Une série de nombres est dite convergente si. Série alternée

Définitions de base.

Définition. La somme des termes d’une suite de nombres infinie s’appelle série de nombres.

En même temps, les chiffres
nous les appellerons membres de la série, et toi n– un membre commun de la série.

Définition. Montants
,n = 1, 2, … sont appelés montants privés (partiels) rangée.

Ainsi, il est possible de considérer des séquences de sommes partielles de la série S 1 , S 2 , …, S n , …

Définition. Rangée
appelé convergent, si la séquence de ses sommes partielles converge. Somme des séries convergentes est la limite de la séquence de ses sommes partielles.

Définition. Si la séquence des sommes partielles d'une série diverge, c'est-à-dire n'a pas de limite, ou a limite infinie, alors la série s'appelle divergent et aucun montant ne lui est attribué.

Propriétés des lignes.

1) La convergence ou la divergence de la série ne sera pas violée si vous modifiez, supprimez ou ajoutez numéro final membres de la série.

2) Considérez deux lignes
Et
, où C – nombre constant.

Théorème. Si la ligne
converge et sa somme est égaleS, puis la série
converge également, et sa somme est égale à CS. (C  0)

3) Considérez deux lignes
Et
.Montant ou différence de ces séries sera appelée une série
, où les éléments sont obtenus en ajoutant (soustrayant) les éléments d'origine avec les mêmes nombres.

Théorème. Si les lignes
Et
convergent et leurs sommes sont respectivement égalesSEt , puis la série
converge également et sa somme est égaleS +  .

La différence de deux séries convergentes sera aussi une série convergente.

La somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.

Il est impossible de formuler une affirmation générale sur la somme de deux séries divergentes.

Lorsqu'ils étudient des séries, ils résolvent principalement deux problèmes : étudier la convergence et trouver la somme des séries.

Critère de Cauchy.

(conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence de la série)

Pour que la séquence
était convergente, il faut et il suffit que pour tout
il y avait un tel nombreN, qu'àn > Net n'importe quelp> 0, où p est un nombre entier, l'inégalité suivante serait vraie :

.

Preuve. (nécessité)

Laisser
, alors pour n'importe quel nombre
il existe un nombre N tel que l'inégalité

est satisfait lorsque n>N. Pour n>N et tout entier p>0, l'inégalité est également vraie
. En tenant compte des deux inégalités, on obtient :

La nécessité est avérée. Nous ne considérerons pas la preuve de suffisance.

Formulons le critère de Cauchy pour les séries.

Pour que la série
était convergente, il faut et il suffit que pour tout
il y avait un numéroNtel qu'àn> Net n'importe quelp>0 l'inégalité persisterait

.

Cependant, en pratique, utiliser directement le critère de Cauchy n’est pas très pratique. Par conséquent, en règle générale, des tests de convergence plus simples sont utilisés :

1) Si la ligne
converge, alors il faut que membre commun toi n tendait vers zéro. Toutefois, cette condition n’est pas suffisante. On peut seulement dire que si le terme commun ne tend pas vers zéro, alors la série diverge définitivement. Par exemple, la série dite harmonique est divergent, bien que son terme commun tende vers zéro.

Exemple.Étudier la convergence de la série

Nous trouverons
- signe nécessaire la convergence n’est pas satisfaite, ce qui signifie que la série diverge.

2) Si une série converge, alors la suite de ses sommes partielles est bornée.

Mais ce signe n’est pas non plus suffisant.

Par exemple, la série 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… diverge, car la séquence de ses sommes partielles diverge du fait que

Cependant, la séquence des sommes partielles est limitée, car
à tout moment n.

Série avec des termes non négatifs.

Lorsqu'on étudie des séries de signe constant, on se limitera à considérer des séries à termes non négatifs, car une simple multiplication par –1 à partir de ces séries peut donner des séries avec des termes négatifs.

Théorème. Pour la convergence des séries
avec des termes non négatifs, il est nécessaire et suffisant que les sommes partielles de la série soient bornées.

Un signe pour comparer des séries avec des termes non négatifs.

Soit deux lignes
Et
à toi n , v n  0 .

Théorème. Si toi n  v nà tout moment n, puis de la convergence de la série
la série converge
, et de la divergence de la série
la série diverge
.

Preuve. Notons par S n Et  n sommes partielles de séries
Et
. Parce que d'après les conditions du théorème, la série
converge, alors ses sommes partielles sont bornées, c'est-à-dire devant tout le monde n n  M, où M est un certain nombre. Mais parce que toi n  v n, Que S n   n alors les sommes partielles de la série
sont également limités, ce qui suffit à la convergence.

Exemple. Examiner la série pour la convergence

Parce que
, et la série harmonique diverge, alors la série diverge
.

Exemple.

Parce que
, et la série
converge (comme une progression géométrique décroissante), alors la série
converge également.

Le signe de convergence suivant est également utilisé :

Théorème. Si
et il y a une limite
, Oùh– un nombre différent de zéro, alors la série
Et
se comportent de manière identique en termes de convergence.

Le signe de D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - mathématicien français)

Si pour une série
avec des termes positifs, il y a un tel nombreq<1, что для всех достаточно больших nl’inégalité persiste

puis une série
converge, si pour tous il y a suffisamment de grandsnla condition est remplie

puis une série
diverge.

Signe limitant de D'Alembert.

Le critère limite de D'Alembert est une conséquence du critère de D'Alembert ci-dessus.

S'il y a une limite
, puis quand < 1 ряд сходится, а при  > 1 – diverge. Si = 1, alors la question de la convergence ne peut pas être résolue.

Exemple. Déterminer la convergence de la série .

Conclusion : la série converge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série

Conclusion : la série converge.

Le signe de Cauchy. (signe radical)

Si pour une série
avec des termes non négatifs, il y a un tel nombreq<1, что для всех достаточно больших nl’inégalité persiste

,

puis une série
converge, si pour tous il y a suffisamment de grandsnl’inégalité persiste

puis une série
diverge.

Conséquence. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд сходится, а при >La rangée 1 diverge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série
.

Conclusion : la série converge.

Exemple. Déterminer la convergence de la série
.

