Propriétés binomiales de Newton des coefficients binomiaux du triangle de Pascal. Binôme de Newton utilisant la notation factorielle

Évidemment, pour un système de n équations linéaires Avec n inconnues on obtient une matrice de coefficients de taille :

Introduisons la notion de déterminant n-ième ordre.

Définition 4.1 :

Déterminant n-ème ordre est un nombre égal à

Montant n! termes;

Chaque terme est un produit néléments matriciels pris un dans chaque ligne et dans chaque colonne ;

Chaque terme est pris avec un signe « + » si la permutation des seconds indices est paire, et avec un signe « - » si la permutation des seconds indices est impaire, à condition que les premiers indices forment une suite naturelle de nombres.

Que.

Ici, å reprend toutes les permutations possibles composées des nombres 1,2,…, n.

5. Propriétés fondamentales des déterminants.

Établissons les propriétés de base des déterminants, que nous montrerons par souci de simplicité en utilisant un déterminant du 2ème ordre.

1. Lors du remplacement de lignes par des colonnes correspondantes (appelées transposition), le déterminant reste inchangé. Vraiment:

Ainsi, , c'était ce qui devait être prouvé.

Note: Le résultat obtenu ci-dessus nous donne le droit d'affirmer que les lignes et les colonnes du déterminant, ci-après dénommées lignes, sont égales.

2. Lorsque deux lignes sont réorganisées, le déterminant change de signe pour celui opposé.

Vraiment, Échangeons les lignes et calculons le déterminant

Q.E.D.

3. Si deux séries parallèles dans le déterminant sont identiques, alors il égal à zéro. En effet, échangeons deux lignes identiques. Alors la valeur du déterminant ne changera pas, mais le signe, en raison de la propriété 2, changera. Singulier, qui ne change pas lorsque le signe change – zéro.

4. Multiplicateur total les membres de n'importe quelle série peuvent être retirés du signe déterminant.

Q.E.D.

5. Si tous les éléments d'une série sont des sommes le même numéro termes, alors le déterminant égal à la somme déterminants dans lesquels les éléments de la série considérée sont des termes individuels.

Q.E.D.

6. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une série parallèle sont ajoutés aux éléments d'une série, multipliés par un certain nombre.

Multipliez la deuxième ligne par et ajoutez-la à la première ligne :

En effet, du fait des propriétés 3,4,5

=

Q.E.D.

6. Mineurs et ajouts algébriqueséléments du déterminant.

Considérez le déterminant n-ème ordre :

.

Soulignons dans le déterminant je-ème ligne et jème colonne. A l'intersection de ces lignes se trouve un élément

Si dans le déterminant on raye je- réglage et j-ème colonne, alors nous obtenons le déterminant de l'ordre n-1 (c'est-à-dire avoir un ordre inférieur de un au déterminant d'origine), appelé mineureélément déterminant Nous désignerons mineureélément symbole

Définition 6.1. UNcomplément algébriqueélément Le déterminant est appelé mineur, pris avec un signe, et est désigné par le symbole. D'après la définition, on obtient

.

Exemple 6.1. Trouver le complément mineur et algébrique du déterminant

orthogonal matrice unitaire multilinéaire

Calcul des déterminants du 2ème et du 3ème ordre.

On obtient des formules de calcul des déterminants du deuxième et du troisième ordre. Par définition, quand

Lorsque nous barrons la première ligne et une colonne, nous obtenons une matrice contenant un élément, donc

En substituant ces valeurs dans le côté droit, on obtient la formule de calcul du déterminant du second ordre

Déterminant du deuxième ordre égal à la différence le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des éléments de la diagonale secondaire (Fig. 2.1).

Pour le déterminant du troisième ordre, nous avons

En supprimant la première ligne et une colonne, on obtient les déterminants des matrices carrées du second ordre :

Nous écrivons ces déterminants du deuxième ordre à l'aide de la formule (2.2) et obtenons la formule de calcul du déterminant du troisième ordre

Le déterminant (2.3) est la somme de six termes, dont chacun est le produit de trois éléments du déterminant, situés dans des lignes et des colonnes différentes. De plus, trois termes sont pris avec un signe plus et les trois autres avec un signe moins.

