Modélisation mathématique. Détermination des caractéristiques dominantes de classification et développement d'un modèle mathématique d'images d'expressions faciales

Modèle mathématique- une description approximative de l'objet à modéliser, exprimée à l'aide de symboles mathématiques.

Les modèles mathématiques sont apparus avec les mathématiques il y a plusieurs siècles. L’avènement des ordinateurs a donné une impulsion considérable au développement de la modélisation mathématique. L'utilisation des ordinateurs a permis d'analyser et d'appliquer dans la pratique de nombreux modèles mathématiques qui ne se prêtaient auparavant pas à la recherche analytique. Modèle mathématique mis en œuvre par ordinateur appelé modèle mathématique informatique, UN effectuer des calculs ciblés à l'aide modèle informatique appelé expérience informatique.

Les étapes de la modélisation mathématique informatique sont présentées sur la figure. Première étape- détermination des objectifs de modélisation. Ces objectifs peuvent être différents :

1) un modèle est nécessaire pour comprendre comment un objet spécifique est structuré, quelle est sa structure, ses propriétés fondamentales, les lois du développement et de l'interaction avec le monde extérieur (compréhension) ;

2) un modèle est nécessaire pour apprendre à contrôler un objet (ou un processus) et à déterminer les meilleurs moyens gestion avec des objectifs et des critères donnés (gestion);

3) le modèle est nécessaire pour prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre de méthodes et de formes d'influence données sur l'objet (prévision).

Expliquons avec des exemples. Soit l'objet d'étude l'interaction d'un flux de liquide ou de gaz avec un corps faisant obstacle à ce flux. L'expérience montre que la force de résistance à l'écoulement de la part du corps augmente avec l'augmentation de la vitesse d'écoulement, mais à une vitesse suffisamment élevée, cette force diminue brusquement, de sorte qu'avec une nouvelle augmentation de la vitesse, elle augmente à nouveau. Quelle est la cause de la diminution de la force de résistance ? La modélisation mathématique permet d'obtenir une réponse claire : au moment d'une diminution brutale de la résistance, les tourbillons formés dans l'écoulement de liquide ou de gaz derrière le corps caréné commencent à s'en détacher et sont emportés par l'écoulement.

Un exemple venu d'un tout autre domaine : des populations de deux espèces d'individus qui coexistaient pacifiquement avec des effectifs stables et disposaient d'un approvisionnement alimentaire commun, commencent « soudainement » à changer brusquement leurs effectifs. Et ici la modélisation mathématique permet (avec un certain degré de fiabilité) d'établir la cause (ou du moins de réfuter une certaine hypothèse).

Développer un concept de gestion d'un objet est un autre objectif possible de la modélisation. Quel mode de vol de l'avion dois-je choisir pour garantir que le vol soit sûr et le plus rentable économiquement ? Comment planifier des centaines de types de travaux pour la construction d'une grande installation afin qu'elle soit achevée le plus rapidement possible court terme? Beaucoup de ces problèmes se posent systématiquement aux économistes, aux concepteurs et aux scientifiques.

Enfin, prédire les conséquences de certains impacts sur un objet peut être une tâche relativement simple en termes simples. systèmes physiques, et extrêmement complexe - sur le point d'être réalisable - dans les systèmes biologiques, économiques et sociaux. S'il est relativement facile de répondre à la question des modifications du mode de répartition de la chaleur dans une tige mince dues aux modifications de son alliage constitutif, il est incomparablement plus difficile de retracer (prédire) les conséquences environnementales et climatiques de la construction d'un grand centrale hydroélectrique ou les conséquences sociales des changements de législation fiscale. Peut-être qu’ici aussi, les méthodes de modélisation mathématique apporteront à l’avenir une aide plus significative.

Seconde phase: détermination des paramètres d'entrée et de sortie du modèle ; division des paramètres d'entrée selon le degré d'importance de l'influence de leurs modifications sur la sortie. Ce processus est appelé classement, ou séparation par rang (voir . “Formalisation et modélisation”).

Troisième étape: construction d'un modèle mathématique. A ce stade, on passe d'une formulation abstraite du modèle à une formulation ayant une représentation mathématique spécifique.

Modèle mathématique- ce sont des équations, des systèmes d'équations, des systèmes d'inégalités, des équations différentielles ou des systèmes de telles équations, etc.

Quatrième étape: choisir une méthode pour étudier un modèle mathématique. Le plus souvent, on utilise ici des méthodes numériques qui se prêtent bien à la programmation. En règle générale, plusieurs méthodes conviennent pour résoudre le même problème, différant par leur précision, leur stabilité, etc. Depuis le bon choix La méthode dépend souvent du succès de l’ensemble du processus de modélisation.

Cinquième étape: le développement d'un algorithme, la compilation et le débogage d'un programme informatique est un processus difficile à formaliser. Parmi les langages de programmation, de nombreux professionnels préfèrent FORTRAN pour la modélisation mathématique : à la fois en raison des traditions et en raison de l'efficacité inégalée des compilateurs (pour le travail de calcul) et de la disponibilité d'énormes bibliothèques soigneusement déboguées et optimisées de programmes standards pour les méthodes mathématiques écrites dedans. . Des langages tels que PASCAL, BASIC, C sont également utilisés, selon la nature de la tâche et les inclinations du programmeur.

Sixième étape: test du programme. Le fonctionnement du programme est testé sur un problème de test avec une réponse préalablement connue. Ce n’est que le début d’une procédure de test difficile à décrire de manière formelle et exhaustive. En règle générale, les tests se terminent lorsque l'utilisateur, sur la base de ses caractéristiques professionnelles, considère le programme comme correct.

Septième étape: l'expérience informatique proprement dite, au cours de laquelle il est déterminé si le modèle correspond à un objet réel (processus). Le modèle est suffisamment adapté au processus réel si certaines caractéristiques du processus obtenues sur ordinateur coïncident avec les caractéristiques obtenues expérimentalement avec un degré de précision donné. Si le modèle ne correspond pas au processus réel, on revient à une des étapes précédentes.

Classification modèles mathématiques

La classification des modèles mathématiques peut reposer sur divers principes. Vous pouvez classer les modèles par branches scientifiques (modèles mathématiques en physique, biologie, sociologie, etc.). Peut être classé selon l'appareil mathématique utilisé (modèles basés sur l'utilisation de mathématiques ordinaires) équations différentielles, équations aux dérivées partielles, méthodes stochastiques, discrètes transformations algébriques etc.). Enfin, sur la base de Tâches communes modélisation dans différentes sciences, quel que soit l'appareil mathématique, la classification la plus naturelle est :

· modèles descriptifs (descriptifs);

· modèles d'optimisation ;

· modèles multicritères ;

· modèles de jeux.

Expliquons cela avec des exemples.

Modèles descriptifs (descriptifs). Par exemple, la modélisation du mouvement d'une comète ayant envahi le système solaire est réalisée pour prédire sa trajectoire de vol, la distance à laquelle elle passera de la Terre, etc. Dans ce cas, les objectifs de modélisation sont de nature descriptive, puisqu'il n'y a aucun moyen d'influencer le mouvement de la comète ou d'y changer quoi que ce soit.

Modèles d'optimisation sont utilisés pour décrire les processus qui peuvent être influencés pour tenter d’atteindre un objectif donné. Dans ce cas, le modèle comprend un ou plusieurs paramètres pouvant être influencés. Par exemple, lors du changement du régime thermique dans un grenier, vous pouvez vous fixer pour objectif de choisir un régime qui permettra d'atteindre une sécurité maximale des grains, c'est-à-dire optimiser le processus de stockage.

Modèles multicritères. Il est souvent nécessaire d’optimiser un processus selon plusieurs paramètres simultanément, et les objectifs peuvent être assez contradictoires. Par exemple, connaissant les prix des denrées alimentaires et les besoins alimentaires d’une personne, vous devez organiser les repas Grands groupes personnes (dans l'armée, dans un camp d'été pour enfants, etc.) est physiologiquement correct et, en même temps, aussi bon marché que possible. Il est clair que ces objectifs ne coïncident pas du tout, c'est-à-dire Lors de la modélisation, plusieurs critères seront utilisés, entre lesquels un équilibre devra être recherché.

Modèles de jeu peut concerner non seulement jeux d'ordinateur, mais aussi à des choses très sérieuses. Par exemple, avant une bataille, un commandant, s'il existe des informations incomplètes sur l'armée adverse, doit élaborer un plan : dans quel ordre introduire certaines unités dans la bataille, etc., en tenant compte de la réaction possible de l'ennemi. Il existe une branche particulière des mathématiques modernes - la théorie des jeux - qui étudie les méthodes de prise de décision dans des conditions d'information incomplète.

Dans le cours d'informatique de l'école, les étudiants reçoivent une première compréhension de la modélisation mathématique informatique dans le cadre du cours de base. Au lycée, la modélisation mathématique peut être étudiée en profondeur dans cours de formation générale pour les cours de physique et de mathématiques, ainsi que dans le cadre d'un cours au choix spécialisé.

Les principales formes d'enseignement de la modélisation mathématique informatique au lycée sont les cours magistraux, les cours de laboratoire et les tests. En règle générale, le travail de création et de préparation à l'étude de chaque nouveau modèle prend 3 à 4 leçons. Au cours de la présentation du matériel, des problèmes sont posés qui doivent être résolus par les étudiants de manière indépendante à l'avenir, et les moyens de les résoudre sont décrits en termes généraux. Des questions sont formulées, dont les réponses doivent être obtenues lors de l'exécution des tâches. Indiqué littérature supplémentaire, qui vous permet d'obtenir des informations auxiliaires pour une meilleure réussite des tâches.

