Définition. Ajout nombres naturels est une opération algébrique qui a les propriétés suivantes : "1) (a Î N)a + 1 = a", 2) "(a, b Î N)a + b" =(a +b)". Le nombre a + b est appelé la somme des nombres a et b, et les nombres a et b eux-mêmes sont des termes comme on le sait, la somme de deux nombres naturels quelconques est également un nombre naturel, et pour tout nombre naturel a et b la somme a +. b est unique. En d'autres termes, la somme des nombres naturels existe et est unique. La particularité de la définition est qu'on ne sait pas à l'avance s'il existe une opération algébrique qui a les propriétés spécifiées, et si elle existe, alors. est-ce unique ? construction axiomatique les théories des nombres naturels prouvent déclaration suivante: L'addition d'entiers naturels existe et elle est unique. Ce théorème se compose de deux énoncés (deux théorèmes) : l'addition d'entiers naturels existe ; l'ajout de nombres naturels est unique. Les lois de l'addition sont utilisées pour simplifier les calculs. Pour les nombres naturels, il existe deux lois d'addition : commutative et associative. Règle : Changer la place des termes ne change pas la somme (loi commutative de l'addition). Par exemple : 37 + 42 = 42 + 37 = 79.V vue générale: une + b = b + une. Règle. Pour ajouter un troisième terme à la somme de deux termes, vous pouvez ajouter la somme des deuxième et troisième termes au premier terme (loi d'addition combinatoire). Par exemple : (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). Sous forme générale : (a + b) + c = a + (b + c). Souvent, dans les exemples, les deux lois d'addition sont utilisées simultanément pour les calculs. Par exemple : 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.
Définition axiomatique multiplication de nombres naturels. Théorème sur son existence et son unicité avec preuve. Table de multiplication.
La multiplication des nombres naturels est une opération algébrique définie sur le pluriel N des nombres naturels, attribuant à chaque couple (a, b) un nombre a * b, satisfaisant les propriétés (axiomes) : 1. (∀a є N)a∙1 = une ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. Le nombre a∙b est appelé le produit des nombres a et b, et les nombres a et b eux-mêmes sont des facteurs. Théorème 1. Multiplication de nombres naturels existe, et il est unique En utilisant la définition de l'opération de multiplication, nous allons créer une table de multiplication de nombres à un chiffre : a) 1×1=1 ; etc.1); b)1x2=1x1'=1x1+1= 1+1=2; 2x2=2x1'= 2x1+1= 2+1=3 =3×1'= 3×1+1= 3; +1=4, etc. (basé sur la propriété 2). (∀a,b,c є N)(a+b)∙ c = a∙c + b∙c Preuve. et b soit choisi arbitrairement, et c prenne des valeurs différentes valeurs naturelles. Notons M l'ensemble de tous ceux et seulement ces nombres naturels c pour lesquels l'égalité (a + b)c = a∙c + b∙c est vraie. Montrons que pour c=1 l'égalité (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 est vraie, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Soit la loi distributive satisfaite pour un nombre c choisi arbitrairement, c'est-à-dire que l'égalité (a+b)∙c = a∙c + b∙c est vraie. Sur la base de cette hypothèse, nous prouverons la validité de l'égalité : (a + b)∙c" = a∙c" + b∙c" pour le nombre c". Considérons côté gaucheégalité et montrer qu'elle est égale à celle de droite : (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a ∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c'. Cette égalité (a + b)∙c = a∙c + b∙c est vraie pour tout nombre naturel. c, a puisque les nombres a et b ont été choisis arbitrairement, cette égalité est valable pour tout a et b. La loi distributive de multiplication à gauche se prouve de la même manière : (∀а,b,с є N)а ∙(b. +с)= а∙b+а ∙с. Théorème 3. (∀ a,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с). N) a∙b = b∙a.- communicatif. L'opération de multiplication satisfait deux lois : ab = bа (loi commutative de multiplication), а(bс) = (аb)с (loi associative de multiplication) Il existe aussi une loi reliant l'addition et la multiplication : а(b +). c) = ab + ac (loi distributive) Une table de multiplication est un tableau dans lequel les lignes et les colonnes sont étiquetées avec des facteurs et les cellules du tableau contiennent leur produit. enseigner la multiplication.
