Cómo resolver una ecuación fraccionaria con diferentes denominadores. Ecuaciones en línea

sigamos hablando de resolviendo ecuaciones. En este artículo entraremos en detalles sobre ecuaciones racionales y principios de solución ecuaciones racionales con una variable. Primero, averigüemos qué tipo de ecuaciones se llaman racionales, demos una definición de ecuaciones racionales enteras y fraccionarias y demos ejemplos. A continuación obtendremos algoritmos para resolver ecuaciones racionales y, por supuesto, consideraremos soluciones. ejemplos típicos con todas las explicaciones necesarias.

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Basándonos en las definiciones dadas, damos varios ejemplos de ecuaciones racionales. Por ejemplo, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , son todas ecuaciones racionales.

De los ejemplos mostrados se desprende claramente que las ecuaciones racionales, así como ecuaciones de otro tipo, pueden ser con una variable, o con dos, tres, etc. variables. En los siguientes párrafos hablaremos sobre cómo resolver ecuaciones racionales con una variable. Resolver ecuaciones en dos variables. y ellos un número grande merecen una atención especial.

Además de dividir las ecuaciones racionales por el número de variables desconocidas, también se dividen en enteras y fraccionarias. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

La ecuación racional se llama entero, si tanto su lado izquierdo como el derecho son expresiones racionales enteras.

Definición.

Si al menos una de las partes de una ecuación racional es una expresión fraccionaria, entonces dicha ecuación se llama fraccionariamente racional(o racional fraccionario).

Está claro que las ecuaciones enteras no contienen división por una variable; por el contrario, las ecuaciones racionales fraccionarias necesariamente contienen división por una variable (o una variable en el denominador). Entonces 3 x+2=0 y (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– estas son ecuaciones racionales completas, ambas partes son expresiones completas. A y x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 son ejemplos de ecuaciones racionales fraccionarias.

Concluyendo este punto, prestemos atención al hecho de que las ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas conocidas hasta este punto son ecuaciones racionales completas.

Resolver ecuaciones completas

Uno de los principales enfoques para resolver ecuaciones enteras es reducirlas a equivalentes. ecuaciones algebraicas. Esto siempre se puede hacer realizando las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación:

Primero, la expresión del lado derecho de la ecuación entera original se transfiere a lado izquierdo Con signo opuesto obtener cero en el lado derecho;
después de esto, en el lado izquierdo de la ecuación el resultado vista estándar.

El resultado es ecuación algebraica, que es equivalente a la ecuación entera original. Entonces en la mayoría casos simples resolver ecuaciones completas se reduce a resolver ecuaciones lineales o cuadráticas, y en caso general– resolver una ecuación algebraica de grado n. Para mayor claridad, veamos la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de toda la ecuación. 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solución.

Reduzcamos la solución de toda esta ecuación a la solución de una ecuación algebraica equivalente. Para hacer esto, primero transferimos la expresión del lado derecho al izquierdo, como resultado llegamos a la ecuación 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Y, en segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo a un polinomio en forma estándar completando lo necesario: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Por tanto, la solución de la ecuación entera original se reduce a la solución ecuación cuadrática x 2 −5 x −6 = 0 .

Calculamos su discriminante. D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales, las cuales encontramos usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:

Para estar completamente seguros, hagámoslo. comprobando las raíces encontradas de la ecuación. Primero verificamos la raíz de 6, la sustituimos en lugar de la variable x en la ecuación entera original: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, que es lo mismo, 63=63. Esta es una ecuación numérica válida, por lo tanto, x=6 es de hecho la raíz de la ecuación. Ahora comprobamos la raíz −1, tenemos 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3, de donde, 0=0 . En x=−1 ecuación original también se convirtió en una verdadera igualdad numérica, por lo tanto x=−1 también es una raíz de la ecuación.

Respuesta:

6 , −1 .

