Séries trigonométriques et leurs propriétés. Séries de nombres de complexité accrue

Série trigonométrique Définition. La fonction /(x) définie sur numéro illimité D est dit périodique s'il existe un nombre T Ф 0 tel que pour chaque x D la condition est satisfaite. Le plus petit de ces nombres T est appelé la période de la fonction f(x). Exemple 1. Une fonction définie sur un intervalle est périodique, puisqu'il existe un nombre T = 2* φ O tel que la condition est satisfaite pour tout x. Ainsi, fonction péché x a une période T = 2zh. Il en va de même pour la fonction Exemple 2. Une fonction définie sur un ensemble D de nombres est périodique, puisqu'il existe un nombre T Ф 0, à savoir T = tel que pour x 6 D nous avons Définition. Gamme fonctionnelle type ao SÉRIE DE FOURIER Série trigonométrique Orthogonalité système trigonométrique Série de Fourier trigonométrique Les conditions suffisantes pour la décomposabilité d'une fonction dans une série de Fourier sont appelées série trigonométrique, et les constantes a0, a„, bn (n = 1, 2,...) sont appelées coefficients de la série trigonométrique (1). Les sommes partielles 5n(g) de la série trigonométrique (1) sont des combinaisons linéaires de fonctions d'un système de fonctions appelé système trigonométrique. Puisque les membres de cette série sont des fonctions périodiques de période 2n-, alors dans le cas de convergence de la série (I), sa somme S(x) sera une fonction périodique de période T = 2m : Définition. Développer une fonction périodique f(x) de période T = 2n en une série trigonométrique (1) signifie trouver une série trigonométrique convergente dont la somme est égale à la fonction /(x). . Orthogonalité du système trigonométrique Définition. Les fonctions f(x) et d(x), continues sur l'intervalle [a, 6], sont dites orthogonales sur cet intervalle si la condition est satisfaite. Par exemple, les fonctions sont orthogonales sur l'intervalle [-1,1], depuis la définition. Un système fini ou infini de fonctions intégrables sur l'intervalle [a, b] est appelé système orthogonal sur l'intervalle [a, 6), si pour tout nombre de type tel que m Φ n, le Théorème d'égalité 1. Le système trigonométrique est orthogonal sur l'intervalle Pour tout entier n Φ 0 on a formules connues trigonométrie pour tout naturel m et n, m Ф n, on trouve : Enfin, grâce à la formule pour tout type entier on obtient Série de Fourier trigonométrique Fixons-nous pour tâche de calculer les coefficients de la série trigonométrique (1), sachant la fonction Théorème 2. Soit l'égalité pour toutes les valeurs x, et la série du côté droit de l'égalité converge uniformément sur l'intervalle [-3z, x]. Alors les formules suivantes sont valables : convergence uniforme la série (1) implique la continuité et, par conséquent, l'intégrabilité de la fonction f(x). Les égalités (2) ont donc un sens. De plus, la série (1) peut être intégrée terme par terme. Nous avons d'où découle la première des formules (2) pour n = 0. Multiplions maintenant les deux côtés de l'égalité (1) par fonction cos mi, où m est un nombre naturel arbitraire : la série (3), comme la série (1), converge uniformément. On peut donc l'intégrer terme par terme. Toutes les intégrales du côté droit, sauf une, qui est obtenue pour n = m, sont égales à zéro en raison de l'orthogonalité du système trigonométrique. Par conséquent, d'où De la même manière, en multipliant les deux côtés de l'égalité (1) par sinmx et en intégrant de -m à m, nous obtenons d'où Soit un arbitraire fonction périodique f(x) de période 2*, intégrable sur l'intervalle *]. On ne sait pas à l’avance si elle peut être représentée comme la somme d’une série trigonométrique convergente. Cependant, à l'aide des formules (2), il est possible de calculer les constantes a„ et bn. Définition. Une série trigonométrique dont les coefficients oq, an, b„ sont déterminés par la fonction f(x) selon les formules SÉRIE DE FOURIER Série trigonométrique Orthogonalité du système trigonométrique Série de Fourier trigonométrique Conditions suffisantes pour la décomposabilité d'une fonction en un Fourier Les séries sont appelées séries de Fourier trigonométriques de la fonction f(x), et les coefficients a„ , bnt déterminés par ces formules sont appelés coefficients de Fourier de la fonction /(x). Chaque fonction f(x) intégrable sur l'intervalle [-тр, -к] peut être associée à sa série de Fourier, c'est-à-dire série trigonométrique dont les coefficients sont déterminés par les formules (2). Cependant, si l'on n'exige rien de la fonction f(x) autre que l'intégrabilité sur l'intervalle [-x*, m], alors le