Longitud línea costera

¿Es mensurable?
¿Tenemos derecho a dar la longitud en los libros de texto?
costa y no nos avergonzaremos,
preguntando esta cifra a los estudiantes?

KANSAS. LAZAREVICH

En las lecciones de geografía trabajamos con muchos indicadores estadísticos. La mayoría de ellos parecen muy simples y claros: mucho un millón de personas, tantos millones de toneladas de carbón, tantos kilómetros. Pero eso es si no lo piensas. Pero sólo hay que profundizar en cualquier número y deja de estar claro. A veces se convierte en polvo. Aquí hay ejemplos.
Abrimos el Atlas del mundo recientemente publicado, que acaba de salir a la venta (M.: Asociación de Producción de Cartografía de Empresas Unitarias del Estado Federal, 2003). En el cuadro “Estados y territorios del mundo” encontramos: “La capital de Francia es París (2.125,2 mil habitantes). Si un estudiante da esa cifra en un examen, ¿quedará satisfecho el examinador? Después de todo, París es uno de centros más grandes Europa y nada menos que San Petersburgo. Pero no hay ningún error en la cifra dada: esto es París en límites administrativos ciudad de París. Y dentro de los límites de un grupo urbano realmente establecido, es una ciudad de diez millones de dólares. Mucho depende de cómo cuentes. Esto no significa que podamos aceptar cualquier número en el rango de 2,2 a 10 del estudiante como respuesta; Al citar tal o cual número, el alumno debe comprender qué hay detrás, qué se mide y cómo.
Un millón de toneladas de carbón rico en calorías y lignito son millones diferentes.
Pero parecieron kilómetros. Un kilómetro también es un kilómetro en África. ¿Y lo que se mide en kilómetros se puede cuestionar? Pero resulta que incluso cuando se dan longitudes en kilómetros, el autor del libro de texto primero debe pensar. Un profesor, utilizando un libro de texto, también debe someter una figura a un análisis crítico antes de transmitirla a los estudiantes y exigirles que la memoricen. Leemos un libro de texto para el décimo grado: “Canadá tiene acceso a tres océanos y largo total su costa (unos 250 mil kilómetros) no tiene igual en el mundo”. ¿Cómo se midió la línea de costa, qué se midió, cómo se midió, con qué se midió? ¿Cómo se puede siquiera medir una costa?

Las curvas irregulares en un mapa se pueden medir usando un curvímetro: la rueda de este dispositivo se hace girar a lo largo de la curva, registrando cuidadosamente cada curva. Sin embargo, la tortuosidad de la costa es a menudo tan grande que resulta imposible seguirla con un curvímetro. Hay que caminar por la curva con un compás de medición. La longitud de paso más cómoda es de 2 mm. En diferentes escalas, este paso corresponde, por supuesto, a diferentes distancias. Tal medida nunca dará una longitud exacta, ya que cada paso endereza la curva en un pequeño segmento; error relativo más o menos conservado.
A modo de ejemplo, intentemos medir la longitud de la costa del Okrug autónomo de Chukotka. Tomemos un mapa del Atlas escolar sobre geografía de Rusia (escala 1: 22.000.000) y recorramos toda la costa de Chukchi con un compás de dos milímetros (44 km). El resultado será 4300 km (98 pasos de la brújula). Hagamos la misma medición usando el mapa a escala.
1: 7.500.000 Aquí ya contaremos 345 pasos de dos milímetros (15 km), es decir.
5.200 kilómetros. Es lógico suponer que si el mapa se utiliza en mediciones a mayor escala, la costa medida será aún más larga.
Hagamos un experimento más. La longitud de la costa de la región de Leningrado. en el mapa
1: 22.000.000 - 300 km, según el mapa 1: 2.500.000 - 555 km, y según mapa topográfico
1: 500.000 - 670 kilómetros. Al mismo tiempo, la longitud de la costa solo de la bahía de Vyborg (donde las costas están especialmente marcadas por bahías y calas), medida en un mapa topográfico, es de 338 km, mientras que según atlas escolar- 65 km (la diferencia es más de
¡5 veces!).
Por lo tanto, hay un aumento natural en la longitud de la línea costera medida a medida que aumenta la escala. La razón no es sólo que el paso de dos milímetros de la brújula corresponde a un valor cada vez menor en el terreno, sino principalmente porque la propia línea, incluso si se mide con mucha precisión y se convierte según la escala en kilómetros, en realidad se convierte en más largo (Fig. 1) . En el mapa de Rusia, cerca de la costa de la región de Leningrado. Sólo son visibles la bahía de Vyborg, la bahía de Neva y los pequeños recodos de la costa sur del golfo de Finlandia. En un mapa de escala 1: 2.500.000, los contornos de la bahía de Vyborg ya son bastante complejos, y en el sur las bahías de Koporskaya y Luga son claramente visibles. En el mapa de hace medio millón de años, hay muchas otras bahías pequeñas dentro de la bahía de Vyborg, algunas de las cuales tienen nombres propios(Bahía Baltiets, Bahía Klyuchevskaya), y solo Costa sur El Golfo de Finlandia parece haber cambiado poco en comparación con la escala anterior; la costa es mucho menos accidentada.

¿Cómo determinar la longitud exacta de la costa?
El meteorólogo inglés Richardson se propuso este objetivo y eligió como campo de pruebas su isla natal, Gran Bretaña. Llegó a la conclusión de que la longitud de la costa aumenta a medida que aumenta la escala del mapa mediante el cual se mide esta longitud (Fig. 2). ¿Existe un límite para este aumento? Difícilmente. La longitud de la costa aumenta con cada pequeña lengua de arena que se adentra en el mar, cada hueco que crea una pequeña bahía, cada guijarro que fluye alrededor del agua. Incluso en el mapa a mayor escala no son visibles, pero en realidad todas estas irregularidades en la costa existen.

