Desde hace dos años se añade una tarea a la segunda parte. C contenido económico, es decir, problemas relacionados con intereses bancarios complejos.
Dicen que estamos ante un "interés compuesto" cuando un determinado valor está sujeto a cambios graduales. Además, cada vez que su cambio es Cierto número por ciento del valor que tenía este valor en la etapa anterior.
Al final de cada etapa el valor cambia al mismo cantidad constante por ciento –R%. Luego al finalnorte ª etapa el valor de una determinada cantidadA , cuyo valor inicial era igual aA 0 , está determinado por la fórmula:
Con el aumento y
Al disminuir
Sabiendo que la tasa de interés anual del depósito es del 12%, encuentre
su tasa de interés mensual equivalente.
Solución:
Si depositamos A rublos en el banco, después de un año obtendremos:A 1 = Un 0 (1 +0,12)
Si el interés se calculara todos los meses a la tasa de interésX , entonces según la fórmula interés compuesto en un año (12 meses)A norte = Un 0 (1 + 0,01x) 12
Igualando estos valores obtenemos una ecuación cuya solución nos permitirá determinar el tipo de interés mensualA(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12
1,12 = (1 + 0,01x) 12
x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%
Respuesta: La tasa de interés mensual es0.9488792934583046%.
De la solución a este problema se puede ver que la tasa de interés mensual no es igual a la tasa anual dividida por 12.
El 31 de diciembre de 2013, Sergey obtuvo un crédito del banco por 9.930.000 rublos al 10% anual. El calendario de amortización del préstamo es el siguiente: 31 de diciembre de cada el próximo año el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 10%), luego Sergey la transfiere al banco una cierta cantidad pago anual. ¿Cuál debería ser el monto del pago anual para que Sergei salde la deuda en tres pagos anuales iguales?
Solución:
Sea el monto del préstamo igual aA , el pago anual es igual aX rublos, y la cantidad anual es k % . Luego, el 31 de diciembre de cada año, el monto restante de la deuda se multiplica por el coeficiente metro =1+ 0,01 k . Después del primer pago, el monto de la deuda será: A 1 = soy - X. Después del segundo pago el monto de la deuda
será:
A 2 = a 1 metro – x=(en-x)t-x=a 2 -th-x=en 2 -(1+t)x
Según la condición, Sergey debe pagar el préstamo en su totalidad en tres pagos, por lo tanto
dónde
Ena = 9930000 Yk =10 , obtenemost =1,1 y
Respuesta : 3.993.000 rublos.
Ahora que nos hemos ocupado de esta solución propuesta en todos los solucionadores, veamos otra solución.
DejarF = 9.930.000 - monto del préstamo,X – el importe requerido del pago anual.
Primer año:
Deber:1.1F ;
Pago:X ;
Resto:1.1F-x .
Segundo año:
Deber:1.1(1.1F-x) ;
Pago:X ;
Resto:1.1(1.1F-x)-x .
Tercer año:
Deber:1.1(1.1F-x)-x );
Pago:X ;
Saldo: 0, porque según la condición solo hubo tres pagos.
1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F =3,31x,x=3993000
Respuesta: 3.993.000 rublos.
Sin embargo-1 ! Si asumimos que el tipo de interés no es un bonito 10%, sino un terrible 13,66613%. Las posibilidades de morir en algún lugar durante las multiplicaciones o volverse loco al detallar el multiplicador del importe de la deuda de cada año han aumentado considerablemente. Sumemos a esto no sólo unos pequeños 3 años, sino 25 años. Esta solución no funcionará.
El 31 de diciembre de 2014, Andrey sacó del banco una determinada cantidad a crédito al 10% anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 10%), y luego Andrey transfiere 3.460.600 rublos al banco. ¿Qué cantidad tomó Andrei del banco si pagó la deuda en tres pagos iguales (es decir, en 3 años)?
Solución.
DejarA – la cantidad requerida,k% – tipo de interés del préstamo,X - pago anual. Luego el 31 de diciembre de cada año el monto restante de la deuda se multiplicará por el coeficientemetro = 1 + 0,01 k . Después del primer pago, el monto de la deuda será:A 1 = soy – x . Luego del segundo pago, el monto de la deuda será:
A 2 = a 1 metro – x=(en-x)t-x=a 2 -th-x=en 2 -(1+t)x
Después del tercer pago, el monto de la deuda restante:
Según los términos, Andrey pagó la deuda en tres años,
eso esA 3 = 0 , dónde.
EnX = 3.460.600, k% = 10% , obtenemos:metro = 1,1 Y=8 606 000 (rublos).
Respuesta: 8.606.000 rublos.
El 31 de diciembre de 2013, Igor sacó a crédito del banco 100.000 rublos. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco carga intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en una cierta cantidad de intereses), luego Igor transfiere el siguiente tramo. Igor pagó el préstamo en dos tramos, transfiriendo 51.000 rublos la primera vez y 66.600 rublos la segunda. ¿A qué porcentaje le otorgó el banco un préstamo a Igor?
Solución
Dejark % – la tasa de préstamo requerida;metro = (1 + 0,01 k ) – multiplicador de la deuda restante;a = 100.000 – cantidad prestada del banco;X 1 = 51 000, X 2 = 66 600 – dimensiones de la primera y última zanja.
Después del primer pago, el monto de la deuda será:a 1 = mamá – X 1 .
Luego del segundo pago, el monto de la deuda será:a 2 = mamá 1 – X 2 = un metro 2 -metro X 1 – X 2 . Por condición,a 2 = 0 . La ecuación deberá resolverse primero con respecto ametro , por supuesto tomando sólo la raíz positiva:
100 000 m 2 – 51.000 m – 66.600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.
Aquí es donde comienzan las dificultades.
D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .
Entonces.
Respuesta: 11%.
El 31 de diciembre de 2013, Masha sacó a crédito del banco una determinada cantidad a un determinado porcentaje anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en una cierta cantidad de intereses), luego Masha transfiere el siguiente tramo. Si paga 2.788.425 rublos cada año, saldará la deuda en 4 años. Si 4.991.625 cada uno, entonces en 2 años. ¿A qué porcentaje tomó Masha el dinero del banco?
Solución
Después de dos años de reembolso, el monto del préstamo tomado se calcula mediante la fórmula:
Después de cuatro años de pago, el monto del préstamo tomado se calcula mediante la fórmula:
Dónde
Entonces.
Respuesta: 12,5%.
El 31 de diciembre de 2013, Vanya obtuvo un crédito del banco por 9.009.000 rublos al 20% anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 20%), luego Vanya transfiere el pago al banco. Vanya pagó toda la deuda en 3 pagos iguales. ¿Cuántos rublos menos le daría al banco si pudiera liquidar la deuda en 2 pagos iguales?
Solución
Usemos el resultado del problema 2.
La diferencia requeridaX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rublos
Respuesta: 1.036,00 rublos.
El 1 de junio de 2013, Vsevolod Yaroslavovich sacó a crédito del banco 900.000 rublos. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el día 1 de cada mes siguiente, el banco cobra el 1 por ciento sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 1%), luego Vsevolod Yaroslavovich transfiere el pago al banco. Para qué cantidad minima¿Meses Vsevolod Yaroslavovich puede pedir un préstamo para que los pagos mensuales no superen los 300.000 rublos?
Debe comprender una verdad simple: cuanto mayor sea el pago del préstamo, menos deuda tendrá. Mientras menos deuda tengas, más rápido la pagarás. El pago mensual máximo que el prestamista puede pagar es de 300.000 rublos según la condición. Si Vsevolod Yaroslavovich paga el pago máximo, saldará la deuda más rápido. En otras palabras, podrá obtener un préstamo para período más corto tiempo, según lo requiera la condición.
Intentemos resolver el problema de frente.
Ha pasado un mes. 1 de julio de 2013: deuda (1 + 0,01) 900.000 – 300.000 = 609.000.
Ha pasado un mes. 1 de agosto de 2013: deuda (1+ 0,01) 609.000 – 300.000 = 315.090.
Ha pasado un mes. 1 de septiembre de 2013: deuda (1+0,01)315.090 – 300.000= 18.240,9. Ha pasado un mes. 1 de octubre de 2013: deuda (1 0,01)1.240,9 = 18.423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.
Respuesta: 4 meses.
Resolvamos el problema usando el método estándar.
Utilizaré los resultados del Problema 3 teniendo en cuenta el siguiente razonamiento: la desigualdad de la parte restante de la deuda tiene la formaa X ≤ 0 .
DejarX – la cantidad requerida,a = 900.000 - cantidad prestada del banco,k% = 1% - tasa de préstamo,y = 300.000 - mensualidad,metro = (1 + 0,01 k) – multiplicador mensual de la deuda restante. Luego, según la fórmula ya conocida, obtenemos la desigualdad: ≤0 ;
Tenemos una desigualdad desagradable, pero verdadera.
Tomamos la parte entera del número porque el número de pagos no puede ser un número no entero. Tomamos el entero mayor más cercano, no podemos tomar el menor (porque entonces habrá deuda) y está claro que el logaritmo resultante no es un número entero. Resultan 4 pagos, 4 meses.
El agricultor recibió un préstamo de un banco a un determinado porcentaje anual. Un año después, para pagar el préstamo, el agricultor devolvió al banco la cantidad total que le debía en ese momento, y un año después, para pagar el préstamo en su totalidad, depositó en el banco una cantidad que fue un 21% mayor que el monto del préstamo recibido. ¿Cuál es la tasa de interés anual de un préstamo de este banco?
Solución:
El monto del préstamo no afecta la situación. Saquemos 4 rublos del banco (divisible por 4).
En un año, la deuda con el banco aumentará exactamenteX veces y se volverán iguales4x rublos
Dividámoslo en 4 partes y devolvámoslo.3x rublos y debemos quedarnosX rublos
Se sabe que a finales del próximo año tendremos que pagar4 1,21 rublos
Se sabe que el monto de la deuda para el año pasó del númeroX en númeroX 2 .
Dado que el agricultor pagó completamente la deuda después de dos años, entonces
X 2 = 4 1,21 x = 2 1,1 x = 2,2
CoeficienteX significa que el 100% se convierte en 220% en un año.
Esto significa que el porcentaje anual del banco es: 220% - 100%
Respuesta: 120%
Se depositó en el banco la cantidad de 3.900 mil rublos al 50% anual. Al final de cada uno de los primeros cuatro años de almacenamiento, después de calcular el interés, el depositante hacía un depósito adicional del mismo monto fijo en la cuenta. Al final del quinto año, después de acumular los intereses, resultó que el tamaño del depósito había aumentado en un 725% en comparación con el original. ¿Qué cantidad añadió el inversionista al depósito anualmente?
