Habiendo recibido una idea general de las igualdades y familiarizado con uno de sus tipos: las igualdades numéricas, podemos comenzar a hablar de otro tipo de igualdades que es muy importante desde un punto de vista práctico: las ecuaciones. En este artículo veremos ¿Qué es una ecuación?, y lo que se llama raíz de la ecuación. Aquí daremos las definiciones correspondientes, además de proporcionar varios ejemplos de ecuaciones y sus raíces.
Navegación de páginas.
¿Qué es una ecuación?
La introducción específica a las ecuaciones suele comenzar en las clases de matemáticas en el segundo grado. En este momento se da lo siguiente definición de ecuación:
Definición.
La ecuacion es una igualdad que contiene numero desconocido, que es necesario encontrar.
Los números desconocidos en las ecuaciones generalmente se denotan con números pequeños. letras latinas, por ejemplo, p, t, u, etc., pero las letras más utilizadas son x, y y z.
Así, la ecuación se determina desde el punto de vista de la forma de escritura. En otras palabras, la igualdad es una ecuación cuando obedece a las reglas de escritura especificadas: contiene una letra cuyo valor es necesario encontrar.
Pongamos ejemplos de los primeros y más ecuaciones simples. Comencemos con ecuaciones de la forma x=8, y=3, etc. Las ecuaciones que contienen signos junto con números y letras parecen un poco más complicadas. operaciones aritmeticas, por ejemplo, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .
La variedad de ecuaciones crece después de familiarizarse con ellas: comienzan a aparecer ecuaciones entre paréntesis, por ejemplo, 2·(x−1)=18 y x+3·(x+2·(x−2))=3. letra desconocida la ecuación puede aparecer varias veces, por ejemplo, x+3+3·x−2−x=9, también las letras pueden estar en el lado izquierdo de la ecuación, en su lado derecho, o en ambos lados de la ecuación, por Por ejemplo, x·(3 +1)−4=8, 7−3=z+1 o 3·x−4=2·(x+12) .
Más lejos después de estudiar números naturales Se familiariza con los números enteros, racionales y reales, se estudian nuevos objetos matemáticos: potencias, raíces, logaritmos, etc., mientras aparecen cada vez más tipos nuevos de ecuaciones que contienen estos elementos. Se pueden ver ejemplos de ellos en el artículo. tipos básicos de ecuaciones estudiando en la escuela.
En séptimo grado, junto con las letras, que significan algunos números específicos, comienzan a considerar letras que pueden tomar diferentes significados, se llaman variables (ver artículo). Al mismo tiempo, la palabra "variable" se introduce en la definición de la ecuación y queda así:
Definición.
Ecuación Se llama igualdad y contiene una variable cuyo valor debe encontrarse.
Por ejemplo, la ecuación x+3=6·x+7 es una ecuación con la variable x, y 3·z−1+z=0 es una ecuación con la variable z.
Durante las lecciones de álgebra en el mismo séptimo grado, nos encontramos con ecuaciones que contienen no una, sino dos variables desconocidas diferentes. Se llaman ecuaciones en dos variables. En el futuro se permite la presencia de tres o más variables en las ecuaciones.
Definición.
Ecuaciones con uno, dos, tres, etc. variables– se trata de ecuaciones que contienen en su escritura una, dos, tres, ... variables desconocidas, respectivamente.
Por ejemplo, la ecuación 3.2 x+0.5=1 es una ecuación con una variable x, a su vez, una ecuación de la forma x−y=3 es una ecuación con dos variables x e y. Y un ejemplo más: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Está claro que dicha ecuación es una ecuación con tres variables desconocidas x, y y z.
¿Cuál es la raíz de una ecuación?
La definición de una ecuación está directamente relacionada con la definición de la raíz de esta ecuación. Realicemos algunos razonamientos que nos ayudarán a comprender cuál es la raíz de la ecuación.
Digamos que tenemos una ecuación con una letra (variable). Si en lugar de una letra incluida en la entrada de esta ecuación, se sustituye un cierto número, entonces la ecuación se convierte en una igualdad numérica. Además, la igualdad resultante puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, si sustituyes el número 2 en lugar de la letra a en la ecuación a+1=5, obtendrás la igualdad numérica incorrecta 2+1=5. Si sustituimos el número 4 en lugar de a en esta ecuación, obtenemos la igualdad correcta 4+1=5.
En la práctica, en la inmensa mayoría de los casos, el interés está en aquellos valores de la variable cuya sustitución en la ecuación da la igualdad correcta, estos valores se denominan raíces o soluciones de esta ecuación;
Definición.
raíz de la ecuación- este es el valor de la letra (variable), tras su sustitución la ecuación se convierte en una igualdad numérica correcta.
Tenga en cuenta que la raíz de una ecuación en una variable también se llama solución de la ecuación. En otras palabras, la solución de una ecuación y la raíz de la ecuación son lo mismo.
Expliquemos esta definición con un ejemplo. Para hacer esto, volvamos a la ecuación escrita arriba a+1=5. Según la definición dada de raíz de una ecuación, el número 4 es la raíz de esta ecuación, ya que al sustituir este número en lugar de la letra a obtenemos la igualdad correcta 4+1=5, y el número 2 no es su raíz, ya que corresponde a una igualdad incorrecta de la forma 2+1= 5 .
En este punto, surgen una serie de preguntas naturales: "¿Alguna ecuación tiene una raíz y cuántas raíces tiene?" ecuación dada"? Les responderemos.
Hay tanto ecuaciones que tienen raíces como ecuaciones que no tienen raíces. Por ejemplo, la ecuación x+1=5 tiene raíz 4, pero la ecuación 0 x=5 no tiene raíces, ya que no importa qué número sustituyamos en esta ecuación en lugar de la variable x, obtendremos la igualdad incorrecta 0=5 .
En cuanto al número de raíces de una ecuación, existen como ecuaciones que tienen algunos numero final raíces (una, dos, tres, etc.) y ecuaciones que tienen infinitas raíces. Por ejemplo, la ecuación x−2=4 tiene una única raíz 6, las raíces de la ecuación x 2 =9 son dos números −3 y 3, la ecuación x·(x−1)·(x−2)=0 tiene tres raíces 0, 1 y 2, y la solución de la ecuación x=x es cualquier número, es decir, tiene un número infinito de raíces.