Hay muchos ejemplos de cómo el uso de métodos matemáticos puede hacer que la investigación geográfica sea más convincente y fiable. Aquí sucedió lo contrario: la investigación geográfica -el estudio de la longitud de la costa- contribuyó al surgimiento de una nueva concepto matemático. El nombre en inglés de este concepto es fractal, pero en ruso aún no está completamente resuelto y se presenta en tres versiones: fractal(genitivo y casos instrumentales voluntad fractal, fractal), fractal en el género masculino ( fractal, fractal) Y fractal en el género femenino ( fractales, fractal); detrás Últimamente parece inclinarse hacia fractal.
Un fractal es una línea, cada fragmento del cual se vuelve infinitamente más complejo, la longitud de cada fragmento y de la línea completa aumenta constantemente. Un ejemplo es la figura habitualmente denominada copo de nieve de Koch, aunque este nombre es incorrecto: este copo de nieve fue construido a principios del siglo XX. Helga von Koch, y su apellido no debería ser rechazado.
Echemos triángulo equilátero. Dividamos cada lado en tres partes iguales y construyamos un triángulo equilátero en el segmento medio de cada lado. Obtendrás una estrella normal de seis puntas, una figura con seis esquinas convexas y seis entrantes. Dividamos cada uno de sus lados (y hay 12 de estos lados) en tres partes iguales y nuevamente construyamos un triángulo equilátero en el segmento medio de cada lado. El resultado será una figura con 48 lados, con 18 ángulos convexos y 30 recurrentes. Repitiendo esta operación número infinito veces (esto se puede hacer, por supuesto, solo mentalmente), obtenemos una figura cuyo área aumenta constantemente, pero cada vez más lentamente, acercándose gradualmente a un cierto límite (Fig. 3). El perímetro de esta figura aumenta indefinidamente, ya que cada vez que construimos un nuevo triángulo equilátero en el lado de la figura, por pequeño que sea, tres segmentos iguales de este lado se sustituyen por cuatro iguales y por tanto la longitud de cada lado (y por tanto todo el perímetro) aumenta 4/3 veces, y cualquier número mayor que uno elevado a una potencia igual al infinito (y hacemos la construcción un número infinito de veces) tiende al infinito.

El borde del copo de nieve será algo así como una línea ancha y peluda que llena todo zona fronteriza esta figura. Los conceptos de “línea ancha”, “superficie gruesa”, aparentemente absurdos desde el punto de vista de las matemáticas clásicas (la línea no tiene ancho y la superficie no tiene espesor), adquirieron derechos de ciudadanía con el desarrollo de la teoría de los fractales. . Se cree que una línea es unidimensional, solo tiene una longitud, la posición de un punto en ella está determinada por una coordenada; la superficie es bidimensional, tiene un área, la posición de un punto en ella está determinada por dos coordenadas; el cuerpo es tridimensional, tiene volumen, se necesitan tres coordenadas. Y la teoría de los fractales introduce el concepto de dimensión fraccionaria: la línea no se ha vuelto bidimensional, sino que ha dejado de ser unidimensional. Esto es bastante difícil de entender para una persona que no esté preparada (no se puede estornudar una vez y media), pero si recordamos cómo se comporta la costa, no solo en el mapa, sino también en la naturaleza, cómo cambia si miras Luego, agachándonos, luego levantándonos en toda su altura, luego escalando una montaña, luego despegando en un avión o en una nave espacial, no entenderemos tanto como sentiremos lo que sistema complejo representa esta línea; Para ella, una característica definitivamente no es suficiente: la longitud.
Y la teoría de los fractales, nacida de la investigación geográfica, viene en ayuda de la geografía. Aún no se ha desarrollado un método para estudiar el relieve como un fractal, pero definitivamente es prometedor. Mirando el relieve en vista general, dibujándolo en un mapa a pequeña escala, vemos cadenas montañosas, mesetas, valles profundos. A escala media ya aparecen cerros, pequeños valles y quebradas. Aún más grande, y puedes ver los montículos y las ondas del viento en la arena. Pero este no es el límite: hay guijarros y granos de arena individuales. En términos prácticos, todo esto es importante porque es necesario aprender a seleccionar correctamente los objetos para representarlos en mapas de diferentes escalas; Uno de los principales errores de los compiladores de mapas es la discrepancia entre el contenido del mapa y su escala; el mapa está subcargado o sobrecargado;
¿Pero qué hacer con la longitud de la costa? ¿Se niegan a medirlo porque es inconmensurable?
No, esta no es una opción. Simplemente, al dar la longitud de la línea de costa, siempre debes indicar en qué escala de mapas se midió y de qué manera. Y asegúrese de estipular al mismo tiempo, si se tuvo en cuenta o no la costa de las islas. Sin indicar la escala de los mapas y si las islas están incluidas o no, cualquier dato sobre la longitud de la costa pierde su sentido. Desafortunadamente, incluso en fuentes que dicen ser completamente fiables, se pueden encontrar terribles absurdos. Por ejemplo, el famoso sitio web de la CIA " El mundo Libro de datos". Aquí se proporcionan datos de la costa para cada país y océano, pero no se especifica el método de medición. Como resultado, la costa de Canadá tiene más de 200 mil km, el Océano Ártico - 45,4 mil km, el Océano Atlántico - 111,9 mil km (los datos se dan, ¡no te equivoques! - a la kilómetro más cercano). Canadá fue considerado teniendo en cuenta las islas, eso es seguro; Se desconoce cómo se consideraron los océanos, pero las costas de dos de los tres océanos que rodean Canadá suman menos que la costa de Canadá sola. Para Noruega la cifra es 21.925 km y se da la nota: “Continental 3419 km, islas grandes 2413 km, largos fiordos, numerosas islas pequeñas y pequeñas curvas [traducido literalmente muescas] litoral 16.093 km.” El importe total es exactamente el indicado. largo total línea costera. Pero por qué las costas de los fiordos no forman parte de la costa del continente, por qué la longitud de los bordes dentados se suma a la longitud de la costa del continente, qué islas se consideran grandes, solo podemos adivinar todo esto. Los datos absolutamente indiscutibles de esta tabla se dan solo para Andorra, Austria, Botswana, Hungría, Suazilandia y países similares que no tienen acceso al mar; está escrito: "0 km".

