Dérivée f x 1 2. La dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées

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Résoudre la dérivée sur le site pour consolider la matière couverte par les étudiants et les écoliers. Calculer la dérivée d'une fonction en quelques secondes ne semble pas difficile si vous utilisez notre service de résolution de problèmes en ligne. Plomb analyse détailléeétude approfondie sur leçon pratique un étudiant sur trois en sera capable. Souvent, le département du département concerné pour la promotion des mathématiques en les établissements d'enseignement des pays. Dans ce cas, comment ne pas mentionner la résolution de la dérivée en ligne pour espace confiné séquences de nombres. De nombreuses personnes fortunées ont le droit d’exprimer leur perplexité. Mais en attendant, les mathématiciens ne restent pas immobiles et travaillent beaucoup. Le calculateur de dérivée acceptera les modifications des paramètres d'entrée basées sur des caractéristiques linéaires principalement dues à la suprématie des positions descendantes des cubes. Le résultat est aussi inévitable que la surface. En tant que données initiales, les dérivés en ligne éliminent le besoin de prendre des mesures inutiles. Sauf pour les tâches ménagères fictives. Outre le fait que la résolution des dérivés en ligne est nécessaire et aspect important En étudiant les mathématiques, les élèves ne se souviennent souvent pas des problèmes du passé. L'étudiant, étant une créature paresseuse, comprend cela. Mais les étudiants - Gens drole! Soit faites-le selon les règles, soit dérivez la fonction dans plan incliné peut conférer une accélération à un point matériel. Dirigons le vecteur du rayon spatial vers le bas quelque part. Dans la réponse demandée, trouver la dérivée semble abstrait orientation théorique en raison de l'instabilité du système mathématique. Considérons une relation numérique comme une séquence d'options inutilisées. Le canal de communication a été reconstitué par une cinquième ligne le long d'un vecteur décroissant à partir du point de bifurcation fermée du cube. Sur le plan des espaces courbes, la résolution de la dérivée en ligne nous amène à une conclusion qui nous faisait réfléchir au siècle dernier les plus grands esprits planètes. Au cours des événements dans le domaine des mathématiques, cinq fondamentalement facteurs importants, contribuant à améliorer la position de sélection variable. Ainsi, la loi des points stipule que la dérivée en ligne n'est pas calculée en détail dans tous les cas, la seule exception étant un moment loyalement progressif. Les prévisions nous ont amenés à nouveau tour développement. Nous avons besoin de résultats. Dans la ligne de la pente mathématique passée sous la surface, le calculateur de dérivée de mode est situé dans la zone d'intersection des produits sur l'ensemble de pliage. Reste à analyser la différenciation de la fonction en son point indépendant proche du voisinage epsilon. Tout le monde peut le vérifier dans la pratique. En conséquence, il y aura quelque chose à décider lors de la prochaine étape de programmation. L’étudiant a comme toujours besoin du dérivé en ligne, quelle que soit la recherche imaginaire pratiquée. Il s'avère qu'une fonction multipliée par une constante ne change pas la solution de la dérivée en ligne direction générale mouvement point matériel, mais caractérise une augmentation de la vitesse en ligne droite. En ce sens, il sera utile d'utiliser notre calculateur de dérivée et de calculer toutes les valeurs de la fonction sur l'ensemble de sa définition. Étudier les ondes de force champ gravitationnel ce n'est tout simplement pas nécessaire. En aucun cas, la résolution en ligne des dérivées ne montrera l'inclinaison du rayon sortant, mais ce n'est que dans de rares cas, lorsque cela est vraiment nécessaire, que les étudiants universitaires peuvent l'imaginer. Enquêtons sur le principal. La valeur du plus petit rotor est prévisible. Appliquer au résultat des lignes regardant vers la droite qui décrivent la balle, mais calculateur en ligne dérivés, c'est la base de chiffres de force particulière et de dépendance non linéaire. Le rapport du projet de mathématiques est prêt. Différence de caractéristiques personnelles les plus petits nombres et la dérivée de la