Conviene decir algunas palabras sobre la notación aceptada para las raíces de la ecuación. Si una ecuación no tiene raíces, generalmente escriben “la ecuación no tiene raíces” o usan el signo de conjunto vacío ∅. Si la ecuación tiene raíces, entonces se escriben separadas por comas o como elementos del conjunto V llaves. Por ejemplo, si las raíces de la ecuación son los números −1, 2 y 4, entonces escribe −1, 2, 4 o (−1, 2, 4). También está permitido escribir las raíces de la ecuación en forma de igualdades simples. Por ejemplo, si la ecuación incluye la letra x, y las raíces de esta ecuación son los números 3 y 5, entonces puedes escribir x=3, x=5, y a menudo se suman los subíndices x 1 =3, x 2 =5. a la variable, como si indicara los números raíces de la ecuación. conjunto infinito las raíces de la ecuación generalmente se escriben en la forma, si es posible, también se usa la notación para conjuntos de números naturales N, enteros Z y números reales R. Por ejemplo, si la raíz de una ecuación con una variable x es cualquier número entero, entonces escribe , y si las raíces de una ecuación con una variable y son cualquier Número Real del 1 al 9 inclusive, luego escribe .
Para ecuaciones con dos, tres y gran cantidad En las variables, por regla general, no se utiliza el término “raíz de la ecuación”; en estos casos se dice “solución de la ecuación”. ¿A qué se llama resolver ecuaciones con varias variables? Demos la definición correspondiente.
Definición.
Resolver una ecuación con dos, tres, etc. variables llamado par, tres, etc. valores de las variables, convirtiendo esta ecuación en una igualdad numérica correcta.
Mostremos ejemplos explicativos. Considere una ecuación con dos variables x+y=7. Sustituyamos el número 1 en lugar de x, y el número 2 en lugar de y, y tenemos la igualdad 1+2=7. Obviamente, es incorrecto, por lo tanto, el par de valores x=1, y=2 no es una solución a la ecuación escrita. Si tomamos un par de valores x=4, y=3, luego de sustituirlos en la ecuación llegaremos a la igualdad correcta 4+3=7, por lo tanto, este par de valores variables, por definición, es una solución. a la ecuación x+y=7.
Las ecuaciones con varias variables, al igual que las ecuaciones con una variable, pueden no tener raíces, pueden tener un número finito de raíces o pueden tener un número infinito de raíces.
Parejas, trillizos, cuádruples, etc. Los valores de las variables a menudo se escriben brevemente, enumerando sus valores separados por comas. paréntesis. En este caso, los números escritos entre paréntesis corresponden a las variables en orden alfabetico. Aclaremos este punto volviendo a la ecuación anterior x+y=7. La solución a esta ecuación x=4, y=3 se puede escribir brevemente como (4, 3).
La mayor atención en curso escolar Las matemáticas, el álgebra y los inicios del análisis se dedican a encontrar las raíces de ecuaciones en una variable. Discutiremos las reglas de este proceso con gran detalle en el artículo. resolviendo ecuaciones.
Bibliografía.
- Matemáticas. 2 clases Libro de texto para educación general instituciones con adj. por electrón transportador. A las 2 p.m. Parte 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3ª ed. - M.: Educación, 2012. - 96 p.: enfermo. - (Escuela de Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Álgebra: libro de texto para 7mo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Sé matematicas escolares, el niño escucha el término “ecuación” por primera vez. ¿Qué es esto? Intentemos resolverlo juntos. En este artículo veremos los tipos y métodos de solución.
Matemáticas. Ecuaciones
Para empezar, te sugerimos entender el concepto en sí, ¿qué es? Como dicen muchos libros de texto de matemáticas, una ecuación son algunas expresiones entre las cuales debe haber un signo igual. Estas expresiones contienen letras, las llamadas variables, cuyo valor debe encontrarse.
Este es un atributo del sistema que cambia su valor. Un ejemplo claro las variables son:
- temperatura del aire;
- altura del niño;
- peso, etc.
En matemáticas, se designan con letras, por ejemplo, x, a, b, c... Por lo general, una tarea matemática es la siguiente: encuentre el valor de la ecuación. Esto significa que es necesario encontrar el valor de estas variables.
Variedades
La ecuación (ya comentamos de qué se trata en el párrafo anterior) puede tener la siguiente forma:
- lineal;
- cuadrado;
- cúbico;
- algebraico;
- trascendental.
Para más conocido detallado con todos los tipos, consideremos cada uno por separado.
Ecuación lineal
Esta es la primera especie que conocen los escolares. Se resuelven con bastante rapidez y sencillez. Entonces, ¿qué es una ecuación lineal? Esta es una expresión de la forma: ah=c. No está particularmente claro, así que demos algunos ejemplos: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Veamos ejemplos de ecuaciones. Para ello, necesitamos recoger todos los datos conocidos por un lado y los desconocidos por el otro: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Usado aquí reglas básicas matemáticas: a*c=e, de este c=e/a; a=e/c. Para completar la solución de la ecuación, realizamos una acción (en nuestro caso, división) x = 13; x=8; x=5. Estos fueron ejemplos de multiplicación, ahora veamos la resta y la suma: x+3=9; 10x-5=15. Transferimos los datos conocidos en una dirección: x=9-3; x=20/10. Realiza la última acción: x=6; x=2.
Las opciones también son posibles ecuaciones lineales, donde se utiliza más de una variable: 2x-2y=4. Para resolver es necesario sumar 2y a cada parte, obtenemos 2x-2y+2y=4-2y, como notamos, en el lado izquierdo del signo igual -2y y +2y cancelamos, dejándonos con: 2x=4 -2у. El último paso es dividir cada parte entre dos, obtenemos la respuesta: x es igual a dos menos y.