Un ejemplo de paradoja: si la costa del Reino Unido se mide en tramos de 100 km, entonces su longitud es de aproximadamente 2.800 km. Si se utilizan tramos de 50 km, la longitud es de aproximadamente 3.400 km, lo que supone 600 km más.

La longitud de la costa depende de cómo se mide. Dado que una masa terrestre puede caracterizarse por curvas de cualquier tamaño, desde cientos de kilómetros hasta fracciones de milímetro o menos, no existe una forma obvia de seleccionar el tamaño del elemento más pequeño que debe tomarse para medir. En consecuencia, es imposible determinar sin ambigüedades el perímetro de esta zona. Existen varias aproximaciones matemáticas para resolver este problema.

El método principal para estimar la longitud de un límite o línea costera era superponer norte segmentos iguales longitud yo en un mapa o fotografía aérea usando una brújula. Cada extremo del segmento debe pertenecer al límite que se está midiendo. Al examinar las discrepancias en la evaluación de límites, Richardson descubrió lo que ahora se llama efecto Richardson: La escala de medición es inversamente proporcional a la longitud total de todos los segmentos. Es decir, cuanto más corta sea la regla utilizada, más largo será el límite medido. Así, los geógrafos españoles y portugueses se guiaron simplemente por mediciones a diferentes escalas.

Lo que más llamó la atención de Richardson fue que cuando el valor yo tiende a cero, la longitud de la costa tiende a infinito. Richardson inicialmente creyó, basándose en la geometría euclidiana, que esta longitud alcanzaría un valor fijo, como es el caso de los regulares. formas geométricas. Por ejemplo, perímetro polígono regular, inscrita en un círculo, se acerca a la longitud del círculo mismo a medida que aumenta el número de lados (y la longitud de cada lado disminuye). En la teoría de las medidas geométricas, una curva suave, como un círculo, que puede representarse aproximadamente en forma de pequeños segmentos con un límite dado, se llama curva rectificable.

Más de diez años después de que Richardson completara su trabajo, Mandelbrot desarrolló una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, para describir los complejos no rectificables que existen en la naturaleza, como la interminable línea costera. Su propia definición fractal como base de su investigación es el siguiente:

inventé una palabra fractal, tomando como base el adjetivo latino fractus. Verbo latino correspondiente franjero medio romper: crea fragmentos irregulares. Por tanto, es razonable que, además de “fragmentario”, fractus también debe significar "irregular".

La propiedad clave de los fractales es la autosemejanza, que consiste en la manifestación de lo mismo. cifra general en cualquier escala. La costa se percibe como una alternancia de bahías y cabos. Hipotéticamente, si una línea costera dada tiene la propiedad de autosimilitud, entonces no importa cuánto se escale una u otra parte, seguirá habiendo un patrón similar de bahías y promontorios más pequeños superpuestos a bahías y promontorios más grandes, hasta los granos de arena. A estas escalas, la costa parece ser un hilo potencialmente interminable y que cambia instantáneamente con una disposición estocástica de bahías y promontorios. En tales condiciones (a diferencia de las curvas suaves), Mandelbrot afirma: “La longitud de la costa es un concepto difícil de alcanzar, que se escapa entre los dedos de quienes intentan comprenderlo”.

donde la longitud de la costa L es función de la unidad ε y se aproxima mediante la expresión del lado derecho. F es una constante, D es el parámetro de Richardson, dependiendo de la propia costa (Richardson no dio explicación teórica esta cantidad, sin embargo, Mandelbrot definió D como una forma no entera de la dimensión de Hausdorff, más tarde la dimensión fractal. En otras palabras, D es el valor medido prácticamente de “rugosidad”). Habiéndose reagrupado lado derecho expresiones, obtenemos:

donde Fε -D debe ser el número de ε unidades necesarias para obtener L. La dimensión fractal es el número de dimensiones de un objeto utilizado para aproximar un fractal: 0 para un punto, 1 para una línea, 2 para figuras de área. Dado que la línea discontinua que mide la longitud de la costa no se extiende en una dirección y al mismo tiempo no representa un área, el valor de D en la expresión ocupa posición intermedia entre 1 y 2 (para la costa suele ser inferior a 1,5). Puede interpretarse como una línea gruesa o una franja de 2ε de ancho. Más costas “quebradas” han valor mas alto D y por tanto L resulta ser más largo para el mismo ε. Mandelbrot demostró que D no depende de ε.

En general, las líneas costeras se diferencian de los fractales matemáticos porque se forman utilizando numerosos pequeños detalles que crean patrones sólo estadísticamente.

En realidad, en las costas no hay detalles menores de 1 cm [ ] . Esto se debe a la erosión y otros fenómenos marinos. En la mayoría de lugares el tamaño mínimo es mucho mayor. Por tanto, el modelo fractal infinito no es adecuado para líneas costeras.

Por razones prácticas, elija el tamaño mínimo de piezas igual al orden de las unidades de medida. Entonces, si la costa se mide en kilómetros, entonces cambios menores las líneas mucho más pequeñas que un kilómetro simplemente no se tienen en cuenta. Para medir una línea de costa en centímetros se deben considerar todas las pequeñas variaciones en torno a un centímetro. Sin embargo, en escalas del orden de centímetros, se deben hacer varias suposiciones arbitrarias no fractales, por ejemplo, donde el estuario se une al mar, o en lugares donde las mediciones deben tomarse en vatios anchos. Además, el uso varios métodos mediciones para diferentes unidades de medida no permiten la conversión de estas unidades mediante una simple multiplicación.