Aquí también cabe señalar que el término "grado de toda la ecuación" está asociado con la representación de una ecuación completa en forma de ecuación algebraica. Damos la definición correspondiente:

Definición.

El poder de toda la ecuación. se llama grado de una ecuación algebraica equivalente.

Según esta definición, toda la ecuación del ejemplo anterior tiene segundo grado.

Este podría haber sido el final de la resolución de ecuaciones racionales enteras, si no fuera por una cosa…. Como saben, resolver ecuaciones algebraicas de grado superior al segundo está asociado a importantes dificultades, y para ecuaciones de grado superior al cuarto no hay fórmulas generales raíces Por lo tanto, para resolver ecuaciones completas del tercero, cuarto y más altos grados A menudo hay que recurrir a otros métodos de solución.

En tales casos, un enfoque para resolver ecuaciones racionales completas basado en método de factorización. En este caso se sigue el siguiente algoritmo:

Primero, se aseguran de que haya un cero en el lado derecho de la ecuación, para ello, trasladan la expresión del lado derecho de toda la ecuación al izquierdo;
luego, la expresión resultante del lado izquierdo se presenta como producto de varios factores, lo que nos permite pasar a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

El algoritmo dado para resolver una ecuación completa mediante factorización requiere una explicación detallada mediante un ejemplo.

Ejemplo.

Resuelve toda la ecuación (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solución.

Primero, como de costumbre, trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, sin olvidar cambiar el signo, obtenemos (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aquí es bastante obvio que no es aconsejable transformar el lado izquierdo de la ecuación resultante en un polinomio de la forma estándar, ya que esto dará una ecuación algebraica de cuarto grado de la forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x −13=0, cuya solución es difícil.

Por otro lado, es obvio que en el lado izquierdo de la ecuación resultante podemos x 2 −10 x+13 , presentándolo así como un producto. Tenemos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación completa original y, a su vez, puede reemplazarse por un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas x 2 −10·x+13=0 y x 2 −2·x−1=0. Encontrar sus raíces por fórmulas conocidas Raíces a través del discriminante no es difícil, las raíces son iguales. Son las raíces deseadas de la ecuación original.

Respuesta:

También útil para resolver ecuaciones racionales completas. método para introducir una nueva variable. En algunos casos, le permite pasar a ecuaciones cuyo grado es menor que el grado de la ecuación completa original.

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de una ecuación racional. (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solución.

Reducir toda esta ecuación racional a una ecuación algebraica no es, por decirlo suavemente, una muy buena idea, ya que en este caso llegaremos a la necesidad de resolver una ecuación de cuarto grado que no tiene raíces racionales. Por tanto, habrá que buscar otra solución.

Aquí es fácil ver que puedes introducir una nueva variable y y reemplazar la expresión x 2 +3·x con ella. Este reemplazo nos lleva a la ecuación completa (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , que, luego de mover la expresión −2·(y−4) al lado izquierdo y posterior transformación de la expresión formado allí, se reduce a una ecuación cuadrática y 2 +4·y+3=0. Las raíces de esta ecuación y=−1 e y=−3 son fáciles de encontrar; por ejemplo, se pueden seleccionar basándose en el teorema inverso al teorema de Vieta.

Ahora pasamos a la segunda parte del método de introducir una nueva variable, es decir, realizar un reemplazo inverso. Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos dos ecuaciones x 2 +3 x=−1 y x 2 +3 x=−3, que se pueden reescribir como x 2 +3 x+1=0 y x 2 +3 x+3 =0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos las raíces de la primera ecuación. Y la segunda ecuación cuadrática no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Respuesta:

En general, cuando tratamos con ecuaciones completas de altos grados, siempre debemos estar preparados para buscar método no estándar o un método artificial para solucionarlos.

Resolver ecuaciones racionales fraccionarias

Primero, será útil entender cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias de la forma , donde p(x) y q(x) son expresiones racionales enteras. Y luego mostraremos cómo reducir la solución de otras ecuaciones fraccionariamente racionales a la solución de ecuaciones del tipo indicado.

