Calcula la integral curvilínea de primer tipo a lo largo de un círculo. La curva está dada en coordenadas rectangulares cartesianas.

Mínimo teórico

Las integrales curvilíneas y de superficie se encuentran a menudo en física. Vienen en dos tipos, el primero de los cuales se analiza aquí. Este
el tipo de integrales se construye según esquema general, mediante el cual se introducen integrales definidas, dobles y triples. Recordemos brevemente este esquema.
Existe algún objeto sobre el que se realiza la integración (unidimensional, bidimensional o tridimensional). Este objeto está roto en partes pequeñas,
Se selecciona un punto en cada parte. En cada uno de estos puntos se calcula el valor del integrando y se multiplica por la medida de la parte que
pertenece Punto dado(longitud de un segmento, área o volumen de una región parcial). Luego se suman todos esos productos y se satisface el límite.
transición para dividir el objeto en partes infinitesimales. El límite resultante se llama integral.

1. Definición de integral curvilínea de primer tipo.

Consideremos una función definida sobre una curva. Se supone que la curva es rectificable. Recordemos lo que esto significa, a grandes rasgos,
que una línea discontinua con enlaces arbitrariamente pequeños se puede inscribir en una curva, y en el límite es infinita gran número enlaces, la longitud de la línea discontinua debe permanecer
final. La curva se divide en arcos parciales de longitud y se selecciona un punto en cada uno de los arcos. Se está compilando una obra.
la suma se realiza sobre todos los arcos parciales . Luego el paso al límite se realiza con la tendencia de la longitud del mayor
desde arcos parciales hasta cero. El límite es una integral curvilínea de primer tipo.
.
Una característica importante de esta integral, que se deriva directamente de su definición, es su independencia de la dirección de integración, es decir
.

2. Definición de integral de superficie de primer tipo.

Considere una función definida sobre una superficie lisa o lisa por partes. La superficie se divide en áreas parciales.
con áreas, se selecciona un punto en cada una de dichas áreas. Se está compilando una obra. , se realiza la suma
sobre todas las áreas parciales . Luego el paso al límite se realiza con la tendencia del diámetro del mayor de todos los parciales.
áreas a cero. El límite es una integral de superficie de primer tipo.
.

3. Cálculo de una integral curvilínea de primer tipo.

El método para calcular una integral curvilínea del primer tipo ya se puede ver en su notación formal, pero de hecho se deriva directamente de
definiciones. La integral se reduce a una definida; basta con anotar el diferencial del arco de la curva a lo largo del cual se realiza la integración.
Empecemos con caso sencillo integración a lo largo de una curva plana dada por una ecuación explícita. En este caso, el diferencial de arco
.
Luego se realiza un cambio de variable en el integrando y la integral toma la forma
,
donde el segmento corresponde al cambio de la variable a lo largo de esa parte de la curva a lo largo de la cual se realiza la integración.

Muy a menudo la curva se especifica paramétricamente, es decir ecuaciones de la forma Entonces el diferencial de arco
.
Esta fórmula se justifica de forma muy sencilla. Básicamente, este es el teorema de Pitágoras. El diferencial de arco es en realidad la longitud de la parte infinitesimal de la curva.
Si la curva es suave, entonces su parte infinitesimal puede considerarse rectilínea. Para una recta tenemos la relación
.
Para que se pueda realizar para un arco pequeño de la curva, se debe pasar de incrementos finitos a diferenciales:
.
Si la curva se especifica paramétricamente, entonces los diferenciales simplemente se calculan:
etc.
En consecuencia, después de cambiar las variables en el integrando, la integral de curva se calcula de la siguiente manera:
,
donde la parte de la curva a lo largo de la cual se realiza la integración corresponde al segmento del cambio de parámetro.

La situación es algo más complicada en el caso de que la curva se indique en coordenadas curvilíneas. Esta cuestión suele discutirse en el marco de la discusión diferencial.
geometría. Demos una fórmula para calcular la integral a lo largo de la curva dada en coordenadas polares ecuación:
.
También proporcionaremos una justificación para el diferencial de arco en coordenadas polares. Discusión detallada de la construcción de la red. sistema polar coordenadas
cm. . Seleccionemos un pequeño arco de la curva ubicado en relación con las líneas de coordenadas como se muestra en la Fig. 1. Por la pequeñez de todos los destacados
De nuevo podemos aplicar el teorema de Pitágoras y escribir:
.
De aquí se sigue la expresión deseada para el diferencial del arco.

con puro punto teórico Desde una perspectiva visual, basta con entender que una integral curvilínea del primer tipo debe reducirse a su caso particular:
a una integral definida. De hecho, al realizar el cambio dictado por la parametrización de la curva a lo largo de la cual se calcula la integral, establecemos
mapeo uno a uno entre una parte de una curva dada y un segmento de cambio de parámetro. Y esta es una reducción a la integral.
siguiendo una línea recta que coincide con eje de coordenadas- una integral definida.

