Entendamos el logaritmo natural. Anexo: Logaritmo natural de e

Logaritmo numero dado se llama exponente al que se debe elevar otro número, llamado base logaritmo para obtener este número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 100 es 2. En otras palabras, se debe elevar 10 al cuadrado para obtener 100 (10 2 = 100). Si norte– un número dado, b– base y yo– logaritmo, entonces segundo l = norte. Número norte también llamado antilogaritmo base b números yo. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es igual a 100. Esto se puede escribir en forma de registro de relaciones bn = yo y antilogaritmo bl = norte.

Propiedades básicas de los logaritmos:

Cualquier numero positivo, excepto la unidad, puede servir como base para los logaritmos, pero, desafortunadamente, resulta que si b Y norte son números racionales, entonces en casos raros existe un número tan racional yo, Qué segundo l = norte. Sin embargo, es posible determinar numero irracional yo, por ejemplo, tal que 10 yo= 2; este es un numero irracional yo se puede aproximar con cualquier precisión requerida numeros racionales. Resulta que en el ejemplo dado yo es aproximadamente igual a 0,3010, y esta aproximación del logaritmo en base 10 de 2 se puede encontrar en tablas de cuatro dígitos logaritmos decimales. Los logaritmos de base 10 (o logaritmos de base 10) se utilizan con tanta frecuencia en los cálculos que se denominan común logaritmos y se escribe como log2 = 0,3010 o log2 = 0,3010, omitiendo la indicación explícita de la base del logaritmo. Logaritmos a la base mi, numero trascendental, aproximadamente igual a 2,71828, se llaman natural logaritmos. Se encuentran principalmente en trabajos sobre Análisis matemático y sus aplicaciones a varias ciencias. Los logaritmos naturales también se escriben sin indicar explícitamente la base, pero usando la notación especial ln: por ejemplo, ln2 = 0,6931, porque mi 0,6931 = 2.

Utilizando tablas de logaritmos ordinarios.

El logaritmo regular de un número es un exponente al que se debe elevar 10 para obtener un número determinado. Como 10 0 = 1, 10 1 = 10 y 10 2 = 100, inmediatamente obtenemos que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. para potencias enteras crecientes 10. Asimismo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 y por lo tanto log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. para todos los números enteros poderes negativos 10. Los logaritmos habituales de los demás números están contenidos entre los logaritmos de las potencias enteras más cercanas del número 10; log2 debe estar entre 0 y 1, log20 debe estar entre 1 y 2 y log0.2 debe estar entre -1 y 0. Por lo tanto, el logaritmo consta de dos partes, un número entero y decimal, encerrado entre 0 y 1. La parte entera se llama característica logaritmo y está determinado por el número mismo, fracción llamado mantisa y se puede encontrar en las tablas. Además, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. El logaritmo de 2 es 0,3010, por lo que log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De manera similar, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Después de la resta, obtenemos log0.2 = – 0.6990. Sin embargo, es más conveniente representar log0,2 como 0,3010 – 1 o como 9,3010 – 10; se puede formular y regla general: todos los números obtenidos de un número dado multiplicando por una potencia de 10 tienen la misma mantisa, igual a la mantisa numero dado. La mayoría de las tablas muestran las mantisas de números en el rango del 1 al 10, ya que las mantisas de todos los demás números se pueden obtener a partir de las que figuran en la tabla.

En la mayoría de las tablas, los logaritmos se dan con cuatro o cinco decimales, aunque existen tablas de siete dígitos y tablas con un número aún mayor de caracteres. La forma más sencilla de aprender a utilizar este tipo de tablas es con ejemplos. Para encontrar log3.59, primero que nada, observamos que el número 3.59 está entre 10 0 y 10 1, por lo que su característica es 0. Buscamos el número 35 (a la izquierda) en la tabla y nos movemos a lo largo de la fila hasta el columna que tiene el número 9 en la parte superior; la intersección de esta columna y la fila 35 es 5551, por lo que log3,59 = 0,5551. Encontrar la mantisa de un número con cuatro. personajes importantes, es necesario recurrir a la interpolación. En algunos cuadros, la interpolación se ve facilitada por las proporciones dadas en las últimas nueve columnas en el lado derecho de cada página de los cuadros. Busquemos ahora log736.4; el número 736,4 se encuentra entre 10 2 y 10 3, por lo tanto la característica de su logaritmo es 2. En la tabla encontramos una fila a la izquierda de la cual está 73 y la columna 6. En la intersección de esta fila y esta columna hay el número 8669. Entre las partes lineales encontramos la columna 4. En la intersección de la fila 73 y la columna 4 está el número 2. Sumando 2 a 8669, obtenemos la mantisa: es igual a 8671. Por lo tanto, log736,4. = 2,8671.