La forme d'organisation des cours lors de l'étude de nouveaux matériaux est généralement un cours magistral. Après avoir terminé la discussion sur le modèle suivant, les étudiants disposent des informations théoriques nécessaires et d'un ensemble de tâches pour la poursuite des travaux. En préparation à l'accomplissement de la tâche, les élèves choisissent méthode appropriée solutions, en utilisant une solution privée bien connue pour tester le programme développé. En cas de difficultés tout à fait possibles dans l'accomplissement des tâches, une consultation est donnée, et il est proposé d'étudier plus en détail ces sections dans les sources littéraires.

Le plus pertinent pour la partie pratique de la formation modélisation informatique est la méthode projet. La tâche est formulée pour l'étudiant sous la forme d'un projet pédagogique et se déroule sur plusieurs cours, et la principale forme d'organisation est informatique travaux de laboratoire. Formation à la modélisation par la méthode projets éducatifs peut être mis en œuvre à différents niveaux.
D'abord- une présentation problématique du processus de réalisation du projet, animée par l'enseignant.
Deuxième- mise en œuvre du projet par les étudiants sous la direction de l'enseignant.
Troisième- mise en œuvre indépendante par les étudiants d'un projet de recherche pédagogique.

Les résultats des travaux doivent être présentés sous forme numérique, sous forme de graphiques et de schémas. Si possible, le processus est présenté sur l'écran de l'ordinateur de manière dynamique. Une fois les calculs terminés et la réception des résultats, ceux-ci sont analysés et comparés avec faits connusà partir de la théorie, la fiabilité est confirmée et une interprétation significative est faite, qui est ensuite reflétée dans un rapport écrit.

Si les résultats satisfont l'étudiant et l'enseignant, alors le travail est considéré comme terminé et sa dernière étape est la préparation d'un rapport. Le rapport comprend de brèves informations théoriques sur le sujet étudié, une formulation mathématique du problème, un algorithme de solution et sa justification, un programme informatique, les résultats du programme, une analyse des résultats et des conclusions et une liste de références.

Lorsque tous les rapports ont été compilés, les élèves présentent leur messages courts sur le travail réalisé, défendre leur projet. C'est forme efficace rapport du groupe réalisant le projet à la classe, comprenant la définition du problème, la construction d'un modèle formel, le choix des méthodes de travail avec le modèle, la mise en œuvre du modèle sur ordinateur, le travail avec le modèle fini, l'interprétation des résultats, la prévision. En conséquence, les étudiants peuvent recevoir deux notes : la première - pour l'élaboration du projet et la réussite de sa soutenance, la seconde - pour le programme, l'optimalité de son algorithme, de son interface, etc. Les étudiants reçoivent également des notes lors de quiz théoriques.

Une question essentielle est de savoir quels outils utiliser dans un cours d’informatique scolaire pour la modélisation mathématique ? La mise en œuvre informatique des modèles peut être réalisée :

· en utilisant un tableur (généralement MS Excel) ;

· en créant des programmes dans les langages de programmation traditionnels (Pascal, BASIC, etc.), ainsi que dans leurs versions modernes (Delphi, Visual Basic for Application, etc.) ;

· utiliser des packages d'applications spéciaux pour résoudre des problèmes mathématiques (MathCAD, etc.).

Au niveau scolaire de base, la première méthode semble être préférable. Cependant, dans lycée Lorsque la programmation est, avec la modélisation, un sujet clé en informatique, il est souhaitable de l’utiliser comme outil de modélisation. Au cours du processus de programmation, les détails des procédures mathématiques deviennent accessibles aux étudiants ; De plus, ils sont simplement obligés de les maîtriser, ce qui contribue également à l'éducation mathématique. Quant à l'utilisation de progiciels spécifiques, elle convient dans un cours spécialisé d'informatique en complément d'autres outils.

INTRODUCTION

Objets monde matériel complexe et diversifié. Refléter toutes leurs propriétés dans les images créées, étudiées et utilisées est très difficile, voire pas nécessaire. Il est important que l'image de l'objet contienne les caractéristiques les plus importantes pour son utilisation. La méthode de modélisation consiste à remplacer l'objet original par un objet de substitution présentant une certaine similitude avec l'original, afin d'obtenir. nouvelle informationà propos de l'original. Un modèle est un objet de substitution à l'objet original, conçu pour obtenir des informations sur l'original.

Les modèles mathématiques appartiennent aux modèles symboliques et représentent une description d'objets sous la forme symboles mathématiques, formules, expressions. Si vous disposez d’un modèle mathématique suffisamment précis, vous pouvez utiliser des calculs mathématiques pour prédire les résultats du fonctionnement d’un objet dans diverses conditions et choisir parmi une variété d’options possibles celle qui donne les meilleurs résultats.

Cet article fournit des types de classification des méthodes de modélisation mathématique et décrit certaines méthodes :

La programmation linéaire est une méthode de modélisation mathématique utilisée pour trouver la répartition optimale de ressources limitées entre des emplois concurrents.

Modélisation par simulation. Le but de la modélisation par simulation est de reproduire le comportement du système étudié à partir des résultats de l'analyse des relations les plus significatives entre ses éléments ou, en d'autres termes, de développer un simulateur du système étudié. Domaine pour réaliser diverses expériences.

Classification des méthodes de modélisation mathématique

En raison de la variété des modèles mathématiques utilisés, ils classification générale difficile. Dans la littérature, les classifications sont généralement données en fonction de différentes approches et principes.

Selon le niveau hiérarchique les modèles mathématiques sont divisés en modèles de niveau micro, de niveau macro et de niveau méta. Les modèles mathématiques au niveau micro du processus reflètent les processus physiques se produisant, par exemple, lors de la découpe des métaux. Ils décrivent les processus au niveau de la transition (passage).

Les modèles mathématiques au niveau macro du processus décrivent les processus technologiques.

Les modèles mathématiques au méta-niveau du processus décrivent les systèmes technologiques (sections, ateliers, l'entreprise dans son ensemble).

Par la nature des propriétés affichées de l'objet les modèles peuvent être classés en structurels et fonctionnels

Un modèle structurel est s'il peut être représenté par une ou plusieurs structures de données et des relations entre elles. À son tour, un modèle structurel peut être hiérarchique ou en réseau.

Le modèle est hiérarchique (arborescent), – s’il peut être représenté par une structure hiérarchique (arbre) ; par exemple, pour résoudre le problème de la recherche d'un itinéraire dans un arbre de recherche, vous pouvez créer un modèle d'arbre illustré à la figure 1.

Figure 1 - Modèle de structure hiérarchique.

Le modèle est un réseau - s'il est représenté par une structure de réseau. Par exemple, la construction d'une nouvelle maison comprend diverses opérations qui peuvent être représentées sous la forme d'un modèle de réseau illustré à la figure 2.

Figure 2 - Modèle de structure de réseau.

Un modèle est fonctionnel s’il peut être représenté comme un système de relations fonctionnelles. Par exemple, la loi de Newton et le modèle de production de biens sont fonctionnels.

En guise de représentation des propriétés d'un objet les modèles sont divisés en analytiques, numériques, algorithmiques et simulation.

Les modèles mathématiques analytiques sont des expressions mathématiques explicites des paramètres de sortie en fonction des paramètres d'entrée et internes et ont des solutions uniques pour tout conditions initiales. Par exemple, le processus de découpe (tournage) du point de vue des forces agissantes est un modèle analytique. De plus, une équation quadratique ayant une ou plusieurs solutions sera un modèle analytique. Le modèle sera numérique s'il a des solutions dans des conditions initiales spécifiques (équations différentielles, intégrales).

Un modèle est algorithmique s'il est décrit par un algorithme ou un ensemble d'algorithmes qui déterminent son fonctionnement et son développement. Introduction de ce genre modèles (en effet, il semble que tout modèle puisse être représenté par un algorithme pour son étude) est tout à fait justifié, puisque tous les modèles ne peuvent pas être étudiés ou mis en œuvre de manière algorithmique. Par exemple, un modèle de calcul de la somme d'une série infinie décroissante de nombres peut être un algorithme de calcul le montant final séries avec un certain degré de précision. Un modèle algorithmique de la racine carrée d'un nombre X peut être un algorithme permettant de calculer sa valeur approximative et arbitrairement précise à l'aide d'une formule récurrente connue.

Un modèle de simulation est s'il est destiné à tester ou étudier les cheminements possibles de développement et de comportement d'un objet en faisant varier tout ou partie des paramètres du modèle, par exemple un modèle système économique production de deux types de biens. Un tel modèle peut être utilisé comme modèle de simulation pour déterminer et faire varier le coût total en fonction de certaines valeurs du volume de biens produits.

Par mode de réception les modèles sont divisés en théoriques et empiriques. Les modèles mathématiques théoriques sont créés à la suite de l'étude d'objets (processus) à un niveau théorique. Par exemple, il existe des expressions pour les forces de coupe obtenues sur la base de la généralisation lois physiques. Mais ils sont inacceptables pour utilisation pratique, car ils sont très lourds et pas entièrement adaptés aux processus réels. Les modèles mathématiques empiriques sont créés à la suite d'expériences (étude des manifestations externes des propriétés d'un objet en mesurant ses paramètres en entrée et en sortie) et du traitement de leurs résultats à l'aide de méthodes statistiques mathématiques.

Selon la forme de représentation des propriétés de l'objet les modèles sont divisés en logiques, théoriques des ensembles et graphiques. Un modèle est logique s'il peut être représenté par des prédicats et des fonctions logiques ; par exemple, un ensemble de deux fonctions logiques peut servir de modèle mathématique d'un additionneur à un bit. Un modèle est de théorie des ensembles s'il est représentable à l'aide de certains ensembles et de relations d'appartenance à eux et entre eux. Un modèle graphique est s'il peut être représenté par un ou plusieurs graphiques et les relations entre eux.