Solución:
Que se fije el importe depositado.X rublos
Luego, después de realizar todas las operaciones, después del primer año, el monto del depósito pasó a ser
+x
Después de 2 años
Después3 del año
Después4 del año
Después5 del año
Dado que al final del quinto año después del devengo de intereses resultó que el tamaño del depósito había aumentado en un 725% en comparación con el inicial, elaboraremos la ecuación:
3900 ·8,25=3900·1,5 5 +x·(1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5
3900·5,5=3900·1,5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)
Respuesta: 210 rublos.
El banco aceptó una determinada cantidad a un determinado porcentaje. Un año después, se retiró de la cuenta una cuarta parte del monto acumulado. Pero el banco aumentó la tasa de interés anual en un 40%. Al finalizar el año siguiente, el monto acumulado era 1,44 veces el aporte inicial. ¿Cuál es el nuevo porcentaje APR?
Solución:
La situación no cambiará dependiendo del monto del depósito. Pongamos 4 rublos en el banco (divididos por 4).
En un año, el monto en la cuenta aumentará exactamentepag veces y se volverán iguales4p rublos
Dividámoslo en 4 partes y nos lo llevamos a casa.pag rublos, lo dejaremos en el banco.3p rublos
Se sabe que a finales del año siguiente había 4,1,44 = 5,76 rublos en el banco.
entonces el numero3p se convirtió en el número 5,76. ¿Cuántas veces aumentó?
Así, se ha encontrado el segundo coeficiente creciente.X frasco.
Curiosamente, el producto de ambos coeficientes es 1,92:
De la condición se deduce que el segundo coeficiente es 0,4 mayor que el primero.
pag · X = pag ·( pag +0,4)=1,92
Ya se pueden seleccionar los coeficientes: 1,2 y 1,6.
Pero sigamos, sin embargo, resolviendo la ecuación:
10p·(10p+4)=192 dejar 10p=k
k·(k+4)=192
k =12, es decir p=1,2; yx=1.6
Respuesta: 60%
En esta lección veremos cómo resolver los problemas más difíciles sobre los créditos del Examen Estatal Unificado de Matemáticas: se desconoce el tiempo en ellos. En primer lugar, recuerde la fórmula que conecta el monto total del préstamo, los intereses, el plazo y los pagos mensuales:
$C\cdot ((x)^(n))=P\cdot \frac(((x)^(n))-1)(x-1)$.
Donde $C$ - cantidad total préstamo, $x$ es el interés, $P$ es el pago mensual y el número $n$ es el plazo por el cual se toma el préstamo. Esto es lo que buscaremos hoy, para lo cual necesitaremos completar dos pasos:
- Estima aproximadamente el período de tiempo. Para ello, simplemente divida el préstamo por el pago y redondee el número resultante hacia arriba. Si la división da como resultado un número entero, simplemente auméntalo en uno.
- Asegúrese de que este número sea la respuesta. Para hacer esto, tendrás que contar varias potencias de números bastante feos: 1,1; 1.03, etc
Al solucionar este problema, recuerde siempre la relación entre el plazo y el tamaño del pago mensual:
Cuanto mayor sea el plazo, menor será el pago mensual. Y viceversa: cuanto más corto sea el plazo, mayor será el pago.
Además, existe una regla importante que reducirá significativamente el volumen de cálculos. En lugar de buscar un valor, digamos $((1.03)^(7))$, puedes encontrar alguna potencia intermedia (cualquier cosa más grande que un cubo ya se considera problemático para este número), y luego continuar trabajando con las superiores y límites inferiores para este número. ¿Cuáles son estas estimaciones y cómo utilizarlas para resolver el problema 17 dos veces más rápido? Mira el vídeo tutorial :)
La tarea más difícil sobre los préstamos del Examen Estatal Unificado
Hoy veremos lo que prometí hablar el año pasado, cuando conocimos por primera vez los problemas de contenido económico del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. En general, ha pasado bastante tiempo desde la aparición de esta tarea en el Examen Estatal Unificado, y desde entonces tales tareas se han vuelto más diversas que inicialmente, pero la tarea más difícil y más frecuente se mantuvo sin cambios. Esto es exactamente de lo que hablaremos hoy. Más precisamente, hablaremos de la versión más difícil de este problema: el problema de los pagos y préstamos, cuando la fórmula universal de interés compuesto, derivada en la lección en video anterior, funciona, pero esta vez no es el préstamo o el pago lo que Se desconoce, pero precisamente el momento por el cual se le atribuyó mayor crédito.
Fórmula del interés compuesto en matemáticas.
De dónde proviene esta fórmula para calcular el interés compuesto y cómo funciona, lo expliqué en detalle en la lección en video anterior, por lo que si no la ha visto, le recomiendo que la vea. Sin embargo, del mismo vídeo tutorial surgieron muchas dudas y, en concreto, dejamos el análisis del problema más difícil para más adelante. Esto es exactamente lo que haremos hoy.
Antes de resolver este problema, anotemos nuestra fórmula clásica para calcular el interés compuesto, a saber:
Esta fórmula la derivamos en una de las lecciones en video anteriores; se puede utilizar sin ninguna duda en el examen real, habiéndola justificado previamente aproximadamente de la misma manera que se hizo en la lección en video anterior.
Tarea número 1
Entonces, un problema económico en el que la incógnita es el tiempo:
El 1 de enero de 2015, un pensionista obtuvo un crédito del banco por 1,5 millones de rublos. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el día 1 de cada mes siguiente, el banco cobra el 10 por ciento sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 10%), y luego el pensionado transfiere el pago al banco. . ¿Durante cuántos meses mínimos puede un pensionado solicitar un préstamo para que los pagos mensuales no superen los 350 mil rublos?
Entonces, comencemos a resolver nuestro problema. Primero, anotemos todo lo que sabemos. En primer lugar, nos dan el monto total del préstamo:
Crédito = 1.500.000
Se sabe que el pago mensual no debe exceder los 350 mil rublos. Escribámoslo así:
Pago = 350.000
Además, se conoce el porcentaje. Sabemos que si el 10% se escribe como coeficiente será:
Paso dos: crea una ecuación usando la fórmula de interés compuesto
Lo que no sabemos es el número $n$ en esta ecuación. Conectemos todo lo que sabemos a la fórmula del interés compuesto y veamos qué sucede:
Introduzcamos un reemplazo:
\[((1,1)^(n))=t\]
En este caso obtenemos:
Recordemos qué es $t$. Tenemos que resolver la siguiente ecuación:
\[((1,1)^(n))=1,75\]
Paso tres: encuentra el valor más pequeño
Si intentas resolver esta ecuación usando una calculadora, no lo lograrás: los números serán mayores o menores, pero no obtendrás el valor exacto. Por lo tanto, volvamos al planteamiento del problema una vez más y leamos que los pagos mensuales no deben superar los 350 mil rublos. Pensémoslo: cuanto mayor sea el plazo para contratar el mismo préstamo, menores serán las cuotas mensuales. Y dado que exigimos que los pagos mensuales no superen los 350 mil rublos, esto significa que el período no debe ser inferior al período especificado. De hecho, teniendo en cuenta el hecho de que nuestro valor no puede ser exactamente igual a este período, encontramos que necesitamos resolver no una ecuación, sino una desigualdad de la forma
\[((1,1)^(n))>1,75\]
Vuelve a mirar atentamente esta transición: es fundamental punto importante durante toda la tarea. No podemos encontrar el exacto. valor natural$n$ es tal que $1,1$ elevado a esta potencia da $1,75$, por lo que ahora nuestra tarea es encontrar el $n$ natural mínimo tal que se cumpla esta desigualdad. La pregunta es: ¿por qué el mínimo? Después de todo, puedes pedir un préstamo por 100 años y luego todo saldrá bien, es decir, $((1,1)^(n))$ será mayor que $1,75$. Sin embargo, en el problema necesitamos encontrar exactamente la cantidad mínima. Por lo tanto, de todos los $n$ que satisfacen esta desigualdad, elegiremos el más pequeño y, de hecho, ahora lo encontraremos nosotros mismos.
Hagamos una mesa pequeña.
| mes $\izquierda(n \derecha)$ | $((1,1)^(n))$ |
| 1 | 1,1 |
| 2 | 1,21 |
| 3 | 1,331 |
| 4 | 1,4641 |
| 5 | 1,61051 |
| 6 | 1,771561 |
Y por primera vez superamos los límites requeridos: $1,75$. Tenga en cuenta: cinco meses no nos bastan, porque el coeficiente no alcanzará el valor deseado, pero seis meses ya son suficientes, porque no solo alcanzará, sino que también superará el valor deseado. Entonces la respuesta final es seis meses.
Matices de la solución.
Como puede ver, esto no tiene nada de complicado, incluso si debemos encontrar exactamente la fecha límite. Lo único que pudo confundirnos fue la gran cantidad de cálculos al final, cuando contamos las potencias de $1,1$. Sin embargo, no es de extrañar, ya que se trata de una de las últimas y más tareas complejas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, por lo que si aquí todo fuera completamente simple, entonces no se otorgarían tres puntos principales por ello.
Además, me gustaría llamar su atención sobre el fundamento final de la respuesta. Permítanme recordarles que estamos resolviendo el problema desde la segunda parte: no basta con escribir una respuesta aquí, sino que debemos proporcionar una justificación completa y competente. Entonces, elevando a potencias, en un momento determinado obtenemos los siguientes valores: $1,61051$ y $1,771561$. Surge la pregunta: ¿por qué elegimos el segundo número? Resolvemos esta desigualdad, que fue justificada anteriormente, y el segundo valor ya se ajusta a nuestra desigualdad, porque
\[{{1,1}^{6}}=1,771561\]
Y en $1,75$ el segundo dígito es “cinco”, es decir la cifra es menor y por tanto el número es menor. Pero si intentamos elegir cinco meses como respuesta y el coeficiente asociado a este valor es $1,61051$, entonces esta opción definitivamente no nos conviene. ¿Por qué? Porque si lo sustituimos en la fórmula de interés compuesto original e intentamos calcular el pago mensual final utilizando estos datos, resultará ser más de los 350 mil rublos requeridos.
Para solucionar con éxito este problema, incluso cuando es necesario fijar un plazo, se deben tener en cuenta dos puntos:
- Recuerda la fórmula para resolver el interés compuesto y es recomendable poder derivarla en el examen.
- Recuerde la relación entre el momento y el tamaño de los pagos. La relación es inversamente proporcional: cuanto más largo sea el plazo, menor será el pago mensual y viceversa: cuanto mayor sea el pago mensual, más corto será el período durante el cual tendrá que pagar el mismo préstamo.
Problema número 2
El 1 de enero de 2015, un pensionista obtuvo un crédito del banco por 1,1 millones de rublos. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el día 1 de cada mes siguiente, el banco cobra el 3 por ciento sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 3%), y luego el pensionado transfiere el pago al banco. . ¿Durante cuántos meses mínimos puede un pensionista solicitar un préstamo para que los pagos mensuales no superen los 220 mil rublos?
A primera vista, la tarea no se diferencia de la anterior. A menos que el pensionista se volviera más razonable, solo tomó 1,1 millones y, además, el interés mensual es solo del 3%, no del 10%, y los pagos mensuales no deben superar los 220 mil rublos.