Logaritmos naturales.

Las tablas y propiedades de los logaritmos naturales son similares a las tablas y propiedades de los logaritmos ordinarios. La principal diferencia entre ambos es que la parte entera del logaritmo natural no es significativa para determinar la posición. punto decimal, y por lo tanto la diferencia entre mantisa y característica no juega un papel especial. Logaritmos naturales de números 5,432; 54,32 y 543,2 son iguales a 1,6923, respectivamente; 3,9949 y 6,2975. La relación entre estos logaritmos será obvia si consideramos las diferencias entre ellos: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; último número no es más que el logaritmo natural del número 10 (escrito así: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; el último número es 2ln10. Pero 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Así, por el logaritmo natural de un número dado a puedes encontrar logaritmos naturales de números, igual a los productos números a para cualquier grado norte números 10 si a ln a sumar ln10 multiplicado por norte, es decir. en( aґ10norte) = iniciar sesión a + norte ln10 = ln a + 2,3026norte. Por ejemplo, ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Por lo tanto, las tablas de logaritmos naturales, como las tablas de logaritmos ordinarios, generalmente contienen solo logaritmos de números del 1 al 10. En el sistema de logaritmos naturales, se puede hablar de antilogaritmos, pero más a menudo se habla de una función exponencial o un exponente. Si X= iniciar sesión y, Eso y = ex, Y y llamado exponente de X(por conveniencia tipográfica, a menudo escriben y= exp. X). El exponente juega el papel del antilogaritmo del número. X.

Usando tablas de logaritmos decimales y naturales, puede crear tablas de logaritmos en cualquier base que no sea 10 y mi. Si inicia sesión b un = X, Eso b x = a, y por lo tanto iniciar sesión c b x= iniciar sesión c un o X registro c b= iniciar sesión c un, o X= iniciar sesión c un/registro c b= iniciar sesión b un. Por lo tanto, usando esta fórmula de inversión de la tabla de logaritmos base C Puedes construir tablas de logaritmos en cualquier otra base. b. Multiplicador 1/log c b llamado módulo de transición desde la base C a la base b. Nada impide, por ejemplo, utilizar la fórmula de inversión o la transición de un sistema de logaritmos a otro, encontrar logaritmos naturales de la tabla de logaritmos ordinarios o realizar la transición inversa. Por ejemplo, log105.432 = iniciar sesión mi 5,432/registro mi 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. El número 0,4343, por el cual se debe multiplicar el logaritmo natural de un número dado para obtener un logaritmo ordinario, es el módulo de transición al sistema de logaritmos ordinarios.

Mesas especiales.

Los logaritmos se inventaron originalmente para que, utilizando sus propiedades log ab= iniciar sesión a+ iniciar sesión b y registrar a/b= iniciar sesión a-registro b, convierte productos en sumas y cocientes en diferencias. En otras palabras, si inicia sesión a y registrar b son conocidos, entonces usando la suma y la resta podemos encontrar fácilmente el logaritmo del producto y el cociente. Sin embargo, en astronomía es frecuente valores dados registro a y registrar b necesito encontrar el registro ( a + b) o iniciar sesión ( a – b). Por supuesto, primero se podría encontrar en tablas de logaritmos a Y b, luego realice la suma o resta indicada y, nuevamente consultando las tablas, encuentre los logaritmos requeridos, pero tal procedimiento requeriría consultar las tablas tres veces. Z. Leonelli en 1802 publicó tablas de los llamados. logaritmos gaussianos– logaritmos para sumar sumas y diferencias – lo que permitió limitarse a un acceso a las tablas.

