1. Considérez des vecteurs arbitraires. Supposons d’abord que ces vecteurs sont linéairement indépendants. Dans ce cas, le déterminant de Gram compilé pour l’un de ces vecteurs sera différent de zéro. Alors, en supposant d’après (22)
(23)
et multiplier terme à terme ces inégalités et l'inégalité
, (24)
.
Ainsi, le déterminant de Gram pour linéairement vecteurs indépendants positif, pour linéairement dépendant égal à zéro. Le déterminant de Gram n’est jamais négatif.
Notons pour abréviation 
. Puis de (23) et (24)
où est l'aire d'un parallélogramme construit sur et . Suivant,
,
où est le volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs. En continuant plus loin, nous trouvons :
,
et enfin
. (25)
Il est naturel de l’appeler le volume d’un parallélépipède à dimension 2 construit sur des vecteurs comme sur des arêtes.
Notons par , les coordonnées du vecteur dans une base orthonormée dans , et soit
Alors basé sur (14)
et donc [voir formule (25)]
. (26)
Cette égalité a la signification géométrique suivante :
Volume carré d'un parallélépipède égal à la somme volumes carrés de ses projections sur tous les sous-espaces de dimensions coordonnées. En particulier, d’après (26) il résulte :
. (26)
À l'aide des formules (20), (21), (22), (26), (26"), un certain nombre de problèmes métriques de base de la géométrie analytique unitaire dimensionnelle et euclidienne sont résolus.
2. Revenons au développement (15). Il en découle directement :
ce qui, en combinaison avec (22), donne l'inégalité (pour les vecteurs arbitraires 
)
dans ce cas, le signe égal est valable si et seulement si le vecteur est orthogonal aux vecteurs.
De là, il est facile d’obtenir l’inégalité dite d’Hadamard
où le signe égal est valable si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux par paires. L'inégalité (29) exprime le fait géométriquement évident suivant :
Le volume d'un parallélépipède n'excède pas le produit des longueurs de ses arêtes et n'est égal à ce produit que lorsque le parallélépipède est rectangulaire.
L'inégalité d'Hadamard peut être donnée aspect normal, mettant dans (28) et introduisant en considération le déterminant composé des coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée :
.
Alors de (26") et (28) il résulte
. (28)
3. Établissons maintenant une inégalité de Hadamard généralisée, couvrant à la fois l'inégalité (27) et l'inégalité (28) :
et le signe égal est valable si et seulement si chacun des vecteurs est orthogonal à l'un des vecteurs ou à l'un des déterminants, 
égal à zéro.
L'inégalité (28") a la signification géométrique suivante :
Le volume d'un parallélépipède n'excède pas le produit des volumes de deux faces supplémentaires et est égal à ce produit si et seulement si ces faces sont orthogonales entre elles ou au moins l'une d'elles a un volume nul.
Nous établirons la validité de l'inégalité (29) de manière inductive par rapport au nombre de vecteurs . L'inégalité est vraie lorsque ce nombre est 1 [voir formule (27)].
Introduisons deux sous-espaces et, respectivement, de bases et . Évidemment, . Considérons les développements orthogonaux
.
Remplacer le carré du volume du parallélépipède par le produit du carré du volume de la base et du carré de la hauteur [voir. formule (22)], on trouve
Dans ce cas, de la décomposition vectorielle il résulte :
, (31)
et ici le signe n'a lieu que lorsque .
En utilisant maintenant les relations (30), (30"), (31) et l'hypothèse de récurrence, on obtient :
Nous avons des inégalités (29). Passant à la clarification du moment où le signe apparaît dans cette inégalité, nous supposons que 
Et 
. Alors d'après (30") également 
Et . Puisque dans les relations (32) il y a un signe égal partout, alors, en plus, par l'hypothèse de récurrence, chacun des vecteurs est orthogonal à chacun des vecteurs. Évidemment, le vecteur a aussi cette propriété
Ainsi, l’inégalité généralisée d’Hadamard est complètement établie.