Se encuentran problemas con ecuaciones incluso en los papiros de Ahmes. Aquí tienes uno de los problemas: un número y su cuarta parte suman 15. Para resolverlo escribimos la siguiente ecuación: X más un cuarto de X es igual a quince. Vemos otro ejemplo basado en el resultado de la solución, obtenemos la respuesta: x=12. Pero este problema se puede resolver de otra manera, a saber, el método egipcio o, como se le llama de otra manera, el método de la suposición. Utilizado en papiro siguiente solución: toma cuatro y su cuarta parte, es decir, uno. En total dan cinco, ahora hay que dividir quince por la suma, obtenemos tres, el último paso es multiplicar tres por cuatro. Obtenemos la respuesta: 12. ¿Por qué dividimos quince entre cinco en la solución? Entonces averiguamos cuántas veces quince, es decir, el resultado que necesitamos es menor que cinco. Los problemas se resolvieron de esta manera en la Edad Media; se conoció como el método de la posición falsa.
Ecuaciones cuadráticas
Además de los ejemplos comentados anteriormente, hay otros. ¿Cuáles exactamente? Ecuación cuadrática, ¿qué es? Parecen ax 2 +bx+c=0. Para resolverlos, es necesario familiarizarse con algunos conceptos y reglas.
Primero, necesitas encontrar el discriminante usando la fórmula: b 2 -4ac. Hay tres posibles resultados de la decisión:
- discriminante Por encima de cero;
- menos que cero;
- igual a cero.
En la primera opción, podemos obtener la respuesta a partir de dos raíces, que se encuentran según la fórmula: -b+-raíz del discriminante dividida por el doble del primer coeficiente, es decir, 2a.
En el segundo caso, la ecuación no tiene raíces. En el tercer caso, la raíz se encuentra mediante la fórmula: -b/2a.
Veamos un ejemplo ecuación cuadrática para una introducción más detallada: tres x al cuadrado menos catorce x menos cinco es igual a cero. Para empezar, como escribimos anteriormente, buscamos un discriminante, en nuestro caso es igual a 256. Tenga en cuenta que el número resultante es mayor que cero, por lo tanto, debemos obtener una respuesta que consta de dos raíces. Sustituimos el discriminante resultante en la fórmula para encontrar raíces. Como resultado tenemos: x es igual a cinco y menos un tercio.
Casos especiales en ecuaciones cuadráticas.
Estos son ejemplos en los que algunos valores son cero (a, b o c), y posiblemente más de uno.
Por ejemplo, tomemos la siguiente ecuación, que es cuadrática: dos x al cuadrado es igual a cero, aquí vemos que b y c son iguales a cero. Intentemos resolverlo, para ello dividimos ambos lados de la ecuación entre dos, tenemos: x 2 =0. Como resultado, obtenemos x=0.
Otro caso es 16x 2 -9=0. Aquí sólo b=0. Resolvamos la ecuación, trasladamos el coeficiente libre al lado derecho: 16x 2 = 9, ahora dividimos cada parte entre dieciséis: x 2 = nueve decimosextos. Como tenemos x al cuadrado, la raíz de 9/16 puede ser negativa o positiva. Escribimos la respuesta de la siguiente manera: x es igual a más/menos tres cuartos.
Otra posible respuesta es que la ecuación no tiene raíz alguna. Veamos este ejemplo: 5x 2 +80=0, aquí b=0. Para resolverlo, lanza el miembro gratuito a lado derecho, luego de estas acciones obtenemos: 5x 2 = -80, ahora dividimos cada parte entre cinco: x 2 = menos dieciséis. Si cualquier número se eleva al cuadrado, entonces significado negativo no lo conseguiremos. Por tanto, nuestra respuesta es: la ecuación no tiene raíces.
Expansión trinomio
Una tarea sobre ecuaciones cuadráticas también puede sonar así: expandir trinomio cuadrático por multiplicadores. Esto se puede hacer usando la siguiente fórmula: a(x-x 1)(x-x 2). Para hacer esto, como en la otra versión de la tarea, es necesario encontrar un discriminante.
Consideremos siguiente ejemplo: 3x 2 -14x-5, factoriza el trinomio. Encontramos el discriminante usando una fórmula que ya conocemos; resulta ser igual a 256. Inmediatamente notamos que 256 es mayor que cero, por lo tanto, la ecuación tendrá dos raíces. Los encontramos, como en el párrafo anterior, tenemos: x = cinco y menos un tercio. Usemos la fórmula para factorizar el trinomio: 3(x-5)(x+1/3). En el segundo paréntesis obtuvimos un signo igual, porque la fórmula contiene un signo menos, y la raíz también es negativa, usando conocimientos básicos de matemáticas, en la suma tenemos un signo más. Para simplificar, multipliquemos el primer y tercer término de la ecuación para eliminar la fracción: (x-5)(x+1).
Ecuaciones que se reducen a cuadrática
En esta sección aprenderemos cómo resolver ecuaciones más complejas. Empecemos ahora mismo con un ejemplo:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Podemos notar elementos repetidos: (x 2 - 2x), para resolverlo nos conviene reemplazarlo por otra variable, y luego resuelva la ecuación cuadrática habitual inmediatamente. Tenga en cuenta que en tal tarea obtendremos cuatro raíces, esto no debería asustarlo. Denotamos la repetición de la variable a. Obtenemos: a 2 -2a-3=0. Nuestro siguiente paso es encontrar el discriminante de la nueva ecuación. Obtenemos 16, encontramos dos raíces: menos uno y tres. Recordamos que hicimos el reemplazo, sustituimos estos valores, como resultado tenemos las ecuaciones: x 2 - 2x=-1; x2 - 2x=3. Los solucionamos en la primera respuesta: x igual a uno, en el segundo: x es igual a menos uno y tres. Escribimos la respuesta de la siguiente manera: más/menos uno y tres. Como regla general, la respuesta se escribe en orden ascendente.
ecuaciones cúbicas
Consideremos otra posible opción. Se trata de ecuaciones cúbicas. Se ven así: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Veremos ejemplos de ecuaciones a continuación, pero primero, un poco de teoría. Pueden tener tres raíces y también existe una fórmula para encontrar el discriminante de una ecuación cúbica.
