Autrement dit, il y a une forte probabilité que cela se produise. Définition de la probabilité

À évaluer la probabilité qu'un événement se produise événement aléatoire Il est très important de savoir à l'avance si la probabilité () de survenance de l'événement qui nous intéresse dépend de la façon dont d'autres événements se développent.

Au cas où schéma classique, lorsque tous les résultats sont également probables, nous pouvons déjà estimer indépendamment les valeurs de probabilité de l'événement individuel qui nous intéresse. Nous pouvons le faire même si l'événement est un ensemble complexe de plusieurs résultats élémentaires. Que se passe-t-il si plusieurs événements aléatoires se produisent simultanément ou séquentiellement ? Comment cela affecte-t-il la probabilité que l’événement qui nous intéresse se produise ?

Si je lance plusieurs fois dés, et je veux qu'un « six » apparaisse, mais je n'ai toujours pas de chance, cela signifie-t-il que je dois augmenter la mise, car, selon la théorie des probabilités, je suis sur le point d'avoir de la chance ? Hélas, la théorie des probabilités ne dit rien de tel. Pas de dés, pas de cartes, pas de pièces je ne me souviens pas ce qu'ils nous ont montré dernière fois. Peu importe pour eux que ce soit la première ou la dixième fois que je tente ma chance aujourd’hui. Chaque fois que je répète le lancer, je ne sais qu'une chose : et cette fois la probabilité d'obtenir un six est à nouveau d'un sixième. Bien entendu, cela ne signifie pas que le numéro dont j’ai besoin ne sera jamais disponible. Cela signifie seulement que ma perte après le premier lancer et après tout autre lancer sont des événements indépendants.

Les événements A et B sont appelés indépendant, si la mise en œuvre de l'un d'entre eux n'affecte en rien la probabilité d'un autre événement. Par exemple, les probabilités de toucher une cible avec la première des deux armes ne dépendent pas du fait que la cible ait été touchée par l'autre arme, donc les événements « la première arme a touché la cible » et « la deuxième arme a touché la cible » sont indépendant.

Si deux événements A et B sont indépendants et que la probabilité de chacun d'eux est connue, alors la probabilité d'apparition simultanée de l'événement A et de l'événement B (notée AB) peut être calculée à l'aide du théorème suivant.

Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants

Exemple.Les probabilités d'atteindre la cible lors du tir du premier et du deuxième canon sont respectivement égales : p 1 =0,7 ;

p2 = 0,8. Trouvez la probabilité d'un coup avec une salve par les deux canons simultanément. Solution:

comme nous l'avons déjà vu, les événements A (touché par le premier canon) et B (touché par le deuxième canon) sont indépendants, c'est-à-dire P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Exemple.Qu’arrive-t-il à nos estimations si les événements initiaux ne sont pas indépendants ? Changeons un peu l'exemple précédent. Deux tireurs tirent sur des cibles lors d'une compétition, et si l'un d'eux tire avec précision, l'adversaire commence à devenir nerveux et ses résultats se détériorent. Comment transformer cette situation quotidienne en problème de mathématiques et esquisser des moyens de le résoudre ? Il est intuitivement clair que nous devons d’une manière ou d’une autre séparer les deux options. développements , créez essentiellement deux scénarios, deux différentes tâches

. Dans le premier cas, si l'adversaire manque, le scénario sera favorable à l'athlète nerveux et sa précision sera supérieure. Dans le second cas, si l'adversaire a décemment tenté sa chance, la probabilité d'atteindre la cible pour le deuxième athlète diminue. Pour la séparation scénarios possibles (on les appelle souvent hypothèses) pour l’évolution des événements, on utilisera souvent le diagramme « arbre de probabilité ». Ce diagramme a une signification similaire à celle de l’arbre de décision que vous avez probablement déjà traité. Chaque branche représente un scénario distinct pour le développement des événements, seulement maintenant elle a valeur propre soi-disant

conditionnel

probabilités (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Ce schéma est très pratique pour analyser des événements aléatoires séquentiels. Reste à clarifier une autre question importante : d'où viennent les valeurs initiales des probabilités ?

Exemple.situations réelles ? Après tout, la théorie des probabilités ne fonctionne pas uniquement avec des pièces de monnaie et des dés ? Habituellement, ces estimations sont tirées de statistiques et, lorsque les informations statistiques ne sont pas disponibles, nous effectuons nos propres recherches. Et nous devons souvent commencer non pas par la collecte de données, mais par la question de savoir de quelles informations nous avons réellement besoin.

Disons que nous devons estimer dans une ville de cent mille habitants le volume du marché pour un nouveau produit qui n'est pas un article essentiel, par exemple un baume pour le soin des cheveux colorés. Considérons le diagramme de « l'arbre de probabilité ». Dans ce cas, il faut estimer approximativement la valeur de probabilité sur chaque « branche ».