En 1624, I. Kepler propuso tablas. logaritmos proporcionales, es decir. logaritmos de números a/X, Dónde a– algunos positivos constante. Estas tablas son utilizadas principalmente por astrónomos y navegantes.

Logaritmos proporcionales en a= 1 se llaman cologaritmos y se utilizan en cálculos cuando se tiene que tratar con productos y cocientes. Cologaritmo de un número norte igual al logaritmo número recíproco; aquellos. cologio norte= registro1/ norte= – iniciar sesión norte. Si log2 = 0,3010, entonces colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. La ventaja de utilizar cologaritmos es que al calcular el valor del logaritmo de expresiones como pq/r triple suma de decimales positivos log pag+ iniciar sesión q+cologo r es más fácil de encontrar que el registro mixto de suma y diferencia pag+ iniciar sesión q-registro r.

Historia.

El principio subyacente a cualquier sistema de logaritmos se conoce desde hace mucho tiempo y se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas (alrededor del año 2000 a. C.). En aquellos días, la interpolación entre valores de la tabla entero grados positivos Se utilizaron números enteros para calcular. interés compuesto. Mucho más tarde, Arquímedes (287-212 a. C.) utilizó las potencias de 10 8 para encontrar limite superior la cantidad de granos de arena necesarios para llenar completamente el Universo entonces conocido. Arquímedes llamó la atención sobre la propiedad de los exponentes que subyace a la eficacia de los logaritmos: el producto de potencias corresponde a la suma de los exponentes. Al final de la Edad Media y principios de la era moderna, los matemáticos comenzaron a recurrir cada vez más a la relación entre progresiones geométricas y aritméticas. M. Stiefel en su ensayo Aritmética de enteros(1544) dio una tabla de potencias positivas y negativas del número 2:

Stiefel notó que la suma de los dos números en la primera fila (la fila de exponentes) es igual al exponente de dos correspondiente al producto de los dos números correspondientes en la fila inferior (la fila de exponentes). En relación con esta tabla, Stiefel formuló cuatro reglas equivalentes a cuatro reglas modernas operaciones con exponentes o cuatro reglas para operaciones con logaritmos: la suma de la línea superior corresponde al producto de la línea inferior; la resta en la línea superior corresponde a la división en la línea inferior; la multiplicación en la línea superior corresponde a la exponenciación en la línea inferior; la división en la línea superior corresponde al enraizamiento en la línea inferior.

Al parecer, reglas similares a las de Stiefel llevaron a J. Naper a introducir formalmente en su obra el primer sistema de logaritmos. Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos., publicado en 1614. Pero los pensamientos de Napier estaban ocupados con el problema de convertir productos en sumas desde entonces, más de diez años antes de la publicación de su trabajo, Napier recibió noticias de Dinamarca de que en el Observatorio Tycho Brahe sus asistentes tenían un método que hacía Es posible convertir productos en sumas. El método mencionado en el mensaje que recibió Napier se basó en el uso fórmulas trigonométricas tipo

por tanto, las tablas de Naper consistían principalmente en logaritmos de funciones trigonométricas. Aunque el concepto de base no fue incluido explícitamente en la definición propuesta por Napier, el papel equivalente a la base del sistema de logaritmos en su sistema lo desempeñaba el número (1 – 10 –7)´10 7, aproximadamente igual a 1/ mi.

Independientemente de Naper y casi simultáneamente con él, J. Bürgi inventó y publicó en Praga un sistema de logaritmos, de tipo bastante similar, publicado en 1620. Tablas de progresión aritmética y geométrica.. Estas eran tablas de antilogaritmos en base (1 + 10 –4) ґ10 4, una aproximación bastante buena del número mi.

En el sistema de Naper, el logaritmo del número 10 7 se tomaba como cero y, a medida que los números disminuían, los logaritmos aumentaban. Cuando G. Briggs (1561-1631) visitó Napier, ambos coincidieron en que sería más conveniente utilizar el número 10 como base y considerar el logaritmo de uno como cero. Luego, a medida que los números aumentaran, sus logaritmos aumentarían. Así que tenemos sistema moderno logaritmos decimales, una tabla de la cual Briggs publicó en su trabajo Aritmética logarítmica(1620). Logaritmos a la base mi, aunque no son exactamente los introducidos por Naper, a menudo se les llama Naper. Briggs propuso los términos "característica" y "mantisa".