Veamos un ejemplo: 3x 3 +4x 2 +2x=0. ¿Cómo resolverlo? Para hacer esto, simplemente sacamos x entre paréntesis: x(3x 2 +4x+2)=0. Todo lo que tenemos que hacer es calcular las raíces de la ecuación entre paréntesis. El discriminante de la ecuación cuadrática entre paréntesis es menor que cero, en base a esto la expresión tiene raíz: x=0.
Álgebra. Ecuaciones
Pasemos a la siguiente vista. Ahora veremos brevemente ecuaciones algebraicas. Una de las tareas es la siguiente: factorizar 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. lo mas de una manera conveniente quedará la siguiente agrupación: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Tenga en cuenta que representamos 8x 2 de la primera expresión como la suma de 3x 2 y 5x 2. Ahora sacamos de cada soporte. multiplicador común 3x 2 (x2+1)+2x(x 2 +1)+5(x 2 +1). Vemos que tenemos un factor común: x al cuadrado más uno, lo sacamos de paréntesis: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). No es posible una mayor expansión ya que ambas ecuaciones tienen un discriminante negativo.
Ecuaciones trascendentales
Le sugerimos tratar con el siguiente tipo. Se trata de ecuaciones que contienen funciones trascendentales, concretamente logarítmicas, trigonométricas o exponenciales. Ejemplos: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 y así sucesivamente. Aprenderás cómo se resuelven en el curso de trigonometría.
Función
El último paso es considerar el concepto de ecuación de una función. A diferencia de las opciones anteriores, este tipo No se resuelve, pero se construye un cronograma en base a ello. Para ello conviene analizar bien la ecuación, encontrando todo puntos necesarios para construir, calcular los puntos mínimo y máximo.
En general, cualquier ecuación es modelo matemático báscula de copa (palanca, brazo igual, balancín; hay muchos nombres), inventada en antigua babilonia Hace 7000 años o incluso antes. Es más, incluso creo que fueron las balanzas de copa utilizadas en los bazares más antiguos las que se convirtieron en el prototipo de las ecuaciones. Y si consideramos cualquier ecuación no como un conjunto incomprensible de números y letras conectados por dos palos paralelos, sino como una balanza, entonces no habrá problemas con todo lo demás:
Cualquier ecuación es como una balanza equilibrada.
Da la casualidad de que cada día hay más ecuaciones en nuestras vidas, pero cada vez se comprende menos qué es una ecuación y cuál es su significado. En cualquier caso, esta impresión me dio al intentar explicarle a mi hija mayor el significado de la más sencilla ecuación matemática tipo:
x + 2 = 8 (500.1)
Aquellos. en la escuela, por supuesto, explican que en tales casos, para encontrar X, necesitas restar 2 del lado derecho:
x = 8 - 2 (500.3)
Esto es, por supuesto, absolutamente buena accion, pero ¿por qué es necesario restar y no, por ejemplo, sumar o dividir, en libros de texto escolares no hay explicación. Sólo hay una regla que sólo necesitas aprender:
Cuando un miembro de una ecuación se transfiere de una parte a otra, su signo cambia al opuesto..
En cuanto a cómo debe entender esta regla un niño de 10 años y cuál es su significado, tú decides y piensas. Además, resultó que mis parientes cercanos tampoco entendieron nunca el significado de las ecuaciones, sino que simplemente memorizaron lo que se requería (y la regla anterior en particular), y solo entonces las aplicaron como Dios quiso. No me gustó esta situación, así que decidí escribir este artículo (mi hijo menor está creciendo, dentro de unos años tendrá que explicar esto nuevamente, y esto también puede ser útil para los pocos lectores de mi sitio) .
Quiero decir de inmediato que, aunque estudié en la escuela durante 10 años, nunca aprendí ninguna regla o definición relacionada con las disciplinas técnicas. Aquellos. si algo está claro, entonces será recordado, pero si algo no está claro, entonces ¿qué sentido tiene abarrotarlo sin entender el significado, si de todos modos será olvidado? Y además, si no entiendo algo, significa que no lo necesito (hace poco me di cuenta de que si no entendía algo en la escuela, no era culpa mía, sino de los profesores, los libros de texto y sistemas educativos en general).
Este enfoque me proporcionó mucho tiempo libre, del que tanto carecía en mi infancia, para todo tipo de juegos y entretenimiento. Al mismo tiempo, participé en varias Olimpíadas de física y química e incluso gané un concurso regional de matemáticas. Pero el tiempo pasó, el número de disciplinas que operaban conceptos abstractos, solo aumentó y en consecuencia mis calificaciones disminuyeron. En el primer año del instituto, el número de disciplinas que trabajaban con conceptos abstractos era la mayoría absoluta y, por supuesto, yo era un estudiante de C completa. Pero luego, cuando por diversas razones tuve que lidiar con la solidez de los materiales sin la ayuda de conferencias y notas y en cierto modo lo entendí, todo salió bien y terminó con un diploma de honores. Sin embargo, no se trata de esto ahora, sino del hecho de que, debido a estos detalles específicos, mis conceptos y definiciones pueden diferir significativamente de los que se enseñan en la escuela.
Ahora sigamos
Las ecuaciones más simples, analogía con escalas.
De hecho, a los niños se les enseña a comparar varios artículos También en edad preescolar cuando todavía no saben hablar. Suelen comenzar con comparaciones geométricas. Por ejemplo, a un niño se le muestran dos cubos y el niño debe determinar cuál cubo es más grande y cuál es más pequeño. Y si son iguales, entonces es igualdad de tamaño. Luego la tarea se vuelve más complicada, al niño se le muestran objetos. diversas formas, varios colores y elige artículos idénticos Se vuelve cada vez más difícil para el niño. Sin embargo, no complicaremos tanto la tarea, sino que nos centraremos sólo en un tipo de igualdad: el peso monetario.