Selon le degré de stabilité. les modèles peuvent être divisés en stables et instables. Un système stable est un système qui, après avoir été éloigné de son état initial, y tend. Il peut osciller pendant un certain temps autour du point de départ, comme un pendule ordinaire mis en mouvement, mais les perturbations qu'il contient s'estompent avec le temps et disparaissent dans un système instable, initialement au repos, la perturbation qui en résulte s'intensifie, provoquant une augmentation de. les valeurs des variables correspondantes ou leurs oscillations d'amplitude croissante

Par rapport aux facteurs externes les modèles peuvent être divisés en ouverts et fermés. Un modèle fermé est un modèle qui fonctionne sans lien avec des variables externes (exogènes). Dans un modèle fermé, les changements dans les valeurs des variables au fil du temps sont déterminés par l'interaction interne des variables elles-mêmes. Un modèle en boucle fermée peut révéler le comportement d'un système sans introduire de variable externe. Exemple : les systèmes d'information avec retour sont des systèmes fermés. Ce sont des systèmes à réglage automatique et leurs caractéristiques découlent de la structure interne et des interactions qui reflètent les données d'entrée. informations externes. Un modèle associé à des variables externes (exogènes) est dit ouvert.

Par rapport au facteur temps les modèles sont divisés en dynamiques et statiques. Un modèle est dit statique s'il n'y a pas de paramètre temporel parmi les paramètres impliqués dans sa description. Un modèle est appelé modèle dynamique si parmi ses paramètres il y a un paramètre temporel, c'est-à-dire qu'il affiche le système (les processus dans le système) dans le temps. simultanément.

Programmation linéaire

Parmi les tâches programmation mathématique les plus simples (et les mieux étudiés) sont les soi-disant problèmes programmation linéaire. Ce qui les caractérise, c'est que :

a) indicateur d'efficacité (fonction objectif) W dépend linéairement des éléments de solution x 1, x 2, ....., x n et

b) les restrictions imposées aux éléments de la solution prennent la forme d'égalités ou d'inégalités linéaires par rapport à x 1, x 2, ..., x n

De tels problèmes se rencontrent assez souvent dans la pratique, par exemple lors de la résolution de problèmes liés à la répartition des ressources, à la planification de la production, à l'organisation des transports, etc. Ceci est naturel, car dans de nombreux problèmes pratiques, les « dépenses » et les « revenus » dépendent linéairement de le nombre de marchandises achetées ou cédées (par exemple, le coût total d'un envoi de marchandises dépend linéairement du nombre d'unités achetées ; le paiement du transport s'effectue au prorata du poids des marchandises transportées, etc.).

Tout problème de programmation linéaire peut être réduit à une forme standard, dite « problème de programmation linéaire de base » (OBLP), qui est formulée comme suit : trouver des valeurs non négatives des variables x 1, x 2, .. ., x n qui satisferait aux conditions d’égalité ( 1).

Le cas où f doit être tourné non pas vers un maximum, mais vers c. le minimum peut facilement être réduit au précédent si l'on change simplement le signe de f en l'opposé (maximiser non pas f, mais f" = - f). De plus, à partir de n'importe quelle condition d'inégalité, on peut passer à des conditions d'égalité au prix d'introduire de nouvelles variables supplémentaires.

Selon le type de fonction objectif et les restrictions, on peut distinguer plusieurs types de problèmes de programmation linéaire ou de modèles linéaires : problème linéaire général, problème de transport, problème d'affectation.

Tâche de transport(Problème de Monge-Kantorovitch) est un problème de programmation mathématique linéaire d'un type particulier visant à trouver la répartition optimale d'objets homogènes de l'accumulateur aux récepteurs tout en minimisant le coût de déplacement. Pour faciliter la compréhension, il s'agit du problème du plan optimal de transport des marchandises des points de départ aux points de consommation, avec des coûts de transport minimes.

Le problème d’affectation est formulé comme suit :

Il y a un certain nombre d'œuvres et un certain nombre d'interprètes. N’importe quel artiste peut être chargé d’exécuter n’importe quel travail (mais un seul), mais à des coûts inégaux. Il est nécessaire de répartir les travaux de manière à réaliser les travaux avec des coûts minimes. Si le nombre d'emplois et d'interprètes coïncide, alors le problème est appelé problème d'affectation linéaire.

Il existe plusieurs manières de résoudre un problème de programmation linéaire, notamment la méthode graphique et la méthode du simplexe. La méthode graphique est basée sur l'interprétation géométrique d'un problème de programmation linéaire et est utilisée pour résoudre des problèmes dans un espace bidimensionnel. Les problèmes de l'espace tridimensionnel sont très rarement résolus, car construire leur solution est peu pratique et manque de clarté. Considérons la méthode en utilisant l'exemple d'un problème bidimensionnel.

Trouver une solution X = (x 1,x 2) qui satisfait le système d'inégalités (3)

auquel la valeur de la fonction objectif F = 2x 1 x 2 atteint son maximum.

Construisons une région sur le plan dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes x 1 Ox 2 solutions admissibles Tâches.

Chacune des droites construites divise le plan en deux demi-plans. Les coordonnées des points d’un demi-plan satisfont à l’inégalité d’origine, mais pas l’autre. Pour déterminer le demi-plan souhaité, vous devez prendre un point appartenant à l'un des demi-plans et vérifier si ses coordonnées satisfont à cette inégalité. Si les coordonnées d'un point pris satisfont à cette inégalité, alors le demi-plan recherché est le demi-plan auquel appartient ce point. Sinon, un autre demi-avion.

Trouvons le demi-plan défini par l'inégalité x 1 -x 2 ≥-3. Pour ce faire, après avoir construit une droite (I) x 1 -x 2 = -3, on prend un point appartenant à l'un des deux demi-plans résultants, par exemple le point O(0,0). Les coordonnées de ce point satisfont à l'inégalité x 1 -x 2 ≥-3. Cela signifie que le demi-plan auquel appartient le point O(0,0) est déterminé par l'inégalité x 1 -x 2 ≥-3.

Trouvons maintenant le demi-plan défini par l'inégalité 6x1+7x 2 ≤42.

Nous construisons la ligne II 6x 1 +7x 2 =42. Les coordonnées du point O(0,0) satisfont l'inégalité 6x 1 + 7x 2 ≤42, ce qui signifie que le demi-plan recherché sera le deuxième.

Nous recherchons maintenant un demi-plan pour l'inégalité 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Les coordonnées du point O(0,0) satisfont les inégalités 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Par conséquent, le demi-plan auquel appartient le point O(0,0) est déterminé par l'inégalité 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (Ligne III).

Et le demi-plan pour l'inégalité x 1 + x 2 ≥4. Les coordonnées du point O(0,0) satisfont l'inégalité x 1 + x 2 ≥4 (Droite IV). La droite x 1 + x 2 =4 est donc déterminée par le premier demi-plan.

Les inégalités x 1 ≥0 et x 2 ≥0 signifient que la région solution sera située à droite de l'axe des ordonnées et au dessus de l'axe des abscisses. Ainsi, la région ombrée ABCD sur la figure 3 sera la région des solutions réalisables déterminées par les contraintes du problème. La fonction objectif prend sa valeur maximumà l'un des sommets de la figure ABCD. Pour déterminer ce sommet, nous construisons un vecteur C (2; -1) et une droite 2x 1 -x 2 =p, où p est une constante telle que la droite 2x 1 -x 2 =p ait des points communs avec le polygone de solution. Posons par exemple p=1/2 et construisons une droite 2 x 1 -x 2 =1/2. Ensuite, nous déplacerons la ligne construite dans la direction du vecteur jusqu'à ce qu'elle passe par son dernier point commun avec le polygone solution. Les coordonnées du point spécifié déterminent le plan optimal pour cette tâche.

La figure 3 montre que le dernier point commun de la droite 2x 1 -x 2 =p avec le polygone solution est le point A. Ce point est l'intersection des droites II et III, ses coordonnées sont donc trouvées comme solution du système d'équations définissant ces droites :

Dans ce cas, la valeur de la fonction objectif F = 2 x 1 -x 2 = 2* 5,25 – 1 *1,5 = 9.

Le point B sera la solution optimale au problème X opt = (x 1 opt, x 2 opt) et ses coordonnées seront égales à x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Figure 3 - Région de solutions réalisables au problème

Simplexe - méthode

Cette méthode est une méthode d'énumération ciblée de solutions de référence à un problème de programmation linéaire. Il permet numéro finalétapes pour soit trouver une solution optimale, soit établir qu’il n’existe pas de solution optimale.

1) Indiquer une méthode pour trouver la solution de référence optimale.

2) Indiquer la méthode de transition d'une solution de référence à une autre, à laquelle la valeur de la fonction objectif sera plus proche de la valeur optimale, c'est-à-dire indiquer un moyen d’améliorer la solution de référence.

3) Définissez des critères qui vous permettent d'arrêter rapidement de rechercher des solutions d'assistance à la solution optimale ou de tirer une conclusion sur l'absence de solution optimale.

Afin de résoudre un problème à l'aide de la méthode du simplexe, vous devez procéder comme suit :

1) Amener le problème sous forme canonique.

2) Trouver la solution de support initiale avec une « base unitaire » (s'il n'y a pas de solution de support, alors le problème n'a pas de solution en raison de l'incompatibilité du système de contraintes).

3) Calculez les estimations des décompositions vectorielles basées sur la solution de référence et remplissez le tableau de la méthode simplexe.

4) Si le critère d'unicité de la solution optimale est satisfait, alors la solution du problème se termine. Si la condition d’existence d’un ensemble de solutions optimales est remplie, alors toutes les solutions optimales sont trouvées par simple énumération.

L'efficacité de calcul des méthodes mathématiques est généralement évaluée à l'aide de deux paramètres :

1) Le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une solution ;

2) Coût du temps informatique.

À la suite d'expériences numériques, les résultats suivants ont été obtenus pour la méthode du simplexe :

1) Le nombre d'itérations lors de la résolution de problèmes de programmation linéaire sous forme standard avec contraintes et variables est compris entre et . Nombre moyen d'itérations. La limite supérieure du nombre d’itérations est .