4. L'inégalité d'Hadamard généralisée (29) peut également prendre une forme analytique.
Soit une forme hermitienne définie positive arbitraire. Considérant comme coordonnées d'un vecteur dans un espace dimensionnel avec une base, nous prenons la forme comme forme métrique de base dans (voir page 224). Il deviendra alors un espace unitaire. Appliquons l'inégalité d'Hadamard généralisée aux vecteurs de base : - matrice réelle de coefficients de forme quadratique définie positive entre les vecteurs et, en la définissant à partir de la relation
.
De l'inégalité de Bunyakovsky, il s'ensuit qu'elle a une valeur réelle.
produit scalaire vecteurs spécifiés par des coordonnées.
Laisser entrer la base e
les vecteurs sont donnés UN
= x1 e 1
+ x2 e 2
+ … + xn e n
, V
= à 1 e 1
+ à 2 heures e 2
+ … + o n e n
. Alors ( un, c) =
(x1 e 1
+ x2 e 2
+ … + xn e n
)×( à 1 e 1
+ à 2 heures e 2
+ … + o n e n
) = 
= xT×G× à, Où xT– chaîne de coordonnées vectorielles UN
, oui – colonne de coordonnées vectorielles V
. Donc, ( un, c)
= xT×G× à(42).
Propriétés de la matrice de Gram.
1 0 . La matrice de Gram est symétrique par rapport à la diagonale principale.
Cela découle du fait que ( e k, e s ) = (e s, e k ).
2 0 . Les éléments diagonaux de la matrice de Gram sont strictement positifs.
Cela découle du fait que e k ¹ 0 et donc ( e k, e k ) > 0.
3 0 . Pour la matrice de Gram et tout n- colonne dimensionnelle X la condition est remplie xT×G× X> 0.
Cela découle du 4ème axiome de la définition d'un produit scalaire.
Matrice symétrique UN, satisfaisant la condition xT ×A× X> 0 pour tout
colonne non nulle X, appelé positif défini. Par conséquent, la matrice
Grama positif défini.
4 0 . Laisser e = (e 1 , e 2, ... , e n ) Et e 1 = (e 1 1 , e 2 1, ... , fr n 1 ) – deux bases en F n , G Et G1– Matrices de grammes d’un produit scalaire donné en bases e Et e 1 respectivement. Laisser T– matrice de transition à partir de la base e à la base e 1 . Alors ( un, c) = xT×G× y, x = T × x 1, y = T × y 1, x T = (T × x 1)T =(x1)T × T T. Ainsi, ( un, c) = ((x1)T × T T)× G ×(Т×у 1) = (x1)T ×(T T× G×T)× et 1. Mais ( un, c) = (x1)T × G 1 × y 1. D'ici
G 1 = T T × G × T(43)
La formule (42) donne une connexion entre les matrices de Gram dans différentes bases.
5 0 . Les déterminants des matrices de Gram dans toutes les bases ont le même signe.
De la formule (42) il résulte ú G1ú =ú T Tú ×ú Gú ×ú Tú = ú Gú ×ú Tú 2. Parce que Tú 2 > 0, alors ú G1ú et ú Gú j'ai les mêmes signes.
Exemples.
1.
En abondance M2
matrices carrées à éléments réels, le produit scalaire est donné par la formule 
. Trouver la matrice Gram de ce produit dans la base e 1
= , e 2
= , e 3
= , et 4
= .
Solution. Trouvons tous les produits par paires éléments de base: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2 , e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3 , e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. Par conséquent,
2.
Dans l'espace R.
[X] de polynômes de degré non supérieur à 3, le produit scalaire est donné par la formule 
, Où un Et b– des nombres réels fixes, un< b.
Composez la matrice de Gram dans la base (1, x, x2, x3).
Solution. Trouvons tous les produits par paires des éléments de base : (1, 1) = = b-a,
(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x2) = (x2, 1) = = ), (1, x3) = (x3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x2) = (x 2 , x) = = ), (x, x3) = (x 3 , x) = = ), (x2, x2) = = ), (x2, x3) = (x3, x2) = = ), (x3, x3) = = ). La matrice de Gram ressemblera à :
G = 
.
3. En base ( e 1, e 2, e 3 ) espace E3 le produit scalaire est donné par la matrice de Gram G= . Trouver le produit scalaire des vecteurs UN = (1, –5, 4) et V = (–3, 2, 7).