Ainsi, nos estimations de la capacité du marché :

3) parmi eux, seulement 10% utilisent des baumes pour cheveux colorés,

4) parmi eux, seulement 10 % peuvent trouver le courage d’essayer un nouveau produit,

5) 70 % d’entre eux achètent généralement tout non pas chez nous, mais chez nos concurrents.

p2 = 0,8. Trouvez la probabilité d'un coup avec une salve par les deux canons simultanément. Selon la loi de multiplication des probabilités, nous déterminons la probabilité de l'événement qui nous intéresse A = (un citadin nous achète ce nouveau baume) = 0,00045.

Multiplions cette valeur de probabilité par le nombre d'habitants de la ville. Du coup, nous n'avons que 45 clients potentiels, et étant donné qu'une bouteille de ce produit dure plusieurs mois, le commerce n'est pas très animé.

Et pourtant, nos évaluations présentent certains avantages.

Premièrement, nous pouvons comparer les prévisions de différentes idées commerciales ; elles auront des « fourchettes » différentes dans les diagrammes et, bien sûr, les valeurs de probabilité seront également différentes.

Deuxièmement, comme nous l’avons déjà dit, une variable aléatoire n’est pas dite aléatoire car elle ne dépend de rien. Juste elle exact la signification n’est pas connue à l’avance. Nous savons que le nombre moyen d’acheteurs peut être augmenté (par exemple en faisant la publicité d’un nouveau produit). Il est donc logique de concentrer nos efforts sur les « fourchettes » où la distribution de probabilité ne nous convient pas particulièrement, sur les facteurs que nous pouvons influencer.

Regardons-en un de plus exemple quantitatif recherches sur le comportement d'achat.

Exemple. En moyenne, 10 000 personnes visitent le marché alimentaire chaque jour. Probabilité qu'un visiteur du marché entre dans un pavillon produits laitiers, est égal à 1/2.

On sait que ce pavillon vend en moyenne 500 kg de produits divers par jour.

Peut-on dire que l’achat moyen dans le pavillon ne pèse que 100 g ? Discussion.

Bien sûr que non. Il est clair que tous ceux qui sont entrés dans le pavillon n’ont pas fini par y acheter quelque chose. Comme le montre le schéma, pour répondre à la question sur le poids moyen d'un achat, nous devons trouver une réponse à la question : qu'est-ce que la probabilité que

qu'une personne entrant dans le pavillon y achètera quelque chose. Si nous ne disposons pas de telles données, mais que nous en avons besoin, nous devrons les obtenir nous-mêmes en observant les visiteurs du pavillon pendant un certain temps. Disons que nos observations montrent que seulement un cinquième des visiteurs du pavillon achètent quelque chose. Une fois ces estimations obtenues, la tâche devient simple. Sur les 10 000 personnes qui viennent au marché, 5 000 iront au pavillon des produits laitiers ; 1 000 seulement achèteront. Poids moyen l'achat est égal à 500 grammes. Il est intéressant de noter que pour construire se produit, la logique du « branchement » conditionnel doit être définie à chaque étape de notre raisonnement aussi clairement que si nous travaillions sur une situation « concrète », et non sur des probabilités.

Tâches d'autotest

1. Que ce soit circuit électrique, composé de n éléments connectés en série, dont chacun fonctionne indépendamment des autres.

La probabilité p de défaillance de chaque élément est connue. Déterminer la probabilité de bon fonctionnement de toute la section du circuit (événement A).

2. L'élève connaît 20 sur 25 questions d'examen. Trouvez la probabilité que l'étudiant connaisse les trois questions qui lui sont posées par l'examinateur.

3. La production comprend quatre étapes successives, à chacune desquelles fonctionnent des équipements, pour lesquels les probabilités de défaillance au cours du mois suivant sont respectivement égales à p 1, p 2, p 3 et p 4. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait pas d'arrêt de production dû à une panne d'équipement dans un mois.

en tant que catégorie ontologique, il reflète l'étendue de la possibilité d'émergence de toute entité dans toutes les conditions. Contrairement à l’interprétation mathématique et logique de ce concept, les mathématiques ontologiques ne s’associent pas à l’obligation d’expression quantitative. Le sens de V. se révèle dans le contexte de la compréhension du déterminisme et de la nature du développement en général.

