) sont des nombres avec un signe positif ou négatif (entiers et fractions) et zéro. Un concept plus précis de nombres rationnels ressemble à ceci :
Nombre rationnel- le nombre qui est représenté fraction ordinaire m/n, où le numérateur m sont des entiers, et le dénominateur n- les nombres naturels, par exemple 2/3.
Sans fin fractions non périodiques NON inclus dans l’ensemble des nombres rationnels.
un/b, Où un∈ Z (un appartient aux entiers), b∈ N (b appartient aux nombres naturels).
Utiliser des nombres rationnels dans la vraie vie.
DANS la vraie vie l'ensemble des nombres rationnels est utilisé pour compter les parties de certains objets entiers divisibles, Par exemple, des gâteaux ou d'autres aliments coupés en morceaux avant consommation, ou pour estimer approximativement les relations spatiales d'objets étendus.
Propriétés des nombres rationnels.
Propriétés de base des nombres rationnels.
1. Ordre un Et b il existe une règle qui permet d'identifier sans ambiguïté 1 et une seule des 3 relations entre elles : «<», «>" ou " = ". C'est la règle - règle de commande et formulez-le ainsi :
- 2 nombres positifs a=m a /n a Et b = m b /n b sont liés par la même relation que 2 entiers ma⋅ nb Et mb⋅ n / A;
- 2 nombres négatifs un Et b sont liés par le même rapport que 2 nombres positifs |b| Et |une|;
- Quand un positif et b- négatif, alors un>b.
∀ un,b∈ Q(un ∨ un>b∨ une=b)
2. Opération d'addition. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de sommation, ce qui leur attribue un certain nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c- Ce somme Nombres un Et b et il est noté (a+b) addition.
Règle de sommationça ressemble à ça :
ma/n a + m b/n b = (m a⋅ nb + mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).
∀ un,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. Opération de multiplication. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de multiplication, il les associe à un certain nombre rationnel c. Le nombre c s'appelle travail Nombres un Et b et désigne (une⋅b), et le processus de recherche de ce numéro s'appelle multiplication.
Règle de multiplicationça ressemble à ça : un homme⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour trois nombres rationnels quelconques un, b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si un est égal b Et b est égal c, Que un est égal c.
∀ abc∈ Q(un ∧ b ⇒ un ∧ (une = b∧ b = c⇒ une = c)
5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
∀ un,b∈ Q a+b=b+a
6. Associativité des ajouts. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
∀ abc∈ Q (une+b)+c=une+(b+c)
7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0, il conserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Q une+0=une
8. Présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé, et lorsqu'ils sont ajoutés, le résultat est 0.
∀ un∈ Q∃ (−une)∈ Q une+(−une)=0
9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
∀ un,b∈ Q un⋅ b = b⋅ un
10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont multipliés n’a aucun effet sur le résultat.
∀ abc∈ Q(un⋅ b)⋅ c = un⋅ (b⋅ c)
11. Disponibilité des unités. Il existe un nombre rationnel 1, il préserve tous les autres nombres rationnels lors du processus de multiplication.
∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Q un⋅ 1=un
12. Disponibilité nombres réciproques . Tout nombre rationnel autre que zéro a un nombre rationnel inverse, en multipliant par lequel on obtient 1 .
∀ un∈ Q∃ a−1∈ Q un⋅ une−1=1
13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est liée à l'addition utilisant la loi distributive :
∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c = un⋅ c+b⋅ c
14. Relation entre la relation d'ordre et l'opération d'addition. A gauche et côté droit inégalité rationnelle ajoutez le même nombre rationnel.
∀ abc∈ Q un ⇒ a+c
15. Relation entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel non négatif.
∀ abc∈ Qc>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c
16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, il est facile de prendre tellement d'unités que leur somme sera plus grande un.
Dans cette leçon nous rappellerons les propriétés de base des opérations avec les nombres. Nous passerons non seulement en revue les propriétés de base, mais apprendrons également comment les appliquer aux nombres rationnels. Nous consoliderons toutes les connaissances acquises en résolvant des exemples.
Propriétés de base des opérations avec des nombres :
Les deux premières propriétés sont des propriétés d’addition, les deux suivantes sont des propriétés de multiplication. La cinquième propriété s'applique aux deux opérations.