Ceux. Le test de Cauchy ne répond pas à la question de la convergence des séries. Vérifions que les conditions de convergence nécessaires sont satisfaites. Comme mentionné ci-dessus, si une série converge, alors le terme commun de la série tend vers zéro.

,

Ainsi, la condition nécessaire à la convergence n’est pas satisfaite, ce qui signifie que la série diverge.

Test de Cauchy intégral.

Si (x) est une fonction positive continue décroissante sur l'intervalle Et
alors les intégrales
Et
se comportent de manière identique en termes de convergence.

Série alternée.

Rangées alternées.

Une série alternée peut s’écrire :

Où

Le signe de Leibniz.

Si le signe de la rangée alternée valeurs absoluestoi je diminuent
et le terme commun tend vers zéro
, alors la série converge.

Absolu et convergence conditionnelle rangées.

Considérons quelques séries alternées (avec des termes de signes arbitraires).

(1)

et une série composée des valeurs absolues des membres de la série (1) :

(2)

Théorème. De la convergence de la série (2) découle la convergence de la série (1).

Preuve. La série (2) est une série avec des termes non négatifs. Si la série (2) converge, alors d'après le critère de Cauchy pour tout >0 il existe un nombre N tel que pour n>N et tout entier p>0 l'inégalité suivante est vraie :

D'après la propriété des valeurs absolues :

Autrement dit, selon le critère de Cauchy, de la convergence de la série (2) découle la convergence de la série (1).

Définition. Rangée
appelé absolument convergent, si la série converge
.

Il est évident que pour les séries de signe constant les notions de convergence et de convergence absolue coïncident.

Définition. Rangée
appelé conditionnellement convergent, si elle converge et que la série
diverge.

Tests de D'Alembert et Cauchy pour les séries alternées.

Laisser
- séries alternées.

Le signe de D'Alembert. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд
sera absolument convergent, et quand>

Le signe de Cauchy. S'il y a une limite
, puis quand<1 ряд
sera absolument convergente, et si >1 la série sera divergente. Lorsque =1, le signe ne donne pas de réponse sur la convergence de la série.

Propriétés des séries absolument convergentes.

1) Théorème. Pour une convergence absolue de la série
il est nécessaire et suffisant qu'elle puisse être représentée comme la différence de deux séries convergentes à termes non négatifs.

Conséquence. Une série conditionnellement convergente est la différence de deux séries divergentes dont les termes non négatifs tendent vers zéro.

2) Dans une série convergente, tout regroupement des termes de la série qui ne change pas leur ordre préserve la convergence et la grandeur de la série.

3) Si une série converge absolument, alors la série obtenue par toute permutation de termes converge également absolument et a la même somme.

En réorganisant les termes d'une série conditionnellement convergente, on peut obtenir une série conditionnellement convergente ayant n'importe quel sens direct un montant donné, et même une série divergente.

4) Théorème. Pour tout groupement de membres d'une série absolument convergente (dans ce cas, le nombre de groupes peut être fini ou infini, et le nombre de membres d'un groupe peut être fini ou infini), une série convergente est obtenue, la somme dont est égal à la somme de la série originale.

5) Si les lignes Et convergent absolument et leurs sommes sont respectivement égales S et , alors une série composée de tous les produits de la forme
pris dans n'importe quel ordre, converge également absolument et sa somme est égale à S - le produit des sommes des séries multipliées.

Si vous multipliez des séries conditionnellement convergentes, vous pouvez ainsi obtenir une série divergente.

Séquences fonctionnelles.

Définition. Si les membres de la série ne sont pas des nombres, mais des fonctions de X, alors la série s'appelle fonctionnel.

L'étude de la convergence des séries fonctionnelles est plus compliquée que l'étude des séries numériques. Un seul et même gamme fonctionnelle peut-être avec les mêmes valeurs de variables X converger, et avec d'autres - diverger. La question de la convergence des séries fonctionnelles se résume donc à déterminer les valeurs de la variable X, auquel la série converge.

L'ensemble de ces valeurs est appelé zone de convergence.

Puisque la limite de chaque fonction incluse dans la région de convergence de la série est un certain nombre, la limite de la séquence fonctionnelle sera une certaine fonction :

Définition. Sous-séquence ( f n (x) } converge fonctionner f(x) sur le segment si pour tout nombre >0 et tout point X du segment considéré il existe un nombre N = N(, x), tel que l'inégalité

est satisfait lorsque n>N.

Avec la valeur sélectionnée >0, chaque point du segment a son propre numéro et, par conséquent, il y aura un nombre infini de nombres correspondant à tous les points du segment. Si vous choisissez le plus grand de tous ces nombres, alors ce nombre conviendra à tous les points du segment, c'est-à-dire sera commun à tous les points.

Définition. Sous-séquence ( f n (x) } converge uniformément fonctionner f(x) sur le segment , si pour tout nombre >0 il existe un nombre N = N() tel que l'inégalité

est rempli pour n>N pour tous les points du segment.

Exemple. Considérez la séquence

Cette séquence converge sur toute la droite numérique vers la fonction f(x)=0 , parce que

Construisons des graphiques de cette séquence :

péché

Comme on peut le constater, avec un nombre croissant n le graphe de séquence se rapproche de l'axe X.

Série fonctionnelle.

Définition. Montants privés (partiels) gamme fonctionnelle
les fonctions sont appelées

Définition. Gamme fonctionnelle
appelé convergent au point ( x=x 0 ), si la séquence de ses sommes partielles converge en ce point. Limite de séquence
appelé montant rangée
au point X 0 .

Définition. Ensemble de toutes les valeurs X, pour lequel la série converge
appelé zone de convergence rangée.

Définition. Rangée
appelé uniformément convergent sur l'intervalle si la suite des sommes partielles de cette série converge uniformément sur cet intervalle.

Théorème. (Critère de Cauchy pour la convergence uniforme des séries)

Pour une convergence uniforme de la série
il est nécessaire et suffisant que pour tout nombre >0 un tel numéro existaitN( ), qui àn> Net n'importe quel toutp>0 inégalité

serait valable pour tout x sur l'intervalle [un, b].

Théorème. (Test de Weierstrass pour la convergence uniforme)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – mathématicien allemand)

Rangée
converge uniformément et absolument sur l’intervalle [un, b], si les modules de ses termes sur un même segment ne dépassent pas les termes correspondants d'une série de nombres convergents à termes positifs :

ceux. il y a une inégalité :

.