Uno de los métodos para resolver la ecuación se basa en la siguiente declaración: fracción numérica u/v , donde v es un número distinto de cero (de lo contrario encontraremos , que no está definido), es igual a cero si y sólo si su numerador igual a cero, es decir, si y sólo si u=0. En virtud de esta afirmación, la resolución de la ecuación se reduce a cumplir dos condiciones p(x)=0 y q(x)≠0.

Esta conclusión corresponde a la siguiente algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria. Para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma , necesitas

resolver toda la ecuación racional p(x)=0;
y comprobar si la condición q(x)≠0 se cumple para cada raíz encontrada, mientras que

si es cierto, entonces esta raíz es la raíz de la ecuación original;
si no se satisface, entonces esta raíz es extraña, es decir, no es la raíz de la ecuación original.

Veamos un ejemplo del uso del algoritmo anunciado al resolver una ecuación racional fraccionaria.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Esta es una ecuación racional fraccionaria, y de la forma , donde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Según el algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de este tipo, primero debemos resolver la ecuación 3 x−2=0. Este ecuación lineal, cuya raíz es x=2/3.

Queda por comprobar esta raíz, es decir, comprobar si satisface la condición 5 x 2 −2≠0. Sustituimos el número 2/3 en la expresión 5 x 2 −2 en lugar de x, y obtenemos. Se cumple la condición, por lo que x=2/3 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

2/3 .

Puedes abordar la resolución de una ecuación racional fraccionaria desde una posición ligeramente diferente. Esta ecuación es equivalente a la ecuación entera p(x)=0 en la variable x de la ecuación original. Es decir, puedes ceñirte a esto. algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria :

resuelve la ecuación p(x)=0;
encuentre la ODZ de la variable x;
echar raíces pertenecientes a la zona valores aceptables, - son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Por ejemplo, resolvamos una ecuación racional fraccionaria usando este algoritmo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Primero, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 −2·x−11=0. Sus raíces se pueden calcular usando la fórmula de la raíz para el segundo coeficiente par, tenemos D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Y .

En segundo lugar, encontramos la ODZ de la variable x para la ecuación original. Se compone de todos los números para los cuales x 2 +3·x≠0, que es lo mismo que x·(x+3)≠0, de donde x≠0, x≠−3.

Queda por comprobar si las raíces encontradas en el primer paso están incluidas en la ODZ. Obviamente, sí. Por tanto, la ecuación racional fraccionaria original tiene dos raíces.

Respuesta:

Tenga en cuenta que este enfoque es más rentable que el primero si la ODZ es fácil de encontrar, y es especialmente beneficioso si las raíces de la ecuación p(x) = 0 son irracionales, por ejemplo, o racionales, pero con un numerador bastante grande y /o denominador, por ejemplo, 127/1101 y −31/59. Esto se debe al hecho de que en tales casos, verificar la condición q(x)≠0 requerirá un esfuerzo computacional significativo, y es más fácil excluir raíces extrañas usando ODZ.

En otros casos, al resolver la ecuación, especialmente cuando las raíces de la ecuación p(x) = 0 son números enteros, es más rentable utilizar el primero de los algoritmos dados. Es decir, es aconsejable encontrar inmediatamente las raíces de toda la ecuación p(x)=0, y luego verificar si la condición q(x)≠0 se cumple para ellas, en lugar de encontrar la ODZ y luego resolver la ecuación. p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que en tales casos suele ser más fácil comprobar que encontrar DZ.

Consideremos la solución de dos ejemplos para ilustrar los matices especificados.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de toda la ecuación. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compuesto utilizando el numerador de la fracción. El lado izquierdo de esta ecuación es un producto y el lado derecho es cero, por lo tanto, según el método de resolución de ecuaciones mediante factorización, esta ecuación equivale a un conjunto de cuatro ecuaciones 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tres de estas ecuaciones son lineales y una es cuadrática; De la primera ecuación encontramos x=1/2, de la segunda - x=6, de la tercera - x=7, x=−2, de la cuarta - x=−1.