Il n'y a rien de nouveau dans ces propriétés. Ils étaient valables pour les nombres naturels et entiers. Ils sont également vrais pour les nombres rationnels et le seront également pour les nombres que nous étudierons ensuite (par exemple, les nombres irrationnels).
Propriétés de permutation :
Réorganiser les termes ou les facteurs ne change pas le résultat.
Propriétés combinées :, .
L'ajout ou la multiplication de plusieurs nombres peut être effectué dans n'importe quel ordre.
Propriété de répartition :.
La propriété relie les deux opérations - addition et multiplication. De plus, si elle est lue de gauche à droite, alors on l'appelle la règle d'ouverture des parenthèses, et si dans revers- règle d'arbitrage multiplicateur commun hors parenthèses.
Les deux propriétés suivantes décrivent éléments neutres pour l'addition et la multiplication : ajouter zéro et multiplier par un ne change pas le nombre d'origine.
Deux autres propriétés qui décrivent éléments symétriques pour l'addition et la multiplication, la somme des nombres opposés est nulle ; le produit des nombres réciproques est égal à un.
Propriété suivante : . Si un nombre est multiplié par zéro, le résultat sera toujours zéro.
La dernière propriété que nous examinerons est : .
En multipliant le nombre par , on obtient le chiffre opposé. Cette propriété a une particularité. Toutes les autres propriétés considérées n'ont pas pu être prouvées à l'aide des autres. La même propriété peut être démontrée en utilisant les précédentes.
Multiplier par
Montrons que si l'on multiplie un nombre par , on obtient le nombre opposé. Pour cela nous utilisons la propriété de distribution : .
Cela est vrai pour tous les nombres. Remplaçons et au lieu du nombre :
À gauche entre parenthèses se trouve la somme de nombres mutuellement opposés. Leur somme est nulle (on a une telle propriété). A gauche maintenant. A droite, on obtient : 
.
Nous avons maintenant zéro à gauche et la somme de deux nombres à droite. Mais si la somme de deux nombres est nulle, alors ces nombres sont opposés. Mais le nombre n'a qu'un seul opposé : . Voilà donc ce que c'est : .
La propriété a été prouvée.
Une telle propriété, qui peut être démontrée à l’aide de propriétés précédentes, est appelée théorème
Pourquoi n’y a-t-il pas de propriétés de soustraction et de division ici ? Par exemple, on pourrait écrire la propriété distributive pour la soustraction : .
Mais depuis :
- La soustraction de n'importe quel nombre peut s'écrire de manière équivalente comme une addition en remplaçant le nombre par son opposé :
- La division peut s'écrire sous la forme d'une multiplication par son inverse :
Cela signifie que les propriétés d’addition et de multiplication peuvent être appliquées à la soustraction et à la division. En conséquence, la liste des propriétés à retenir est plus courte.
Toutes les propriétés que nous avons considérées ne sont pas exclusivement des propriétés de nombres rationnels. D'autres nombres, par exemple les nombres irrationnels, obéissent également à toutes ces règles. Par exemple, la somme de son opposé est nulle : .
Nous allons maintenant passer à la partie pratique, en résolvant plusieurs exemples.
Les nombres rationnels dans la vie
Les propriétés des objets que nous pouvons décrire quantitativement, désigner par un certain nombre, sont appelées valeurs: longueur, poids, température, quantité.
La même quantité peut être désignée à la fois par un entier et par une fraction, positive ou négative.
Par exemple, votre taille est m - nombre fractionnaire. Mais on peut dire qu'il est égal à cm - c'est déjà un nombre entier (Fig. 1).
Riz. 1. Illustration par exemple
Un autre exemple. Une température négative sur l’échelle Celsius sera positive sur l’échelle Kelvin (Fig. 2).
Riz. 2. Illustration par exemple
Lors de la construction du mur d’une maison, une personne peut mesurer la largeur et la hauteur en mètres. Il produit des quantités fractionnaires. Il effectuera tous les autres calculs avec des nombres fractionnaires (rationnels). Une autre personne peut tout mesurer en nombre de briques en largeur et en hauteur. N'ayant reçu que des valeurs entières, il effectuera des calculs avec des nombres entiers.
