El significado geométrico de una derivada es la derivada en un punto dado. Significado geométrico de derivada

Descubrir valor geométrico derivada, considere la gráfica de la función y = f(x). Echemos punto arbitrario M con coordenadas (x, y) y un punto N cercano a él (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Dibujemos las ordenadas $\overline(M_(1) M)$ y $\overline(N_(1) N)$, y desde el punto M, una línea recta paralela al eje OX.

La razón $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ es la tangente del ángulo $\alpha $1 formado por la secante MN con la dirección positiva del eje OX. Como $\Delta $x tiende a cero, el punto N se aproximará a M, y la posición límite de la secante MN será la tangente MT a la curva en el punto M. Por lo tanto, la derivada f`(x) es igual a la tangente del ángulo $\alpha $ formado por la tangente a la curva en el punto M (x, y) con una dirección positiva al eje OX: la pendiente de la tangente (Fig. 1).

Figura 1. Gráfico de funciones

Al calcular valores utilizando las fórmulas (1), es importante no cometer errores en los signos, porque el incremento también puede ser negativo.

El punto N que se encuentra en una curva puede tender a M desde cualquier lado. Entonces, si en la Figura 1 a la tangente se le da la dirección opuesta, el ángulo $\alpha $ cambiará en la cantidad $\pi $, lo que afectará significativamente la tangente del ángulo y, en consecuencia, el coeficiente angular.

Conclusión

De ello se deduce que la existencia de una derivada está asociada con la existencia de una tangente a la curva y = f(x), y el coeficiente angular - tg $\alpha $ = f`(x) es finito. Por lo tanto, la tangente no debe ser paralela al eje OY, de lo contrario $\alpha $ = $\pi $/2, y la tangente del ángulo será infinita.

En algunos puntos, una curva continua puede no tener tangente o tener una tangente paralela al eje OY (Fig. 2). Entonces la función no puede tener derivada en estos valores. Puede haber cualquier número de puntos similares en la curva de función.

Figura 2. Puntos excepcionales de la curva

Considere la Figura 2. Deje que $\Delta $x tienda a cero a partir de valores negativos o positivos:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

si en en este caso las relaciones (1) tienen un límite final, se denota como:

En el primer caso, la derivada está a la izquierda, en el segundo, la derivada está a la derecha.

La existencia de un límite indica la equivalencia e igualdad de las derivadas izquierda y derecha:

Si las derivadas izquierda y derecha son desiguales, entonces en un punto dado hay tangentes que no son paralelas a OY (punto M1, Fig. 2). En los puntos M2, M3 las relaciones (1) tienden al infinito.

Para los puntos N que se encuentran a la izquierda de M2, $\Delta $x $

A la derecha de $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, pero la expresión también es f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Para el punto $M_3$ de la izquierda, $\Delta $x $$ 0 y f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, es decir Las expresiones (1) tanto a la izquierda como a la derecha son positivas y tienden a +$\infty $ cuando $\Delta $x tiende a -0 y +0.

El caso de ausencia de derivado en puntos específicos La línea recta (x = c) se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Sin derivados

Ejemplo 1

La Figura 4 muestra una gráfica de la función y la tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x_0$. Encuentra el valor de la derivada de la función en la abscisa.

Solución. La derivada en un punto es igual a la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento. Seleccionemos dos puntos de la tangente con coordenadas enteras. Sean, por ejemplo, los puntos F (-3,2) y C (-2,4).

Significado geométrico derivado. Las tareas de examen relacionadas con este tema causan algunas dificultades a los graduados. La mayoría de ellos son en realidad muy simples.En este artículo analizaremos tareas en las que necesitas encontrar la derivada cuando horario dado función y tangente a la gráfica en un punto determinado

* Además, en estos problemas, al menos dos puntos por los que pasa esta tangente están claramente marcados en el croquis. ¿Qué necesitas saber para resolver?

Construyamos una gráfica arbitraria de una determinada función y = f (x) en Plano coordinado, construye una tangente en el punto x o, denotamos el ángulo entre la línea recta y el eje del buey como α (alfa)

Del curso de álgebra sabemos que la ecuación de una recta tiene la forma:

Es decir, la derivada de la función.y = F(X) en el punto x 0 igual a la pendiente de la tangente:

Y el coeficiente angular a su vez. igual a tangenteángulo α (alfa), es decir:

El ángulo α (alfa) puede ser menor, mayor que 90 grados o igual a cero.

Ilustremos dos casos:

1. El ángulo tangente es mayor que 90 grados (ángulo obtuso).

2. El ángulo de inclinación de la tangente es cero grados (la tangente es paralela al eje Oh).

Es decir, las tareas en las que se da la gráfica de una función, una tangente a esta gráfica en un punto determinado, y se requiere encontrar la derivada en el punto de tangencia, se reducen a encontrar la pendiente de la tangente (o la tangente del ángulo de inclinación de la tangente, que es lo mismo).