Ajout de nombres naturels est une opération binaire qui satisfait les deux axiomes suivants :
C1 : une + 1 = une /
C2 : une + b / = (une + b) /
Exemple. D'après la définition, on trouve la somme 2 + 2 :
2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.
Théorème 1(sur l'existence et le caractère unique de l'addition). Chaque paire d'entiers naturels a et b correspond à une somme a + b définie de manière unique, satisfaisant la définition de l'addition (axiomes C1 et C2).
Preuve. Unicité. Supposons qu'à côté de l'opération +, satisfaisant les conditions C1 et C2, il existe également une autre opération , satisfaisant les conditions C1 / et C2 / :
C1 / : une 1 = une /
C2 / : une b / = (une b) /
Alors pour tout nombre naturel, l’égalité suivante est vraie : a + b = a b.
Nous effectuerons la preuve en utilisant la méthode d'induction mathématique sur la variable b. Pour b = 1, en fonction de C1 et C1 / on obtient :
une + 1 = une / = une 1
Ainsi, pour b = 1 cette propriétééquitable.
Hypothèse d'induction : a + k = a k
Montrons cette affirmation pour b = k / :
Basé sur C2 a + k / = (a +k) /
De l'hypothèse de récurrence basée sur l'axiome A 2 de la définition des nombres naturels a + k = a k => (a + k) / = (a k) /, d'où, selon les conditions C2 et C2 / on a :
une + k / = (une +k) / = (une k) / = une k / ,
c'est ce qui était requis.
Existence. La définition inductive introduite nous permet de trouver la somme de tout deuxième terme (élément b). Voyons s'il est possible de trouver la somme de n'importe quel premier terme (élément a). Pour ce faire, nous introduisons nous-mêmes une opération qui satisfait aux conditions (*) et (**)
(**) une / + b = (une + b) / .
Montrons que l'opération que nous avons introduite est une addition, c'est-à-dire qu'elle satisfait aux conditions C1 et C2. Nous effectuerons la preuve par induction sur a.
Commençons par la preuve C1. Base induction : Pour a = 1
1 + 1 = 1 / (basé sur la condition (*)).
Hypothèse d'induction : k + 1 = k /
Étape d'induction : Pour a = k / il faut prouver que k / + 1 = (k /) / .
Basé sur la condition (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (par hypothèse inductive). Ainsi, la condition C1 est satisfaite pour tout a naturel.
C2 : Pour a = 1 par condition (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .
Hypothèse d'induction (i.p.) : k + b / = (k + b) / .
Pour a = k / il faut prouver que k / + b / = (k / + b) / .
Ici, au-dessus de chaque égalité, une justification est indiquée - la propriété sur la base de laquelle cette égalité est satisfaite. Ainsi, la condition C2 est également satisfaite pour tout a naturel. Le théorème est complètement prouvé.
Théorème 2. Pour tout nombre naturel a, b, c, loi d'addition associative(a.z.s.) : (a + b) + c = a + (b +c)
Preuve(par induction sur c) : Pour c = 1 on a :
Hypothèse d'induction : (a+b)+k = a+(b+k).
D’après le principe d’induction, nous devons maintenant prouver que
(une+b)+k / = une+(b+k /). Prouvons-le.
Ainsi, pour k / l'énoncé est vrai, donc, selon le théorème d'induction, la loi associative est valable pour tous les nombres naturels.
Théorème 3. Pour tout nombre naturel, la loi d'addition commutative (LLA) a + b = b + a est satisfaite
Précédons la preuve du théorème d’un lemme.
Lemme 1. une + 1 = 1 + une (L1)
Prouvons-le par récurrence sur a. Base induction : 1 + 1 = 1 + 1 (passable)
Hypothèse d'induction : k + 1 = 1 + k.
Étape d'induction : Montrons que k / + 1 = 1 + k / .
Le lemme est prouvé.
Montrons maintenant le théorème lui-même par récurrence sur b. Pour b = 1, le théorème est vrai d’après le lemme 1.
Hypothèse d'induction : a + k = k + a.
Étape d'induction :
Théorème 4. La somme de deux nombres n’est égale à aucun des termes :
Preuve par récurrence sur b : Pour b = 1, l'énoncé du théorème est vrai par l'axiome 1 de la définition des nombres naturels (a / 1).
Hypothèse d'induction : a + k k.