4. Cálculo de la integral de superficie de primer tipo.

Después del punto anterior, debe quedar claro que una de las partes principales del cálculo de una integral de superficie del primer tipo es escribir el elemento de superficie,
sobre el cual se realiza la integración. Nuevamente, comencemos con el caso simple de una superficie definida por una ecuación explícita. Entonces
.
Se realiza una sustitución en el integrando y la integral de superficie se reduce al doble:
,
donde es la región del plano en la que se proyecta la parte de la superficie sobre la que se realiza la integración.

Sin embargo, a menudo es imposible definir una superficie mediante una ecuación explícita, y luego se define paramétricamente, es decir, ecuaciones de la forma
.
El elemento de superficie en este caso se escribe de forma más complicada:
.
La integral de superficie se puede escribir en consecuencia:
,
donde es el área de cambio de parámetros correspondiente a la parte de la superficie sobre la que se realiza la integración.

5. Significado físico de las integrales curvilíneas y de superficie del primer tipo.

Las integrales discutidas tienen una forma muy simple y clara. significado fisico. Sea alguna curva cuya densidad lineal no sea
constante y es función del punto . Encontremos la masa de esta curva. Dividamos la curva en muchos elementos pequeños,
dentro del cual su densidad puede considerarse aproximadamente constante. Si la longitud de un pequeño trozo de una curva es igual a , entonces su masa
, ¿dónde está cualquier punto de la parte seleccionada de la curva (cualquiera, ya que la densidad está dentro de
esta pieza se supone aproximadamente constante). En consecuencia, la masa de toda la curva se obtiene sumando las masas de sus partes individuales:
.
Para que la igualdad sea precisa, hay que llegar al límite de dividir la curva en partes infinitesimales, pero esta es una integral curvilínea del primer tipo.

La cuestión de la carga total de la curva se resuelve de manera similar si se conoce la densidad de carga lineal. .

Estos argumentos pueden transferirse fácilmente al caso de una superficie cargada de manera no uniforme con densidad superficial cargar . Entonces
la carga superficial es una integral de superficie del primer tipo
.

Nota. Es incómodo recordar una fórmula engorrosa para un elemento de superficie definido paramétricamente. Otra expresión se obtiene en geometría diferencial,
utiliza el llamado primero forma cuadrática superficies.

Ejemplos de cálculo integrales curvilíneas primer tipo

Ejemplo 1. Integral a lo largo de una recta.
calcular integrales

a lo largo de un segmento de línea que pasa por los puntos y .

Primero, escribimos la ecuación de la recta por la que se realiza la integración: . Encontremos una expresión para:
.
Calculamos la integral:

Ejemplo 2. Integral a lo largo de una curva en un plano..
calcular integrales

a lo largo de un arco de parábola de un punto a otro.

Puntos de ajuste y te permite expresar una variable de la ecuación de la parábola: .

Calculamos la integral:
.

Sin embargo, fue posible realizar los cálculos de otra forma, aprovechando que la curva viene dada por una ecuación resuelta respecto de la variable.
Si tomamos una variable como parámetro, esto conducirá a pequeño cambio Expresiones para el diferencial de arco:
.
En consecuencia, la integral cambiará ligeramente:
.
Esta integral se calcula fácilmente sustituyendo la variable bajo el diferencial. El resultado es la misma integral que en el primer método de cálculo.

Ejemplo 3. Integral a lo largo de una curva en un plano (usando parametrización).
calcular integrales

a lo largo de la mitad superior del círculo .

Por supuesto, puedes expresar una de las variables de la ecuación de un círculo y luego realizar el resto de los cálculos de la forma estándar. Pero también puedes usar
especificación de curva paramétrica. Como sabes, un círculo se puede definir mediante ecuaciones. semicírculo superior
corresponde a un cambio en el parámetro dentro de . Calculemos el diferencial de arco:
.
De este modo,

Ejemplo 4. Integral a lo largo de una curva en un plano especificado en coordenadas polares.
calcular integrales

a lo largo del lóbulo derecho de la lemniscata .