fonction le long de l'axe des ordonnées amènera la concavité de la même fonction à la hauteur. Il y a une direction – il y a une conclusion. Il est plus facile de mettre la théorie en pratique. Les étudiants ont une proposition concernant le moment du début de l'étude. Besoin d'une réponse d'un professeur. Encore une fois, comme pour la position précédente, le système mathématique n'est pas régulé sur la base d'une action qui aidera à trouver la dérivée. Comme la version semi-linéaire inférieure, la dérivée en ligne indiquera en détail l'identification d'une solution basée sur le dégénéré. loi conditionnelle. L'idée de calculer des formules vient d'être avancée. La différenciation linéaire d’une fonction détourne la vérité de la solution vers la simple présentation de variations positives non pertinentes. L'importance des signes de comparaison sera considérée comme une rupture continue de la fonction le long de l'axe. C'est là l'importance de la conclusion la plus consciente, selon l'étudiant, dans laquelle la dérivée en ligne est autre chose qu'un fidèle exemple d'analyse mathématique. Le rayon d'un cercle courbe dans l'espace euclidien, au contraire, a été donné par le calculateur de dérivées représentation naturelleéchanger des défis décisifs pour la durabilité. Meilleure méthode trouvé. Il était plus facile de faire passer la tâche à un niveau supérieur. Laissez l'applicabilité de la proportion de différence indépendante conduire à la solution des dérivées en ligne. La solution tourne autour de l’axe des abscisses, décrivant la figure d’un cercle. Il existe une issue, et elle s'appuie sur des recherches théoriquement soutenues par des étudiants universitaires, à partir desquelles tout le monde étudie, et même à ces moments-là, il existe une dérivée de la fonction. Nous avons trouvé une voie de progression et les élèves l'ont confirmé. Nous pouvons nous permettre de trouver la dérivée sans aller au-delà de l’approche non naturelle consistant à transformer le système mathématique. Le signe de proportionnalité gauche augmente avec séquence géométrique Comment représentation mathématique calculateur de dérivé en ligne en raison de circonstance inconnue multiplicateurs linéaires sur l'axe des ordonnées infinies. Les mathématiciens du monde entier ont prouvé le caractère exceptionnel du processus de production. Manger moins carréà l’intérieur du cercle selon la description de la théorie. Encore une fois, le dérivé en ligne exprimera en détail notre hypothèse sur ce qui pourrait influencer en premier lieu l’opinion théoriquement raffinée. Il y avait des opinions de nature différente de celle du rapport analysé que nous avons fourni. Attention particulière Cela n’arrivera peut-être pas aux étudiants de nos facultés, mais pas aux mathématiciens intelligents et technologiquement avancés, pour qui la différenciation d’une fonction n’est qu’une excuse. La signification mécanique de la dérivée est très simple. La force de levage est calculée comme la dérivée en ligne pour des espaces stables descendant vers le haut dans le temps. Un calculateur de dérivée évidente est un processus rigoureux pour décrire le problème de la dégénérescence d'une transformation artificielle comme corps amorphe. La dérivée première indique un changement dans le mouvement d’un point matériel. espace tridimensionnelévidemment observé dans le contexte de technologies spécialement formées pour résoudre des dérivées en ligne ; en fait, c'est le cas dans chaque colloque sur le thème d'une discipline mathématique ; La dérivée seconde caractérise l'évolution de la vitesse d'un point matériel et détermine l'accélération. Approche méridienne dans la base d'utilisation Transformation affine s'affiche sur nouveau niveau dérivée d'une fonction en un point du domaine de définition de cette fonction. Un calculateur de dérivées en ligne ne peut exister sans nombres et notations symboliques dans certains cas pour le bon moment exécutable, en plus de l'agencement transformable des éléments dans la tâche. Étonnamment, il y a une seconde accélération du point matériel ; cela caractérise le changement d’accélération. Dans peu de temps, nous commencerons à étudier la résolution de la dérivée en ligne, mais dès qu'un certain jalon de connaissances sera atteint, notre étudiant mettra ce