Ils disent aussi que dans ce cas la série fonctionnelle
est majorisé série de nombres
.

Exemple. Examiner la série pour la convergence
.

Parce que
toujours, il est évident que
.

De plus, on sait que la série harmonique générale lorsque=3>1 converge, alors, conformément au test de Weierstrass, la série étudiée converge uniformément et, de plus, dans n'importe quel intervalle.

Exemple. Examiner la série pour la convergence .

Sur l'intervalle [-1,1] l'inégalité est vraie
ceux. selon le critère de Weierstrass, la série étudiée converge sur ce segment, mais diverge sur les intervalles (-, -1)  (1, ).

Propriétés des séries uniformément convergentes.

1) Théorème sur la continuité de la somme d'une série.

Si les membres de la série
- en continu sur le segment [un, b] fonction et la série converge uniformément, alors sa sommeS(x) Il y a fonction continue sur le segment [un, b].

2) Théorème d'intégration terme à terme d'une série.

Convergeant uniformément sur le segment [un, b] une série à termes continus peut être intégrée terme par terme sur cet intervalle, c'est-à-dire une série composée d'intégrales de ses termes sur le segment [un, b] , converge vers l'intégrale de la somme des séries sur ce segment.

3) Théorème de différenciation terme à terme d'une série.

Si les membres de la série
convergeant vers le segment [un, b] représentent des fonctions continues ayant des dérivées continues, et une série composée de ces dérivées
converge uniformément sur ce segment, alors cette série converge uniformément et peut être différenciée terme par terme.

Basé sur le fait que la somme de la série est une fonction de la variable X, vous pouvez effectuer l'opération de représentation d'une fonction sous la forme d'une série (expansion d'une fonction en série), qui est largement utilisée dans l'intégration, la différenciation et d'autres opérations avec des fonctions.

En pratique, l’expansion des fonctions en série entière est souvent utilisée.

Série de puissance.

Définition. Série de puissance appelé une série de la forme

.

Pour étudier la convergence des séries entières, il convient d'utiliser le test de D'Alembert.

Exemple. Examiner la série pour la convergence

On applique le signe de d'Alembert :

.

Nous constatons que cette série converge vers
et diverge à
.

Déterminons maintenant la convergence aux points limites 1 et –1.

Pour x = 1 :
La série converge selon le critère de Leibniz (voir Le signe de Leibniz.).

À x = -1 :
la série diverge (série harmonique).

Les théorèmes d'Abel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – mathématicien norvégien)

Théorème. Si la série entière
converge versx = x 1 , alors ça converge et, en plus, pour absolument tout le monde
.

Preuve. D'après les conditions du théorème, puisque les termes de la série sont limités, alors

Où k- un nombre constant. L’inégalité suivante est vraie :

De cette inégalité, il ressort clairement que lorsque x< x 1 les valeurs numériques des termes de notre série seront inférieures (du moins pas plus) aux termes correspondants de la série du côté droit de l'inégalité écrite ci-dessus, qui forment une progression géométrique. Le dénominateur de cette progression selon les conditions du théorème, elle est inférieure à un, donc cette progression est une série convergente.

Par conséquent, sur la base du critère de comparaison, nous concluons que la série
converge, ce qui signifie que la série
converge absolument.

Ainsi, si la série entière
converge en un point X 1 , alors il converge absolument en tout point de l'intervalle de longueur 2 centré en un point X = 0.

Conséquence. Si à x = x 1 la série diverge, puis elle diverge pour tout le monde
.

Ainsi, pour chaque série entière il existe un nombre positif R tel que pour toute X tel que
la série est absolument convergente, et pour tout
la rangée diverge. Dans ce cas, le nombre R s'appelle rayon de convergence. L'intervalle (-R, R) est appelé intervalle de convergence.

A noter que cet intervalle peut être fermé d'un ou des deux côtés, ou non fermé.

Le rayon de convergence peut être trouvé à l'aide de la formule :

Exemple. Trouver l'aire de convergence de la série

Trouver le rayon de convergence
.

Ainsi, cette série converge en n'importe quelle valeur X. Le terme commun de cette série tend vers zéro.

Théorème. Si la série entière
converge pour une valeur positive x=x 1 , alors il converge uniformément dans n’importe quel intervalle à l’intérieur de
.

Actions avec des séries entières.

En pratique, il n’est souvent pas si important de trouver la somme d’une série que de répondre à la question de la convergence de la série. Pour cela, des critères de convergence sont utilisés en fonction des propriétés du terme commun de la série.

Un signe nécessaire de convergence d’une série

THÉORÈME 1

Si la ligneconverge, alors son terme commun tend vers zéro à
, ceux.
.

Brièvement: Si une série converge, alors son terme commun tend vers zéro.

Preuve. Laissez la série converger et sa somme égale . Pour n'importe qui montant partiel

.

Alors . 

Du critère de convergence prouvé nécessaire, il découle un signe suffisant de la divergence d'une série : si à
Si le terme commun de la série ne tend pas vers zéro, alors la série diverge.

Exemple 4.

Pour cette série, le terme commun est
Et
.

Cette série diverge donc.

Exemple 5. Examiner la série pour la convergence

Il est évident que le terme général de cette série, dont la forme n'est pas indiquée en raison de la lourdeur de l'expression, tend vers zéro à mesure que
, c'est-à-dire le critère nécessaire à la convergence d'une série est satisfait, mais cette série diverge, puisque sa somme tend vers l’infini.

Série de nombres positifs

Une série de nombres dont tous les termes sont positifs est appelée signe positif.

THÉORÈME 2 (Critère de convergence d'une série positive)

Pour qu'une série de signe positif converge, il faut et suffit que toutes ses sommes partielles soient bornées d'en haut par le même nombre.

Preuve. Puisque pour n'importe qui
, alors, c'est-à-dire sous-séquence
– croissant de manière monotone, donc pour l'existence de la limite il est nécessaire et suffisant de restreindre la séquence d'en haut d'un certain nombre.

Ce théorème dans dans une plus grande mesure a une signification théorique plutôt que pratique. Vous trouverez ci-dessous d'autres tests de convergence plus largement utilisés.