Para determinar el estado aguas territoriales están construyendo las llamadas curvas de la costa de la provincia canadiense de Columbia Británica; constituyen más del 10% de la longitud de la costa canadiense (teniendo en cuenta todas las islas del archipiélago ártico canadiense): 25.725 km de 243.042; km a una distancia lineal de sólo 965 km

Al estudiar geografía, por supuesto, recuerde que cada país tiene su propia área y longitud de frontera, en particular, si un país está bañado por un mar u océano, entonces tiene una frontera marítima de cierta longitud. ¿Alguna vez te has preguntado cómo se determina la longitud de este borde? En 1977, el matemático estadounidense Benoit Mandelbrot se propuso próxima pregunta: ¿Cuál es la longitud de la costa del Reino Unido? Resultó que era imposible responder correctamente a esta “pregunta infantil”. En 1988, el científico noruego Jens Feder decidió averiguar la longitud de la costa noruega. Tenga en cuenta que la costa de Noruega está llena de fiordos. Otros científicos se han hecho preguntas similares sobre la longitud de las líneas costeras de las costas de Australia, Sudáfrica, Alemania, Portugal y otros países.

Sólo podemos medir la longitud de la costa de forma aproximada. A medida que nos alejamos, tenemos que medir cada vez más promontorios y bahías pequeños: la longitud de la costa aumenta y simplemente no existe un límite objetivo para reducir la escala (y, por lo tanto, aumentar la longitud de la costa); nos vemos obligados a admitir que esta línea tiene longitud infinita. Sabemos que la dimensión de una línea recta es uno, la dimensión de un cuadrado es dos y la dimensión de un cubo es tres. Mandelbrot propuso utilizar dimensiones fraccionarias para medir curvas "monstruosas": dimensiones de Hausdorff-Besicovitch. Las curvas infinitamente rotas, como una costa, no son del todo líneas. Parecen “barrer” parte del avión, como una superficie. Pero tampoco son superficies. Esto significa que es razonable suponer que su dimensión es mayor que uno, pero también menor que dos, es decir, se trata de objetos de dimensión fraccionaria.

El científico noruego E. Feder propuso otra forma de medir la longitud de la costa. El mapa estaba cubierto con una cuadrícula cuyas celdas tienen dimensiones e? e. Se puede ver que el número N(e) de dichas celdas que cubren la costa en el mapa es aproximadamente igual al número de pasos en los que se puede caminar alrededor de la costa en el mapa usando una brújula con una solución e. Si e se reduce, entonces el número N(e) aumentará. Si la longitud de la costa del Reino Unido tuviera una cierta longitud L, entonces el número de pasos de una brújula con una solución (o el número celdas cuadradas N(e) que cubre la línea costera en el mapa) sería inversamente proporcional a e, y el valor Ln (e)=N(e) ? e tendería a ser constante a medida que k disminuye. Desafortunadamente, los cálculos realizados por muchos científicos han demostrado que esto no es del todo cierto. A medida que disminuye el tono, aumenta la longitud medida. Resultó que la relación entre la longitud medida L(e) y el paso e puede describirse mediante la relación aproximada

El coeficiente D se llama dimensión fractal. La palabra fractal proviene de palabra latina fractal - fraccionario, no entero. Un conjunto se llama fractal si tiene una dimensión no entera. Para Noruega D=1,52 y para Gran Bretaña D=1,3. Así, la costa de Noruega y Gran Bretaña es un fractal con dimensión fractal D. También se realizaron cálculos para un círculo, y la dimensión fractal del círculo es D=1, como era de esperar. Por tanto, la dimensión fractal es una generalización de la dimensión ordinaria.

¿Cómo entender esto y qué podría significar? Los matemáticos empezaron a recordar si algo así había existido antes en matemáticas o no. ¡Y se acordaron! Consideremos parte de una determinada línea AB en el plano (Fig. 3). Tomemos un cuadrado con arista e y preguntémonos: ¿cuántos cuadrados N(e) con arista de longitud e se necesitan para cubrir la línea AB con tales cuadrados? Se puede ver que N(e) es proporcional

De manera similar, si un área cerrada limitada en un plano (Fig. 4) se cubre con una cuadrícula de lado e, entonces el número mínimo de cuadrados con lado e que cubren el área será igual a

Si consideramos una región acotada cerrada en espacio tridimensional y tomamos un cubo con arista e, entonces el número de cubos que llenan esta área es

Determinemos la dimensión fractal basándonos en lo dicho anteriormente en caso general de la siguiente manera:

Tomemos el logaritmo de los lados izquierdo y derecho.

Pasando al límite cuando e tiende a cero (N tiende a infinito), obtenemos

Esta igualdad es la definición de la dimensión, que se denota por d.

Hecho bien conocido:

Un ejemplo de paradoja: si la costa del Reino Unido se mide en tramos de 100 km, entonces su longitud es de aproximadamente 2.800 km. Si se utilizan tramos de 50 km, la longitud es de aproximadamente 3.400 km, lo que supone 600 km más.

La longitud de la costa depende de cómo se mide. Dado que una masa terrestre puede caracterizarse por curvas de cualquier tamaño, desde cientos de kilómetros hasta fracciones de milímetro o menos, no existe una forma obvia de seleccionar el tamaño del elemento más pequeño que debe tomarse para medir. En consecuencia, es imposible determinar sin ambigüedades el perímetro de esta zona. Existen varias aproximaciones matemáticas para resolver este problema.

Antes de familiarizarnos con el primer tipo de fractales, es decir, con curvas cuya dimensión fractal excede 1, consideremos una sección típica de alguna costa. Obviamente, su longitud no puede ser menor que la distancia en línea recta entre sus puntos inicial y final. Sin embargo, por regla general, las costas tienen Forma irregular- son tortuosos y quebrados, y sus longitudes, sin duda, superan sensiblemente las distancias entre sus puntos extremos, medidas en línea recta.