A continuación consideraremos resolver tales problemas encontrando la tangente del ángulo entre la tangente y el eje de abscisas (ejeOh), consideraremos otro método de solución (encontrar la derivada mediante el coeficiente angular) en un futuro próximo. También consideraremos problemas en los que se requiere conocimiento de las propiedades de la derivada para leer la gráfica de una función. ¡No te pierdas!

Tenga en cuenta que en el plano de coordenadas hay dos puntos por los que pasa la tangente; esto es muy punto importante(se podría decir clave en estas tareas).

¿Qué más se necesita?- este es el conocimiento de la tangente de un ángulo obtuso.

y = F(X) X 0 y = F(X) en el punto X 0 .

El valor de la derivada en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la tangente, que a su vez es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta tangente al eje de abscisas. Para encontrar la tangente de este ángulo, construiremos un triángulo rectángulo, donde el segmento delimitado por dos puntos en la gráfica será la hipotenusa y los catetos serán paralelos a los ejes. En este problema estos son los puntos (–5; –4), (1; 5).

Déjame recordarte: tangente ángulo agudo V triángulo rectángulo llamada relación lado opuesto al adyacente.

Las patas están determinadas por el número de células.

Ángulo de inclinación de la tangente al eje de abscisas. igual al ángulo bachillerato , Oh. Medio

Respuesta: 1.5

y = F(X) X 0 y = F(X) en el punto X 0 .

La tarea es similar a la anterior. También construimos un triángulo rectángulo, donde el segmento delimitado por dos puntos en la gráfica será la hipotenusa. En este problema estos son los puntos (–5; –7), (3; 3).

Las piernas también están determinadas por el número de células.

El ángulo de inclinación de la tangente al eje x es igual al ángulo BAC , ya que el cateto AC es paralelo al eje Oh. Medio

Respuesta: 1,25

La figura muestra la gráfica de la función.y = F(X) y la tangente a ella en el punto de abscisaX 0 . Encuentra el valor de la derivada de la función.y = F(X) en el punto X 0 .

Construimos un triángulo rectángulo, donde el segmento delimitado por dos puntos en la gráfica será la hipotenusa. En este problema estos son los puntos (–3; 3) y (5; 11). Desde el punto (5;11) construimos una continuación del cateto de modo que obtengamos un ángulo externo.

Como CD es paralelo al eje x, el ángulo ABD es igual al ángulo de inclinación de la tangente al eje x. Así, calcularemos la tangente del ángulo ABD. Tenga en cuenta que tiene más de 90 grados, por lo que aquí debe usar la fórmula de reducción para la tangente:

Medio

*Las longitudes de las piernas se calculan por el número de celdas.

Respuesta: -1,75

La figura muestra la gráfica de la función. y = F(X) y la tangente a ella en el punto de abscisa X 0 . Encuentra el valor de la derivada de la función. y = F(X) en el punto X 0 . x0

¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.

Objetivos de la lección:

Los estudiantes deben saber:

• como se llama pendiente derecho;
• el ángulo entre la línea recta y el eje Ox;
• ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada?
• ecuación de la tangente a la gráfica de una función;
• un método para construir una tangente a una parábola;
• poder aplicar conocimientos teóricos en la práctica.

Objetivos de la lección:

Educativo: crear las condiciones para que los estudiantes dominen un sistema de conocimientos, destrezas y habilidades con los conceptos de significado mecánico y geométrico de un derivado.

Educativo: formar una cosmovisión científica en los estudiantes.

De desarrollo: desarrollar el interés cognitivo, la creatividad, la voluntad, la memoria, el habla, la atención, la imaginación y la percepción de los estudiantes.

Métodos de organización de actividades educativas y cognitivas:

• visual;
• práctico;
• Por actividad mental: inductivo;
• según la asimilación de material: parcialmente de búsqueda, reproductiva;
• por grado de independencia: trabajo de laboratorio;
• estimulante: estímulo;
• control: encuesta frontal oral.

Plan de estudios

1. Ejercicios orales (encontrar la derivada)
2. Mensaje estudiantil sobre el tema “Causas de Análisis matemático”.
3. Aprendiendo nuevo material
4. Física. Solo un minuto.
5. Resolver tareas.
6. Trabajo de laboratorio.
7. Resumiendo la lección.
8. Comentando la tarea.

Equipo: proyector multimedia (presentación), tarjetas ( trabajo de laboratorio).