Primeros logaritmos en vigor razones históricas utilizó aproximaciones a los números 1/ mi Y mi. Un poco más tarde, la idea de los logaritmos naturales empezó a asociarse con el estudio de áreas bajo una hipérbola. xy= 1 (Figura 1). En el siglo 17 se demostró que el área delimitada por esta curva, el eje X y ordenadas X= 1 y X = a(en la Fig. 1 esta área está cubierta con puntos más gruesos y escasos) aumenta en progresión aritmética, Cuando a aumenta en progresión geométrica. Es precisamente esta dependencia la que surge en las reglas para operaciones con exponentes y logaritmos. Esto dio lugar a llamar a los logaritmos de Naperia "logaritmos hiperbólicos".

Función logarítmica.

Hubo un tiempo en que los logaritmos se consideraban únicamente como un medio de cálculo, pero en el siglo XVIII, principalmente gracias a los trabajos de Euler, se formó el concepto. función logarítmica. Gráfica de tal función. y= iniciar sesión X, cuyas ordenadas aumentan en progresión aritmética, mientras que las abscisas aumentan en progresión geométrica, se presenta en la Fig. 2, A. Gráfica de una función inversa o exponencial y = e x, cuyas ordenadas aumentan en progresión geométrica y cuyas abscisas aumentan en progresión aritmética, se presentan, respectivamente, en la Fig. 2, b. (Curvas y= iniciar sesión X Y y = 10X similar en forma a las curvas y= iniciar sesión X Y y = ex.) También se han propuesto definiciones alternativas de la función logarítmica, p.

kpi; y, de manera similar, los logaritmos naturales del número -1 son números complejos de la forma (2 k + 1)Pi, Dónde k– un número entero. Afirmaciones similares son válidas para los logaritmos generales u otros sistemas de logaritmos. Además, la definición de logaritmos se puede generalizar utilizando las identidades de Euler para incluir logaritmos complejos de números complejos.

El análisis funcional proporciona una definición alternativa de función logarítmica. Si F(X) – función continua Número Real X, teniendo las siguientes tres propiedades: F (1) = 0, F (b) = 1, F (ultravioleta) = F (tu) + F (v), Eso F(X) se define como el logaritmo del número X Residencia en b. Esta definición tiene una serie de ventajas sobre la definición dada al principio de este artículo.

Aplicaciones.

Los logaritmos se utilizaron originalmente únicamente para simplificar los cálculos y esta aplicación sigue siendo una de las más importantes. El cálculo de productos, cocientes, potencias y raíces se ve facilitado no sólo por la amplia disponibilidad de tablas de logaritmos publicadas, sino también por el uso de las llamadas. regla de cálculo– una herramienta computacional cuyo principio de funcionamiento se basa en las propiedades de los logaritmos. La regla está equipada con escalas logarítmicas, es decir. distancia del número 1 a cualquier número X elegido para ser igual a log X; Al desplazar una escala con respecto a otra, es posible trazar sumas o diferencias de logaritmos, lo que permite leer directamente en la escala los productos o cocientes de los números correspondientes. Aprovecha para representar números en forma logarítmica permite, etc papel logarítmico para trazar gráficos (papel con escalas logarítmicas impresas en ambos ejes de coordenadas). Si una función satisface una ley potencial de la forma y = kxn, entonces ella gráfico logarítmico parece una línea recta, porque registro y= iniciar sesión k + norte registro X– ecuación lineal con respecto a log y y registrar X. Por el contrario, si la gráfica logarítmica de alguna dependencia funcional parece una línea recta, entonces esta dependencia es potencia. Papel semilogarítmico (en el que el eje de ordenadas tiene escala logarítmica, y el eje de abscisas es una escala uniforme) es conveniente en los casos en que es necesario identificar funciones exponenciales. Ecuaciones de la forma y = kb rx Surgen siempre que una cierta cantidad, como la población, la cantidad material radioactivo o saldo bancario, disminuye o aumenta a una tasa proporcional al disponible este momento número de residentes, sustancia radioactiva o dinero. Si se traza tal dependencia en papel semilogarítmico, la gráfica se verá como una línea recta.