signe de correspondance dans la dernière relation, d'une manière générale, ne peut pas être remplacé par le signe égal. Commentaire. Il est souvent nécessaire d'étendre la fonction /(x) en une série trigonométrique, définie uniquement sur l'intervalle (-*, n\ et donc non périodique. Puisque dans les formules (2) pour les coefficients de Fourier les intégrales sont calculées sur l'intervalle *], alors pour de telles fonctions, on peut aussi écrire une série de Fourier trigonométrique. En même temps, si l'on continue la fonction f(x) périodiquement le long de tout l'axe Ox, on obtient une fonction F(x), périodique. de période 2n, coïncidant avec /(x) sur l'intervalle (-ir, l) : Cette fonction F(x) est appelée une extension périodique de la fonction /(x) De plus, la fonction F(x) n'a pas. définition sans ambiguïté aux points x = ±n, ±3r, ±5r,.... La série de Fourier pour la fonction F(x) est identique à la série de Fourier pour la fonction /(x). De plus, si la série de Fourier pour la fonction /(x) converge vers elle, alors sa somme, étant une fonction périodique, donne une continuation périodique de la fonction /(x) du segment |-jt, n\ à l'ensemble Axe du bœuf. En ce sens, parler de série de Fourier pour la fonction /(x), définie sur l'intervalle (-i-, jt|, équivaut à parler de série de Fourier pour la fonction F(x), qui est une continuation périodique de la fonction /(x) sur tout l'axe Ox. Il s'ensuit qu'il suffit de formuler les critères de convergence des séries de Fourier pour les fonctions périodiques §4 Conditions suffisantes pour la décomposabilité d'une fonction dans une série de Fourier. indication suffisante convergence de la série de Fourier, c'est-à-dire que nous formulons des conditions sur fonction donnée, sous laquelle converge la série de Fourier construite à partir de celle-ci, et nous découvrirons comment se comporte la somme de cette série. Il est important de souligner que bien que la classe de fonctions monotones par morceaux donnée ci-dessous soit assez large, les fonctions pour lesquelles la série de Fourier converge n'en sont pas épuisées. Définition. Une fonction f(x) est dite monotone par morceaux sur le segment [a, 6] si ce segment peut être divisé en intervalles par un nombre fini de points, sur chacun desquels f(x) est monotone, c'est-à-dire soit ne diminue pas, soit n'augmente pas (voir Fig. 1). Exemple 1. La fonction est monotone par morceaux sur l'intervalle (-oo,oo), puisque cet intervalle peut être divisé en deux intervalles (-co, 0) et (0, +oo), sur le premier desquels il diminue (et n'augmente donc pas), mais à la seconde il augmente (et donc ne diminue pas). Exemple 2. La fonction est monotone par morceaux sur le segment [-зг, jt|, puisque ce segment peut être divisé en deux intervalles dans le premier desquels cos i augmente de -I à +1, et dans le second il diminue de. Théorème 3. Une fonction f(x), monotone par morceaux et bornée sur l'intervalle (a, b], ne peut avoir sur elle que des points de discontinuité de première espèce. Soit, par exemple, un point de discontinuité de la fonction f(x ). Ensuite, en raison de la fonction de limite f(x) et de la monotonie, il existe des limites unilatérales finies des deux côtés du point c. Cela signifie que le point c est un point de discontinuité du premier type (Fig. 2). Théorème 4. Si une fonction périodique f(x) de période 2π est monotone par morceaux et est bornée sur l'intervalle [-m, m), alors sa série de Fourier converge en chaque point x de cet intervalle, et pour la somme de. cette série les égalités sont satisfaites : Prmmer3. La fonction /(z) de période 2jt, définie sur l'intervalle (-*,*) par l'égalité (Fig. 3), satisfait aux conditions du théorème. On peut donc l’étendre à une série de Fourier. On trouve les coefficients de Fourier pour cela : La série de Fourier pour cette fonction a la forme Exemple 4. Développez la fonction en une série de Fourier (Fig. 4) sur l'intervalle Cette fonction satisfait les conditions du théorème. Trouvons les coefficients de Fourier. Utilisation de la propriété d'additivité Intégrale définie, nous aurons SÉRIE DE FOURIER Série trigonométrique Orthogonalité du système trigonométrique Série de Fourier trigonométrique Conditions suffisantes pour la décomposabilité d'une fonction dans une série de Fourier Par conséquent, la série de Fourier a la forme suivante : Aux extrémités du segment (-i, ir] , c'est-à-dire aux points x = -x et x = x, qui sont des points de discontinuité de première espèce, nous aurons Remarque Si nous mettons x = 0 dans la série de Fourier trouvée, alors nous obtenons de cela.