processus en pause. Le meilleur remèdeétablir des contacts, c'est communiquer en direct sujet mathématique. Il existe des principes qui ne peuvent en aucun cas être violés, quelle que soit la difficulté de la tâche à accomplir. Il est utile de trouver le dérivé en ligne à temps et sans erreurs. Cela conduira à une nouvelle situation expression mathématique. Le système est stable. Signification physique le dérivé n'est pas aussi populaire que le mécanique. Il est peu probable que quiconque se souvienne de la manière dont la dérivée en ligne a affiché en détail sur le plan le contour des lignes de fonction dans la normale à partir du triangle adjacent à l'axe des abscisses. L'homme mérite un rôle majeur dans la recherche du siècle dernier. Différencions la fonction aux points à la fois du domaine de définition et à l'infini en trois étapes élémentaires. Sera en en écrivant uniquement dans le domaine de la recherche, mais peut remplacer le vecteur principal en mathématiques et en théorie des nombres, dès que ce qui se passe relie le calculateur de dérivée en ligne au problème. S’il y avait une raison, il y aurait une raison de créer une équation. Il est très important de garder à l’esprit tous les paramètres d’entrée. Le meilleur n’est pas toujours accepté de front ; derrière cela, il y a un travail colossal. les meilleurs esprits, qui savait comment la dérivée en ligne est calculée dans l'espace. Depuis, la convexité est considérée comme une propriété fonction continue. Néanmoins, il est préférable de poser d'abord le problème de la résolution des dérivés en ligne dans dès que possible. La solution sera donc complète. Hormis les normes non respectées, cela n’est pas considéré comme suffisant. Dans un premier temps, presque tous les étudiants proposent de proposer une méthode simple pour expliquer comment la dérivée d'une fonction provoque un algorithme d'augmentation controversé. Dans la direction du faisceau ascendant. Cela a du sens puisque situation générale. Auparavant, nous marquions le début de l’achèvement d’une opération mathématique spécifique, mais aujourd’hui ce sera l’inverse. Peut-être que la résolution de la dérivée en ligne soulèvera à nouveau la question et que nous adopterons une opinion commune pour la préserver lors de la discussion lors de la réunion des enseignants. Nous espérons la compréhension de tous les côtés des participants à la réunion. Le sens logique réside dans la description du calculateur de dérivée dans la résonance des nombres sur la séquence de présentation de la pensée du problème, auquel les grands scientifiques du monde ont répondu au siècle dernier. Il vous aidera à extraire une variable complexe d'une expression transformée et à trouver la dérivée en ligne pour effectuer une action massive du même type. La vérité vaut bien mieux que les suppositions. Valeur la plus basseà la mode. Le résultat ne se fera pas attendre en utilisant un service unique de détermination précise, pour lequel il existe une essence du dérivé en ligne en détail. Indirectement, mais pertinent, comme l'a dit un sage, un calculateur de dérivés en ligne a été créé à la demande de nombreux étudiants de différentes villes syndicat. S’il y a une différence, alors pourquoi décider deux fois. Définir le vecteur se trouve du même côté que la normale. Au milieu du siècle dernier, la différenciation des fonctions n’était pas du tout perçue comme elle l’est aujourd’hui. Grâce aux développements en cours, les mathématiques en ligne sont apparues. Au fil du temps, les élèves oublient d’accorder le crédit qui leur est dû aux matières mathématiques. Résoudre la dérivée en ligne remettra en question notre thèse fondée à juste titre sur l'application de la théorie soutenue par connaissance pratique. Va au-delà valeur existante facteur de présentation et écrivez la formule sous une forme explicite pour la fonction. Il arrive que vous deviez trouver immédiatement un dérivé en ligne sans utiliser de calculatrice, cependant, vous pouvez toujours recourir à une astuce d'étudiant et toujours utiliser un service tel qu'un site Web. Ainsi, l'étudiant gagnera beaucoup de temps en copiant les exemples du cahier brouillon vers la forme finale. S'il n'y a pas de contradictions, utilisez le service solution étape par étape des exemples aussi complexes.