Pour mémoriser la formule (2.3), la règle des triangles est utilisée : il faut additionner trois produits de trois éléments situés sur la diagonale principale et aux sommets de deux triangles ayant un côté parallèle à la diagonale principale (Fig. 2.2a), et soustrayez trois produits d'éléments situés sur les diagonales latérales et aux sommets de deux triangles ayant un côté parallèle à la diagonale latérale (Fig. 2.2,6).

Vous pouvez également utiliser le schéma de calcul illustré à la Fig. 2.3 (règle de Sarrus) : additionner la première et la deuxième colonne à droite de la matrice, calculer les produits des éléments sur chacune des six droites indiquées, puis trouver la somme algébrique de ces produits, tandis que le produit des éléments sur les droites parallèles à la diagonale principale est pris avec un signe plus , et le produit des éléments sur des lignes droites parallèles à la diagonale latérale est avec un signe moins (selon la notation de la Fig. 2.3).

Calcul des déterminants d'ordre N>3.

Ainsi, nous avons obtenu des formules de calcul des déterminants des deuxième et troisième ordres. Vous pouvez continuer les calculs à l'aide de la formule (2.1) pour et obtenir des formules de calcul des quatrième, cinquième, etc. déterminants. ordres de grandeur. Par conséquent, la détermination inductive permet de calculer le déterminant de n'importe quel ordre. Une autre chose est que les formules seront lourdes et peu pratiques pour les calculs pratiques. Donc les déterminants ordre élevé(quatrième ou plus), en règle générale, sont calculés sur la base des propriétés des déterminants.

Exemple 2.1. Calculer les déterminants

Solution. En utilisant les formules (2.2) et (2.3) nous trouvons ;

Formule pour décomposer le déterminant en éléments de ligne (colonne)

Soit une matrice carrée d'ordre.

Un mineur supplémentaire d'un élément est le déterminant d'une matrice d'ordre obtenue à partir d'une matrice en supprimant ième ligne et la jème colonne.

Le complément algébrique d'un élément de la matrice est le mineur supplémentaire de cet élément multiplié par

Théorème 2.1 formule pour décomposer le déterminant en éléments d'une ligne (colonne). Le déterminant de la matrice est égal à la somme des produits des éléments d'une ligne (colonne) arbitraire et de leurs compléments algébriques :

(décomposition le long de la ième rangée) ;

(expansion le long de la jème colonne).

Remarques 2.1.

1. La preuve de la formule est réalisée par la méthode d'induction mathématique.

2. Dans la définition inductive (2.1), la formule de décomposition du déterminant en éléments de la première rangée a été effectivement utilisée.

Exemple 2.2. Trouver le déterminant de la matrice

Solution. Développons le déterminant le long de la 3ème ligne :

Développons maintenant le déterminant de troisième ordre dans la dernière colonne :

Le déterminant du second ordre est calculé à l'aide de la formule (2.2) :

Déterminant matriciel d'apparence triangulaire

Appliquons la formule de décomposition pour trouver le déterminant de la matrice triangulaire supérieure

Développons le déterminant le long de la dernière ligne (énième ligne) :

où est un élément mineur supplémentaire. Notons Alors. A noter que lorsqu'on barre la dernière ligne et la dernière colonne du déterminant, on obtient le déterminant de la matrice triangulaire supérieure du même type que, mais d'ordre (n-1). En développant le déterminant le long de la dernière ligne ((n-1)ème ligne), nous obtenons. En continuant de la même manière et en tenant compte de cela, nous arrivons à la formule.e. déterminant d'une matrice triangulaire supérieure égal au produitéléments sur la diagonale principale.

Remarques 2.2

1. Le déterminant d'une matrice triangulaire inférieure est égal au produit des éléments sur la diagonale principale.

2. Le déterminant de la matrice identité est 1.

3. Le déterminant d’une matrice de forme triangulaire sera appelé déterminant de forme triangulaire. Comme indiqué ci-dessus, le déterminant d'une matrice triangulaire (le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, notamment diagonale) est égal au produit des éléments de la diagonale principale.

Propriétés de base des déterminants (déterminants)

1. Pour tout le monde matrice carrée, c'est-à-dire Lorsqu'il est transposé, le déterminant ne change pas. De cette propriété il résulte que les colonnes et les lignes du déterminant sont « égales » : toute propriété vraie pour les colonnes le sera pour les lignes.