Cuando las escalas están al mismo nivel horizontal (las flechas de las escalas que se muestran en la figura 500.1 en naranja y azul, coinciden, el nivel horizontal se muestra con una línea negra en negrita), esto significa que en el platillo derecho de la báscula hay la misma cantidad de peso que en el platillo izquierdo. En el caso más sencillo, podrían ser pesas de 1 kg:
Figura 500.1.
Y luego obtenemos la ecuación más simple 1 = 1. Sin embargo, esta ecuación es solo para mí, en matemáticas. expresiones similares Lo llaman igualdad, pero eso no cambia la esencia. Si quitamos el peso del platillo izquierdo de la balanza y ponemos cualquier cosa encima, incluso manzanas, incluso clavos, incluso caviar rojo, y al mismo tiempo la balanza está en el mismo nivel horizontal, esto seguirá significando que 1 kg de cualquiera de los productos indicados equivale a 1 kg de peso restante en el lado derecho de la báscula. Sólo queda pagar este kilogramo según el precio fijado por el vendedor. Otra cosa es que puede que no le guste el precio o tenga dudas sobre la precisión de la báscula, pero estas ya son cuestiones de relaciones económicas y jurídicas, matemáticas. relación directa no teniendo.
Por supuesto, en aquellos tiempos lejanos, cuando aparecieron las básculas de taza, todo era mucho más sencillo. En primer lugar, no existía una medida de peso como el kilogramo, pero había unidades monetarias correspondientes a medidas de peso, por ejemplo, talentos, siclos, libras, grivnas, etc. (por cierto, hace tiempo que me sorprende que exista una libra - unidad monetaria y la libra es una medida de peso, está la hryvnia, una unidad monetaria, y una vez la hryvnia fue una medida de peso, y solo recientemente, cuando aprendí que el talento no es solo la unidad monetaria de los antiguos judíos, mencionado en Viejo Testamento, pero también la medida de peso adoptada en la antigua Babilonia, todo encajó).
Más precisamente, al principio existían medidas de peso, generalmente granos de cereales, y sólo entonces apareció el dinero correspondiente a estas medidas de peso. Por ejemplo, 60 granos correspondían a un siclo, 60 siclos a una mina y 60 mina a un talento. Por lo tanto, inicialmente se utilizaron balanzas para comprobar si el dinero ofrecido era falso, y sólo entonces aparecieron las pesas como equivalentes de dinero, pesas y cálculos, balanzas electrónicas y tarjetas de plástico, pero esto no cambia la esencia del asunto.
En aquellos tiempos lejanos, el vendedor no necesitaba explicar detalladamente cuánto costaría un producto en particular. Bastaba con poner el producto que se vende en un platillo de la balanza y el comprador en el segundo; es muy simple y claro, e incluso no se requiere conocimiento del dialecto local, se puede comerciar en cualquier parte del mundo. Pero volvamos a las ecuaciones.
Si consideramos la ecuación (500.1) desde la posición de la balanza, entonces significa que en el platillo izquierdo de la balanza hay un número desconocido de kilogramos y otros 2 kilogramos, y en el platillo derecho hay 8 kilogramos:
x + 2 kg, = 8 kg, (500.1.2)
Nota: EN en este caso El subrayado simboliza la parte inferior de la escala; cuando se calcula en papel, esta línea puede parecerse más a la parte inferior de la escala. Además, los matemáticos han ideado durante mucho tiempo símbolos especiales: los paréntesis, por lo que cualquier paréntesis puede considerarse como lados de una escala, al menos en la primera etapa de comprensión del significado de las ecuaciones. Sin embargo, dejaré el guión bajo para mayor claridad.
Entonces, ¿qué debemos hacer para averiguar el número desconocido de kilogramos? ¡Bien! Retire 2 kilogramos de los lados izquierdo y derecho de la balanza, luego la balanza permanecerá en el mismo nivel horizontal, es decir, todavía tendremos igualdad:
x + 2 kg, - 2 kg = 8 kg, - 2 kg (500.2.2)
Respectivamente
x, = 8 kg - 2 kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
Figura 500.2.
A menudo, las matemáticas no operan con kilogramos, sino con algunas unidades abstractas adimensionales, y luego escribir la solución a la ecuación (500.1), por ejemplo en un borrador, se verá así:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Lo cual se refleja en la Figura 500.2.
Nota: Formalmente, para una mejor comprensión, la ecuación (500.2) debe ir seguida de otra ecuación de la forma: x + 2 - 2, = 8 - 2, lo que significa que la acción ha terminado y nuevamente estamos tratando con cuencos de peso en equilibrio. Sin embargo, en mi opinión, de una manera tan completamente registro completo No hay necesidad de una solución.
En los artículos en blanco se suele utilizar una notación abreviada de la solución de la ecuación, y en mi opinión no solo se abrevian las que son muy necesarias. etapa inicial estudiando ecuaciones, símbolos de escalas, pero incluso ecuaciones enteras. Entonces, una versión abreviada de la solución de la ecuación (500.1) en una versión limpia, según los ejemplos dados en los libros de texto, se verá así:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Como resultado, utilizando la analogía con las escalas, compilamos ecuación adicional(500.2) en comparación con el método de solución propuesto en los libros de texto, o la forma de registrar esta solución. En mi opinión, esta es una ecuación, además, escrita aproximadamente de esta forma, es decir, con una designación simbólica de escalas: esto es lo que enlace perdido, importante para comprender el significado de las ecuaciones.
Aquellos. Al resolver ecuaciones, no transferimos nada con el signo opuesto a ninguna parte, sino que realizamos las mismas operaciones matemáticas con los lados izquierdo y derecho de la ecuación.
Ahora es costumbre escribir la solución de las ecuaciones en la forma abreviada indicada anteriormente. A la ecuación (500.1.1) le sigue inmediatamente la ecuación (500.3.1), de ahí la regla de los signos inversos, que, sin embargo, es más fácil de recordar para muchos que de ahondar en el significado de las ecuaciones.
Nota: Además, no tengo nada en contra de la forma abreviada de grabación. Los usuarios avanzados pueden acortar aún más este formulario, pero esto sólo debe hacerse después significado general Las ecuaciones ya se entienden claramente.