Paso uno: anota los datos conocidos
Reescribamos nuestra fórmula de interés compuesto:
Donde $C$ es el monto total del préstamo, $x$ es el interés, $P$ es el pago mensual, $n$ es el plazo por el cual se toma el préstamo.
Anotemos los datos conocidos:
Crédito = 1100000
Pago = 220000
Paso dos: crea una ecuación usando la fórmula de interés compuesto
Sustituimos todos estos datos en la fórmula. Una vez más, desconocemos la fecha límite, es decir $n$:
\[((1,3)^(n))=2\cdot \left(1,03-1 \right)\cdot \frac(10)(3)\left| 3\derecha.\]
Introduzcamos el reemplazo:
\[((1.03)^(n))=t\]
Y aquí nos encontramos con el primer problema, que no estaba en el problema anterior: $\frac(20)(17)$ no se traduce en una fracción decimal “hermosa”, pero necesitamos la fracción decimal, porque cuando hacemos la tabla, entonces elevaremos $1.03$ a diferentes potencias, y éste, al ser una fracción decimal en diferentes grados, también dará decimales. De hecho, la solución es sencilla: basta con dividir y dejar los primeros cuatro caracteres:
\[\frac(20)(17)=1.17647...\]
Volviendo a nuestro problema, obtenemos lo siguiente:
Igualemos ambas partes:
\[((1.03)^(n))=1.17647...\]
Por analogía con tarea anterior Es fácil ver que no existe un $n$ natural tal que $1.03$ elevado a esta potencia nos dé $1.17647...$, así que reemplazamos tranquilamente nuestra igualdad con el signo de desigualdad:
\[((1.03)^(n))>1.17647...\]
Al mismo tiempo, al decidir de esta desigualdad la respuesta será el $n$ más pequeño. Hagamos nuevamente una tabla, donde nuevamente escribiremos los meses a la izquierda y el coeficiente a la derecha:
| mes $\izquierda(n \derecha)$ | $((1,03)^(n))$ |
| 1 | 1,03 |
| 2 | 1,0609 |
| 3 | 1,092727 |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 |
Paso cuatro: encuentre el límite superior e inferior utilizando el "método de estimación"
Nos enfrentamos a otro problema: a medida que crece el número de meses, el volumen de cálculos se vuelve simplemente catastrófico, por lo que es necesario realizar más cálculos utilizando alguna otra herramienta, de lo contrario simplemente nos ahogaremos en el volumen de cálculos. Este problema es típico de todos los problemas en los que el porcentaje es inferior a diez. Así que en cuanto veas pequeños porcentajes, no creas que estás en problemas. tarea fácil Al contrario, habrá problemas. Sin embargo, todos estos problemas se pueden resolver fácilmente con la ayuda de una maravillosa herramienta llamada método de evaluación. Ahora te diré qué es y cómo usarlo usando el ejemplo de esta tarea.
Entonces, necesitamos encontrar las potencias cuarta, quinta y sexta de $1.03$. Lo encontramos usando el anterior, multiplicándolo por $1.03$. Sin embargo, ya en el tercer paso el volumen de cálculos resultó ser bastante grande. Por lo tanto, para no ahogarnos en los cálculos, realicemos la siguiente manipulación: veamos los números que obtuvimos al elevar al cuadrado y a la tercera potencia. Primero, veamos lo que pasó en la plaza:
\[{{1,03}^{2}}=1,0609\]
Cortemos dos decimales y escribamos $1.06$. Haremos lo mismo con la tercera potencia, en la que obtuvimos la siguiente expresión:
\[{{1,03}^{3}}=1,092727\]
Cortemos dos decimales y obtengamos $1,09$. En ambos casos tomamos sólo los dos primeros caracteres. ¿Qué nos dará esto? La cuestión es que, en cualquier caso, $1,0609$, es decir significado verdadero la segunda potencia será mayor que el valor que acabamos de encontrar:
Lo mismo puede decirse del tercer grado:
Ahora tomémoslo y agreguemos "uno" a estos números en el último dígito. Obtenemos:
La propiedad notable de estos números es que en el primer caso
Pero en el segundo caso habrá la siguiente desigualdad:
Escribámoslo así:
Los valores resultantes se denominan estimaciones superior e inferior, o redondeo hacia abajo y hacia arriba. Y en lugar de luchar con una gran cantidad de cálculos, simplemente multiplicaremos estos números. ¿Cómo y sobre qué base? Notemos lo siguiente:
\[((1.03)^(4))=((1.03)^(2))\cdot ((1.03)^(2))\]
\[((1.03)^(5))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(2))\]
\[((1.03)^(6))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(3))\]
Paso cinco: encuentra el valor más pequeño
Llenemos la tabla hasta el final:
| mes $\izquierda(n \derecha)$ | $((1,03)^(n))$ |
| 1 | 1,03 |
| 2 | 1,0609 |
| 3 | 1,092727 |
| 4 | $1,06\cdot 1,06<*<1,07\cdot 1,07$ |
| 5 | $1,06\cdot 1,09<*<1,07\cdot 1,1$ |
| 6 | ${{1,09}^{2}}<*<{{1,1}^{2}}$ |
¿Qué nos dicen todas estas estimaciones superiores e inferiores? En primer lugar, la cantidad de cálculos se reduce significativamente y, en segundo lugar, veamos los valores más recientes:\[((1,1)^(2))=1.21\]
\[{{1,09}^{2}}=1,1881\]
¿Qué significa? Y es que para $n=6$ definitivamente superaremos el valor requerido. eso ya lo sabemos
\[((1.03)^(n))=1.17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\]
En principio, ya estamos satisfechos con "seis": este es el candidato a la respuesta. Pero el problema es que el problema requiere que encontremos el número mínimo de meses. ¿Qué pasaría si el número mínimo de meses fuera “cinco”? Contemos y repitamos los mismos cálculos para "cinco":
Pero tales evaluaciones no nos darán nada. ¿Por qué? Porque si dibujamos una recta numérica y marcamos los límites inferior y superior en ella, obtenemos lo siguiente: entre $1.1554$ y $1.177$ hay $((1.03)^(5))$. Pero también hay 1,17647 dólares entre ellos, que debemos superar. Si este número se encuentra a la derecha de $1,17647$, entonces estamos contentos con todo y la respuesta será “cinco”. Sin embargo, si es a la izquierda, entonces “cinco” no nos conviene y la respuesta será “seis”. ¿Cómo podemos comprobar qué número nos conviene? Desafortunadamente, es imposible responder a esta pregunta dentro de las estimaciones superiores e inferiores que hemos anotado; simplemente nos falta precisión. Entonces, escribamos los valores para $n=2$ y $n=3$ nuevamente.
Así, no importa qué sea $n$ en la expresión $((1,03)^(n))$, en cualquier caso será mayor que $1.06\cdot 1,092$, pero en cualquier caso menor que $1,061 \cdot $1,093 .
Anotemos los cálculos:
Esto significa que nuestras suposiciones son correctas. El valor deseado, si volvemos a intentar dibujarlo en la recta numérica, estará limitado por debajo por $1,1554$ y por arriba por $1,159673$. Aquellos. $((1.03)^(5))$ seguramente será menor que $1.159673$ y aún más menor que $1.17647...$Y esto significa que nuestra suposición inicial de que en $ n=5$ ya excederemos el valor de $1,17647...$ es incorrecto. Esto significa que el quinto mes todavía no nos conviene. Pero el sexto mes, en el que pensamos por primera vez, realmente es así. Entonces la respuesta final es seis. El problema está solucionado y plenamente justificado.
Consejos útiles para resolver problemas utilizando la fórmula del interés compuesto
Lo más importante en esta tarea es comprender en qué se diferencian las estimaciones del redondeo. Tomamos los dos dígitos después del punto decimal, cortamos todo lo que viene después de ellos y escribimos esos números a la izquierda. Obviamente, dado que hay algunos dígitos en el número real a continuación, este número será el que obtuvimos a la izquierda (ver tabla). Estos números que están a la izquierda se llaman puntuaciones menores. Luego les sumamos “uno” en el último dígito (hasta el último dígito), y obtenemos un número que es uno mayor al final, por ejemplo, era $1.06$ se convirtió en $1.07$, etc. Estas serán las mejores estimaciones. Y además, no importa lo que hagamos, no importa qué grado y número de mes calculemos, el verdadero valor de nuestro valor seguirá estando contenido entre los grados de las estimaciones superior e inferior.
Pero hay un problema: en un momento determinado nos encontramos con que tanto el número como el valor deseado se encuentran dentro de los mismos límites. Los límites se obtuvieron, por supuesto, calculando los grados de estimaciones. En nuestra situación, este problema surgió en el cálculo del valor del quinto mes: la estimación de la izquierda nos dio $1,1554$ y la de la derecha nos dio $1,177$. Entre estos dos números se encuentra tanto el valor deseado, que no conocemos, como nuestro valor deseado, es decir $((1,03)^(n))$. La salida a esta situación se sugiere por sí sola: si nos falta precisión, entonces simplemente necesitamos aumentar la precisión de las estimaciones iniciales, es decir, después del punto decimal no tomamos dos, sino tres dígitos. Pero como lo que más nos interesa son los límites superiores, aumentaremos cada uno de estos números en uno en el dígito, lo escribiremos y lo multiplicaremos. Como resultado, obtenemos lo siguiente: la nueva estimación superior para nuestro número, para el quinto mes, estará entre $1,1554$ y $1,159673$.
De hecho, el quinto mes dará un coeficiente que estará en el rango anterior, que es claramente menor que el valor deseado de $1,174647...$ A primera vista, puede parecer que la complejidad y el volumen de todos estos cálculos serán significativamente mayor que si simplemente eleváramos los números a la potencia del cuadrado, del cubo, etc. Actualmente, esto no es verdad. Ya en el tercer y cuarto grado aparecen grandes cantidades, pero simplemente no llegarás al quinto y sexto mes.
Cómo determinar la respuesta de un candidato según las condiciones de la tarea
Como nota final del vídeo tutorial de hoy, me gustaría contarles otra herramienta bastante inteligente que les permitirá, a primera vista del problema, estimar aproximadamente qué mes se debe contar y qué mes es más probable que sea un candidato para el respuesta.
Veamos la fórmula original. El monto total del préstamo a reembolsar es de 1,1 millones, mientras que mensualmente se deben pagar 220 mil rublos. Dividamos la deuda total por el pago mensual. En este caso, obtendremos la cantidad de meses que necesitaríamos dedicar a liquidar el préstamo si no nos hubieran devengado intereses. Sin embargo, el interés en sí es pequeño: en nuestro caso, sólo el 3% mensual. Esto significa que es poco probable que la deuda se acumule durante más de un mes y, por lo tanto, debemos agregar otra unidad al valor resultante y obtendremos el candidato más probable para la respuesta.