La función logarítmica surge en relación con una amplia variedad de formas naturales. Las flores de las inflorescencias de girasol están dispuestas en espirales logarítmicas, las conchas de los moluscos están retorcidas. Nautilo, cuernos de oveja montesa y picos de loro. Todas estas formas naturales pueden servir como ejemplos de una curva conocida como espiral logarítmica porque en sistema polar coordenadas, su ecuación tiene la forma r = aebq, o en r= iniciar sesión a + bq. Tal curva está descrita por un punto en movimiento, cuya distancia desde el polo aumenta en progresión geométrica, y el ángulo descrito por su vector de radio aumenta en progresión aritmética. La ubicuidad de tal curva, y por tanto de la función logarítmica, queda bien ilustrada por el hecho de que aparece en lugares tan distantes y completamente Varias áreas, como el contorno de una leva excéntrica y la trayectoria de unos insectos volando hacia la luz.

Las propiedades básicas del logaritmo natural, gráfica, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación de la función ln x usando números complejos.

Definición

Logaritmo natural es la función y = en x, la inversa de la exponencial, x = e y, y es el logaritmo en la base del número e: ln x = log e x.

El logaritmo natural se utiliza mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (lnx)′ = 1/x.

Basado definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfica de la función y = en x.

Gráfica de logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene de la gráfica exponencial imagen de espejo con respecto a la línea recta y = x.

El logaritmo natural se define en valores positivos variablex. Aumenta monótonamente en su dominio de definición.

En x → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito (-∞).

Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito (+ ∞). Para x grande, el logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia x a con exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.

Propiedades del logaritmo natural

Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución.

El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.

en valores x

En 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturales.

Fórmulas que siguen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de sustitución de bases:

Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".

Función inversa

El inverso del logaritmo natural es el exponente.

Si entonces

Si entonces.

Derivada ln x

Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >

Integral

La integral se calcula por integración por partes:
.
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de la variable compleja z:
.
Expresemos la variable compleja. z vía módulo r y argumento φ :
.
Usando las propiedades del logaritmo tenemos:
.
O
.
El argumento φ no está definido de forma única. Si pones
, donde n es un número entero,
será el mismo número para diferentes n.

Por tanto, el logaritmo natural, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

a menudo toma un número mi = 2,718281828 . Los logaritmos basados ​​en esta base se llaman natural. Al realizar cálculos con logaritmos naturales, es común operar con el signo yonorte, pero no registro; mientras que el número 2,718281828 , que definen la base, no están indicados.

En otras palabras, la formulación quedará así: natural logaritmo números X- este es un indicador grados, al cual se debe elevar el número mi, Para obtener X.

Entonces, En(7.389...)= 2, ya que mi 2 =7,389... . Natural logaritmo el número mismo mi= 1 porque mi 1 =mi, y el logaritmo natural de la unidad igual a cero, porque mi 0 = 1.

El número en sí mi define el límite de una secuencia limitada monótona

calculó que mi = 2,7182818284... .

Muy a menudo, para fijar un número en la memoria, los dígitos del número requerido se asocian con alguna fecha pendiente. Velocidad de memorización de los primeros nueve dígitos de un número mi después del punto decimal aumentará si observa que 1828 es el año de nacimiento de León Tolstoi.

Hoy hay suficientes mesas completas logaritmos naturales.

Cronograma logaritmo natural(funciones y =en x) es una consecuencia Artes graficas los exponentes son reflejos especulares relativos a la línea recta y = x y tiene la forma:

Natural logaritmo se puede encontrar para cada positivo Número Real a como el área bajo la curva y = 1/X de 1 antes a.

La naturaleza elemental de esta formulación, que es coherente con muchas otras fórmulas en las que interviene el logaritmo natural, fue la razón por la que se formó el nombre de "natural".

si analizas natural logaritmo , como real función variable real, entonces actúa función inversa a una función exponencial, que se reduce a las identidades:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Por analogía con todos los logaritmos, el logaritmo natural convierte la multiplicación en suma y la división en resta:

en(xy) = en(X) + en(y)

en(x/y)= lnx - lny

El logaritmo se puede encontrar para cada base positiva que no sea igual a uno, no solo para mi, pero los logaritmos para otras bases sólo difieren del logaritmo natural multiplicador constante, y generalmente se definen en términos del logaritmo natural.

habiendo analizado cronograma logaritmo natural, encontramos que existe para valores positivos de la variable X. Aumenta monótonamente en su dominio de definición.

