SÉQUENCES NUMÉRIQUES VI
§ 148. Somme infiniment décroissante progression géométrique
Jusqu'à présent, lorsqu'on parlait de sommes, on a toujours supposé que le nombre de termes dans ces sommes était fini (par exemple, 2, 15, 1000, etc.). Mais lors de la résolution de certains problèmes (notamment mathématiques supérieures) il faut composer avec des montants nombre infini termes
S= un 1 + un 2 + ... + un n + ... . (1)
Quels sont ces montants ? Par définition la somme d'un nombre infini de termes un 1 , un 2 , ..., un n , ... est appelée la limite de la somme S n d'abord n des chiffres quand n -> ∞ :
S=S n = (un 1 + un 2 + ... + un n ). (2)
Bien entendu, la limite (2) peut exister ou non. En conséquence, ils disent que la somme (1) existe ou n'existe pas.
Comment pouvons-nous savoir si la somme (1) existe dans chaque cas spécifique ? Solution générale Cette question dépasse largement la portée de notre programme. Cependant, il y a un élément important cas particulier, que nous devons maintenant considérer. Nous parlerons de la sommation des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.
Laisser un 1 , un 1 q , un 1 q 2, ... est une progression géométrique infiniment décroissante. Cela signifie que | q |< 1. Сумма первых n les termes de cette progression sont égaux
Des principaux théorèmes sur les limites variables(voir § 136) on obtient :
Mais 1 = 1, un qn = 0. Donc
Ainsi, la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est égale au premier terme de cette progression divisé par un moins le dénominateur de cette progression.
1) La somme des progressions géométriques 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... est égale à
et la somme de la progression géométrique est 12 ; -6 ; 3 ; - 3 / 2 , ... égal
2) Simple fraction périodique 0,454545 ... convertir en ordinaire.
Pour résoudre ce problème, imaginons fraction donnée comme une somme infinie :
Côté droit Cette égalité est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est égal à 45/100, et le dénominateur est 1/100. C'est pourquoi
En utilisant la méthode décrite, une règle générale pour convertir des fractions périodiques simples en fractions ordinaires peut être obtenue (voir chapitre II, § 38) :
Pour convertir une fraction périodique simple en fraction ordinaire, vous devez procéder comme suit : mettre le point au numérateur décimal, et le dénominateur est un nombre composé de neuf pris autant de fois qu'il y a de chiffres dans la période de la fraction décimale.
3) Convertissez la fraction périodique mixte 0,58333 .... en une fraction ordinaire.
Imaginons cette fraction comme une somme infinie :
Du côté droit de cette égalité, tous les termes, à partir de 3/1000, forment une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est égal à 3/1000, et le dénominateur est 1/10. C'est pourquoi
En utilisant la méthode décrite, une règle générale pour convertir des fractions périodiques mixtes en fractions ordinaires peut être obtenue (voir chapitre II, § 38). Nous ne le présentons volontairement pas ici. Il n’est pas nécessaire de rappeler cette lourde règle. Il est bien plus utile de savoir que toute fraction périodique mixte peut être représentée comme la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante et d'un certain nombre. Et la formule
pour la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, il faut bien sûr s'en souvenir.
À titre d'exercice, nous vous proposons, en plus des problèmes n° 995-1000 donnés ci-dessous, de vous tourner à nouveau vers le problème n° 301 § 38.
Exercices
995. Qu'appelle-t-on la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante ?
996. Trouver les sommes de progressions géométriques infiniment décroissantes :
997. À quelles valeurs X progression
est-ce que cela diminue à l'infini ? Trouvez la somme d'une telle progression.
998.V triangle équilatéral avec le côté UN un nouveau triangle s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un nouveau triangle s'inscrit dans ce triangle de la même manière, et ainsi de suite à l'infini.
a) la somme des périmètres de tous ces triangles ;
b) la somme de leurs aires.