Signes suffisants de convergence de séries positives

THÉORÈME 3 (Premier signe de comparaison)

Soit deux séries de signes positifs :

(1)

(2)

et, à partir d'un certain nombre
, pour n'importe qui
l’inégalité persiste
Alors:

Notation schématique de la première fonctionnalité de comparaison :

descente.rassemblement.

exp.exp.

Preuve. 1) Puisque supprimer un nombre fini de termes de la série n'affecte pas sa convergence, nous démontrons le théorème pour le cas
. Que ce soit pour n'importe qui
nous avons

, (3)

Où
Et
- respectivement sommes partielles des séries (1) et (2).

Si la série (2) converge, alors il existe un nombre
. Puisque dans ce cas la séquence
- en augmentant, sa limite est supérieure à n'importe lequel de ses membres, c'est-à-dire
pour n'importe qui . Par conséquent, de l’inégalité (3) il résulte
. Ainsi, toutes les sommes partielles de la série (1) sont limitées au-dessus par le nombre . D’après le théorème 2, cette série converge.

2) En effet, si la série (2) convergeait, alors, par comparaison, la série (1) convergerait également. 

Pour appliquer cette fonctionnalité, on utilise souvent de telles séries standards dont la convergence ou la divergence est connue à l'avance, par exemple :

3) - Série de Dirichlet (elle converge en
et diverge à
).

De plus, on utilise souvent des séries qui peuvent être obtenues en utilisant les inégalités évidentes suivantes :

,

,
,
.

Regardons exemples spécifiques un schéma pour étudier une série positive pour la convergence en utilisant le premier critère de comparaison.

Exemple 6. Explorer la ligne
pour la convergence.

Étape 1. Vérifiez le signe positif de la série :
Pour

Étape 2. Vérifions le respect du critère nécessaire à la convergence d'une série :
. Parce que
, Que

(si le calcul de la limite est difficile, vous pouvez sauter cette étape).

Étape 3. Utilisez le premier signe de comparaison. Pour ce faire, nous sélectionnerons une série standard pour cette série. Parce que
, alors nous pouvons prendre la série comme standard
, c'est-à-dire Série Dirichlet. Cette série converge car l'exposant
. Par conséquent, selon le premier critère de comparaison, les séries étudiées convergent également.

Exemple 7. Explorer la ligne
pour la convergence.

1) Cette série est de signe positif, puisque
Pour

2) Le critère nécessaire à la convergence d'une série est satisfait, car

3) Sélectionnons une ligne standard. Parce que
, alors nous pouvons prendre la série géométrique comme standard

. Cette série converge, et donc la série étudiée converge également.

THÉORÈME 4 (Deuxième critère de comparaison)

Si pour une série positive Et il existe une limite finie non nulle
, Que les rangées convergent ou divergent simultanément.

Preuve. Laissez la série (2) converger ; Montrons qu'alors la série (1) converge également. Choisissons un numéro , plus que . De l'état
il s'ensuit qu'un tel nombre existe c'est pour tout le monde
l'inégalité est vraie
, ou, ce qui est pareil,

(4)

Après avoir écarté les premiers des rangées (1) et (2) termes (ce qui n’affecte pas la convergence), on peut supposer que l’inégalité (4) est valable pour tous
Mais une série avec un membre commun
converge en raison de la convergence de la série (2). Selon le premier critère de comparaison, l'inégalité (4) implique la convergence des séries (1).

Laissez maintenant la série (1) converger ; Montrons la convergence de la série (2). Pour ce faire, échangez simplement les rôles des lignes données. Parce que

alors, d'après ce qui a été prouvé plus haut, la convergence des séries (1) devrait impliquer la convergence des séries (2). 

Si
à
(un signe nécessaire de convergence), puis de la condition
, il s'ensuit que Et – des infinitésimaux du même ordre de petitesse (équivalent à
). Par conséquent, si on lui donne une série , Où
à
, alors pour cette série vous pouvez prendre la série standard , où est le terme commun a le même ordre de petitesse que le terme général de la série donnée.

Lors du choix d'une série standard, vous pouvez utiliser le tableau suivant d'infinitésimaux équivalents à
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Exemple 8. Examiner la série pour la convergence

.

pour n'importe qui
.

Parce que
, alors on prend la série harmonique divergente comme série standard
. Depuis la limite du rapport des termes communs Et est finie et différente de zéro (elle est égale à 1), alors selon le deuxième critère de comparaison, cette série diverge.

Exemple 9.
selon deux critères de comparaison.

Cette série est positive puisque
, Et
. Depuis
, alors la série harmonique peut être considérée comme une série standard . Cette série diverge et donc, selon le premier signe de comparaison, la série étudiée diverge également.

Puisque pour cette série et la série standard la condition est satisfaite
(ici la 1ère limite remarquable est utilisée), puis sur la base du deuxième critère de comparaison la série
– diverge.

THÉORÈME 5 (Test de D'Alembert)

il y a une limite finie
, alors la série converge vers
et diverge à
.

Preuve. Laisser
. Prenons un numéro , conclu entre et 1 :
. De l'état
il s'ensuit qu'à partir d'un certain nombre l’inégalité persiste

;
;
(5)

Considérez la série

D'après (5), tous les termes de la série (6) ne dépassent pas les termes correspondants de l'infini progression géométrique
Depuis
, cette progression est convergente. De là, du fait du premier critère de comparaison, s'ensuit la convergence des séries

Événement
considérez par vous-même.

Remarques :

il s'ensuit que le reste de la série

.

Le test de D'Alembert est pratique en pratique lorsque le terme commun de la série contient fonction exponentielle ou factorielle.

Exemple 10. Examiner la série pour la convergence d'après le signe de D'Alembert.

Cette série est positive et

.

(Ici, dans le calcul, la règle de L'Hôpital est appliquée deux fois).

alors, par le critère de d'Alembert, cette série converge.

Exemple 11..

Cette série est positive et
. Depuis

alors cette série converge.

THÉORÈME 6 (Test de Cauchy)

Si pour une série positive il y a une limite finie
, puis quand
la série converge, et quand
la rangée diverge.

La preuve est similaire au théorème 5.

Remarques :

Exemple 12. Examiner la série pour la convergence
.