El dibujo de arriba muestra una lemniscata. La integración debe realizarse a lo largo de su lóbulo derecho. Encontremos el diferencial de arco para la curva. :
.
El siguiente paso es determinar los límites de integración sobre el ángulo polar. Está claro que la desigualdad debe satisfacerse y, por tanto,
.
Calculamos la integral:

Ejemplo 5. Integral a lo largo de una curva en el espacio..
calcular integrales

a lo largo del giro de la hélice correspondiente a los límites de cambio de parámetro

Para el caso en que el dominio de integración sea un segmento de una determinada curva que se encuentra en un plano. La notación general para una integral de línea es la siguiente:

Dónde F(X, y) es una función de dos variables, y l- curva, a lo largo de un segmento AB cual se produce la integración. Si el integrando es igual a uno, entonces la integral de línea igual a la longitud arco AB .

Como siempre en cálculo integral, se entiende por integral curvilínea el límite de las sumas integrales de algunas partes muy pequeñas de algo muy grande. ¿Qué se resume en el caso de las integrales curvilíneas?

Sea un segmento en el avión. AB alguna curva l, y una función de dos variables F(X, y) definido en los puntos de la curva l. Realicemos el siguiente algoritmo con este segmento de la curva.

1. curva dividida AB en partes con puntos (imágenes a continuación).
2. Selecciona libremente un punto en cada parte METRO.
3. Encuentre el valor de la función en los puntos seleccionados.
4. Los valores de la función se multiplican por
   • longitudes de piezas en caso integral curvilínea de primer tipo ;
   • proyecciones de piezas sobre el eje de coordenadas en el caso integral curvilínea de segundo tipo .
5. Encuentra la suma de todos los productos.
6. Encuentre el límite de la suma integral encontrada siempre que la longitud de la parte más larga de la curva tienda a cero.

Si el límite mencionado existe, entonces este el límite de la suma integral y se llama integral curvilínea de la función F(X, y) a lo largo de la curva AB .

primer tipo

Caso de una integral curvilínea
segundo tipo

Introduzcamos la siguiente notación.

METROi ( ζ i; η i)- un punto con coordenadas seleccionadas en cada sitio.

Fi ( ζ i; η i)- valor de la función F(X, y) en el punto seleccionado.

Δ si- longitud de parte de un segmento curvo (en el caso de una integral curvilínea del primer tipo).

Δ Xi- proyección de parte del segmento curvo sobre el eje Buey(en el caso de una integral curvilínea de segundo tipo).

d= máxΔ s i- la longitud de la parte más larga del segmento curvo.

Integrales curvilíneas de primer tipo.

Con base en lo anterior sobre el límite de sumas integrales, una integral de línea de primer tipo se escribe de la siguiente manera:

.

Una integral de línea de primer tipo tiene todas las propiedades que tiene. integral definida. Sin embargo, hay una diferencia importante. Para una integral definida, cuando se intercambian los límites de integración, el signo cambia al contrario:

En el caso de una integral curvilínea del primer tipo, no importa en qué punto de la curva AB (A o B) se considera el inicio del segmento, y cuál es el final, es decir

.

Integrales curvilíneas de segundo tipo.

Con base en lo dicho sobre el límite de sumas integrales, una integral curvilínea de segundo tipo se escribe de la siguiente manera:

.

En el caso de una integral curvilínea de segundo tipo, cuando se intercambian el principio y el final de un segmento de curva, el signo de la integral cambia:

.

Al compilar la suma integral de una integral curvilínea de segundo tipo, los valores de la función Fi ( ζ i; η i) también se puede multiplicar por la proyección de partes de un segmento de curva sobre el eje Oye. Entonces obtenemos la integral

.

En la práctica se suele utilizar la unión de integrales curvilíneas de segundo tipo, es decir, dos funciones F = PAG(X, y) Y F = q(X, y) e integrales

,

y la suma de estas integrales

llamado integral curvilínea general de segunda clase .

Cálculo de integrales curvilíneas de primer tipo.

El cálculo de integrales curvilíneas del primer tipo se reduce al cálculo de integrales definidas. Consideremos dos casos.

Sea una curva dada en el plano. y = y(X) y un segmento de curva AB corresponde a un cambio en la variable X de a antes b. Entonces en los puntos de la curva la función integrando F(X, y) = F(X, y(X)) ("Y" debe expresarse mediante "X"), y el diferencial del arco y la integral de línea se puede calcular usando la fórmula

.