999. Carré avec côté UN un nouveau carré s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un carré s'inscrit dans ce carré de la même manière, et ainsi de suite à l'infini. Trouvez la somme des périmètres de tous ces carrés et la somme de leurs aires.
1000. Composer une progression géométrique infiniment décroissante telle que sa somme soit égale à 25/4, et la somme des carrés de ses termes soit égale à 625/24.
En introduisant la notation au début du chapitre, nous avons astucieusement éludé la question des sommes infinies en disant essentiellement : « Laissons cela pour plus tard. En attendant, nous pouvons supposer que toutes les sommes qui se produisent n’ont qu’un nombre fini de termes non nuls ! Mais l'heure des comptes est enfin venue : nous devons admettre que
les montants peuvent être infinis. Et, en vérité, des sommes infinies s’accompagnent de circonstances à la fois agréables et désagréables.
Tout d’abord, sur le désagréable : il s’avère que les méthodes que nous utilisons pour gérer les sommes ne sont pas toujours valables pour des sommes infinies. Et maintenant les bonnes choses : il existe un vaste cours organisé des sommes infinies, pour lesquelles toutes les opérations que nous avons effectuées étaient tout à fait légales. Les raisons de ces deux circonstances deviendront claires une fois que nous aurons découvert le véritable sens de la sommation.
Tout le monde sait ce que c'est montant final: on additionne tous les termes au total, les uns après les autres, jusqu'à ce qu'ils s'additionnent tous. Mais un montant infini devrait être déterminé plus délicatement pour ne pas avoir d'ennuis.
est égal à 2, puisque lorsqu'on le double on obtient
Mais alors, selon la même logique, il faudrait calculer le montant
égal à -1, car quand on le double on obtient
Quelque chose d'étrange se produit : comment pouvez-vous obtenir nombre négatif, résumant valeurs positives? Il semble préférable de laisser la somme de T indéfinie, et peut-être devrions-nous supposer cela puisque les termes de T deviennent supérieurs à tout nombre fini fixe. (Notez que la quantité est une autre « solution » à l’équation ; elle « résout » également l’équation
Essayons de donner une définition correcte de la valeur d'une somme arbitraire où l'ensemble K peut être infini. Pour commencer, supposons que tous les termes de a soient non négatifs. Dans ce cas, une définition appropriée n’est pas difficile à trouver : si pour tout sous-ensemble fini il existe une constante limite A telle que
alors nous supposons que la somme est la plus petite de tous ces A. (Comme il ressort du puits propriétés connues nombres réels, l'ensemble de tous ces A contient toujours le plus petit élément.) Mais si une telle constante limite A n'existe pas, nous considérons que si A -
un nombre réel, alors il existe un nombre fini de termes de a dont la somme dépasse A.
La définition du paragraphe précédent est formulée si délicatement qu'elle ne dépend d'aucun ordre pouvant exister dans l'ensemble d'indices K. Par conséquent, les arguments que nous allons donner seront valables non seulement pour des sommes sur un ensemble d'entiers, mais aussi pour des sommes multiples avec de nombreux indices
En particulier, lorsque K est l’ensemble des entiers non négatifs, notre définition des termes non négatifs a signifie que
Et voici pourquoi : toute séquence non décroissante de nombres réels a une limite (éventuellement égale à Si cette limite est égale, un ensemble fini d'entiers non négatifs, qui sont tous alors ; par conséquent, soit ou A est une constante limite. Mais si A est un nombre inférieur frontière établie A, alors il existe tel que, de plus, un ensemble fini témoigne du fait que A n'est pas une constante limite.
Vous pouvez désormais facilement calculer les grandeurs de sommes infinies spécifiques conformément à la définition qui vient d’être donnée. Par exemple, si alors
En particulier, les sommes infinies et T, dont nous avons parlé il y a un instant, sont respectivement égales à 2 et, respectivement, comme prévu. Autre exemple remarquable :
Considérons maintenant le cas où, en plus des sommes non négatives, la somme peut contenir des termes négatifs. Quel devrait être, par exemple, le montant de
Si on regroupe les termes par paires, on obtient :
donc le montant s'avère être égal à zéro; mais si nous commençons à nous regrouper par paires un peu plus tard, nous obtenons
c'est-à-dire que la somme est égale à un.