Hay muchas formas de estimar la longitud de una línea de costa con mayor precisión y en este capítulo analizaremos algunas de ellas. Al final, llegaremos a una conclusión muy notable: la longitud de la costa es un concepto muy resbaladizo y no se puede captar con las manos desnudas. Sea cual sea el método de medición que utilicemos, el resultado es siempre el mismo: la longitud de una línea costera típica es muy larga y tan mal definida que lo más conveniente es considerarla infinita. En consecuencia, si alguien decide comparar diferentes costas desde el punto de vista de su longitud, tendrá que encontrar algo que reemplace el concepto de longitud, que este caso no aplica.

En este capítulo comenzaremos la búsqueda de un reemplazo adecuado y, en el proceso de búsqueda, no podemos evitar familiarizarnos con diversas formas Conceptos fractales de dimensión, medida y curva.

MÉTODOS ALTERNATIVOS DE MEDICIÓN

Método A. Fijemos la apertura de la brújula de medición a una longitud determinada, que llamamos longitud del paso, y caminemos con esta brújula por la costa que nos interesa, comenzando cada nuevo paso en el punto donde terminó el anterior. El número de pasos multiplicado por la longitud e nos dará la longitud aproximada del banco. Sabemos por la escuela que si repetimos esta operación, reduciendo cada vez la apertura de la brújula, podemos esperar que el valor rápidamente alcance un valor muy específico, llamado longitud verdadera. Sin embargo, lo que realmente sucede no se corresponde con nuestras expectativas. En un caso típico, la longitud observada tiende a aumentar sin límite.

La razón de este comportamiento es obvia: si miras alguna península o bahía en mapas de escala 1/100.000 y 1/10.000, entonces último mapa Podemos distinguir claramente penínsulas y bahías más pequeñas que no eran visibles en la primera. Un mapa de la misma zona, realizado a escala 1/1000, nos mostrará penínsulas y calas aún más pequeñas, etcétera. Cada nuevo detalle aumenta la longitud total del banco.

El procedimiento anterior supone que la línea de costa tiene una forma demasiado irregular para que su longitud pueda representarse directamente como la suma de las longitudes de curvas geométricas simples, cuyas longitudes se pueden encontrar en los libros de referencia. Eso es, Método A reemplaza la línea costera con secuencia lineas discontinuas, compuesto por tramos rectos, cuya longitud podemos determinar.

Método B. El mismo "suavizado" se puede lograr de otras maneras. Imagínese a un hombre caminando por la orilla la ruta más corta, cuya trayectoria nunca se aleja del agua más allá de distancia especificada. Habiendo alcanzado punto final, vuelve, reduciendo ligeramente el valor de . Luego una y otra vez, hasta que finalmente el valor alcanza, digamos, 50 cm. No es posible reducirlo más, ya que la persona es demasiado grande y torpe para poder trazar una trayectoria más detallada. Se me puede objetar que estos pequeños detalles inalcanzables, en primer lugar, no tienen ningún interés inmediato para el hombre y, en segundo lugar, están sujetos a cambios tan significativos dependiendo de la época del año y de la altura de la marea que su registro detallado generalmente se pierde. todo significado. Consideraremos la primera de estas objeciones más adelante en este capítulo. En cuanto a la segunda objeción, se puede neutralizar limitándonos a considerar una costa rocosa durante la marea baja y aguas tranquilas. En principio, una persona puede trazar curvas aproximadas más detalladas llamando a un ratón para que le ayude, luego a una hormiga, etc. Y de nuevo, a medida que nuestro caminante sigue un camino cada vez más cerca del agua, la distancia que tiene que recorrer aumenta indefinidamente.

Método C. El método B implica una cierta asimetría entre el agua y la costa. Para evitar esta asimetría, Kantor propuso ver la costa como a través de una lente desenfocada, como resultado de lo cual cada punto se convierte en un punto redondo de radio . En otras palabras, Cantor considera todos los puntos, tanto en tierra como en agua, cuya distancia a la propia costa no excede . Estos puntos forman una especie de salchicha o cinta de ancho (un ejemplo de tal "salchicha", aunque en un contexto diferente, se muestra en la Fig. 56). Midamos el área de la cinta resultante y dividámosla por. Si la línea costera fuera recta, entonces la cinta sería un rectángulo y el valor encontrado de la manera descrita anteriormente resultaría ser la longitud real de la costa. Cuando se trata de costas reales, obtenemos una estimación aproximada de la longitud , que aumenta sin límite a medida que .

MétodoD. Imagínese un mapa hecho a la manera de los artistas puntillistas, es decir, uno donde los continentes y océanos están representados con puntos redondos de colores de radio. En lugar de considerar los centros de los puntos como puntos pertenecientes a la línea costera, como en el Método C, requeriremos que el número de puntos que ocultan completamente la línea sea el menor. Como resultado, los lugares cerca de los cabos estarán en su mayoría en tierra, mientras que cerca de las bahías estarán en el mar. Una estimación de la longitud del litoral aquí será el resultado de dividir el área cubierta por las manchas entre . El “comportamiento” de esta evaluación también deja mucho que desear.

ALEATORIDAD DE LOS RESULTADOS DE MEDICIÓN

Resumiendo el apartado anterior, observamos que el resultado de utilizar cualquiera de los cuatro métodos es siempre el mismo. A medida que e disminuye, la longitud aproximada de la curva tiende a infinito.

Para comprender adecuadamente la importancia de este hecho, hagamos una medición similar de la longitud de cualquier curva euclidiana ordinaria. Por ejemplo, en un segmento de línea recta, los datos de medición estimados aproximados básicamente coinciden y determinan la longitud requerida. En el caso de un círculo valor aproximado la longitud aumenta, pero rápidamente se apresura a algún límite específico. Las curvas cuya longitud se puede determinar de esta manera se denominan rectificables.