Si la integral es más fácil de integrar y, entonces a partir de la ecuación de la curva necesitamos expresar X = X(y) (“x” a “y”), donde calculamos la integral usando la fórmula

.

Ejemplo 1.

Dónde AB- segmento de línea recta entre puntos A(1; −1) y B(2; 1) .

Solución. Hagamos una ecuación de una línea recta. AB, usando la fórmula (ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados A(X1 ; y 1 ) Y B(X2 ; y 2 ) ):

De la ecuación de la recta expresamos y a través de X :

Entonces y ahora podemos calcular la integral, ya que solo nos quedan “X”:

Sea una curva dada en el espacio.

Luego en los puntos de la curva la función debe expresarse a través del parámetro t() y diferencial de arco , por lo tanto la integral curvilínea se puede calcular usando la fórmula

De manera similar, si se da una curva en el plano

,

entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula

.

Ejemplo 2. Calcular integral de línea

Dónde l- parte de una línea circular

ubicado en el primer octante.

Solución. Esta curva es una línea de un cuarto de círculo ubicada en el plano. z= 3 . Corresponde a los valores de los parámetros. Porque

entonces el diferencial de arco

Expresemos la función integrando a través del parámetro. t :

Ahora que tenemos todo expresado a través de un parámetro t, podemos reducir el cálculo de esta integral curvilínea a una integral definida:

Cálculo de integrales curvilíneas de segundo tipo.

Al igual que en el caso de las integrales curvilíneas del primer tipo, el cálculo de las integrales del segundo tipo se reduce al cálculo de integrales definidas.

La curva está dada en coordenadas rectangulares cartesianas.

Sea una curva en un plano dada por la ecuación de la función “Y”, expresada por “X”: y = y(X) y el arco de la curva AB corresponde al cambio X de a antes b. Luego sustituimos la expresión de “y” a través de “x” en el integrando y determinamos el diferencial de esta expresión de “y” con respecto a “x”: . Ahora que todo está expresado en términos de "x", la integral de línea de segundo tipo se calcula como una integral definida:

Una integral curvilínea de segundo tipo se calcula de manera similar cuando la curva viene dada por la ecuación de la función “x” expresada mediante “y”: X = X(y) , . En este caso, la fórmula para calcular la integral es la siguiente:

Ejemplo 3. Calcular integral de línea

, Si

A) l- segmento recto O.A., Dónde ACERCA DE(0; 0) , A(1; −1) ;

b) l- arco de parábola y = X² de ACERCA DE(0; 0) a A(1; −1) .

a) Calcula la integral curvilínea sobre un segmento de recta (azul en la figura). Escribamos la ecuación de la recta y expresemos de “Y” a “X”:

.

Obtenemos dy = dx. Resolvemos esta integral curvilínea:

b) si l- arco de parábola y = X², obtenemos dy = 2xdx. Calculamos la integral:

En el ejemplo que acabamos de resolver, obtuvimos el mismo resultado en dos casos. Y esto no es una coincidencia, sino el resultado de un patrón, ya que esta integral satisface las condiciones del siguiente teorema.

Teorema. Si las funciones PAG(X,y) , q(X,y) y sus derivadas parciales son continuas en la región D funciones y en puntos de esta región las derivadas parciales son iguales, entonces la integral curvilínea no depende del camino de integración a lo largo de la recta l ubicado en la zona D .

La curva se da en forma paramétrica.

Sea una curva dada en el espacio.

.

y en los integrandos sustituimos

expresando estas funciones a través de un parámetro t. Obtenemos la fórmula para calcular la integral curvilínea:

Ejemplo 4. Calcular integral de línea

,

Si l- parte de una elipse

cumpliendo la condición y ≥ 0 .

Solución. Esta curva es la parte de la elipse ubicada en el plano. z= 2 . Corresponde al valor del parámetro.

Podemos representar la integral curvilínea en forma de integral definida y calcularla:

Si se da una integral de curva y l es una línea cerrada, entonces dicha integral se llama integral de bucle cerrado y es más fácil de calcular usando La fórmula de Green .

Más ejemplos de cálculo de integrales de línea

Ejemplo 5. Calcular integral de línea

Dónde l- un segmento de línea recta entre los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas.

Solución. Determinemos los puntos de intersección de la línea recta con los ejes de coordenadas. Sustituyendo una línea recta en la ecuación y= 0, obtenemos,. Sustituyendo X= 0, obtenemos,. Por tanto, el punto de intersección con el eje. Buey - A(2; 0), con eje Oye - B(0; −3) .

De la ecuación de la recta expresamos y :

.