Cette série est positive puisque
pour n'importe qui
. Depuis le calcul de la limite
pose certaines difficultés, alors on omet de vérifier la faisabilité du critère nécessaire à la convergence d'une série.

alors, selon le critère de Cauchy, cette série diverge.

THÉORÈME 7 (Test intégral pour la convergence Maclaurin - Cauchy)

Laissez une série être donnée

dont les termes sont positifs et n'augmentent pas :

Laissez, plus loin
- une fonction définie pour tout réel
, est continu, n’augmente pas et

Répondre: la série diverge.

Exemple n°3

Trouvez la somme de la série $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Puisque la limite inférieure de sommation est 1, le terme commun de la série s'écrit sous le signe somme : $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Composons nième partiel la somme de la série, c'est-à-dire Faisons la somme des premiers $n$ termes d'une série de nombres donnée :

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

La raison pour laquelle j'écris exactement $\frac(2)(3\cdot 5)$, et non $\frac(2)(15)$, ressortira clairement de la suite de la narration. Cependant, inscrire un montant partiel ne nous a pas rapproché d’un iota de notre objectif. Nous devons trouver $\lim_(n\to\infty)S_n$, mais si nous écrivons simplement :

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

alors ce récit, tout à fait correct dans la forme, ne nous donnera rien au fond. Pour trouver la limite, il faut d’abord simplifier l’expression de la somme partielle.

Il existe pour cela une transformation classique, qui consiste à décomposer la fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, qui représente le terme général de la série, en fractions élémentaires. La question de la décomposition fractions rationnelles dédié à l'élémentaire sujet séparé(voir par exemple l'exemple n°3 sur cette page). En développant la fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ en fractions élémentaires, nous aurons :

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Nous assimilons les numérateurs des fractions de gauche et bonnes pièces l'égalité résultante:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Il existe deux façons de trouver les valeurs de $A$ et $B$. Vous pouvez ouvrir les parenthèses et réorganiser les termes, ou vous pouvez simplement remplacer des valeurs appropriées au lieu de $n$. Juste pour varier, dans cet exemple, nous suivrons la première voie, et dans le suivant, nous remplacerons les valeurs privées $n$. En ouvrant les parenthèses et en réorganisant les termes, on obtient :

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Du côté gauche de l'égalité, $n$ est précédé d'un zéro. Si tu veux, côté gauche Pour plus de clarté, l'égalité peut être représentée par $0\cdot n+ 2$. Puisque du côté gauche de l'égalité $n$ est précédé de zéro, et du côté droit de l'égalité $n$ est précédé de $2A+2B$, nous avons la première équation : $2A+2B=0$. Divisons immédiatement les deux côtés de cette équation par 2, après quoi nous obtenons $A+B=0$.

Puisque du côté gauche de l'égalité membre gratuit est égal à 2, et du côté droit de l'égalité le terme libre est égal à $3A+B$, alors $3A+B=2$. Nous avons donc un système :

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Nous effectuerons la preuve en utilisant la méthode induction mathématique. Dans un premier temps, vous devez vérifier si l'égalité prouvée est vraie $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pour $n=1$. Nous savons que $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, mais l'expression $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ donnera-t-elle la valeur $\frac( 2 )(15)$, si on y remplace $n=1$ ? Vérifions :

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Ainsi, pour $n=1$ l'égalité $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est satisfaite. Ceci termine la première étape de la méthode d’induction mathématique.

Supposons que pour $n=k$ l'égalité soit satisfaite, c'est-à-dire $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Montrons que la même égalité sera satisfaite pour $n=k+1$. Pour ce faire, considérons $S_(k+1)$ :

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Puisque $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, alors $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. D'après l'hypothèse faite ci-dessus $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, donc la formule $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ prendra la forme :

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Conclusion : la formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est correcte pour $n=k+1$. Par conséquent, selon la méthode d'induction mathématique, la formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ est vraie pour tout $n\in N$. L'égalité est prouvée.

Dans le cours standard mathématiques supérieures ils se contentent généralement de « rayer » les conditions de résiliation, sans exiger aucune preuve. Nous avons donc une expression pour nième partiel sommes : $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Trouvons la valeur de $\lim_(n\to\infty)S_n$ :

Conclusion: série donnée converge et sa somme $S=\frac(1)(3)$.

La deuxième façon de simplifier la formule d'une somme partielle.

Honnêtement, je préfère moi-même cette méthode :) Notons le montant partiel dans une version abrégée :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Nous avons obtenu plus tôt que $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, donc :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

La somme $S_n$ contient un nombre fini de termes, nous pouvons donc les réorganiser à notre guise. Je veux d'abord additionner tous les termes de la forme $\frac(1)(2k+1)$, puis passer ensuite aux termes de la forme $\frac(1)(2k+3)$. Cela signifie que nous présenterons le montant partiel comme suit :

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Bien sûr, la notation développée est extrêmement gênante, donc l'égalité présentée ci-dessus peut être écrite de manière plus compacte :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Transformons maintenant les expressions $\frac(1)(2k+1)$ et $\frac(1)(2k+3)$ en une seule forme. Je trouve pratique de souligner fraction plus grande(même si cela peut être moins, c'est une question de goût). Puisque $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (plus le dénominateur est grand, plus moins de fraction), alors nous réduirons la fraction $\frac(1)(2k+3)$ à la forme $\frac(1)(2k+1)$.

Je vais présenter l'expression au dénominateur de la fraction $\frac(1)(2k+3)$ comme suit :

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Et la somme $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ peut maintenant s'écrire comme suit :

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Si l'égalité $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ne soulève aucune question, alors passons à autre chose. Si vous avez des questions, veuillez développer la note.

Comment avons-nous obtenu le montant converti ? afficher\masquer

Nous avions une série $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Introduisons une nouvelle variable au lieu de $k+1$ - par exemple, $t$. Donc $t=k+1$.