Es aún más instructivo intentar medir la longitud de algunas de las costas domesticadas por el hombre (por ejemplo, la costa cerca de Chelsea tal como aparece hoy). Dado que la gente todavía deja sin cambios pliegues muy grandes del terreno, instalaremos una solución muy grande en nuestra brújula y la reduciremos gradualmente. Como era de esperar, la longitud de la costa aumentará.

Sin embargo, hay uno característica interesante: con una mayor reducción, inevitablemente nos encontramos en una determinada zona intermedia, donde la longitud permanece casi sin cambios. Esta zona se extiende desde aproximadamente 20 ma 20 cm (muy aproximadamente). Cuando llega a menos de 20 cm, la longitud comienza a aumentar nuevamente; ahora las piedras individuales influyen en el resultado de la medición. Por lo tanto, si traza una gráfica del cambio de valor en función de , entonces, sin duda, encontrará un área plana con valores de e en el rango de 20 ma 20 cm, en gráficas similares en el caso de las costas naturales "salvajes", no se observan zonas tan planas.

Es evidente que las mediciones realizadas en esta zona plana tienen un enorme valor práctico. Dado que los límites entre diferentes disciplinas científicas son principalmente el resultado de un acuerdo entre científicos sobre la división del trabajo, podemos, por ejemplo, trasladar al departamento de geografía todos los fenómenos cuya escala supere los 20 m, es decir, aquellos que el hombre aún no ha alcanzado. Tal limitación nos dará una longitud geográfica muy concreta. seguridad costera Puede utilizar con éxito el mismo valor para trabajar con costas "salvajes", y las enciclopedias y almanaques indicarán a todos la longitud correspondiente.

Por otro lado, me resulta difícil imaginar que todas las agencias gubernamentales interesadas, incluso de cualquier país, se pongan de acuerdo entre sí en utilizar un significado único, y su adopción por todos los países del mundo es completamente imposible de imaginar. Richardson da este ejemplo: las enciclopedias española y portuguesa dan longitudes diferentes frontera terrestre entre estos países, con una diferencia del 20% (lo mismo ocurre con la frontera entre Bélgica y Países Bajos). Esta discrepancia debe explicarse en parte por las diferentes opciones. La evidencia empírica, que discutiremos en breve, muestra que para que ocurra tal diferencia, es suficiente que un valor difiera de otro sólo por un factor de dos; Además, no sorprende que un país pequeño (Portugal) mida la longitud de sus fronteras con más cuidado que su vecino grande.

El segundo y más significativo argumento contra la elección arbitraria es de naturaleza filosófica y científica general. La naturaleza existe independientemente del hombre, y quien atribuye demasiada importancia a un determinado significado o , supone que el eslabón determinante en el proceso de comprensión de la naturaleza es el hombre con sus normas generalmente aceptadas o sus medios técnicos muy cambiantes. Si las costas alguna vez se convierten en objetos investigación científica, es poco probable que podamos legislar para prohibir la incertidumbre observada en relación con sus longitudes. Sea como fuere, el concepto de longitud geográfica no es tan inofensivo como parece a primera vista. No es del todo “objetivo”, ya que al determinar la longitud de esta forma, la influencia del observador es inevitable.

RECONOCIMIENTO E IMPORTANCIA DE LOS RESULTADOS ARBITRARIOS DE LAS MEDICIONES

Sin duda, mucha gente opina que las costas son curvas irreductibles y, por lo demás, no recuerdo que nadie creyera lo contrario. Sin embargo, mi búsqueda de pruebas escritas a favor de esta opinión fue casi completamente infructuosa. Además de las citas de Perrin dadas en el segundo capítulo, en el artículo de Steinhaus también se encuentra esta observación: “Midiendo la longitud de la orilla izquierda del Vístula con creciente precisión, se pueden obtener valores de decenas, centenas e incluso miles. de veces mayor que lo que da el mapa escolar. La siguiente afirmación parece muy cercana a la realidad: la mayoría de los arcos que se encuentran en la naturaleza no son rectificables. Esta afirmación contradice la creencia popular, que se reduce al hecho de que los arcos no rectificables son una ficción matemática y, en la naturaleza, todos los arcos son rectificables. De estas dos afirmaciones contradictorias, aparentemente la primera debería considerarse cierta”. Sin embargo, ni Perrin ni Steinhaus se molestaron en desarrollar sus conjeturas con más detalle y llevarlas a su conclusión lógica.

K. Fadiman cuenta una historia interesante. Su amigo Edward Kasner realizó este experimento varias veces: “Preguntó a los niños pequeños cuál pensaban que era la longitud total de la costa de los Estados Unidos. Después de que uno de los niños expresara una suposición bastante “razonable”,... Kasner... los invitó a pensar en cuánto se podría aumentar esta cifra si midieran con mucho cuidado el perímetro de todos los cabos y bahías, y luego trazaran con el mismo cuidado cabos y calas más pequeñas en cada uno de estos cabos y en cada una de estas bahías, luego midió cada guijarro y cada grano de arena que compone la línea de costa, cada molécula, cada átomo, etc. Resultó que la orilla podía ser tan larga como te gusta . Los niños lo entendieron inmediatamente, pero Kasner tuvo problemas con los adultos”. La historia es, por supuesto, muy bonita, pero es poco probable que tenga algo que ver con mi búsqueda. Es evidente que Kasner no se propuso resaltar algún aspecto de la realidad que mereciera un estudio más profundo.

Así, podemos decir que el artículo y el libro que tiene entre sus manos representan esencialmente los primeros trabajos dedicados a este tema.