On pourrait aussi essayer de mettre la formule puisqu'on sait que cette formule est valable pour mais alors on sera obligé d'admettre que cette somme infinie est égale car c'est la somme d'entiers !
Un autre exemple intéressant est la somme infinie dans les deux sens dans laquelle en k 0 et en E peut s'écrire
Si l’on calcule cette somme en partant de l’élément « central » vers l’extérieur,
alors nous obtenons 1 ; et on obtient le même 1 si on déplace toutes les parenthèses d'un élément vers la gauche,
puisque la somme de tous les nombres entre parenthèses intérieures est
Un raisonnement similaire montre que la valeur de la somme reste égale à 1 si ces parenthèses sont déplacées vers la gauche ou vers la droite d'un nombre fixe d'éléments - cela renforce notre opinion selon laquelle la somme est réellement égale à 1. Mais, d'un autre côté, si nous regroupons les termes comme suit :
alors la paire de crochets intérieurs contiendra des nombres
Pouce. 9, on montrera que, par conséquent, cette méthode le regroupement conduit à l’idée qu’une somme infinie dans les deux sens devrait en réalité être égale à
Il y a quelque chose d'insignifiant dans le montant qui donne différentes significations lors de l'ajout de ses membres de différentes manières. DANS lignes directrices modernes selon l'analyse, il existe toute une série de définitions à l'aide desquelles des significations significatives sont attribuées à de telles sommes pathologiques ; mais si nous empruntons ces définitions, nous ne pourrons pas opérer avec la notation - aussi librement que nous l'avons fait jusqu'à présent. Les objectifs de ce livre sont tels que nous n'avons pas besoin de clarifications raffinées du concept " convergence conditionnelle" - nous adhérerons à une telle définition des sommes infinies, qui laisse en vigueur toutes les opérations que nous avons utilisées dans ce chapitre.
Essentiellement, notre définition des sommes infinies est assez simple. Soit K un ensemble et soit a un terme à valeur réelle de la somme définie pour chacun. (En fait, cela peut signifier plusieurs indices de sorte que l'ensemble K lui-même peut être multidimensionnel.) Tout nombre réel x peut être représenté comme la différence de ses parties positives et négatives,
(Soit soit Nous avons déjà expliqué comment déterminer les grandeurs de sommes infinies puisqu'elles sont non négatives. Par conséquent, notre définition générale est :
à moins que les deux sommes du côté droit ne soient égales. DANS ce dernier cas Le montant de Hlek reste incertain.
Soit Tskekak et Si les sommes sont finies, alors ils disent que la somme converge absolument vers . Si c'est fini, alors ils disent que la somme diverge en De même, si c'est fini, alors ils disent qu'elle diverge en Si, alors ils ne disent rien.
Nous avons commencé avec une définition qui « fonctionnait » pour les termes non négatifs de la somme, puis nous l'avons étendue à tous les termes à valeur réelle. Si les membres de la somme sont des nombres complexes, alors notre définition peut évidemment être étendue à ce cas : la somme est définie comme - partie réelle et imaginaire a, à condition que ces deux sommes existent. Sinon, la somme Hkek n'est pas définie (Voir exercice 18.)
Le malheur, comme déjà mentionné, est que certaines quantités infinies doivent rester indéfinies car les opérations que nous effectuons avec elles peuvent conduire à des absurdités. (Voir exercice 34.) Ce qui est bien, c'est que toutes les opérations de ce chapitre sont absolument valables chaque fois que nous avons affaire à des sommes qui convergent absolument dans le sens que nous venons d'établir.