“Una persona sólo logra algo cuando cree en sus propias fuerzas”

L. Feuerbach

Organización de la clase a lo largo de la lección, preparación de los estudiantes para la lección, orden y disciplina.

Establecer objetivos de aprendizaje para los estudiantes, tanto para toda la lección como para sus etapas individuales.

Determinar la importancia del material que se está estudiando tanto en este tema como en todo el curso.

conteo verbal

1. Encuentra derivadas:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Prueba de lógica.

a) Inserta la expresión que falta.

La dirección general del desarrollo de la ciencia está determinada en última instancia por las necesidades de la práctica de la actividad humana. La existencia de estados antiguos con un complejo sistema de gestión jerárquica hubiera sido imposible sin el suficiente desarrollo de la aritmética y el álgebra, porque la recaudación de impuestos, la organización de suministros militares, la construcción de palacios y pirámides y la creación de sistemas de riego requerían cálculos complejos. Durante el Renacimiento, se ampliaron las conexiones entre diferentes partes del mundo medieval y se desarrolló el comercio y la artesanía. Comienza un rápido aumento del nivel técnico de producción y se utilizan industrialmente nuevas fuentes de energía que no están asociadas al esfuerzo muscular de humanos o animales. En los siglos XI-XII aparecieron batanes y telares, y a mediados del XV - imprenta. Debido a la necesidad de un rápido desarrollo de la producción social durante este período, cambió la esencia de las ciencias naturales, que habían sido descriptivas desde la antigüedad. El objetivo de las ciencias naturales es un estudio en profundidad de los procesos naturales, no de los objetos. Las matemáticas, que operaban con cantidades constantes, correspondían a las ciencias naturales descriptivas de la antigüedad. Era necesario crear un aparato matemático que describiera no el resultado del proceso, sino la naturaleza de su flujo y sus patrones inherentes. Como resultado, a finales del siglo XII, Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania completaron la primera etapa de la creación del análisis matemático. ¿Qué es el “análisis matemático”? ¿Cómo se pueden caracterizar y predecir las características de cualquier proceso? ¿Usar estas funciones? ¿Penetrar más profundamente en la esencia de un fenómeno particular?

Sigamos el camino de Newton y Leibniz y veamos cómo podemos analizar el proceso, considerándolo en función del tiempo.

Introduzcamos varios conceptos que nos ayudarán más.

La gráfica de la función lineal y=kx+ b es una línea recta, el número k se llama la pendiente de la recta. k=tg, donde es el ángulo de la recta, es decir, el ángulo entre esta recta y la dirección positiva del eje Ox.

Foto 1

Considere la gráfica de la función y=f(x). Dibujemos una secante que pase por dos puntos cualesquiera, por ejemplo, la secante AM. (Figura 2)

Coeficiente angular de la secante k=tg. En un triángulo rectángulo AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Figura 2

figura 3

El término "velocidad" en sí mismo caracteriza la dependencia de un cambio en una cantidad de un cambio en otra, y este último no necesariamente tiene que ser el tiempo.

Entonces, la tangente del ángulo de inclinación de la secante tg = .

Nos interesa la dependencia de los cambios en las cantidades durante un período de tiempo más corto. Dirigamos el incremento del argumento a cero. Entonces el lado derecho de la fórmula es la derivada de la función en el punto A (explica por qué). Si x -> 0, entonces el punto M se mueve a lo largo de la gráfica hasta el punto A, lo que significa que la línea recta AM se acerca a alguna línea recta AB, que es tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto A. (Fig. 3)

El ángulo de inclinación de la secante tiende al ángulo de inclinación de la tangente.

El significado geométrico de la derivada es que el valor de la derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto.

Significado mecánico de derivada.

La tangente del ángulo tangente es un valor que muestra la tasa de cambio instantáneo de la función en un punto dado, es decir, una nueva característica del proceso en estudio. Leibniz llamó a esta cantidad derivado, y Newton dijo que la derivada en sí se llama instantánea velocidad.

N° 91(1) página 91 – mostrar en el tablero.

El coeficiente angular de la tangente a la curva f(x) = x 3 en el punto x 0 – 1 es el valor de la derivada de esta función en x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.

No. 91 (3.5) – dictado.

No. 92(1) – en el tablero si lo desea.

No. 92 (3) – independientemente con prueba oral.

No. 92 (5) – en el tablero.

Respuestas: 45 0, 135 0, 1,5 y 2.

Objetivo: desarrollo del concepto “ sentido mecánico derivado".

Aplicaciones de las derivadas a la mecánica.

La ley ha sido establecida movimiento rectilíneo puntos x = x(t), t.

1. Velocidad media de movimiento durante un período de tiempo específico;
2. Velocidad y aceleración en el instante t 04
3. Momentos de parada; si el punto después del momento de la parada continúa moviéndose en la misma dirección o comienza a moverse en la dirección opuesta;
4. Velocidad más alta movimientos durante un período de tiempo determinado.