De l'hypothèse de récurrence et du théorème 1 du paragraphe 1.2 il résulte que (a + k) / k / . En utilisant C2, on obtient :
une + k / = (une + k) / k / .
Théorème 5. a = b => a + c = b + c.
Preuve(par induction sur c) :
a = b => (par A 2) a / = b / => (par C1) a + 1 = b +1.
Hypothèse d'induction : a = b => a + k = b+k.
Montrons que a = b entraîne a + k / = b + k / .
Ainsi, pour k / l'énoncé est vrai, donc, selon le théorème d'induction, le théorème est valable pour tous les nombres naturels.
Corollaire 1. a + c b + c = > a b (la preuve s'effectue par contradiction et est laissée au lecteur).
Théorème 6. a + c = b + c => a = b.
Preuve(par induction sur c) :
a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (selon C1 et A 3).
Hypothèse d'induction : a + k = b + k => a = b.
Montrons que a + k / = b + k / implique a = b.
Par conséquent, l’affirmation est également vraie pour k /, ce qui prouve notre théorème.
Corollaire 2. a b = > a + c b + c (preuve par contradiction).
La solution de l'équation a + x = b (a, b sont des nombres naturels, x est une variable) est un tel nombre naturel c, lorsqu'on le remplace à la place de x dans l'équation, l'égalité numérique correcte a + c = b est obtenu
Théorème 7. Si l’équation a + x = b a une solution, alors cette solution est unique.
Preuve: Supposons qu'il existe deux solutions avec 1 et avec 2. Alors a + c 1 = b et a + c 2 = b, d'où a + c 1 = a + c 2, et par le théorème 6 et la loi commutative cela signifie que c 1 = c 2 (c'est-à-dire que la solution est unique ).
Tâches pour une solution indépendante
N° 1.2. Addition basée sur la définition de l'addition des nombres naturels 5 + 3. Effectuez la même opération dans les modèles d'entiers naturels présentés ci-dessous
une) (3, 4, 5...); n / = n +1
b) (n –2, n Z); n / = n +1
c) nombres naturels impairs, n / = n +2
d) Nombres entiers 
N° 1.3. Prouver les égalités pour tout nombre naturel n :
une) 1 + 2 + …+ n = 
;
b) 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 
;
c) 1 3 + 2 3 + … + n 3 = 
;
d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;
e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 = 
;
e) 12 + 23 + … + (n – 1)n = 
;
et) 
;
h) 
.
L'addition de colonnes, ou comme on dit aussi, l'addition de colonnes, est une méthode largement utilisée pour additionner des nombres naturels à plusieurs chiffres. L'essence de cette méthode est que l'ajout de deux ou plusieurs nombres à plusieurs chiffres se résume à quelques-uns opérations simples ajouter des nombres à un chiffre.
L'article décrit en détail comment effectuer l'addition de deux et plus nombres naturels à plusieurs chiffres. La règle pour ajouter des nombres dans une colonne et des exemples de solutions avec une analyse de toutes les situations les plus typiques qui se présentent lors de l'ajout de nombres dans une colonne sont donnés.
Additionner deux nombres dans une colonne : que faut-il savoir ?
Avant de passer directement à l'opération d'ajout de colonnes, regardons quelques points importants. Pour développement rapide matériel souhaitable :
- Connaître et avoir une bonne compréhension de la table d'addition. Ainsi, lorsque vous effectuez des calculs intermédiaires, vous n'avez pas à perdre de temps et à vous référer constamment au tableau d'addition.
- Rappelez-vous les propriétés de l’addition de nombres naturels. Surtout les propriétés liées à l'ajout de zéros. Rappelons-les brièvement. Si l’un des deux termes est égal à zéro, alors la somme est égale à l’autre terme. La somme de deux zéros est nulle.
- Connaître les règles de comparaison des nombres naturels.
- Sachez quel est le chiffre d'un nombre naturel. Rappelons que le chiffre est la position et la valeur du chiffre dans la notation du nombre. Le chiffre détermine la signification d'un chiffre dans un nombre : unités, dizaines, centaines, milliers, etc.
Décrivons l'algorithme d'ajout de nombres dans une colonne en utilisant exemple concret. Additionnons les nombres 724980032 et 30095. Tout d'abord, vous devez écrire ces nombres selon les règles d'écriture des additions dans une colonne.