Excellente définition

Définition incomplète ↓

PROBABILITÉ

concept caractérisant les quantités. la mesure de la possibilité de survenance d'un certain événement à un certain moment conditions. En scientifique en cognition, il existe trois interprétations de V. Concept classique V., issu des mathématiques. analyse jeu d'argent et le plus développé par B. Pascal, J. Bernoulli et P. Laplace, considère V. comme le rapport du nombre de cas favorables à nombre total tout cela est également possible. Par exemple, lorsque l’on lance un dé à 6 faces, on peut s’attendre à ce que chacune d’elles atterrisse avec une valeur de 1/6, puisqu’aucune face n’a d’avantage sur l’autre. Une telle symétrie des résultats expérimentaux est particulièrement prise en compte lors de l'organisation de jeux, mais est relativement rare dans l'étude d'événements objectifs en science et en pratique. Classique L'interprétation de V. a cédé la place aux statistiques. Les concepts de V., qui sont basés sur la réalité observer l'apparition d'un certain événement sur une longue période de temps. expérience dans des conditions précisément fixées. La pratique confirme que plus un événement se produit souvent, plus plus de diplôme possibilité objective son apparence, ou B. Donc statistique. L'interprétation de V. repose sur la notion de relation. fréquence, qui peut être déterminée expérimentalement. V. comme théorie le concept ne coïncide jamais avec la fréquence déterminée empiriquement, mais au pluriel. Dans les cas, il diffère pratiquement peu du relatif. fréquence trouvée en raison de la durée. observations. De nombreux statisticiens considèrent V. comme un « double ». fréquences, les bords sont déterminés statistiquement. étude des résultats d'observation

ou des expériences. La définition de V. en ce qui concerne la limite était moins réaliste. fréquences événements de masse, ou collectifs, proposés par R. Mises. Comme développement ultérieur L'approche fréquentielle de V. propose une interprétation dispositionnelle, ou propensive, de V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Selon cette interprétation, V. caractérise par exemple la propriété des conditions génératrices. expérience. installations pour obtenir une séquence d’événements aléatoires massifs. C'est précisément cette attitude qui donne lieu à des inquiétudes physiques. dispositions, ou prédispositions, V. qui peuvent être vérifiées à l'aide de proches. fréquence

Statistique L'interprétation de V. domine la recherche scientifique. cognition, car elle reflète des spécificités. la nature des schémas inhérents aux phénomènes de masse de nature aléatoire. Dans de nombreux domaines physiques, biologiques, économiques, démographiques. etc. processus sociaux il est nécessaire de prendre en compte l'effet de nombreux facteurs aléatoires, caractérisés par une fréquence stable. Identifier ces fréquences et quantités stables. son évaluation avec l'aide de V. permet de révéler la nécessité qui se fraye un chemin à travers l'action cumulative de nombreux accidents. C'est ici que trouve sa manifestation la dialectique de la transformation du hasard en nécessité (voir F. Engels, dans le livre : K. Marx et F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

Le raisonnement logique, ou inductif, caractérise la relation entre les prémisses et la conclusion d'un raisonnement non démonstratif et, en particulier, inductif. Contrairement à la déduction, les prémisses de l'induction ne garantissent pas la véracité de la conclusion, mais la rendent seulement plus ou moins plausible. Cette plausibilité, avec des prémisses précisément formulées, peut parfois être appréciée à l'aide de V. La valeur de ce V. est le plus souvent déterminée par comparaison. concepts (supérieur, inférieur ou égal à), et parfois de manière numérique. Logique l’interprétation est souvent utilisée pour analyser le raisonnement inductif et construire divers systèmes logiques probabilistes (R. Carnap, R. Jeffrey). En sémantique concepts logiques V. est souvent défini comme le degré auquel une affirmation est confirmée par d'autres (par exemple, une hypothèse par ses données empiriques).

En relation avec le développement des théories de la prise de décision et des jeux, ce qu'on appelle interprétation personnaliste de V. Bien que V. exprime en même temps le degré de foi du sujet et la survenance d'un certain événement, V. eux-mêmes doivent être choisis de telle manière que les axiomes du calcul de V. soient satisfaits. Par conséquent, V. avec une telle interprétation n'exprime pas tant le degré de foi subjective, mais plutôt raisonnable . Par conséquent, les décisions prises sur la base d'un tel V. seront rationnelles, car elles ne prennent pas en compte les facteurs psychologiques. caractéristiques et inclinations du sujet.

Avec épistémologique t.zr. différence entre statistique et logique. et les interprétations personnalistes de V. sont que si la première caractérise les propriétés objectives et les relations des phénomènes de masse de nature aléatoire, alors les deux dernières analysent les caractéristiques du subjectif, de la connaissance. activités humaines dans des conditions d’incertitude.

PROBABILITÉ

l'un des les notions les plus importantes science, caractérisant une vision systémique particulière du monde, de sa structure, de son évolution et de ses connaissances. La spécificité de la vision probabiliste du monde se révèle à travers l'inclusion dans le nombre notions de base l'existence des notions d'aléatoire, d'indépendance et de hiérarchie (idées de niveaux dans la structure et la détermination des systèmes).