Les quantités elles-mêmes ne sont ni entières ni fractionnaires, ni négatives ni positives. Mais le nombre avec lequel on décrit la valeur d'une quantité est déjà assez spécifique (par exemple, négatif et fractionnaire). Cela dépend de l'échelle de mesure. Et quand on passe des vraies valeurs à modèle mathématique, alors nous travaillons avec un type spécifique de nombres
Commençons par l'addition. Les termes peuvent être réorganisés de la manière qui nous convient et les actions peuvent être exécutées dans n'importe quel ordre. Si les termes de différents signes se terminent par le même chiffre, il est alors pratique d'effectuer d'abord des opérations avec eux. Pour ce faire, échangeons les termes. Par exemple:
Fractions communes avec mêmes dénominateurs facile à plier.
Les nombres opposés totalisent zéro. Les nombres ayant les mêmes queues décimales sont faciles à soustraire. En utilisant ces propriétés, ainsi que la loi d'addition commutative, vous pouvez faciliter le calcul de la valeur, par exemple, de l'expression suivante :
Les nombres avec des queues décimales complémentaires sont faciles à additionner. Avec tout et en parties fractionnaires nombres mixtes pratique pour travailler séparément. Nous utilisons ces propriétés pour calculer la valeur de l'expression suivante :
Passons à la multiplication. Il existe des paires de nombres faciles à multiplier. En utilisant la propriété commutative, vous pouvez réorganiser les facteurs afin qu'ils soient adjacents. Le nombre d'inconvénients dans un produit peut être compté immédiatement et une conclusion peut être tirée sur le signe du résultat.
Considérez cet exemple :
Si d'après les facteurs égal à zéro, alors le produit est égal à zéro, par exemple : .
Le produit des nombres réciproques est égal à un et la multiplication par un ne change pas la valeur du produit. Considérez cet exemple :
Regardons un exemple utilisant propriété distributive. Si vous ouvrez les parenthèses, alors chaque multiplication est facile.
CHIFFRES RÉELS II
§ 36 Actions sur nombres rationnels
Comme vous le savez, deux fractions m / n Et k / je sont égaux, c'est-à-dire qu'ils représentent le même nombre rationnel, si et seulement si ml = nk .
Par exemple, 1 / 3 = 2 / 6, puisque 1 6 = 3 2 ; -5 / 7 = 10 / - 14 puisque (-5) (- 14) = 7 10 ; 0 / 1 = 0 / 5, puisque 0 5 = 1 0, etc.
Évidemment, pour tout entier r , différent de 0,
: m / n = m r / n r
Cela découle de l'égalité évidente T (n r ) = n (T r ). Par conséquent, tout nombre rationnel peut être représenté comme un rapport de deux nombres nombre infini façons. Par exemple,
5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 etc.,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 etc.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 etc.
Dans l’ensemble de tous les nombres rationnels, les opérations d’addition, de multiplication, de soustraction et de division (sauf division par zéro) sont réalisables. Rappelons comment ces actions sont déterminées.
Somme de deux nombres rationnels m / n Et k / je est déterminé par la formule:
Produit de deux nombres rationnels m / n Et k / je est déterminé par la formule:
m / n k / je = mk / nl (2)
Puisqu'un même nombre rationnel peut s'écrire de plusieurs manières (par exemple, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), il faudrait montrer que la somme et le produit des nombres rationnels ne dépendent pas de comment les termes ou les facteurs sont rédigés. Par exemple,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
etc. Cependant, la prise en compte de ces questions dépasse la portée de notre programme.
Lors de l'addition et de la multiplication de nombres rationnels, les lois fondamentales suivantes sont observées :
1) commutatif loi d'addition (ou commutative)
m / n + k / je = k / je + m / n
2) associatif(ou associative) loi d'addition :
( m / n + k / je ) + p / q = m / n + ( k / je + p / q )
3) commutatif loi (ou commutative) de multiplication :
m / n k / je = k / je m / n
4) associatif(ou associative) loi de multiplication :
( m / n k / je ) p / q = m / n ( k / je p / q )
5) distributif loi (ou distributive) de multiplication relative à l'addition :
( m / n + k / je ) p / q = m / n p / q + k / je p / q
L'addition et la multiplication sont basiques opérations algébriques. Quant à la soustraction et à la division, ces actions sont définies comme l'inverse de l'addition et de la multiplication.