En nuestro caso, si 1,1 millones. dividido por 220 mil, obtenemos cinco meses, pero excluyendo los intereses acumulados. En consecuencia, será necesario un mes más para liquidar los intereses. Y obtendremos la misma respuesta.
Sin embargo, quiero advertirte que bajo ninguna circunstancia debes utilizar esta técnica como única justificación posible para la respuesta que obtengas en un problema. Porque estamos resolviendo uno de los problemas más difíciles del Examen Estatal Unificado: requiere proporcionar no solo la respuesta, sino también todos los cálculos y justificaciones detalladas. Esta técnica es sólo una pista para nosotros mismos, para entender qué meses y qué grados contar. El siguiente paso es demostrar que, por ejemplo, un número igual a cinco meses no nos conviene, pero seis meses definitivamente nos convienen. ¿Cómo se puede hacer esto? Por ejemplo, usando una recta numérica, cálculos más precisos, un método de estimación o lo que sea más conveniente para ti. En cualquier caso, mis alumnos y yo recientemente nos convencimos de que esta pista facilita mucho los cálculos y al menos da una idea de cuál debería ser la respuesta.
Practica, resuelve problemas, perfecciona tus habilidades para calcular puntuaciones superiores e inferiores. Esta no es la última lección sobre la solución de problemas de contenido económico, ya que los problemas en sí se han vuelto bastante numerosos y sus condiciones se han vuelto más diversas. ¡Así que estad atentos!
Resolver problemas matemáticos utilizando conceptos básicos de porcentaje.
Los problemas que involucran porcentajes se enseñan a resolver desde 5º grado.
La resolución de problemas de este tipo está estrechamente relacionada con tres algoritmos:
- encontrar el porcentaje de un numero,
- encontrar un número por su porcentaje,
- encontrar el porcentaje.
Durante las lecciones con los estudiantes, entienden que una centésima de metro es un centímetro, una centésima de rublo es un centavo y una centésima de centavo es un kilogramo. La gente ha notado desde hace mucho tiempo que las centésimas de cantidades son convenientes en la práctica. Por eso se les inventó un nombre especial: porcentaje.
Esto significa que un kopeck es el uno por ciento de un rublo y un centímetro es el uno por ciento de un metro.
El uno por ciento es la centésima parte de un número. En símbolos matemáticos, el uno por ciento se escribe de la siguiente manera: 1%.
La definición del uno por ciento se puede escribir como: 1% = 0,01. A
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3, etc.
¿Cómo encontrar el 1% de un número?
Como el 1% es una centésima parte, debes dividir el número entre 100. La división entre 100 se puede reemplazar multiplicando por 0,01. Por lo tanto, para encontrar el 1% de un número determinado, debes multiplicarlo por 0,01. Y si necesita encontrar el 5% de un número, multiplique este número por 0,05, etc.
Ejemplo. Hallar: 25% de 120.
- 25% = 0,25;
- 120 . 0,25 = 30.
Regla 1. Para encontrar un porcentaje determinado de un número, debes escribir los porcentajes como una fracción decimal y luego multiplicar el número por esta fracción decimal.
Ejemplo. El tornero torneó 40 piezas en una hora. Usando una cortadora hecha de acero más resistente, comenzó a girar 10 piezas más por hora. ¿En qué porcentaje aumentó la productividad laboral del tornero?
Para resolver este problema, necesitamos averiguar qué porcentaje son 10 partes de 40. Para hacer esto, primero encontremos qué parte es el número 10 del número 40. Sabemos que necesitamos dividir 10 entre 40. El resultado es 0,25. Ahora escribámoslo como porcentaje: 25%.
Respuesta: la productividad de los trabajadores del torno aumentó un 25%.
Regla 2. Para encontrar qué porcentaje es un número de otro, debes dividir el primer número por el segundo y escribir la fracción resultante como un porcentaje.
Ejemplo. Con un objetivo previsto de 60 vehículos por día, la planta produjo 66 vehículos. ¿En qué porcentaje cumplió la planta el plan?
66: 60 = 1,1: esta parte se compone de automóviles fabricados del número de automóviles según el plan. Escribámoslo como porcentaje = 110%.
Respuesta: 110%.
Ejemplo. El bronce es una aleación de estaño y cobre. ¿Qué porcentaje de la aleación es cobre en una pieza de bronce formada por 6 kg de estaño y 34 kg de cobre?
- 6+ 34 =40 (kg) - la masa de toda la aleación.
- 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - la aleación es cobre.
Respuesta: 85%.
Ejemplo. La cría de elefante perdió un 20% de peso en la primavera, luego ganó un 30% de peso durante el verano, volvió a perder un 20% de peso en el otoño y ganó un 10% de peso durante el invierno. ¿Su peso se ha mantenido igual este año? Si ha cambiado, ¿en qué porcentaje y en qué dirección?
- 100 - 20 = 80 (%) - después de la primavera.
- 80+80. 0,3 = 104 (%) - después del verano.
- 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - después del otoño.
- 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - después del invierno.
Respuesta: perdió un 8,48% de peso.
Ejemplo. Dejamos para almacenamiento 20 kg de grosellas, cuyas bayas contienen un 99% de agua. El contenido de agua en las bayas disminuyó al 98%. ¿Cuántas grosellas obtendrás como resultado?
- 100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - la proporción de materia seca en las grosellas primero.
- 20 . 0,01 = 0,2 (kg) - materia seca.
- 100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - la proporción de materia seca en las grosellas después del almacenamiento.
- 0,2: 0,02 = 10 (kg) - se convirtieron en grosellas.
Respuesta: 10 kg.
Ejemplo. ¿Qué pasará con el precio de un producto si primero se aumenta un 25% y luego se reduce un 25%?
Sea el precio del producto x rublos, luego, después del aumento, el producto cuesta el 125% del precio anterior, es decir 1,25x, y tras una reducción del 25%, su coste es el 75% o 0,75 del precio incrementado, es decir.
0.75 .1.25x= 0.9375x,
entonces el precio del producto disminuyó un 6,25%, porque
x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%
Respuesta: El precio original del producto disminuyó un 6,25%.
Regla 3. Para encontrar la proporción porcentual de dos números A y B, debes multiplicar la proporción de estos números por 100%, es decir, calcular (A: B). 100%.
Ejemplo. Encuentra un número si el 15% de él es 30.
- 15% = 0,15;
- 30: 0,15 = 200.
x - número dado;
0,15. x = 300;
x = 200.
Respuesta: 200.
Ejemplo. El algodón crudo produce un 24% de fibra. ¿Cuánto algodón crudo se necesita para obtener 480 kg de fibra?
Escribamos 24% como fracción decimal 0,24 y solucionemos el problema de encontrar un número a partir de su parte conocida (fracción).
480: 0,24= 2000 kg = 2 toneladas
Respuesta: 2 toneladas.
Ejemplo. ¿Cuántos kg de champiñones porcini se deben recolectar para obtener 1 kg de champiñones secos, si al procesar champiñones frescos queda el 50% de su masa y al secar queda el 10% de la masa de champiñones procesados?
1 kg de champiñones secos se procesa en un 10% o 0,01 partes, es decir.
1 kg: 0,1=10 kg de setas procesadas, es decir, 50% o 0,5 de setas recolectadas, es decir.
10 kilos: 0,05=20 kilos.
Respuesta: 20 kg.
Ejemplo. Los champiñones frescos contenían un 90% de agua en peso y los champiñones secos un 12%. ¿Cuántos champiñones secos obtendrás con 22 kg de champiñones frescos?
- 22. 0,1 = 2,2 (kg) - champiñones en masa en champiñones frescos; (0,1 es 10% de materia seca);
- 2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - champiñones secos obtenidos de frescos (la cantidad de materia seca no ha cambiado, pero su porcentaje en los champiñones ha cambiado y ahora 2,2 kg es 88% o 0,88 champiñones secos).
Respuesta: 2,5 kg.
Regla 4. Para encontrar un número dados sus porcentajes, debes expresar los porcentajes como una fracción y luego dividir el valor del porcentaje por esta fracción.
En los problemas que involucran cálculos bancarios, generalmente se encuentran intereses simples y compuestos. ¿Cuál es la diferencia entre crecimiento de interés simple y compuesto? Con un crecimiento simple, el porcentaje se calcula cada vez en función del valor inicial, y con un crecimiento complejo, se calcula a partir del valor anterior. Con crecimiento simple, el 100% es la cantidad inicial, y con crecimiento complejo, el 100% es nuevo cada vez e igual al valor anterior.
Ejemplo. El banco paga un ingreso del 4% mensual sobre el monto del depósito. Se depositaron 300 mil rublos en la cuenta y los ingresos se acumulan cada mes. Calcula el importe del depósito después de 3 meses.
- 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - la proporción del aumento del depósito en comparación con el mes anterior.
- 300. 1,04 = 312 (mil rublos): el monto del depósito después de 1 mes.
- 312. 1,04 = 324,48 (mil rublos): el monto del depósito después de 2 meses.
- 324,48. 1,04 = 337,4592 (mil rublos) = 337.459,2 (r) - el importe del depósito después de 3 meses.
O puede reemplazar los puntos 2 a 4 por uno, repitiendo el concepto de título con los niños: 300,1 043 = 337,4592 (mil rublos) = 337 459,2 (r) - el monto de la contribución después de 3 meses.
Respuesta: 337.459,2 rublos
Ejemplo. Vasya leyó en el periódico que en los últimos 3 meses los precios de los alimentos han aumentado una media del 10% cada mes. ¿En qué porcentaje han aumentado los precios en 3 meses?
Ejemplo. El dinero invertido en acciones de una empresa conocida genera un 20% de ingresos anuales. ¿En cuántos años se duplicará el monto invertido?
Veamos un plan de tareas similar usando ejemplos específicos.
Ejemplo. (Opción 1 No. 16. OGE-2016. Matemáticas. Prueba típica. Tareas_ed. Yashchenko_2016 -80s)
La tienda de deportes está realizando una promoción. Cualquier jersey cuesta 400 rublos. Por la compra de dos jerseys, obtienes un 75% de descuento en el segundo jersey. ¿Cuántos rublos tendrás que pagar para comprar dos jerseys durante el período de promoción?
Según las condiciones del problema, resulta que el primer jersey se compra por el 100% de su costo original y el segundo por 100 - 75 = 25 (%), es decir. En total, el comprador deberá pagar 100 + 25 = 125 (%) del costo original. La solución puede entonces considerarse de tres maneras.
1 vía.
Aceptamos 400 rublos como 100%. Entonces el 1% contiene 400: 100 = 4 (frotar), y 125%
4 . 125 = 500 (frotar)
Método 2.
El porcentaje de un número se encuentra multiplicando el número por la fracción correspondiente al porcentaje o multiplicando el número por el porcentaje dado y dividiendo por 100.
400. 1,25 = 500 o 400. 125/100 = 500.
3 vías.
Aplicando la propiedad de proporción:
400 rublos. - 100%
x frotar. - 125%, obtenemos x = 125. 400 / 100 = 500 (frotar)
Respuesta: 500 rublos.