2) Le temps machine requis est proportionnel à .

Le nombre de contraintes a un impact plus important sur l'efficacité du calcul que le nombre de variables. Par conséquent, lors de la formulation de problèmes de programmation linéaire, il convient de s'efforcer de réduire le nombre de contraintes, même en augmentant le nombre de variables.

Concepts de base de la méthode de simulation.

Le terme « modélisation de simulation » (« modèle de simulation ») désigne généralement le calcul des valeurs de certaines caractéristiques d'un processus se développant dans le temps en reproduisant le déroulement de ce processus sur un ordinateur à l'aide de son modèle mathématique, et c'est soit impossible, soit extrêmement difficile d'obtenir les résultats souhaités par d'autres méthodes. La reproduction du flux d'un processus sur un ordinateur à l'aide d'un modèle mathématique est généralement appelée expérience de simulation.

Les modèles de simulation appartiennent à la classe des modèles qui constituent un système de relations entre les caractéristiques du processus décrit. Ces caractéristiques sont divisées en internes (« endogènes », « variables de phase ») et externes (« exogènes », « paramètres »). Environ caractéristiques internes- ce sont ceux dont les valeurs sont destinées à être déterminées à l'aide d'outils de modélisation mathématique ; externe - ceux dont dépendent de manière significative les caractéristiques internes, mais la dépendance inverse (avec une précision pratiquement acceptable) ne se produit pas.

Un modèle capable de prédire les valeurs des caractéristiques internes doit être fermé (« modèle fermé »), dans le sens où ses relations permettent de calculer des caractéristiques internes à partir de caractéristiques externes connues. La procédure permettant de déterminer les caractéristiques externes d'un modèle est appelée son identification, ou calage. Les modèles mathématiques de la classe décrite (ceux-ci incluent les modèles de simulation) définissent une cartographie qui permet d'obtenir valeurs connues caractéristiques externes et valeurs internes. Dans la suite, cette cartographie sera appelée cartographie associée au modèle.

Les modèles de la classe considérée sont basés sur le postulat de l'indépendance des caractéristiques externes des caractéristiques internes, et les relations du modèle sont une forme d'enregistrement de la cartographie qui lui est associée. Comme le montre la figure 4, lors du processus de simulation, le chercheur traite quatre éléments principaux :

Système réel ;

Modèle logico-mathématique de l'objet simulé ;

Modèle de simulation (machine);

L'ordinateur sur lequel la simulation est effectuée est une expérience informatique dirigée.

Le chercheur étudie un système réel, développe un modèle logico-mathématique d'un système réel. Le caractère de simulation de l'étude présuppose la présence de modèles logiques ou logico-mathématiques qui décrivent le processus étudié. Ci-dessus, un système réel a été défini comme un ensemble d’éléments en interaction fonctionnant dans le temps. Caractère composé système complexe décrit la représentation de son modèle sous la forme de trois ensembles : A, S, T, où
A est un ensemble d'éléments (y compris environnement externe);
S – ensemble de connexions admissibles entre les éléments (structure du modèle) ;
T est l'ensemble des points temporels considérés.

Figure 4 Processus de simulation

Une caractéristique de la modélisation par simulation est que le modèle de simulation permet de reproduire les objets simulés :

Tout en conservant leur structure logique ;

Avec la préservation des propriétés comportementales (séquence d'alternance dans le temps des événements se produisant dans le système), c'est-à-dire dynamique des interactions.

Dans la modélisation par simulation, la structure du système simulé est affichée de manière adéquate dans le modèle et les processus de son fonctionnement sont joués (simulés) sur le modèle construit. Ainsi, la construction d’un modèle de simulation consiste à décrire la structure et les processus de fonctionnement de l’objet ou du système modélisé.

Il existe des modèles de simulation :

Continu;

Discret;

Continu-discret.

Dans les modèles de simulation continue, les variables changent continuellement, l'état du système modélisé change en fonction continue du temps et, en règle générale, ce changement est décrit par des systèmes d'équations différentielles. En conséquence, l’avancement du modèle dépend des méthodes numériques de résolution des équations différentielles. Dans les modèles de simulation discrets, les variables changent discrètement à certains moments du temps de simulation (l'apparition d'événements).

Dynamique modèles discrets représente le processus de transition du moment de l'apparition de l'événement suivant au moment de l'apparition de l'événement suivant. Étant donné que dans les systèmes réels, les processus continus et discrets ne peuvent souvent pas être séparés, des modèles continus-discrets ont été développés qui combinent les mécanismes d'avancement temporel caractéristiques de ces deux processus.

La méthode de simulation permet de résoudre des problèmes grande complexité, permet de simuler des processus complexes et divers avec un grand nombre d'éléments. Les dépendances fonctionnelles individuelles dans de tels modèles peuvent être décrites par des relations mathématiques fastidieuses. Par conséquent, la modélisation par simulation est utilisée efficacement dans les problèmes d'étude de systèmes avec structure complexe afin de résoudre des problèmes spécifiques. Le modèle de simulation contient des éléments d'action continue et discrète, il est donc utilisé pour étudier les systèmes dynamiques lorsqu'une analyse est requise goulots d'étranglement, étude de la dynamique de fonctionnement, lorsqu'il est souhaitable d'observer l'évolution d'un processus sur un modèle de simulation sur un certain temps.

La modélisation par simulation est un outil efficace pour étudier les systèmes stochastiques, lorsque le système étudié peut être influencé par de nombreux facteurs aléatoires de nature complexe. Il est possible de mener des recherches dans des conditions d’incertitude, avec des données incomplètes et inexactes. La modélisation de simulation est un facteur important dans les systèmes d'aide à la décision car... vous permet d'explorer grand nombre alternatives (options de solution), jouez à divers scénarios pour toutes les données d'entrée.

Le principal avantage de la modélisation par simulation est que le chercheur peut tester de nouvelles stratégies et prendre des décisions lors de l'étude. situations possibles, peut toujours obtenir une réponse à la question « Que se passe-t-il si ? » Le modèle de simulation permet de faire des prédictions lorsqu'il s'agit du système en cours de conception ou lorsque les processus de développement sont étudiés (c'est-à-dire dans les cas où le système réel n'existe pas encore). Le modèle de simulation peut fournir diverses haut niveau détails des processus simulés. Dans ce cas, le modèle est créé étape par étape, de manière évolutive.

BIBLIOGRAPHIE

1. Blinov, Yu.F. Méthodes de modélisation mathématique [Texte] : Électronique Didacticiel/ Yu.F. Blinov, V.V. Ivansov, P.V. serbe – Taganrog : TTI SFU, 2012. – 42 p.

2. Ventzel, E.S. Recherche opérationnelle. Objectifs, principes, méthodologie. [Texte] : Manuel / E.S. Ventzel - M. : KNORUS, 2010. - 192 p.

3. Getmanchuk, A. V. Économie méthodes mathématiques et modèles [Texte] : Manuel pour bacheliers. / UN V. Getmanchuk - M. : Société d'édition et de commerce "Dashkov and Co", 2013. -188 p.

4. Zamiatina, O.M. Modélisation des systèmes. [Texte] : Manuel de formation. / O.M. Zamiatine - Tomsk : Maison d'édition TPU, 2009. - 204 p.

5. Pavlovsky, Yu.N. Modélisation par simulation. [Texte] : manuel pour étudiants universitaires / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I. Brodsky - M. : Centre d'édition "Académie", 2008. - 236 p.

Complexe éducatif de Yalta « École-Lycée n°9 »

Directrice adjointe des RHRomanova A.N.

« Modélisation dans les cours de mathématiques en école primaire»

Séminaire pratique

Les mathématiques devraient être enseignées à l'école

Fixez également votre objectif pour que les connaissances

qui viendrait ici serait

suffisant pour l'ordinaire

besoins dans la vie.

M. Lobatchevski

Plan de rapport

Nouvelles lignes directrices dans l'enseignement des mathématiques.

Fondements méthodologiques de la modélisation. Modèle mathématique.

Utiliser la méthode de modélisation dans les cours de mathématiques à l'école primaire.

Initier les étudiants aux techniques de modélisation mathématique.

Application de la modélisation à la résolution d'équations.

Modéliser tout en résolvant des problèmes de mots.

Utiliser la modélisation pour étudier la numérotation, additionner et soustraire des nombres et travailler sur les unités de longueur.

Nouvelles lignes directrices dans l'enseignement des mathématiques. (5 minutes)

Il est bien connu que les modèles sont le langage des mathématiques et que la modélisation est leur discours. Le succès de la maîtrise des mathématiques dépend avant tout de la façon dont l'enfant a appris à « parler » sa langue. Ceci est déterminé non seulement par la réussite scolaire de l’étudiant dans la résolution de tâches scientifiques et cognitives, mais dans une plus large mesure réussite dans la vie personnalités - mercicapacité à postuler méthodes mathématiques pour résoudre des problèmes pratiques, tâches réelles qui en ont besoin. D'accord, c'est aussi un bon résultat de l'apprentissage des mathématiques à l'école.

Enseignons-nous le langage mathématique à nos élèves ? Ou peut-être que nous le pensons tâche difficile pour l'école primaire ? Ou espérons-nous simplement qu'au cours de la résolution quotidienne d'exemples et de problèmes, les enfants eux-mêmes apprendront progressivement à l'utiliser ?

Selon les données de contrôle dans les écoles de Kiev, ainsi que les données de contrôle dans toute l'Ukraine, indiquent que la majorité des étudiants (60 % et 53 %, respectivement) ne savent pas travailler avec des modèles graphiques prêts à l'emploi, effectuer des tâches créatives, ou appliquer les connaissances acquises dans de nouvelles situations pour résoudre des problèmes.