, .

Ahora podemos representar la integral de línea como una integral definida y comenzar a calcularla:

En el integrando seleccionamos el factor y lo movemos fuera del signo integral. En el integrando resultante usamos suscribiéndose al signo diferencial y finalmente lo conseguimos.

Una curva AB definida por ecuaciones paramétricas se llama suave si las funciones y tienen derivadas continuas en el segmento, y si en un número finito de puntos en el segmento estas derivadas no existen o desaparecen simultáneamente, entonces la curva se llama suave por partes. Sea AB una curva plana, lisa o lisa por tramos. Sea f(M) una función definida en la curva AB o en algún dominio D que contenga esta curva. Consideremos la división de la curva A B en partes por puntos (Fig. 1). En cada uno de los arcos elegimos A^At+i punto arbitrario Mk y haga una suma donde Alt sea la longitud del arco y llámela suma integral para la función f(M) sobre la longitud del arco de la curva. Sea D / la mayor de las longitudes de los arcos parciales, es decir Propiedades de integrales curvilíneas de primer tipo para curvas espaciales Integrales curvilíneas de segundo tipo Cálculo de una integral curvilínea Propiedades Relación entre definiciones. Si en la suma integral (I) tiene límite final, que no depende ni del método de dividir la curva AB en partes, ni de la elección de los puntos en cada uno de los arcos de la partición, entonces este límite se llama integral curvilínea del \ésimo tipo de la función f( M) a lo largo de la curva AB (integral a lo largo de la longitud del arco de la curva) y se denota con el símbolo. En este caso, se dice que la función /(M) es integrable a lo largo de la curva ABU; la curva A B se llama contorno de; integración, A es el punto inicial, B es el punto final de la integración. Así, por definición, Ejemplo 1. Sea una masa con densidad lineal variable J(M) distribuida a lo largo de una curva suave L. Encuentre la masa m de la curva L. (2) Dividamos la curva L en n partes arbitrarias) y calculemos aproximadamente la masa de cada parte, suponiendo que en cada parte la densidad es constante e igual a la densidad en cualquiera de sus puntos. , por ejemplo, en el punto extremo izquierdo /(Af*). Entonces la suma ksh donde D/d es la longitud de la parte D, será un valor aproximado de la masa m. Está claro que cuanto menor sea la partición de la curva L, menor será el valor exacto de. la masa de toda la curva L, es decir Pero el límite de la derecha es una integral curvilínea de primer tipo. Entonces, 1.1. Existencia de una integral curvilínea de 1er tipo Tomemos como parámetro de la curva AB la longitud del arco I, medida desde el punto inicial A (Fig. 2). Entonces la curva AB se puede describir mediante las ecuaciones (3) donde L es la longitud de la curva AB. Las ecuaciones (3) se denominan ecuaciones naturales de la curva AB. Al pasar a ecuaciones naturales, la función f(x) y), definida sobre la curva AB, quedará reducida a una función de la variable I: / (x(1)) y(1)). Habiendo denotado por el valor del parámetro I correspondiente al punto Mku, reescribimos la suma integral (I) en la forma Esta es la suma integral correspondiente a integral definida Dado que las sumas integrales (1) y (4) son iguales entre sí, las integrales correspondientes también son iguales. Por lo tanto, (5) Teorema 1. Si la función /(M) es continua a lo largo de una curva suave AB, entonces hay una integral curvilínea (ya que bajo estas condiciones hay una integral definida a la derecha en la igualdad (5). 1.2. Propiedades de las integrales curvilíneas de primer tipo 1. De la forma de la suma integral (1) se deduce que, es decir el valor de una integral curvilínea de primer tipo no depende de la dirección de integración. 2. Linealidad. Si para cada una de las funciones /() hay una integral curvilínea a lo largo de la curva ABt, entonces para la función a/, donde a y /3 son constantes cualesquiera, también existe una integral curvilínea a lo largo de la curva AB> y 3. Aditividad . Si la curva AB consta de dos partes y para la función /(M) hay una integral curvilínea sobre ABU, entonces hay integrales con 4. Si 0 en la curva AB, entonces 5. Si la función es integrable en la curva AB , entonces la función || también es integrable en A B, y al mismo tiempo b. Fórmula promedio. Si la función / es continua a lo largo de la curva AB, entonces en esta curva hay un punto Mc tal que L es la longitud de la curva AB. 1.3. Cálculo de una integral curvilínea de 1er tipo. Sea la curva AB dada por ecuaciones paramétricas, correspondiendo el punto A al valor t = to, y el punto B al valor. Supondremos que las funciones) son continuas junto con sus derivadas y que se satisface la desigualdad. Entonces el diferencial del arco de la curva se calcula mediante la fórmula. En particular, si la curva AB está dada por una ecuación