Nous pouvons confirmer ce fait agréable en démontrant que chacune de nos règles de transformation de somme laisse inchangée la grandeur de toute somme absolument convergente. Plus précisément, cela signifie qu'il faut vérifier le respect des lois distributives, combinatoires et commutatives, ainsi que la règle selon laquelle on peut commencer à additionner sur n'importe quelle variable ; tout ce que nous avons fait dans ce chapitre peut être dérivé de ces quatre opérations de somme de base.
La loi de distribution (2.15) peut être formulée plus strictement comme suit : si la somme Hkek a converge absolument vers et si c est un nombre complexe, alors Lkek converge absolument vers Cela peut être prouvé en divisant d'abord la somme en réel et imaginaire, puis en parties positives et négatives, comme ils l'ont décomposé auparavant, et prouvant un cas particulier où chaque terme de la somme est non négatif. La preuve dans ce cas particulier fonctionne du fait que pour tout ensemble fini le dernier fait est prouvé par induction sur la taille de l'ensemble
La loi de combinaison (2.16) peut être formulée comme suit : si les sommes convergent absolument vers A et B, respectivement, alors la somme converge absolument vers Il s'avère qu'il s'agit d'un cas particulier de plus théorème général, ce que nous prouverons prochainement.
Il n'est en fait pas nécessaire de prouver la loi commutative (2.17), puisque en discutant de la formule (2.35) nous avons montré comment la dériver comme cas particulier règle générale changements dans l’ordre de sommation.
Somme de tout nombres naturels peut être écrit en utilisant la série de nombres suivante
Ce résultat, à première vue totalement contre-intuitif, peut néanmoins être rigoureusement prouvé. Mais avant de parler de preuve, il faut prendre du recul et rappeler les concepts de base.
Commençons par le fait que la somme « classique » d'une série est la limite montants partiels série, si elle existe et est finie. Les détails peuvent être trouvés dans Wikipédia et dans la littérature connexe. Si limite finale n’existe pas, alors la série est dite divergente.
Par exemple, la somme partielle des k premiers termes de la série de nombres 1 + 2 + 3 + 4 +... s'écrit comme suit
Il est facile de comprendre que cette somme croît sans limite lorsque k tend vers l’infini. Par conséquent, la série originale est divergente et, à proprement parler, n’a pas de somme. Il existe cependant de nombreuses façons d'attribuer valeur finale rangées divergentes.
La ligne 1+2+3+4+... est loin d'être la seule ligne divergente. Prenons par exemple la série Grundy
Ce qui diverge également, mais on sait que la méthode de sommation de Cesaro permet d'attribuer une valeur finie de 1/2 à cette série. La sommation selon Cesaro consiste à opérer non avec les sommes partielles d'une série, mais avec leurs moyennes arithmétiques. Si l'on se permet de spéculer librement, on peut dire que les sommes partielles de la série de Grundy oscillent entre 0 et 1, selon quel membre de la série est le dernier de la somme (+1 ou -1), d'où la valeur de 1/2, comme moyenne arithmétique de deux valeurs possibles montants partiels.
Un autre exemple intéressant de série divergente est série alternée 1 - 2 + 3 - 4 +... , dont les sommes partielles oscillent également. La sommation par la méthode d'Abel permet d'attribuer une valeur finale de 1/4 à une série donnée. A noter que la méthode d'Abel est, en quelque sorte, un développement de la méthode de sommation de Cesaro, donc le résultat 1/4 n'est pas difficile à comprendre du point de vue de l'intuition.
Il est important de noter ici que les méthodes de sommation ne sont pas des astuces inventées par les mathématiciens pour traiter d’une manière ou d’une autre des séries divergentes. Si vous appliquez la sommation de Cesaro ou la méthode d'Abel à une série convergente, la réponse donnée par ces méthodes est égale à la somme classique d'une série convergente.