Con las raíces encontradas es bastante fácil comprobar si el denominador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación original desaparece, pero determinar la ODZ, por el contrario, no es tan sencillo, ya que para ello tendrás que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Por tanto, abandonaremos la búsqueda de ODZ en favor de comprobar las raíces. Para ello, los sustituimos uno a uno en lugar de la variable x en la expresión x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtenidos tras sustitución, y compararlos con cero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Por tanto, 1/2, 6 y −2 son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original, y 7 y −1 son raíces extrañas.

Respuesta:

1/2 , 6 , −2 .

Ejemplo.

Encuentra las raíces de una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de la ecuación. (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. Esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones: cuadrada 5 x 2 −7 x−1=0 y lineal x−2=0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos dos raíces y de la segunda ecuación tenemos x=2.

Comprobar si el denominador llega a cero en los valores encontrados de x es bastante desagradable. Y determinar el rango de valores permisibles de la variable x en la ecuación original es bastante simple. Por tanto, actuaremos a través de ODZ.

En nuestro caso, la ODZ de la variable x de la ecuación racional fraccionaria original consta de todos los números excepto aquellos para los que se cumple la condición x 2 +5·x−14=0. Las raíces de esta ecuación cuadrática son x=−7 y x=2, de lo cual sacamos una conclusión sobre la ODZ: consta de todo x tal que .

Queda por comprobar si las raíces encontradas y x=2 pertenecen al rango de valores aceptables. Las raíces pertenecen, por tanto, son raíces de la ecuación original, y x=2 no pertenece, por tanto, es una raíz extraña.

Respuesta:

También será útil detenerse por separado en los casos en los que en una ecuación racional fraccionaria de la forma hay un número en el numerador, es decir, cuando p(x) está representado por algún número. Donde

si este número es distinto de cero, entonces la ecuación no tiene raíces, ya que una fracción es igual a cero si y sólo si su numerador es igual a cero;
si este número es cero, entonces la raíz de la ecuación es cualquier número de la ODZ.

Ejemplo.

Solución.

Dado que el numerador de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación contiene un número distinto de cero, entonces, para cualquier x, el valor de esta fracción no puede ser igual a cero. Por eso, ecuación dada no tiene raíces.

Respuesta:

sin raíces.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

El numerador de la fracción en el lado izquierdo de esta ecuación racional fraccionaria contiene cero, por lo que el valor de esta fracción es cero para cualquier x para la que tenga sentido. En otras palabras, la solución a esta ecuación es cualquier valor de x de la ODZ de esta variable.

Queda por determinar este rango de valores aceptables. Incluye todos los valores de x para los cuales x 4 +5 x 3 ≠0. Las soluciones de la ecuación x 4 +5 x 3 =0 son 0 y −5, ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x+5)=0, y a su vez es equivalente a la combinación de dos ecuaciones x 3 =0 y x +5=0, desde donde son visibles estas raíces. Por lo tanto, el rango deseado de valores aceptables es cualquier x excepto x=0 y x=−5.

Por tanto, una ecuación racional fraccionaria tiene infinitas soluciones, que son cualquier número excepto cero y menos cinco.

Respuesta:

Finalmente, es hora de hablar sobre la resolución de ecuaciones racionales fraccionarias. tipo arbitrario. Se pueden escribir como r(x)=s(x), donde r(x) y s(x) son expresiones racionales y al menos una de ellas es fraccionaria. De cara al futuro, digamos que su solución se reduce a resolver ecuaciones de la forma que ya nos resulta familiar.

Se sabe que trasladar un término de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto conduce a una ecuación equivalente, por lo tanto la ecuación r(x)=s(x) es equivalente a la ecuación r(x)−s(x )=0.