En science et en technologie, nous sommes souvent confrontés à des phénomènes périodiques, c'est-à-dire ceux qui sont reproduits après un certain temps T, appelé période. La plus simple des fonctions périodiques (à l'exception d'une constante) est la grandeur sinusoïdale : Un péché(X+ ), oscillation harmonique, où il existe une « fréquence » liée à la période par le rapport : . À partir de fonctions périodiques aussi simples, des fonctions plus complexes peuvent être composées. Évidemment, les grandeurs sinusoïdales composantes doivent être de fréquences différentes, puisque l'addition de grandeurs sinusoïdales de même fréquence aboutit à une grandeur sinusoïdale de même fréquence. Si vous additionnez plusieurs quantités du formulaire

A titre d'exemple, nous reproduisons ici l'addition de trois grandeurs sinusoïdales : . Regardons le graphique de cette fonction

Ce graphique est très différent d’une onde sinusoïdale. Aussi dans dans une plus grande mesure cela se produit pour la somme d'une série infinie composée de termes de ce type. Posons la question : cette fonction périodique de la période peut-elle être T représenter comme une somme de finis ou du moins nombre infini quantités sinusoïdales ? Il s'avère que par rapport à une large classe de fonctions, cette question peut recevoir une réponse affirmative, mais ce n'est que si nous impliquons toute la séquence infinie de ces termes. Géométriquement, cela signifie que le graphique d'une fonction périodique est obtenu en superposant une série de sinusoïdes. Si l'on considère chacun valeur sinusoïdale comme une harmonique mouvement oscillatoire, on peut alors dire qu'il s'agit d'une oscillation complexe caractérisée par une fonction ou simplement ses harmoniques (première, seconde, etc.). Le processus de décomposition d'une fonction périodique en harmoniques est appelé analyse harmonique.

Il est important de noter que de telles expansions s’avèrent souvent utiles dans l’étude de fonctions spécifiées uniquement dans un certain intervalle fini et non générées par un phénomène oscillatoire.

Définition. Une série trigonométrique est une série de la forme :

Ou (1).

Nombres réels sont appelés coefficients de la série trigonométrique. Cette série peut également s'écrire ainsi :

Si une série du type présenté ci-dessus converge, alors sa somme est une fonction périodique de période 2p.

Définition. Les coefficients de Fourier d'une série trigonométrique sont appelés : (2)

(3)

(4)

Définition. Fourier à proximité pour fonction f(x) est appelée une série trigonométrique dont les coefficients sont des coefficients de Fourier.

Si la série de Fourier d'une fonction f(x) converge vers elle en tous ses points de continuité, alors on dit que la fonction f(x) se développe en une série de Fourier.

Théorème.(Théorème de Dirichlet) Si une fonction a une période de 2p et est continue sur un intervalle ou a numéro final points de discontinuité du premier type, le segment peut être divisé en un nombre fini de segments pour qu'à l'intérieur de chacun d'eux la fonction soit monotone, alors la série de Fourier de la fonction converge pour toutes les valeurs X, et aux points de continuité de la fonction sa somme S(x) est égal à , et aux points de discontinuité sa somme est égale à , c'est-à-dire la moyenne arithmétique des valeurs limites à gauche et à droite.

Dans ce cas, la série de Fourier de la fonction f(x) converge uniformément sur tout segment appartenant à l'intervalle de continuité de la fonction.

Une fonction qui satisfait aux conditions de ce théorème est dite lisse par morceaux sur le segment.

Considérons des exemples de développement d'une fonction dans une série de Fourier.