Y la notación extendida te permite comprender las reglas principales para resolver ecuaciones:
1. Si realizamos las mismas operaciones matemáticas con la izquierda y lado derecho ecuaciones, entonces la igualdad permanece.
2. No importa qué parte de la ecuación que estamos considerando queda a la izquierda y cuál a la derecha, podemos intercambiarlas libremente.
Estas operaciones matemáticas pueden ser cualquier cosa. Podemos restar el mismo número del lado izquierdo y del lado derecho como se muestra arriba. Podemos sumar el mismo número a los lados izquierdo y derecho de la ecuación, por ejemplo:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Podemos dividir o multiplicar ambos lados por el mismo número, por ejemplo:
3x, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3x, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Podemos integrar o diferenciar ambas partes. Podemos hacer lo que queramos con las partes izquierda y derecha, pero si estas acciones son las mismas para las partes izquierda y derecha, entonces la igualdad permanecerá (las escalas permanecerán en el mismo nivel horizontal).
Por supuesto, debe elegir acciones que le permitan determinar la cantidad desconocida de la forma más rápida y sencilla posible.
Desde este punto de vista, el método clásico de acción inversa parece más sencillo, pero qué hacer si el niño aún no ha estudiado. números negativos? Mientras tanto, la ecuación compilada tiene la siguiente forma:
5-x=3 (500.8)
Aquellos. al resolver esta ecuación usando el método clásico, uno de opciones posibles La solución que da la notación más corta es la siguiente:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Y lo más importante, ¿cómo puedes explicarle a un niño por qué la ecuación (500.8.3) es idéntica a la ecuación (500.8.4)?
Esto significa que en este caso, incluso cuando se utiliza método clásico No tiene sentido ahorrar en escritura y primero debe deshacerse del valor desconocido en el lado izquierdo, que tiene un signo negativo.
5-x=3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
La entrada completa se verá así:
5-x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Lo agregaré de nuevo. Una grabación completa de la solución no es necesaria para los profesores, sino para una mejor comprensión del método para resolver ecuaciones. Y cuando intercambiamos los lados izquierdo y derecho de la ecuación, es como si estuviéramos cambiando la visión de la escala desde el punto de vista del comprador al punto de vista del vendedor, pero la igualdad sigue siendo la misma.
Desafortunadamente, nunca logré que mi hija escribiera la solución por completo, ni siquiera en borradores. Tiene un argumento férreo: “no nos enseñaron así”. Mientras tanto, la complejidad de las ecuaciones que se compilan aumenta, el porcentaje de adivinar qué acción se debe realizar para determinar la cantidad desconocida disminuye y las calificaciones bajan. No sé qué hacer con esto...
Nota:v matemáticas modernas Se acostumbra distinguir entre igualdades y ecuaciones, es decir 1 = 1 es solo una igualdad numérica, y si en una de las partes de la igualdad hay una incógnita que es necesario encontrar, entonces esto ya es una ecuación. En lo que a mí respecta, tal diferenciación de significados no tiene mucho sentido, sólo complica la percepción del material. Creo que cualquier igualdad se puede llamar ecuación y cualquier ecuación se basa en la igualdad. Y además surge la pregunta: x = 6, ¿esto ya es una igualdad o sigue siendo una ecuación?
Las ecuaciones más simples, analogía con el tiempo.
Por supuesto, la analogía con las escalas a la hora de resolver ecuaciones está lejos de ser la única. Por ejemplo, la resolución de ecuaciones también puede considerarse desde una perspectiva temporal. Entonces la condición descrita por la ecuación (500.1) quedará así:
Después de haber agregado a una cantidad desconocida X 2 unidades más, ahora tenemos 8 unidades (presentes). Sin embargo, por una razón u otra, no nos interesa cuántos hay, sino cuántos había en tiempo pasado. En consecuencia, para saber cuántas de estas mismas unidades teníamos, debemos realizar la acción opuesta, es decir reste 2 de 8 (Ecuación 500.3). Este enfoque corresponde exactamente a lo que se presenta en los libros de texto, pero en mi opinión no es tan claro como la analogía con las escalas. Sin embargo, las opiniones sobre este asunto pueden diferir.
Un ejemplo de resolución de una ecuación entre paréntesis.
Escribí este artículo en el verano, cuando mi hija se graduó de cuarto grado, pero menos de seis meses después, en la escuela les pidieron que resolvieran ecuaciones de la siguiente forma:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Nadie en la clase pudo resolver esta ecuación y, sin embargo, no hay nada complicado en resolverla usando el método que propuse, pero la forma completa de la notación ocupará demasiado espacio:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Sin embargo, en esta etapa de tal forma completa No es necesario grabar. Como llegamos a los corchetes dobles, no es necesario Operaciones matemáticas Haga una ecuación separada en los lados izquierdo y derecho, por lo que escribir la solución en un borrador podría verse así:
97 + 75: (50 - 5x), : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
75,: 3 = 3 (50 - 5x),: 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
En total, en esta etapa fue necesario anotar 14 ecuaciones para resolver la original.
En este caso, escribir la solución de la ecuación en una copia limpia puede verse así:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Aquellos. con la forma abreviada de notación, todavía tenemos que crear 12 ecuaciones. Los ahorros en la grabación son mínimos, pero un alumno de quinto grado puede tener problemas para comprender las acciones requeridas.
PD Sólo cuando se trataba de paréntesis dobles mi hija se interesó en el método que propuse para resolver ecuaciones, pero al mismo tiempo, en su forma escrita, incluso en el borrador, todavía hay 2 veces menos ecuaciones, porque se salta la final. ecuaciones como (500.10.4), (500.10.7) y similares, y cuando se escribe, inmediatamente deja espacio para la siguiente operación matemática. Como resultado, la entrada en su borrador se veía así:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75,: 3 = 3 (50 - 5x),: 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Como resultado, obtuvimos solo 8 ecuaciones, que es incluso menos de lo que se requiere al escribir la solución en forma abreviada. En principio no me importa, pero sería útil.