Comment l'ancienne variable $k$ a-t-elle changé ? Et il est passé de 1 à $n$. Voyons comment la nouvelle variable $t$ va changer. Si $k=1$, alors $t=1+1=2$. Si $k=n$, alors $t=n+1$. Ainsi, l'expression $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ devient désormais : $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Nous avons la somme $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Question : la lettre utilisée dans ce montant est-elle importante ? :) En écrivant simplement la lettre $k$ au lieu de $t$, nous obtenons ce qui suit :

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

C'est ainsi que l'on obtient l'égalité $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Ainsi, la somme partielle peut être représentée comme suit :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Notez que les sommes $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ et $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ne diffèrent que par les limites de sommation. Rendons ces limites identiques. En « enlevant » le premier élément de la somme $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ nous aurons :

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

En « enlevant » le dernier élément de la somme $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, on obtient :

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Alors l’expression de la somme partielle prendra la forme :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Si vous sautez toutes les explications, alors le processus de recherche d'une formule abrégée pour la nième somme partielle prendra la forme suivante :

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons réduit la fraction $\frac(1)(2k+3)$ à la forme $\frac(1)(2k+1)$. Bien sûr, vous pouvez faire le contraire, c'est-à-dire représente la fraction $\frac(1)(2k+1)$ par $\frac(1)(2k+3)$. L'expression finale de la somme partielle ne changera pas. Dans ce cas, je cacherai le processus de recherche du montant partiel sous une note.

Comment trouver $S_n$ s'il est converti en une autre fraction ? afficher\masquer

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Donc, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Trouvez la limite $\lim_(n\to\infty)S_n$ :

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

La série donnée converge et sa somme $S=\frac(1)(3)$.

Répondre: $S=\frac(1)(3)$.

La suite du thème de la recherche de la somme d'une série sera abordée dans les deuxième et troisième parties.

Pour calculer la somme d'une série, il suffit d'additionner les éléments de la ligne, quantité spécifiée une fois. Par exemple:

Dans l’exemple ci-dessus, cela a été fait très simplement, puisqu’il fallait additionner un nombre fini de fois. Mais que se passe-t-il si la limite supérieure de la sommation est l’infini ? Par exemple, si nous devons trouver la somme de la série suivante :

Par analogie avec l’exemple précédent, on peut écrire ce montant ainsi :

Mais que faire ensuite ?! A ce stade, il est nécessaire d'introduire le concept somme partielle de la série. Donc, somme partielle de la série(noté S n) est la somme des n premiers termes de la série. Ceux. dans notre cas :

Ensuite, la somme de la série originale peut être calculée comme la limite de la somme partielle :

Ainsi, pour calculer la somme d'une série, il est nécessaire de trouver d'une manière ou d'une autre une expression pour la somme partielle de la série (S n ). Dans notre cas particulier, la série est une progression géométrique décroissante de dénominateur 1/3. Comme vous le savez, la somme des n premiers éléments d'une progression géométrique est calculée par la formule :

ici b 1 est le premier élément de la progression géométrique (dans notre cas c'est 1) et q est le dénominateur de la progression (dans notre cas 1/3). Par conséquent, la somme partielle S n pour notre série est égale à :

Alors la somme de notre série (S) selon la définition donnée ci-dessus est égale à :

Les exemples discutés ci-dessus sont assez simples. Habituellement, calculer la somme d’une série est beaucoup plus difficile et la plus grande difficulté réside dans la recherche de la somme partielle de la série. En vedette ci-dessous calculateur en ligne, basé sur le système Wolfram Alpha, permet de calculer la somme de séries assez complexes. De plus, si la calculatrice ne parvient pas à trouver la somme d'une série, il est probable que la série soit divergente (auquel cas la calculatrice affiche un message du type « la somme diverge »), c'est-à-dire : cette calculatrice permet aussi indirectement de se faire une idée de la convergence des séries.

Pour trouver la somme de votre série, vous devez indiquer variable de série, inférieur et limites supérieures sommation, ainsi que l'expression du nième terme de la série (c'est-à-dire l'expression réelle de la série elle-même).

Séries, en mathématiques

1. Définitions. R. est une séquence d'éléments composés selon une certaine loi. Si une formule est donnée, cela signifie qu'une loi a été indiquée, à l'aide de laquelle il est possible de composer autant d'éléments de la formule que l'on souhaite, en fonction des propriétés des éléments, des formules de nombres, des formules de fonctions. , et les formules d'actions sont distinguées. Donnons quelques exemples.

1, 2, 3, 4,..., n,...

il y a R. nombres naturels ;

1, 4, 9, 16,..., n 2 ...

Carrés R. ;

une 0, une 1 x, une 2 une 2,..., une n x n,...

R. fonctions de puissance ou puissance R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Afin de calculer valeur numérique une certaine expression doit être effectuée R. actions. Par exemple.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

A l'aide des actions R. on trouve plus grand diviseur deux nombres donnés.

R. toi 0 , toi 1 , toi 2 ,... toi n...

nom sans fin, si après un élément toi k il y a un élément toi k+1 ; sinon, R. est appelé. final. Par exemple.

1. 2, 3,... 9, 10

il y a un R. final car il n'y a aucun élément après l'élément 10.

2. Un nombre défini par une série.

Les séries infinies de la forme sont particulièrement importantes

(1)... UN 1 /10, UN 2 /10 2 , ... un/10n,...,

Où UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... un,... entiers positifs, un 0 aussi grand que vous le souhaitez ; chacun des autres nombres UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... inférieur à 10. Une telle série peut être appelée un nombre, puisqu'il est possible de comparer cette série avec des nombres rationnels (voir), il est possible d'établir les notions d'égalité, de somme, de produit, de différence et de quotient de tels série.

Par souci de concision, nous désignons R. (1) par une lettre UN.

Ils disent que et plus nombre rationnel p/q, si pour une taille suffisamment grande n il y a des inégalités

UN 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + UN n /10 n > p/q

Si en tout cas n

UN 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + UN n /10 n pas > p/q

mais quand c'est assez grand n

UN 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + UN n /10 n > r/s

Où r/s un nombre arbitraire inférieur à p/q, alors ils considèrent et égal à p/q.

Sur cette base R.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

égal à un. Cette égalité est notée comme suit : 0, 999... = 1.

Si UN pas égal à 9, mais tous les nombres suivants

un k +1 , un k +2 , un k+3 ,... sont égaux à 9, alors le nombre UN, défini par R. (1), est égal à

UN 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + (UN k + 1)/10 k .