Les idées sur la probabilité sont nées dans l'Antiquité et liées aux caractéristiques de nos connaissances, tandis que l'existence de connaissances probabilistes était reconnue, qui différait des connaissances fiables et des fausses connaissances. L'impact de l'idée de probabilité sur pensée scientifique, sur le développement de la cognition est directement lié au développement de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique. L'origine de la doctrine mathématique des probabilités remonte au XVIIe siècle, époque à laquelle se développe un noyau de concepts permettant. caractéristiques quantitatives (numériques) et exprimant une idée probabiliste.

Des applications intensives des probabilités au développement de la cognition ont lieu au cours de la seconde moitié. 19 - 1ère mi-temps. 20ème siècle La probabilité est entrée dans les structures de tels sciences fondamentales sur la nature, comme la physique statistique classique, la génétique, théorie des quanta, cybernétique (théorie de l'information). En conséquence, les probabilités personnifient cette étape du développement de la science, qui est maintenant définie comme science non classique. Pour révéler la nouveauté et les caractéristiques de la pensée probabiliste, il est nécessaire de partir d'une analyse du sujet de la théorie des probabilités et des fondements de ses nombreuses applications. La théorie des probabilités est généralement définie comme une discipline mathématique qui étudie les modèles de masse. phénomènes aléatoires sous certaines conditions. Le hasard signifie que dans le cadre du caractère de masse, l'existence de chaque phénomène élémentaire ne dépend pas et n'est pas déterminée par l'existence d'autres phénomènes. Dans le même temps, la nature massive des phénomènes elle-même a une structure stable et contient certaines régularités. Un phénomène de masse est assez strictement divisé en sous-systèmes, et le nombre relatif de phénomènes élémentaires dans chacun des sous-systèmes ( fréquence relative) est très stable. Cette stabilité est comparée à la probabilité. Un phénomène de masse dans son ensemble est caractérisé par une distribution de probabilité, c'est-à-dire par la spécification de sous-systèmes et de leurs probabilités correspondantes. Le langage de la théorie des probabilités est le langage distributions de probabilité. En conséquence, la théorie des probabilités est définie comme la science abstraite du fonctionnement avec des distributions.

Les probabilités ont donné naissance à des idées scientifiques sur les modèles statistiques et les systèmes statistiques. La dernière essence systèmes formés d’entités indépendantes ou quasi-indépendantes, leur structure est caractérisée par des distributions de probabilité. Mais comment est-il possible de constituer des systèmes à partir d’entités indépendantes ? On suppose généralement que pour la formation de systèmes dotés de caractéristiques intégrales, il est nécessaire qu'il existe des connexions suffisamment stables entre leurs éléments qui cimentent les systèmes. La stabilité des systèmes statistiques est donnée par la présence de conditions externes, environnement externe, externe, non forces internes. La définition même de la probabilité repose toujours sur la définition des conditions de formation du phénomène de masse initial. Une autre idée importante caractérisant le paradigme probabiliste est l'idée de hiérarchie (subordination). Cette idée exprime la relation entre les caractéristiques éléments individuels Et caractéristiques holistiques systèmes : ces derniers semblent être construits par-dessus les premiers.

L'importance des méthodes probabilistes en cognition réside dans le fait qu'elles permettent d'étudier et d'exprimer théoriquement les modèles de structure et de comportement d'objets et de systèmes qui ont une structure hiérarchique à « deux niveaux ».

L'analyse de la nature de la probabilité repose sur sa fréquence et son interprétation statistique. En même temps, très longue durée En science, une telle compréhension de la probabilité prévalait, appelée probabilité logique ou inductive. La probabilité logique s'intéresse aux questions de validité d'un jugement individuel distinct dans certaines conditions. Est-il possible d'évaluer le degré de confirmation (fiabilité, vérité) d'une conclusion inductive (conclusion hypothétique) dans forme quantitative? Au cours du développement de la théorie des probabilités, ces questions ont été discutées à plusieurs reprises et ils ont commencé à parler des degrés de confirmation des conclusions hypothétiques. Cette mesure de probabilité est déterminée par les données disponibles cette personne informations, son expérience, sa vision du monde et son état d'esprit psychologique. En tout cas similaires la grandeur de la probabilité ne se prête pas à des mesures strictes et échappe pratiquement à la compétence de la théorie des probabilités en tant que discipline mathématique cohérente.