El trabajo se realiza según 12 opciones, las tareas se diferencian por nivel de dificultad (la primera opción es el nivel de dificultad más bajo).

Antes de comenzar a trabajar, una conversación sobre las siguientes preguntas:

1. Qué significado fisico derivada del desplazamiento? (Velocidad).
2. ¿Es posible encontrar la derivada de la velocidad? ¿Se utiliza esta cantidad en física? ¿Cómo se llama? (Aceleración).
3. Velocidad instantanea igual a cero. ¿Qué se puede decir sobre el movimiento del cuerpo en este momento? (Este es el momento de parar).
4. ¿Cuál es el significado físico de las siguientes afirmaciones: la derivada del movimiento es igual a cero en el punto t 0; ¿La derivada cambia de signo al pasar por el punto t 0? (El cuerpo se detiene; la dirección del movimiento cambia al contrario).

Una muestra del trabajo de los estudiantes.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Figura 4

EN direccion opuesta.

Dibujemos un diagrama esquemático de la velocidad. La velocidad más alta se alcanza en el punto

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Figura 5

1) ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada?
2) ¿Cuál es el significado mecánico de una derivada?
3) Saca una conclusión sobre tu trabajo.

Página 90. N° 91(2,4,6), N°92(2,4,6,), pág. 92 N° 112.

Libros usados

• Libro de texto de Álgebra y principios del análisis.
  Autores: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  Editado por A. B. Zhizhchenko.
• Álgebra grado 11. Planes de lecciones según el libro de texto de Sh. A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu V. Sidorov. Parte 1.
• Recursos de Internet:

Conferencia: El concepto de derivada de una función, el significado geométrico de la derivada.

Consideremos alguna función f(x), que será continua durante todo el intervalo considerado. En el intervalo considerado, seleccionamos el punto x 0, así como el valor de la función en este punto.

Entonces, veamos la gráfica en la que marcamos nuestro punto x 0, así como el punto (x 0 + ∆x). Recuerde que ∆x es la distancia (diferencia) entre dos puntos seleccionados.

También vale la pena entender que cada x corresponde a valor propio funciones y.

La diferencia entre los valores de la función en el punto x 0 y (x 0 + ∆x) se llama incremento de esta función: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

prestemos atención a Información adicional, que está en la gráfica es una secante llamada KL, así como el triángulo que forma con los intervalos KN y LN.

El ángulo en el que se ubica la secante se llama ángulo de inclinación y se denota por α. Se puede determinar fácilmente que medida de grado El ángulo LKN también es igual a α.

Ahora recordemos las relaciones en un triángulo rectángulo tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Es decir, la tangente del ángulo de inclinación de la secante. igual a la proporción incrementos de función a incrementos de argumento.

En un momento, la derivada es el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento en intervalos infinitesimales.

La derivada determina la velocidad a la que una función cambia en un área determinada.

Significado geométrico de derivada

Si encuentra la derivada de cualquier función en un punto determinado, entonces puede determinar el ángulo en el que se ubicará la tangente a la gráfica en una corriente determinada, con respecto al eje OX. Preste atención al gráfico: el ángulo de inclinación tangencial se denota con la letra φ y está determinado por el coeficiente k en la ecuación de la línea recta: y = kx + b.

Es decir, podemos concluir que el significado geométrico de la derivada es la tangente del ángulo tangente en algún punto de la función.

Sujeto. Derivado. Significado geométrico y mecánico de derivada.

Si este límite existe, entonces se dice que la función es diferenciable en un punto. La derivada de una función se denota por (fórmula 2).

1. Significado geométrico de derivada. Miremos la gráfica de la función. De la Fig. 1 se desprende claramente que para dos puntos cualesquiera A y B de la gráfica de la función, se puede escribir la fórmula 3). Contiene el ángulo de inclinación de la secante AB.

Por tanto, la razón de diferencias es igual a la pendiente de la secante. Si fijas el punto A y mueves el punto B hacia él, entonces disminuye sin límite y se acerca a 0, y la secante AB se acerca a la tangente AC. Por lo tanto, el límite de la razón de diferencia es igual a la pendiente de la tangente en el punto A. Esto lleva a la conclusión.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en ese punto. Este es el significado geométrico de la derivada.

1. Ecuación tangente . Derivemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en un punto. EN caso general la ecuación de una recta con coeficiente angular tiene la forma: . Para encontrar b aprovechamos que la tangente pasa por el punto A: . Esto implica: . Sustituyendo esta expresión en lugar de b, obtenemos la ecuación tangente (fórmula 4).