Ejemplo. (Opción 4 No. 16. OGE-2016. Matemáticas. Prueba típica. Tareas_ed. Yashchenko_2016 -80s)
El peso medio de los niños de la misma edad que Gosha es de 57 kg. El peso de Gosha es el 150% del peso medio. ¿Cuántos kilogramos pesa Gosha?
De manera similar al ejemplo discutido anteriormente, puedes crear una proporción:
57 kilos - 100%
x kg - 150%, obtenemos x = 57. 150/100 = 85,5 (kg)
Respuesta: 85,5 kg.
Ejemplo. (Opción 7 No. 16. OGE-2016. Matemáticas. Prueba típica. Tareas_ed. Yashchenko_2016 - 80s)
Después de que el televisor fue rebajado, su nuevo precio era 0,52 del anterior. ¿En qué porcentaje disminuyó el precio como resultado de la rebaja?
1 vía.
Primero encontremos la fracción de la disminución del precio. Si se considera que el precio original es 1, entonces 1 - 0,52 = 0,48 es la parte de la reducción del precio. Entonces obtenemos 0,48. 100% = 48%. Aquellos. El precio disminuyó un 48% como resultado de la rebaja.
Método 2.
Si el precio original se toma como A, luego de la rebaja el nuevo precio del televisor será igual a 0,52A, es decir disminuirá en A - 0,52 A = 0,48 A.
Hagamos una proporción:
Un - 100%
0,48A - x%, obtenemos x = 0,48A. 100/A = 48 (%).
Respuesta: el precio disminuyó un 48% como resultado de la rebaja.
Ejemplo. (Opción 9 No. 16. OGE-2016. Matemáticas. Prueba típica. Tareas_ed. Yashchenko_2016 - 80s)
El artículo en oferta tenía un descuento del 15% y ahora costaba 680 rublos. ¿Cuántos rublos costó el producto antes de la venta?
Antes de la rebaja de precio, el producto valía el 100%. El precio del producto después de la venta disminuyó un 15%, es decir. se convirtió en 100 - 15 = 85 (%), en rublos este valor es igual a 680 rublos.
1 vía.
680: 85 = 8 (frotar) - en 1%
8 . 100 = 800 (frotar): el costo del producto antes de la venta.
Método 2.
Este problema de encontrar un número por su porcentaje se resuelve dividiendo el número por el porcentaje correspondiente y convirtiendo la fracción resultante en porcentaje, multiplicándola por 100, o dividiendo por la fracción obtenida al convertir de porcentajes.
680:85. 100 = 800 (frotar) o 680: 0,85 = 800 (frotar)
3 vías.
Usando proporción:
680 rublos. - 85%
x frotar. - 100%, obtenemos x = 680. 100/85 = 800 (frotar)
Respuesta: El artículo costaba 800 rublos antes de la venta.
Resolución de problemas sobre mezclas y aleaciones, utilizando los conceptos de “porcentaje”, “concentración”, “% solución”.
Las tareas más simples de este tipo se detallan a continuación.
Ejemplo. Cuantos kg de sal hay en 10 kg de agua salada si el porcentaje de sal es del 15%.
10 . 0,15 = 1,5 (kg) de sal.
Respuesta: 1,5 kg.
El porcentaje de una sustancia en una solución (por ejemplo, 15%) a veces se denomina % de solución (por ejemplo, solución salina al 15%).
Ejemplo. La aleación contiene 10 kg de estaño y 15 kg de zinc. ¿Cuál es el porcentaje de estaño y zinc en la aleación?
El porcentaje de una sustancia en una aleación es la porción que constituye el peso de una sustancia determinada del peso de toda la aleación.
- 10 + 15 = 25 (kg) - aleación;
- 10:25. 100% = 40% - porcentaje de estaño en la aleación;
- 15:25. 100% = 60% - porcentaje de zinc en la aleación.
Respuesta: 40%, 60%.
En tareas de este tipo, el concepto principal es el de “concentración”. ¿Qué es?
Consideremos, por ejemplo, una solución de ácido en agua.
Deje que el recipiente contenga 10 litros de solución, que consta de 3 litros de ácido y 7 litros de agua. Entonces el contenido de ácido relativo (relativo al volumen total) en la solución es igual. Este número determina la concentración de ácido en la solución. A veces hablan del porcentaje de ácido en una solución. En el ejemplo dado, el porcentaje sería: . Como puedes ver, la transición de concentración a porcentaje y viceversa es muy sencilla.
Entonces, supongamos que una mezcla de masa M contiene alguna sustancia de masa m.
- la concentración de una sustancia determinada en una mezcla (aleación) se llama cantidad;
- el porcentaje de una sustancia determinada se denomina valor c×100%;
De la última fórmula se deduce que con valores conocidos de la concentración de la sustancia y la masa total de la mezcla (aleación), la masa de esta sustancia está determinada por la fórmula m = c × M.
Los problemas que involucran mezclas (aleaciones) se pueden dividir en dos tipos:
- Por ejemplo, se especifican dos mezclas (aleaciones) con masas m1 y m2 y con concentraciones de alguna sustancia iguales a c1 y c2, respectivamente. Las mezclas (aleaciones) se escurren (funden). Es necesario determinar la masa de esta sustancia en la nueva mezcla (aleación) y su nueva concentración. Está claro que en una nueva mezcla (aleación) la masa de esta sustancia es igual a c1m1 + c2m2, y la concentración.
- Se especifica un cierto volumen de la mezcla (aleación) y a partir de este volumen se comienza a fundir (quitar) una cierta cantidad de la mezcla (aleación), para luego agregar (agregar) la misma o diferente cantidad de la mezcla (aleación). con la misma concentración de una sustancia determinada o con una concentración diferente. Esta operación se realiza varias veces.
Al resolver este tipo de problemas, es necesario establecer control sobre la cantidad de esta sustancia y su concentración en cada marea baja, así como con cada adición de la mezcla. Como resultado de dicho control, obtenemos una ecuación resolutiva. Veamos tareas específicas.
Si la concentración de una sustancia en un compuesto en masa es P%, esto significa que la masa de esta sustancia es P% de la masa de todo el compuesto.
Ejemplo. La concentración de plata en la aleación de 300 g es del 87%. Esto significa que hay 261 g de plata pura en la aleación.
300. 0,87 = 261 (g).
En este ejemplo, la concentración de la sustancia se expresa como porcentaje.
La relación entre el volumen de un componente puro en una solución y el volumen total de la mezcla se denomina concentración volumétrica de este componente.
La suma de las concentraciones de todos los componentes que componen la mezcla es igual a 1.
Si se conoce el porcentaje de una sustancia, entonces su concentración se encuentra mediante la fórmula:
K = P/100%,
donde K es la concentración de la sustancia;
P es el porcentaje de la sustancia (en porcentaje).
Ejemplo. (Opción 8 No. 22. OGE-2016. Matemáticas. Prueba típica. Tareas_ed. Yashchenko_2016 - 80s)
Las frutas frescas contienen un 75% de agua, mientras que las frutas secas contienen un 25%. ¿Cuánta fruta fresca se necesita para preparar 45 kg de frutos secos?
Si las frutas frescas contienen un 75% de agua, entonces la materia seca será 100 - 75 = 25 (%), y las frutas secas contendrán un 25%, entonces la materia seca será 100 - 25 = 75 (%).
Al formular una solución a un problema, puede utilizar la tabla:
Fruta fresca x 25% = 0,25 0,25. X
Frutos secos 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75
Porque la masa de materia seca de frutas frescas y secas no cambia, obtenemos la ecuación:
0,25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - se requiere fruta fresca.
Respuesta: 135 kg.
Ejemplo. (Opción 8 No. 11. Examen estatal unificado-2016. Matemáticas. Prueba típica. Ed. Yashchenko 2016 -56s)
Mezclando soluciones ácidas al 70% y 60% y añadiendo 2 kg de agua pura, obtuvimos una solución ácida al 50%. Si en lugar de 2 kg de agua añadiéramos 2 kg de una solución al 90% del mismo ácido, obtendríamos una solución ácida al 70%. ¿Cuántos kilogramos de solución al 70% se utilizaron para obtener la mezcla?
Peso total, kg | Concentración de materia seca | Peso en seco
Yo x 70% = 0,7 0,7. X
II para 60% = 0,6 0,6. en
agua 2 - -
I + II + agua x + y + 2 50% = 0,5 0,5. (x+y+2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% = 0,7 0,7. (x+y+2)
Usando la última columna de la tabla, creamos 2 ecuaciones:
0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) y 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x+y+2).
Combinándolos en un sistema y resolviéndolo, obtenemos que x = 3 kg.
Respuesta: Para obtener la mezcla se utilizaron 3 kilogramos de una solución al 70%.
Ejemplo. (Opción 2 No. 11. Examen estatal unificado-2016. Matemáticas. Prueba típica. ed. Yashchenko 2016 -56s)
Tres kilogramos de cerezas cuestan lo mismo que cinco kilogramos de cerezas y tres kilogramos de cerezas cuestan lo mismo que dos kilogramos de fresas. ¿En qué porcentaje es más barato un kilogramo de fresas que un kilogramo de cerezas?
De la primera frase del problema obtenemos las siguientes igualdades:
3h = 5v,
3v = 2k.
De lo cual podemos expresar: h = 5v/3, k = 3v/2.
De esta manera puedes crear una proporción:
5v/3 - 100%
3v/2 - x%, obtenemos x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% es el costo de un kilogramo de fresas del costo de un kilogramo de cerezas.
Esto significa que 100 - 90 = 10 (%) - un kilogramo de fresas es más barato que un kilogramo de cerezas.
Respuesta: un kilogramo de fresas es un 10 por ciento más barato que un kilogramo de cerezas.
Resolver problemas que involucran interés “compuesto”, utilizando el concepto de factor de aumento (disminución).
Para aumentar el número positivo A en p por ciento, debes multiplicar el número A por el factor de aumento K = (1 + 0,01p).
Para reducir un número positivo A en p por ciento, debes multiplicar el número A por el factor de reducción K = (1 - 0,01p).
Ejemplo. (Opción 29 No. 22. OGE-2015. Matemáticas. Opciones típicas de examen: 36 opciones / editado por Yashchenko, 2015 - 224s)
El precio del producto se redujo dos veces en el mismo porcentaje. ¿En qué porcentaje disminuyó el precio del producto cada vez si su costo inicial fue de 5000 rublos y el costo final fue de 4050 rublos?
1 vía.
Porque el precio del producto disminuyó en la misma cantidad de %, denotemos la cantidad de % como x. Supongamos que el precio del producto se reduce en un x% por primera y segunda vez, luego, después de la primera reducción, el precio del producto pasa a ser (100 - x)%.
Hagamos una proporción
5000 rublos. - 100%
en rublos - (100 - x)%, obtenemos y = 5000. (100 - x) / 100 = 50. (100 - x) rublos: el costo de los bienes después de la primera reducción.