Exemple 1. Développez la fonction dans une série de Fourier f(x)=1-x, ayant une période 14h et donné sur le segment.

Solution. Traçons cette fonction

Cette fonction est continue sur le segment , c'est-à-dire sur un segment de longueur une période, elle peut donc être développée en une série de Fourier, convergeant vers elle en chaque point de ce segment. A l'aide de la formule (2) on trouve le coefficient de cette série : .

Appliquons la formule d'intégration par parties et trouvons respectivement à partir des formules (3) et (4) :

En substituant les coefficients dans la formule (1), on obtient ou .

Cette égalité est valable en tous les points sauf les points et (points où les graphiques sont joints). En chacun de ces points, la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique de ses valeurs limites à droite et à gauche, c'est-à-dire.

Présentons un algorithme pour décomposer la fonction dans la série de Fourier.

Procédure générale La solution au problème se résume à ce qui suit.

Par cosinus et sinus d'arcs multiples, soit une série de la forme

ou dans forme complexe

Où un k,bb ou, en conséquence, ck appelé Coefficients T.r.
Pour la première fois, T. r. trouvé dans L. Euler (L. Euler, 1744). Il a eu une décomposition

Tout R. 18ème siècle Dans le cadre de l'étude du problème de la vibration libre d'une corde, la question s'est posée de la possibilité de représenter une fonction caractérisant position de départ chaînes, sous la forme de la somme de T. r. Cette question a suscité un débat houleux qui a duré plusieurs décennies, parmi les meilleurs analystes de l'époque - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er). Les controverses portaient sur le contenu de la notion de fonction. À cette époque, les fonctions étaient généralement associées à leurs fonctions analytiques. mission, qui a conduit à considérer uniquement des analyses ou par morceaux fonctions analytiques. Et ici il est devenu nécessaire pour une fonction dont le graphe est tout à fait arbitraire de construire un TR représentant cette fonction. Mais l’importance de ces conflits est plus grande. En fait, ils ont discuté ou surgi en relation avec des questions liées à de nombreux notions importantes et des idées mathématiques. analyse en général - représentation des fonctions par séries de Taylor et analytique. continuation des fonctions, utilisation de séries divergentes, limites, systèmes d'équations infinis, fonctions par polynômes, etc.
Et à l'avenir, comme dans cette période initiale, la théorie du tr. a servi de source de nouvelles idées en mathématiques. Intégrale de Fourier, fonctions presque périodiques, séries orthogonales générales, abstraites. Recherche sur T. r. a servi de point de départ à la création de la théorie des ensembles. T.r. sont un outil puissant pour représenter et explorer les fonctions.
La question, qui a suscité des controverses parmi les mathématiciens du XVIIIe siècle, a été résolue en 1807 par J. Fourier, qui a indiqué des formules pour calculer les coefficients de la thermodynamique. (1), ce qui devrait. représente la fonction f(x) :

et les a appliqués à la résolution de problèmes de conductivité thermique. Les formules (2) sont appelées formules de Fourier, bien qu'elles aient été trouvées plus tôt chez A. Clairaut (1754) et que L. Euler (1777) y soit parvenu en utilisant l'intégration terme par terme. T.r. (1), dont les coefficients sont déterminés par les formules (2), appelées. Série de Fourier de la fonction f, et les nombres un k, bk- Coefficients de Fourier.
La nature des résultats obtenus dépend de la façon dont on comprend la représentation d'une fonction par une série, de la façon dont on comprend l'intégrale dans les formules (2). Théorie moderne T.r. acquis après l'apparition de l'intégrale de Lebesgue.
La théorie de T. r. peut être divisé en deux grandes sections - théorie série de Fourier, dans laquelle on suppose que la série (1) est la série de Fourier d'une certaine fonction, et la théorie de la thermodynamique générale, où une telle hypothèse n'est pas faite. Voici les principaux résultats obtenus en théorie de la thermodynamique générale. (dans ce cas, les ensembles et la mesurabilité des fonctions s'entendent selon Lebesgue).
La première systématique L'étude de TR, dans laquelle il n'était pas supposé que ces séries étaient des séries de Fourier, était la thèse de W. Riemann (W. Riemann, 1853). Par conséquent, la théorie du général T. r. appelé parfois la théorie riemannienne de T. r.
Étudier les propriétés d’un TR arbitraire. (1) avec des coefficients tendant vers zéro considéré par B. Riemann. fonction continue F(x) , qui est la somme d’une série uniformément convergente

