmento 
. El punto se encuentra en la tangente a la gráfica de la función. y tiene una abscisa - . De rectangular 
se deduce que, donde ángulo es el ángulo entre la dirección positiva del eje y la tangente trazada a la gráfica de la función en el punto. Por definición del diferencial de la función. y el significado geométrico de la función derivada en ese momento concluimos que 
. De este modo, significado geométrico función diferencial es que el diferencial representa el incremento de la ordenada de la tangente a la gráfica de la función en el punto.
Observación 8.8. Diferencial e incremento para una función arbitraria. , en términos generales, no son iguales entre sí.B caso general, la diferencia entre el incremento y el diferencial de la función es infinitesimal orden superior pequeño que el incremento del argumento. De la Definición 8.1 se deduce que 
, es decir. 
.
En la figura 8.1, el punto se encuentra en la gráfica de la función. y tiene coordenadas 
. Segmento.
En la Figura 8.1 se satisface la desigualdad 
, es decir. 
. Pero puede haber casos en los que sea cierto. desigualdad opuesta 
. Esto se hace para función lineal y para una función convexa hacia arriba.
Datos de referencia sobre funciones hiperbólicas. Definiciones, gráficas y propiedades del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos. Fórmulas de sumas, diferencias y productos. Derivadas, integrales, expansiones en series. Expresiones mediante funciones trigonométricas.
Definiciones de funciones hiperbólicas, sus dominios de definiciones y valores.
sh x - seno hiperbólico
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - coseno hiperbólico
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ años< +∞ .
th x - tangente hiperbólica
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - cotangente hiperbólica
X ≠ 0; y< -1 или y > +1 .
Gráficas de funciones hiperbólicas.
Gráfico de seno hiperbólico y = mierda x
Gráfica del coseno hiperbólico y = cap x
Gráfica de tangente hiperbólica y = Gracias
Gráfica de cotangente hiperbólica y = cth x
Fórmulas con funciones hiperbólicas.
Relación con funciones trigonométricas
sen iz = i sh z ; cos iz = chz
sh iz = yo pecado z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cuna iz = - i cth z
thiz = i tg z ; cth iz = - i cuna z
Aquí yo - unidad imaginaria, yo 2 = - 1
.
Aplicando estas fórmulas a funciones trigonométricas, obtenemos fórmulas que relacionan funciones hiperbólicas.
Paridad
sh(-x) = - shx;
ch(-x) = chx.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
Función canal(x)- incluso. Funciones mierda(x), Gracias), cth(x)- extraño.
diferencia de cuadrados
cad 2 x - sh 2 x = 1.
Fórmulas para la suma y diferencia de argumentos.
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
cad 2 x = cad 2 x + sh 2 x = 2 cad 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Fórmulas para los productos del seno y coseno hiperbólicos.
,
,
,
,
,
.
Fórmulas para la suma y diferencia de funciones hiperbólicas.
,
,
,
,
.
Relación de seno y coseno hiperbólicos con tangente y cotangente
,
,
,
.
Derivados
,
Integrales de sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Expansiones de serie
mierda x
cap x
Gracias
cth x
Funciones inversas
áreassinus
En - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
áreacoseno
En 1 ≤x< ∞
Y 0 ≤ año< ∞
se aplican las siguientes fórmulas:
,
.
La segunda rama del áreacoseno se encuentra en 1 ≤x< ∞
y - ∞< y ≤ 0
:
.
Áreatangente
En - 1
< x < 1
y - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
áreacotangente
En - ∞< x < - 1
o 1
< x < ∞
y y ≠ 0
se aplican las siguientes fórmulas:
,
.
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
Respuesta: Funciones hiperbólicas - familia funciones elementales, expresado mediante una exponencial y estrechamente relacionado con funciones trigonométricas. Las funciones hiperbólicas fueron introducidas por Vincenzo Riccati en 1757 (Opusculorum, Volumen I). Los obtuvo considerando la hipérbola unitaria.
Lambert llevó a cabo más investigaciones sobre las propiedades de las funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas se encuentran a menudo al calcular varias integrales. Algunas integrales de funciones racionales y a partir de funciones que contienen radicales se realizan de forma bastante sencilla mediante cambios de variables mediante funciones hiperbólicas. Las derivadas de funciones hiperbólicas son fáciles de encontrar porque las funciones hiperbólicas son combinaciones. Por ejemplo, el seno y el coseno hiperbólicos se definen como. 
Las derivadas de estas funciones tienen la forma 
Se dan funciones hiperbólicas. las siguientes fórmulas: 1)seno hiperbólico: 
(v. literatura extranjera denotado sinx); 2) coseno hiperbólico: 
(en literatura extranjera se denomina cosx); 3) tangente hiperbólica: 
(en la literatura extranjera se denomina tanx); 4) cotangente hiperbólica: 
; 5) secante y cosecante hiperbólica: 
Definición geométrica: En vista de la relación, las funciones hiperbólicas dan una representación paramétrica de la hipérbola. En este caso, el argumento t = 2S, donde S es el área del triángulo curvilíneo OQR, tomada con el signo “+” si el sector. se encuentra por encima del eje OX, y “-” en el caso contrario. Esta definición es similar a la definición de funciones trigonométricas en términos de círculo unitario, que también se puede construir de manera similar. Conexión con funciones trigonométricas: Las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones trigonométricas de un argumento imaginario. Propiedades analíticas: Seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son analíticos en todo plano complejo, con la excepción de un punto esencialmente especial en el infinito.
Tabla de derivadas.
Respuesta:
Tabla de derivadas (que necesitamos principalmente): 
46) Derivada de una función – especificada paramétricamente.
Respuesta:
Sea dada la dependencia de dos variables x e y del parámetro t, variando dentro de los límites de Sea que la función tenga una inversa: 
Entonces podemos, tomando la composición de funciones. 
obtenga la dependencia de y de x: 
La dependencia del valor y del valor x, especificado paramétricamente, se puede expresar mediante las derivadas de las funciones desde y, según la fórmula derivada función inversa, 
¿Dónde está el valor del parámetro con el que se obtiene el valor x que nos interesa a la hora de calcular la derivada? Nótese que aplicar la fórmula nos lleva a la relación entre, nuevamente expresada como una relación paramétrica: 
la segunda de estas relaciones es la misma que participó en tarea paramétrica funciones y(x) . A pesar de que la derivada no se expresa explícitamente, esto no nos impide resolver problemas relacionados con encontrar la derivada encontrando el valor correspondiente del parámetro t. Mostrémoslo en siguiente ejemplo. Ejemplo 4.22: Sea la dependencia entre x e y dada paramétricamente mediante las siguientes fórmulas: Encuentre la ecuación de la tangente a la gráfica de la dependencia y(x) en el punto Los valores se obtienen si tomamos t=1. Encontremos las derivadas de xey con respecto al parámetro t: Por lo tanto 
En t=1 obtenemos el valor de la derivada que este valor especifica; pendiente k de la tangente deseada. Coordenadas 
Los puntos de contacto se especifican en el planteamiento del problema. Esto significa que la ecuación tangente queda como sigue: Tenga en cuenta que en base a la dependencia paramétrica obtenida, podemos encontrar la segunda derivada de la función y con respecto a la variable x: 