Les nombres sont écrits les uns en dessous des autres, les chiffres de chaque chiffre sont situés respectivement les uns en dessous des autres. Nous mettons un signe plus à gauche et traçons une ligne horizontale sous les chiffres.
Maintenant, nous divisons mentalement l'enregistrement en colonnes par rang.
Il ne reste plus qu'à se coucher nombres à un chiffre dans chaque colonne.
Nous commençons par la colonne la plus à droite (le chiffre des unités). Nous additionnons les nombres et écrivons la valeur des unités sous la ligne. Si, lors de l'addition, la valeur des dizaines s'avère différente de zéro, souvenez-vous de ce nombre.
Additionnez les nombres dans la deuxième colonne. Au résultat, nous ajoutons le nombre de dizaines dont nous nous sommes souvenus à l’étape précédente.
Nous répétons tout le processus avec chaque colonne, jusqu'à l'extrême gauche.
Cette présentation est un schéma simplifié de l'algorithme d'ajout de nombres naturels dans une colonne. Maintenant que nous comprenons l’essence de la méthode, examinons chaque étape en détail.
Nous additionnons d’abord les unités, c’est-à-dire les nombres dans la colonne de droite. Si nous obtenons un nombre inférieur à 10, écrivez-le dans la même colonne et passez à la suivante. Si le résultat de l'addition est supérieur ou égal à 10, alors sous la ligne de la première colonne, nous notons la valeur de la place des unités et mémorisons la valeur de la place des dizaines. Par exemple, le nombre s'est avéré être 17. Ensuite, nous notons le nombre 7 - la valeur des unités et la valeur des dizaines - 1 - dont nous nous souvenons. Ils disent généralement : « nous en écrivons sept, un en tête ».
Dans notre exemple, en additionnant les nombres de la première colonne, nous obtenons le nombre 7.
7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.
Ensuite, nous additionnons les nombres dans la colonne suivante, c'est-à-dire à la place des dizaines. Nous effectuons les mêmes actions, il suffit d'ajouter au montant le nombre que nous avons retenu. Si le montant est inférieur à 10, inscrivez simplement le chiffre sous la deuxième colonne. Si le résultat est supérieur ou égal à 10, on note la valeur des unités de ce nombre dans la deuxième colonne, et on mémorise le nombre à la place des dizaines.
Dans notre cas, nous additionnons les nombres 3 et 9, ce qui donne 3 + 9 = 12. Nous ne nous sommes souvenus de rien à l’étape précédente, nous n’avons donc rien à ajouter à ce résultat.
12 > 10, donc dans la deuxième colonne, nous écrivons le nombre 2 à partir de la position des unités et gardons à l'esprit le nombre 1 à partir de la position des dizaines. Pour plus de commodité, vous pouvez écrire ce numéro au-dessus de la colonne suivante dans une couleur différente.
Dans la troisième colonne, la somme des chiffres est nulle (0 + 0 = 0). A cette somme on ajoute le nombre que l’on a gardé en tête précédemment, et on obtient 0 + 1 = 1. écrire:
Passant à la colonne suivante, nous ajoutons également 0 + 0 = 0 et écrivons le résultat sous la forme 0, car nous ne nous sommes souvenus de rien à l'étape précédente.
L'étape suivante donne 8 + 3 = 11. Dans la colonne, nous écrivons le chiffre 1 à partir du chiffre des unités. On garde en tête le chiffre 1 de la place des dizaines et on passe à la colonne suivante.
Cette colonne ne contient qu'un seul chiffre 9. Si nous n’avions pas le chiffre 1 en mémoire, nous réécririons simplement le chiffre 9 sous la ligne horizontale. Cependant, étant donné que nous avons mémorisé le chiffre 1 à l’étape précédente, nous devons additionner 9 + 1 et noter le résultat.
Par conséquent, sous la ligne horizontale, nous écrivons 0 et en gardons encore un à l’esprit.
En passant à la colonne suivante, ajoutez 4 et 1, écrivez le résultat sous la ligne.
La colonne suivante contient uniquement le chiffre 2. Donc à l’étape précédente nous ne nous souvenions de rien, nous avons juste réécrit ce numéro sous la ligne.
On fait de même avec la dernière colonne contenant le chiffre 7.