En X → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito ( -∞ ).En x → +∞ el límite del logaritmo natural es más infinito ( + ∞ ). En general X El logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia xa con exponente positivo a aumenta más rápido que el logaritmo. El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos.

Uso natural logaritmos muy racional al pasar Matemáticas avanzadas. Por tanto, utilizar el logaritmo es conveniente para encontrar la respuesta a ecuaciones en las que las incógnitas aparecen como exponentes. El uso de logaritmos naturales en los cálculos permite simplificar enormemente un gran número de fórmulas matemáticas. Logaritmos a la base mi están presentes al resolver un número significativo problemas físicos y naturalmente entrar en descripción matemática procesos químicos, biológicos y de otro tipo individuales. Así, los logaritmos se utilizan para calcular la constante de desintegración para una vida media conocida, o para calcular el tiempo de desintegración al resolver problemas de radiactividad. Ellos actúan en papel principal en muchas ramas de las matemáticas y ciencias practicas, se recurre a ellos en el ámbito de las finanzas para solucionar gran número tareas, incluido el cálculo del interés compuesto.

Nada mal, ¿verdad? Mientras los matemáticos buscan palabras para dar una definición larga y confusa, echemos un vistazo más de cerca a esta simple y clara.

El número e significa crecimiento.

El número e significa crecimiento continuo. Como vimos en el ejemplo anterior, e x nos permite vincular interés y tiempo: 3 años con un crecimiento del 100% es lo mismo que 1 año con un 300%, suponiendo "interés compuesto".

Puede sustituir cualquier porcentaje y valor de tiempo (50% durante 4 años), pero es mejor establecer el porcentaje en 100% por conveniencia (resulta 100% durante 2 años). Al pasar al 100%, podemos centrarnos únicamente en el componente de tiempo:

e x = e porcentaje * tiempo = e 1,0 * tiempo = e tiempo

Obviamente e x significa:

• ¿Cuánto crecerá mi contribución después de x unidades de tiempo (suponiendo un crecimiento continuo del 100 %).
• por ejemplo, después de 3 intervalos de tiempo recibiré e 3 = 20,08 veces más “cosas”.

e x es un factor de escala que muestra a qué nivel creceremos en x cantidad de tiempo.

Logaritmo natural significa tiempo

El logaritmo natural es el inverso de e, un término elegante para opuesto. Hablando de peculiaridades; en latín se llama logarithmus naturali, de ahí la abreviatura ln.

¿Y qué significa esta inversión u opuesto?

• e x nos permite sustituir el tiempo y conseguir crecimiento.
• ln(x) nos permite tomar el crecimiento o el ingreso y averiguar el tiempo que lleva generarlo.

Por ejemplo:

• e 3 es igual a 20,08. Después de tres periodos de tiempo tendremos 20,08 veces Además donde empezamos.
• ln(20/08) sería aproximadamente 3. Si está interesado en un crecimiento de 20,08 veces, necesitará 3 períodos de tiempo (nuevamente, suponiendo un crecimiento continuo del 100%).

¿Seguir leyendo? El logaritmo natural muestra el tiempo necesario para alcanzar el nivel deseado.

Este conteo logarítmico no estándar

¿Has repasado los logaritmos? criaturas extrañas. ¿Cómo lograron convertir la multiplicación en suma? ¿Qué pasa con la división en resta? Echemos un vistazo.

¿A qué es igual ln(1)? Intuitivamente, la pregunta es: ¿cuánto tiempo debo esperar para obtener 1 vez más de lo que tengo?

Cero. Cero. De nada. Ya lo tienes una vez. No lleva mucho tiempo pasar del nivel 1 al nivel 1.