2. Si dans le déterminant l'une des colonnes est nulle (tous les éléments de la colonne sont égaux à zéro), alors le déterminant est égal à zéro :.

3. Lors de la réorganisation de deux colonnes, le déterminant change de signe à l'opposé (propriété d'antisymétrie) :

4. Si le déterminant a deux colonnes identiques, alors il est égal à zéro :

5. Si le déterminant a deux colonnes proportionnelles, alors il est égal à zéro :

6. En multipliant tous les éléments d'une colonne du déterminant par un nombre, le déterminant est multiplié par ce nombre :

7. Si jième colonne le déterminant est représenté comme la somme de deux colonnes, alors le déterminant est égal à la somme de deux déterminants dont les j-èmes colonnes sont respectivement et, et les colonnes restantes sont les mêmes :

8. Le déterminant est linéaire dans n'importe quelle colonne :

9. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une autre colonne sont ajoutés aux éléments d'une colonne, multipliés par le même nombre :

10. La somme des produits des éléments d'une colonne du déterminant par les compléments algébriques des éléments correspondants d'une autre colonne est égale à zéro :

Remarques 2.3

1. La première propriété du déterminant est prouvée par récurrence. Les preuves d'autres propriétés sont effectuées à l'aide de la formule de décomposition du déterminant en éléments de colonne. Par exemple, pour prouver la deuxième propriété, il suffit de développer le déterminant dans les éléments de la colonne zéro (supposons que la jème colonne soit nulle, c'est-à-dire) :

Pour prouver la propriété 10, il faut lire la formule de décomposition du déterminant de droite à gauche, à savoir, la somme des produits des éléments de la i-ème colonne par les compléments algébriques des éléments de la j-ème colonne est représenté comme un développement dans la j-ième colonne du déterminant

dans lequel les éléments de la colonne j-ro sont remplacés par les éléments correspondants de la i-ème colonne. D’après la quatrième propriété, un tel déterminant est égal à zéro.

2. De la première propriété, il s'ensuit que toutes les propriétés 2 à 10 formulées pour les colonnes du déterminant seront également valables pour ses lignes.

3. En utilisant les formules de décomposition du déterminant en éléments d'une ligne (colonne) et de la propriété 10, nous concluons que

4. Soit une matrice carrée. Une matrice carrée du même ordre est dite adjointe de si chacun de ses éléments est égal au complément algébrique d'un élément de la matrice. En d’autres termes, pour trouver la matrice adjointe il faut :

a) remplacer chaque élément de la matrice par son complément algébrique, et on obtient une matrice ;

b) trouver la matrice adjointe en transposant la matrice.

Des formules (2.4), il s'ensuit que, où est la matrice d'identité du même ordre que.

Exemple 2.5. Trouver le déterminant d'une matrice diagonale de bloc, où est une matrice carrée arbitraire, est la matrice identité et est une matrice nulle de l'ordre correspondant, est transposé.

Solution. Développons le déterminant sur la dernière colonne. Puisque tous les éléments de cette colonne sont nuls, à l'exception du dernier, qui est égal à 1, on obtient un déterminant de la même forme que celui d'origine, mais d'ordre inférieur. En développant le déterminant résultant le long de la dernière colonne, nous réduisons son ordre. En continuant de la même manière, on obtient le déterminant de la matrice. Ainsi,

Méthodes de calcul des déterminants du nième ordre.

Soit un ensemble ordonné néléments. Tout arrangement néléments dans dans un certain ordre appelé réarrangementà partir de ces éléments.

Puisque chaque élément est déterminé par son numéro, nous dirons que étant donné n nombres naturels.

Nombre de permutations différentes de n les nombres sont égaux à n !

Si dans une certaine permutation de n nombres numéro je coûts plus tôt j, Mais je > j, c'est-à-dire plus grand nombre se tient devant le plus petit, alors ils disent que la paire je, jéquivaut à inversion.

Exemple 1. Déterminer le nombre d'inversions dans la permutation (1, 5, 4, 3, 2)

Solution.

Les nombres 5 et 4, 5 et 3, 5 et 2, 4 et 3, 4 et 2, 3 et 2 forment des inversions. Le nombre total d'inversions dans cette permutation est de 6.