Il n'y a plus de colonnes, et il n'y a également rien en mémoire, on peut donc dire que l'opération d'ajout de colonnes est terminée. Le nombre écrit sous la ligne est le résultat de l’addition des deux nombres supérieurs.
Pour comprendre toutes les nuances possibles, regardons quelques exemples supplémentaires.
Exemple 1. Ajout de nombres naturels dans une colonne
Additionnons deux nombres naturels : 21 et 36.
Tout d'abord, écrivons ces nombres selon la règle d'écriture de l'addition dans une colonne :
En partant de la colonne de droite, nous procédons à l'addition de nombres.
Depuis 7< 10 , записываем 7 под чертой.
Additionnez les nombres dans la deuxième colonne.
Depuis 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат
Il n'y a plus de chiffres en mémoire et dans la colonne suivante, l'addition est terminée. 21 + 36 = 57
Exemple 2. Ajout de nombres naturels dans une colonne
Combien font 47 + 38 ?
7 + 8 = 15, écrivons donc 5 dans la première colonne sous la ligne et gardons 1 à l'esprit.
On additionne maintenant les valeurs de la place des dizaines : 4 + 3 = 7. N'en oubliez pas un et ajoutez-le au résultat :
7 + 1 = 8. Nous écrivons le nombre résultant sous la ligne.
C'est le résultat de l'addition.
Exemple 3. Ajout de nombres naturels dans une colonne
Maintenant, prenons-en deux nombres à trois chiffres et effectuer leur addition.
3 + 9 = 12 ; 12 > 10
Écrivez 2 sous la ligne, gardez 1 à l’esprit.
8 + 5 = 13 ; 13 > 10
On ajoute 13 et l'unité mémorisée, on obtient :
13 + 1 = 14 ; 14 > 10
Nous écrivons 4 sous la ligne, gardez 1 à l'esprit.
N'oubliez pas qu'à l'étape précédente, nous avons retenu 1.
Nous écrivons 0 sous la ligne, gardez 1 à l'esprit.
Dans la dernière colonne, nous déplaçons l'unité dont nous nous sommes souvenus plus tôt sous la ligne et obtenons le résultat final de l'ajout.
783 + 259 = 1042
Exemple 4. Ajout de nombres naturels dans une colonne
Trouvons la somme des nombres 56927 et 90.
Comme toujours, nous écrivons d’abord la condition :
7 + 0 = 7 ; 7 < 10
2 + 9 = 11 ; 11 > 10
Nous écrivons 1 sous la ligne, gardons 1 à l'esprit et passons à la colonne suivante.
Nous écrivons 0 sous la ligne, gardons 1 à l'esprit et passons à la colonne suivante.
La colonne contient un chiffre 6. Nous l'ajoutons avec l'unité mémorisée.
6 + 1 = 7 ; 7 < 10
Nous écrivons 7 sous la ligne et passons à la colonne suivante.
La colonne contient un chiffre 5. Nous le déplaçons sous la ligne et terminons l'opération d'addition.
56927 + 90 = 57017
Nous donnerons l'exemple suivant sans résultats intermédiaires et des explications sur la façon d'écrire l'ajout de colonnes dans la pratique.
Voyons comment l'utiliser pour additionner des dizaines avec des dizaines, des centaines avec des centaines, etc.
Ajoutons 8 dizaines et 9 dizaines. À partir du tableau d’addition, nous trouvons que 8+9=10+7. Ainsi, si l’on additionne 8 dizaines et 9 dizaines, nous obtenons la somme de 10 dizaines et 7 dizaines, soit la somme de 100 et 70. Ainsi, 80+90=100+70. La somme 100+70 représente la somme termes binaires numéros 170. Il est pratique d'écrire tous ces arguments sous la forme d'une chaîne séquentielle d'égalités : 80+90=100+70=170. De telles notations signifient que les valeurs de toutes les expressions séparées par des signes égaux sont égales.
Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple. Faisons l'addition 4 000+7 000. La table d'addition nous donne l'égalité 4+7=10+1. Ainsi, ajouter 4 mille 7 mille équivaut à ajouter 10 mille et 1 mille. Donc 4 000+7 000=10 000+1 000. La dernière somme est une expansion en chiffres de l’entier naturel 11 000. Nous avons 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .
Ajout de nombres naturels arbitraires.