Définition. Laissez la fonction $y = f(x)$ être définie dans un certain intervalle contenant le point $x_0$. Donnons à l'argument un incrément $\Delta x $ tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction $\Delta y $ (lors du passage du point $x_0 $ au point $x_0 + \Delta x $) et composons la relation $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. S'il existe une limite à ce rapport à $\Delta x \rightarrow 0$, alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction$y=f(x) $ au point $x_0 $ et notons $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée." Notez que y" = f(x) est nouvelle fonctionnalité, mais naturellement associé à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).

Signification géométrique de la dérivée est comme suit. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
$k = f"(a)$

Puisque $k = tg(a) $, alors l'égalité $f"(a) = tan(a) $ est vraie.

Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction $y = f(x)$ avoir une dérivée dans point précis$X$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, c'est-à-dire $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax$. La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction $y = x^2$ l'égalité approximative $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?

1. Corrigez la valeur de $x$, recherchez $f(x)$
2. Donnez à l'argument $x$ un incrément $\Delta x$, allez à nouveau point$x+ \Delta x $, trouver $f(x+ \Delta x) $
3. Trouvez l'incrément de la fonction : $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Créez la relation $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.

Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).

Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?

Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.

Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ est vraie. Si dans cette égalité $\Delta x $ tend vers zéro, puis $\Delta y $ tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.

Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.

L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.

Encore un exemple. La fonction $y=\sqrt(x)$ est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Une telle ligne droite n'a pas de coefficient d'angle, ce qui signifie que $f. "(0)$ n'existe pas.

Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?

La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C- nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg") (g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg") (g^2) $$ Dérivée d'une fonction complexe :
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tableau des dérivées de certaines fonctions

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées est apparu et exactement Certaines règles différenciation. Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Autres dérivés fonctions élémentaires on retrouve dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, somme et quotient sont dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "x" est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :

Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire.
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivée de racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée de cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arc cosinus
12. Dérivée de l'arctangente
13. Dérivée de l'arc cotangent
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée d'une fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée d'une somme ou d'une différence
2. Dérivé du produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à somme algébrique dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.

Règle 2.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point

ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3.Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et

ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.

Où chercher des choses sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée d'un produit et du quotient dans de vrais problèmes Il faut toujours appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples pour ces dérivés - dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas facteur constant il est retiré du signe dérivé. Ce erreur typique, qui se produit le stade initialétudient les dérivées, mais comme ils résolvent plusieurs exemples en une ou deux parties, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).

Autre erreur commune - solution mécanique dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d'abord apprendre à trouver des dérivées fonctions simples.

En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .

Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».

Si vous avez une tâche comme , alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On a valeurs suivantes dérivés:

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, , alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. Selon la règle de différenciation du produit et valeur du tableau dérivée de la racine carrée on obtient :

Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, nous obtenons.

Le problème de trouver la dérivée de fonction donnée est l'un des principaux cours de mathématiques lycée et dans les établissements d'enseignement supérieur. Il est impossible d’explorer pleinement une fonction et de construire son graphe sans prendre sa dérivée. La dérivée d'une fonction peut être facilement trouvée si vous connaissez les règles de base de différenciation, ainsi que le tableau des dérivées des fonctions de base. Voyons comment trouver la dérivée d'une fonction.

La dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro.

Comprendre cette définition est assez difficile, car la notion de limite n'est pas entièrement étudiée à l'école. Mais pour trouver des dérivés diverses fonctions, il n’est pas nécessaire de comprendre la définition, laissons le soin aux mathématiciens et passons directement à la recherche de la dérivée.

Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation. Lorsque nous différencions une fonction, nous obtiendrons une nouvelle fonction.

Pour les désigner, nous utiliserons des lettres f, g, etc.

Il existe de nombreuses notations différentes pour les dérivés. Nous utiliserons un trait. Par exemple, écrire g" signifie que l'on trouvera la dérivée de la fonction g.

Tableau des dérivés

Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la dérivée, il est nécessaire de fournir un tableau des dérivées des principales fonctions. Pour calculer les dérivées de fonctions élémentaires, il n'est pas nécessaire d'effectuer calculs complexes. Il suffit de regarder sa valeur dans le tableau des dérivés.

