Ejemplos de ecuaciones con decimales. ODZ

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

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Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones contienen necesariamente fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.

¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Necesitamos resolver la ecuación:

Como se enseña en clases junior? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a común denominador etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer cuando sumas o restas. expresiones fraccionarias. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:

Este multiplicación ordinaria fracciones, pero lo escribiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo Y todo lado derecho:

Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un solo número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!

Ahora abramos los corchetes:

Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:

Pero antes de eso aprenderemos a resolver otros problemas. Sobre intereses. ¡Eso es un rastrillo, por cierto!

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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Resolver ecuaciones con fracciones Veamos ejemplos. Los ejemplos son simples e ilustrativos. Con su ayuda, podrá comprender de la manera más comprensible.
Por ejemplo, necesitas resolver la ecuación simple x/b + c = d.

Una ecuación de este tipo se llama lineal porque El denominador contiene sólo números.

La solución se realiza multiplicando ambos lados de la ecuación por b, luego la ecuación toma la forma x = b*(d – c), es decir el denominador de la fracción del lado izquierdo se cancela.

Por ejemplo, cómo resolver ecuación fraccionaria:
x/5+4=9
Multiplicamos ambos lados por 5. Obtenemos:
x+20=45
x=45-20=25

Otro ejemplo cuando la incógnita está en el denominador:

Las ecuaciones de este tipo se denominan fraccionarias-racionales o simplemente fraccionarias.

Resolveríamos una ecuación fraccionaria deshaciéndonos de las fracciones, después de lo cual esta ecuación, en la mayoría de los casos, se convierte en una ecuación lineal o cuadrática, que se resuelve de la forma habitual. Sólo necesitas considerar los siguientes puntos:

• el valor de una variable que convierte el denominador en 0 no puede ser una raíz;
• No puedes dividir o multiplicar una ecuación por la expresión =0.

Aquí es donde entra en vigor el concepto de región de valores permisibles (ADV): ​​estos son los valores de las raíces de la ecuación para los cuales la ecuación tiene sentido.

Por lo tanto, al resolver la ecuación, es necesario encontrar las raíces y luego verificar que cumplan con la ODZ. Quedan excluidas de la respuesta aquellas raíces que no corresponden a nuestra ODZ.

Por ejemplo, necesitas resolver una ecuación fraccionaria:

Según la regla anterior, x no puede ser = 0, es decir ODZ en en este caso: x – cualquier valor distinto de cero.

Eliminamos el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por x

Y resolvemos la ecuación habitual.

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Respuesta: x = 1/3

Resolvamos una ecuación más complicada:

ODZ también está presente aquí: x -2.

Al resolver esta ecuación, no moveremos todo hacia un lado y llevaremos las fracciones a un denominador común. Inmediatamente multiplicaremos ambos lados de la ecuación por una expresión que anulará todos los denominadores a la vez.

Para reducir los denominadores, debes multiplicar el lado izquierdo por x+2 y el lado derecho por 2. Esto significa que ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por 2(x+2):

Esta es la multiplicación de fracciones más común, que ya hemos comentado anteriormente.

Escribamos la misma ecuación, pero ligeramente diferente.

El lado izquierdo se reduce en (x+2) y el derecho en 2. Después de la reducción obtenemos lo habitual. ecuación lineal:

x = 4 – 2 = 2, que corresponde a nuestra ODZ

Respuesta: x = 2.

Resolver ecuaciones con fracciones No es tan difícil como podría parecer. En este artículo lo hemos demostrado con ejemplos. Si tiene alguna dificultad con cómo resolver ecuaciones con fracciones, luego darse de baja en los comentarios.

Las ecuaciones con fracciones en sí no son difíciles y son muy interesantes. Veamos los tipos de ecuaciones fraccionarias y cómo resolverlas.

Cómo resolver ecuaciones con fracciones - x en el numerador

Si se da una ecuación fraccionaria, donde la incógnita está en el numerador, la solución no requiere condiciones adicionales y se resuelve sin problemas innecesarios. forma general dicha ecuación es x/a + b = c, donde x es la incógnita, a, b y c son números ordinarios.

Encuentra x: x/5 + 10 = 70.

Para resolver la ecuación, debes deshacerte de las fracciones. Multiplica cada término de la ecuación por 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Se anulan 5x y 5, se multiplican 10 y 70 por 5 y obtenemos: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Encuentre x: x/5 + x/10 = 90.

Este ejemplo es una versión un poco más complicada del primero. Hay dos posibles soluciones aquí.

• Opción 1: Nos deshacemos de las fracciones multiplicando todos los términos de la ecuación por un denominador mayor, es decir, por 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
• Opción 2: suma el lado izquierdo de la ecuación. x/5 + x/10 = 90. El denominador común es 10. Dividimos 10 por 5, multiplicamos por x, obtenemos 2x. Dividimos 10 por 10, multiplicamos por x, obtenemos x: 2x+x/10 = 90. Por lo tanto, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

A menudo hay ecuaciones fraccionarias en las que las x se ubican de acuerdo con lados diferentes signo igual. En tales situaciones, es necesario mover todas las fracciones con X hacia un lado y los números hacia el otro.