Avant de passer à l'ajout d'entiers naturels arbitraires, nous vous recommandons d'étudier attentivement le contenu de l'article somme des termes numériques afin de pouvoir, sans hésitation, décomposer n'importe quel entier naturel en chiffres, et aussi, sans hésitation, en utilisant un décomposition, vous pouvez immédiatement écrire l'entier naturel décomposé. Cela déterminera directement la facilité avec laquelle vous ajouterez des nombres naturels arbitraires.
Décrivons la séquence d'actions :
- on remplace les termes par leurs développements par des chiffres ;
- réorganisez les termes de manière à ce que les unités soient à côté des unités, les dizaines à côté des dizaines, les centaines à côté des centaines, et ainsi de suite ;
- on additionne les uns avec les uns, puis les dizaines avec les dizaines, puis les centaines avec les centaines, etc. ;
- toutes les actions précédentes nous conduisent à une somme, qui est une expansion en chiffres d'un nombre naturel ;
- enfin, nous notons le nombre requis par son développement.
Regardons l'addition de deux nombres naturels à l'aide d'exemples.
Exemple.
Effectuez l'addition 36+2.
Solution.
La décomposition du nombre 36 en chiffres a la forme 30+6, et le nombre 2 a la forme 2. Alors 36+2=30+6+2.
Dans cet exemple, nous n’avons pas besoin de réorganiser les termes, puisqu’ils sont déjà dans l’ordre dont nous avons besoin.
Maintenant, nous additionnons les unités : 6+2=8. Donc 30+6+2=30+8.
Nous sommes arrivés à la somme 30+8, qui est égale à 38.
Ainsi, la solution peut s’écrire comme suit : 36+2=30+6+2=30+8=38.
Répondre:
36+2=38 .
Exemple.
Additionnez les nombres 57 et 17.
Solution.
Parce que 57=50+7 et 17=10+7, puis 57+17=50+7+10+7.
Après réarrangement des termes, la somme prendra la forme suivante : 50+10+7+7.
Maintenant on additionne les unités (si vous ne vous en souvenez pas par cœur, référez-vous au tableau d'addition) : 7+7=10+4.
Ainsi, 50+10+7+7=50+10+10+4.
On passe à l'addition de dizaines, c'est-à-dire à la recherche de la somme de trois termes 50, 10 et 10. Ajoutons d'abord 50 et 10, après quoi nous ajoutons le nombre 10 restant au résultat. C'est parti : 50+10=60, puisque 5+1=6, puis 50+10+10=60+10=70, puisque 6+1=7.
Nous avons 50+10+10+4=70+4. La dernière somme est la décomposition des chiffres du nombre 74.
Donc, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .
Répondre:
57+17=74 .
Exemple.
Calculez la somme des nombres 3007 et 200.
Solution.
La décomposition du nombre 3007 en chiffres a la forme 3000+7, et le nombre 200 a la forme 200. Alors 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Nous avons obtenu le développement numérique du nombre 3207. Ainsi, 3 007+200=3 207.
Répondre:
3 007+200=3 207 .
Exemple.
Additionnez les nombres 28 301 et 73 745.
Solution.
Décomposons ces nombres en chiffres : 28 301=20 000+8 000+300+1 et 73 745=70 000+3 000+700+40+5.
Alors
28 301+73 745=
20 000+8 000+300+1+70 000+
3 000+700+40+5=
20 000+70 000+8 000+
3 000+300+700+40+1+5
.
(Lorsque vous déplacez les égalités vers la ligne suivante, le signe « = » est à nouveau écrit).
Additionnez les unités : 1+5=6. Après cela, nous avons 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6.
Il n’est pas nécessaire d’ajouter des dizaines.
On ajoute des centaines : 300+700=1 000, puisque 3+7=10. À ce stade, nous avons 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+1 000+40+6.
Nous additionnons des milliers. Puisque 8+3=10+1, alors 8 000+3 000+1 000= 10 000+1 000+1 000= 10 000+2 000. A ce stade, nous obtenons
20 000+70 000+8 000+
3 000+1 000+40+6=
20 000+70 000+10 000+2 000+40+6
.
Additionnez des dizaines de milliers : 20 000+70 000+10 000= 90 000+10 000=100 000. Alors 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .
La somme 100 000+2 000+40+6 est égale au nombre 102 046.