Ni la sommation de Cesaro ni la méthode d'Abel ne permettent cependant de travailler avec la série 1 + 2 + 3 + 4 +..., puisque les moyennes arithmétiques des sommes partielles, ainsi que les moyennes arithmétiques des moyennes arithmétiques, divergent. De plus, si les valeurs 1/2 ou 1/4 peuvent d'une manière ou d'une autre être acceptées et corrélées avec la série correspondante, alors -1/12 est difficile à associer à la série 1 + 2 + 3 + 4 +..., qui est une séquence infinie d’entiers positifs.
Il existe plusieurs façons d'arriver au résultat -1/12. Dans cette note je ne m'attarderai que brièvement sur l'une d'elles, à savoir la régularisation par la fonction zêta. Introduisons la fonction zêta
Remplacement s = -1, on obtient l'original série de nombres 1+2+3+4+…. Effectuons une série d'opérations mathématiques simples sur cette fonction
Où est la fonction Dirichlet eta
Lorsque la valeur s = -1 cette fonction devient la série déjà familière 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... dont la « somme » est égale à 1/4. Maintenant nous pouvons facilement résoudre l'équation
Il est intéressant de noter que ce résultat trouve une application en physique. Par exemple, en théorie des cordes. Passons à la page 22 du livre de Joseph Polchinski « String Theory » :
Si pour certains la théorie des cordes n'est pas un exemple convaincant en raison du manque de preuves de nombreuses conséquences de cette théorie, alors on peut également mentionner que des méthodes similaires apparaissent dans théorie des quanta champs lorsque vous essayez de calculer l’effet Casimir.
Pour éviter d'y aller deux fois, voici quelques exemples plus intéressants avec la fonction zêta
Pour ceux qui veulent recevoir plus d'informations Sur le sujet, je précise que j'ai décidé d'écrire cette note après avoir traduit l'article correspondant sur Wikipédia, où dans la section « Liens » vous pouvez trouver beaucoup matériel supplémentaire, principalement en anglais.
David Berman, Marianne Freiberger
Un résultat très étrange a été récemment discuté. Il est dit que lorsque l’on additionne tous les nombres naturels
alors la somme sera égale à . Cette idée est démontrée dans la vidéo Numérophile, qui affirme que le résultat a été prouvé et indique également qu'il est largement utilisé en physique. Cette idée a tellement étonné les gens qu’elle a même fini dans le New York Times. Alors qu’est-ce que tout cela signifie ?
Mathématiques
Tout d’abord, la somme infinie de tous les nombres naturels n’est pas égale. Vous pouvez facilement le vérifier en calculant les montants partiels sur la calculatrice
et ainsi de suite. devient de plus en plus grand avec la croissance, c'est-à-dire avec une augmentation du nombre d'entiers naturels ajoutés. En fait, si vous choisissez une taille suffisamment grande, vous pouvez la rendre aussi grande que vous le souhaitez. Par exemple, si vous recevez
Et quand tu reçois
C'est pourquoi les mathématiciens disent ça cette série diverge. Ou, pour le dire plus librement, que la somme est égale à l’infini.
Srinivasa Ramanujan
Alors d'où ça vient ? En fait, le résultat incorrect est apparu dans les travaux du célèbre mathématicien indien Srinivasa Ramanujan en 1913. Mais Ramanujan savait ce qu'il faisait et il avait une raison de l'écrire. Il a étudié la fonction dite zêta d’Euler. Pour comprendre ce que c'est, considérons d'abord une somme infinie
Vous pouvez voir que cette somme est obtenue en additionnant les réciproques des carrés des nombres naturels :
Or, ce montant ne diffère pas. Si l’on considère la séquence des sommes partielles, comme nous l’avons fait ci-dessus,
alors les résultats obtenus seront aussi proches du nombre souhaité, mais ne le dépasseront jamais. Les mathématiciens disent qu'une série converge vers , ou plus vaguement que la somme de la série est égale à .