Cet état de l’enseignement des mathématiques a nécessité une révision significative exigences de l'État dans l'enseignement des mathématiques aux écoliers. La nouvelle édition du « Sovereign Standard… », entrée en vigueur cette année. Du point de vue d’une approche axée sur la personnalité et basée sur les compétences, elle réoriente en réalité les activités de l’enseignant.Compétence - la présence des connaissances et de l'expérience nécessaires à une activité efficace dans un domaine donné . Comparons . Dans encoreactuel La norme de l'État stipule : « L'étude des mathématiques à l'école primaire garantit que les élèves acquièrent les connaissances, les compétences et les capacités nécessaires à la poursuite de l'étude des mathématiques et d'autres matières... L'étude des mathématiques contribue au développement capacités cognitivesécoliers plus jeunes - mémoire, logique et la pensée créative, imagination, discours mathématique.Dans la nouvelle édition de la norme d'État l'objectif dans le domaine éducatif « Mathématiques » a déjà été défini comme « la formation de matières mathématiques et compétences clées nécessaire à l’épanouissement des étudiants dans un monde en évolution rapide. La compétence mathématique du sujet est considérée comme « éducation personnelle, qui caractérise la capacité de l’étudiant à créer des modèles mathématiques de processus dans le monde environnant, à appliquer l’expérience de l’activité mathématique tout en résolvant des problèmes éducatifs, cognitifs et pratiques.

Par conséquent, la maîtrise du discours mathématique – la capacité de construire des modèles mathématiques – devient l’objectif principal de l’enseignement des mathématiques, qui se réalise à travers la formation chez les étudiants de « la capacité d’utiliser la terminologie mathématique, les informations symboliques et graphiques ».

L'expérience positive de l'enseignement de la modélisation aux étudiants (et pas seulement dans les cours de mathématiques) accumulée par le système d'éducation au développement de D.B. Elkonina - V.V. Davydov, visant à développer des activités éducatives à part entière pour les étudiants, dont le mannequinat.

Former les élèves à modéliser est l'un des objectifs de l'éducation développementale, et les modèles que les enfants créent et utilisent sont avant tout l'un des moyens de développer les compétences d'apprentissage (et pas seulement une méthode de clarté).

L'objectif de notre séminaire d'aujourd'hui est de comprendre les enjeux de la modélisation, de montrer comment des modèles peuvent être utilisés pour apprendre aux élèves du primaire à résoudre des équations et des problèmes, propriétés mathématiques, techniques d'addition et de soustraction de nombres.

2. Fondements méthodologiques de la modélisation. (8 minutes)

La modélisation est l'un des moyens de comprendre la réalité. Le modèle est utilisé pour étudier n'importe quel objet (phénomènes, processus), pour résoudre divers problèmes et obtenir de nouvelles informations. Par conséquent, un modèle est un certain objet (système) dont l'utilisation sert à acquérir des connaissances sur un autre objet (original).

L’utilisation de la modélisation est envisagée sous deux aspects :

premièrement, la modélisation sert de contenu qui devrait être appris par les enfants en conséquence processus pédagogique;

deuxièmement, la modélisation est cette action et ces moyens éducatifs sans lesquels un apprentissage à part entière est impossible.

La visibilité des modèles repose sur le schéma important suivant : la création d'un modèle s'effectue sur la base de la création préalable d'un modèle mental - des images visuelles des objets modélisés, c'est-à-dire que le sujet crée une image mentale de cet objet, puis (avec les enfants) construit un modèle matériel ou figuratif (visuel). Les modèles mentaux sont créés par des adultes et peuvent être transformés en modèles visuels à l'aide de certaines actions pratiques (auxquelles les enfants peuvent également participer) ;

Lorsque vous travaillez avec des enfants, vous pouvez utiliser la substitution d'objets : symboles et signes, modèles planaires (plans, cartes, dessins, schémas, graphiques), modèles tridimensionnels, mises en page.

L'utilisation de la méthode de modélisation permet de résoudre des problèmes très complexes. tâches importantes:

développement de la créativité productive des enfants;

développement de formes supérieures pensée imaginative;

application des connaissances précédemment acquises pour résoudre des problèmes pratiques ;

consolidation des connaissances mathématiques acquises précédemment par les enfants ;

créer les conditions d'une coopération commerciale ;

activation du vocabulaire mathématique des enfants;

développement dextérité mains;

acquérir de nouvelles idées et compétences au cours du travail ;

la compréhension la plus profonde des enfants des principes de fonctionnement et de la structure des originaux à l'aide de modèles.

Un modèle nous donne non seulement la possibilité de créer une image visuelle de l'objet modélisé, il nous permet également de créer une image de ses propriétés les plus essentielles reflétées dans le modèle. Toutes les autres propriétés sans importance sont ignorées lors du développement du modèle. Ainsi, nous créons une image visuelle généralisée de l'objet modélisé.

La base scientifique de la modélisation est la théorie de l'analogie, dans laquelle le concept principal est le concept d'analogie - la similitude des objets selon leurs caractéristiques qualitatives et quantitatives. Tous ces types sont unis par le concept d'analogie généralisée - l'abstraction. L'analogie exprime un type particulier de correspondance entre les objets comparés, entre le modèle et l'original.

La modélisation est multifonctionnelle, c’est-à-dire qu’elle est utilisée de diverses manières à différentes fins et à différents niveaux (étapes) de recherche ou de transformation. À cet égard, la pratique séculaire de l'utilisation de modèles a donné naissance à une abondance de formes et de types de modèles.

Considérons la classification proposée par L.M. Friedman. Du point de vue du degré de clarté, il divise tous les modèles en deux classes :

étape 1. 1-2

· matériel (réel, réel);

· parfait.

Au matériel Les modèles incluent ceux qui sont construits à partir de n’importe quel objet matériel.

Étape 2

Les modèles matériels, à leur tour, peuvent être divisés enstatique (stationnaire) etdynamique (actuel).

Étape 3

Le prochain type de modèles dynamiques estanalogique et simulation , qui reproduisent tel ou tel phénomène à l'aide d'un autre, en un sens plus pratique. Par exemple, un tel modèle - un rein artificiel - fonctionne de la même manière qu'un rein naturel (vivant), éliminant les toxines et autres produits métaboliques du corps, mais, bien sûr, il est conçu complètement différemment d'un rein vivant.

Idéal Les modèles sont généralement divisés en trois types :

Étape 4

· figuratif (iconique);

· iconique (signe symbolique);

· mental (mental).

Les modèles peuvent être classés selon divers signes:

1) par la nature des modèles (c'est-à-dire par les outils de modélisation) ;

2) par la nature des objets modélisés ;

3) par domaine d'application de la modélisation (modélisation en technologie, sciences physiques, chimie, modélisation des processus vivants, modélisation du psychisme, etc.)

4) par niveaux (« profondeur ») de modélisation.

Le plus célèbre estclassement selon la nature des modèles .

Étape 5.

Selon lui, on distingue :types de modélisation :

Étape 6.

1. Modélisation du sujet , dans lequel le modèle reproduit les caractéristiques géométriques, physiques, dynamiques ou fonctionnelles d'un objet. Par exemple, une maquette de pont, de barrage, une maquette d'aile d'avion, etc.

Étape 7

2. Modélisation analogique , dans lequel le modèle et l'original sont décrits par une seule relation mathématique. Un exemple est celui des modèles électriques utilisés pour étudier les phénomènes mécaniques, hydrodynamiques et acoustiques.

Étape 8

3. Modélisation emblématique , dans lequel les modèles sont formations emblématiques tout type : diagrammes, graphiques, dessins, formules, graphiques, mots et phrases.

Étape 9

4. Étroitement lié à l'emblématiquesimulation mentale , dans lequel les modèles acquièrent un caractère mentalement visuel.

Étape 10

5. Expérience simulée – un type particulier de modélisation où l'on utilise non pas l'objet lui-même, mais son modèle.

L'objectif principal de la modélisation est de mettre en évidence et d'enregistrer les relations les plus courantes dans un sujet pour son étude.

La méthode de modélisation est une éducation complexe et intégrative. Selon la classification des méthodes didactiques de N.G. Kazansky et T.S. Nazarova, la méthode de modélisation a une structure à trois composants

Étape 11(voir schéma). Ainsi, dans la structure de la méthode de modélisationcôté extérieur - Il s'agit d'une forme spécifique d'interaction entre l'enseignant et les élèves.Côté intérieur – il s'agit d'un ensemble de techniques pédagogiques générales (analyse, synthèse, généralisation, etc.) et de méthodes de travail pédagogique.Côté technologique – il s'agit d'un ensemble de techniques spécifiques de cette méthode (analyse préliminaire, construction d'un modèle, utilisation de celui-ci, transfert d'informations du modèle vers l'objet souhaité - l'original).

Côté extérieur

Côté intérieur

Côté technologique

Formes:

présentation

conversation

travail indépendant

Essence psychologique :

manière dogmatique du travail éducatif;

méthode heuristique du travail éducatif

méthode de recherche du travail éducatif

Entité logique :

analytique;

synthétique;

inductif;

déductif;

analytique-synthétique

Techniques de construction d'un modèle ;

techniques de transformation de modèles ;

méthodes de spécification du modèle

Modèle mathématique. Modélisation mathématique.

Un modèle mathématique est une description approximative d'une classe de phénomènes monde extérieur en utilisant le symbolisme mathématique. Par exemple, la relation entre les éléments A, B, C est exprimée par la formule A+B=C – un modèle mathématique.

Le processus de modélisation mathématique, c'est-à-dire l'étude des phénomènes à l'aide de modèles mathématiques peut être divisée en quatre étapes.

Étape 12

Première étape – isoler caractéristiques essentielles objet.

13.

Seconde phase – construire un modèle.

14 .

Troisième étape – étude du modèle.

15 .

Quatrième étape – transfert des informations obtenues à partir des modèles vers l'objet étudié.

La particularité de la modélisation est que la visibilité n'est pas une simple démonstration d'objets naturels, mais stimule l'indépendance activités pratiques enfants. Capacité des étudiants à travailler avec le modèle, sa transformation pour l’étude les propriétés générales Les concepts enseignés constituent l’un des principaux objectifs de l’apprentissage dans toutes les matières.