Creemos una nueva proporción a un nuevo precio:
50 . (100 - x) frotar. - 100%
frotar. - (100 - x)%, obtenemos z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rublos: el costo de los bienes después de la segunda reducción.
Obtenemos la ecuación 0,5. (100 - x)2 = 4050. Resuelto, encontramos que x = 10%.
Método 2.
Porque el precio del producto disminuyó en el mismo número %, denotemos el número % por x, x % = 0,01 x.
Utilizando el concepto de factor de reducción, obtenemos inmediatamente la ecuación:
5000. (1 - 0,01x)2 = 4050.
Respuesta: el precio del producto disminuyó un 10% cada vez.
Ejemplo. (Opción 30 No. 22. OGE-2015. Matemáticas. Opciones típicas de examen: 36 opciones / editado por Yashchenko, 2015 - 224s)
El precio de la mercancía se incrementó dos veces en el mismo porcentaje. ¿En qué porcentaje aumentó el precio del producto cada vez si su costo inicial fue de 3000 rublos y el costo final fue de 3630 rublos?
Porque el precio del producto aumentó en el mismo número%, denotemos el número% por x, x% = 0,01 x.
Utilizando el concepto de factor de magnificación, obtenemos inmediatamente la ecuación:
3000. (1 + 0,01x)2 = 3630.
Resuelto, encontramos que x = 10%.
Respuesta: el precio del producto aumentó un 10% cada vez.
Ejemplo. (Opción 4 No. 11. Examen estatal unificado-2016. Matemáticas. Prueba típica. Ed. Yashchenko 2016 -56s)
El jueves las acciones de la empresa subieron de precio un cierto porcentaje y el viernes bajaron el mismo porcentaje. Como resultado, empezaron a costar un 9% más baratos que en la apertura de la jornada del jueves. ¿En qué porcentaje subieron de precio las acciones de la empresa el jueves?
Supongamos que las acciones de la empresa suben de precio y bajan de precio en x%, x% = 0,01 x, y el precio inicial de las acciones fue A. Usando todas las condiciones del problema, obtenemos la ecuación:
(1 + 0,01 x)(1 - 0,01 x)A = (1 - 0,09)A,
1 - (0,01x)2 = 0,91,
(0,01x)2 = (0,3)2,
0,01 x = 0,3,
x = 30%.
Respuesta: Las acciones de la empresa subieron el jueves un 30 por ciento.
Resolver problemas “bancarios” en la nueva versión del Examen Estatal Unificado 2016 en matemáticas.
Ejemplo. (Opción 2 No. 17. Examen estatal unificado-2016. Matemáticas. 50 tipos. ed. Yashchenko 2016)
El 15 de enero está previsto contratar un préstamo bancario a 15 meses. Las condiciones para su devolución son las siguientes:
Se sabe que el octavo pago ascendió a 108 mil rublos. ¿Qué cantidad se debe devolver al banco durante todo el plazo del préstamo?
Del 2 al 14 el pago se realiza A/15 +0,01A.
Después de lo cual el monto de la deuda será 1,01A - A/15 - 0,01A = 14A/15.
Después de 2 meses obtenemos: 1,01. 14A/15.
Segundo pago A/15 + 0,01. 14A/15.
Entonces la deuda después del segundo pago es 13A/15.
De manera similar, encontramos que el octavo pago se verá así:
A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.
Y según la condición, equivale a 108 mil rublos. Esto significa que podemos crear y resolver la ecuación:
1,08A/15 = 108,
A=1500 (mil rublos) - el monto inicial de la deuda.
2) Para encontrar la cantidad que se debe devolver al banco durante todo el período del préstamo, debemos encontrar la suma de todos los pagos del préstamo.
El monto de todos los pagos del préstamo será el siguiente:
(A/15 + 0.01A) + (A/15 + 0.01. 14A/15) + (A/15 + 0.01. 13A/15) + … + (A/15 + 0.01. A /15) = A + 0.01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0,01.120A)/15 = 1,08A.
Entonces, 1,08. 1500 = 1620 (mil rublos) = 1.620.000 rublos deben devolverse al banco durante todo el plazo del préstamo.
Respuesta: 1.620.000 rublos.
Ejemplo. (Opción 6 No. 17. Examen Estatal Unificado-2016. Matemáticas. 50 tipos. versión ed. Yashchenko 2016)
El 15 de enero está previsto contratar un préstamo bancario a 24 meses. Las condiciones para su devolución son las siguientes:
- El día 1 de cada mes, la deuda aumenta un 1% respecto al final del mes anterior;
- del 2 al 14 de cada mes es necesario saldar parte de la deuda;
- El día 15 de cada mes la deuda debe ser igual cantidad menor que la deuda del día 15 del mes anterior.
Se sabe que en los primeros 12 meses es necesario pagar al banco 177,75 mil rublos. ¿Cuánto piensas pedir prestado?
1) Sea A el monto del préstamo, 1% = 0,01.
Luego una deuda de 1,01A después del primer mes.
Del 2 al 14 el pago se realiza A/24 +0.01A.
Después de lo cual el monto de la deuda será 1,01A - A/24 - 0,01A = A - A/24 = 23A/24.
Con este esquema, la deuda pasa a ser el mismo monto menor que la deuda del día 15 del mes anterior.
Después de 2 meses obtenemos: 1,01. 23A/24.
Segundo pago A/24 + 0,01. 23A/24.
Entonces la deuda después del segundo pago es 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A/24 = 23A/24(1,01 - 0,01) - A/24 = 23A/24 - A/24 = 22A/24.
Así, obtenemos que durante los primeros 12 meses es necesario pagar al banco la siguiente cantidad:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + … + A/24 + 0,01. 13A/24 =12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .
Y según la condición, equivale a 177,375 mil rublos. Esto significa que podemos crear y resolver la ecuación:
711A/1200 = 177,75,
A = 300 (mil rublos) = 300.000 rublos; está previsto tomarlo a crédito.
Respuesta: 300.000 rublos.
"Interés simple y compuesto»
Relevancia del tema.
En la actualidad, toda persona necesita comprender el interés y tener la capacidad de calcularlo: la importancia aplicada de este tema es muy grande y afecta a los aspectos financieros, demográficos, medioambientales, sociológicos y otros de nuestra vida.
El material es relevante para todos los que están en el grado 11 este año.
Cuando Yashchenko, que participa directamente en la compilación de CIM en matemáticas, vino a nuestro seminario en octubre, dijo que todos los prototipos de la tarea 19 se colocarían en un frasco abierto, ya que la tarea era nueva.
La tarea se está resolviendo para mi clase no muy fuerte y sería posible entrenar para ello.
Un poco de teoría...
"Interés".
Ejercicio 1
a) ¿Cómo se llama interés? (Un porcentaje es la centésima parte de un número.)
b) ¿Qué es el 1% indicado? ( 1%? = 0,01 )
c) ¿Cómo se llama el 1% de un quintal? ( kg. ) ¿Medidor? (ver) ¿Hectárea? (ar o centésima)
d) ¿Cómo se llama el 1% por ciento de un número dado a? (El porcentaje de un número dado a es el número 0,01 a, es decir 1% (a) = 0,01*a)
e) ¿Cómo determinar el p% de un número dado a? (encuentre el número 0.01 p a, es decirð% = 0,01*ð*а)
f) ¿Cómo convertir una fracción decimal a porcentaje? ( multiplicar por 100 ). ¿Qué tal porcentajes a decimales? (dividir por cien, es decir multiplicar por 0,01)
g) ¿Cómo encontrar un porcentaje de un número? (Para encontrar una parte desde el número x como porcentaje, debes dividir esta parte por el número y multiplicarla por 100, es decir a(%)=(w/x)*100)
e) ¿Cómo se encuentra un número por su porcentaje?(Si se sabe que un% de x es igual a b, entonces x se puede encontrar usando la fórmula x = (v/a)*100)
Tarea 2
Presente estas fracciones decimales como porcentajes:
A)1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.
b) Expresar los porcentajes en fracciones decimales: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.
Tarea 3
Encuentra el % del número:
c) 0,1% del número 1200?(1,2)
d) 15% del número 2? (0,30)
Tarea 4
Encuentra un número por su porcentaje:
e) ¿Cuántos céntimos pesa un saco de azúcar granulada si al 13% son 6,5 kg?(50 kg.= 0,5 c.)
c) ¿Qué porcentaje de 10 es 9?
Respuestas: a) 9%, b) 0,09%, c) 90%; d) 900%?
Interés simple y compuesto.
Estos términos se encuentran con mayor frecuencia en la banca y en tareas financieras.
Los bancos atraen fondos (depósitos) a determinadas tasas de interés. Dependiendo de la tasa de interés, se calculan los ingresos.
En la práctica, se utilizan dos enfoques para evaluar los ingresos por intereses: interés simple y compuesto.
Al aplicar el interés simple, los ingresos se calculan a partir del monto inicial de los fondos invertidos, independientemente del período de inversión. En las transacciones financieras, el interés simple se utiliza principalmente para transacciones financieras a corto plazo.
Dejemos que alguna cantidad esté sujeta a cambios graduales. Además, cada vez su cambio es un cierto número de porcentaje del valor que tenía este valor.en la etapa inicial. Así se calculaninterés simple.
Al aplicar interés compuesto, el monto acumulado de interés se agrega al depósito al final del siguiente período de acumulación. Además, cada vez su cambio es un cierto número de porcentaje del valor que tenía este valor.en la etapa anterior. En este caso estamos ante “interés compuesto”(es decir, se utilizan cálculos de “interés sobre interés”)
El monto inicial y los intereses recibidos se denominan colectivamente monto acumulado (acumulado).
Entonces, si la tasa bancaria es del 10% y la cantidad inicial es de 100 rublos, entonces la cantidad acumulada durante cinco años, utilizando interés simple y compuesto, se verá así:
Tabla 1. Monto acumulado utilizando interés simple y compuesto.
Al Principio | 1er año | Segundo año | 3er año | 4to año | 5to año |
|
Interés simple | ||||||
Interés compuesto |
Fórmulas de interés simple y compuesto.
I. Deje que un cierto valor A aumente n veces (n años) y cada vez en un p%.
Introducimos la notación: A 0 – valor inicial de la cantidad A;
R – importe constante de interés;
a tasa de interés; a=ð/100 = 0,01*ð
Un – monto acumulado n veces (al final del enésimo año) - según la fórmula de interés simple;
sn - importe acumulado n veces (al final del enésimo año) - según la fórmula del interés compuesto.
Entonces su valor A 1 para el interés simple después del primer aumento (al final del primer año) se calcula mediante la fórmula: A 1 = A 0 + A 0 * (0,01p) = A 0 (1 + (0,01p) = A 0 (1 + p)
Al final de la segunda etapa A 2 = A 1 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).
Al final de la tercera etapa A 3 = A 2 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).