La différence de deux nombres rationnels m / n Et k / je ce numéro s'appelle X , ce qui est au total avec k / je donne m / n . En d'autres termes, la différence m / n - k / je
k / je + x = m / n
On peut prouver qu'une telle équation a toujours une racine, et une seule :
Ainsi, la différence de deux nombres m / n Et k / je se trouve par la formule :
Si les chiffres m / n Et k / je sont égaux entre eux, alors leur différence devient nulle ; si ces nombres ne sont pas égaux, alors leur différence est soit positive, soit négative. À m / n - k / je > 0 est dit être un nombre m / n plus de numéro k / je ; si m / n - k / je < 0, то говорят, что число m / n moins de nombre k / je .
Le quotient d'un nombre rationnel m/ n par un nombre rationnel k/ je ce numéro s'appelle X, qui dans le produit avec k/ je donne m/ n . En d'autres termes, privé m/ n : k/ je est défini comme la racine de l'équation
k/ je X = m/ n .
Si k/ je =/= 0, alors équation donnée a une seule racine
X = ml/ nk
Si k/ je = 0, alors cette équation n’a aucune racine (pour m/ n =/= 0), ou a une infinité de racines (avec m/ n = 0). Afin de rendre l’opération de division réalisable de manière unique, nous convenons de ne pas du tout considérer la division par zéro. Ainsi, diviser un nombre rationnel m/ n par un nombre rationnel k/ je toujours défini à moins que k/ je =/= 0. En même temps
m/ n : k/ je = ml/ nk
Exercices
295. Calculer le plus de manière rationnelle et indiquer quelles lois d'action doivent être utilisées ;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24 ; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .
b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Dans cette leçon nous rappellerons les propriétés de base des opérations avec les nombres. Nous passerons non seulement en revue les propriétés de base, mais apprendrons également comment les appliquer aux nombres rationnels. Nous consoliderons toutes les connaissances acquises en résolvant des exemples.
Propriétés de base des opérations avec des nombres :
Les deux premières propriétés sont des propriétés d’addition, les deux suivantes sont des propriétés de multiplication. La cinquième propriété s'applique aux deux opérations.
Il n'y a rien de nouveau dans ces propriétés. Ils étaient valables pour les nombres naturels et entiers. Ils sont également vrais pour les nombres rationnels et le seront également pour les nombres que nous étudierons ensuite (par exemple, les nombres irrationnels).
Propriétés de permutation :
Réorganiser les termes ou les facteurs ne change pas le résultat.
Propriétés combinées :, .
L'ajout ou la multiplication de plusieurs nombres peut être effectué dans n'importe quel ordre.
Propriété de répartition :.
La propriété relie les deux opérations - addition et multiplication. De plus, si vous le lisez de gauche à droite, cela s'appelle la règle pour ouvrir les parenthèses, et si dans le sens opposé, cela s'appelle la règle pour placer le facteur commun hors des parenthèses.
Les deux propriétés suivantes décrivent éléments neutres pour l'addition et la multiplication : ajouter zéro et multiplier par un ne change pas le nombre d'origine.
Deux autres propriétés qui décrivent éléments symétriques pour l'addition et la multiplication, la somme des nombres opposés est nulle ; le produit des nombres réciproques est égal à un.
Propriété suivante : . Si un nombre est multiplié par zéro, le résultat sera toujours zéro.
La dernière propriété que nous examinerons est : .
En multipliant un nombre par , on obtient le nombre opposé. Cette propriété a une particularité. Toutes les autres propriétés considérées n'ont pas pu être prouvées à l'aide des autres. La même propriété peut être démontrée en utilisant les précédentes.
Multiplier par
Montrons que si l'on multiplie un nombre par , on obtient le nombre opposé. Pour cela nous utilisons la propriété de distribution : .
Cela est vrai pour tous les nombres. Remplaçons et au lieu du nombre :
À gauche entre parenthèses se trouve la somme de nombres mutuellement opposés. Leur somme est nulle (on a une telle propriété). A gauche maintenant. A droite, on obtient : .