• en(1) = 0

Bien, ¿qué pasa valor fraccionario? ¿Cuánto tiempo nos llevará tener la mitad de la cantidad disponible? Sabemos que con un crecimiento 100% continuo, ln(2) significa el tiempo que lleva duplicarse. Si nosotros retrocedamos el tiempo(es decir, esperar una cantidad de tiempo negativa), entonces obtendremos la mitad de lo que tenemos.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Lógico, ¿verdad? Si retrocedemos (el tiempo) hasta 0,693 segundos, encontraremos la mitad de la cantidad disponible. En general, puedes darle la vuelta a la fracción y tomar significado negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Esto significa que si retrocedemos en el tiempo hasta 1,09 veces, solo encontraremos un tercio del número actual.

Bien, ¿qué pasa con el logaritmo de un número negativo? ¿Cuánto tiempo se tarda en "hacer crecer" una colonia de bacterias de 1 a -3?

¡Esto es imposible! No se puede obtener un recuento de bacterias negativo, ¿verdad? Puedes obtener un máximo (er... mínimo) de cero, pero no hay manera de que puedas obtener un número negativo de estos pequeños bichos. Un recuento negativo de bacterias simplemente no tiene sentido.

• ln(número negativo) = indefinido

"Indefinido" significa que no hay ningún período de tiempo que deba esperar para obtener un valor negativo.

La multiplicación logarítmica es simplemente divertidísima

¿Cuánto tiempo tardará en cuadruplicarse? Por supuesto, puedes simplemente tomar ln(4). Pero esto es demasiado sencillo, iremos por el otro lado.

Se puede pensar que el crecimiento cuádruple se duplica (lo que requiere ln(2) unidades de tiempo) y luego se duplica nuevamente (lo que requiere otras ln(2) unidades de tiempo):

• Tiempo para crecer 4 veces = ln(4) = Tiempo para duplicar y luego duplicar nuevamente = ln(2) + ln(2)

Interesante. Cualquier tasa de crecimiento, digamos 20, puede considerarse una duplicación justo después de un aumento de 10 veces. O crecer 4 veces y luego 5 veces. O triplicar y luego aumentar 6,666 veces. ¿Ves el patrón?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

El logaritmo de A por B es log(A) + log(B). Esta relación cobra inmediatamente sentido cuando se la analiza en términos de crecimiento.

Si está interesado en un crecimiento de 30x, puede esperar ln(30) de una sola vez, o esperar ln(3) para triplicarlo, y luego otro ln(10) para 10x. Resultado final lo mismo, por lo que, por supuesto, el tiempo debe permanecer constante (y permanece).

¿Qué pasa con la división? Específicamente, ln(5/3) significa: ¿cuánto tiempo tomará crecer 5 veces y luego obtener 1/3 de eso?

Genial, el crecimiento 5 veces es ln(5). Un aumento de 1/3 veces tomará -ln(3) unidades de tiempo. Entonces,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Esto significa: déjalo crecer 5 veces y luego “regresa en el tiempo” hasta el punto en que solo quede un tercio de esa cantidad, para obtener un crecimiento de 5/3. En general resulta

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Espero que la extraña aritmética de los logaritmos empiece a tener sentido para usted: multiplicar tasas de crecimiento se convierte en sumar unidades de tiempo de crecimiento, y dividir se convierte en restar unidades de tiempo. No es necesario memorizar las reglas, intenta entenderlas.

Usando el logaritmo natural para un crecimiento arbitrario

Bueno, por supuesto”, dices, “todo esto está bien si el crecimiento es del 100%, pero ¿qué pasa con el 5% que recibo?”

Ningún problema. El "tiempo" que calculamos con ln() es en realidad una combinación de tasa de interés y tiempo, la misma X de la ecuación e x. Simplemente decidimos establecer el porcentaje en 100% por simplicidad, pero somos libres de usar cualquier número.

Digamos que queremos lograr un crecimiento 30x: toma ln(30) y obtén 3,4. Esto significa:

• e x = altura
• mi 3,4 = 30

Obviamente, esta ecuación significa que "un rendimiento del 100% en 3,4 años genera un crecimiento 30 veces mayor". Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:

• e x = e tasa*tiempo
• e 100% * 3,4 años = 30

Podemos cambiar los valores de “apuesta” y “tiempo”, siempre y cuando la apuesta*tiempo siga siendo 3,4. Por ejemplo, si estamos interesados ​​en un crecimiento de 30 veces, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar con una tasa de interés del 5%?