Solution. En utilisant la formule (41), on obtient ( UN , V ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Introduction de métriques dans l'espace euclidien
Laisser F n – n- espace euclidien dimensionnel. Appelons le produit scalaire d'un vecteur et de lui-même carré scalaire de ce vecteur , c'est-à-dire ( un, un ) = un 2 . D'après le 4ème axiome du produit scalaire un 2 ³ 0.
Définition 47. Longueur du vecteur appelé valeur arithmétique racine carrée du carré scalaire de ce vecteur. ceux. ú UN ú = (44)
Propriétés de la longueur du vecteur :
1. N'importe quel vecteur UN a une longueur et une seule, ú UN ú ³ 0.
2. ú une × UN ú = úaú×ú UN ú pour tout UN Î F n .
3. Pour tous les vecteurs UN Et V depuis F n l'inégalité ú est vraie une×b ú £ú UN ú ×ú V ú.
Preuve.(UN -un V ) 2 = UN 2 – 2a( un, c ) + une 2 × V 2 ³ 0 pour tout a О R. Parce que trinôme quadratique est non négatif pour toute valeur de a, alors son discriminant est non positif, c'est-à-dire ( un, c ) 2 – UN 2× V 2 0 £, ou ( un, c ) 2 £ UN 2× V 2. Donc ú une×b ú £ú UN ú ×ú V ú (45). Le signe égal dans cette formule sera si et seulement si les vecteurs sont proportionnels.
Définition 48. Un vecteur de longueur unitaire s’appelle vecteur unitaire ou ortom .
4 0 . Pour personne non vecteur zéro il existe une unité unité proportionnelle à celle-ci.
Si une ¹ 0 , alors ú UN ú ¹ 0. Il existe donc un vecteur un 0 = UN . Évidemment, un 0 ú =1.
Définition 49. L'angle entre les vecteurs non nuls a et un tel nombre réel s'appelle j, qui est (46).
Angle entre les vecteurs UN et peut également être noté .
Propriétés des angles.
1 0 . Pour deux vecteurs non nuls quelconques, l'angle entre eux est défini.
De la formule (44), il résulte que Par conséquent, j existe.
2 0 . Si a ¹ 0, b ¹ 0, alors .
Définition 48. Deux vecteurs non nuls sont appelés orthogonal , si leur produit scalaire est égal à zéro.
Les vecteurs orthogonaux sont notés UN ^V.
3 0 . Si UN ^V , une ¹ 0, b ¹ 0, Que ( un UN )^ (b V ).
4 0 . Si UN ^V Et UN ^Avec , Que UN ^(V. + Avec ).
Définition 50. L'ensemble de tous les vecteurs dans l'espace F n , orthogonal au vecteur UN , auquel le vecteur zéro est ajouté est appelé complément orthogonal du vecteur a .
5 0 . Complément vectoriel orthogonal UN est ( n – Sous-espace euclidien 1)-dimensionnel dans F n .
Preuve.
Des propriétés 3 0 et 4 0, il s'ensuit que l'ensemble considéré L est sous-espace linéaire V F n . Depuis dans F n Si le produit scalaire est défini, alors il est également défini dans le complément orthogonal, donc : L est un sous-espace euclidien. En plus, Avec Î L Û ( UN , Avec ) = 0 (*). Réparons-le F n base. Laisser UN = (un 1, un 2, …, un n), Avec = (x 1, x 2, …, x n). Alors Avec Î L Û une T ×G×x = 0 (**). L'équation (**) est linéaire équation homogène Avec n inconnu. Système fondamental ses solutions consistent en ( n– 1) solutions. Par conséquent, l’espace de solution de l’équation (**) est ( n– 1)-dimensionnel.
Laisser E k – sous-espace de l’espace F n . Notons E ensemble constitué du vecteur zéro et de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur non nul de E k .Autrement dit Avec Î E Û ( Avec , UN ) = 0 pour tout UN Î E k . Espace E complément orthogonal dans l'espace E k .