En su libro The Will to Believe,1 William James escribe: “Lo que no encaja en el marco de la clasificación... es siempre un campo rico para grandes descubrimientos. En cualquier ciencia, alrededor de hechos generalmente aceptados y ordenados, siempre gira una nube de polvo de excepciones a las reglas: fenómenos sutiles, inconsistentes, que rara vez se encuentran, fenómenos que son más fáciles de ignorar que de considerar. Toda ciencia se esfuerza por Perfecta condicion un sistema cerrado y estricto de verdades... Los fenómenos que no pueden clasificarse dentro del sistema se consideran absurdos paradójicos y obviamente no son ciertos. Son descuidados y rechazados basándose en las mejores intenciones de la conciencia científica... Cualquiera que estudie seriamente los fenómenos irregulares podrá crear nueva ciencia sobre los cimientos del antiguo. Al final de este proceso, las reglas de la ciencia actualizada se convertirán, en su mayor parte, en las excepciones del ayer”.

El presente ensayo, cuyo modesto objetivo es una renovación completa de la geometría de la Naturaleza, describe fenómenos tan inclasificables que sólo es posible hablar de ellos con el permiso del censor. Encontrará el primero de estos fenómenos en la siguiente sección.

EFECTO RICHARDSON

En el artículo de Richardson se describe un estudio empírico del cambio en la longitud aproximada obtenido utilizando el Método A, cuyo enlace por afortunada (o fatídica) casualidad me llamó la atención. Le presté atención sólo porque había oído mucho acerca de Lewis Fry Richardson como un científico destacado cuya originalidad de pensamiento era similar a la excentricidad (ver Capítulo 40). Como veremos en el Capítulo 10, la humanidad debe algunas de sus ideas más profundas y duraderas sobre la naturaleza de la turbulencia: atención especial Entre ellos, el que merece la pena es aquel según el cual la turbulencia presupone la aparición de una cascada autosemejante. También trabajó en otros. problemas complejos- como, por ejemplo, la naturaleza de los conflictos armados entre estados. Sus experimentos fueron ejemplos de sencillez clásica, pero no dudó en utilizar conceptos más sofisticados cuando surgió la necesidad.

Mostrado en la Fig. 57 gráficos, descubiertos entre sus artículos tras la muerte de Richardson, se publicaron en el casi secreto (y completamente inadecuado para este tipo de publicaciones) “Anuario sobre sistemas comunes" Después de examinar estos gráficos, llegamos a la conclusión de que hay dos constantes (llamémoslas y ), tales que para determinar la longitud de la línea costera construyendo una línea discontinua que se aproxime a ella, es necesario tomar aproximadamente intervalos de longitud y escribir la siguiente fórmula:

El valor del indicador aparentemente depende de la naturaleza de la costa que se mide, y diferentes secciones de esta línea, consideradas por separado, pueden dar valores diferentes. Para Richardson, la magnitud era simplemente un indicador conveniente sin ningún significado particular. Sin embargo, el valor de este indicador no parece depender del método elegido para estimar la longitud de la costa. Esto significa que merece la mayor atención.

DIMENSIÓN FRACTAL DE LA COSTA

Después de estudiar el trabajo de Richardson, sugerí que aunque el exponente no es un número entero, puede y debe entenderse como una dimensión, más precisamente, como una dimensión fractal. Por supuesto, era plenamente consciente de que todos los métodos de medición anteriores se basan en definiciones generalizadas de dimensión no estándar, que ya se utilizan en matemáticas puras. Determinación de la longitud basada en la cobertura de la costa. el número más pequeño puntos de radio, utilizados para determinar la dimensión del recubrimiento. La determinación de la longitud, basada en cubrir la costa con una cinta de ancho, encarna la idea de Cantor y Minkowski (ver Fig. 56), y la dimensión correspondiente se la debemos a Buligan. Sin embargo, estos dos ejemplos sólo insinúan la existencia de muchas dimensiones (la mayoría de las cuales son conocidas sólo por unos pocos especialistas) que brillan en diversas áreas altamente especializadas de las matemáticas. Analizaremos algunas de estas dimensiones con más detalle en el Capítulo 39.

¿Por qué los matemáticos tuvieron que introducir esta abundancia de dimensiones diferentes? Entonces ¿qué pasa? algunos casos Aceptan diferentes significados. Afortunadamente, no encontrará casos de este tipo en este ensayo, por lo que puede encontrar aquí una lista de posibles dimensiones alternativas. conciencia limpia reducir a dos, que, sin embargo, todavía no he mencionado. La dimensión más antigua y más estudiada de nuestra lista se remonta a Hausdorff y sirve para definir la dimensión fractal; nos ocuparemos de ella muy pronto. La segunda dimensión, más simple, se llama dimensión de similitud: no es lo mismo carácter general, como primera dimensión, sin embargo, resulta más que suficiente en muchos casos; lo consideraremos en el próximo capítulo.

Por supuesto, no voy a dar aquí. prueba matemática que el exponente de Richardson es una dimensión. Para ser honesto, no puedo imaginar cómo se puede realizar tal prueba en el marco de cualquier Ciencias Naturales. Sólo quiero llamar la atención del lector sobre el hecho de que el concepto de longitud plantea un problema conceptual y el indicador proporciona una solución cómoda y elegante. Ahora que la dimensión fractal ha ocupado su lugar en el estudio de las costas, es poco probable que queramos, por alguna razón especial, volver a aquellos tiempos en los que creíamos irreflexiva e ingenuamente. Quien todavía crea tendrá que intentarlo si quiere demostrar que tiene razón.

El siguiente paso (explicar la forma de las costas y derivar significado de otras consideraciones más fundamentales) propongo posponerlo hasta el capítulo 28. En esta etapa basta decir que, como primera aproximación, . Este valor es demasiado grande para describir con precisión los hechos, pero es más que suficiente para decir que es posible, debería y natural creer que la dimensión de la costa excede el valor euclidiano habitual de la curva.