(péché x)"=cos x
(cos x)"= – péché x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(lnx)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tgx)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/péché 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Exemple 1. Trouvez la dérivée de la fonction y=500.

On voit que c'est une constante. D'après le tableau des dérivées, on sait que la dérivée d'une constante est égale à zéro (formule 1).

Exemple 2. Trouvez la dérivée de la fonction y=x 100.

Ce fonction de puissance dont l'exposant est 100 et pour trouver sa dérivée il faut multiplier la fonction par l'exposant et la réduire de 1 (formule 3).

(x100)"=100x99

Exemple 3. Trouver la dérivée de la fonction y=5 x

Ce fonction exponentielle, calculons sa dérivée en utilisant la formule 4.

Exemple 4. Trouver la dérivée de la fonction y= log 4 x

On trouve la dérivée du logarithme à l'aide de la formule 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Règles de différenciation

Voyons maintenant comment trouver la dérivée d'une fonction si elle n'est pas dans le tableau. La plupart des fonctions étudiées ne sont pas élémentaires, mais sont des combinaisons de fonctions élémentaires utilisant des opérations simples (addition, soustraction, multiplication, division et multiplication par un nombre). Pour trouver leurs dérivées, il faut connaître les règles de différenciation. Ci-dessous, les lettres f et g désignent des fonctions et C est une constante.

1. Le coefficient constant peut être soustrait du signe de la dérivée

Exemple 5. Trouver la dérivée de la fonction y= 6*x 8

Nous le retirons coefficient constant 6 et différenciez seulement x 4 . Il s'agit d'une fonction puissance dont la dérivée se trouve à l'aide de la formule 3 du tableau des dérivées.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées

(f + g)"=f" + g"

Exemple 6. Trouver la dérivée de la fonction y= x 100 +sin x

Une fonction est la somme de deux fonctions dont on peut retrouver les dérivées dans le tableau. Puisque (x 100)"=100 x 99 et (sin x)"=cos x. La dérivée de la somme sera égale à la somme de ces dérivées :

(x 100 + péché x)"= 100 x 99 + cos x

3. La dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées

(f – g)"=f" – g"

Exemple 7. Trouver la dérivée de la fonction y= x 100 – cos x

Cette fonction est la différence de deux fonctions dont on retrouve également les dérivées dans le tableau. Alors la dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées et n'oubliez pas de changer le signe, puisque (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + péché x

Exemple 8. Trouver la dérivée de la fonction y=e x +tg x– x 2.

Cette fonction a à la fois une somme et une différence ; trouvons les dérivées de chaque terme :

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Alors la dérivée de la fonction d'origine est égale à :

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Dérivé du produit

(f * g)"=f" * g + f * g"

Exemple 9. Trouver la dérivée de la fonction y= cos x *e x

Pour ce faire, on trouve d'abord la dérivée de chaque facteur (cos x)"=–sin x et (e x)"=e x. Maintenant, remplaçons tout dans la formule du produit. On multiplie la dérivée de la première fonction par la seconde et on ajoute le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x * péché x

5. Dérivée du quotient

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Exemple 10. Trouver la dérivée de la fonction y= x 50 /sin x

Pour trouver la dérivée d'un quotient, on trouve d'abord la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément : (x 50)"=50 x 49 et (sin x)"= cos x. En substituant la dérivée du quotient dans la formule, on obtient :

(x 50 / péché x)"= 50x 49 * péché x – x 50 * cos x/ péché 2 x

Dérivée d'une fonction complexe

Une fonction complexe est une fonction représentée par une composition de plusieurs fonctions. Il existe également une règle pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

(u (v))"=u"(v)*v"

Voyons comment trouver la dérivée d'une telle fonction. Soit y= u(v(x)) - fonction complexe. Appelons la fonction u externe et v - interne.

Par exemple:

y=sin (x 3) est une fonction complexe.

Alors y=sin(t) est une fonction externe

t=x 3 - interne.

Essayons de calculer la dérivée de cette fonction. Selon la formule, vous devez multiplier les dérivées des fonctions internes et externes.