explícita. diferenciable en [a, b] y el punto A corresponde al valor x = a, y el punto B - valor x = 6, entonces, tomando x como parámetro, obtenemos 1,4. Integrales curvilíneas de primer tipo para curvas espaciales La definición de integral curvilínea de primer tipo, formulada anteriormente para una curva plana, se traslada literalmente al caso en el que la función f(M) se da a lo largo de alguna curva espacial AB. Sea la curva AB dada por ecuaciones paramétricas Propiedades de integrales curvilíneas de primer tipo para curvas espaciales Integrales curvilíneas de segundo tipo Cálculo de una integral curvilínea Propiedades Relación entre Entonces la integral curvilínea tomada a lo largo de esta curva se puede reducir a una integral definida usando la siguiente fórmula: Ejemplo 2. Calcular la integral curvilínea donde L es el contorno de un triángulo con vértices en un punto* (Fig. 3). Por la propiedad de aditividad tenemos Calculemos cada una de las integrales por separado. Dado que en el segmento OA tenemos: , entonces en el segmento AN tenemos, donde y luego Fig. Finalmente, por lo tanto, tenga en cuenta. Al calcular las integrales utilizamos la propiedad 1, según la cual. Integrales curvilíneas de segundo tipo Sea A B una curva orientada suave o suave por tramos en el plano xOy y sea una función vectorial definida en algún dominio D que contiene la curva AB. Dividamos la curva AB en partes con puntos cuyas coordenadas denotamos respectivamente por (Fig. 4). En cada uno de los arcos elementales AkAk+\ tomamos un punto arbitrario y hacemos una suma. Sea D/ la longitud del mayor de los arcos. Si en la suma (1) tiene un límite finito que no depende ni del método de partición de la curva AB ni de la elección de los puntos rjk) en arcos elementales, entonces este límite se llama integral curvilínea de la ciudad 2 del vector. función a lo largo de la curva AB y se denota con el símbolo Entonces, por definición Teorema 2. Si en algún dominio D que contiene la curva AB las funciones son continuas, entonces existe la integral curvilínea de la ciudad 2. Sea el vector radio del punto M(x, y). Entonces el integrando en la fórmula (2) se puede representar en la forma producto escalar vectores F(M) y dr. Entonces, la integral del segundo tipo de función vectorial a lo largo de la curva AB se puede escribir brevemente como sigue: 2.1. Cálculo de una integral curvilínea de segundo tipo. Sea la curva AB definida por ecuaciones paramétricas, donde las funciones son continuas junto con las derivadas en el segmento, y un cambio en el parámetro t de t0 a t\ corresponde al movimiento de a punto a lo largo de la curva AB del punto A al punto B. Si en alguna región D, que contiene la curva AB, las funciones son continuas, entonces la integral curvilínea de segundo tipo se reduce a la siguiente integral definida: Así, el cálculo de la La integral curvilínea de segundo tipo también se puede reducir al cálculo de la integral definida. O) Ejemplo 1. Calcule la integral a lo largo de un segmento de línea recta que conecta los puntos 2) a lo largo de una parábola que conecta los mismos puntos) Ecuación de un parámetro de línea, de donde Entonces 2) Ecuación de la línea AB: Por lo tanto, el ejemplo considerado unge que el valor de una integral curva de segundo tipo, en general, depende de la forma del camino de integración. 2.2. Propiedades de una integral curvilínea de 2º tipo 1. Linealidad. Si existen Propiedades de las integrales curvilíneas de primer tipo para curvas espaciales Integrales curvilíneas de segundo tipo Cálculo de una integral curvilínea Propiedades La conexión entre entonces para cualquier real a y /5 existe una integral donde 2. Additenost. Si la curva AB se divide en partes AC y SB y existe una integral curvilínea, entonces también existen integrales. La última propiedad de la interpretación física de una integral curvilínea de segundo tipo funciona. campo de fuerza F a lo largo de una determinada trayectoria: cuando cambia la dirección del movimiento a lo largo de una curva, el trabajo del campo de fuerza a lo largo de esta curva cambia de signo al contrario. 2.3. Relación entre integrales curvilíneas de 1.º y 2.º tipo Considere una integral curvilínea de 2.º tipo donde la curva orientada AB (A -). punto de partida, EN - punto final) viene dada por la ecuación vectorial (aquí I es la longitud de la curva, medida en la dirección en la que está orientada la curva AB) (Fig. 6). Entonces dr o donde r = m(1) - vector unitario tangente a la curva AB en el punto M(1). Luego tenga en cuenta que la última integral de esta fórmula es una integral curvilínea de primer tipo. Cuando cambia la orientación de la curva AB, el vector unitario de la tangente r es sustituido por el vector opuesto (-r), lo que conlleva un cambio de signo integrando y, por tanto, el signo de la integral misma.