Nous avons maintenant zéro à gauche et la somme de deux nombres à droite. Mais si la somme de deux nombres est nulle, alors ces nombres sont opposés. Mais le nombre n'a qu'un seul opposé : . Voilà donc ce que c'est : .
La propriété a été prouvée.
Une telle propriété, qui peut être démontrée à l’aide de propriétés précédentes, est appelée théorème
Pourquoi n’y a-t-il pas de propriétés de soustraction et de division ici ? Par exemple, on pourrait écrire la propriété distributive pour la soustraction : .
Mais depuis :
- La soustraction de n'importe quel nombre peut s'écrire de manière équivalente comme une addition en remplaçant le nombre par son opposé :
- La division peut s'écrire sous la forme d'une multiplication par son inverse :
Cela signifie que les propriétés d’addition et de multiplication peuvent être appliquées à la soustraction et à la division. En conséquence, la liste des propriétés à retenir est plus courte.
Toutes les propriétés que nous avons considérées ne sont pas exclusivement des propriétés de nombres rationnels. D'autres nombres, par exemple les nombres irrationnels, obéissent également à toutes ces règles. Par exemple, la somme de son opposé est nulle : .
Nous allons maintenant passer à la partie pratique, en résolvant plusieurs exemples.
Les nombres rationnels dans la vie
Les propriétés des objets que nous pouvons décrire quantitativement, désigner par un certain nombre, sont appelées valeurs: longueur, poids, température, quantité.
La même quantité peut être désignée à la fois par un entier et par une fraction, positive ou négative.
Par exemple, votre taille m est un nombre fractionnaire. Mais on peut dire qu'il est égal à cm - c'est déjà un nombre entier (Fig. 1).
Riz. 1. Illustration par exemple
Un autre exemple. Une température négative sur l’échelle Celsius sera positive sur l’échelle Kelvin (Fig. 2).
Riz. 2. Illustration par exemple
Lors de la construction du mur d’une maison, une personne peut mesurer la largeur et la hauteur en mètres. Il produit des quantités fractionnaires. Il effectuera tous les autres calculs avec des nombres fractionnaires (rationnels). Une autre personne peut tout mesurer en nombre de briques en largeur et en hauteur. N'ayant reçu que des valeurs entières, il effectuera des calculs avec des nombres entiers.
Les quantités elles-mêmes ne sont ni entières ni fractionnaires, ni négatives ni positives. Mais le nombre avec lequel on décrit la valeur d'une quantité est déjà assez spécifique (par exemple, négatif et fractionnaire). Cela dépend de l'échelle de mesure. Et quand on passe de quantités réelles à un modèle mathématique, on travaille avec un type spécifique de nombres
Commençons par l'addition. Les termes peuvent être réorganisés de la manière qui nous convient et les actions peuvent être exécutées dans n'importe quel ordre. Si les termes de différents signes se terminent par le même chiffre, il est alors pratique d'effectuer d'abord des opérations avec eux. Pour ce faire, échangeons les termes. Par exemple:
Les fractions communes ayant les mêmes dénominateurs sont faciles à additionner.
Les nombres opposés totalisent zéro. Les nombres ayant les mêmes queues décimales sont faciles à soustraire. En utilisant ces propriétés, ainsi que la loi d'addition commutative, vous pouvez faciliter le calcul de la valeur, par exemple, de l'expression suivante :
Les nombres avec des queues décimales complémentaires sont faciles à additionner. Il est pratique de travailler séparément avec les parties entières et fractionnaires de nombres fractionnaires. Nous utilisons ces propriétés pour calculer la valeur de l'expression suivante :
Passons à la multiplication. Il existe des paires de nombres faciles à multiplier. En utilisant la propriété commutative, vous pouvez réorganiser les facteurs afin qu'ils soient adjacents. Le nombre d'inconvénients dans un produit peut être compté immédiatement et une conclusion peut être tirée sur le signe du résultat.
Considérez cet exemple :
Si l'un des facteurs est égal à zéro, alors le produit est égal à zéro, par exemple : .
Le produit des nombres réciproques est égal à un et la multiplication par un ne change pas la valeur du produit. Considérez cet exemple :
Regardons un exemple utilisant la propriété distributive. Si vous ouvrez les parenthèses, alors chaque multiplication est facile.