obtenu après double intégration terme par terme de la série (1). Si la série (1) converge en un certain point x vers un nombre s, alors en ce point il existe et est égal à s une seconde symétrique. Fonctions F :

alors cela conduit à la sommation des séries (1), générées par les facteurs appelé Méthode de sommation de Riemann. A l'aide de la fonction F, le principe de localisation de Riemann est formulé, selon lequel le comportement de la série (1) au point x ne dépend que du comportement de la fonction F dans un voisinage arbitrairement petit de ce point.
Si T. r. converge vers un ensemble de mesure positive, alors ses coefficients tendent vers zéro (Cantor-Lebesgue). En quête de coefficients zéro de TR. découle également de sa convergence sur un ensemble de la deuxième catégorie (W. Young, W. Young, 1909).
Un des problèmes centraux théories du général T. r. est le problème de la représentation d’une fonction arbitraire d’un TR. Après avoir renforcé les résultats de N. N. Luzin (1915) sur la représentation des fonctions de T. R., résumables par les méthodes d'Abel-Poisson et de Riemann, D. E. Menshov a démontré (1940) le théorème suivant relatif au cas le plus important, lorsque la représentation de la fonction f est compris comme T.r. À F(x)presque partout. Pour toute fonction f mesurable et finie presque partout, il existe une équation linéaire qui converge vers elle presque partout (théorème de Menshov). Il est à noter que même si f est intégrable, alors, d'une manière générale, il est impossible de prendre la série de Fourier d'une fonction f comme une telle série, puisqu'il existe des séries de Fourier qui divergent partout.
Le théorème de Menshov ci-dessus permet la clarification suivante : si une fonction f est mesurable et finie presque partout, alors il existe tel que presque partout et la série de Fourier différenciée par termes de la fonction j converge vers f(x) presque partout (N.K. Bari, 1952).
On ne sait pas (1984) s’il est possible d’omettre la condition de finitude de la fonction f presque partout dans le théorème de Menshov. En particulier, on ne sait pas (1984) si T. r. convergent presque partout vers
Par conséquent, le problème de la représentation de fonctions pouvant prendre des valeurs infinies sur un ensemble de mesures positives a été considéré pour le cas où elle est remplacée par l'exigence la plus faible - . La convergence en mesure vers des fonctions pouvant prendre des valeurs infinies est définie comme suit : sommes partielles T. p. s n(x)converge en mesure vers la fonction f(x) . si où fn(x)convergent vers / (x)presque partout, et la séquence converge vers zéro en mesure. Dans cette formulation, la question de la représentation des fonctions est complètement résolue : pour chaque fonction mesurable il existe un TR qui converge vers elle en mesure (D. E. Menshov, 1948).
De nombreuses études ont été consacrées au problème de l'unicité des TR : si deux TR différents peuvent diverger vers la même fonction ; dans une autre formulation : si T. r. converge vers zéro, il s’ensuit alors que tous les coefficients de la série sont égaux à zéro. Ici, nous pouvons signifier une convergence en tous points ou en tous points en dehors d'un certain ensemble. La réponse à ces questions dépend essentiellement des propriétés de cet ensemble, en dehors desquelles la convergence n’est pas supposée.
La terminologie suivante a été établie. De nombreux noms caractère unique pour beaucoup ou U- ensemble, si à partir de la convergence de T. r. à zéro partout, sauf peut-être les points de l'ensemble E, il s'ensuit que tous les coefficients de cette série sont égaux à zéro. Sinon Yenaz. M-set.
Comme l'a montré G. Cantor (G. Cantor, 1872), tout comme tout ensemble fini sont des U-ensembles. Un arbitraire est aussi un U-set (W. Jung, 1909). D’un autre côté, tout ensemble de mesures positives est un ensemble M.
L'existence de M-ensembles de mesures a été établie par D. E. Menshov (1916), qui a construit le premier exemple d'un ensemble parfait possédant ces propriétés. Ce résultat est d’une importance fondamentale dans le problème de l’unicité. De l'existence de M-ensembles de mesure zéro, il résulte que lorsque les fonctions d'une série triangulaire sont représentées comme convergeant presque partout, ces séries sont déterminées d'une manière évidemment unique.
Les ensembles parfaits peuvent également être des ensembles en U (N.K. Bari ; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Dans le problème de l'unicité, un rôle très important est joué par caractéristiques subtiles ensembles de mesure zéro. Question générale sur la classification des ensembles de mesure nulle en M- et l'ensemble U reste (1984) ouvert. Ce n'est pas résolu même pour ensembles parfaits.
Le problème suivant est lié au problème d’unicité. Si T. r. converge vers une fonction alors cette série devrait-elle être une série de Fourier de la fonction /. P. Du Bois-Reymond (1877) a donné une réponse positive à cette question si f est riemannienne intégrable et si la série converge vers f(x) en tout point. D'après les résultats de III. J. La Vallée Poussin (Ch. J. La Vallée Poussin, 1912) s'ensuit que la réponse est positive même dans le cas où partout, à l'exception d'un ensemble dénombrable de points, la série converge et sa somme est finie.
Si une série série converge absolument en un certain point x 0, alors les points de convergence de cette série, ainsi que les points de sa convergence absolue, sont situés symétriquement par rapport au point x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Selon Denjoy - Théorème de Luzin de la convergence absolue de TR. (1) sur un ensemble de mesure positive la série converge et donc convergence absolue rangée (1) pour tous X. Les ensembles de la deuxième catégorie, ainsi que certains ensembles de mesure zéro, possèdent également cette propriété.
Cette revue ne couvre que les TR unidimensionnels. (1). Il existe des résultats distincts liés au général T. r. à partir de plusieurs variables. Ici, dans de nombreux cas, il est encore nécessaire de trouver des formulations naturelles des problèmes.