En realidad, eso es todo lo que quería decir sobre la resolución de las ecuaciones más simples que contienen una cantidad desconocida. Para resolver ecuaciones que contienen dos cantidades desconocidas, necesitarás
- Una igualdad con una variable se llama ecuación.
- Resolver una ecuación significa encontrar sus muchas raíces. Una ecuación puede tener una, dos, varias, muchas raíces o ninguna.
- Cada valor de una variable en el que una ecuación dada se convierte en una verdadera igualdad se llama raíz de la ecuación.
- Las ecuaciones que tienen las mismas raíces se llaman ecuaciones equivalentes.
- Cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
- Si ambos lados de una ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación dada.
Ejemplos. Resuelve la ecuación.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad, y miembros libres– en el lado derecho de la igualdad. En este caso se utilizó la siguiente propiedad:
1,2x = -6. Trajo términos similares en concordancia con reglas:
x = -6 : 1.2. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que
x = -5. Dividido según la regla para dividir una fracción decimal entre decimal:
Para dividir un número por una fracción decimal, debes mover las comas en el dividendo y el divisor tantos dígitos hacia la derecha como haya después del punto decimal en el divisor, y luego dividir por el número natural:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Respuesta: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Abrimos los corchetes usando la ley distributiva de la multiplicación relativa a la resta: (a-b) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.
6x-4x = -16+27. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando así el signo del término al opuesto.
2x = 11. Se dieron términos similares según la regla: para obtener términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado resultante por su parte alfabética común (es decir, sumar su parte alfabética común al resultado obtenido).
x = 11 : 2. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación dada.
Respuesta: 5,5.
3. 7x-(3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Abrimos los corchetes según la regla de apertura de corchetes precedida por un signo “-”: si hay un signo "-" delante de los corchetes, elimine los corchetes y el signo "-" y escriba los términos entre corchetes con signos opuestos.
7x-2xx-x = -9+3. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando así el signo del término al opuesto.
4x = -6. Se dieron términos similares según la regla: para obtener términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado resultante por su parte alfabética común (es decir, sumar su parte alfabética común al resultado obtenido).
x = -6 : 4. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación dada.
Respuesta: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multiplica ambos lados de la ecuación por 12 - el más pequeño común denominador para los denominadores de estas fracciones.
3x-15 = 84-8x+44. Abrimos los corchetes usando la ley distributiva de la multiplicación relativa a la resta: Para multiplicar la diferencia de dos números por un tercer número, puedes multiplicar por separado el minuendo y restar por separado por el tercer número, y luego restar el segundo resultado del primer resultado, es decir(a-b) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.
3x+8x = 84+44+15. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando así el signo del término al opuesto.
11x = 143. Se dieron términos similares según la regla: para obtener términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado resultante por su parte alfabética común (es decir, sumar su parte alfabética común al resultado obtenido).
x = 143 : 11. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación dada.
Respuesta: 13.
5. Resuelve las ecuaciones tú mismo:
A) 3-2,6x = 5x+1,48;
b) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);
V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);
5a) 0,2; 5B) 2,5; 5c) 2; 5d) -1.
Teniendo en cuenta la periodicidad de la función seno, escribimos una doble desigualdad para los valores del argumento. t, satisfaciendo la última desigualdad. Volvamos a la variable original. Transformemos la doble desigualdad resultante y expresemos la variable X. Escribamos la respuesta en forma de intervalo.
Resolvamos la segunda desigualdad:
Al resolver la segunda desigualdad, tuvimos que transformar el lado izquierdo de esta desigualdad usando la fórmula del seno de doble argumento para obtener una desigualdad de la forma: sint≥a. A continuación seguimos el algoritmo.
Resolvemos la tercera desigualdad:
Estimados graduados y solicitantes! Tenga en cuenta que los métodos para resolver desigualdades trigonométricas como el anterior método gráfico y, probablemente usted lo conozca, el método de solución utilizando un solo círculo trigonométrico (círculo trigonométrico) son aplicables solo en las primeras etapas del estudio de la sección de trigonometría "Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas". Creo que recordarás que lo más simple. ecuaciones trigonométricas Primero resolviste usando gráficas o un círculo. Sin embargo, ahora no se te ocurriría resolver ecuaciones trigonométricas de esta manera. ¿Cómo los solucionas? Así es, según las fórmulas. Eso es desigualdades trigonométricas debe resolverse usando fórmulas, especialmente durante las pruebas, cuando cada minuto es precioso. Entonces, resuelve las tres desigualdades de esta lección usando la fórmula adecuada.
Si sint>a, donde -1≤ a≤1, entonces arcosen a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
¡Aprende fórmulas!
Una igualdad con un número desconocido se llama ecuación.
Por ejemplo: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
Resolver una ecuación significa encontrar un valor de un número desconocido tal que la igualdad sea verdadera.
Este número se llama raíz de la ecuación.
Por ejemplo:
x+ 23 = 45; x = 22, ya que 22 + 23 = 45.
Por lo tanto, esta definición también especifica una forma de probar una ecuación: sustituir el valor encontrado de un número desconocido en una expresión, calcular su valor y comparar el resultado con un número dado (respuesta).
Si el valor del número desconocido se encuentra correctamente, entonces se obtiene la igualdad correcta.
Métodos para resolver ecuaciones.
El estudio de las ecuaciones más simples y los métodos para resolverlas se ha arraigado firmemente en el sistema de formación matemática inicial. Las ecuaciones son uno de los medios para modelar los fragmentos de la realidad que se estudian y el conocimiento de ellas es una parte esencial de la educación matemática. Al mismo tiempo, presentar las ecuaciones a los niños de primaria los prepara para estudiar matemáticas en la escuela primaria.
En matemáticas, una ecuación suele entenderse como “una representación analítica del problema de encontrar los valores de los argumentos para los cuales los valores de las dos funciones dadas son iguales. Los argumentos de los que dependen estas funciones se llaman desconocido, y los valores de las incógnitas en las que los valores de las funciones son iguales son soluciones: las raíces de la ecuación". Esto significa que el concepto de ecuación está, en primer lugar, asociado con expresión analítica(en nuestro caso con la aritmética), y en segundo lugar, - Con el concepto de variable que toma valores de un determinado conjunto.