Différents modèles sont utilisés pour la modélisationobjets mathématiques : formules numériques, tableaux numériques, formules de lettres, fonctions, équations algébriques, séries, figures géométriques, diagrammes graphiques divers, diagrammes d'Euler-Venn, graphiques.

3. Utiliser la méthode de modélisation dans les cours de mathématiques à l'école primaire. (1,5 minutes)

La nécessité pour les collégiens de maîtriser la méthode de modélisation en tant que méthode de cognition dans le processus d'apprentissage peut être justifiée à partir de différentes positions.

Étape 16

Premièrement , cela contribue à la formation d'une vision du monde dialectique-matérialiste.

17.

Deuxièmement , comme le montrent les expériences, l'introduction des concepts de modèle et de simulation dans le contenu de l'apprentissage modifie considérablement l'attitude des étudiants à l'égard de la matière pédagogique, rend leurs activités éducatives plus significatives et plus productives.

18.

Troisième , une formation ciblée et systématique à la méthode de modélisation rapproche les plus jeunes écoliers des méthodes savoir scientifique, assure leur développement intellectuel. Afin de « doter » les élèves de la modélisation comme moyen de cognition, il ne suffit pas qu'un enseignant leur montre simplement différents modèles scientifiques et leur montre le processus de modélisation de phénomènes individuels. Il est nécessaire que les écoliers construisent eux-mêmes des modèles, étudient eux-mêmes tout objet ou phénomène à l'aide de la modélisation. Lorsque les élèves, résolvant un problème mathématique pratique (intrigue), comprennent qu'il s'agit d'un modèle symbolique de certains situation réelle, composez une séquence de ses différents modèles, puis étudiez (résoudre) ces modèles et, enfin, traduisez la solution obtenue dans le langage du problème d'origine, puis les écoliers maîtrisent ainsi la méthode de modélisation.

Initier les étudiants aux techniques de modélisation mathématique. (10 minutes)

Le célèbre psychologue P. Galperin et ses collègues ont développé une théorie de la formation étape par étape des actions mentales. Selon cette théorie, le processus d’apprentissage est considéré comme la maîtrise par l’enfant d’un système d’actions mentales, qui se produit dans le processus d’intériorisation (transition vers l’intérieur) en réponse à une activité pratique externe.

L'enfant effectue des actions pratiques avec des objets (d'abord avec des objets réels, puis avec des objets imaginaires) - des actions objectives. D'eux, il s'appuie d'abord sur le dessin de copie, puis sur modèles de sujets, passe aux modèles graphiques. Après avoir introduit les symboles mathématiques et les lettres pour désigner les quantités, l'élève utilise des formules pour décrire des actions, c'est-à-dire des modèles symbole-lettre, puis des modèles verbaux (définitions, règles).

Par exemple, les enfants se voient confier une tâche pratique spécifique qui leur demande de trouver deux récipients de même volume (de forme différente).Photo étape 19

Après cela, les enfants (et non l'enseignant) réalisent des actions pratiques : versez de l'eau dans un pot, versez-la dans un autre. Si toute l'eau du premier entre dans un autre pot, alors les volumes de ces pots sont égaux. Il est conseillé d'inviter les enfants à récupérer ces deux bandes, à l'aide desquelles ils pourront communiquer les relations entre volumes et formes - qu'elles soient identiques ou différentes. Si les volumes des canettes sont les mêmes, les enfants doivent soulever deux bandes de même longueur, et si elles sont différentes, alors de longueur différente.Photo

étape 20

Pour amener les enfants à utiliser un modèle graphique, il faut là encore se fixer une tâche pratique précise : à l'aide d'un dessin, montrer que le volume d'une canette est plus grand que l'autre. L'expérience montre que les enfants commencent à dessiner la forme de canettes, c'est-à-dire faire une copie d'un dessin ou dessiner des rayures, à l'aide desquelles ils montrent le rapport des volumes des canettes.

Après avoir discuté des dessins, nous concluons : dessiner des canettes est une méthode infructueuse (dessins inexacts, le rapport des volumes des canettes n'est pas représenté, le travail prend beaucoup de temps). Mais les rayures des enfants sont également différentes en largeur et en longueur, et cela prend aussi beaucoup de temps.

En conséquence, nous arrivons à la conclusion qu'il est plus pratique de ne pas dessiner du tout la largeur de la bande, mais de dessiner uniquement la longueur de la bande (c'est-à-dire les segments). Si les quantités (longueur, aire, masse, volume, etc.) sont identiques, alors elles ont des segments de même longueur, et si elles sont inégales, alors leurs longueurs doivent être différentes.Photo dans un carnet. étape 21.

De cette manière, l'image des quantités est introduite à l'aide de segments. Les enfants apprennent à désigner schématiquement des quantités, puis à construire des modèles graphiques (linéaires).

Il convient également d’introduire en 1re année les notions de « tout » et de « partie » et de développer les compétences des élèves à établir des relations entre ces notions. Comment pouvons-nous écrire en langage mathématique que, par exemple, une pomme est constituée de parties distinctes ? Si la pomme est entière, nous la désignons par un cercle, et les tas de pommes sont désignés par des triangles, et nous obtenons le modèle graphique suivant.

Étape 22Diapositive 7

+ + + =

Simplifions et nous aurons modèle de base:

étape 23. + =

Le tout et les parties sont concepts relatifs. Les principales propriétés de cette relation (sur l'ensemble nombres naturels) : le tout ne peut pas être inférieur à la partie, et la partie ne peut pas être supérieure au tout ; le tout est égal à la somme des parties, et la partie est égale à la différence entre le tout et l'autre partie

Étape 24 = -

Tout le monde connaît bien les rayons traditionnellement utilisés pour représenter la composition des nombres.Étape 25Diapositive 8

Ainsi, la relation entre les parties et le tout peut être représentée à l'aide d'une notation graphique de signes :

AVECétape 26

UNE |____________|_____________|

BAB

Le diagramme qui décrit l'action d'addition décrit également l'action inverse - soustraction :

Étape 27diapositive 9

Les notions de partie et de tout permettent d'introduire les propriétés commutatives et associatives de l'addition de quantités.Diapositive 10, 11 (2 étapes), 12

Étapes 28, 29, 30

Tout comme l’apprentissage de l’addition et de la soustraction, les simulations peuvent également être utilisées pour apprendre la multiplication et la division.

Traditionnellement, la multiplication est considérée comme l'ajout de termes identiques. Supposons que la valeur A soit ajoutée B fois :diapositive 13.

étape 31.A+A+A+A+A = AxB

La formule A x B se lit comme ceci : « prendre B fois de A » ou « prendre B fois de A »,

Étape 32où A est la partie (mesure) qui a été désignée par un triangle.

B – le nombre de parties égales (nombre de mesures), on peut le désigner par un carré.

Pour désigner l'ensemble, nous utilisons la même icône : un cercle.

L'ensemble se caractérise comme résultat action arithmétique en multipliant les nombres A et B.

X = A x B = C Schéma qui décrit cette action :

|____|_A___|_____________|

Il est clair que lorsque l'on considère la division comme une action objective visant à diviser selon le contenu ou en parties égales, il sera possible d'établir un lien entre multiplication et division. Maintenant, en plus de la formule de multiplicationÉtape 33Axe B = C, on obtient deux inverses de divisionétape 34.C : A = B etétape 35. C : B = A (avec des formes géométriques). Cela signifie que le circuit de multiplication est un circuit de division.

Application de la modélisation à la résolution d'équations. (10 minutes)

Pour choisir correctement une méthode de résolution d'équations, il faut être capable de trouver la relation entre le tout et la partie. Lorsque ce concept est formé, les enfants acquièrent la capacité d'exprimer le tout à travers les parties et les parties à travers le tout. Etablir des liens entre addition et soustraction de quantités à partir de la notion de partie et de tout permet de comparer le tout avec la somme et le menu, les parties avec les additions ou la soustraction et la différence et de voir que différentes actions: A+B=C, C-A=B ou C-B=A – caractérisent les mêmes relations entre les quantités.

Trouver l'inconnu lors de la résolution d'équations aide non seulement les règles, mais aussi les relations entre les parties et le tout, présentées sous la forme d'un modèle graphique.Diapositive 14 étape 36.

L'algorithme pour apprendre à résoudre des équations est le suivant :

Traçons un diagramme de l'équation. X +5 = 12étape 37.

On retrouve le tout et les parties d'abord dans le schéma, puis dans l'équation (nous soulignons)

Nous nommons le composant inconnu. Découvrons ce que c'est : un tout ou une partie.

Nous analysons comment nous trouverons la quantité inconnue.

Nous trouvonsX. étape 38, 39

Le circuit construit peut être utilisé pour résoudre des équations de soustraction. 12 – x = 5, puisque le circuit qui décrit l’action d’addition est aussi un circuit de soustraction. Exemples de photos du cahier

Diapositives 15,16 (+1 étape ), 17, 18.

Étape, 40, 41, 41-a, 42,43

La tâche consiste à diviser ces équations en diagrammes et à créer une expression

diapositive 19 étape 44, 45. 44-a, 45-b

La modélisation est utilisée de la même manière lors de la résolution d'équations pour trouver multiplicateur inconnu, diviseur et dividende.

Diapositive 20( 8 étapes ) étape 46.

Lors de l'établissement du lien entre multiplication et division, il est conseillé d'introduire la notion d'aire, la formule pour trouver l'aire d'un rectangle et trouver le côté inconnu.Diapositive 21 (1 étape)

Exemple d'équation. Diapositive 22 ( 4 étapes)

Algorithme pour résoudre l'équationDiapositive 23 .

Puisque le schéma de multiplication est un schéma de division, deux équations de division peuvent être créées à partir d’une seule équation. La zone est un tout et la longueur et la largeur des côtés sont des parties.