También sabemos que cualquier expresión idénticamente igual a esta expresión es posible. De este modo, expresión racional en el lado izquierdo de la ecuación r(x)−s(x)=0 siempre podemos transformarla en una fracción racional idénticamente igual de la forma .

Entonces pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x)=s(x) a la ecuación, y su solución, como descubrimos anteriormente, se reduce a resolver la ecuación p(x)=0.

Pero aquí es necesario tener en cuenta el hecho de que al reemplazar r(x)−s(x)=0 con , y luego con p(x)=0, el rango de valores permitidos de la variable x puede expandirse .

En consecuencia, la ecuación original r(x)=s(x) y la ecuación p(x)=0 a la que llegamos pueden resultar desiguales, y resolviendo la ecuación p(x)=0, podemos obtener raíces esas serán raíces extrañas de la ecuación original r(x)=s(x) . Puede identificar y no incluir raíces extrañas en la respuesta realizando una verificación o verificando que pertenecen a la ODZ de la ecuación original.

Resumamos esta información en algoritmo para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x). Para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x), necesitas

Obtenga cero a la derecha moviendo la expresión desde el lado derecho con el signo opuesto.
Realiza operaciones con fracciones y polinomios en el lado izquierdo de la ecuación, transformándola así en una fracción racional de la forma.
Resuelve la ecuación p(x)=0.
Identificar y eliminar raíces extrañas, lo cual se hace sustituyéndolas en la ecuación original o verificando su pertenencia a la ODZ de la ecuación original.

Para mayor claridad, mostraremos toda la cadena de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias:
.

Veamos las soluciones de varios ejemplos con una explicación detallada del proceso de solución para aclarar el bloque de información dado.

Ejemplo.

Resolver una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Actuaremos de acuerdo con el algoritmo de solución que acabamos de obtener. Y primero, movemos los términos del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda, como resultado pasamos a la ecuación.

En el segundo paso, necesitamos convertir la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación resultante a la forma de una fracción. Para ello realizamos un yeso. fracciones racionales a un denominador común y simplificar la expresión resultante: . Entonces llegamos a la ecuación.

En el siguiente paso, necesitamos resolver la ecuación −2·x−1=0. Encontramos x=−1/2.

Queda por comprobar si el número encontrado es −1/2 raíz extraña ecuación original. Para ello, puedes comprobar o encontrar el VA de la variable x de la ecuación original. Demostremos ambos enfoques.

Empecemos por comprobar. Sustituimos el número −1/2 en la ecuación original en lugar de la variable x, y obtenemos lo mismo, −1=−1. La sustitución da la igualdad numérica correcta, por lo que x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora mostraremos cómo se realiza el último punto del algoritmo a través de ODZ. El rango de valores permitidos de la ecuación original es el conjunto de todos los números excepto −1 y 0 (en x=−1 y x=0 los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz x=−1/2 encontrada en el paso anterior pertenece a la ODZ, por lo tanto, x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

−1/2 .

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Necesitamos resolver una ecuación racional fraccionaria, repasemos todos los pasos del algoritmo.

Primero, movemos el término de derecha a izquierda y obtenemos.

En segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo: . Como resultado llegamos a la ecuación x=0.

Su raíz es obvia: es cero.

En el cuarto paso, queda por descubrir si la raíz encontrada es ajena a la ecuación racional fraccionaria original. Cuando se sustituye en la ecuación original, se obtiene la expresión. Obviamente, no tiene sentido porque contiene división por cero. De donde concluimos que 0 es una raíz extraña. Por tanto, la ecuación original no tiene raíces.

7, lo que conduce a la ecuación. De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual a la del lado derecho, es decir, . Ahora restamos de ambos lados del triple: . Por analogía, desde dónde y más allá.

La verificación muestra que ambas raíces encontradas son raíces de la ecuación racional fraccionaria original.