L’interprétation objective et fréquentiste des probabilités a été établie en science avec des difficultés considérables. Initialement, la compréhension de la nature des probabilités était fortement influencée par les vues philosophiques et méthodologiques caractéristiques de la science classique. Historiquement, le développement des méthodes probabilistes en physique s'est produit sous l'influence déterminante des idées de la mécanique : systèmes statistiques ont été interprétés simplement comme mécaniques. Puisque les problèmes correspondants n'ont pas été résolus des méthodes strictes mécanique, alors des affirmations sont apparues selon lesquelles le recours aux méthodes probabilistes et aux lois statistiques est le résultat du caractère incomplet de nos connaissances. Dans l'histoire du développement du classique physique statistique De nombreuses tentatives ont été faites pour le justifier sur la base mécanique classique, cependant, ils ont tous échoué. La base de la probabilité est qu'elle exprime les caractéristiques structurelles d'une certaine classe de systèmes, autres que les systèmes mécaniques : l'état des éléments de ces systèmes est caractérisé par une instabilité et une nature particulière (non réductible à la mécanique) des interactions.

L'entrée de la probabilité dans la connaissance conduit au déni du concept de déterminisme dur, au déni du modèle de base de l'être et de la connaissance développé au cours du processus de formation de la science classique. Modèles de base, représentés par les théories statistiques, ont une signification différente, plus caractère général: Ceux-ci incluent les idées de hasard et d’indépendance. L'idée de probabilité est associée à la divulgation de la dynamique interne des objets et des systèmes, qui ne peut être entièrement déterminée conditions extérieures et les circonstances.

Le concept d'une vision probabiliste du monde, fondée sur l'absolutisation des idées sur l'indépendance (comme avant le paradigme de la détermination rigide), a désormais révélé ses limites, qui affectent le plus fortement la transition. science moderneÀ méthodes analytiques recherche sur les systèmes complexes et les fondements physiques et mathématiques des phénomènes d'auto-organisation.

Excellente définition

Définition incomplète ↓

probabilité- un nombre compris entre 0 et 1 qui reflète les chances qu'un événement aléatoire se produise, où 0 est absence totale la probabilité qu'un événement se produise, et 1 signifie que l'événement en question se produira certainement.

La probabilité de l'événement E est un nombre compris entre 1 et 1.
La somme des probabilités d’événements mutuellement exclusifs est égale à 1.

probabilité empirique- la probabilité, qui est calculée comme la fréquence relative d'un événement dans le passé, extraite de l'analyse des données historiques.

La probabilité d’événements très rares ne peut être calculée empiriquement.

probabilité subjective- probabilité basée sur des données personnelles évaluation subjectiveévénements sans tenir compte des données historiques. Les investisseurs qui prennent des décisions concernant l’achat et la vente d’actions agissent souvent sur la base de considérations de probabilité subjective.

probabilité a priori -

La chance est de 1 sur... (cotes) qu'un événement se produise grâce au concept de probabilité. La probabilité qu'un événement se produise est exprimée en probabilité comme suit : P/(1-P).

Par exemple, si la probabilité d’un événement est de 0,5, alors la probabilité que cet événement se produise est de 1 sur 2 car 0,5/(1-0,5).

La probabilité qu'un événement ne se produise pas est calculée à l'aide de la formule (1-P)/P

Probabilité incohérente- par exemple, le prix des actions de la société A prend en compte 85% événement possible E, et dans le cours de l'action de la société B de seulement 50 %. C’est ce qu’on appelle une probabilité incohérente. Selon le théorème néerlandais des paris, une probabilité incohérente crée des opportunités de profit.

Probabilité inconditionnelle est la réponse à la question « Quelle est la probabilité que l’événement se produise ? »

Probabilité conditionnelle - c'est la réponse à la question : « Quelle est la probabilité de l'événement A si l'événement B se produit. » La probabilité conditionnelle est notée P(A|B).

Probabilité conjointe- la probabilité que les événements A et B se produisent simultanément. Noté P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(UNE|B)*P(B)

Règle pour résumer les probabilités :

La probabilité que l'événement A ou l'événement B se produise est

P (A ou B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Si les événements A et B s’excluent mutuellement, alors

P (A ou B) = P(A) + P(B)

Événements indépendants - les événements A et B sont indépendants si

P(UNE|B) = P(UNE), P(B|UNE) = P(B)

C'est-à-dire qu'il s'agit d'une séquence de résultats dont la valeur de probabilité est constante d'un événement à l'autre.
Un tirage au sort est un exemple d'un tel événement - le résultat de chaque tirage au sort suivant ne dépend pas du résultat du précédent.

Événements dépendants - ce sont des événements où la probabilité d'occurrence de l'un dépend de la probabilité d'occurrence d'un autre.

La règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants :
Si les événements A et B sont indépendants, alors

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Règle de probabilité totale :

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S et S" sont des événements mutuellement exclusifs

valeur attendue la variable aléatoire est la moyenne des résultats possibles variable aléatoire. Pour l’événement X, l’attente est notée E(X).