Entonces, para el interés simple, la cantidad a lo largo de los años es igual a:
A n = A 0 (1 + 0,01р*n) o A n = A 0 (1 + ?* n) (1)
Para el interés compuesto se ve diferente:
Sea una cantidad S 0 aumenta n veces (n año) y cada vez en p%.
Entonces su significado S 1 para el interés compuesto después del primer aumento (al final del primer año) se calcula mediante la fórmula:
S1 = S0 + S0 (0,01r) = S0 * (1 + 0,01r) = S0 * (1 + ?).
Al final de la segunda etapa S 2 = S 1 + S 1 (0,01р) = S 1 * (1 + 0,01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.
Al final de la tercera etapa S 3 = S 2 + S 2 (0.01r) = S 2 * (1 +0.01r) = S 0 (1 +0.01r) 2 *(1 +0.01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + un) 3.
Entonces, para el interés compuesto, la cantidad a lo largo de los años es igual a:
S n = S 0 (1 + 0,01р) n o S n = S 0 (1 + a ) n (2)
Ejemplo 1.
El banco ha abierto un depósito a plazo por valor de 50 mil rublos. 12% durante 3 años. Calcule el monto acumulado si el interés:
un simple; b) complejo.
Solución 1.
Usando la fórmula de interés simple
Sn=(1+3*0,12)*50.000 = 68.000 frotar. (res. 68.000 rublos.)
Usando la fórmula de interés simple
Sn=(1+0,12) 3 *50.000 = 70.246 rublos. (res. 70246 frotar.)
La fórmula del interés compuesto relaciona cuatro cantidades: el depósito inicial, el monto acumulado (el valor futuro del depósito), la tasa de interés anual y el tiempo en años. Por tanto, conociendo tres cantidades, siempre podrás encontrar la cuarta:
S norte = S 0 * (1+0,01р) norte
Para determinar el número de porcentaje p es necesario:
ð = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)
La operación de encontrar el depósito inicial. S 0 , si se sabe que en n años debería ser la suma sn , se llama descuento:
S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)
¿Cuántos años es el aporte S? 0 debe permanecer en el banco al p% anual para alcanzar el valor S norte.
n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01ð) (2,3)
En la práctica bancaria, los intereses pueden devengarse más de una vez al año. En este caso, la tasa bancaria suele fijarse en términos anuales. La fórmula del interés compuesto se verá así:
S norte = (1 + ?/t) norte t S 0 (3)
donde t es el número de reinversiones de intereses por año.
Ejemplo 2.
El banco ha abierto un depósito a plazo por valor de 50 mil rublos. 12% durante 3 años. Calcule el monto acumulado si los intereses se calculan trimestralmente.
Solución 2.
norte=3
t = 4 (por año – 4 trimestres)
Usando la fórmula del interés compuesto
S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50000 = 1,03 12 *50000 = 71288 frotar. Reps. 71.288 rublos
Como se desprende de los ejemplos 1 y 2, el monto acumulado aumentará más rápido cuanto más a menudo se acumulen intereses.
Presentemos una generalización de la fórmula (2), cuando el aumento en el valor de S en cada etapa es diferente. Sea S oh , el valor inicial de S, al final de la primera etapa experimenta un cambio de p 1 %, al final del segundo en p 2 %, y al final de la tercera etapa en p 3 % etc. Al final de la enésima etapa, el valor de S está determinado por la fórmula
S norte = S 0 (1 + 0,01ð 1 )(1 + 0,01ð 2 )...(1 + 0,01ð n ) (4)
Ejemplo 3.
La base comercial compró un lote de productos al fabricante y lo entregó a la tienda a un precio mayorista, que es un 30% más que el precio del fabricante. La tienda fijó el precio minorista del producto un 20% más alto que el precio mayorista. Durante la venta, la tienda redujo este precio en un 10%. ¿Cuántos rublos más pagó el comprador en comparación con el precio del fabricante si compró un artículo en una oferta por 140 rublos? 40 kopeks
Solución 3.
Sea el precio inicial S rub., entonces según la fórmula (4) tenemos:
S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4
S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4
S 0 = 140,4: 1,404 = 100 (frotar)
Encuentra la diferencia entre el último precio y el inicial.
140,4 – 100 = 40,4 Respuesta. 40,4 frotar.
Ejemplos de problemas con soluciones.
Opción 1
Tarea 1. El dueño de la gasolinera aumentó el precio de la gasolina en un 10%. Al darse cuenta de que el número de clientes había disminuido drásticamente, bajó el precio en un 10%. ¿Cómo cambió el precio inicial de la gasolina después de esto? (¿aumentó o disminuyó y en cuánto %?)
Solución: Sea S 0 - Precio inicial, S 2 – precio final, x – número requerido de cambio porcentual, donde x = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)
Entonces según la fórmula S n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )***(1 + 0.01р n ) (4), obtenemos
S 2 = S 0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S 0 *1,1*0,9 = 0,99*S 0.
S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, valor S 2 es el 99% del costo original, lo que significa 100% menor: 99% = 1%.
O usando la fórmula (*) obtenemos: x = (1 – 0,99)*100% = 1%.
Respuesta: disminuyó en un 1%.
Tarea 2. Durante el año, la empresa duplicó su producción en el mismo porcentaje. Encuentre este número si se sabe que a principios de año la empresa producía 600 productos mensuales y al final del año comenzó a producir 726 productos mensuales.
Solución: Sea S 0 - Precio inicial, S 2 – precio final, p – importe constante de interés.
Según la fórmula (2.1) obtenemos: p = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.
Respuesta: 10%
Tarea 3. El precio de los equipos informáticos se incrementó un 44%. Después de esto, como resultado de dos reducciones porcentuales idénticas sucesivas, el precio de las computadoras fue un 19% menor que el precio original. ¿En qué porcentaje redujeron el precio cada vez?
Solución: Usando la fórmula (4), componemos la ecuación
S 3 = S 0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01r)(1 - 0,01r) = S0 *1,44*(1 - 0,01r) 2 = S0 * (1-0,01*19). Resolviendo la ecuación, obtenemos 2 raíces: 175 y 25, donde 175 no se adapta a las condiciones del problema. Por tanto p = 25%.
Respuesta: 25%
Tarea 4. Para determinar el régimen óptimo de aumento de precios, la empresa decidió, a partir del 1 de enero, aumentar el precio del mismo producto en dos tiendas de dos formas. En una tienda, a principios de cada mes (a partir de febrero) en un 2%, en otra, cada dos meses, a principios del tercero (a partir de marzo) en el mismo porcentaje, y de modo que después de seis meses (1 de julio) los precios volvieron a ser los mismos. ¿En cuánto por ciento se debe aumentar el precio del producto cada dos meses en la segunda tienda?
Solución: Sea S 0 - Precio inicial,p – porcentaje constante.
Luego, después de 6 meses (después de seis aumentos del 2%) en la primera tienda, el precio del producto será igual a S 0 (1 + 0,01*2) 6 , y en la segunda tienda (después de tres aumentos de p%), el precio del producto será igual a S 0 (1 + 0,01r) 3 . Obtenemos la ecuación S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01r) 3 . resolviendolo obtenemos
(1 + 0,01*2) 2 = (1 + 0,01r); 1,02 2 = (1 + 0,01r); p = 4,04
Respuesta: 4,04%
Opcion 2.
Tarea 1. Un automóvil circulaba por una carretera a cierta velocidad. Al entrar en un camino rural, redujo su velocidad en un 20% y luego, en una sección cuesta arriba, redujo su velocidad en un 30%. ¿Qué porcentaje es esta nueva velocidad menor que la original?
Solución: Sea V 0 - velocidad inicial,V es la nueva velocidad que se obtiene después de dos cambios diferentes, p es el porcentaje requerido.
Luego, usando la fórmula (4), componemos la ecuación V 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0,01r). resolviendo obtenemos V 0 *0,8*0,7 = V 0 (1 - 0,01r); pag = 44
Respuesta: 44%
Tarea 2. Supongamos que a temperatura ambiente el agua se evapora un 3% por día. ¿Cuántos litros de agua quedarán después de 2 días de 100 litros? ¿Cuánta agua se evaporará?
Solución: n=2; p=3%; S 0 = 100l. Entonces, según la fórmula (2), obtenemos
S 2 = S 0 (1 - 0,01p) 2 = 100*(1-0,01*3) 2 = 100*0,97 2 = 94,09; S 0 – S 2 = 100 - 94,09 = 5,91
Respuesta: 94,09l.; 5,91l.
Tarea 3. El depósito realizado en el banco hace 2 años ascendió a 11.449 rublos. ¿Cuál fue la contribución inicial al 7% anual? ¿Cuál es la ganancia?
Solución: n=2; p=7%; S2 = 11449; S0=?
En la fórmula (2.2) S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n sustituimos estos valores, obtenemos:
S 0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07) 2 =11449/ 1,1449 = 10000.
11449 – 10000 = 1449
Respuesta: 10.000 rublos; 1449 frotar.
Tarea 4. Sberkassa acumula anualmente el 3% del importe del depósito. ¿En cuántos años se duplicará la cantidad?
Solución: p=3%; S 0 - Cantidad inicial; norte=?
Hagamos una ecuación: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01ð) norte ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) norte ; 2 = 1,03 n n=log 1,03 2; n?23.
Trabajo independiente
1er nivel. Después de la reconstrucción, la planta aumentó la producción en un 10% y después de reemplazar el equipo en otro 30%. ¿En qué porcentaje aumentó la producción inicial?
(Respuesta: 43%)
2do nivel. El número 50 se aumentó tres veces en la misma cantidad de por ciento y luego se disminuyó en la misma cantidad de por ciento. El resultado fue 69,12. ¿En qué porcentaje aumentó y luego disminuyó este número?
(Respuesta: 20%)
3er nivel. El banco cobra anualmente el 7% del monto del depósito. Encuentre el menor número de años durante los cuales la inversión crece más del 20%.
(Respuesta: 3 años)
N° 1. La Caja de Ahorros acumula anualmente un 5,5% anual sobre los depósitos. El depositante depositó en el banco 150 mil rublos. ¿Cuál será el monto del depósito después de 2 años?
(Respuesta: 166.953,75 rublos)
Numero 3. El banco ofrece dos opciones de depósito.
1) al 120% con intereses devengados al final del año;
2) al 100% con intereses devengados al final de cada trimestre.
Determine una opción más rentable para realizar depósitos por un año.
Solución.
Se considera que la opción más rentable es aquella en la que el importe incrementado a lo largo del año será mayor. Para evaluar las opciones, tomaremos la cantidad inicial igual a 100 rublos.
Según la primera opción, la cantidad acumulada será igual a (1+1,2)*100 rublos. = 220 frotar.
En la segunda opción, los intereses se devengan trimestralmente. Al final del primer trimestre, la cantidad acumulada es (1+1,0/4)*100 rublos. = 125 frotar.
Al final del 2º cuarto (1+1,0/4) 2 *100 frotar. = 156 frotar.