Voyons maintenant ce qui se passe si, au lieu de mettre les nombres naturels au carré au dénominateur, nous les élevons à une autre puissance ? Il s'avère que le montant correspondant
converge vers une valeur finale si le degré est un nombre supérieur à . Pour chaque titre="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} mathématicien exceptionnel 17ème siècle par Leonhard Euler.
Jusqu'ici, tout va bien. Mais que se passe-t-il si l’on considère des nombres inférieurs à ? Par exemple, que se passe-t-il si vous prenez ? Voyons.
Nous avons donc obtenu notre somme initiale, dont nous savons qu'elle est divergente. Il en est de même pour toute autre valeur inférieure ou égale à : la somme diverge.
Commentaire. Poursuite de la fonction zêta d'Euler. La fonction Euler zêta considérée est définie pour des nombres réels supérieurs à . Les nombres réels font partie d’une plus grande famille de nombres appelée nombres complexes. Et tandis que les nombres réels correspondent à tous les points de la droite numérique, les nombres complexes correspondent à tous les points du plan contenant la droite numérique réelle. Ce plan est appelé plan complexe. Tout comme les fonctions dont les arguments sont des nombres réels sont définies, les fonctions dont les arguments sont des nombres complexes peuvent être définies.
Un fait étonnant Le problème avec les fonctions de variables complexes est que si vous connaissez la valeur d'une fonction sur un ensemble de données, alors (jusqu'à quelques détails techniques) vous pouvez connaître la valeur de la fonction à tout moment. plan complexe. Cette méthode d’expansion du domaine d’une fonction est connue sous le nom de continuation analytique. La fonction zêta d'Euler est définie pour les nombres réels supérieurs à . Puisque les nombres réels sont des nombres complexes, nous pouvons considérer cette fonction comme fonction complexe, puis utilisez la continuation analytique pour obtenir nouvelle fonctionnalité, défini sur tout le plan, mais cohérent avec la fonction zêta d'Euler pour les nombres réels supérieurs à . Il s'agit de la fonction zêta de Riemann.
Il y a encore une chose qui peut être faite. Utiliser des mathématiques puissantes ( analyse complète voir remarque), on peut étendre le domaine de définition de la fonction zêta d'Euler pour que pour les nombres inférieurs ou égaux cette fonction prenne des valeurs finies. En d'autres termes, il existe un moyen de définir une nouvelle fonction, appelons-la , de sorte que pour title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
Et pour la fonction, certaines valeurs finales seraient prises. Cette méthode est appelée continuation analytique, et la nouvelle fonction qu'elle produit est appelée fonction zêta de Riemann, du nom du mathématicien du XVIIIe siècle Bernhard Riemann. (Créer cette nouvelle fonction qui prend des valeurs finies pour consiste à soustraire d'une série divergente une autre série divergente, de sorte que l'infini résultant de la première somme divergente moins l'infini résultant de la deuxième somme divergente soit égal à quelque chose de fini.)
Bien. Nous avons maintenant une fonction qui, pour title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Et si vous faites l’erreur de supposer que for , alors vous obtiendrez l’égalité (incorrecte)
Cela explique pourquoi Ramanujan a écrit cette expression mystérieuse.
Rusé
Alors, comment les personnes dans la vidéo ont-elles « prouvé » que la somme de tous les nombres naturels est égale à ? En réalité, ils ne l’ont pas fait. Regarder cette vidéo, c'est comme regarder un magicien et essayer de déterminer quand le lapin est descendu dans le chapeau. La première étape de la « preuve » tente de vous convaincre d’une chose assez stupide, à savoir qu’une quantité infinie
La vidéo ne s’attarde pas longtemps là-dessus et semble laisser entendre que c’est une évidence. Mais regardons cela de plus près pour voir si cela a du sens. Que la somme soit nombre fini, appelons-le . En nous ajoutant à nous-mêmes, nous obtenons une somme infinie
Mais ce n'est que le montant initial, d'où
Depuis, ce n’est pas vrai. Ainsi, l’affirmation selon laquelle une somme infinie peut être considérée comme égale n’est pas correcte. En fait, vous pouvez obtenir des résultats différents en utilisant des quantités infinies qui divergent. C'est une astuce !