Disons que nous avons 5 valeurs d'événements mutuellement exclusifs avec une certaine probabilité (par exemple, le revenu d'une entreprise était tel ou tel montant avec telle probabilité). La valeur attendue est la somme de tous les résultats multipliée par leur probabilité :

La dispersion d'une variable aléatoire est l'attente des écarts carrés d'une variable aléatoire par rapport à son attente :

s2 = E(2) (6)

La valeur attendue conditionnelle est la valeur attendue d'une variable aléatoire X, à condition que l'événement S se soit déjà produit.

Probabilité l'événement est appelé le rapport du nombre de résultats élémentaires favorables cet événement, au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre mot français probabilité - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant groupe completévénements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu le étape initiale développement de la théorie des probabilités.

La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. Probabilité événement fiableégal à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. La probabilité d'un événement aléatoire est exprimée nombre positif, moins d'un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).

Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient

Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?

Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi,

Exemple 3. Deux dés sont lancés et le total des points est calculé. faces supérieures. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.

Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc

Exemple 4. Sélectionné au hasard nombre naturel, n’excédant pas 10. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?

Solution. Notons par la lettre C l'événement « le nombre choisi est premier ». DANS dans ce cas n = 10, m = 4 ( nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise

Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?

Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors

Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?

Solution. Numéros à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».

Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?

Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Courrier h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .

Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés soient lancés même numéro points.

Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise

Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu'une page ouverte au hasard ait numéro de série, multiple de 5 ?

Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où . Ainsi,
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".

Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?

Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .

Ainsi, P(A)>P(B), c’est-à-dire qu’obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d’obtenir un total de 8 points.

Tâches

1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est extraite de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points lancés est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?

Réponses

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Questions

1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?

Lorsqu'une pièce est lancée, nous pouvons dire qu'elle atterrira tête haute, ou probabilité c'est 1/2. Bien sûr, cela ne signifie pas que si une pièce est lancée 10 fois, elle tombera nécessairement sur face 5 fois. Si la pièce est « juste » et si elle est lancée plusieurs fois, alors face tombera très près la moitié du temps. Il existe donc deux types de probabilités : expérimental Et théorique .

Probabilité expérimentale et théorique

Si tu lances une pièce grand nombre fois - disons 1000 - et en comptant combien de fois il atterrit face, nous pouvons déterminer la probabilité qu'il atterrisse face. Si des têtes sont lancées 503 fois, nous pouvons calculer la probabilité qu’elles atterrissent :
503/1000, soit 0,503.

Ce expérimental définition de la probabilité. Cette définition de la probabilité provient de l’observation et de l’étude des données et est assez courante et très utile. Voici par exemple quelques probabilités déterminées expérimentalement :

1. La probabilité qu’une femme développe un cancer du sein est de 1/11.

2. Si vous embrassez quelqu'un qui a un rhume, la probabilité que vous ayez également un rhume est de 0,07.

3. Une personne qui vient de sortir de prison a 80 % de chances de retourner en prison.

Si l'on considère le fait de lancer une pièce et en tenant compte du fait qu'il est tout aussi probable qu'elle tombe face ou face, nous pouvons calculer la probabilité d'obtenir face : 1/2. définition théorique probabilités. Voici quelques autres probabilités qui ont été déterminées théoriquement à l’aide des mathématiques :

1. S’il y a 30 personnes dans une pièce, la probabilité que deux d’entre elles aient le même anniversaire (hors année) est de 0,706.

2. Lors d'un voyage, vous rencontrez quelqu'un, et au cours de la conversation vous découvrez que vous avez un ami commun. Réaction typique : « Ce n’est pas possible ! » En fait, cette phrase ne convient pas, car la probabilité qu'un tel événement se produise est assez élevée - un peu plus de 22 %.

Ainsi, les probabilités expérimentales sont déterminées par l'observation et la collecte de données. Les probabilités théoriques sont déterminées par un raisonnement mathématique. Des exemples de probabilités expérimentales et théoriques, telles que celles évoquées ci-dessus, et surtout celles auxquelles nous ne nous attendons pas, nous amènent à l’importance de l’étude des probabilités. Vous vous demandez peut-être : « Quelle est la vraie probabilité ? » En fait, cela n’existe pas. Il est possible de déterminer expérimentalement les probabilités dans dans certaines limites. Elles peuvent ou non coïncider avec les probabilités que nous obtenons théoriquement. Il existe des situations dans lesquelles il est beaucoup plus facile de déterminer un type de probabilité plutôt qu’un autre. Par exemple, il suffirait de trouver la probabilité d’attraper un rhume à l’aide de la probabilité théorique.

Calcul de probabilités expérimentales

Considérons d'abord détermination expérimentale probabilités. Le principe de base que nous utilisons pour calculer ces probabilités est le suivant.