Allumé.: Bari N.K., Série trigonométrique, M., 1961 ; Zygmund A., Série trigonométrique, trans. de l'anglais, vol. 1-2, M., 1965 ; Luzin N.N., Séries intégrales et trigonométriques, M.-L., 1951 ; Riemann B., Soch., trad. de l'allemand, M.-L., 1948, p. 225-61.
S.A. Telyakovsky.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est « SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE » dans d'autres dictionnaires :

Une série de la forme où les coefficients a0, a1, b1, a2, b2... ne dépendent pas de la variable x... Grand dictionnaire encyclopédique

En mathématiques, une série trigonométrique est toute série de la forme : Une série trigonométrique est appelée série de Fourier d'une fonction si les coefficients et sont définis comme suit... Wikipédia

Série fonctionnelle de la forme (1), c'est-à-dire une série située le long des sinus et cosinus de plusieurs arcs. Souvent T.r. écrits sous forme complexe. Les nombres an, bn ou cn sont appelés coefficients T.… … Grande Encyclopédie Soviétique

Une série de la forme où les coefficients a0, a1, b1, a2, b2, ... ne dépendent pas de la variable x. * * * SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE, une série de la forme où les coefficients a0, a1, b1, a2, b2... ne dépendent pas de la variable x... Dictionnaire encyclopédique

Représentation en série de Fourier trigonométrique d'une fonction arbitraire avec une période sous forme de série (1) ou utilisant dossier complexe, sous forme de série : . Contenu... Wikipédia

série de Fourier trigonométrique infinie- - Thèmes des télécommunications, concepts de base Série EN Fourier... Guide du traducteur technique

Notes d'introduction

Nous considérerons les expressions de la série de Fourier sous forme trigonométrique et complexe, et prêterons également attention aux conditions de Dirichlet pour la convergence de la série de Fourier. De plus, nous nous attarderons en détail sur l'explication d'un concept tel que la fréquence négative du spectre du signal, qui pose souvent des difficultés lorsqu'on se familiarise avec la théorie de l'analyse spectrale.

Signal périodique. Série de Fourier trigonométrique

A titre d'exemple, la figure 1 montre une séquence d'impulsions rectangulaires de durée c, répétées avec une période de c.

Figure 1. Séquence périodique

Impulsions rectangulaires

Du cours analyse mathematique on sait que le système de fonctions trigonométriques

Les conditions de Dirichlet pour la convergence de la série de Fourier nécessitent qu'un signal périodique soit spécifié sur le segment et satisfasse aux conditions suivantes :

Par exemple, la fonction périodique ne satisfait pas aux conditions de Dirichlet car la fonction a des discontinuités du deuxième type et prend des valeurs infinies en , où est un entier arbitraire. Donc la fonction ne peut pas être représenté par une série de Fourier. Vous pouvez également donner un exemple de la fonction , qui est limité, mais ne satisfait pas non plus aux conditions de Dirichlet, car il possède un nombre infini de points extremum à mesure qu'il se rapproche de zéro. Graphique d'une fonction illustré à la figure 2.