• Encuentre x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Muévete 2x/5 hacia la derecha con signo opuesto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducimos 5x/5 y obtenemos: x = 130.

Cómo resolver una ecuación con fracciones - x en el denominador

Este tipo de ecuaciones fraccionarias requiere escribir condiciones adicionales. La indicación de estas condiciones es parte integrante y obligatoria de la decisión correcta. Al no agregarlas, corres el riesgo de que la respuesta (aunque sea correcta) simplemente no se cuente.

La forma general de las ecuaciones fraccionarias, donde x está en el denominador, es: a/x + b = c, donde x es la incógnita, a, b, c son números ordinarios. Tenga en cuenta que x puede no ser cualquier número. Por ejemplo, x no puede ser igual a cero, ya que no se puede dividir por 0. Esto es exactamente lo que es Condición adicional, que debemos especificar. Esto se denomina rango de valores permitidos, abreviado como VA.

Encuentra x: 15/x + 18 = 21.

Inmediatamente escribimos la ODZ para x: x ≠ 0. Ahora que se indica la ODZ, resolvemos la ecuación según el esquema estándar, deshaciéndonos de las fracciones. Multiplica todos los términos de la ecuación por x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

A menudo hay ecuaciones en las que el denominador contiene no solo x, sino también alguna otra operación con ella, por ejemplo, suma o resta.

Encuentre x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Ya sabemos que el denominador no puede ser igual a cero, lo que significa x-3 ≠ 0. Movemos -3 hacia el lado derecho, cambiando el signo “-” por “+” y obtenemos que x ≠ 3. La ODZ es indicado.

Resolvemos la ecuación, multiplicamos todo por x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Mueva las X a la derecha, los números a la izquierda: 24 = 3x => x = 8.

Resolver ecuaciones con fracciones Veamos ejemplos. Los ejemplos son simples e ilustrativos. Con su ayuda, podrá comprender de la manera más comprensible.
Por ejemplo, necesitas resolver la ecuación simple x/b + c = d.

Una ecuación de este tipo se llama lineal porque El denominador contiene sólo números.

La solución se realiza multiplicando ambos lados de la ecuación por b, luego la ecuación toma la forma x = b*(d – c), es decir el denominador de la fracción del lado izquierdo se cancela.

Por ejemplo, cómo resolver una ecuación fraccionaria:
x/5+4=9
Multiplicamos ambos lados por 5. Obtenemos:
x+20=45
x=45-20=25

Otro ejemplo cuando la incógnita está en el denominador:

Las ecuaciones de este tipo se denominan fraccionarias-racionales o simplemente fraccionarias.

Resolveríamos una ecuación fraccionaria deshaciéndonos de las fracciones, después de lo cual esta ecuación, en la mayoría de los casos, se convierte en una ecuación lineal o cuadrática, que se resuelve de la forma habitual. Sólo necesitas considerar los siguientes puntos:

• el valor de una variable que convierte el denominador en 0 no puede ser una raíz;
• No puedes dividir o multiplicar una ecuación por la expresión =0.

Aquí es donde entra en vigor el concepto de región de valores permisibles (ADV): ​​estos son los valores de las raíces de la ecuación para los cuales la ecuación tiene sentido.

Por lo tanto, al resolver la ecuación, es necesario encontrar las raíces y luego verificar que cumplan con la ODZ. Quedan excluidas de la respuesta aquellas raíces que no corresponden a nuestra ODZ.

Por ejemplo, necesitas resolver una ecuación fraccionaria:

Según la regla anterior, x no puede ser = 0, es decir ODZ en este caso: x – cualquier valor distinto de cero.

Eliminamos el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por x

Y resolvemos la ecuación habitual.

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Respuesta: x = 1/3

Resolvamos una ecuación más complicada:

ODZ también está presente aquí: x -2.

Al resolver esta ecuación, no moveremos todo hacia un lado y llevaremos las fracciones a un denominador común. Inmediatamente multiplicaremos ambos lados de la ecuación por una expresión que anulará todos los denominadores a la vez.

Para reducir los denominadores, debes multiplicar el lado izquierdo por x+2 y el lado derecho por 2. Esto significa que ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por 2(x+2):

Esta es la multiplicación de fracciones más común, que ya hemos comentado anteriormente.

Escribamos la misma ecuación, pero ligeramente diferente.

El lado izquierdo se reduce en (x+2) y el derecho en 2. Después de la reducción, obtenemos la ecuación lineal habitual:

x = 4 – 2 = 2, que corresponde a nuestra ODZ

Respuesta: x = 2.

Resolver ecuaciones con fracciones No es tan difícil como podría parecer. En este artículo lo hemos demostrado con ejemplos. Si tiene alguna dificultad con cómo resolver ecuaciones con fracciones, luego darse de baja en los comentarios.

El mínimo común denominador se utiliza para simplificar esta ecuación. Este método se utiliza cuando no puedes escribir. ecuación dada con uno expresión racional en cada lado de la ecuación (y use el método de multiplicación entrecruzado). Este método se utiliza cuando se le da ecuación racional con 3 o más fracciones (en el caso de dos fracciones, es mejor utilizar la multiplicación cruzada).