Déf: Déterminant de Gram, système de vecteurs ( e 1 , e 2 , …, e k} appelé déterminant
G( e 1 , e 2 , …, e k) = 
.
T° . Pour que le système de vecteurs ( e 1 , e 2 , …, e k) Espace euclidien F nétait
linéairement dépendant, il faut et il suffit que Г( e 1 , e 2 , …, e k) était égal
◀ Nécessité. Laisser e 1 , e 2 , …, e k linéairement dépendant. Alors e k= un 1 e 1 + un 2 e 2 +…+ e k–1 une k–1 et dans Г( e 1 , e 2 , …, e k) les éléments de la dernière ligne ressemblent à un 1 ( e 1 ,e je) + un 2 ( e 2 ,e je) + …+ une k –1 (e k –1 ,e je), c'est-à-dire dernière ligne est une combinaison linéaire des Þ Г( e 1 , e 2 , …, e k) = 0.
Adéquation. Soit G( e 1 , e 2 , …, e k) = 0 Þ ses lignes sont linéairement dépendantes Þ $b 1 , b 2 , …, b k b 1 ( e 1 ,e je) + … + b k(e k, e je) = 0 Þ (b 1 e 1 + … + b kék= 0 et pas tout b je= 0 Þ e 1 , e 2 , …, e k linéairement dépendant. Contradiction
Conséquence. Si e 1 , e 2 , …, e k sont linéairement indépendants, alors Г( e 1 , e 2 , …, e k) ¹ 0. De plus, Г( e 1 , e 2 , …, e k) > 0
◀ Considérant ℒ( e 1 , e 2 , …, e k). Alors ( e k, e je) – éléments d’une matrice de certains symétriques forme bilinéaire, correspondant à laquelle forme quadratique définit le produit scalaire, c'est-à-dire est défini positif. Par conséquent, selon le critère de Sylvester D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k> 0. Mais D k= Г( e 1 , e 2 , …, e k)
§2. Bases mutuelles.
Coordonnées covariantes et contravariantes des vecteurs
Laisser F n– Espace euclidien, soit ( e 1 , e 2 , …, e n)base en F n Et ( e 1 , e 2 , …, e n)une autre base dans F n. Socles ( e je) Et ( e je) sont appelés réciproques si ( e je, e j) = = .
Kronecker-Capelli.
T° . N'importe quelle base ( e je) depuis F n a une base réciproque unique.
◀ Laissez e j= e 1 + e 2 + … + e n. Multipliez l'égalité de manière scalaire par e je.
(e je, e j) = (e je, e 1) + (e je, e 2) + … + (e je, e n) = , je, j = 1, 2, …, n.
Nous avons système hétérogène n-équations linéaires avec n inconnu, le déterminant de ce système est Г( e 1 , e 2 , …, e n) ¹ 0, c'est-à-dire le système a une solution unique non nulle.
Donc les vecteurs e j sont déterminés sans ambiguïté. Assurons-nous qu'ils forment une base (c'est-à-dire qu'ils sont linéairement indépendants).
Soit un 1 e 1 + un 1 e 2 + …+ un n e n= 0. Multiplier scalairement par e je.
un 1 ( e je, e 1) + un 2 ( e je, e 2) + … + une n(e je, e n) = 0 Þ une je= 0, je, j = 1, 2, …, n
Commentaire : si base ( e je) est orthonormé, alors sa base mutuelle coïncide avec la base donnée.
Laisser ( e je) Et ( e j) bases mutuelles en F n.
Puis "xО F n 
(1)
(x 1 , x 2 , …, xn) sont appelées coordonnées covariantes du vecteur x.
(x 1 , x 2 , …, xn) sont appelées coordonnées contravariantes du vecteur x.
Accord: Soit une expression composée de facteurs équipés nombre fini indices (supérieurs et inférieurs). Dans ce cas, il est convenu que tous les indices sont désignés différents symboles(semblable à ceux du haut). Si dans une telle expression il existe deux indices identiques, dont l'un est supérieur et l'autre inférieur, alors on considère que la sommation est effectuée sur ces indices de 1 à n.) on obtient e j= g ji e je; e j= g ji e je.