• En(30) = 3,4
• tasa * tiempo = 3.4
• 0,05 * tiempo = 3,4
• tiempo = 3,4 / 0,05 = 68 años

Razono así: "ln(30) = 3,4, por lo que con un crecimiento del 100% se necesitarán 3,4 años. Si duplico la tasa de crecimiento, tiempo requerido se reducirá a la mitad."

• 100% durante 3,4 años = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% en 1,7 años = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% durante 6,8 años = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% mayores de 68 años = .05 * 68 = 3.4.

Genial, ¿verdad? El logaritmo natural se puede utilizar con cualquier tasa de interés y tiempo porque su producto permanece constante. Puedes mover valores de variables tanto como quieras.

Buen ejemplo: regla del setenta y dos

La Regla del Setenta y Dos es una técnica matemática que te permite estimar cuánto tiempo tardará tu dinero en duplicarse. Ahora lo deduciremos (¡sí!), y además intentaremos comprender su esencia.

¿Cuánto tiempo llevará duplicar su dinero al 100% de interés compuesto anualmente?

Ups. Usamos el logaritmo natural para el caso de crecimiento continuo, ¿y ahora estás hablando de capitalización anual? ¿No sería esta fórmula inadecuada para tal caso? Sí, lo será, pero para tipos de interés reales como el 5%, el 6% o incluso el 15%, la diferencia entre la capitalización anual y el crecimiento continuo será pequeña. Entonces, la estimación aproximada funciona, aproximadamente, así que supondremos que tenemos una acumulación completamente continua.

Ahora la pregunta es simple: ¿Qué tan rápido se puede duplicar con un crecimiento del 100%? En(2) = 0,693. Se necesitan 0,693 unidades de tiempo (años en nuestro caso) para duplicar nuestra cantidad con un aumento continuo del 100%.

Entonces, ¿qué pasa si la tasa de interés no es del 100%, sino del 5% o del 10%?

¡Fácilmente! Como apuesta * tiempo = 0,693, duplicaremos la cantidad:

• tasa * tiempo = 0,693
• tiempo = 0,693 / apuesta

Resulta que si el crecimiento es del 10%, se necesitarán 0,693/0,10 = 6,93 años para duplicarse.

Para simplificar los cálculos, multipliquemos ambos lados por 100, entonces podremos decir "10" en lugar de "0,10":

• tiempo para duplicar = 69,3 / apuesta, donde la apuesta se expresa como porcentaje.

Ahora toca duplicar a una tasa del 5%, 69,3/5 = 13,86 años. Sin embargo, 69,3 no es el dividendo más conveniente. Elijamos un número cercano, 72, que conviene dividir entre 2, 3, 4, 6, 8 y otros números.

• tiempo para doblar = 72 / apuesta

que es la regla de setenta y dos. Todo está cubierto.

Si necesita encontrar el tiempo para triplicar, puede usar ln(3) ~ 109.8 y obtener

• tiempo para triplicar = 110 / apuesta

¿Qué es otro? regla útil. La "Regla del 72" se aplica al crecimiento de las tasas de interés, el crecimiento de la población, los cultivos bacterianos y cualquier cosa que crezca exponencialmente.

¿Que sigue?

Espero que ahora el logaritmo natural tenga sentido para ti: muestra el tiempo que tarda cualquier número en crecer crecimiento exponencial. Creo que se llama natural porque e es una medida universal de crecimiento, por lo que ln puede considerarse de manera universal determinar cuánto tiempo tarda en crecer.

Cada vez que vea ln(x), recuerde "el tiempo que tarda en crecer X veces". En un próximo artículo describiré e y ln conjuntamente para que el fresco aroma de las matemáticas llene el aire.

Anexo: Logaritmo natural de e

Prueba rápida: ¿qué es ln(e)?

• un robot matemático dirá: dado que se definen como la inversa entre sí, es obvio que ln(e) = 1.
• Persona comprensiva: ln (e) es el número de veces que se necesita para que "e" crezca (aproximadamente 2,718). Sin embargo, el número e en sí mismo es una medida de crecimiento por un factor de 1, por lo que ln(e) = 1.

Piensa claro.