Figure 2. Graphique de fonction :

A - deux périodes de répétition ; b - à proximité

La figure 2a montre deux périodes de répétition de la fonction , et sur la figure 2b - la zone à proximité de . On peut voir qu'à mesure qu'elle s'approche de zéro, la fréquence d'oscillation augmente infiniment, et une telle fonction ne peut pas être représentée par une série de Fourier, car elle n'est pas monotone par morceaux.

Il convient de noter qu'en pratique, il n'existe pas de signaux avec des valeurs de courant ou de tension infinies. Fonctionne avec nombre infini extrema de type aussi dans problèmes appliqués ne se rencontrent pas. Tous les signaux périodiques réels satisfont aux conditions de Dirichlet et peuvent être représentés par une série de Fourier trigonométrique infinie de la forme :

Dans l'expression (2), le coefficient spécifie la composante constante du signal périodique.

En tous points où le signal est continu, la série de Fourier (2) converge vers les valeurs du signal donné, et aux points de discontinuité du premier type - vers la valeur moyenne, où et sont les limites à gauche et à droite du point de discontinuité, respectivement.

On sait également au cours de l'analyse mathématique que l'utilisation d'une série de Fourier tronquée, contenant uniquement les premiers termes au lieu d'une somme infinie, conduit à une représentation approximative du signal :

Figure 3. Approximation des signaux à l'aide d'une série de Fourier tronquée :

A - impulsions rectangulaires ; b - signal en dents de scie

Série de Fourier sous forme complexe

Ainsi, un signal périodique peut être représenté par la somme d'une composante constante et d'exponentielles complexes tournant à des fréquences avec des coefficients pour les fréquences positives et pour des exponentielles complexes tournant à des fréquences négatives.

Considérons les coefficients des exponentielles complexes tournant avec des fréquences positives :

Les expressions (6) et (7) coïncident de plus, la composante constante peut également s'écrire via une exponentielle complexe à fréquence nulle :

Ainsi, (5), en tenant compte de (6)-(8), peut être représenté comme une somme unique lorsqu'il est indexé de moins l'infini à l'infini :

L'expression (9) est une série de Fourier sous forme complexe. Les coefficients de la série de Fourier sous forme complexe sont liés aux coefficients de la série en forme trigonométrique, et sont déterminés pour les fréquences positives et négatives. L'indice dans la désignation de la fréquence indique le numéro de l'harmonique discrète, les indices négatifs correspondant aux fréquences négatives.

De l'expression (2) il résulte que pour un signal réel les coefficients de la série (2) sont également réels. Cependant, (9) associe un signal réel à un ensemble de coefficients conjugués complexes liés aux fréquences positives et négatives.

Quelques explications de la série de Fourier sous forme complexe

Premièrement, travailler avec des exposants complexes est dans la plupart des cas plus facile que travailler avec des fonctions trigonométriques. Par exemple, lors de la multiplication et de la division d'exposants complexes, il suffit d'ajouter (soustraire) les exposants, tandis que les formules de multiplication et de division des fonctions trigonométriques sont plus lourdes.

Différencier et intégrer des exponentielles, même complexes, est également plus facile que fonctions trigonométriques, qui changent constamment au cours de la différenciation et de l'intégration (le sinus se transforme en cosinus et vice versa).

Si le signal est périodique et réel, alors la série de Fourier trigonométrique (2) semble plus claire, car tous les coefficients de dilatation , et restent réels. Cependant, on est souvent confronté à des signaux périodiques complexes (par exemple, lors de la modulation et de la démodulation, une représentation en quadrature de l'enveloppe complexe est utilisée). Dans ce cas, lors de l'utilisation de la série de Fourier trigonométrique, tous les coefficients et expansions (2) deviendront complexes, tandis que lors de l'utilisation de la série de Fourier sous forme complexe (9), les mêmes coefficients d'expansion seront utilisés pour les signaux d'entrée réels et complexes. .