De plus, la modélisation permet de diversifier travail créatif sur les équations. Ainsi, l'enseignant peut proposer les types de tâches suivants :

Diapositive 24

À l’aide du diagramme, créez et résolvez une équation.Étape 48

Diapositive 25 ( décider avec les invités )

(plusieurs équations et un diagramme sont donnés) À quelle équation ce diagramme s'adaptera-t-il ? Trouvez et décidez.Étape 49

Diapositive 26, 27. 28, 29.

Résoudre des équations en comptant mentalement. Étapes 50, 51, 52,53

Diapositive 30 (10 étapes), 31

Etablir les conditions du problème selon le diagramme d'équations.

Nouvelle présentation. (Séminaire 2)

Modéliser tout en résolvant des problèmes de mots (18 minutes)

Diapositive 1

On ne peut qu’être d’accord avec l’opinion selon laquelle l’éducation moderne est la capacité de l’élève à regarder le réel, situation de vie du poste de physicien, chimiste, historien, géographe, non pas du tout pour devenir chercheur dans ce domaine, mais pour trouver ensuite une solution à des situations de vie précises.

Un étudiant junior peut devenir un véritable chercheur en résolvant des problèmes de mots lorsqu'il enseigne les mathématiques à des écoliers.

Un L'une de ces approches consiste à développer chez les étudiants la capacité de résoudre des problèmes d'un certain type (par exemple, résoudre des problèmes de comparaison de différences, etc., lors de la pratique). certain type Tâches).Un autre est basé sur l'utilisation de l'analyse sémantique et mathématique des problèmes de texte, lorsque le problème est analysé des données au but (méthode synthétique) et du but aux données (analytique).Troisième approche basé sur la méthode de solution tâches éducatives. La formation de l'action de modélisation présuppose une formation qualitativement différente de la capacité à résoudre des problèmes de mots.

Arithmétique et problèmes algébriques dans la littérature, on les appelle aussi intrigues, car ils contiennent toujours une description verbale d'un événement, d'un phénomène, d'une action, d'un processus. Le texte de n'importe quel problème d'intrigue peut être recréé d'une manière différente (au niveau du sujet, graphiquement, à l'aide de tableaux, de formules, etc.), et c'est la transition de la modélisation verbale vers d'autres formes de modélisation. Par conséquent, lorsque nous travaillons sur des problèmes, nous accordons une grande attention à la construction de modèles schématiques et symboliques, ainsi qu'à la capacité de travailler avec des segments, de modéliser graphiquement un problème de texte avec leur aide, de poser une question, de déterminer un algorithme de résolution et de recherche. une réponse. Le plus jeune écolier, comme on le sait, n'a pas un niveau suffisant la pensée abstraite. Et notre tâche est justement de lui apprendre progressivement à représenter des objets spécifiques sous la forme d'un modèle symbolique, pour l'aider à apprendre à traduire un problème textuel en langage mathématique. Nous pensons que c'est la modélisation graphique d'un problème de texte qui, surtout, donne réelle opportunité voir et déterminer clairement l'algorithme pour le résoudre et mener une réflexion indépendante sur la tâche accomplie.

Mais tous les enregistrements ne constitueront pas un modèle de tâche. Pour construire un modèle, pour sa transformation ultérieure, il est nécessaire de sélectionner dans le problèmeobjectif, quantités données, toutes relations, afin que, sur la base de ce modèle, il soit possible de poursuivre l'analyse, ce qui nous permet d'avancer dans la solution et de rechercher des solutions optimales. La résolution de tout problème par une méthode arithmétique est associée au choix d'une opération arithmétique, grâce à laquelle on peut répondre à la question posée. Pour faciliter la recherche d'un modèle mathématique, il est nécessaire d'utiliser un modèle auxiliaire.Diapositive 2 (connaissance des composants en 1ère année).

Pour recréer la situation dans les conditions de la tâche, vous pouvez utiliser un dessin schématique, qui assurerait une transition du texte du problème à la corrélation d'une certaine opération arithmétique sur les nombres, ce qui contribue à la formation d'une assimilation consciente et forte de la méthode générale de travail sur la tâche. Ce modèle permet à l'étudiant de développer la capacité d'expliquer comment il a reçu la réponse à la question du problème. Mais un modèle schématique n'est efficace que s'il est compréhensible pour chaque élève et que la capacité de traduire un modèle verbal dans le langage d'un diagramme a été développée. Lors de l'apprentissage de la résolution de problèmes simples d'addition et de soustraction, les concepts suivants sont introduits : le tout, la partie et leur relation.Diapositive 3. (2 étapes)

Pour trouver une partie, il faut soustraire une autre partie du tout.

Pour trouver le tout, vous devez additionner les parties.

Lors de l'apprentissage de la résolution de problèmes simples de multiplication et de division, un schéma et les règles correspondantes sont proposés :

Pour trouver le tout, il faut multiplier la mesure par le nombre de mesures.

Pour trouver une mesure, vous devez diviser le nombre entier par le nombre de mesures.

Pour trouver le nombre de mesures, il faut diviser le tout par la mesure.

Diapositive 4. (3 étapes)

Cette approche pédagogique permet de s'éloigner de l'ancienne classification des tâches simples. Il est important de décrire les données et ce qui est recherché de manière à ce que les relations entre les quantités soient suffisamment claires. Considéré dans le problème et leurs relations.

A titre d'exemple, je vais donner plusieurs problèmes de texte et comment les résoudre à l'aide de modèles graphiques.

Problème 1Diapositive 5. (5 étapes)

Il y a 4 gros et 5 petits poissons dans l'aquarium. Combien y a-t-il de poissons au total dans l’aquarium ?

Exercices pour composer des problèmes et des expressions à partir d'images (problèmes inverses)Diapositive 6. ( 8 étapes)Diapositive 7.

Problème 2Diapositive 8

Lena a 5 poires. Et Misha en a 4 de plus que Lena. Combien de poires Misha a-t-elle ?

Un exemple de tâche pour composer des problèmes basés sur une image et écrire la solution.Diapositive 9.

Problème 3Diapositive 10. (5 étapes)

Lena a 10 poires. C'est 3 de plus que les pêches. Combien de pêches Lena a-t-elle ?

Tâche 4.Diapositive 11 (4 étapes).

Sasha a acheté 5 cahiers pour 8 UAH et un carnet de croquis pour 33 UAH. Combien d'argent Sasha a-t-elle payé pour l'achat ?

Le prix d’un ordinateur portable est de 8 UAH – c’est segment unitaire(la mesure). Le nombre de segments unitaires (5) indique le nombre de cahiers. La deuxième partie du segment reflète le prix (33 UAH) et la quantité (1) des albums.

Tâche 5.Diapositive 12 (7 étapes).Deux façons de créer un diagramme. Deux solutions

L'usine a besoin de 90 ouvriers : 50 tourneurs, 10 mécaniciens, le reste étant des chargeurs. Combien de déménageurs sont nécessaires ?

Diapositive 13 (3 étapes)compilation problème inverse. ARRÊT

Techniques pour travailler sur des tâches.

Au stade de la familiarisation, j'utilise les techniques suivantes :

Explication de chaque élément composant le modèle.

Instructions pour construire un modèle.

Modélisation à l'aide de questions directrices et mise en œuvre étape par étape du schéma.

Au stade de la compréhension du dessin schématique, j'utilise les techniques suivantes :

Formuler le texte du problème selon l'intrigue et le diagramme segmentaire proposés.

Corrélation entre un diagramme et une expression numérique.

Remplir le modèle avec les données de tâche.

Trouver des erreurs en remplissant le schéma.

Sélection d'un schéma pour le problème.

Sélection d'une tâche pour le diagramme.

Ajout de conditions de tâches.

Changer le schéma.

Changer les conditions du problème.

Modification du texte de la tâche.

Le résultat de l’apprentissage de la construction et de la compréhension d’un dessin schématique est la modélisation indépendante des problèmes par les élèves.

Lors de la résolution de problèmes de mots, nous travaillons à développer l'action de modélisation, et vice versa, plus l'enfant maîtrise l'action de modélisation, plus il lui est facile de résoudre des problèmes.

Les étudiants doivent être initiés à diverses méthodes de résolution de problèmes écrits : arithmétique, algébrique, géométrique, logique et pratique ; Avec divers types les modèles mathématiques sous-jacents à chaque méthode ; ainsi qu'avec diverses solutions dans le cadre de la méthode choisie. La résolution de problèmes de mots fournit un matériel riche pour le développement et l’éducation des étudiants. Notes brèves conditions des problèmes de mots - exemples de modèles utilisés dans cours initial mathématiques. La méthode de modélisation mathématique permet d'enseigner aux écoliers :

a) analyse (au stade de la perception du problème et du choix de la voie à suivre pour mettre en œuvre la solution) ;

b) établir des relations entre les objets du problème, construire le schéma de solution le plus approprié ;

c) interprétation de la solution obtenue pour le problème d'origine ;

d) élaborer des tâches à l'aide de modèles prêts à l'emploi, etc.

Présentation travaillant sur des tâchesDiapositives15-22 .

Combinatoire sur les modèles dès la 1re année

2ème année

Disposez les nombres 4, 6, 8 de différentes manières :

En 3e et 4e années

"Arbre" (36 déjeuners)

Photo du carnet

Utiliser des simulations pour enseigner la numérotation, l'addition et la soustraction de nombres et le travail sur les unités de longueur (5 min)

La possibilité de convertir des nombres en unités de compte et en unités de mesure pose le plus souvent quelques difficultés. Et ici, il est conseillé d'utiliser la méthode de modélisation pour vous aider. En étudiant la concentration « Dix », les enfants apprennent à représenter schématiquement des unités à l'aide de points.Diapositive 25. Apprenez à additionner et à soustraire à l'aide de modèles.Diapositive 26. (7 étapes)Diapositive 27.