Si ce n'est pas tous les chiffres UN k+1 , UN k+2 , UN k+3 ...égal à 9, alors

UN = UN 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + UN k /10 k

Il peut arriver que tous les éléments de la série (1), commençant par UN k+1 , sont égaux à zéro. Dans ce cas, conformément à la définition énoncée

UN un 0 + UN 1 /10 + UN 2 /10 2 +... + (UN k +1)/10 k

Ce genre de numéro s'appelle. fraction décimale finale.

De l'arithmétique, on sait que lors de la conversion d'une fraction ordinaire en décimale, il s'avère fraction finale ou périodique infini. Tout périodique décimal peut être converti en fraction commune. Il s'ensuit qu'une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être égale à nombre rationnel et représente donc un nombre d'un genre particulier, appelé irrationnel(cm.).

3. Convergence et divergence des séries. Numéros R.

(2)... toi 0 , toi 1 , toi 2 ,... toi,...

appelé convergent, si un tel numéro existe UN(rationnel ou irrationnel), qu'en augmentant n valeur numérique de la différence

UN - (toi 0 + toi 1 + toi 2 +... tu n- 1)

devient et reste aussi petit que souhaité. Un tel numéro un appelé montant R. Dans ce cas, ils écrivent

(3)... UN = toi 0 + toi 1 + toi 2 +...

et c'est ce qu'on appelle l'égalité. décomposition Nombres unà l'infini R. Si un tel nombre UN n’existe pas, alors R. (2) est appelé. divergent.

L'exemple le plus important de séquence convergente est représenté par une progression géométrique (voir).

1, q, q 2 ,...,

dont le dénominateur q Par valeur numérique moins d'un. Dans ce cas, la décomposition a lieu

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

Un exemple de R. divergent est

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

cela n'a aucun sens.

Si l'on prend les termes de l'équation harmonique en alternance avec les signes + et -, on obtient une équation convergente.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

égal au logarithme de 2 pris comme base e(cm.).

Sans pouvoir présenter en détail les signes de convergence, on note seulement les théorèmes suivants.

Un R. donné est convergent si le R. des modules (voir) de ses membres est convergent.

R. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

dans lequel les chiffres v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... positif, convergent, si en augmentant n

lim vn = 0.

R. avec des membres positifs

toi 0 , toi 1 , toi 2 ,..., toi,...

convergent si

lim(toi + 1)/toi

lim(toi + 1)/toi > 1

Si pour R. avec des termes positifs

Mais, Et 0 , Et 1 , toi 2 , .., et n...

attitude

lim(toi + 1)/toi = 1 - r/n+θ (n) /nα,

Où r ne dépend pas de n, α > 1 et θ ( n) en valeur numérique reste constamment inférieur à un certain nombre positif, alors R. converge en r> 1 et divergent pour r inférieur à ou = 1 (Tannery, "Introduction à la théorie des fonctions d'une variable", p. 84).

4. Convergence conditionnelle et absolue. Si R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... vn,...

convergent, mais le R. des modules de ses membres est divergent, alors on dit que R. (4) conditionnellement convergent. Par exemple.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

R. a appelé absolument convergent, si le R. modules de ses membres est convergent.

La somme d'une équation conditionnellement convergente change avec un changement dans l'ordre de ses membres. Par exemple.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

mais 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

La somme d’une équation absolument convergente ne dépend pas de l’ordre de ses termes.

Si les chiffres UN Et b se décomposer en R absolument convergent.

UN = un 0 + un 1 + un 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

un 0 b 0 , un 0 b 1 + un 1 b 0 , un 0 b 2 + un 1 b 2 + un 2 b 0 ,...

absolument convergent et, en outre,

un 0 b 0 + (un 0 b 1 + un 1 b 0) + (un 0 b 2 + un 1 b 2 + un 2 b 0) +... = ab.

5. Convergence uniforme. Supposons que R soit donné.

(5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), ..., fn(x), ...

dont les membres sont des fonctions d'une variable x, qui peut prendre des valeurs à la fois réelles et imaginaires (voir). Ensemble de valeurs X, pour lequel ce R. est convergent, forme ce qu'on appelle zone de convergence.

R.1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

convergent seulement à x = 0.

R.1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

divergent pour tout X.

R.1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

rassemblement pour n'importe quelle valeur X. Si puissance R. α 0, α 1 x,α2 x 2 ,...

rassemblement à une certaine valeur X, Pas égal à zéro, puis ce R. rassemblement. et dans tous les cas x, dont le module est inférieur à un certain nombre R.. Si vous utilisez représentation géométrique quantités imaginaires (voir), alors on peut dire que la région de convergence de ce R. est un cercle de rayon R..

Un exemple serait une progression géométrique

1, x, x 2 , x 3 ,...., dont le rayon cercle de convergenceégal à un.

Si X appartient à la zone de rassemblement. R. (5), alors pour tout n, supérieur à un certain nombre T

mod [ fn(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

Du tout T dépend de X et de ε, mais peut-être dans cas particuliers, Quoi T ne dépend que de ε si les valeurs X appartenir à une région (S). Dans ce cas, R. (5) est appelé. uniformément convergent dans la région (S).

Par exemple, considérons R.

(6)... (1 -X), X (1 -X), X 2 (1 -X)....

limité au réel et valeurs positives X.

Pour que les inégalités se produisent

(7)... xn(1 -x) +xn+ 1 (1 -x) +... xn

il faut le prendre n> Journal ε /Journal x

Ensuite, dans le cas considéré

T= Journal ε /Journal X.

Comme nous le voyons, T dépend de X. Peu importe la taille m, il y a de telles valeurs X dans l'intervalle (0, 1), cette inégalité (7) ne sera satisfaite pour aucun n, plus T. Si X= 1, alors l'inégalité (7) est satisfaite lorsque n est supérieur à ou = 1

Supposons que

T= Log ε /Log (1 - α) et n est supérieur à ou = m

Piste. R. (6) descente uniforme. dans l'intervalle (0, 1 - α).

Si dans la région de convergence uniforme les termes de la série

f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)...

sont des fonctions continues de x, alors la somme de ce R. est une fonction continue (voir Discontinuité).

Descendant uniformément. R. peut être intégré ou différencié terme par terme.