Et enfin, il faut s'attarder sur l'explication des fréquences négatives apparues en (9). Cette question suscite souvent des malentendus. DANS Vie courante nous ne rencontrons pas de fréquences négatives. Par exemple, nous ne réglons jamais notre radio sur une fréquence négative. Considérons l'analogie suivante avec la mécanique. Supposons qu'il y ait un pendule à ressort mécanique qui oscille librement avec une certaine fréquence. Un pendule peut-il osciller avec une fréquence négative ? Bien sûr que non. Tout comme il n’existe pas de stations de radio émettant à des fréquences négatives, la fréquence des oscillations d’un pendule ne peut pas être négative. Mais un pendule à ressort est un objet unidimensionnel (le pendule oscille le long d’une ligne droite).

On peut aussi donner une autre analogie avec la mécanique : une roue tournant avec une fréquence de . La roue, contrairement au pendule, tourne, c'est-à-dire un point à la surface de la roue se déplace dans un plan et n'oscille pas simplement le long d'une ligne droite. Par conséquent, pour spécifier de manière unique la rotation de la roue, le réglage de la vitesse de rotation ne suffit pas, car il faut également régler le sens de rotation. C’est précisément pourquoi nous pouvons utiliser le signe de fréquence.

Ainsi, si la roue tourne avec une fréquence rad/s dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors on considère que la roue tourne avec une fréquence positive, et si dans le sens des aiguilles d'une montre, alors la fréquence de rotation sera négative. Ainsi, pour une commande de rotation, une fréquence négative cesse d'être un non-sens et indique le sens de rotation.

Et maintenant, la chose la plus importante que nous devons comprendre. Vibration d'un objet unidimensionnel (par exemple, pendule à ressort) peut être représenté comme la somme des rotations des deux vecteurs représentés sur la figure 4.

Figure 4. Oscillation d'un pendule à ressort

Comme la somme des rotations de deux vecteurs

sur plan complexe

Le pendule oscille le long de l'axe réel du plan complexe avec une fréquence de loi harmonique. Le mouvement du pendule est représenté par un vecteur horizontal. Le vecteur supérieur tourne sur le plan complexe avec une fréquence positive (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et le vecteur inférieur tourne avec une fréquence négative (dans le sens des aiguilles d'une montre). La figure 4 illustre clairement la relation bien connue du cours de trigonométrie :

Ainsi, la série de Fourier sous forme complexe (9) représente les signaux périodiques unidimensionnels comme une somme de vecteurs sur le plan complexe tournant avec des fréquences positives et négatives. Parallèlement, notons que dans le cas d'un signal réel, selon (9), les coefficients de dilatation pour les fréquences négatives sont complexes conjugués aux coefficients correspondants pour les fréquences positives. Dans le cas d'un signal complexe, cette propriété des coefficients ne tient pas du fait que et sont également complexes.

Spectre de signaux périodiques

Étant donné que les signaux périodiques sont disposés en rangée uniquement sur une grille de fréquence fixe, le spectre des signaux périodiques est linéaire (discret).

Figure 5. Spectre d'une séquence périodique

Impulsions rectangulaires :

A - spectre d'amplitude ; spectre de phase b

La figure 5 montre un exemple du spectre d'amplitude et de phase d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires (voir figure 1) en c, de durée d'impulsion c et d'amplitude d'impulsion B.

Le spectre d'amplitude du signal réel d'origine est symétrique par rapport à la fréquence nulle et le spectre de phase est antisymétrique. Parallèlement, on constate que les valeurs du spectre de phase et correspondent au même point du plan complexe.

Nous pouvons conclure que tous les coefficients de dilatation du signal réduit sont purement réels, et le spectre de phase correspond à des coefficients négatifs.

Veuillez noter que la dimension du spectre d'amplitude coïncide avec la dimension du signal. S'il décrit l'évolution de la tension au fil du temps, mesurée en volts, alors les amplitudes des harmoniques du spectre auront également la dimension des volts.

conclusions

Nous nous sommes attardés en détail sur l'expression de la série de Fourier sous forme complexe et avons montré que les signaux périodiques, à la fois réels et complexes, sont représentés par une série d'exponentielles complexes de fréquences positives et négatives. Dans ce cas, les coefficients de dilatation sont également complexes et caractérisent le spectre d'amplitude et de phase du signal périodique.

DANS section suivante Nous examinerons plus en détail les propriétés des spectres des signaux périodiques.

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