Respuesta:

Bibliografía.

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Las ecuaciones que contienen una variable en el denominador se pueden resolver de dos formas:

Reducir fracciones a un denominador común

Usando la propiedad básica de la proporción

Independientemente del método elegido, después de encontrar las raíces de la ecuación, es necesario seleccionar entre los valores válidos encontrados, es decir, aquellos que no convierten el denominador en $0$.

1 vía. Reducir fracciones a un denominador común.

Ejemplo 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Solución:

1. Transfiramos la fracción del lado derecho de la ecuación al izquierdo.

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Para hacer esto correctamente, recuerda que al mover elementos a otra parte de la ecuación, el signo delante de las expresiones cambia al contrario. Esto significa que si había un signo "+" delante de la fracción en el lado derecho, entonces habrá un signo "-" delante de ella en el lado izquierdo. Luego, en el lado izquierdo obtenemos la diferencia de la fracción. fracciones.

2. Ahora observemos que las fracciones tienen denominadores diferentes, lo que significa que para compensar la diferencia es necesario llevar las fracciones a un denominador común. El denominador común será el producto de los polinomios en los denominadores de las fracciones originales: $(2x-1)(x+3)$

Para recibir expresión idéntica, el numerador y denominador de la primera fracción se debe multiplicar por el polinomio $(x+3)$, y la segunda por el polinomio $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Realicemos una transformación en el numerador de la primera fracción: multipliquemos polinomios. Recordemos que para esto es necesario multiplicar el primer término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, luego multiplicar el segundo término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumar los resultados.

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

vamos a dar términos similares en la expresión resultante

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Realicemos una transformación similar en el numerador de la segunda fracción: multiplique polinomios

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$

Entonces la ecuación tomará la forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Ahora fracciones con mismo denominador, lo que significa que puedes restar. Recuerda que al restar fracciones con el mismo denominador del numerador de la primera fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción, dejando el mismo denominador.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformemos la expresión en el numerador. Para abrir los corchetes precedidos por un signo "-", debe cambiar todos los signos delante de los términos entre paréntesis al opuesto

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Presentemos términos similares.

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Entonces la fracción tomará la forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Una fracción es igual a $0$ si su numerador es 0. Por lo tanto, equiparamos el numerador de la fracción a $0$.

\[(\rm 20х+4=0)\]

Resolvamos la ecuación lineal:

4. Probemos las raíces. Esto significa que es necesario comprobar si los denominadores de las fracciones originales se vuelven $0$ cuando se encuentran las raíces.

Pongamos la condición de que los denominadores no sean iguales a $0$

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

Esto significa que todos los valores de las variables son aceptables excepto $-3$ y $0,5$.

La raíz que encontramos es un valor aceptable, lo que significa que puede considerarse con seguridad la raíz de la ecuación. Si la raíz encontrada no fuera un valor válido, entonces dicha raíz sería superflua y, por supuesto, no se incluiría en la respuesta.

Respuesta:$-0,2.$

Ahora podemos crear un algoritmo para resolver una ecuación que contiene una variable en el denominador.

Algoritmo para resolver una ecuación que contiene una variable en el denominador

Mueve todos los elementos del lado derecho de la ecuación al izquierdo. por conseguir ecuación idéntica es necesario cambiar todos los signos que preceden a las expresiones del lado derecho al opuesto

Si en el lado izquierdo obtenemos una expresión con diferentes denominadores, luego los llevamos a un valor común usando la propiedad básica de una fracción. Realizar transformaciones usando transformaciones de identidad y obtenga una fracción final igual a $0$.

Iguala el numerador a $0$ y encuentra las raíces de la ecuación resultante.

Probemos las raíces, es decir. encuentre valores válidos de variables que no hagan que el denominador sea $0$.

Método 2. Usamos la propiedad básica de la proporción.