La permutation s'appelle même, Si nombre total ses inversions sont paires, sinon on l'appelle impair. Dans l’exemple discuté ci-dessus, une permutation paire est donnée.

Laissez une certaine permutation être donnée..., je, …, j, … (*) . Conversion dans quels nombres je Et j changer de place, et les autres restent à leur place, s'appelle transposition. Après transposition de nombre je Et j en permutation (*) il y aura un réarrangement..., j, …, je, ..., où tous les éléments sauf je Et j, sont restés à leur place.

De toute permutation de n nombres, vous pouvez accéder à toute autre permutation de ces nombres en utilisant plusieurs transpositions.

Chaque transposition change la parité de la permutation.

À n ≥ 2 nombre de permutations paires et impaires de n les nombres sont les mêmes et égaux.

Laisser M– ensemble commandé de néléments. Chaque transformation bijective d'un ensemble M appelé substitutionnème degré.

Les substitutions sont écrites comme ceci : https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> et c'est tout je sont différents.

Substitution appelé même, si ses deux lignes (permutations) ont les mêmes parités, c'est-à-dire soit paires, soit impaires. Sinon substitution appelé impair.

À n ≥ 2 nombre de substitutions paires et impaires nème degrés identiques et égaux à .

Le déterminant d'une matrice carrée A du second ordre A= est le nombre égal à = a11a22–a12a21.

Le déterminant d'une matrice est aussi appelé déterminant. Pour le déterminant de la matrice A, la notation suivante est utilisée : det A, ΔA.

Déterminant carré matrices UNE= troisième commande appelez le numéro égal à │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Chaque terme somme algébrique sur le côté droit de la dernière formule se trouve le produit des éléments de la matrice, pris un et un seul dans chaque colonne et chaque ligne. Pour déterminer le signe du produit, il est utile de connaître la règle (on l'appelle la règle du triangle), schématiquement représentée sur la Fig. 1 :

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Solution.

Soit A une matrice d'ordre n avec des éléments complexes :

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" largeur="111" hauteur="51"> (2) .

Le déterminant du nième ordre, ou déterminant de la matrice carrée A=(aij) pour n>1, est la somme algébrique de tous les produits possibles de la forme (1) , et le travail (1) est pris avec le signe « + » si la substitution correspondante (2) pair, et avec le signe « - » si la substitution est impaire.

Mineur Mjeélément aij le déterminant est un déterminant obtenu à partir de l'original en supprimant jeème ligne et j- ème colonne.

Complément algébrique UNjeélément aij le déterminant s'appelle un nombre UNje=(–1) je+ jMje, Où Mje – élément mineur aij.

Propriétés des déterminants

1. Le déterminant ne change pas lors du remplacement de toutes les lignes par les colonnes correspondantes (le déterminant ne change pas lors de la transposition).

2. Lorsque deux lignes (colonnes) sont réorganisées, le déterminant change de signe.

3. Un déterminant avec deux lignes (colonnes) identiques (proportionnelles) est égal à zéro.

4. Le facteur commun à tous les éléments d'une ligne (colonne) peut être pris au-delà du signe du déterminant.

5. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une certaine ligne (colonne), multipliés par le même nombre autre que zéro.

6. Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) d'un déterminant sont égaux à zéro, alors il est égal à zéro.

7. Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne (colonne) par leurs compléments algébriques (propriété de décomposition du déterminant en ligne (colonne)).

Regardons quelques-uns méthodes de calcul des déterminants de la commande n .

1. Si dans un déterminant d’ordre n au moins une ligne (ou colonne) est constituée de zéros, alors le déterminant est égal à zéro.

2. Supposons qu'une ligne du déterminant d'ordre n contienne des éléments non nuls. Le calcul du déterminant d'ordre n peut être réduit dans ce cas au calcul du déterminant d'ordre n-1. En effet, en utilisant les propriétés du déterminant, vous pouvez rendre nuls tous les éléments d'une ligne, sauf un, puis développer le déterminant le long de la ligne spécifiée. Par exemple, réorganisons les lignes et les colonnes du déterminant de sorte qu'en place a11 il y avait un élément différent de zéro.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Notez qu'il n'est pas nécessaire de réorganiser les lignes (ou les colonnes). Vous pouvez obtenir des zéros dans n’importe quelle ligne (ou colonne) du déterminant.