El monto acumulado del año es (1+1.0/4) 4 *100 frotar. = 244 frotar.
Como se desprende de los cálculos, la segunda opción es mucho más rentable (244 > 220). Es cierto, sólo si se utiliza el interés compuesto.
Una selección de prototipos para la tarea No. 19 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas 2015 a nivel de perfil.
19. El 31 de diciembre de 2012, Ekaterina obtuvo un crédito del banco por 850.000 rublos al 15% anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 15%), luego Ekaterina transfiere una cierta cantidad del pago anual. al Banco. ¿Cuál debería ser el monto del pago anual para que Catherine salde la deuda en tres pagos anuales iguales?
19. Un banco concede un préstamo a una familia joven al 20% anual para la compra de un apartamento.
El esquema de pago del préstamo es el siguiente: exactamente un año después de que el banco emite el préstamo
cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 20%),
entonces esta familia transfiere una cierta cantidad al banco durante el próximo año
Monto de pago anual (fijo). La familia Ivanov planea pagar
Préstamo con pagos iguales a 4 años. ¿Cuánto dinero puede darles?
banco, si los Ivanov pueden pagar el préstamo 810.000 al año
rublos?
19. Un matraz de 8 litros contiene una mezcla de nitrógeno y oxígeno que contiene 32% de oxígeno. Se liberó una cierta cantidad de la mezcla del matraz y se añadió la misma cantidad de nitrógeno; luego volvieron a liberar la misma cantidad de mezcla nueva que la primera vez y agregaron la misma cantidad de nitrógeno. Como resultado, el porcentaje de oxígeno en la mezcla fue del 12,5%. ¿Cuántos litros de mezcla se liberaron cada vez?
19. Se hizo un depósito en el banco con un interés bancario del 10%. Un año después, el propietario del depósito retiró 2.000 rublos de la cuenta y un año después volvió a depositar 2.000 rublos. Sin embargo, como resultado de estas acciones, tres años después de la inversión inicial del depósito, recibió una cantidad menor a la planificada (si no hubo transacciones intermedias con el depósito). ¿Cuántos rublos menos de la cantidad prevista recibió finalmente el inversor?
19. El primer día laborable del mes, varios tractores salieron de la línea de montaje de la fábrica. Cada día laborable posterior, su producción aumentó en 3 tractores por día, y el plan mensual de 55 tractores se completó antes de lo previsto y en un número entero de días. Posteriormente se produjeron 11 tractores por día. Determine cuántos tractores se produjeron el primer día hábil y en qué porcentaje se superó el plan mensual, si se sabe que el mes tuvo 26 días hábiles y el trabajo planificado duró no menos de 3 ni más de 10. días.
19. El 8 de marzo, Lenya Golubkov sacó del banco 53.680 rublos a crédito durante 4 años al 20% anual para comprarle a su esposa Rita un nuevo abrigo de piel. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: en la mañana del 8 de marzo del año siguiente, el banco cobra intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 20%), y en la tarde del mismo El día Lenya transfiere una cierta cantidad del pago anual al banco (esta cantidad es la misma para los cuatro años). ¿Qué cantidad adicional a los 53.680 rublos retirados tendrá que pagar Lenya Golubkov al banco durante estos cuatro años?
19. Semyon Kuznetsov planeaba invertir todos sus ahorros en una cuenta de ahorros en el banco Navroda al 500%, con la esperanza de retirar rublos A en un año. Sin embargo, el colapso del Navrode Bank cambió sus planes, impidiéndole cometer un acto imprudente. Como resultado, el señor Kuznetsov puso parte del dinero en el Primer Banco Municipal y el resto en un tarro de pasta. Un año después, el Primer Municipio aumentó el porcentaje de pago dos veces y media y el Sr. Kuznetsov decidió dejar el depósito por un año más. Como resultado, el monto recibido en First Municipal fueY rublos. Determine qué intereses devengó el Primer Banco Municipal durante el primer año si Semyon "invirtió" en una lata de pasta. Y rublos.
19. El banco planea invertir el 30% de los fondos de sus clientes en acciones de una planta minera de oro durante 1 año y el 70% restante en la construcción de un complejo comercial. Dependiendo de las circunstancias, el primer proyecto puede aportar al banco un beneficio del 32% al 37% anual, y el segundo proyecto, del 22% al 27% anual. Al final del año, el banco está obligado a devolver el dinero a los clientes y pagarles intereses a un tipo predeterminado, cuyo nivel debe oscilar entre el 10% y el 20% anual. Determine cuál es la ganancia neta menor y mayor como porcentaje anual de las inversiones totales en la compra de acciones y la construcción de un complejo comercial que el banco puede recibir.
“Un buen docente debe comprender que ninguna tarea puede agotarse hasta el final. Debe inculcar esta visión a sus alumnos”.
D. Polia.
Introducción.
Presto especial atención a los problemas planteados que involucran porcentajes, que a menudo se encuentran en la práctica de los exámenes de ingreso a las universidades económicas, pero que no se consideran completamente en la escuela. La capacidad de realizar cálculos porcentuales es sin duda una de las competencias matemáticas más necesarias. Sin embargo, no sólo aquellos que se graduaron de la escuela hace mucho tiempo se muestran tímidos ante el interés. Incluso en el Examen Estatal Unificado, la solucion de los problemas que involucran porcentajes no supera el 20%. Esto sugiere que este tipo de problemas deberían resolverse no sólo en los grados inferiores, donde se estudia este tema, sino a lo largo de todos los años de escolaridad.
1. Al resolver problemas que involucran porcentajes, se utilizan las siguientes fórmulas básicas:
1% de a es igual a a.
p% del número a es igual a a.
Si se sabe que un cierto número a es p% de x, entonces x se puede encontrar a partir de la proporción
A− ð%
X − 100%,
de donde x=a.
Sean los números a, b y a. El número b es 100% mayor que el número a. El número a es 100% menor que el número b. Si el depósito contiene una cantidad de unidades monetarias, el banco cobra p% anual, luego de n años el monto del depósito será a unidades monetarias Tarea 1. Hay un 45% menos de personas inteligentes que hermosas; el 36% de las personas inteligentes tienen una apariencia hermosa. ¿Cuál es el porcentaje de gente inteligente entre la gente guapa? Solución: Sea x el número de personas guapas, luego el número de personas inteligentes: x − 0,45x = 0,55x. Entre las personas inteligentes, el 36% son personas guapas, por lo tanto, el número de personas inteligentes y al mismo tiempo guapas: 0,36·0,55x= 0,198x. Hagamos una proporción: De aquí obtenemos: Respuesta: 19,8% Los estudiantes están interesados en resolver problemas escritos que involucran porcentajes que se acercan más a la vida real. Una "diversión" especial es la presentación de problemas no de un libro de problemas, sino directamente de la página de un periódico. Aquí no hay pensamientos sobre la inutilidad de las matemáticas. Y el “periodismo de interés” está literalmente floreciendo en las páginas de los periódicos en relación con el estallido de la crisis económica. Tarea 2. Los precios de los viajes ya han aumentado: por ejemplo, los viajes a Francia, un 20%. ¿Es posible decir cuánto por ciento antes fue más barato un viaje a Francia? Solución: Sea x el precio anterior y n el precio nuevo. 1)
Hagamos la primera proporción: Obtenemos n=1,2x. 2)
Hagamos la segunda proporción: x − (100-a%) (100-a) 1,2x = 100x Resuelta la ecuación obtenemos: a ≈17%. Respuesta: 17%. Tarea 3. En la cuenta bancaria se depositaron 10 mil rublos. Después de un año de haber estado tirado el dinero, se retiraron 1.000 rublos de la cuenta. Un año después, la cuenta tenía 11 mil rublos. Determine qué porcentaje anual cobra el banco. Solución: Dejemos que el banco cobre p% anual. 1)
La cantidad de 10.000 rublos depositados en una cuenta bancaria al p% anual aumentará en un año hasta la cantidad 2)
Cuando se retiren 1000 rublos de la cuenta, permanecerán allí 9000+100 frotar frotar. 3)
En un año más, este último valor, debido al devengo de intereses, aumentará al valor Por condición, este valor es igual a 11000: Resolviendo esta ecuación obtenemos: =10, =−200 - una raíz negativa no es adecuada. Respuesta: 10% Tarea 4. (Examen estatal unificado 2015) El banco aceptó una determinada cantidad a un determinado porcentaje. Un año después, se retiró de la cuenta una cuarta parte del monto acumulado. Pero el banco aumentó la tasa de interés anual. en un 40%. A finales del próximo año, la cantidad acumulada 1,44 veces superó la inversión inicial. ¿Cuál es el nuevo porcentaje APR? Solución: La situación no cambiará dependiendo del monto del depósito. Pongámoslo en el banco. 4
rublo (dividido en 4
). En un año, el monto en la cuenta aumentará exactamente p veces y se volverá igual (4p) rublos dividámoslo por 4
piezas, te las llevamos a casa (pag) rublos, lo dejaremos en el banco. (3p) rublos Se sabe que a finales del próximo año el banco contenía 4 1,44 = 5,76 rublos entonces el numero (3p) se convirtió en un número (5,76)
. ¿Cuántas veces aumentó? Así, se ha encontrado el segundo coeficiente creciente. k frasco. Curiosamente, el producto de ambos coeficientes es igual a 1,92
: De la condición se deduce que el segundo coeficiente en 0,4
más que el primero. Una vez eliminadas las comas, reemplácelas. t = 10r: De esta ecuación es bastante fácil obtener 12. Entonces p = 1,2, k = 1,6. El monto del depósito aumentó 1,2 veces la primera vez y 1,6 veces la segunda. Era el 100%, pasó a ser el 160%. El nuevo porcentaje anual es 160%-100% = 60%. Respuesta: 60%. Tarea 5. (USE-2015) Monto depositado en el banco 3900
mil rublos menos 50%
anualmente. Al final de cada uno de los primeros cuatro años de almacenamiento, después de calcular el interés, el depositante hacía un depósito adicional del mismo monto fijo en la cuenta. Al final del quinto año, después de calcular los intereses, resultó que El tamaño del depósito aumentó respecto al inicial en 725%
. ¿Qué cantidad añadió el inversionista al depósito anualmente? Solución: Sea x rublos que el inversor agregue anualmente al depósito. 50%
por año significa que cada año el monto en la cuenta del depositante aumenta 1,5 veces. Si el inversionista no agregó nada al monto inicial, después de un año habría 3900·1.5, en dos años - 3900·1.52 etcétera. Calculemos cuántos ingresos generaron los cuatro suplementos. x∙1.5 4 + x∙1.5 3 + x∙1.5 2 + x∙1.5 Para ello saquemos X fuera del paréntesis y calcular la suma de la progresión geométrica en la que segundo = 1,5 Y q = 1,5. Se sabe que el tamaño del depósito aumentó respecto al inicial en 725%
.2. Fórmula de interés compuesto.
3. Problemas de porcentajes.
4. Usando la fórmula del interés compuesto.