DIMENSIÓN FRACTAL DE HAUSDORFF

Si aceptamos que las diferentes costas naturales tienen una longitud infinita, y también que el valor de la longitud basado en el valor antropométrico da solo una idea parcial de la situación real, entonces ¿cómo se pueden comparar las diferentes costas entre sí? Dado que el infinito no es diferente del infinito multiplicado por cuatro, ¿de qué nos servirá decir que la longitud de cualquier banco es cuatro veces mayor que la longitud de cualquiera de sus cuartos? Requerido La mejor manera para expresar la idea bastante razonable de que una curva debe tener alguna "medida", y esta medida para toda la curva debe ser cuatro veces mayor que la misma medida para cualquiera de sus trimestres.

Felix Hausdorff propuso un método extremadamente ingenioso para lograr este objetivo. Su método se basa en que la medida lineal de un polígono se calcula sumando las longitudes de sus lados sin ninguna transformación. Se puede suponer que las longitudes de estos lados se elevan a una potencia igual a la dimensión euclidiana de la línea (la razón de esta suposición pronto será obvia). La medida de la superficie de la región interna de un polígono cerrado se calcula de manera similar: cubriéndolo con cuadrados, encontrando la suma de las longitudes de los lados de estos cuadrados y elevándolo a una potencia (dimensión euclidiana del plano ). Si utilizamos el grado "incorrecto" en los cálculos, entonces el resultado de estos cálculos no nos dará ninguna información útil: el área de cualquier polígono cerrado será igual a cero, y la longitud de su región interna será infinita.

Consideremos desde tales posiciones una aproximación poligonal (lineal por tramos) de una línea costera compuesta de pequeños intervalos de longitud. Al elevar la longitud del intervalo a una potencia y multiplicarla por el número de intervalos, obtenemos un valor determinado que tentativamente se puede llamar "longitud aproximada en dimensión". Dado que, según Richardson, el número de lados es igual, nuestra extensión aproximada toma el valor .. Es decir, la extensión aproximada del litoral presenta un comportamiento prudente si y sólo si .

LA DIMENSIÓN FRACTAL DE UNA CURVA PUEDE SER MAYOR QUE LA UNIDAD; CURVAS FRACTALES

Tal como lo pretendía su creador, la dimensión de Hausdorff conserva las funciones de una dimensión ordinaria y sirve como exponente para determinar la medida.

Sin embargo, por otra parte, la dimensión es muy inusual: se expresa numero fraccional! Además, es mayor que la unidad, que es la dimensión "natural" de las curvas (se puede demostrar estrictamente que su dimensión topológica también es igual a la unidad).

Propongo llamar curvas fractales a las curvas cuya dimensión fractal excede su dimensión topológica 1. Como breve resumen de este capítulo, puedo ofrecer la siguiente declaración: A escalas geográficas, las líneas costeras se pueden modelar utilizando curvas fractales. Las costas tienen una estructura fractal.

Arroz. 55. ÁRBOL DEL MONO

En esta etapa, este pequeño dibujo debe considerarse simplemente como un elemento decorativo, simplemente llena un espacio vacío.

Sin embargo, después de leer el Capítulo 14, el lector podrá encontrar aquí una clave para desentrañar el enigma “arquitectónico” de la Fig. 210. El siguiente generador proporciona una pista más seria:

Si un matemático necesita “domesticar” alguna curva particularmente irregular, puede utilizar el siguiente procedimiento estándar: se selecciona un valor determinado y se construye un círculo de radio alrededor de cada punto de la curva. Este procedimiento, que se remonta al menos a Hermann Minkowski, e incluso al propio Georg Cantor, es algo tosco, pero muy eficaz. (En cuanto al término salchicha, su origen, según rumores no verificados, está relacionado de alguna manera con la aplicación de este procedimiento por parte de Norbert Wiener a las curvas brownianas.)

En las ilustraciones publicadas aquí, el suavizado descrito anteriormente no se aplica a costas reales, sino a una curva teórica, que construiremos un poco más adelante (ver Fig. 79) agregando constantemente más y más detalles finos. Comparando el trozo de salchicha que se muestra a la derecha con el extremo derecho de la salchicha colocado en la parte superior, vemos que la etapa crítica en la construcción de la curva ocurre cuando la curva comienza a incluir partes más pequeñas que . Para más las últimas etapas la salchicha no cambia significativamente.

Arroz. 57. DATOS EMPÍRICOS DE RICHARDSON SOBRE LA TASA DE CRECIMIENTO DE LA LONGITUD DE COSTA

Esta figura muestra los resultados experimentales de mediciones de longitud de curva realizadas en varias curvas utilizando polígonos equiláteros con longitud de lado decreciente. Como era de esperar, en el caso de un círculo, las mediciones con precisión creciente dan un valor que muy rápidamente se estabiliza alrededor de un valor muy específico.

En el caso de las costas, los valores de longitud aproximada, por el contrario, no se estabilizan en absoluto. Como la longitud del paso tiende a cero, las aproximaciones de la longitud, trazadas en un sistema de coordenadas logarítmico doble, forman una línea recta con pendiente negativa. Lo mismo ocurre con las fronteras terrestres entre países. Las investigaciones de Richardson en varias enciclopedias revelaron diferencias significativas en la determinación de la longitud de la frontera común por parte de los cartógrafos de los respectivos países: por ejemplo, la longitud de la frontera entre España y Portugal es de 987 km desde el punto de vista de los españoles y 1214 km desde el punto de vista de los portugueses; la frontera entre los Países Bajos y Bélgica (380 y 449 kilómetros) se vio igualmente afectada. Dado que la pendiente de las líneas correspondientes es -0,25, una diferencia del veinte por ciento entre las mediciones significa una diferencia doble entre los valores aceptados para estas mediciones, lo que no es una suposición tan increíble.

Richardson no dio ninguna interpretación teórica diferentes pendientes de sus rectas. Pretendemos interpretar las líneas costeras como aproximaciones a curvas fractales y considerar pendientes las rectas correspondientes como valores aproximados de la diferencia, donde es la dimensión fractal.