Répondre:
28 301+73 745=102 046 .
En conclusion de ce point, nous notons qu'il est pratique d'ajouter des nombres naturels à plusieurs chiffres dans une colonne, nous vous recommandons donc d'étudier le matériel de l'article ajoutant des nombres naturels dans une colonne.
Addition de nombres naturels sur un rayon de coordonnées.
Le but de ce paragraphe est de présenter interprétation géométrique opérations d'addition d'entiers naturels. Cela nous aidera à atteindre cet objectif. Nous supposerons que le faisceau de coordonnées est situé horizontalement et à droite.
Sur rayon de coordonnées l'addition de deux nombres naturels a et b est une séquence des actions suivantes. Nous trouvons d’abord le point de coordonnée a. À partir de ce point, nous disposons b segments unitaires les uns après les autres de manière à ce que la distance par rapport à l'origine se produise. Cela nous amènera à un point du rayon de coordonnées dont la coordonnée est un nombre naturel, égal à la somme a+b. En d'autres termes, à partir d'un point de coordonnée a, nous nous déplaçons vers la droite jusqu'à une distance b, et en même temps nous arrivons à un point dont la coordonnée est égale à la somme des nombres a et b.
Pour plus de clarté, donnons un exemple. Montrons ce que représente l'addition des nombres naturels 2 et 4 sur un rayon de coordonnées (voir la figure ci-dessous). À partir du point de coordonnée 2, nous traçons 4 segments unitaires. Après cela, nous arrivons au point dont la coordonnée est le chiffre 6. Ainsi, 2+4=6.
Vérification du résultat de l'addition de nombres naturels par soustraction.
La vérification du résultat de l'addition de nombres naturels par soustraction repose sur un lien assez évident entre addition et soustraction. Il est facile de retracer cette connexion en se référant à l’exemple suivant.
Prenons 7 pommes et 2 poires. Additionnons ces fruits ensemble, puis la somme 7+2=9, en raison de la signification de l'addition de nombres naturels, détermine quantité totale fruit. Il est clair que si 7 pommes sont mises de côté des fruits réunis (il y en a 9 au total), alors 2 poires resteront de l'autre côté. En raison de la signification de la soustraction des nombres naturels, l'action décrite correspond à l'égalité 9−7=2. De même, si vous mettez 2 poires à côté des fruits assemblés, il restera 7 pommes de l'autre côté. Cette action correspond à l'égalité 9−2=7.
L’exemple considéré nous amène à une règle dont la formulation est la suivante : si vous soustrayez l'un des termes de la somme de deux nombres naturels, le résultat sera l'autre terme. Cette règle s'écrit en lettres comme suit : si a+b=c soustraction de nombres naturels.
Vérifions le résultat de l'addition. Pour ce faire, soustrayez le terme 106 de la somme résultante 163 et voyez si nous obtenons un nombre égal au deuxième terme 57. Nous avons 163−106=57. Ainsi, le test a réussi et on peut dire que l’addition a été effectuée correctement.
Répondre:
106+57=163 .
Références.
- Mathématiques. Tous les manuels pour les 1re, 2e, 3e et 4e années des établissements d'enseignement général.
- Mathématiques. Tous les manuels pour la 5e année des établissements d'enseignement général.
Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec l’addition de nombres naturels et les lois qui la régissent. Découvrez qu'en utilisant ces lois, il est beaucoup plus pratique d'additionner des nombres. Et résolvez également quelques exemples.
BAN + KA = BANQUE
Mais parfois ils font l'inverse : KA + BAN = SANGLIER
Lena et Vanya versent de l'eau dans un seau. Lena a un pot d'eau de deux litres et Vanya a un pot de trois litres. L’ordre dans lequel ils versent l’eau est-il important ? Non. Dans tous les cas, il y aura la même quantité d'eau (5 litres).
Dans les deux exemples, deux parties ont été ajoutées. Mais dans le premier cas, l’ordre était important, et si on réarrangeait les termes, le résultat changeait. Dans le second cas, l’ordre n’avait pas d’importance ; les termes pouvaient être échangés.
Calculer : .
Calculer : .
C'est 
.
Ces trois entrées signifient la même quantité.
En nous souvenant des exemples avec des syllabes et de l'eau, nous arrivons à l'hypothèse que addition mathématique similaire au deuxième exemple avec l'eau, où il était possible d'échanger les termes.