Problema de masa curva. Sea en cada punto de una curva de material liso por tramos L: (AB) que se especifique su densidad. Determine la masa de la curva.

Procedamos de la misma manera que lo hicimos para determinar la masa de una región plana ( integral doble) y un cuerpo espacial (triple integral).

1. Organizamos la partición del arco de área L en elementos: arcos elementales. para que estos elementos no tengan elementos comunes puntos internos Y
(condición A )

2. Marquemos los “puntos marcados” M i en los elementos de la partición y calculemos los valores de la función en ellos.

3. Construyamos la suma integral.
, Dónde - longitud de arco (normalmente se introducen las mismas notaciones para el arco y su longitud). Este es un valor aproximado de la masa de la curva. La simplificación es que asumimos que la densidad del arco es constante en cada elemento y tomamos un número finito de elementos.

Pasando al límite proporcionado
(condición B ), obtenemos una integral curvilínea de primer tipo como límite de sumas integrales:

.

Teorema de existencia 10 .

Deja que la función
es continua en un arco suave a trozos L 11. Entonces existe una integral de línea del primer tipo como límite de sumas integrales.

Comentario. Este límite no depende de

método para elegir una partición, siempre que se cumpla la condición A

seleccionar “puntos marcados” en los elementos de partición,

método de refinar la partición, siempre que se cumpla la condición B

Propiedades de una integral curvilínea de primer tipo.

1. Linealidad a) propiedad de superposición

b) propiedad de homogeneidad
.

Prueba. Anotemos las sumas integrales de las integrales en los lados izquierdos de las igualdades. Dado que la suma integral tiene un número finito de términos, pasamos a sumas integrales para los lados derechos de las igualdades. Luego pasamos al límite, utilizando el teorema del paso al límite en igualdad, obtenemos el resultado deseado.

2. Aditividad. Si
, Eso
=
+

Prueba. Elijamos una partición de la región L de modo que ninguno de los elementos de la partición (inicialmente y al refinar la partición) contenga tanto elementos L 1 como elementos L 2 al mismo tiempo. Esto se puede hacer usando el teorema de existencia (comentario sobre el teorema). A continuación, la demostración se realiza mediante sumas integrales, como en el apartado 1.

3.
.Aquí - longitud de arco .

4. Si está en un arco la desigualdad se satisface, entonces

Prueba. Anotemos la desigualdad de las sumas integrales y pasemos al límite.

Tenga en cuenta que, en particular, es posible

5. Teorema de estimación.

Si existen constantes
, algo

Prueba. Integrando la desigualdad
(propiedad 4), obtenemos
. Por la propiedad 1 de la constante
se puede sacar de debajo de las integrales. Usando la propiedad 3, obtenemos el resultado deseado.

6. Teorema del valor medio(el valor de la integral).

hay un punto
, Qué

Prueba. Desde la función
continuo en un cerrado conjunto limitado, entonces existe borde inferior
y borde superior
. La desigualdad se satisface. Dividiendo ambos lados por L, obtenemos
. pero el numero
encerrado entre los límites inferior y superior de la función. Desde la función
es continua en un conjunto acotado cerrado L, entonces en algún punto
la función debe aceptar este valor. Por eso,
.

Tema 5 Integrales curvilíneas de 1º y 2º tipo, sus propiedades.

Problema de masa curva. Integral curvilínea de 1er tipo.

Problema de masa curva. Sea en cada punto de una curva de material liso por tramos L: (AB) que se especifique su densidad. Determine la masa de la curva.

Procedamos de la misma manera que lo hicimos para determinar la masa de una región plana (integral doble) y un cuerpo espacial ( integral triple).

1. Organizamos la partición de la región del arco L en elementos: arcos elementales para que estos elementos no tengan puntos internos comunes y( condición A )

3. Construyamos la suma integral , donde es la longitud del arco (normalmente se introduce la misma notación para el arco y su longitud). Este - valor aproximado curva de masa. La simplificación es que asumimos que la densidad del arco es constante en cada elemento y tomamos un número finito de elementos.