On dit que dans un espace linéaire réel X opération définie multiplication vectorielle scalaire, si une paire de vecteurs x et à depuis X un numéro réel est attribué, appelé produit scalaire vecteurs X Et à et est désigné par le symbole (x,y), et si pour quelque chose X. oui, z € X et n'importe quel nombre réel UN les opérations suivantes sont effectuées Axiomes du produit scalaire :
- 1. (x,y) =(oui, ; X).
- 2. (.t + oui, z)= (x,z) + (y,z).
- 3. (ah, oui) = une(x,y).
- 4. (x,x)> 0 à xF 0 et (x, X)= 0 à X = 0.
Exemple 8.1. Soit X l'espace vecteurs géométriques, étudié en algèbre vectorielle. Le produit scalaire, défini comme le produit des longueurs de deux vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux, satisfait aux axiomes du produit scalaire. ?
Exemple 8.2. DANS espace arithmétique Kp hauteur de colonne n produit scalaire des vecteurs
peut être déterminé par la formule
Il n’est pas difficile de vérifier la validité des axiomes des produits scalaires. Par exemple, vérifions la faisabilité d'Axiom 4. Notez que
Mais la somme des carrés est positive si au moins un des nombres XI non nul (ou xf 0), et est égal à zéro si tous les x* sont égaux à zéro (c'est-à-dire x = 0). ?
Exemple 8.3. Dans l'espace linéaire des polynômes dont les coefficients de degré réels ne sont pas supérieurs à n- 1 produit scalaire peut être saisi par la formule
La vérification des axiomes du produit scalaire est basée sur les propriétés intégrale définie et ce n'est pas difficile. ?
Exemple 8.4. Dans un espace linéaire Sa,b] fonctions d'une variable réelle, continue sur l'intervalle [a, 6], le produit scalaire peut être introduit de la même manière que dans l'espace linéaire des polynômes - en utilisant une intégrale définie : 
La vérification des axiomes des produits scalaires s'effectue de la même manière que dans l'exemple précédent. ?
Des axiomes 2 et 3, il résulte que toute combinaison linéaire finie de vecteurs peut être multipliée de manière scalaire en une autre combinaison linéaire de vecteurs selon la règle de multiplication d'un polynôme par un polynôme, c'est-à-dire selon la formule
Valide espace linéaire, dans lequel la multiplication scalaire des vecteurs est définie, est appelée Espace euclidien. Un espace linéaire de dimension finie peut être converti en espace euclidien de plusieurs manières. Si dans l'espace euclidien à n dimensions X base fixe e, e^,..., e n, alors tous les vecteurs x et y il y a des décompositions dedans
et formule (8.1) pour les vecteurs henné donne
ou dans forme matricielle où ça devrait être
Ainsi, le produit scalaire dans l'espace euclidien X est entièrement déterminé par la matrice D. Toutes les matrices carrées ne peuvent pas apparaître dans la formule (8.3). Mais si un produit scalaire dans une base donnée est déterminé par une matrice Г, alors il est facile de comprendre que la même matrice, uniquement dans une base différente, détermine également le produit scalaire. En gardant la matrice Г et en changeant les bases, on obtient ensemble infini produits scalaires dans un espace linéaire de dimension π donné.
La matrice Г impliquée dans la formule (8.3) est appelée Matrice de Gram base e = (e x, b2,..., e p). La matrice de Gram (matrice de produits scalaires) peut être définie non seulement pour des bases, mais également pour des systèmes de vecteurs finis ordonnés arbitrairement.
Notons quelques propriétés de la matrice de Gram de la base dans l'espace euclidien à n dimensions.
1. Matrice de Gram G symétrique et pour toute colonne à n dimensionsXf 0 satisfait à la conditionxTGX > 0, en particulier les éléments diagonaux(ei,ej) = ef G e* Les matrices Gram sont semi-équivalentes.
La symétrie de la matrice de Gram découle de l'axiome 1 du produit scalaire, selon lequel (e*, par exemple)= (e^, e*) pour deux vecteurs de base quelconques, et la condition xT G x> 0, xf 0, équivaut à l'axiome 4 du produit scalaire.