En étudiant « Les Cent », les enfants représentent des dizaines à l’aide de petits triangles. Ils apprennent à convertir les nombres en unités de comptage (déc. et unités) et en même temps, les enfants se familiarisent avec le centimètre et le décimètre. Cela nous permet de faire une analogie dans la conversion des unités de longueur. Ils enseignent également les techniques d'addition. nombres à deux chiffres sur des diagrammes numériques.Diapositive 28

En étudiant « Mille », les enfants apprendront que nous représenterons classiquement 10 triangles (dizaines) par un grand triangle (cent). Dans le même temps, les enfants apprennent une nouvelle unité de longueur : le mètre. Lors de la conversion de nombres en unités de comptage, nous effectuons un travail similaire avec les unités de longueur.Diapositive 29 exemple pour le numéro 342Diapositive 30 (5 étapes)

Exemple pour le nombre 320Diapositive 31 (6 étapes)

Exemple pour le nombre 302Diapositive 32 (8 étapes)

Algorithmes.Diapositives 33 et 34(7 étapes)

Recommandations pour l'utilisation de la méthode de modélisation dans les cours de mathématiques (3 min)

Il est nécessaire de comprendre que la modélisation dans l'enseignement n'est pas souhaitable, mais nécessaire, car elle crée les conditions permettant aux étudiants de maîtriser pleinement et fermement les méthodes de cognition et les méthodes d'activité éducative.

Les principaux objectifs de la modélisation dans la leçon sont :

construire un modèle comme moyen de construire une nouvelle manière d’agir.

formation à la construction d'une maquette basée sur une analyse des principes et des méthodes de sa construction.

N'oubliez pas que les premiers cours sont liés à la modélisation, en fait, ce sont des cours de mise en place d'une tâche pédagogique et pratique. Le problème des enfants est qu’ils n’ont pas suffisamment de moyens d’afficher des attitudes générales. Chaque fois qu'une nouvelle situation pratique apparaît, les enfants définissent de nouvelles relations - et encore une fois la question se pose de savoir comment la transmettre graphiquement.

Des « tâches abstraites » telles que dessiner un diagramme à l'aide d'une formule, établir une relation entre des quantités faisant partie de plusieurs formules, etc. offrir lorsque les relations sont explorées, informées et affichées sous forme de signes et de diagrammes à plusieurs reprises. Derrière le modèle, chaque enfant doit avoir des actions avec des objets réels, qu'il est désormais capable de réaliser dans son imagination (actions mentales).

La place du modèle pour l'enfant est déterminée en fonction de la tâche

L'action peut être accompagnée d'une maquette. Par exemple, s'il est plus facile de construire une méthode sur un modèle, comme étape de travail sur un problème de texte (les relations entre les grandeurs lors de la lecture sont affichées schématiquement).

Le modèle est construit une fois les actions terminées. Afin de comprendre l'action effectuée, il est nécessaire de construire un schéma d'une relation distincte. La construction d'un diagramme est motivée par des questions telles que : « Comment avez-vous fait ? », « Comment apprendriez-vous aux autres à effectuer de telles tâches ?

Et quelques conseils supplémentaires.

Il faut commencer par étudier la littérature spécialisée. Par exemple, il s'agit d'une méthode d'enseignement des mathématiques en école primaire et les manuels de E. Alexandrova, L. Peterson.

Sur réunions de parents Assurez-vous de présenter aux parents la méthode d'enseignement à leurs enfants. Vos conseils et instructions pourront leur être utiles.

Profitez de chaque occasion pour participer à des master classes sur la modélisation mathématique.

Où je vous invite.

Tâches

Sujet

Pour résoudre ce problème, il faut tout d'abord définir dans le système les fonctionnalités de modification de la tâche de détection d'un visage avec une caméra vidéo, puis effectuer la localisation des mouvements des lèvres.

Quant à la première tâche, il convient d'en distinguer deux types :
Localisation du visage ;
Suivi du visage.
Puisque nous sommes confrontés à la tâche de développer un algorithme de reconnaissance des expressions faciales, il est logique de supposer que ce système sera utilisé par un seul utilisateur qui ne bougera pas trop la tête. Par conséquent, pour mettre en œuvre la technologie de reconnaissance du mouvement des lèvres, il est nécessaire de se baser sur une version simplifiée du problème de détection, où il y a un et un seul visage dans l'image.

Cela signifie que la recherche d'un visage peut être effectuée relativement rarement (environ 10 images/s, voire moins). Dans le même temps, les mouvements des lèvres de l’orateur au cours d’une conversation sont assez actifs et, par conséquent, l’évaluation de leur contour doit être effectuée avec une plus grande intensité.

La tâche consistant à trouver un visage dans une image peut être résolue à l'aide des outils existants. Il existe aujourd’hui plusieurs méthodes pour détecter et localiser un visage dans une image, que l’on peut diviser en 2 catégories :
1. Reconnaissance empirique ;
2. Modélisation de l'image faciale. .

La première catégorie comprend les méthodes de reconnaissance descendante basées sur des caractéristiques invariantes des images faciales, basées sur l'hypothèse qu'il existe certains signes de présence de visages dans l'image qui sont invariants par rapport aux conditions de prise de vue. Ces méthodes peuvent être divisées en 2 sous-catégories :
1.1. Détection des éléments et traits caractéristiques d'une image faciale (bords, luminosité, couleur, forme caractéristique traits du visage, etc.) .;
1.2. Analyse des caractéristiques détectées, prise de décision sur le nombre et la localisation des personnes (algorithme empirique, statistiques position relative signes, modélisation de processus Images visuelles, utilisation de gabarits rigides et déformables, etc.) , .

Pour que l'algorithme fonctionne correctement, il est nécessaire de créer une base de données des caractéristiques du visage avec des tests ultérieurs. Pour une mise en œuvre plus précise méthodes empiriques des modèles peuvent être utilisés qui permettent de prendre en compte les possibilités de transformation faciale et, par conséquent, disposent soit d'un ensemble étendu de données de base pour la reconnaissance, soit d'un mécanisme permettant de modéliser la transformation sur éléments basiques. Difficultés à créer une base de données de classificateurs ciblant un large éventail d'utilisateurs avec caractéristiques individuelles, les traits du visage, etc., contribuent à réduire la précision de la reconnaissance de cette méthode.

La deuxième catégorie comprend les méthodes de statistiques mathématiques et d'apprentissage automatique. Les méthodes de cette catégorie sont basées sur des outils de reconnaissance d’images, considérant la tâche de détection de visage comme un cas particulier de la tâche de reconnaissance. L'image se voit attribuer un certain vecteur de caractéristiques, qui est utilisé pour classer les images en deux classes : visage/non-visage. La manière la plus courante d'obtenir un vecteur de caractéristiques est d'utiliser l'image elle-même : chaque pixel devient un composant du vecteur, transformant l'image n×m en un vecteur dans l'espace R^(n×m), où n et m sont positifs. entiers. . L’inconvénient de cette représentation est la dimension extrêmement élevée de l’espace des fonctionnalités. L'avantage de cette méthode est qu'elle exclut de l'ensemble de la procédure la construction d'un classificateur à participation humaine, ainsi que la possibilité de former le système lui-même pour un utilisateur spécifique. Par conséquent, l’utilisation de méthodes de modélisation d’images pour construire un modèle mathématique de localisation des visages est optimale pour résoudre notre problème.

Quant à la segmentation d’un profil de visage et au suivi de la position des pointes des lèvres sur une séquence de montures, des méthodes de modélisation mathématique doivent également être utilisées pour résoudre ce problème. Il existe plusieurs façons de déterminer le mouvement des expressions faciales, dont la plus connue est l'utilisation d'un modèle mathématique basé sur des modèles de contours actifs :

Localisation de la zone d'expression faciale basée sur le modèle mathématique des modèles de contours actifs

Pour adapter le contour actif à l'image des expressions faciales, il est nécessaire de procéder à la binarisation appropriée de l'objet étudié, c'est-à-dire sa transformation en une sorte d'images raster numériques, puis l'évaluation correspondante des paramètres du le contour actif et le calcul du vecteur caractéristique doivent être effectués.

Le modèle de contour actif est défini comme :
Ensemble de points N ;
Terme d'énergie élastique interne ;
Terme énergétique basé sur les bords externes.

Pour améliorer la qualité de la reconnaissance, deux classes de couleurs sont distinguées : la peau et les lèvres. La fonction d'appartenance à la classe de couleur a une valeur comprise entre 0 et 1.

L'équation du modèle de contour actif (serpent) est représentée par la formule v(s) comme suit :

Où E est l'énergie du serpent (modèle de contour actif). Les deux premiers termes décrivent l'énergie de régularité du modèle de contour actif (serpent). Dans notre système de coordonnées polaires v(s) = , s de 0 à 1. Le troisième terme est l'énergie liée à force externe, obtenu à partir de l'image, le quatrième - avec la force de pression.

La force externe est déterminée sur la base des caractéristiques décrites ci-dessus. Il est capable de déplacer les points de contrôle vers une certaine valeur d'intensité. Il est calculé comme suit :

Le multiplicateur de gradient (dérivé) est calculé aux points du serpent le long du ligne radiale. La force augmente si le gradient est négatif et diminue sinon. Le coefficient avant gradient est un facteur de pondération qui dépend de la topologie de l'image. La force de compression est simplement une constante, utilisant la moitié du facteur de poids minimum. Meilleure forme Les serpents sont obtenus en minimisant l'énergie fonctionnelle après un certain nombre d'itérations.

Examinons plus en détail les opérations de base de traitement d'image. Pour plus de simplicité, supposons que nous ayons déjà sélectionné d'une manière ou d'une autre la zone de la bouche de l'orateur. Dans ce cas, les principales opérations de traitement de l'image résultante que nous devons effectuer sont présentées sur la Fig. 3.

Conclusion

Liste des sources utilisées

À suivre