Pour comprendre ce que vous pouvez et ne pouvez pas faire lors de l'ajout, vous devez savoir de quoi il s'agit. Que signifie ajouter 5 et 3 ? Cela signifie que vous devez ajouter 5 unités et 3 unités. Vous pouvez les imaginer comme des bâtons (voir Fig. 1).
Riz. 1. Représentation de l'addition
Le mot « plier » signifie mettre en un seul tas. Et puis comptez combien il y a au total. Vous en obtenez huit (voir Fig. 2).
Le nombre d'unités ou de bâtons dans une grosse pile peut toujours être compté. Autrement dit, deux groupes de bâtons peuvent être pliés en un seul grand. Et il y aura un nombre précis de bâtons.
Dans le langage mathématique, cela peut être dit comme suit : deux nombres naturels quelconques peuvent être additionnés. Le résultat sera un nouveau nombre naturel.
Les nombres sont appelés termes. Un nombre s'appelle la somme des nombres et . L'entrée elle-même est également appelée la somme.
Lorsque vous ajoutez deux groupes d’unités en un seul grand, vous pouvez le faire de deux manières :
1) ajouter un deuxième au premier groupe,
2) ajoutez le premier au second.
Peu importe dans quel ordre vous le faites. Prenez d’abord cinq unités et ajoutez-en trois ou vice versa. Autrement dit, nous avons simplement échangé plusieurs éléments dans une grande pile. Mais cela ne changera pas leur nombre. Le résultat sera toujours le même. Il y aura toujours le même nombre d’unités et de bâtons dans une pile commune. DANS dans ce cas huit.
Dans le langage mathématique, cela peut s’exprimer ainsi : réarranger les termes ne change pas la somme.
Donc 
, car les deux sommes sont égales à 8.
AVEC grands nombres cette loi fonctionne aussi : . Ces deux montants sont égaux. Vous n'avez pas besoin de compter pour comprendre cela. Nous savons que réorganiser les termes ne change pas la somme.
Disons maintenant trois nombres (trois groupes d'unités) et nous devons les additionner. Autrement dit, mettez-les en une seule pile. Il existe deux options :
1) ajouter au premier d'abord le deuxième, puis le troisième,
2) ajouter au premier le deuxième et le troisième déjà pliés à l'avance.
Il n'y a aucune différence. Nous recevrons toujours le même jeu d'unités, des bâtons. Les nouveaux ne surgiront pas de nulle part et les existants ne seront pas perdus.
Si nous écrivons cela en chiffres :
Si vous ajoutez trois nombres, vous pouvez d'abord ajouter les deux premiers nombres ou commencer par les deux derniers. La séquence d'actions lors de l'ajout de plusieurs termes n'a pas d'importance.
Ces lois peuvent grandement faciliter les calculs.
Nous pouvons ajouter dans n'importe quel ordre. Choisissons une séquence qui nous convient. Regardons derniers chiffres. S’ils totalisent 10, alors il vaut mieux essayer de commencer par eux, ils sont plus faciles à additionner. Le deuxième terme a 6 à la fin, et le troisième en a 4, ils totalisent 10, alors additionnons-les d'abord, puis ajoutons le premier terme.
D'abord et dernier numéro se terminera par cinq, ce qui signifie que la somme se terminera par zéro, c'est pratique. Mais ils ne sont pas alignés. Échangeons 39 et 295.
L'idée est simple : si nous devons ajouter plusieurs nombres à la fois, nous pouvons les réorganiser comme nous le souhaitons et effectuer les actions dans n'importe quel ordre.
Il est pratique d'ajouter le premier nombre avec le dernier et le deuxième avec le troisième.
Ayons plusieurs vases, chacun avec un certain nombre de pommes. Vous devez savoir combien de pommes il y a au total. Il n’est pas nécessaire de mettre toutes les pommes en un seul tas et de les compter. Écrivons simplement sur papier combien de pommes se trouvent dans chaque vase et additionnons ces chiffres. Par exemple, 
.
Si un vase s'avère vide, nous écrirons qu'il ne contient aucune pomme et le décompte global ressemblera à ceci : 
.
Un vase vide n'affecte pas le nombre total de pommes. Autrement dit, l'ajout de zéro ne modifie pas la quantité d'origine : .