Principe P (expérimental)

Si dans une expérience dans laquelle n observations sont effectuées, une situation ou un événement E se produit m fois dans n observations, alors la probabilité expérimentale de l'événement est dite P (E) = m/n.

Exemple 1 Enquête sociologique. A eu lieu étude expérimentale pour déterminer le nombre de gauchers, de droitiers et de personnes dont les deux mains sont également développées. Les résultats sont présentés dans le graphique.

a) Déterminer la probabilité que la personne soit droitière.

b) Détermine la probabilité que la personne soit gauchère.

c) Détermine la probabilité qu’une personne parle également couramment ses deux mains.

d) La plupart des tournois de la Professional Bowling Association sont limités à 120 joueurs. D’après les données de cette expérience, combien de joueurs pourraient être gauchers ?

Solution

a) Le nombre de droitiers est de 82, le nombre de gauchers est de 17 et le nombre de ceux qui maîtrisent également couramment les deux mains est de 1. Quantité totale observations - 100. Ainsi, la probabilité qu'une personne soit droitière est P
P = 82/100, soit 0,82, soit 82 %.

b) La probabilité qu'une personne soit gauchère est P, où
P = 17/100, soit 0,17, soit 17 %.

c) La probabilité qu'une personne parle également couramment ses deux mains est P, où
P = 1/100, soit 0,01, soit 1 %.

d) 120 quilleurs, et d'après (b) on peut s'attendre à ce que 17 % soient gauchers. D'ici
17% de 120 = 0,17,120 = 20,4,
c'est-à-dire que nous pouvons nous attendre à ce qu'environ 20 joueurs soient gauchers.

Exemple 2 Contrôle de qualité . Il est très important pour un fabricant de maintenir la qualité de ses produits à un niveau optimal. haut niveau. En fait, les entreprises embauchent des inspecteurs de contrôle qualité pour assurer ce processus. Le but est de produire un minimum quantité possible produits défectueux. Mais comme l’entreprise fabrique des milliers de produits chaque jour, elle ne peut pas se permettre de tester chaque produit pour déterminer s’il est défectueux ou non. Pour connaître le pourcentage de produits défectueux, l’entreprise teste beaucoup moins de produits.
Ministère agriculture Les États-Unis exigent que 80 % des graines vendues par les producteurs germent. Pour déterminer la qualité des semences produites par une entreprise agricole, 500 semences parmi celles produites sont plantées. Après cela, on a calculé que 417 graines avaient germé.

a) Quelle est la probabilité que la graine germe ?

b) Les semences répondent-elles aux normes gouvernementales ?

Solution a) Nous savons que sur 500 graines plantées, 417 ont germé. Probabilité de germination des graines P, et
P = 417/500 = 0,834, soit 83,4 %.

b) Puisque le pourcentage de graines germées a dépassé 80% comme requis, les graines répondent aux normes gouvernementales.

Exemple 3 Audiences télévisées. Selon les statistiques, il y a 105 500 000 foyers équipés d’un téléviseur aux États-Unis. Chaque semaine, des informations sur les programmes visionnés sont collectées et traitées. En une semaine, 7 815 000 foyers ont regardé la série comique à succès « Everybody Loves Raymond » sur CBS et 8 302 000 foyers ont regardé la série à succès « Law & Order » sur NBC (Source : Nielsen Media Research). Quelle est la probabilité que la télévision d'un foyer soit réglée sur "Everybody Loves Raymond" au cours d'une semaine donnée sur "Law & Order" ?

Solution La probabilité que le téléviseur d'un foyer soit réglé sur "Tout le monde aime Raymond" est P, et
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
La probabilité que la télévision du foyer soit réglée sur Law & Order est P, et
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Ces pourcentages sont appelés notes.

Probabilité théorique

Supposons que nous menions une expérience, comme lancer une pièce de monnaie ou des fléchettes, tirer une carte d'un jeu ou vérifier la qualité des produits sur une chaîne de montage. Chaque résultat possible d’une telle expérience est appelé Exode . L’ensemble de tous les résultats possibles est appelé espace de résultat . Événement c'est un ensemble de résultats, c'est-à-dire un sous-ensemble de l'espace des résultats.

Exemple 4 Lancer des fléchettes. Supposons que lors d’une expérience de lancer de fléchettes, une fléchette touche une cible. Recherchez chacun des éléments suivants :

b) Espace de résultats

Solution
a) Les résultats sont les suivants : toucher le noir (B), toucher le rouge (R) et toucher le blanc (B).

b) L’espace des résultats est (toucher le noir, frapper le rouge, frapper le blanc), qui peut s’écrire simplement comme (H, K, B).

Exemple 5 Lancer des dés. Un dé est un cube à six faces, chacune comportant un à six points.