Physique
Mais comment ce curieux résultat incorrect s’est-il retrouvé dans un manuel de physique, comme le montre la vidéo ? C’est là que les choses deviennent vraiment intéressantes. Supposons que vous preniez deux plaques métalliques conductrices et que vous les disposiez sous vide de manière à ce qu’elles soient parallèles l’une à l’autre. Selon la physique classique, aucune force ne devrait s’exercer entre ces deux plaques.
Effet Casimir
Mais physique classique ne prend pas en compte les effets étranges que l’on constate lorsque l’on regarde le monde à très petite échelle. Pour les prendre en compte, nous avons besoin de la physique quantique, qui revendique beaucoup de choses très étranges. L’une d’elles est que le vide n’est pas vide, il est plein d’activité. Tout le temps, le soi-disant particules virtuelles. Cette activité donne ce qu'on appelle zéro énergie: L'énergie la plus basse que quelque chose puisse avoir n'est jamais nulle. Lorsque vous essayez de calculer la densité d’énergie totale entre deux plaques en utilisant les mathématiques ou la physique quantique, vous obtenez une somme infinie.
Cette somme infinie est également ce que vous obtenez lorsque vous branchez la valeur dans la fonction zêta d'Euler :
C'est dommage parce que ce montant diverge (elle le fait encore plus vite que) ce qui signifiera densité infinieénergie. C’est évidemment absurde. Mais que se passe-t-il si vous supposez effrontément que la somme infinie est égale à la fonction zêta de Riemann, plutôt qu'à la fonction zêta d'Euler, à ? Eh bien, vous obtenez alors une densité d’énergie finie. Cela signifie qu’il doit y avoir une force d’attraction entre les plaques métalliques, ce qui semble également ridicule, puisque la physique classique suggère qu’il ne devrait y avoir aucune force.
Mais voici une surprise. Lorsque les physiciens ont fait l'expérience, ils ont découvert que la force existe réellement et qu'elle correspond à une densité d'énergie exactement égale à !
C'est incroyable résultat physique connu sous le nom d'effet Casimir, du nom du physicien néerlandais Hendrik Casimir.
Prenez un moment pour apprécier cela. Physique quantique dit que la densité énergétique doit être égale à
Cela n'a aucun sens, mais les expériences montrent que si vous calculez (par erreur) ce montant égale à la valeur fonction zêta à , vous obtiendrez la bonne réponse. Il semble donc que la nature suive les idées de Ramanujan. Elle a étendu la fonction zêta d'Euler pour inclure des valeurs inférieures à , en soustrayant intelligemment l'infini pour arriver à une valeur finie. C'est incroyable !
La raison pour laquelle nous voyons à la fois dans la vidéo Numberphile et dans le manuel de physique et non, c'est que lorsque vous imaginez l'effet Casimir se produisant dans une dimension (le long d'une ligne, pas en 3D), la densité d'énergie que vous considérez est égale à , et non .
Alors pourquoi les gens de Numberphile font-ils la promotion de cet étrange « résultat » ? Ils connaissent bien sûr la suite analytique, ce qui rend la fonction assez spécifique, mais c'est trop technique pour leurs vidéos. Connaissance méthode analytique une suite qui rend le résultat final raisonnable tout en le cachant dans leur poche arrière, ils ont intelligemment avancé. Ce faisant, ils ont reçu plus d’un million de vues et le monde a commencé à parler de la fonction zêta et des mathématiques. Ils peuvent en être félicités. Les mathématiques de la fonction zêta sont fantastiques, et ce que nous avons décrit ici n'est que le début. longue liste incroyable propriétés mathématiques. Lorsque nous vulgarisons les mathématiques et la physique, nous devons toujours faire des choix entre ce que nous ne disons pas et ce que nous expliquons. C'est à nous de décider où nous traçons cette ligne.