(sin t)"=cos (t) - dérivée de la fonction externe (où t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - dérivée de la fonction interne

Alors (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 est la dérivée d'une fonction complexe.

Calcul dérivé- l'une des opérations les plus importantes de calculs différentiels. Vous trouverez ci-dessous un tableau pour trouver les dérivées de fonctions simples. Plus règles complexes différenciation, voir d'autres leçons :

Tableau des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Utilisez les formules données comme valeurs de référence. Ils vous aideront à décider équations différentielles et les tâches. Sur l'image, dans le tableau des dérivées des fonctions simples, il y a une « aide-mémoire » des principaux cas de recherche d'une dérivée sous une forme compréhensible à l'usage, à côté se trouvent des explications pour chaque cas.

Dérivées de fonctions simples

1. La dérivée d'un nombre est nulle
с´ = 0
Exemple:
5´ = 0

Explication:
La dérivée montre la vitesse à laquelle la valeur d'une fonction change lorsque son argument change. Étant donné que le nombre ne change en aucune façon, sous aucune condition, le taux de sa variation est toujours nul.

2. Dérivée d'une variableégal à un
x´ = 1

Explication:
Avec chaque incrément de un de l'argument (x), la valeur de la fonction (le résultat des calculs) augmente du même montant. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction y = x est exactement égal au taux de variation de la valeur de l'argument.

3. La dérivée d'une variable et d'un facteur est égale à ce facteur
сx´ = с
Exemple:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explication:
DANS dans ce cas, chaque fois que l'argument de la fonction change ( X) sa valeur (y) augmente en Avec une fois. Ainsi, le taux de changement de la valeur de la fonction par rapport au taux de changement de l'argument est exactement égal à la valeur Avec.

D'où il suit que
(cx + b)" = c
c'est-à-dire le différentiel fonction linéaire y=kx+b est égal à pente pente de la droite (k).

4. Dérivée modulo d'une variableégal au quotient de cette variable par son module
|x|"= x / |x| à condition que x ≠ 0
Explication:
Puisque la dérivée d'une variable (voir formule 2) est égale à un, la dérivée du module ne diffère que par le fait que la valeur du taux de variation de la fonction change à l'opposé lors du franchissement du point d'origine (essayez de tracer un graphique de la fonction y = |x| et voyez par vous-même c'est exactement quelle valeur et renvoie l'expression x / |x|.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - un. C'est quand valeurs négatives variable x, à chaque augmentation de l'argument, la valeur de la fonction diminue exactement de la même valeur, et pour les fonctions positives, au contraire, elle augmente, mais exactement de la même valeur.

5. Dérivée d'une variable en une puissanceégal au produit d'un nombre de cette puissance et d'une variable à la puissance réduite de un
(x c)"= cx c-1, à condition que x c et cx c-1 soient définis et c ≠ 0
Exemple:
(x2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pour mémoriser la formule:
Déplacez le degré de la variable vers le bas en tant que facteur, puis réduisez le degré lui-même de un. Par exemple, pour x 2 - les deux étaient en avance sur x, et alors la puissance réduite (2-1 = 1) nous a simplement donné 2x. La même chose s'est produite pour x 3 - nous « descendons » le triple, le réduisons de un et au lieu d'un cube nous avons un carré, c'est-à-dire 3x 2. Un peu « non scientifique » mais très facile à retenir.

6.Dérivée d'une fraction 1 fois
(1/x)" = - 1 / x2
Exemple:
Puisqu'une fraction peut être représentée en l'élevant à degré négatif
(1/x)" = (x -1)", alors vous pouvez appliquer la formule de la règle 5 du tableau des dérivées
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x2

7. Dérivée d'une fraction avec une variable de degré arbitraire au dénominateur
(1 / xc)" = - c / xc+1
Exemple:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Dérivé de la racine(dérivée de la variable sous racine carrée)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemple:
(√x)" = (x 1/2)" signifie que vous pouvez appliquer la formule de la règle 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Dérivée d'une variable sous la racine d'un degré arbitraire
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)