En la escuela primaria se discuten dos formas de resolver una ecuación.
Método de selección
Se selecciona un valor adecuado del número desconocido entre establecer valores, o de un conjunto arbitrario de números.
El número elegido debería, cuando se sustituya en la expresión, convertirla en una verdadera igualdad. Por ejemplo:
De los números 7, 10, 5, 4, 1, 3, selecciona para cada ecuación un valor de x que dará la igualdad correcta: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
Cada uno de los números propuestos se verifica sustituyendo en la expresión y comparando el valor resultante con la respuesta.
Con una gran cantidad de valores propuestos, este método requiere mucho tiempo y esfuerzo. Al seleccionar de forma independiente los significados de las expresiones, es posible que el niño no encuentre de forma independiente el posible significado de lo desconocido.
Una forma de utilizar la relación entre los componentes de la acción.
Se utilizan reglas para la interconexión de componentes de acción.
Por ejemplo:
Resuelve la ecuación: 9 + x=14
El término es desconocido. Para encontrar el término desconocido, debes restar el término conocido de la suma. Esto significa x = 14 - 9; x = 5.
Resuelve la ecuación: 7 -x=2
Sustraendo desconocido. Para encontrar el sustraendo desconocido, debes restar la diferencia del minuendo. Esto significa x = 1 - 2; x = 5.
Resuelve la ecuación: x-1 = 9
Minuendo desconocido. Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia. Entonces x = 9 + 1; x = 10.
Para resolver ecuaciones con las operaciones de multiplicación y división se utilizan las reglas de dependencia de los componentes de la multiplicación y división.
Por ejemplo:
Resuelve la ecuación: 96:x=24
Divisor desconocido. Para encontrar un divisor desconocido, debes dividir el dividendo por el cociente. Esto significa x = 96: 24; x = 4. Comprobemos la solución: 24 4 = 96.
Resuelve la ecuación: x:23 = 4
Dividendo desconocido. Para encontrar el dividendo desconocido, debes multiplicar el divisor por el cociente. Esto significa x = 23 4; x = 92. Comprobemos la solución: 92: 23 = 4.
Resuelve la ecuación: o:- 14 = 84
Multiplicador desconocido. Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por el factor conocido. Esto significa x = 84:14; Comprobemos la solución: x 14 = 84.
El uso de estas reglas proporciona una forma más rápida de resolver ecuaciones. La dificultad es que muchos niños confunden las reglas para la relación de los componentes de la acción y los nombres de los componentes (es necesario conocer bien 6 reglas y los nombres de 10 componentes).
Para ecuaciones más difíciles, se utiliza un método de ajuste, por ejemplo:
35 + x + x + x = 35 - es obvio que la incógnita solo puede tomar un valor cero;
78-x-x = 76 - obviamente x = 1, ya que 78 - 1 - 1 = 76.
Para ecuaciones con paréntesis de la forma (6 + x) - 5 = 38, se utiliza la regla para la relación de los componentes de acción. Lado izquierdo las ecuaciones se consideran primero como una diferencia, considerando la expresión entre paréntesis como una única componente desconocida. Este único componente desconocido es el minuendo. Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia:
Por tanto, la ecuación adquiere su forma habitual. En esta ecuación necesitas encontrar el término desconocido: x = 43-6;
Comprobemos la solución (sustituyamos el valor encontrado de la incógnita en la expresión original): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Varios libros de texto de matemáticas alternativos para los grados primarios practican la introducción a los niños a más ecuaciones complejas(I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), para cuya solución se recomienda aplicar repetidamente las reglas para la relación de los componentes de acción.
Por ejemplo:
Resuelve la ecuación: (y-3)-5-875 = 210
Miremos el lado izquierdo de la ecuación y determinemos el orden de las acciones.
(y-3)- 5 -875 = 210
El tipo de expresión en el lado izquierdo está determinado por la última acción: la última acción es resta, lo que significa que comenzamos a considerar la expresión como una diferencia.
Minuendo (y - 3) 5, resta 875, valor de diferencia 210.
Lo desconocido está contenido en lo reducido. Encontremos el minuendo (consideramos esta expresión completa como un solo minuendo): para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia.
(y- 3)- 5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
Determinamos nuevamente el procedimiento: (y - 3) 5 = 1085.
Según la última acción, consideramos que la expresión del lado izquierdo es un producto. El primer factor es (y - 3), el segundo factor es 5, el valor del producto es 1085. La incógnita está contenida en el primer factor. Encontrémoslo (consideramos desconocida la expresión completa y - 3). Encontrar multiplicador desconocido, debes dividir el producto por un factor conocido.
y - 3 = 1085: 5;
Hemos recibido una ecuación en la que se desconoce el minuendo. Encontrémoslo:
Comprobemos la solución sustituyendo el valor encontrado de la incógnita en la ecuación original:
(218-3)-5-875 = 210.
Habiendo calculado el valor del lado izquierdo, estamos convencidos de que se ha obtenido la igualdad correcta. Esto significa que la ecuación se resuelve correctamente.
El análisis del método de solución anterior muestra que se trata de un proceso largo y laborioso que requiere que el niño tenga un conocimiento claro de todas las reglas, un alto nivel de análisis y la capacidad de percibir la estructura compleja de una variable obtenida a través de una Solución paso a paso como un todo (alto nivel de síntesis y abstracción).
Un adulto que esté familiarizado con el método universal para resolver ecuaciones similares utilizado en la escuela secundaria (abrir paréntesis, mover los componentes de la ecuación de izquierda a derecha) ve claramente las imperfecciones y la excesiva intensidad de trabajo de este método. En este sentido, varios metodólogos expresan con razón dudas sobre la conveniencia de introducir activamente ecuaciones de una estructura tan compleja en los cursos de matemáticas de la escuela primaria. Este método de solución es irracional desde un punto de vista matemático y será olvidado y descartado tan pronto como un profesor de matemáticas en los grados 5-7 presente al niño las técnicas generales para resolver ecuaciones de este tipo.