Puissance R.

un 0 , UN 1 x, un 2 X 2 ...

avoir une convergence uniforme à l’intérieur du cercle de convergence.

6. Extension des fonctions en série. Dans ce qui suit, nous supposerons que la variable indépendante est réelle. En utilisant la formule de Maclaurin (voir), les développements suivants sont obtenus :

(ces formules sont valables pour tout x).

Pour calculer par exemple cos 2° à l'aide de la formule (9), au lieu de x remplacez le rapport par le rayon de la longueur de l'arc contenant 2 degrés.

Informer. (11) le logarithme est pris en base e. Ce formulaire. n'est pas pratique pour calculer des logarithmes, car il est nécessaire de prendre beaucoup de termes R pour obtenir même une légère précision. La formule 13 est plus pratique pour le calcul, car elle est dérivée de la formule (11), en supposant

(1 + X)/(1 - X) = (une + z)/z

dans l'expansion de la fonction log(1 + x) - journal (l - x).

Croire UN = 1, z= 1, trouvez log2 ;

" UN = 1, z= 1,"log5;

a + z = 3 4 , UN= 80,"log3;

UN + z = 7 4 , UN= 2400,"log7;

En multipliant le trouvé logarithmes naturels ces chiffres sur

M= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

on obtient des logarithmes ordinaires (base 10) des mêmes nombres (voir).

Formulaire. (12) est valable pour X= 1 si m> -1, et quand x= -1 si m> 0 (Abel, "Œuvres complètes", 1881, p. 245).

Par division directe, ils sont décomposés en puissance R. fonctions rationnelles. Vous pouvez utiliser cette méthode à cet effet coefficients incertains. En supposant, par exemple.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = oui 0 + oui 1 t + oui 2 t 2 + oui 3 t 3 +...,

oui 0 = 1, oui 1 + 2oui 0 = 0, oui 2 + 2oui 1 + 5oui 0 = 0,

oui 3 + 2oui 2 + 5 à 1 + 3 à 0 = 0,

oui 4 + 2oui 3 + 5 à 2 + 3 à 1 = 0, etc.

R. coefficients oui 0, à 1 , y 2 ... a la propriété d'avoir quatre coefficients consécutifs. lié par la relation o n +3 + 2o n +2 + 5 o n +1 + 3 o n = 0.

Ce type de R. s'appelle. consigné. A partir des équations écrites, y 0 est déterminé séquentiellement, à 1 , et 2 ...

L'expansion de cette fonction dans R. peut être trouvée en utilisant calcul intégral, si le développement dans R. de la dérivée est connu. On obtient ainsi la décomposition

(14)... arc tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arc péché X = x/1 + 1/2(x3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) +...

valable pour les valeurs X, satisfaisant aux conditions

R. (14) utilisant la formule de Machin

π /4 = 4 arc tg(1/5) - arc tg(1/239)

permet de calculer très rapidement π avec un grand nombre décimales. Ainsi Shanks a calculé π à partir de 707 décimales. L'expansion des fonctions en fonctions trigonométriques et l'expansion des fonctions elliptiques seront présentées plus tard.

Dictionnaire encyclopédique F. Brockhaus et I.A. Efron. - S.-Pb. : Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Voyez ce qu'est « Série en mathématiques » dans d'autres dictionnaires :

SÉRIE, une série infinie dont l'expression est a1, a2,..., an,... nombres ( série de nombres) ou des fonctions (séries fonctionnelles). Si la somme des n premiers termes de la série ( somme privée) : Sn= a1+ a2+ ... + an avec une augmentation illimitée de n tend vers... ... Dictionnaire encyclopédique

Contenu. 1) Définition. 2) Un nombre déterminé par une série. 3) Convergence et divergence des séries. 4) Convergence conditionnelle et absolue. 5) Convergence uniforme. 6) Extension des fonctions en série. 1. Définitions. R. est une séquence d'éléments... ... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

A plusieurs significations : Une série est un ensemble de éléments homogènes, articles similaires, situé sur une seule ligne. Une série est un ensemble de phénomènes se succédant les uns après les autres. dans un certain ordre. Un certain nombre de certains, un nombre considérable, par exemple « un certain nombre de pays »... Wikipédia

Une série, une somme infinie, par exemple de la forme u1 + u2 + u3 +... + un +... ou, en bref, . (1) Un des exemples les plus simples de R., trouvé déjà dans mathématiques élémentaires, est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante 1 + q + q 2 +... + q... ... Grande Encyclopédie Soviétique

Expansion en série de Taylor d'une fonction en une somme infinie de fonctions puissance. La série porte le nom du mathématicien anglais Brooke Taylor, bien que la série Taylor soit connue bien avant les publications de Taylor, elle a été utilisée au 17ème siècle par Gregory, et ... ... Wikipedia ;

Expansion en série de Taylor d'une fonction en une somme infinie de fonctions puissance. La série porte le nom du mathématicien anglais Taylor, bien que la série Taylor soit connue bien avant les publications de Taylor, elle a été utilisée au XVIIe siècle par Gregory et également par Newton ; Lignes... ... Wikipédia

Expansion d'une fonction en une somme infinie de fonctions puissance. La série porte le nom du mathématicien anglais Taylor, bien que la série Taylor soit connue bien avant les publications de Taylor, elle a été utilisée au XVIIe siècle par Gregory et également par Newton ; Série Taylor... ... Wikipédia

La série de Möbius est une série fonctionnelle de la forme Cette série a été étudiée par Möbius, qui a trouvé une formule d'inversion pour cette série : où est la fonction de Möbius... Wikipédia

Je suis 1. Totalité objets homogènes, situé sur une seule ligne. Ott. Alignez-vous sur une seule ligne ; doubler. 2. Séquence linéaire de sièges dans un théâtre, un cinéma, etc. Ott. Personnes occupant de tels lieux. 3. Stands situés sur une seule ligne... Moderne dictionnaire explicatif Langue russe Efremova

Livres

• Mathématiques d'observateur et ses applications à la mécanique quantique, à la relativité et aux mathématiques classiques, B. S. Hots, D. B. Hots. Ce livre présente les résultats des auteurs liés aux mathématiques des observateurs (titre de l'auteur Observer's Mathematics). Ces mathématiques ont été introduites pour la première fois par les auteurs, elles ont été étudiées...