Il n'existe pas de méthode générale pour calculer les déterminants d'ordre n, autre que le calcul du déterminant ordre donné directement par définition. Au déterminant de ceci ou de cela type spécial appliquer diverses méthodes calculs conduisant à des déterminants plus simples.

3. Prenons-le sous forme triangulaire. En utilisant les propriétés du déterminant, nous le réduisons à la forme dite triangulaire, lorsque tous les éléments situés d'un côté de la diagonale principale sont égaux à zéro. Le déterminant triangulaire résultant est égal au produit des éléments de la diagonale principale. S'il est plus pratique d'obtenir des zéros d'un côté de la diagonale secondaire, alors ce sera égal au produit des éléments de la diagonale secondaire, pris avec le signe https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Exemple 3. Calculer le déterminant par expansion de ligne

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Exemple 4. Calculer le déterminant du quatrième ordre

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2ème méthode(calcul du déterminant en le développant le long de la droite) :

Calculons ce déterminant par développement de lignes, après l'avoir préalablement transformé de manière à ce que dans certaines de ses lignes tous les éléments sauf un deviennent nuls. Pour ce faire, ajoutez la première ligne du déterminant à la troisième. Multipliez ensuite la troisième colonne par (-5) et ajoutez-la à la quatrième colonne. Nous développons le déterminant transformé le long de la troisième ligne. Nous réduisons la forme mineure du troisième ordre à la forme triangulaire par rapport à la diagonale principale.

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Solution.

Soustrayons le deuxième de la première ligne, le troisième de la deuxième, etc., et enfin le dernier de l'avant-dernière (la dernière ligne reste inchangée).

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Le premier déterminant de la somme est triangulaire par rapport à la diagonale principale, il est donc égal au produit des éléments diagonaux, c'est-à-dire (n–1)n. On transforme le deuxième déterminant de la somme en ajoutant dernière ligneà toutes les lignes précédentes du déterminant. Le déterminant obtenu de cette transformation sera triangulaire par rapport à la diagonale principale, il sera donc égal au produit des éléments diagonaux, soit nn-1 :

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Calcul du déterminant à l'aide du théorème de Laplace. Si dans le déterminant on sélectionne k lignes (ou colonnes) (1 £ k £ n-1), alors le déterminant est égal à la somme des produits de tous les mineurs du kème ordre situés dans les k lignes (ou colonnes) sélectionnées. et leurs compléments algébriques.

Exemple 6. Calculer le déterminant

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TÂCHE INDIVIDUELLE N°2

« CALCUL DES DÉTERMINANTS D’ORDRE N »

Option 1

Calculer les déterminants

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formule algébrique, découvert par Newton, exprimant n'importe quel degré de binôme, à savoir :

(x + une) n = x n + n/1(ax n-1) + (une 2 x n-2) + …(an x n-m) + …

ou, sous forme compacte, en utilisant le symbole n! = 1.2.3…n :

(x + a) n = ∑ m (!x n-m une m

Cette formule a été donnée pour la première fois par Newton en 1676 sans preuve. Elle est gravée sur la tombe de Newton, dans l'abbaye de Westminster, à Londres, bien qu'elle ne puisse être considérée comme l'un des découvertes les plus importantes Newton.

La preuve de la formule de B. pour un exposant entier est facile, car cas particulier de plus formule générale, exprimant le travail n'importe quel numéro des binômes. Il est facile de vérifier par multiplication directe que pour le cas n = 2 ou n = 3 la formule est vraie :

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n) = x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

où S n 1 est la somme de ces quantités a 1 , a 2 . . . et n, S n 2 est la somme de leurs produits par deux, - S n n est le produit de toutes ces quantités. Et puis vous pouvez prouver que si c’est vrai pour n, alors c’est également vrai pour n + 1 facteurs. Car en ajoutant un facteur x + a n+1, on obtient par multiplication directe

(x + une 1)(x + une 2)…(x + une n-1) = x n-1 + (S n 1 + une n+1)x n + (S n 2 + S n 1 une n- 1)x n-1 + … + S n n a n

et en même temps il est évident que

S n 1 + une n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 une n+1 = S 2 n+1

etc., donc côté droit la dernière égalité est

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

etc. Maintenant, laissez tout UNégaux les uns aux autres et égaux, par exemple, UN, Alors:

S 2 = un 2 ...

et on obtient (x + a) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ...