La principal propiedad de la proporción es que el producto de los términos extremos de la proporción es igual al producto de los términos medios.

Ejemplo 2

Usamos esta propiedad para resolver esta tarea

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Encontremos e igualemos el producto de los términos medio y extremo de la proporción.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Habiendo resuelto la ecuación resultante, encontraremos las raíces del original.

2. Encontremos los valores aceptables de la variable.

De la solución anterior (método 1) ya hemos descubierto que cualquier valor es aceptable excepto $-3$ y $0,5$.

Luego, habiendo establecido que la raíz encontrada es un valor válido, descubrimos que $-0.2$ será la raíz.

Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

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A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

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Resolver ecuaciones con fracciones Veamos ejemplos. Los ejemplos son simples e ilustrativos. Con su ayuda, podrá comprender de la manera más comprensible.
Por ejemplo, necesitas resolver la ecuación simple x/b + c = d.

Una ecuación de este tipo se llama lineal porque El denominador contiene sólo números.

La solución se realiza multiplicando ambos lados de la ecuación por b, luego la ecuación toma la forma x = b*(d – c), es decir el denominador de la fracción del lado izquierdo se cancela.

Por ejemplo, cómo resolver ecuación fraccionaria:
x/5+4=9
Multiplicamos ambos lados por 5. Obtenemos:
x+20=45
x=45-20=25

Otro ejemplo cuando la incógnita está en el denominador:

Las ecuaciones de este tipo se denominan fraccionarias-racionales o simplemente fraccionarias.

Resolveríamos una ecuación fraccionaria deshaciéndonos de las fracciones, después de lo cual esta ecuación, en la mayoría de los casos, se convierte en una ecuación lineal o cuadrática, que se resuelve de la forma habitual. Sólo necesitas considerar los siguientes puntos:

el valor de una variable que convierte el denominador en 0 no puede ser una raíz;
No puedes dividir o multiplicar una ecuación por la expresión =0.

Aquí es donde entra en vigor el concepto de región de valores permisibles (ADV): estos son los valores de las raíces de la ecuación para los cuales la ecuación tiene sentido.

Por lo tanto, al resolver la ecuación, es necesario encontrar las raíces y luego verificar que cumplan con la ODZ. Quedan excluidas de la respuesta aquellas raíces que no corresponden a nuestra ODZ.

Por ejemplo, necesitas resolver una ecuación fraccionaria:

Según la regla anterior, x no puede ser = 0, es decir ODZ en en este caso: x – cualquier valor distinto de cero.

Eliminamos el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por x

Y resolvemos la ecuación habitual.

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Respuesta: x = 1/3

Resolvamos una ecuación más complicada:

ODZ también está presente aquí: x -2.

Al resolver esta ecuación, no moveremos todo hacia un lado y llevaremos las fracciones a un denominador común. Inmediatamente multiplicaremos ambos lados de la ecuación por una expresión que anulará todos los denominadores a la vez.

Para reducir los denominadores, debes multiplicar el lado izquierdo por x+2 y el lado derecho por 2. Esto significa que ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por 2(x+2):

exactamente esto multiplicación ordinaria fracciones, que ya hemos comentado anteriormente

Escribamos la misma ecuación, pero ligeramente diferente.

El lado izquierdo se reduce en (x+2) y el derecho en 2. Después de la reducción, obtenemos la ecuación lineal habitual:

x = 4 – 2 = 2, que corresponde a nuestra ODZ

Respuesta: x = 2.

Resolver ecuaciones con fracciones No es tan difícil como podría parecer. En este artículo lo hemos demostrado con ejemplos. Si tiene alguna dificultad con cómo resolver ecuaciones con fracciones, luego darse de baja en los comentarios.

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.

¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Supongamos que necesitamos resolver la ecuación:

Como se enseña en clases junior? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer cuando sumas o restas. expresiones fraccionarias. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos dará la oportunidad de reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por común denominador). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:

Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:

Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.