Pasando al límite proporcionado (condición B ), obtenemos una integral curvilínea de primer tipo como límite de sumas integrales:

.

Teorema de existencia.

Sea la función continua en un arco suave por tramos L. Entonces existe una integral de línea del primer tipo como límite de sumas integrales.

Comentario. Este límite no depende de

Propiedades de una integral curvilínea de primer tipo.

1. Linealidad
a) propiedad de superposición

b) propiedad de homogeneidad .

Prueba. Anotemos las sumas integrales de las integrales en los lados izquierdos de las igualdades. Dado que la suma integral tiene un número finito de términos, pasamos a sumas integrales para los lados derechos de las igualdades. Luego pasamos al límite, utilizando el teorema del paso al límite en igualdad, obtenemos el resultado deseado.

2. Aditividad.
Si , Eso = +

3. Aquí está la longitud del arco.

4. Si la desigualdad se satisface en el arco, entonces

Prueba. Anotemos la desigualdad de las sumas integrales y pasemos al límite.

Tenga en cuenta que, en particular, es posible

5. Teorema de estimación.

Si hay constantes que, entonces

Prueba. Integrando la desigualdad (propiedad 4), obtenemos . Por la propiedad 1, las constantes se pueden sacar de debajo de las integrales. Usando la propiedad 3, obtenemos el resultado deseado.

6. Teorema del valor medio(el valor de la integral).

hay un punto , Qué

Prueba. Dado que la función es continua en un conjunto acotado cerrado, entonces existe su mínimo y borde superior . La desigualdad se satisface. Dividiendo ambos lados por L, obtenemos . pero el numero encerrado entre los límites inferior y superior de la función. Dado que la función es continua en un conjunto acotado cerrado L, en algún momento la función debe tomar este valor. Por eso, .

Cálculo de una integral curvilínea de primera clase.

Parametricemos el arco L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Sea t 0 corresponda al punto A y t 1 corresponda al punto B. Entonces la integral de línea del primer tipo se reduce a una integral definida ( - fórmula conocida desde el 1er semestre para calcular el diferencial de la longitud del arco):

Ejemplo. Calcule la masa de una vuelta de una hélice homogénea (densidad igual a k): .

Integral curvilínea de 2º tipo.

El problema del trabajo de la fuerza.

1. Organizamos la división del arco de región AB en elementos - arcos elementales para que estos elementos no tengan puntos internos comunes y( condición A )

2. Marquemos los “puntos marcados” M i en los elementos de la partición y calculemos los valores de la función en ellos.

3. Construyamos la suma integral. , donde es el vector dirigido a lo largo de la cuerda que subtiende el arco.

4. Ir al límite previsto (condición B ), obtenemos una integral curvilínea de segundo tipo como límite de sumas integrales (y el trabajo de fuerza):

. A menudo denotado

Teorema de existencia.

Sea la función vectorial continua en un arco suave por tramos L. Entonces existe una integral curvilínea del segundo tipo como límite de sumas integrales.

.

Comentario. Este límite no depende de

Método para elegir una partición, siempre que se cumpla la condición A

Seleccionar "puntos marcados" en los elementos de partición,

Un método para refinar la partición, siempre que se cumpla la condición B

Propiedades de una integral curvilínea de 2º tipo.

1. Linealidad
a) propiedad de superposición

b) propiedad de homogeneidad .

Prueba. Anotemos las sumas integrales de las integrales en los lados izquierdos de las igualdades. Dado que el número de términos en una suma integral es finito, usando la propiedad del producto escalar, pasamos a sumas integrales para los lados derechos de las igualdades. Luego pasamos al límite, utilizando el teorema del paso al límite en igualdad, obtenemos el resultado deseado.

2. Aditividad.
Si , Eso = + .

Prueba. Elijamos una partición de la región L de modo que ninguno de los elementos de la partición (inicialmente y al refinar la partición) contenga simultáneamente elementos L 1 y elementos L 2. Esto se puede hacer usando el teorema de existencia (comentario sobre el teorema). A continuación, la demostración se realiza mediante sumas integrales, como en el apartado 1.

3. Orientabilidad.

= -

Prueba. Integral sobre el arco –L, es decir V dirección negativa El recorrido del arco es el límite de sumas integrales en cuyos términos existe (). Sacando el “menos” del producto escalar y de la suma Número finito términos, pasando al límite, obtenemos el resultado requerido.