Supposons que nous lançons un dé. Trouver
a) Résultats
b) Espace de résultats

Solution
a) Résultats : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Espace de résultats (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Nous désignons la probabilité qu’un événement E se produise par P(E). Par exemple, « la pièce atterrira sur face » peut être noté H. Alors P(H) représente la probabilité que la pièce atterrisse sur face. Lorsque tous les résultats d’une expérience ont la même probabilité de se produire, on dit qu’ils sont également probables. Pour voir les différences entre les événements équiprobables et les événements qui ne le sont pas, considérez la cible indiquée ci-dessous.

Pour la cible A, les événements consistant à toucher le noir, le rouge et le blanc sont également probables, puisque les secteurs noir, rouge et blanc sont les mêmes. Cependant, pour la cible B, les zones avec ces couleurs ne sont pas les mêmes, c'est-à-dire que les chances de les atteindre n'ont pas la même probabilité.

Principe P (Théorique)

Si un événement E peut se produire de m manières parmi n résultats équiprobables possibles à partir de l’espace de résultats S, alors probabilité théorique événements, P(E) est
P(E) = m/n.

Exemple 6 Quelle est la probabilité de lancer un dé pour obtenir un 3 ?

Solution Il y a 6 résultats équiprobables sur un dé et il n’y a qu’une seule possibilité de lancer le nombre 3. Alors la probabilité P sera P(3) = 1/6.

Exemple 7 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair sur un dé ?

Solution L'événement consiste à lancer un nombre pair. Cela peut se produire de 3 manières (si vous obtenez un 2, un 4 ou un 6). Le nombre de résultats équiprobables est de 6. Alors la probabilité P(pair) = 3/6, ou 1/2.

Nous utiliserons un certain nombre d’exemples impliquant un jeu standard de 52 cartes. Ce jeu est composé des cartes illustrées dans la figure ci-dessous.

Exemple 8 Quelle est la probabilité de tirer un As dans un jeu de cartes bien mélangé ?

Solution Il y a 52 résultats (le nombre de cartes dans le jeu), ils sont également probables (si le jeu est bien mélangé), et il y a 4 façons de tirer un As, donc selon le principe P, la probabilité
P (tirer un as) = ​​4/52, soit 1/13.

Exemple 9 Supposons que nous choisissions, sans regarder, une boule dans un sac contenant 3 boules rouges et 4 boules vertes. Quelle est la probabilité de choisir une boule rouge ?

Solution Il y a 7 résultats équiprobables pour tirer une boule rouge, et comme le nombre de façons de tirer une boule rouge est de 3, nous obtenons
P (sélection de boule rouge) = 3/7.

Les déclarations suivantes sont les résultats du principe P.

Propriétés de probabilité

a) Si l'événement E ne peut pas se produire, alors P(E) = 0.
b) Si l'événement E est certain de se produire, alors P(E) = 1.
c) La probabilité que l'événement E se produise est un nombre de 0 à 1 : 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Par exemple, lors d’un tirage au sort, le cas où la pièce atterrit sur sa tranche a une probabilité nulle. La probabilité qu’une pièce soit face ou face a une probabilité de 1.

Exemple 10 Supposons que 2 cartes soient tirées d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que les deux soient des pics ?

Solution Le nombre n de façons de piocher 2 cartes dans un jeu bien mélangé de 52 cartes est de 52 C 2 . Puisque 13 des 52 cartes sont des piques, le nombre de façons m de tirer 2 piques est de 13 C 2 . Alors,
P(tirer 2 pics)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Exemple 11 Supposons que 3 personnes soient sélectionnées au hasard parmi un groupe de 6 hommes et 4 femmes. Quelle est la probabilité que 1 homme et 2 femmes soient sélectionnés ?

Solution Le nombre de façons de sélectionner trois personnes dans un groupe de 10 personnes est de 10 C 3. Un homme peut être choisi de 6 manières C 1, et 2 femmes peuvent être choisies de 4 manières C 2. Selon le principe fondamental du comptage, le nombre de façons de choisir 1 homme et 2 femmes est de 6 C 1. 4C2. Alors la probabilité que 1 homme et 2 femmes soient sélectionnés est
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Exemple 12 Lancer des dés. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 avec deux dés ?

Solution Chaque dé a 6 résultats possibles. Les résultats sont doublés, ce qui signifie qu'il existe 6,6 ou 36 façons possibles d'afficher les chiffres sur les deux dés. (C'est mieux si les cubes sont différents, disons que l'un est rouge et l'autre bleu - cela aidera à visualiser le résultat.)

Les paires de nombres dont la somme donne 8 sont illustrées dans la figure ci-dessous. Il y en a 5 moyens possibles recevoir une somme égale à 8, donc la probabilité est de 5/36.