Ainsi, la validité de la formule de Newton pour n est un entier positif et est prouvée. Mais Newton lui-même a déjà montré que cela est vrai aussi bien pour les fractionnaires que pour les négatifs. Présentons la preuve d'Euler pour tout n. Considérons l'expression :

1+nx + + x 3 + …

Pour n entier, il est égal à (1 + x) n. Soit pour tout n généralement f(n). De la même manière, soit une expression similaire avec n remplacé par m soit f(m). En multipliant, on trouve d'une part f(n)f(m), d'autre part une expression dont la loi de composition des coefficients nous est connue pour le cas de n, m entiers, à savoir :

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

et c'est évidemment f(n+m). Nous avons donc f(n)f(m) = f(n + m); de la même manière pour un nombre arbitraire de facteurs f(n 1)f(n 2)... f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); en mettant n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, on a

f(n)f(–n) = f(0) = 1, c'est-à-dire f(–n) = 1/f(n) ou

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … etc.

• - binôme, la somme ou la différence de deux algèbres. expressions appelées membres de B., par exemple. , etc. Sur les puissances de B., c'est-à-dire les expressions, oui, voir le binôme de Newton...

  Encyclopédie mathématique

• - une expression algébrique constituée de la somme ou de la différence de deux grandeurs, par exemple axm +...
• - une formule algébrique découverte par Newton, exprimant tout degré de binôme, à savoir : n = xn + n/1 + + … + … ou, sous forme compacte, utilisant le symbole n ! = 1,2...

  Dictionnaire encyclopédique Brockhaus et Euphron

• - et lat. nomen - nom) binôme, la somme ou la différence de deux expressions algébriques appelées termes de l'équation ; par exemple a + b, etc. Sur les puissances de B., c'est-à-dire les expressions de la forme n, voir le binôme de Newton...
• - le nom d'une formule exprimant n'importe quel entier degré positif la somme de deux termes en passant par les degrés de ces termes, à savoir : où n est un nombre entier nombre positif, a et b - peu importe...

  Grande Encyclopédie Soviétique

• - le nom d'une formule qui permet d'écrire la décomposition d'une somme algébrique de deux termes de degré arbitraire...

  Encyclopédie de Collier

• - la même chose que le binôme. Pour un binôme de forme n, voir l'Art. Binôme de Newton...
• - une formule exprimant la puissance entière positive de la somme de deux termes à travers les puissances de ces termes (leurs coefficients sont appelés coefficients binomiaux...

  Grand dictionnaire encyclopédique

• - Emprunter. dans la première moitié du XIXème siècle. du français lang., où binôme est l'ajout de lat. bi et grec nomē «partir, partager». Épouser. le calque dérivatif de ce mot est binomial...

  Dictionnaire étymologique langue russe

• - Extrait du roman « Le Maître et Marguerite » de Mikhaïl Afanasyevich Boulgakov. Les paroles de Koroviev-Fagot, commentant le dialogue entre Woland et le barman Andrei Fokich Sokov...

  Dictionnaire mots ailés et expressions

• - ; pl. bino/nous, R....

  Dictionnaire orthographique langue russe

• - mari. binomie femelle en notation littérale : expression numérique, composé de deux membres ; binôme, quantité binomiale...

  Dictionnaire Dahl

• - BINOM, mari. En mathématiques : binôme...

  Dictionnaire explicatif d'Ojegov

• - binôme m. Expression algébrique, représentant la somme ou la différence de deux monômes ; binôme...

  Dictionnaire explicatif d'Efremova

• - Razg. Plaisanterie. À propos de qn. complexe, déroutant. Elistratov, 41 ans...

  Grand dictionnaire dictons russes

• - BINOM, -a, m. Fer. À propos de qch. apparemment complexe et déroutant. Possibilité. s'est répandu sous l'influence du roman de M. Boulgakov « Le Maître et Marguerite »...

  Dictionnaire de l'argot russe

"Le binôme de Newton" dans les livres

De Kepler à Newton