Matrice symétrique UN, satisfaisant la condition x t Ah >> 0, xF 0, appelé positif défini. En tenant compte de ce terme, la propriété prouvée ressemble à ceci : la matrice de Gram est définie positive.
2. Matrices de grammes G et G" deux bases e et e" de l'espace euclidien sont liées par la relation
où T est la matrice de transition de la base e à la base e".
En effet, en passant de la base e à la base e! coordonnées X Et à deux vecteurs X Et à converti en coordonnées X" Et oui" selon des formules (voir section 4.6)
Par conséquent, la matrice T T G T il y a une matrice de Gram pour la base e!.
3. Le déterminant de la matrice de Gram de toute base est positif.
En effet, de la formule (8.4) il résulte que lorsque l'on change de base, le déterminant de la matrice de Gram conserve son signe (ou reste égal à zéro), puisque le déterminant de la matrice de transition est non nul :
Reste à prendre en compte que comme matrice de Gram Г on peut prendre la matrice identité (voir la remarque ci-dessous), qui a un déterminant égal à un.
4. Tous les coins mineurs en diagonale
Matrice Gram de base e lf e2 , ... e n sont positifs.
En effet, pour n'importe qui À on peut considérer le sous-espace Lfc = (ei,...,efc) comme un espace euclidien indépendant.
Alors le déterminant de la matrice de Gram pour la base ei, 62, ..., coïncidera avec D^. D’après la propriété précédente, ce déterminant est positif.
Commentaire. Insecte. 9.C il est établi que la propriété 4 est nécessaire et état suffisant certitude positive matrice carrée. Par conséquent, la propriété 4 découle de la propriété 1. Toute matrice définie positive est la matrice de Gram d'une base dans un espace euclidien donné. En effet, le produit scalaire peut être défini par la formule (8.3), dans laquelle toute matrice définie positive peut être prise comme Γ. Alors l'axiome 1 du produit scalaire découlera de la symétrie de la matrice Г, les axiomes 2 et 3 - de la propriété de distributivité produit matriciel, et l'axiome 4 - de la condition de définition positive de G. Par conséquent, toute matrice ayant la propriété 4 peut être considérée comme une matrice de Gram. En particulier, on peut choisir la matrice identité comme matrice de Gram, c'est-à-dire dans une base donnée e, ..., ep définir le produit scalaire
formule
Comme déjà noté, le concept de matrice de Gram peut être introduit pour un système fini de vecteurs ordonné arbitrairement. En même temps et dans cas général la matrice de Gram reste symétrique, mais d'autres propriétés (définition positive, positivité du déterminant) sont perdues. La déclaration suivante est vraie.
Théorème 8.1.La matrice de Gram d'un système de vecteurs est non singulière si et seulement si ce système est linéairement indépendant. La matrice de Gram n'est pas linéaire système dépendant vecteurs est défini positif et, en particulier, a un déterminant positif. Le déterminant de la matrice de Gram d'un système de vecteurs linéairement dépendant est égal à zéro.
> Tout système de vecteurs linéairement indépendant peut être considéré comme base dans un espace euclidien, à savoir dans son coque linéaire. D'après les propriétés de la matrice de Gram de la base, la matrice de Gram du système de vecteurs considéré est définie positive. Par conséquent, elle toute mineurs de coin, en particulier son déterminant, sont positifs. Cela signifie également que la matrice de Gram est linéaire système indépendant les vecteurs ne sont pas dégénérés.
Multiplier cette égalité vectorielle de manière scalaire par des vecteurs un, un2 , et à,
on obtient un système homogène d'équations linéaires
par rapport aux coefficients ac, eak considéré comme linéaire
combinaisons. La matrice de ce système est la matrice de Gram Г du système vectoriel un, un,2 , ..., CLk Si la matrice Г est non singulière, alors système homogène n'a qu'une solution nulle. Cela signifie que le système de vecteurs considéré un, un2 , , un à linéairement indépendant.
Si le système de vecteurs UN, ^k linéairement dépendant, alors le considéré système linéaire a des solutions non nulles. Par conséquent, son déterminant, c'est-à-dire le déterminant de la matrice de Gram Г du système de vecteurs considéré est égal à zéro.
